DCT

CAPITOLUL 1: STRUCTURI I LEGI DE REGLARE AUTOMAT1.1. STRUCTURA GENERAL A UNUI SISTEM DE CONDUCERE

n orice sistem de conducere, n particular, de conducere automat, se deosebescurmatoarele patru elemente interconectate ca n Fig.1.1.1. :

a. Obiectul condus (instalaia automatizat)b. Obiectul conductor (dispozitivul de conducere)c. Sistemul de transmitere i aplicare a comenzilor (deciziilor)d. Sistemul informatic (de culegere si transmitere a informaiilor privind obiectul condus).

(Element de (Marimi de

execuie)

Sistem de transmitere i aplicare a comenzilor

execuie)

Obiect

(Dispozitiv de conducere)

( Regulator )

conductor

automatizat)

Obiect condus

(Instalaie(Comenzi)

Decizii MarimicomandateProgram

Criterii de calitate;Restricii

Perturbaii

Mrimi de calitate

Perturbaii msurateMrimi de procesmsurate

Mrimi msurateMrimi de reacie Sistem informatic(Traductoare)

Circuitul nchis al informaiilor

Figura nr.1.1.1.Obiectul conductor (dispozitivul de conducere) elaboreaz decizii (comenzi) care se aplic

obiectului condus, prin intermediul elementelor de execuie, pe baza informaiilor obinute desprestarea obiectului condus prin intermediul marimilor msurate.

Deciziile de conducere au ca scop ndeplinirea de ctre marimea condus a unui program ncondiiile ndeplinirii (extremizrii) unor criterii de calitate, a satisfacerii unor restricii, cnd asupraobiectului condus acioneaza o serie de perturbaii.

Structura de mai sus este o structur de conducere (sau n circuit nchis) deoarece deciziile(comenzile) aplicate la un moment dat sunt dependente i de efectul deciziilor anterioare. Aceastaexprim circuitul nchis al informaiilor prin mrimile de reacie: fenomenul de reacie sau feedback.

Dac lipsete legtura de reacie sistemul este n circuit deschis i se numete sistem decomand (n particular, de comand automat).

O astfel de structur se ntlnete n cele mai diverse domenii de activitate: tehnic, biologic,social, militar etc., n cele ce urmeaz referindu-ne ns numai la cele tehnice.

Un sistem de conducere n structura de mai sus se poate numi sistem de conducere automatdeoarece este capabil s elaboreze decizii de conducere folosind mijloace proprii de informare.

Un caz particular de sisteme de conducere automat il constituie sistemele de reglareautomat (SRA).

Prin sistem de reglare automat se nelege un sistem de conducere automat la care scopulconducerii este exprimat prin anularea diferenei dintre mrimea condus (reglat) i mrimeaimpus (programul impus), diferen care se mai numete abatere sau eroarea sistemului. La celemai multe sisteme de reglare automat mrimea reglat este chiar mrimea msurat.

Pentru calculul unui sistem de reglare automat sunt necesare informaii referitoare la celepatru componente de baz de mai sus:comportare (intrare-ieire sau intrare-stare-ieire), structur, tehnologie de realizare, condiii defuncionare precum i informaii asupra sistemului n ansamblu:criterii de calitate i performane,restricii, programe de realizat etc.

Cap.1. STRUCTURI SI LEGI DE REGLARE AUTOMAT

1

BestTypewritten textSUBIECTUL 1

Procesul de anulare a erorii ntr-un SRA se efectueaz folosind dou principii:1. Principiul aciunii prin discordan (PAD)2. Principiul compensaiei (PC)n cazul PAD, aciunea de reglare apare numai dup ce abaterea sistemului s-a modificat

datorit variaiei mrimii impuse sau a variaiei mrimii de ieire provocat de variaia uneiperturbaii.

Deci, nti sistemul se abate de la program ("greete") i apoi se corecteaz. Este realizatprin circuitul de reacie invers. Are avantajul compensrii efectului oricror perturbaii.

n cazul PC, una sau mai multe mrimi perturbatoare sunt msurate i se aplic laelementele de execuie, comenzi care s compenseze pe aceast cale efectul acestor perturbaiiasupra mrimii de ieire transmis pe cale natural. Are avantajul c poate realiza, n cazul ideal,compensarea perfect a anumitor perturbaii fr ca marimea de ieire s se abat de la programulimpus. Are dezavantajul compensrii numai a anumitor perturbaii, nu a oricror perturbaii. Unsistem de reglare care mbin cele doua principii se numete sistem de reglare combinat.

1.2. SISTEME DE REGLARE CONVENIONAL (SRC)1.2.1. Structura SRC

Prin sistem de reglare convenional (SRC) se nelege un sistem de reglare automat cu osingur intrare, o singura ieire la care informaia despre realizarea programului de reglare esteexprimat numai prin eroarea (abaterea) sistemului ca diferena ntre mrimea impus si mrimea dereacie. Structura general a unui sistem de reglare convenional este prezentat n Fig.1.2.1. undese evideniaz denumirea elementelor i mrimilor componente.

impusMrime

(Referina)

prescris)(Marime

EE

de execuie

EEH (s)

Elemente(t)v(t) +

-

r(t)=y (t)Tr

Marimefizicimpus

DPDispozitiv

deprescriere

comparaieElement de Eroarea sistemului

(abaterea)

Marime de reacie

RRegulator

(controller)(compensator)

H (s)R

u EE

y =R

y =y(t) IT

y =u EE IT

ITInstalaie

tehnologic

H (s)IT

p(t)1

p(t)k

p(t)q

Mrime de ieire

Tr

H (s) TrTraductor

u (t)=y(t) Tr

v (t) f

Perturbaii

Figura nr.1.2.1.Prin diferite exemple concrete se va ilustra modul de funcionare a unui astfel de sistem

precum i modul de deducere a schemei bloc pornind de la schema funcional a sistemului. Pentruclarificarea unor aspecte referitoare la dimensiunea unor mrimi i la interpretarea unor transformateLaplace se recomand observaiile din paragraful 1.2.3.

Elementele componente ale unui SRA : a. Instalaia tehnologic (IT): Reprezint obiectul supus automatizrii n care mrimea de

ieire este mrimea care trebuie reglat iar mrimea de execuie este una din mrimile de intrareyITaleas ca mrime de comand a ieirii. Restul mrimilor de intrare, care nu pot fi controlate naceast structur capt statutul de perturbaii.

b. Elementul de execuie (EE): Realizeaz legatura ntre regulator i instalaia tehnologicavnd mrimea de intrare identic cu mrimea de ieire din regulator i mrimea de ieireUEE YR

identic cu mrimea de intrare n instalaia tehnologic.YEEc. Traductorul (Tr). Convertete mrimea fizic reglat ntr-o mrime r, denumit mrime

de reacie, avnd aceeai natur cu mrimile din blocul regulator.


2

d. Regulatorul (R): Ca i component a SRA reprezint elementul care prelucreaz eroarea i realizeaz mrimea de comand n conformitate cu o aa numit lege de reglare prestabilite YR

n scopul ndeplinirii sarcinii fundamentale a reglrii: anularea erorii sistemului. Dispozitivul de prescriere (DP): Realizeaz mrimea impus v compatibil cu mrimea de reacier . Acest bloc poate fi realizat ntr-un dispozitiv separat sau inclus n blocul regulator. Elementele custructura din Fig.1.2.1. constituie o aa numit bucl de reglare.Referitor la un SRC se definesc urmtoarele noiuni:

1. Circuitul direct: Circuitul direct este constituit din ansamblul elementelor cuprinse ntreabaterea i marimea reglat . e Y IT

2. Circuitul deschis: Circuitul deschis este constituit din elementele cuprinse ntre eroare imrimea de reactie. ntotdeauna se consider c un sistem "se deschide" ntrerupnd circuitulinvers de la mrimea de reacie r.

3. Partea fix (fixat) a sistemului: Partea fix (fixat) a sistemului este constituit dinelementele care n procesul de sinteza a SRA se dau ca date iniiale. Partea fix este constituit din:instalaia tehnologic, elementul de execuie i traductor. Pentru sisteme liniare, este utilizat funciade transfer a prii fixe (1.2.4)HF(s) = HEE(s)H IT(s)HTr(s)astfel c funcia de transfer n circuit deschis este (1.2.5)H d(s) = HR(s)HF(s)

Pentru a unifica proiectarea pentru o diversitate de instalaii, se consider c mrimea deieire din sistem este mrimea de reacie astfel c circuitul de reacie este direct iar n circuituldeschis apar numai dou elemente: regulatorul i partea fix a sistemului ca in Fig.1.2.4.

1.2.2. Relaii n SRCConsidernd perturbaiile deplasate la ieire, structura din Fig.1.2.2. este echivalent cu structura dinFig.1.2.4.

V(s) E(s) Y(s)=U(s)R F

RH (s) H (s)

F

-+

H (s) Fp1

H (s) Fpk

H (s) Fpq

Y(s)

Y(s)

P(s)1

P(s)k P(s)q

+

+

+

+ +

+

Figura nr.1.2.4.Rspunsul prii fixe a sistemului este

(1.2.6)Y(s) = HF(s)UF(s)+q

k=1S HFp k (s)P k(s)

Funcia de transfer a prii fixe n raport cu perturbaia pk.

(1.2.7)HFp k (s) =Y(s)Pk(s) U F(s)0

P j (s)0, jk

Deoarece n circuit nchis UF(s) = HR(s)e(s); e(s) = V(s) - Y(s),

se obine expresia ieirii sistemului n circuit nchis , (1.2.8)Y(s) = H v(s)V(s)+

q

k=1S H p k (s)P k(s)

Funcia de transfer n circuit nchis n raport cu mrimea impus ,

(1.2.9)H v(s) =H d(s)

1 + H d(s)=

HR(s)HF(s)1 + HR(s)HF(s)

; H v(s)D=

Y(s)V(s) Pk (s)0

k=1,2,...,q

Funcia de transfer n circuit nchis n raport cu perturbaia pk ,


3


(1.2.10)H pk (s) =HFpk

1 + H d(s); H pk (s)

D=

Y(s)P k(s) V(s)0

P j (s)0,jk

Expresia erorii sistemului n circuit nchis este, (1.2.11)e(s) = HEC(s)V(s)+

q

k=1S H pk

e .P k(s)

Funcia de transfer a elementului de comparaie n circuit nchis .

