ECUAII CU DERIVATE PARIALE DE

ODINUL NTI

O relaie de forma

0xuX

xuX

xuX

nn

22

11 =

+++

K (1)

unde iX sunt funcii reale, care nu se anuleaz simultan, de variabile x1, x2, , xn cu derivatele pariale de ordinul nti, ( i=1, 2, , n ) continue pentru (x1, x2, , xn) nRD , se numete ecuaie cu derivate pariale de ordinul nti, liniar i omogen, dac se cere determinarea funciei )x,,x,x(fu n21 K= cu derivatele pariale de ordinul nti continue, pentru care avem:

0xfX

xfX

xfX

nn

22

11 =

+++

K ,

pentru orice (x1, x2, , xn) D . Ecuaiei (1) i se ataeaz sistemul simetric:

n

n

2

2

1

1

Xdx

Xdx

Xdx === K (2)

numit sistemul caracteristic al ecuaiei cu derivate pariale (1). Dac sistemul simetric (2) admite integralele prime independente:

=

==

1211

2212

1211

),,,(

),,,(),,,(

nnn

n

n

CxxxF

CxxxFCxxxF

KM

KK

(3)

atunci funciile 1,,2,1,),,,(),,,,( 21211 == niDxxxxxxFu nn KKK

date de (3) sunt soluiile ecuaiei (1), iar funcia ),,,( 121 = nFFFu K (4)

dac funcia este o funcie continu cu derivatele pariale de ordinul nti continue pe un domeniu Rn-1, este soluia general a ecuaiei (1). Vom prezenta i rezolva problema lui Cauchy printr-un exemplu. Exemplu:

S se determine acea soluie a ecuaiei:

0=+

+

zuz

yuy

xux

care pentru z=1, u=x2+y2.

Sistemul caracteristic corespunztor este:

zdz

ydy

xdx ==

i are ca integrale prime 21 , CyzC

yx == .

Rezolvarea problemei lui Cauchy const n eliminarea variabilelor x, y, z ntre ecuaiile

21 , CyzC

yx == ; z=1, u=x2+y2

i se obine:

22

2

2

1 1)(CC

Cu += .

nlocuind C1 i C2 din integralele prime, rezult

0,222

+= zzyxu

care reprezint soluia problemei lui Cauchy.

Ne propunem, in continuare, sa determinam soluiile unei ecuaii cu derivate pariale de ordinul nti, liniar i neomogen, (numit i cvasiliniar)

1nn

n2

21

1 XxuX

xuX

xuX +=

+++

K , (5)

unde Xi(x1, x2, , xn, u), (i= 1, 2, , n+1) sunt funcii continue nu toate nule cu derivate pariale de ordinul nti continue ntr-un domeniu 1+ nRD . Se caut pentru ecuaia (5) o soluie dat implicit de egalitatea:

0),,,,( 21 =nxxxuV K (6) unde funcia necunoscut este Vi , pe care o presupunem continu cu derivatele

pariale de ordinul nti continue i 0uV