(1.2.12)HEC(s) = 11 + H d(s)

= 1 - H v(s) ; HEC(s)D=

e(s)V(s) Pk (s)0

Funcia de transfer a elementului de comparaie n raport cu perturbaia

(1.2.13)H pke (s) = -Hp k (s) = -

HFpk (s)

1 + H d(s); H p k

e (s)D=

e(s)Pk(s) V(s)0

P j (s)0,jk

Expresia mrimii de comand n circuit nchis este, (1.2.14)YR(s) = HR(s)e(s) = HC(s)V(s)+

q

k=1S HCp k (s)P k(s)

Funcia de transfer de comand n circuit nchis n raport cu mrimea impus

(1.2.15)HC(s) = HR(s)HEC(s) =HR(s)

1 + H d(s); HC(s)

D=

YR(s)V(s) Pk (s)0

Funcia de transfer de comand n circuit nchis n raport cu perturbaia pk

(1.2.16)HCpk (s) = HR(s)H p ke (s) = -HR(s)H p k (s)

1 + H d(s), HCpk (s) =

YR(s)P k(s) V(s)0

P j(s)0, jk


1.4. LEGI TIPIZATE DE REGLARE CONTINUALE LINIARE

1.4.1. Prezentare generaln practica industrial a reglrii automate s-au impus aa numitele legi de reglare de tip PID

(proporional-integrator-derivator) sau elemente de tip PID, care satisfac n majoritatea situaiilorcerinele tehnice impuse sistemelor de reglare convenional. Se pot utiliza diversele combinaii alecelor trei componente: P = proporional; I = integrator; PI = proporional-integrator; D = derivator,ideal i real, PD = proporional-derivator ideal i real,PID=Proporional-integrator-derivator, ideal ireal n diferite variante. Nu se poate stabili precis efectul fiecrei componente a unei legi de tip PIDasupra calitii unui SRA, deoarece acestea depind de structura sistemului, de dinamica instalaieiautomatizate. Totui se pot face urmtoarele precizri:- Componenta proporional, (exprimat prin factorul de proporionalitate KR),determin o comand proporional cu eroarea sistemului. Cu ct factorul de proporionalitate estemai mare cu att precizia sistemului n regim staionar este mai bun dar se reduce rezerva destabilitate putnd conduce n anumite cazuri la pierderea stabilitii sistemului.- Componenta integrala , exprimat prin constanta de timp de integrare Ti , determin o comandproporional cu integrala erorii sistemului din care cauz, un regim staionar este posibil numai dacaceast eroare este nul. Existena unei componente I ntr-o lege de reglare este un indiciu clar cprecizia sistemului n regim staionar (dac se poate obine un astfel de regim) este infinit. n regimstaionar, de cele mai multe ori componenta I determin creterea oscilabilitii rspunsului adicreducerea rezervei de stabilitate.- Componenta derivativ, exprimat prin constanta de timp de derivare Td determin o comandproporional cu derivata erorii sistemului. Din aceast cauz, componenta D realizeaz o anticiparea evoluiei erorii permind realizarea unor corecii care reduc oscilabilitatea rspunsului. Nu arenici-un efect n regim staionar.

1.4.2. Element Proporional (Lege de tip P)Printr-o lege de tip proporional, se descrie comportarea intrare-ieire a unui element

nedinamic (de tip scalor) sau comportarea n regim staionar a unui element dinamic, eventualdescris printr-o funcie de transfer H(s), considernd aceast comportare liniar ntr-un domeniu.


Pentru un sistem dinamic, dependena intrare-ieire n regim staionar este aproximat naceste domenii printr-o relaie liniar de forma

(1.4.1)Y = Ymin + Kp(U - Umin) , U = u() , Y = y(),unde Kp reprezint factorul de proporionalitate sau factorul de amplificare de poziie. El se poatedetermina experimental prin raportul dintre variaia mrimii de ieire n regim staionar i variaiamrimii de intrare n regim staionar care a produs acea ieire

(1.4.2)K p =Y 2 - Y1U 2 - U1

=y2() - y1()u2() - u1()

,Y 1 ,Y 2 [Ymin ,Ymax],U 1 ,U 2 [Umin ,Umax]

De foarte multe ori n practic, informaia transmis sau prelucrat este exprimat prinvariaia procentual a semnalului purttor de informaie fa de domeniul su de variaie, astfel cvaloarea minim a semnalului exprim mai clar informaia zero (0%) iar valoarea maxim expriminformaia total (100%). O valoare procentual n afara domeniului [0,100]% nseamn un semnal nafara domeniului [min, max]. Notnd prin domeniul de variaie al intrrii, de fapt lungimeaD uintervalului de variaie, iar prin domeniul de variaie al ieirii, D y

D u = Umax - Umin D y = Ymax - Yminse utilizeaz urmtoarele relaii de reprezentare procentual de exemplu,

(1.4.5)y%(t) =y(t) - Ymin

D y 100 y(t) = Ymin +

y%(t)100

D y Dy(t) =Dy%(t)

100 D y

Noiunea de band de proporionalitate. Factorul de amplificare de poziie (factorul deproporionalitate) nu d informaii privind rezerva de liniaritate n raport cu mrimea de intrare.

Prin band de proporionalitate, notat , se nelege o msur a amplificrii unui sistem,BP%exprimat prin procentul din domeniul mrimii de intrare care determin la ieire o valoare de 100%

din domeniul acesteia. (1.4.8)BP% = 100KR

rel= 100

KRD yD u

Banda de proporionalitate este un numr adimensional. Factor de proporionalitate marenseamn band de proporionalitate mic i invers.

1.4. 3. Element Integrator ( Lege de tip I )Relaia intrare-ieire n domeniul timp este dat de ecuaia diferenial

(1.4.9)T idy(t)

dt= KRu(t)

sau prin soluia (1.4.10)y(t) = y(t0) +KRT i

t

t 0 u(t)dt t t0

Funcia de transfer este (1.4.11)H(s) = KRT i

1s

= factorul de proporionalitate, = constanta de timp de integrare .KR T iRspunsul la intrare treapt , reprezentat n Fig.1.4.4. este,u(t) = U 1(t - t0)

(1.4.13)y(t) = y(t0) +KRT i

(t - t0)U , t t0

u(t)

y(t)

t0y( )t1y( ) t2y( )

Uval( )Dy val( )

t

tt 0

t 0

t1 t2

=

iTiT* ------=

RKval( )

U

iT----RK U

0

0

Panta:

Figura nr.1.4.4.

7


1.4.4. Element Proporional Integrator (Lege de tip PI)Relaia intrare-ieire n domeniul timp este exprimat prin ecuaia diferenial

(1.4.17)T idy(t)

dt= KRT i

du(t)dt

+ KRu(t)

sau prin soluia (1.4.18)y(t) = y(t0) + KR[u(t) - u(t0)] +KRT i

t

t 0 u(t)dt, t t0

Funcia de transfer este (1.4.19)H(s) = KR[1 + 1T is] = KR

[T is + 1]T is

=KR(s + z)

s , z =1T i

= factorul de proporionalitate , = constanta de timp de integrare , KR T iSe observ c un element PI are un pol n originea planului complex s=0 i un zerou , aas = - 1

T icum se poate vedea n Fig.1.4.8.CaracteristicileBode: Caract. amplitudine-pulsaie A(w)i faz-pulsaie j(w)

A(w) = KR (wT i)2 + 1 /Tiw, j(w) = arctg(wT i) - p/2sunt reprezentate la scar logaritmic n Fig.1.4.8.

planul sj w

s0-z = - 1Ti

w

-20Ti1

dB/dec-20

dB/dec0

0.01 0.1 1 10 100

d BwL( )4 0

2 0

020log( )KR

w0.01 0.1 1 1 0 100

Ti1

20log( )KRTi

j(w)

-p/2

0

-p/4

p/4

Ti10 . 2

Ti15

Figura nr.1.4.8.

Structura n care se evideniaz cele dou componente P i I este dat n Fig.1.4.9

U(s) +

+RK

1---iT s

xY(s)

y(t)

0t0y( )

tt 0

iT----RK UPanta:

iT

RK Du

u(t)

tt 00 Du = U

Figura nr.1.4.9. Figura nr.1.4.10.

Ecuaia de stare este (1.4.20)x (t) = KRT i

u(t) y(t) = x(t) + KRu(t)

n expresia (1.4.18) starea iniial este exprimat prin x(t0) = y(t0) - KRu(t0).

Rspunsul la intrare treapta , reprezentat n fig. 4.10., este u(t) = U 1(t - t0)

. (1.4.21)y(t) = y(t0) + KR[U - 0] +KRT i

U (t - t0), t t0


8

1.4.5. Element Derivator Ideal (Lege de tip D-ideal)

Relaia intrare-ieire este (1.4.23)y(t) = Tddu(t)

dt,

unde Td reprezint constanta de timp de derivare . Funcia de transfer este (1.4.24)H(s) = TdsEste un element anticipativ, nerealizabil fizic.

1.4.6. Element Proporional Derivator Ideal (Lege de tip PD-ideal)Relaia intrare-ieire: (1.4.25)y(t) = KRTd dudt

+ KRu(t)

Este de asemenea un element anticipativ, fizic nerealizabil. Funcia de transfer: (1.4.26)H(s) = KR(Tds + 1)caracterizat prin : =factorde proporionalitate =constanta de timpde derivareKR TdCaracteristicile Bode: definite prin, (1.4.27)A(w) = KR (Tdw)2 + 1 , j(w) = arctg wTdsunt reprezentate n Fig.1.4.14. Se observ caracterul de filtru trece-sus. 1.4.7. Element Derivator Real (Lege de tip D-real)

Relaia intrare-ieire: (1.4.29)Tgdy(t)

dt+ y(t) = KRTd

du(t)dt

Funcia de transfer: (1.4.30)H(s) = KRTds

Tgs + 1= factor de proporionalitate; = constanta de timp de derivare = constanta de timp parazitKR Td Tg

Ecuaia de stare: se obine exprimnd funcia de transfer proprie ntr-o sum dintre un element scalori un element strict propriu ca n Fig.1.4.16.

(1.4.31)H(s) = KRTdTg

-KRTd

Tg 1Tgs + 1

+

-

TdTg

KR

TdTg

KRTgs+1 1

U(s)Y(s)

X(s)

Figura nr.1.4.16.

Se obine: (1.4.32)x (t) = - 1Tg

x(t) +KRTd

Tg2u(t) y(t) = -x(t) +

KRTdTg

u(t)

Rspunsul la intrare treapt prezintat n Fig.1.4.17., esteu(t) = Du 1(t)

(1.4.33)y(t) = KRTdTg

Du - KRTdTg

1 - e

- tTg Du, t 0

t0

Duu (t)a

t0=0t0

TdKR DuA=

t 0

A= y(t) dt

Tg

TgTdKR Du

y (t)a

t0

TdTg

KR

Tgs+1 1

+

+

U(s)Y(s)

X(s)KR(1- )

TdTg

Figura nr.1.4.17. Figura nr.4.19.

Se observ c ieirea n regim staionar a unui element D este nul. Elementul D acioneaznumai n regim tranzitoriu. El se mai numete i "element forator".Caracteristicile Bode: ElementulD-real apare ca un filtru trece-sus.


9


1.4.8. Element Proporional Derivator Real (Lege de tip PD-real)

Relaia intrare-ieire: (1.4.34)Tgdy(t)

dt+ y(t) = KRTd

dU(t)dt

+ KRu(t)

Funcia de transfer: (1.4.35)H(s) = KRTds + 1Tgs + 1

= factor de proporionalitate; = constanta de timp de derivare; = constanta de timp parazitKR Td TgEcuaia de stare se obine exprimnd H(s) ca n (1.4.36) i Fig.1.4.19.

(1.4.36)H(s) = KRTdTg

+ KR(1 -TdTg

) 1Tgs + 1

; (1.4.37)x (t) = - 1

Tgx(t) + KR

Tg(1 -

TdTg

)u(t) y(t) = -x(t) + KRTdTg

u(t)

Rspunsul la intrare treapt n condiii iniiale nule i caracteristicile Bode se prezint pentru treisituaii:a) . Este predominant caracterul derivator. Se comport ca un filtru trece-sus cu avans deTd > Tgfaz, ca n Fig.1.4.20. i Fig.1.4.21.

Duu (t)a

t0=0t0

KRDu

y (t)a

t0

Td>

DuTdKR

TgTg

Tgp/2

-20

Td 1

j(w)

00

p/4

w0.01 0.1 1 10 100

Tg 1

(w)L

RK20lg

Td 1

dB40

20

0

dB/dec 20

dB/dec0

dB/dec0

w0.01 0.1 1 10 100

20log TdKRTg

Tg 1

Figura nr.1.4.20. Figura nr.1.4.21.b) . Este predominant caracterul integrator. Se comport ca un filtru trece-jos cuTd < Tgntrziere de faz, ca n Fig.1.4.22. i Fig.1.4.23.

Duu (t)a

t0=0t0

KRDu

y (t)a

t0

Tg

DuTgTdKR

Td 1

w0.01 0.1 1 10 100

j(w)

-p/2

0

-p/4Tg 1

(w)L

RK20lg

Td 1

dB40

20

0

dB/dec0

dB/dec0

w0.01 0.1 1 10 100

-20

dB/dec 20-

Td

1.4.9. Element Proporional Integrator Derivator ideal (Lege de tip PID-ideal).

Relaia intrare-ieire: (1.4.39)T idy(t)

dt= KRT iTd

d2u(t)dt2

+ KRT idu(t)

dt+ KRu(t)

(1.4.40)y(t) = y(t0) + KR(u(t) - u(t0)) +KRT i

t

t 0 u(t)dt + KRTd .du(t)dt

Funcia de transfer: (1.4.41)H(s) = KR1 +

1Tis

+ Tds

(1.4.42)H(s) = KR(T iTds2 + T is + 1)

T is=

KRTd(s + z1)(s + z2)s =

KR(q2s2 + 2xqs + 1)T is

=factorul de proporionalitate; =constanta de timp de integrare; =constantade timp de derivareKR T i TdFuncia de transfer este fizic nerealizabil, reprezint o idealizare, cu dou zerouri -z1, -z2

i un pol n originea planului complex.

1.4.11. Element Proporional Integrator Derivator realn funcie de modul de realizare fizic se deosebesc mai multe structuri:

1.4.11.1. Conexiune paralel dintre un element I i un element PD real .Structura este ilustrat n Fig 4.29

[ PID-real = I + PD-real = (Aperiodic) (PID-ideal) ]

+

+

Y(s)

1iT s

Tgs+1dT s+1

U(s)KR

y (t)I

PD-ry (t)

y(t)( I )

(PD-real)

U(s) 1

Tgs+1 dT* sKR*

1

iT* s

1+( + )Y(s)

Elementaperiodic (ord. I )

PID - ideal

Figura nr.1.4.29.

Funcia de transfer realizat: (1.4.53)H(s) = KR

1T1s

+ Tds + 1Tgs + 1

poate fi echivalat printr-o conexiune serie dintre un element aperiodic de ordinul I i un element

PID-ideal. (1.4.54)H(s) = KRT iTds2 + (T i + Tg)s + 1

T is(Tgs + 1)= KR

* (1 + 1T i

* s+ Td

* s) 1Tgs + 1

unde: ; ; (1.4.55)KR* =

T i + TgT i

KR T i* = T i + Tg Td

* =T iTd

Ti + TgEcuaiile de stare ale acestui element se obin prin concatenarea ecuaiilor elementului I i PD-real

1.4.11.2. Conexiune paralel dintre un element PI i un element D-real[ PID real P + I + D real (PID ideal (Elem.aperiodic)) I + PD real ]

++

+ 1Ti sKR

U(s) Y(s)

Comp. P

Comp. I

Comp.Dr

y (t)P

y (t)I

y (t)D r

Td sTgs+1

y (t)PIDr

dT* sKR*1

iT* s1+( + )Tgs+1

1 U(s) Y(s)

1 sTi

KR( )Tgs+1dT Tg+ ( )s+1+

U(s) Y(s)

Figura nr.1.4.33.Structura acestei conexiuni i formele ei echivalente sunt indicate n Fig.1.4.33.Funcia de transfer realizat este,

(1.4.60)H(s) = KR1 +

1Tis

+ TdsTgs + 1

= KR

T i(Td + Tg)s + (T i + Tg)s + 1T is(Tgs + 1)


11


unde ; ; (1.4.62)H(s) = KR*(1 + 1T i* s+ Td

* s) 1Tgs + 1

KR* =

T i + TgT i

KR T i* = T i + Tg Td

* =Ti(Td + Tg)

T i + TgStructurile 4.11.2. si 4.11.2. sunt echivalente, T'd s+1

(1.4.63)H(s) = KR1 +

1Tis

+Tds

Tgs + 1 = KR

1Tis

+(Td + Tg)s + 1

Tgs + 1

astfel c toate tehnicile de determinare a parametrilor funciei de transfer de la cazul (1.4.11.1)ramn valabile, ns n urma aplicrii acestor tehnici se obin din care se obin mrimile:

i .KR,T i ,Tg Td = Td + Tg

1.4.12. Element D-real realizat cu ajutorul unui element I sau PI n numeroase aplicaii, elementele de tip D se realizeaz folosind elemente de tip integrator sauproporional-integrator n reacie negativ, ca de exemplu:

1.4.12.1. Realizarea cu un element I Structura conexiunii i funcia de transfer echivalent sunt ca n Fig.1.4.36.

a+ -1 sTi

u y Td s

Tgs+1u y

Figura nr.1.4.36.

(1.4.64)H(s) = a1 + a. 1

Ti s

=Tis

Tia s + 1

=Tds

Tgs + 1; Td = Ti ; Tg = T i /a

1.4.12.2. Realizarea cu un element PI Structura conexiunii i funcia de transfer echivalent sunt ca n Fig.1.4.37.

Td s

Tgs+1u y

KR1

iT s1+( )

u a+ -y

KR1iT s

1+( )u

a

+-

y

u yTd s+1Tgs+1

K

Figura nr.1.4.37. Figura nr.4.38.

H(s) = a1 + a.K R (Ti s+1)Tis

=aT is

Tis + aKR(T is + 1)=

TdsTgs + 1

unde constantele de timp echivalente obinute sunt, . (1.4.65)Td =T iKR

; Tg =1 + aKR

aKR T i

1.4.13. Realizarea unui element PD-real cu ajutorul unui element PI Structura conexiunii i funcia de transfer echivalent sunt ca n Fig.1.4.38.

(1.4.66)H(s) =KR(Tis + 1)

T is + aKR(Tis + 1)=

K(Tds + 1)Tgs + 1

unde factorul de proporionalitate i constantele de timp echivalente obinute sunt,.K = 1/a; Td = T i ; Tg = (1 + aKR) Ti /aKR


12

11. ELEMENTE DE SINTEZ A SISTEMELOR 11.3. Determinarea matricei de transfer a prii fixe DE REGLARE CONVENIONAL

297

11.3. Determinarea matricei de transfer a prii fixe 11.3.1. Formularea problemei Aa cum se observ n Fig.11.2.1. i relaia (11.2.1), partea fix a sistemului apare ca un obiect cu dou intrri: Fu i perturbaia p. Aici s-a considerat o singur perturbie, deci q 1= . n general ns, pentru q 1 , ca n Fig.8.2.4. i relaia (8.2.6), partea fix este descris printr-o matrice de transfer F(s)H de dimensiunea [1 (q 1)] + cu componentele FH (s) i kFpH (s), k 1: q.= Procedurile de determinare a oricrei componente sunt identice, componentele fiind interpretate la modul general ca fiind funcii de transfer notate H(s) , cu intrarea U(s) i ieirea Y(s) . Modelul matematic al unui sistem poate fi obinut pe dou ci: Modelarea pe cale analitic denumit i modelare matematic Modelarea pe cale experimental denumi i identificare. Pentru majoritatea sistemelor complexe, modelul matematic analitic este sau foarte dificil de obinut sau inoperabil cu instrumente inginereti. Din aceast cauz, de foarte multe ori, descrierea matematic se efectueaz prin modele matematice care exprim variaiile funciilor de timp, ce descriu mrimile fizice, n raport cu anumite funcii sau traiectorii nominale. n particular aceste traiectorii nominale au valori constante n timp, denumite i valori nominale, care pot fi i valori ce exprim aa numitul regim staionar. n continuare se vor prezenta cteva algoritme de deteminare experimental a parametrilor funciilor de transfer sau a coeficienilor ecuaiilor difereniale, a unor obiecte fizice n urmtoarele condiii:

Sunt obiecte cu o intrare i o ieire; Sunt descrise de ecuaii difereniale liniare cu coeficieni constani; Se prelucreaz rspunsurile la intrare treapt sau caracteristicile de frecven.

n algoritmele prezentate mai jos se impune structura modelului matematic ca fiind de ordinul unu sau doi, cu i fr autoechilibrare. Un sistem se spune c este cu autoechilibrare dac la intrare mrginit rspunsul tinde ctre o valoare finit. n cazul liniar un sistem este cu autoechilibrare dac funcia sa de transfer nu are poli n originea planului complex s, deci nu are caracter integrator. Un sistem este fr autoechilibrare dac la intrare mrginit rspunsul tinde ctre infinit. n cazul liniar un sistem este fr autoechilibrare dac funcia sa de transfer are cel puin un pol n originea planului complex s, deci are caracter integrator.



298

11.3.2. Determinarea experimental a parametrilor funciei de transfer de ordinul unu cu autoechilibrare, pe baza rspunsului la intrare treapt

Funcia de transfer, considernd i timp mort este,

sY(s) K eH(s) U(s) Ts 1

= = + . (11.3.1) Rezultatele experimentale sunt prezentate n Fig.11.3.1.

t0y ( )st t 0y ( )sty( )+0.6321[ - ]

u

t0

t0

u(t)

y(t)y( )

t0y ( )st

T

T

t

tB

F

D

C

AE

G

P Q t0y ( )sty( )=[ - ]uK

Figura nr.11.3.1.

1. Determinarea factorului de amplificare K Se msoar valorile u i [ st 0y( ) y (t ) ] corespunztoare segmentelor din grafic Se calculeaz factorul K

[ ] [ ][ ]st 0yy( ) y (t )K , Ku u

= = (11.3.2)

Pentru determinarea constantei de timp T se pot folosi urmtoarele trei metode reprezentate n Fig.11.3.1. 2. Determinarea constantei de timp T prin metoda tangentei n punctul iniial B se duce o tangent la rspuns care intersecteaz ordonata final n C. Proiecia DE a segmentului BC, pe axa timpului este egal cu T. Observaie: Tangenta se poate duce n orice punct F al rspunsului pn la intersecia G a ordonatei finale y(). Acesta subntinde pe axa timpului un segment PQ egal cu T, oricare ar fi punctul F. Dac sistemul este de ordinul nti atunci toate segmentele PQ au o aceeai lungime.


299

3. Determinarea constantei de timp T prin metoda ordonatei Constanta T este egal cu intervalul de timp dintre momentul iniial (cnd rspunsul are valoarea yst(t0)) i momentul n care ieirea atinge valoarea: st 0 st 0y (t ) 0.6321 [y( ) y (t )]+ 4. Determinarea constantei de timp T prin metoda ariei Se calculeaz aria

[ ]0t

A y( ) y(t) dt

+= (11.3.3)

Se calculeaz:

( )st 0T A / y( ) y (t )= (11.3.4) 5. Observaii comparative Metoda tangentei este rapid ns erorile de trasare a tangentei, n special cnd obiectul are n realitate ordinul mai mare dect unu, afecteaz direct rezultatul. Metoda ordonatei, de asemenea rapid, este dependent de perturbaiile aditive sau erorile de msurare care afecteaz direct rezultatul. Metoda ariei, dei solicit un efort de determinare mai mare, realizeaz echivalarea cu un obiect de ordinul unu avnd n vedere ntreaga evoluie a rspunsului, astfel c erorile ce apar la primele dou metode aici se compenseaz prin mediere. 11.3.3. Determinarea experimental a coeficienilor ecuaiilor

difereniale de ordinul II cu autoechilibrare Considernd u(t) i y(t) variaiile intrrii i ieirii fa de regimul staionar anterior, ecuaia diferenial pentru un astfel de sistem este, 2 1 0a y(t) a y(t) a y(t) u(t) + + = (11.3.5) Acestei ecuaii i corespunde o funcie de transfer,

2 2 22 1 0 1 1

1 KH(s)a s a s a T s 2 Ts 1

= =+ + + + (11.3.6) unde,

0

1K a= (11.3.7)

210

aT a= (11.3.8)


300

10 2

aT2 a a

= (11.3.9) Condiiile iniiale i finale sunt: y(0) 0; y(0) 0; y(0) 0; u(0) 0= = = = (11.3.10) y( ) 0; y( ) 0; u(t) u( ); t 0 = = = Coeficienii se obin din rspunsul la intrare treapt astfel:

0u( )a y( )

= (11.3.11)

0 11a Ia y( )= (11.3.12)

1 1 0 22a I a Ia y( )

= (11.3.13) unde,

[ ]10

I y( ) y(t) dt

= (11.3.14) [ ]2

0 t

I y( ) y( ) d dt = (11.3.15)

Valorile celor dou integrale se pot determina cu ajutorul calculatorului numeric sau, cu suficient precizie pentru identificare, pe cale manual utiliznd metoda trapezelor ca mai jos. Se apreciaz care este intervalul de timp Nt [0, t ] n care mrimea (t) y( ) y(t) = (11.3.16) este mai mare dect erorile aparatelor de nregistrare. Se precizeaz N momente tk, k=0,1,,N(t0=0), nu neaprat distribuite uniform (mai dese unde panta rspunsului este mai mare) astfel nct s se aproximeze ct mai bine curba 0 N(t), t [t , t ] prin trapeze ca n Fig.11.3.2. De obicei sunt suficiente N=10...15 puncte.

y(t)

0t 1t 0 t 2 t k-1 t k t N-1 t N

y( )t k

kk-1

t

Figura nr.11.3.2.


310

11.4. Transpunerea performanelor ntr-o repartiie poli-zerouri 11.4.1. Formularea problemei Transpunerea unor performane ntr-o repatiie poli-zerouri nseamn determinarea expresiei unei funcii de transfer H(s) raional astfel nct rspunsurile generate de aceast funcie de transfer s ndeplineasc performane cerute. O astfel de funcie de transfer raional este precizat att prin polii i zerourile sale, care reprezint prin inversare constantele de timp de la numitor i respectiv numrtor, dar i printr-un coeficient care este bine definit ca i factor general de amplificare de poziie, vitez, sau acceleraie. n procedurile de sintez expresia H(s) de mai sus, este aleas ca i funcie de transfer n circuit nchis dorit, n raport cu mrimea impus, i se noteaz

vH(s) H (s)= , (11.4.1) sau n raport cu o perturbaie kp ,i se noteaz

pkH(s) H (s)= . (11.4.2) Performanele impuse sistemului de reglare trebuie s fie corelate i cu posibilitatea real a procesului condus de a realiza asfel de comportri dorite. Metodele de sintez bazate pe funcii de transfer presupun modele liniare n care toate variabilele iau valori n spaii liniare deci n care valorile pot fi n modul orict de mari. Datorit puterii finite a elementelor componente din sistemul real, toate mrimile fizice nu pot depi anumite limite finite. Cea mai evident limitare apare la elementul de execuie care poate controla procesul condus prin comenzi numai ntre o valoare minim i o valoare maxim. Atta timp ct mrimile fizice rmn ntre limitele de care s-a inut cont atunci cnd s-a dedus modelul matematic liniar n variaii fa de un regim staionar, este posibil ca acest model matematic sa fie valabil i comportarea sistemului n circuit nchis, preconizat n procedura de sintez, s se regseasc n evoluia sistemului fizic. Evident aceast identitate de reprezentare este valabil pentru variaii mici ale mrimilor fizice fa de valorile staionare considerate n deducerea modelelui matematic liniar. Din aceast cauz este indicat s se analizeaze i evoluia n circuit nchis a mrimii de comand generat de legea de reglare. Performane nerealiste au ca i prim consecin necesitatea unor comenzi de valori mari. De exemplu, dac un proces condus este caracterizat printr-un model cu constante de timp de ordinul minutelor, i se solicit ca n circuit nchis sistemul



311

s rspund cu constante de timp de ordinul secundelor, pe modelul liniar acest lucru este perfect posibil dar, dac se analizeaz evoluia mrimii de comand n circuit nchis, se observ c valorile comenzilor sunt foarte mari. In practic, pe sistemul real nu se pot aplica aceste valori mari deci apar limitri, cel puin la elementul de execuie, astfel c modelul liniar folosit n procedura de sintez nu mai reprezint comportarea sistemului fizic i apar diferene ntre ce se atepta prin calcul s se ntmple i ce se ntmpl n realitate. Oricum, comportarea dinamic a unui sistem de reglare nu poate fi rezolvat intuitiv, din care cauz metodele de sintez bazate pe funcii de transfer sunt indispensabile, fiind uor de aplicat i unanim acceptate n aplicaiile practice. Pentru transpunerea performanelor ntr-o repartiie poli-zerouri se consider o expresie a funciei de transfer n circuit nchis dorit, H(s) , care poate fi vH (s) sau pkH (s) conform (11.4.1) respectiv (11.4.2), raional cu coeficieni parametri oarecare. Pentru aceast funcie de transfer H(s) se deduc expresiile analitice ale diferiilor indicatori de calitate ca i funcii de coeficienii funciei de transfer. Aa cum s-a analizat n 10.1. performane nseamn relaii de inegalitate sau egalitate impuse indicatorilor de calitate. Aceste relaii constituie un sistem de inecuaii i ecuaii n care necunoscutele sunt coeficienii funciei de transfer. Pentru indicatorii de calitate n regim staionar se pot stabili astfel de relaii la modul general pentru oricare tip de funcie de transfer. Stabilirea unor relaii ntre indicatorii de calitate n regim tranzitoriu i parametrii funciei de transfer corespunztoare este posibil numai pentru funcii de transfer particulare, de ordin sczut sau de o form precizat. Dac sistemul de inecuaii i ecuaii nu este determinat, rmn o serie de parametri liberi, deci performanele pot fi ndeplinite nu cu o singur funcie de transfer ci cu o familie de astfel de funcii de transfer. Prin impunerea unor criterii suplimentare de calitate, sub forma unor criterii de tip optimal, se obine o soluie unic pentru valorile parametrilor deci pentru funcia de transfer dorit. Astfel de criterii suplimentare de tip optimal pot reprezenta condiii ca legea de reglare s fie ct mai simpl posibil sau s fie ndeplinit criteriul modulului ce va fi prezentat n paragraful urmtor. Exist o serie de abordri n care nu se impun apriori anumite performane pe care s le realizeze sistemul; acestea rezult ca i consecin n urma aplicrii unei metode sau alta dar care n final depind de parametrii procesului condus. n aceast categorie intr de exemplu variata Kessler a criteriului modulului sau metodele practice de acordare a legilor de reglare care vor face obiectul capitolului urmtor.


313

11.4.3. Relaii ntre factorii generali de amplificare i parametrii funciei de transfer n circuit deschis

Se reamintesc relaiile de definiie a factorilor generali de amplificare, Factorul de amplificare de poziie

dps 0 t

y(t) y( )K lim H (s) lim (t) ( ) = = = (adimensional) (11.4.122)

Factorul de amplificare de vitez

d 1vs 0 t

y(t) y( )K lim s H (s) lim (sec )(t) ( )

= = =

(11.4.13) Factorul de amplificare de acceleraie

2 d 2as 0 t

y(t) y( )K lim s H (s) lim (sec )(t) ( )

= = =

(11.4.14)

Se consider funcia de transfer n circuit deschis dH (s) de forma (11.2.17)

m

kd k 1

n

kk 1

B (s z )M(s)H (s) , 0,1,2N(s)

s (s r )

=

=

+= = =

+

. (11.4.15)

Structura sistemului n circuit deschis, exprimat prin parametrul ntreg care red numrul de elemente integratoare, afecteaz factorii generali de amplificare ca n tabelul de mai jos.

(11.4.16)

pK vK aK 0

m

kk 1

n

kk 1

B (z )

(r )

=

=

0

0

1

m

kk 1

n 1

kk 1

B (z )

(r )

=

=

2

m

kk 1

n 2

kk 1

B (z )

(r )

=

=


314

Se tie c erorile staionare relative determinate de variaia mrimii impuse sunt dependente de forma semnalului de testare, treapt pentru eroarea de poziie, ramp pentru eroarea de vitez i parabol pentru eroarea de acceleraie. Aceste semnale se exprim unitar prin

11 1v (t) t 1(t) V (s) , 0,1,2! s

+= = = . (11.4.17) Se obin

{ } { } { }rel ECt s 0 s 0lim (t) lim s E (s) lim s H (s) V (s) = = = (11.4.18)

Valori finite i nenule pentru erorile staionare se obin numai n anumite condiii ca n tabelul de mai jos.

(11.4.19) 11.4.4. Relaii ntre factorii generali de amplificare i parametrii

funciei de transfer n circuit nchis Dac funcia de transfer n circuit deschis este de forma (11.4.15), atunci, pentru un sistem de reglare convenional cu structura din Fig.11.2.1., funcia de transfer n circuit nchis n raport cu mrimea impus este

m

kdk 1

v d n

kk 1

B (s z )H (s) M(s) M(s)H (s) L(s) M(s) N(s)1 H (s) (s p )

=

=

+= = = =++ +

. (11.4.20)

Aa cum se vede i din relaiile (11.4.16), factorul de amplificare de poziie pK este finit i nenul numai dac 0 = adic funcia de transfer n circuit

deschis nu are caracter integrator.

rel0 rel1 rel2 0 p

11 K+

1

0 v

1K

2

0

0 a

1K


315

Se calculeaz, m

kvd k 1

p rel n mv0

k kk 1 k 1

B (z )H (0) M(0)1K 1 H (0) 1 H (0) L(0) M(0)

(p ) B (z )

=

= =

= = = = =

(11.4.21)

Performana se impune prin condiia,

rel rel0 0 p p impimp K K (11.4.22) Au loc echivalenele,

rel0 p v 00 K H (0) 1 C 0 = = = = (11.4.23) Din punct de vedere practic, se asigur eroare staionar de poziie nul rel0 0 = , dac n circuit deschis exist cel puin un element integrator, adic funcia de transfer dH (s) are cel puin un pol n originea planului complex s. Aa cum se vede i din relaiile (11.4.16), factorul de amplificare de vitez

vK este finit i nenul numai dac funcia de transfer n circuit deschis are caracter simplu integrator i sunt ndeplinite condiiile din (11.4.23), adic p v 0K H (0) 1 C 0= = = (11.4.24) i

2 k1 2 kEC vC C CH (s) 1 H (s) s s ... s .....1! 2! k!= = + + + + (11.4.25)

Coeficientul de vitez 1C al erorii este,

{ } rel1 EC 1ds 0 s 0 v1 1 1 1C lim H (s) lims s K1 H (s) = = = = + (11.4.26) n acelai timp, coeficientul 1C se poate deduce din (11.4.25) prin derivare n punctul s=0,

{ } { }1 EC s 0 EC v vs 0d dC H (s) H (0) 1 H (s) H (0)ds ds= = = = = = (11.4.27) astfel c din (11.4.26) i (11.4.27)

rel1 v vv

1 H (0); H (0) 1K = = = (11.4.28)

Are loc relaia final, deosebit de important

n m

rel1

v k kk 1 k 1

1 1 1K p z = =

= = (11.4.29)

11. ELEMENTE DE SINTEZ A SISTEMELOR 11.5. Determinarea funciei de transfer DE REGLARE CONVENIONAL n circuit deschis i a regulatorului

333

11.5. Determinarea funciei de transfer n circuit deschis i a regulatorului

11.5.1. Ecuaii de comportament dorit Funciile de transfer n circuit deschis i funciile de transfer ale legilor de reglare se determin astfel nct s se asigure comportri dorite att n raport cu mrimea prescris ct i cu un numr de perturbaii. In continuare se consider o singur perturbaie kp(t) p (t)= , problema putnd fi formulat asemntor i pentru mai multe perturbaii kp (t),k 1: q= . Rspunsul forat este v p v pY(s) H (s) V(s) H (s) P(s) Y (s) Y (s)= + = + (11.5.1) n funcie de structura sistemului de reglare, expresiile v pH (s),H (s) depind numai de expresia legii de reglare principal RH (s) , pentru sistemele cu un singur grad de libertate v v RH (s) [H (s)]= (11.5.2) p p RH (s) [H (s)]= (11.5.3) sau de aceasta i de expresiile celorlalte elemente de corecie, de exemplu

1 2 3F (s),F (s),F (s) pentru structurile de reglare cu mai multe grade de libertate,

v v R 1 2 3H (s) [H (s)], F (s), F (s), F (s)]= (11.5.4) p p R 1 2 3H (s) [H (s)], F (s), F (s), F (s)]= . (11.5.5) Legea de reglare principal sau de baz, este de obicei legea care prelucreaz eroarea sistemului i reprezint componenta de baz a unei implementri. Comportarea dorit a mrimii de ieire ca i rspuns forat,

v v p Y (s) Y (s) Y (s)= + (11.5.6) se asigur impunnd anumite expresii dorite pentru funciile de transfer n circuit nchis, v p H (s),H (s) , care exprim o anumit repartiie poli zerouri, conform celor prezentate n capitolul anterior. Determinarea legilor de reglare pe cale algebric nseamn de fapt rezolvarea sistemului de ecuaii v vH (s) H (s)= (11.5.7) p pH (s) H (s)= (11.5.8) construit cu expresiile (11.5.2)-(11.5.5), avnd ca necunoscute expresiile

R 1 2 3H (s), F (s), F (s), F (s) . Pe lng aspectele algebrice ale rezolvrii, apar probleme suplimentare: Obinerea unor legi de reglare fizic realizabile (legi cauzale), Obinerea unor legi de reglare ct mai simple, Obinerea unor legi de reglare tipizate.

BestTypewritten textSUBIECT 19


334

11.5.2. Relaii algebrice pentru structura de reglare cu un singur grad de libertate

Structura de reglare cu un singur grad de libertate conine o singur lege de reglare, de obicei ca sistem de reglare convenional (SRC), cu structura i parametrii din 11.2.1., reluat n Fig.11.5.1.

Figura nr.11.5.1.

Comportarea dorit n raport cu mrimea impus Comportarea dorit n raport cu mrimea impus se asigur din ecuaia (11.5.7) cu expresia (11.5.2),

R F vR F

H (s) H (s) H (s)1 H (s) H (s) =+ (11.5.9)

din care se deduc: Funcia de transfer n circuit deschis dorit

vdv

H (s)H (s) 1 H (s)= (11.5.10)

Legea de reglare principal,

d

vR

F F v

H (s) H (s)1H (s) H (s) H (s) 1 H (s)= = (11.5.11)

Comportarea dorit n raport cu perturbaia Comportarea dorit n raport cu perturbaia se asigur din ecuaia (11.5.8) cu expresia (11.5.3),

Fp pR F

H (s)H (s)1 H (s) H (s) =+ (11.5.12)

din care se deduc: Funcia de transfer n circuit deschis dorit

Fpdp

H (s)H (s) 1

H (s)= (11.5.13)

Legea de reglare principal,

d

FpR

F F p

H (s)H (s) 1H (s) [ 1]H (s) H (s) H (s)= = . (11.5.14)


339

11.5.7. Condiii suplimentare impuse legilor de reglare 11.5.7.1. Condiia de realizabilitate fizic a regulatorului Aa cum s-a vzut, calculul funciei de transfer n circuit deschis dH (s) i a elementelor de corecie R 1 2H (s), F (s), F (s) , pornind de la funcia de transfer n circuit nchis vH (s) , pH (s) , este o problem simpl din punct de vedere algebric. n practic ns trebuiesc ndeplinite o serie de condiii suplimentare pentru ca soluiile algebrice s poat fi implementate. Una din acestea este condiia de realizabilitate fizic a regulatorului, care nseamn obinerea unor funcii de transfer R 1 2H (s), F (s), F (s) strict proprii sau proprii. Notnd excesul poli-zerouri (diferena dintre numrul de poli i numrul de zerouri) al unei funcii de transfer H(s) prin (p-z)H, condiia de realizabilitate pentru regulator este, RH(p z) 0 (11.5.40) Deoarece, de exemplu, pentru structura de reglare convenional, dv R FH H HH(p z) (p z) (p z) (p z) = = + (11.5.41) trebuie ca v FH H(p z) (p z) (11.5.42) adic funcia de transfer n circuit nchis dorit s aib un exces poli-zerouri mai mare sau egal cu cel al prii fixe. Dac performanele se pot realiza cu o funcie de transfer vH (s) ce nu ndeplinete condiia (11.5.42), atunci se completeaz expresia funciei de transfer vH (s) cu poli reali, deprtai fa de polii dominani care s nu afecteze regimul tranzitoriu dorit ns trebuie s fie respectat condiia de eroare staionar de poziie nul vH (0) 1= . De exemplu, dac vH (s) are n poli, i se dorete un exces poli-zerouri cu q uniti mai mare, se va utiliza o funcie extins *vH (s)

n qn 1 n 2*vn 1 n 2 n q

pp p H (s) H(s) .......(s p ) (s p ) (s p )++ +

+ + += + + + . (11.5.43)

se observ c,

*v v H (0) H (0)= (11.5.44) n particular, pentru o funcie iniial cu doi poli,

1 2*v1 2

p pH (s) (s p ) (s p )= + + (11.5.45)

12. METODE DE SINTEZ CARE CONDUC 12.3. Metode practice de acordare, LA ANUMITE PEFORMANE a regulatoarelor direct pe instalaie

354

12.3. Metode practice de acordare a regulatoarelor direct pe instalaie

12.3.1. Acordarea regulatoarelor cu metoda Ziegler-Nichools Metoda realizeaz minimizarea unui criteriu de calitate dat de integrala ptratului erorii sistemului n regimul tranzitoriu generat de variaia treapt a unei perturbaii considerat deplasat la ieire. Acordarea regulatoarelor PI 1. Se aplic procedura de testare Ziegler-Nichools avnd numai regulator P i se

determin n modul cunoscut valoarea R limK . 2. Se implementeaz valoarea R R limK 0.45 K= . (12.3.1) 3. Cu factorul de proporionalitate de mai sus se modific iT pn la apariia

oscilaiilor, i se noteaz aceast valoare i, limT . 4 Se implementeaz constanta de timp de integrare, i i limT 3 T= . (12.3.2) Acordarea regulatoarelor PD 1. Cu dT 0= se crete RK pn la apariia oscilaiilor i se menine aceas valoare notat R limK . 2. Se mrete apoi dT .

2a. Dac rspunsul devine mai prost, nseamn c nu este nevoie de component derivativ; 2b. Dac procesul se stabilizeaz se mrete dT pn ce reapar oscilaiile. Se noteaz acest valoare d, limT .

3. Se implementeaz constanta de timp de derivare,

d d lim1T T3= . (12.3.3)

4. Se implementeaz factorul de proporionalitate la valoarea R R limK 0.45 K= . (12.3.4) Acordarea regulatoarelor PID 1. Se seteaz iT = ( adic se decupleaz componenta integral) 2. Se determin i implementeaz RK i dT , ca la regulatorul PD prezentat mai

sus. 3. Cu parametrii RK i dT de mai sus, se modific iT pn la apariia oscilaiilor,

i se noteaz aceast valoare i, limT . 4 Se implementeaz constanta de timp de integrare, i i limT 3 T= (12.3.5)


12. METODE DE SINTEZ CARE CONDUC 12.3. Metode practice de acordare, LA ANUMITE PEFORMANE a regulatoarelor direct pe instalaie

355

12.3.2. Acordarea regultoarelor cu metoda Hokushin Aceast metod se bazeaz pe ajustri succesive ale parametrilor, efectuate pe sistemul fizic de reglare, i se iau decizii n funcie de rezultatele obinute. Acordarea regulatoarelor PI 1. Se fixeaz factorul de proporionalitate RK la valoare minim i constanta de timp de integrare iT la valoare maxim. 2. Se mrete RK pn la apariia oscilaiilor n proces. 3. Se micoreaz apoi RK astfel nct s dispar oscilaiile, pstrndu-se o mic

rezerv. 4. Se micoreaz iT pn ce reapar oscilaiile (de data aceasta sunt mai lente). 5. Se mrete iT astfel ca s dispar oscilaiile i s existe o anumit rezerv. Acordarea regulatoarelor PID 1. Se fixeaz factorul de proporionalitate RK la valoare minim, constanta de

timp de integrare iT la valoare maxim i constanta de timp de derivare dT la valoare minim.

2. Se mrete RK pn la apariia oscilaiilor n proces. 3. Se mrete dT pn cnd dispar oscilaiile. 4. Se mrete din nou RK , iar dup reapariia oscilaiilor se mrete dT pentru

ca oscilaiile s dispar. 5. Se repet etapele 2,3,4 pn cnd oscilaiile nu se mai disting prin mrirea

constantei de timp de derivare dT . 6. Se micoreaz RK astfel nct s existe o rezerv contra apariiei oscilaiilor. 7. Se micoreaz iT pn ce apar oscilaii mai lente dect cele precedente. 8. Se mrete iT pn dispar oscilaiile, apoi se fixeaz iT la o valoare care

asigur o anumit rezerv contra oscilaiilor. Not: n majoritatea echipamentelor industriale, n locul factorului de proporionalitate RK se folosete banda de proporionalitate BP% . Dac eroarea sistemului i mrimea de ieire din legea de reglare au aceleai domenii de variaie, atunci este adevrat relaia,

R

100BP% K= . (12.3.6) Creterea factorului de proporionalitate RK nseamn scderea benzii de proporionalitate BP% i invers, scderea factorului de proporionalitate nseamn creterea benzii de proporionalitate.

9. SISTEME NECONVENIONALE 9.2. Sisteme de reglare n cascad DE REGLARE AUTOMAT

237

9.2. Sisteme de reglare n cascad 9.2.1. Definiia sistemelor de reglare n cascad Prin sistem de reglare n cascad se nelege un sistem la care se regleaz prin bucle concentrice o serie de mrimi intermediare care rspund mai repede la perturbaii dect mrimea de ieire final ce trebuie controlat. Prin aceste bucle concentrice se previne ntr-o mare msur aciunea perturbaiilor asupra mrimii de ieire. Structura unui sistem de reglare n cascad cu dou bucle este prezentat n Fig.9.2.1. Ea se poate extinde pentru un numr oarecare de bucle, n funcie de numrul de mrimi intermediare ale procesului condus necesare unui scop.

y R2

2 r 1 r

p (t) 2 p (t) 1

y R1

H (s) Tr2H (s) Tr1

H (s) 2 H (s) 1H (s) R2H (s) R1+ + ++ +

+ v y 2

2v v 1 y p2 y p1 y 1 Fu

Bucla internBucla principal (extern)

Regulatorprincipal

Regulatorintern

1 2H (s) Fp1~H (s) Fp2~

Figura nr.9.2.1.

Mrimea de ieire este 1y iar 2y este o mrime intermediar. Fiecare este prevzut cu traductoare corespunztoare. Elementul de execuie i instalaia tehnologic sunt exprimate ca o conexiune serie de dou elemente, 1H (s) i

2H (s) ntre care intervin i diferitele perturbaii. Regulatorul principal are funcia de transfer R1H (s) iar cel intern R2H (s) . ntr-un sistem de reglare n cascad, mrimea de comand dintr-o bucl este mrime prescris pentru bucla imediat interioar. Bucla extern se numete i bucl principal iar regulatorul din aceast bucl se numete regulator principal. Regulatorul principal are rolul decisiv n asigurarea erorii staionare de poziie nul, i de aceea trebuie s conin o component de tip integrator. Chiar dac sistemul global este unul de stabilizare automat, buclele interne se comport ca i sisteme de urmrire. Ele trebuie s menin mrimea intermediar, creia i este ataat, la o valoare dictat de bucla imediat exterioar, valoare care depinde de valorile perturbaiilor. Structurile de reglare n cascad sunt foarte utilizate n practica industrial. n mod frecvent, pentru reglrile de vitez de rotaie la mainile electrice, indiferent de tip, se folosesc structuri n cascad avnd curenii motrici ca i mrimi intermediare.



238

Un astfel de sistem de reglare permite compensarea efectului perturbaiilor numai dup ce mrimea reglat se modific. Buclele interioare, ca i sisteme de urmrire, trebuie s asigure performane att n raport cu referina lor (comanda din bucla imediat exterioar) ct i n raport cu perturbaiile care acioneaz asupra instalaiei pn la mrimea intermediar pe care o controleaz. Calculul de sintez al unui sistem de reglare n cascad se efectueaz din interior ctre exterior. O bucl interioar apare ca i component a prii fixe pentru bucla imediat exterioar. Faptul c aceast component este un sistem cu reacie, face s se atenueze neliniaritile i evident efectul perturbaiilor aferente acelei bucle. n sistemele de reglare n cascad nu se pot ignora traductoarele deoarece apar reacii dup mrimi diferite ca natur. Pentru a ncadra calculul n structurile convenionale n care apar reacii directe, fiecare bucl este echivalat printr-o bucl cu reacie direct avnd la ieire un element cu funcia de transfer egal cu inversul funciei de transfer a traductorului din acea bucl. 9.2.2. Exemplu de sistem de reglare n cascad pentru viteza de rotaie

a unui motor de curent continuu Este bine cunoscut schema bloc a unui motor de curent continuu cu excitaie separat, reprezentat n Fig.9.2.2. Factorii de proporionalitate m eK , K depind de tensiunea de excitaie exu . Principala perturbaie o constituie cuplul reziatent rc (t) .

= ( )u exKe KeKe

Ls+R1

Js+K1

v

c (t)r C (s) rC (s) ac (t)au(t)

U(s)

(t)(s)

-+

+

-i(t)Km

Km Km u ex= ( )

I(s)

Figura nr.9.2.2.

Pentru a realiza un sistem de reglare n cascad la care mrimea intermediar este curentul rotoric i(t) , se transform schema bloc de mai sus ntr-o schem echivalent care s evidenieze acest curent ca i mrime intermediar. Se obine schema bloc echivalent a motorului de curent continuu n care


239

v1 2v m e v

J s KG (s)(L J) s (R J L K ) s K K R K

+= + + + (9.2.1)

e2 2v m e v

KG (s)(L J) s (R J L K ) s K K R K

= + + + (9.2.2)

i structura de reglare n cascad din Fig.9.2.3.

Js+K1

v

c (t)r

c (t)r

c (t)r

C (s) r

C (s) r

C (s) r

C (s) ac (t)au(t)

U(s) (t)(s)

++

+

-i(t) Km

G (s)2

G (s)1 I(s)

Schema bloc echivalent a motorului de curent continuu

H (s) Tr2

H (s) Tr1

y R2 2 r 1 r

y R1H (s) R2H (s) R1+

+

v

Bucla intern

Bucla principalBucla extern

Regulatorprincipal

Regulatorintern

1 2

Traductor de curent

Bucla de curentTraductor de turaie

Bucla de turaie

Figura nr.9.2.3.

9. SISTEME NECONVENIONALE 9 3. Sisteme de reglare combinat DE REGLARE AUTOMAT

240

9.3. Sisteme de reglare combinat 9.3.1. Definiia sistemelor de reglare combinat Sunt sisteme n care se mbin principiul aciunii prin discordan cu principiul compensaiei. Conform principiului aciunii prin discordan, nti mrimea reglat se abate de la valoarea prescris, nu are importan ce perturbaie a produs abaterea, i apoi se reacioneaz pentru compensarea acestei abateri. Aciunea prin discordan este materializat prin existena circuitului de reacie. Are avantajul compensrii efectului oricror perturbaii i dezavantajul c exist abateri nenule. Principiul compensaiei presupune msurarea anumitor perturbaii i aplicarea unor corecii suplimentare, astfel nct s se compenseze pe aceast cale efectul prturbaiilor respective transmis pe cale natural. Coreciile se pot aplica la ieirea din legea de reglare ca un semnal de bias sau la intrarea n legea de reglare ca un semnal de offset. Aciunea prin compensare are avantajul c se pot realiza regimuri tranzitorii cu abateri nule i dezavantajul c permite compensarea numai pentru anumite perturbaii. mbinarea celor dou principii conduce la avantaje deosebite n special cnd exist perturbaii dominante ce pot fi msurate. 9.3.2. Sisteme de reglare combinat avnd corecia suplimentar

aplicat la ieirea din legea de reglare Un sistem de reglare combinat avnd coreciile suplimentare aplicate la ieirea din legea de reglare i deci la intrarea elementului de execuie, n funcie numai de valoarea perturbaiei kp , este prezentat n Fig.9.3.1.

H (s) Rpk

v+

u Fy Ry pk y pk

H (s) R

H (s) Trpk

H (s) Fpk H (s) Fpi

F (s)pk

H (s) F+ ++ + +

p (t) k p (t) i

yy

yuF

i=1:q, i k

y Rbias

Traductor pentruperturbaie

Element decorecdie

al regulatoruluiSemnalul de bias

bias

bias

Figura nr.9.3.1.



241

Corecia suplimentar se realizeaz prin semnalul

bias biasR pk kY (s) F (s) P (s)= (9.3.1) unde biaspkF (s) este filtrul de corecie

bias biaspk Rpk TrpkF (s) H (s) H (s)= (9.3.2) n care biasRpkH (s) este funcia de transfer a elementului de corecie iar TrpkH (s) este funcia de transfer a traductorului prin care se msoar perturbaia kp . Rspunsul forat al sistemului n circuit nchis, prevzut cu aceast corecie suplimentar este

q

v pk pii 1;i k

Y(s) Y (s) Y (s) Y (s)=

= + + (9.3.3) unde v vY (s) H (s) V(s)= ; pi pi iY (s) H (s) P (s),i 1: q,i k= = (9.3.4)

bias

Fpk pk Fpk k

R F R F

H (s) F (s) H (s)Y (s) [ ] P (s)

1 H (s) H (s) 1 H (s) H (s)= + + + (9.3.5)

Componenta pky (t) a mrimii de ieire, provocat de variaia perturbaiei kp (t) , este nul dac

FpkbiaspkF

H (s)F (s)

H (s)= (9.3.6)

i rezult

FpkbiasRpkTrpk F

H (s)1H (s)H (s) H (s)

= (9.3.7)

Se observ c n aceast structur, filtrul de corecie nu depinde de legea de reglare fiind acelai n circuit deschis i nchis. 9.3.3. Sisteme de reglare combinat avnd corecia suplimentar

aplicat la intrarea n legea de reglare Un sistem de reglare combinat avnd coreciile suplimentare aplicate la intrare n legea de reglare, n funcie numai de valoarea perturbaiei kp , este prezentat n Fig.9.3.2.


242

y Rv+ u Fy pk y ik

H (s) R

H (s) Rpk H (s) Trpk

H (s) Fpk H (s) Fpi

F (s)pk

H (s) F

+

+++ +

p (t) k p (t) i

yyuF

i=1:q, i k

y Roff

Traductor pentruperturbaie

Element decorecdie

al regulatoruluiSemnalul de offset

Ru v

off

off

Figura nr.9.3.2.

Corecia suplimentar se realizeaz prin semnalul

off offR pk kY (s) F (s) P (s)= (9.3.8) unde offpkF (s) este filtrul de corecie de tip offset

off offpk Rpk TrpkF (s) H (s) H (s)= (9.3.9) n care offRpkH (s) este funcia de transfer a elementului de corecie iar TrpkH (s) este funcia de transfer a traductorului prin care se msoar perturbaia kp . Rspunsul forat al sistemului n circuit nchis, prevzut cu aceast corecie suplimentar este (9.3.3), n care sunt valabile relaiile (9.3.4) ns

off

Fpk pk R Fpk k

R F R F

H (s) F (s) H (s) H (s)Y (s) [ ] P (s)

1 H (s) H (s) 1 H (s) H (s) = + + + (9.3.10)

Componenta pky (t) a mrimii de ieire, provocat de variaia perturbaiei

kp (t) , este nul dac

offFpk pk R F k[H (s) F (s) H (s) H (s)] P (s) 0+ (9.3.11) de unde rezult

FpkoffpkR F

H (s)F (s)

H (s) H (s)= (9.3.12)

Se observ c n aceast structur, filtrul de corecie depinde de legea de reglare. Dac RH (s) are caracter integrator atunci filtrul de corecie

offpkF (s) are

caracter derivator astfel c n regim staionar nu se realizeaz nici-o corecie.

3. SISTEME CU NUMR FINIT DE VALORI 3.2. Sisteme de reglare bipoziional cu PENTRU MRIMEA DE COMAND caracteristic de tip histerezis

83

3.2. Sisteme de reglare bipoziional cu caracteristic de tip histerezis

3.2.1. Elemente de comand bipoziional Sunt elemente care au la intrare o mrimne analogic, de exemplu , min max[E ,E ] R (3.2.1) iar la ieire o mrime , de exemplu x, ce poate lua numai dou valori, 1 2x {X ,X } (3.2.2) unde valorile 1 2X ,X pot reprezenta etichete (on , off), simboluri logice (0 , 1) , numere (23, 45) sau valori ale unor mrimi fizice. Pot exprima valoarea de adevr a unor propoziii exprimate prin variabilele logice (T, F), starea unor contacte electrice (0 ,1), sau alte caracteristici fizice sau abstracte. Elementele bipoziionale pot fi realizate n mod explicit prin dispozitive fizice, programe de calculator sau pot fi rezultatul unor reprezentri matematice echivalente ale unor fenomene fizice sau abstracte. Exist dou categorii de elemente bipoziionale: 1. Elemente bipoziionale fr histerezis 2. Elemente bipoziionale cu histerezis 3.2.1.1. Elemente bipoziionale fr histerezis Dependena intrare-ieire este o funcie bine definit, reprezentat ca n Fig.3.2.1.

1 02 0

X ,x

X ,

(3.2.3)

Un element bipoziional fr histerezis este un element nedinamic, adic fr memorie sau de tip scalor. Implementarea numeric nseamn o simpla condiie IF.

x

X1

X2

Figura nr.3.2.1.



84

3.2.1.2. Elemente bipoziionale cu histerezis Dependena intrare-ieire este neunivoc aa cm se vede n Fig.3.2.2. Restabilirea univocitii intrare-ieire se face prin introducerea unei variabile de stare care poate lua dou valori: etichetate cumva, de exemplu (on, off ) sau pot fi chiar valorile ( 1 2X ,X ).

x

X1

X2

Figura nr.3.2.2. Ecuaia de evoluie a ieiriii este o ecuaie funcional de forma,

1 1

2 2

1 2

X , (t)x(t) X , (t)

x(t ), [ ; )

(3.2.4)

Prin x(t ) se nelege limita la stnga n punctul t. Cu alte cuvinte, dac intrarea la momentul t este 1 2(t) [ , ) atunci se pstreaz valoarea anterioar a ieirii x . Dac 1 2 se obine elementul bopoziional fr histerezis. Un program de implementare a unui element bipoziional cu histerezis poate fi de forma, Daca initializare Citeste E1, E2, X1, X2, X Altfel, la fiecare pas: Citeste E Daca E < E1, X=X1 Daca E >= E2, X=X2 Scrie X Se observ c dac 1 2(t) [ , ) E [E1,E2) nu se face nici-o actualizare i se menine valoarea anterioar a ieirii. Pentru demararea procedurii n ertapa de iniializare trebuie dat valoarea iniial a ieirii, deci sistemul este dinamic de ordinul nti deoarece este suficient o singur informaie iniial. Exist nenumrate dispozitive i fenomene fizice descrise prin relaii intrare-ieire de tip element bipoziional cu histerezis. n sistemele de reglare a temperaturii aa numitele "termostate" , cu bimetal sau cu lichid, sunt prin excelen astfel de elemente, aa cum se va analiza n exemplul urmtor.


85

3.2.2. Exemplu de sistem bipoziional pentru reglarea temperaturii 3.2.2.1. Schema de principiu a sistemului Se consider un sistem de reglare a temperaturii ntr-o incint termic folosind un "termostat" cu bimetal prezentat n Fig.3.2.3. Aceste este alctuit din doua metale cu coeficieni diferii de dilatare fixate rigid ntre ele. Structura se deformeaz puternic la modificarea temperaturii asfel c realizeaz deschiderea i nchiderea unui contact electric. Starea contactului este reprezentat prin variabila logic x .

crete

x

bimetalN S

x

X2 =1

X1 =0y=v

Figura nr.3.2.3 Figura nr.3.2.4.

Pentru realizarea unor contacte rapide i ferme, dispozitivul este prevzut cu magnei permanani. Frecvent n locul magneilor permaneni se utilizeaz sisteme de plcue din metal elastic deformate ce-i pot schimba concavitatea la aplicarea unor fore. Forele sunt determinate de deformarea structurii cu bimetal sub influena temperaturii. n nenumrate aplicaii simple, inclusiv n aparatura electro-casnic, termostatul este prevzut, n loc de bimetal, cu un tub n care se gsete un lichid cu coeficient mare de dilatare. Dilatarea acestui lichid, sub influena temperaturii, determin aplicarea unor fore la placue a cror concavitate se poate modifica i care astfel determin nchiderea i deschiderea unor contacte electrice. Un termostat, indiferent de realizarea sa fizic, poate fi interpretata ca un obiect orientat cauzal cu ieirea x x(t) , starea contactului electric i intrarea temperatura notat y(t) (t) . Dependena intrare-ieire este neunivoc de tip histerezis. Se constat, eventual experimental, c dac temperatura este mai mare dect o valoare 2 , 2y(t) atunci contactul este deschis, adicx(t) 0 , iar dac temperatura este mai mica sau egal cu o valoare 1 , 1y(t) atunci contactul electric este nchis adica x(t) 1 .


86

Pentru o valoare a temperaturii ntre cele dou limite, 1 2y(t) (t) [ , ) se pstreaz starea anterioar a cotactelor adicx(t) x(t ) .

Valorile limit 1 2, depind de parametrii de ajustare ai termostatului. Aceast dependen intrare-ieire, reprezentat n Fig.3.2.4. , este o dependen de tip histerezis "descresctoare", avnd n vedere ordinea dat de valorile variabilei x , i este exprimat concentrat n (3.2.5)

2

1

1 2

0, y(t)x(t) 1, y(t)

x(t ), y(t) ( ; ]

(3.2.5)

Cu aceste precizri se poate nelege comportarea sistemului de reglare reprezentat prin schema de principiu din Fig.3.2.5.

I 0

I 1R 1

R 0

B

crete

xbimetal

x

x E

~

Sursdeenergie

Sursdecurentcontinuu

electromagneticReleu

Incinttermic

I = xI + BI0 1

Figura nr.3.2.5.

Contactul electric al termostatului acioneaz un releu electromagnetic care are la rndul lui are un contact normal deschis ce poate comanda un curent de valore mare 0I printr-o rezisten de nclzire 0R . Pentru toate contactele electrice s-a ataat o aceeai variabil logicx , dei ele sunt complet diferite din punct de vedere fizic. O rezistena suplimentar 1R este alimentat cu un curent 1I dac starea unui buton, B {0,1} are valoarea B 1 . Deci, incinta termic este nclzit cu un curent de intensitate, 0 1 0 1I x I B I I(t) x(t) I B(t) I . (3.2.6)


87

Comportarea sistemului se exprim n cuvinte astfel: Dac temperatura crete peste limita 2 contactul termostatului se deschide, releul electromagnetic nu este alimentat i x 0 deci se oprete curentul 0I adic incinta este nclzit cu un curent mai mic off 1 0 1I B I I B I . (3.2.7) Ca urmare, temperartura scade (numai dac perturbaiile determin scderea temperaturii cu offI I ). Cnd aceasta atinge o valoare 1 , termostatul are contactul nchis, se acioneaz releul electromagnetic i x 1 , astfel c incinta este nclzit cu un curent mai mare onI on 1 0 offI B I I I (3.2.8) care determin creterea temperaturii (numai dac perturbaiile permit creterea temperaturii cu onI I ). Procesul descris mai sus se repet i rezult o reglare de tip bipoziional sau on-off. 3.2.2.2. Schema bloc general a sistemului Sistemul descris mai sus se poate reprezenta printr-o schem bloc general n caere se evideniaz numai dou elemente: procesul condus i dispozitivul de comand, ca n Fig.3.2.6. ntre cele dou blocuri se evideniaz mrimea de execuie care n cazul de fa este starea x a contactelor.

1

0

y=v

]

]

]x

x y =y =

Dispozitiv de comand

Proces condus

Mrimea de execuie:Starea contactelor

Mrimea reglat:Temperatura

Mrimea reglat:Temperatura

Parametri: Perturbaii: ext

Figura nr.3.2.6.

Schema bloc general evideniaz numai interaciunea dintre procesul condus i dispozitivul de conducere precum i caracteristicile acestora mpreun cu perturbaiile i parametrii de ajustare. n exemplul de fa se consider c singura perturbaie este temperatura mediului extern ext .

3. SISTEME CU NUMR FINIT DE VALORI 3.3. Sisteme de reglare tripoziional cu PENTRU MRIMEA DE COMAND caracteristic de tip histerezis

97

3.3. Sisteme de reglare tripoziional cu caracteristic de tip histerezis

3.3.1. Elemente de comand tripoziional Sunt elemente care au la intrare o mrimne analogic, de exemplu w , min maxw [W ,W ] R (3.3.1) iar la ieire o mrime, de exemplu x, ce poate lua numai trei valori, 1 2 3x {X ,X ,X } (3.3.2) unde valorile 1 2 3X ,X ,X pot reprezenta etichete (up, down, rest), simboluri n logica ternar (-1, 0 , 1), numere (23, 45, 87 ) sau valori ale unor mrimi fizice. Pot exprima trei valori numerice extrase din combinaia a doi bii. Elementele tripoziionale pot fi realizate n mod explicit prin dispozitive fizice, programe de calculator sau pot fi rezultatul unor reprezentri matematice echivalente ale unor fenomene fizice sau abstracte. Exist dou categorii de elemente tripoziionale:1. Elemente tripoziionale fr histerezis; 2. Elemente tripoziionale cu histerezis. n marea majoritate, n sistemele de reglare, elementul tripoziional comnad un element de execuie cu caracter integrator, deobicei un servomotor electric sau hidraulic, astfel c se asigur modificarea cu vitez consatant a mrimii de execuie aplicat instalaiei tehnologice. Mrimea de execuie poate rmne constant, poate crete sau scade cu viteze constante de semne contrare, avnd valori n modul egale sau diferite. 3.3.1.1. Elemente tripoziionale fr histerezis Dependena intrare-ieire este o funcie bine definit, reprezentat ca n Fig.3.3.1.

1 1

2 1 2

3 2

X ,w wx X ;w [w ,w )

X ;w w

(3.3.3)

Un element tripoziional fr histerezis este un element nedinamic, adic fr memorie sau de tip scalor. Implementarea numeric nseamn dou simple condiii de tip IF.

w w

x

X1

X2X3

w

)

Figura nr.3.3.1.



98

3.3.1.2. Elemente tripoziionale cu histerezis Dependena intrare-ieire n care, 1 2 3 4w w w w , (3.3.4) este neunivoc aa cm se vede n Fig.3.3.2. Restabilirea univocitii intrare-ieire se face prin introducerea unei variabile de stare care poate lua trei valori, etichetate cumva, de exemplu (up, down, rest) sau pot fi chiar valorile ( 1 2 3X ,X ,X ).

x

X1

X2

w w ww

X3

w

Figura nr.3.3.2.

Ecuaia de evoluie a ieirii, este o ecuaie funcional de forma,

1 1

2 2 3

3 4

1 2 3 4

X ,w(t) wX ;w(t) [w ,w )

x(t) X ;w(t) w

x(t ),w(t) {[w ,w ) [w ,w )}

(3.3.5)

dac funcia w(t) este o funcie continu n timp. Prin x(t ) se nelege limita la stnga n punctul t. Cu alte cuvinte, dac intrarea la momentul t este 1 2w(t) [w ,w ) atunci se pstreaz valoarea anterioar a ieirii x care poate fi 1X sau 2X . Dac ns 3 4w(t) [w ,w ) se pstreaz valoarea anterioar a ieirii x care poate fi 2X sau 3X . Continuitatea funciei w(t) face ca trecerea valorii w dintr-un interval de neunivocitate n altul s se fac prin intervalul 2 3[w ,w ) n care se seteaz n mod univoc valoarea 2X . Dac funcia w(t) este discontinu, ecuaia de evoluie trebuie scris sub forma (3.3.7) n care s-a definit,

2 30w ww

2 (3.3.6)

o valoare ce separ intervalele de neunivocitate,


99

1 1

2 2 3

3 4

1 2 3 4 0 0

2 1 2 3 4 0 0

X ,w(t) wX ;w(t) [w ,w )

x(t) X ;w(t) w

x(t ),w(t) {[w ,w ) [w ,w )} si [w(t) w ] [w(t ) w ] 0

X ,w(t) {[w ,w ) [w ,w )} si [w(t) w ] [w(t ) w ] 0

(3.3.7)

n caz contrar, este posibil rezultatul eronat n care, de exemplu, dac 3 4w(t ) [w ,w ) , i 3x(t ) X iar 1 2w(t) [w ,w ) ce ar face ca, pstrnd valoarea anterioar a ieirii s se aloce 3x(t) X , inaceptabil. Dac 1 2w w sau 3 4w w ramura respectiv este fr histerezis iar dac au loc ambele egaliti, caracteristica tripoziional este fr histerezis de forma (3.3.3). Dac 1 2X X sau 2 3X X se obine o caracteristic bipoziional cu histerezis. Un program de implementare a unui element tripoziional cu histerezis poate fi de forma, Daca initializare Citeste W1, W2,W3,W4,X1,X2,X3,X,Wold W0=(W2+W3)/2 Altfel, la fiecare pas: Citeste W Daca W=W2) &(WW3), X=X2 Daca W>=W4, X=X3 Daca ((W>=W1)&(W=W1) & (W

3. SISTEME CU NUMR FINIT DE VALORI 3.6 Sisteme cu modulare PENTRU MRIMEA DE COMAND n durat de impulsuri (PWM)

127

3.6. Sisteme cu modulare n durat de impulsuri (PWM) 3.6.1. Reprezentarea procesului de modulare n durat de impulsuri Sistemele cu modulare n durat de impulsuri sunt sisteme care conin cel puin un element denumit Modulator n durat de impulsuri PWM (Pulse With Modulator). Un element PWM efectueaz operaia (procesul) de modulare n durat de impulsuri, prescurtat tot prin simbolul PWM (Pulse With Modulation). Un element PWM primete la intrare un semnl continual c cy (t), y i furnizeaz un tren de impulsuri x(t),x {0;1} , ca n Fig.3.6.1. cu o perioad de repetiie 0T dar avnd durata unui impuls k dependent de valoarea

c 0y (kT ) a semnalului continual de intrare, numai n momentele 0t k T . Utilizarea numai a valorilor din anumite momente de timp exprim echivalent existena unui proces de eantionare reprezentat prin elmentul de eantionare din Fig.3.6.1.

y (kT )c 0

Modulatorn durat de

PWM

x(t)

x(t)

y (t)c

y (t)c

impulsuriSemnal

Semnal

continual

continual

Tren de

Tren de

impulsuri

impulsuriT0ir devalori

Generatorde

impulsuri

k k+1

yc

ycYmaxcYmi n

c

0T

0T 0T

0kT 0(k+1)T

0

01

x(t)

t

Figura nr.3.6.1. Figura nr.3.6.2. Semnalul de ieire din modulator este deci, 0 0 k

0 k 0

1, t (kT ,kT ]x(t)

0, t (kT ,(k 1) T ]

, 0 0t (kT ,(k 1) T ] (3.6.1)

k c 0[y (k T )] (3.6.2) Deoarece durata impulsurilor este restricionat la domeniul k 0[0,T ] , (3.6.3) funcia (3.6.2), exprimat ca i caracteristic static, c(y ) , (3.6.4) are caracter de saturaie la valoarea 0 respectiv 0T . n particular, ntre limitele de saturaie dependena semnal continual- durata impulsurilor este o dreapt astfel c se exprim (3.6.4), ca n Fig.3.6.2., prin relaia:



128

cc min

c cc c c min max

c0 c max

0 , y Y

(y ) K y B, y [Y ,Y ]

T , y Y

(3.6.5)

unde,

0c cmax min

TKY Y

, (3.6.6)

c0 minc cmax min

TB YY Y

(3.6.7)

Elementele PWM sunt des folosite n sistemelede reglare automat deoarece realizeaz o comand de tip bipoziional pentru care elementul de execuie este foarte simplu, putnd fi implementat prin simple contacte electromecanice.O astfel de comand mai este denumit i "Comand proporionale n timp" (Time Proportional Command) deoarece durata impulsurilor x(t) este proporionale cu valoarea din anumite momente de timp

0t k T a semnalului cy de intrare. Intervalul de timp 0T , dac este constant, se numete i perioada ciclului de modulare. n Fig.3.6.3. este ilustrat un exemplu de evoluie intrare-ieire a unui element PWM la care c cmin maxY 0, Y 1 .

(

] ( 1 ( ]

(

(

]

] (

( (

( ( (

]

]

]

] ]

]

. . . .

t00

x(t)x(t)

06T05T04T03T02T

00.25T 00.75T 00.75T01.00T 01.00T00.50T

01T

1.00

0.75

0.50

0.25

0t

y (t)c y (t)c

y (5T )=0.75c 0

y (4T )=1.00c 0

y (3T )=1.00c 0

y (2T )=0.75c 0

y (1T )=0.50c 0y (0T )=0.25c 0

06T05T04T03T02T00T 01T

Figura nr.3.6.3.


129

Dei ieirea dintr-un PWM este un semnal continual x(t) , totui informaia despre mrimea de intrare este concentrat numai n valorile duratelor k ca rezultate ale unui proces de eantionare. Tratarea teoretic exact a sistemelor n care apar elemnte de tip PWM se poate efectua numai folosind teoria sistemelor cu eantionare neconvenionale ce va face obiectul unui capitol separat. Exist mai multe varinte de reprezentare sistemic a generatorului de impulsuri din Fig.3.6.1. 3.6.2. Exemplu de sistem de reglare cu element de comand de tip PWM Majoritatea echipamentelor numerice de reglare automat i chiar circuitele integrate de tip micro-controller, au o ieire de tip PWM. Din punct de vedere fizic, ieirea de tip PWM este materializt prin dou borne la care se aplic fie o tensiune ce poate lua numai dou valori, fie un contact electromecanic care poate fi nchis sau deschis. Din punct de vedere sistemic ns, ieirea din modulator este semnalul x(t) , care reprezint fie o tensiune n voli (i utilizat ca atare) fie valoarea unei variabile logice binare atat strii celor dou borne. Valoarea mrimii x(t) este dat de relaii deforma (3.6.1), (3.6.2), n care

cy (t) este o mrime continual obinut eventual dintr-o lege de reglare continu. Se consider o incint la care temperatura 0C este comandat prin aplicarea unei tensiuni cu valoarea eficace maxu(t) [0,U ] la bornele unei rezistene R . Modificarea valorii u(t) n mod continuu n domeniul max[0,U ] , folosind un transformator reglabil sau un redresor comandat, este o soluie scump care uneori nu se justific economic. O soluie eficient const n realizarea controlului instalaiei prin nchiderea i deschiderea unor contacte electrice care aplic o tensiune, cu valoarea eficace ef maxU U , la bornele rezistenei R .De exemplu

ef maxU U 220V , valoare eficace. Se utilizeaz n acest scop bornele PWM ale unui regulator, ca n Fig.3.6.4., la care este furnizat variabila x {0,1} , dependent de mrimea de ieire cy dintr-o lege de reglare continual. Schema de conectare este prezentat n Fig.3.6.4. considernd c ntre bornele 20 i 21, de exemplu, regulatorul ca aparat fizic, prezint un contact electromecanic a crui stare este reprezentat prin variabila x .

4. SISTEME NUMERICE DE REGLARE AUTOMAT 4.1 Structura unui sistem (SNRA) de reglare cu calculator de proces

140

4. SISTEME NUMERICE DE REGLARE AUTOMAT (SNRA) 4.1 STRUCTURA UNUI SISTEM DE REGLARE CU

CALCULATOR DE PROCES Capitolul4estepreluat,curenumerotareaetichetelor,dincarteaC.Marin,Sistemediscretentimp,EdituraSITECH,Craiova,2007,pag.4248;pag133141;pag.184209;pag366401; 4.1.1. Scheme bloc echivalente n sistemele de reglare automat cu calculator de proces, denumite i sisteme numerice de reglare automat, SNRA, legea de reglare este elaborat pe baza unui algoritm numeric implmentat ntr-un echipament numeric de conducere care ntr-un context mai general este denumit i calculator de proces. Calculatorul de proces este un calculator numeric echipat cu interfee de intrare i ieire pentru mrimi analogice i/sau numerice nzestrat cu un sistem de operare n timp real (executiv de timp real) care-l face capabil s funcioneze n aa fel nct toate operaiunile i calculele se desfoar sub controlul unui aa numit "ceas de timp real", suficient de rapid pentru a rspunde solicitrilor din exterior de achiziie i comand. Interfeele de intrare analogic conin convertoare analog-numerice (CAN), care transform ntr-un numr (numr-CAN) un semnal de tensiune sau curent conectat la calculator prin borne numerotate (etichetate), denumite porturi de intrare analogic. Interfeele de ieire analogic conin convertoare numeric-analogice (CNA) care transform un numr ntr-o tensiune sau curent furnizat la borne numerotate (etichetate), denumite porturi de ieire analogic. De cele mai multe ori, semnalul la un port de ieire este meninut constant pn la o nou conversie. Evident exist nenumrate aspecte privind comportarea unui astfel de sistem ns n cele ce urmeaz vom privi fenomenele n mod echivalent din punct de vedere sistemic. Global, din punctul de vedere al inginerului sistemist, el este privit ca o "cutie neagr" cu borne de intrare analogic i borne de ieire analogic compatibile cu un semnal unificat, de exemplu tensiune [0,10]V sau curent [4,20] mA. Pentru implementarea unei bucle de reglare, referitoare la o anumit instalaie tehnologic se consider c s-a ales elementul de execuie i traductorul (vom considera un sistem de reglare convenional) deci s-a definit partea fix a sistemului avnd ca intrare mrimea de comand Fu (t) u(t) (4.1.1) i ca ieire mrimea de reacie r(t) y(t) (4.1.2) ambele sub forma unor semnale unificate.



141

Din punctul de vedere al echipamentului de conducere bucla de reglare este privit ca o aplicaie (sau o nou aplicaie) implementarea fiind posibil dac se pot satisface o serie de cerine privind resursele sistemului i anume: Resurse hard-ware Resurse soft-ware. Resursele hard se refer n principal la existena unor porturi de intrare-ieire libere, n cazul de fa analogice, i la memoria RAM i PROM solicitat de aplicaie. Cnd se alege un port pentru o aplicaie, trebuie verificat dac acesta satisface cerine de precizie (numrul de bii prin care se face conversia A-N sau N-A) i cerine de rapiditate (frecvena de eantionare pentru portul respectiv). Resursele soft se refer la capacitatea executivului de timp real de a prelua (s nglobeze) i aceast aplicaie, capacitate exprimat prin: resursele de timp de calcul, utilizarea unor proceduri existente, valorificarea sistemelor de ntreruperi etc. S presupunem c pentru aplicaia din exemplu, bucl simpl de reglare, sunt disponibile porturile de intrare analogic ip1 i ip2, de exemplu ip1=5 i ip2=6, prin care semnale de tensiune n domeniul [0, 10] V sunt convertite numeric n p bii. Deobicei p=12 reprezint cea mai utilizat reprezentare numeric n CAN. De asemenea este disponibil portul de ieire analogic op1, de exemplu, op1=9, prin care coduri numerice reprezentate prin q bii sunt convertite n tensiuni ntre [0, 10] V. De obicei conversia numeric-analogic cu q=8, reprezint o precizie suficient. Evident numerele ip1, ip2, op1 corespund unor adrese specifice acestor porturi privite de sistemul de operare ca i elemente periferice. Din punctul de vedere al utilizatorului sau al proiectantului sistemului de reglare, sistemul de conducere cu calculator de proces este privit n mare ca n Fig.4.1.1. n aceast reprezentare, calculatorul de proces, prelucreaz semnale continuale (tensiuni, cureni) i furnizeaz comenzi sub forma tot a unor semnale continuale. El poate fi privit, de ctre proiectantul sistemului de reglare ca un element continual (analogic). Dac precizia de reprezentare numeric, vitezele de conversie i de calcul sunt corespunztoare unui anumit nivel de reprezentare compatibil cu exigenele impuse de partea fix a sistemului i de obiectivele sistemului de reglare care se intenioneaz s se realizeze, atunci ntreaga structur poate fi privit ca un sistem analogic de reglare automat (SRA). n aceast situaie este necesar ca legile de reglare s fie reprezentate prin modelele lor analogice echivalente, dei n calculator ele sunt implementate prin algoritmi numerici.


142

De exemplu, utilizatorul poate manipula o lege de tip PID analogic, avnd la dispoziie pentru ajustare valorile parametrilor analogici R i dK ,T ,T fr s-l intereseze legtura dintre aceste valori analogice i parametrii din algoritmul numeric.

Figura nr.4.1.1. Cnd utilizatorul, un utilizator mai evoluat, dorete s implementeze structuri nestandard pentru legile de reglare, evident el trebuie s manipuleze formele de implementare numeric a "inteniilor sale analogice". n acest context, structura de reglare cu calculator de proces reprezentat n Fig.4.1.1., poate fi privit de ctre utilizatorul sau proiectantul buclei de reglare, referitor la partea fix a sistemului de reglare de mai sus, printr-o schem bloc continual ca n Fig.4.1.2. Se presupune c legea de reglare prelucreaz eroarea sistemului, e(t) v(t) r(t) (4.1.3)

Figura nr.4.1.2. n cazul n care modelele matematice sun

DCT

Documents

Transcript of DCT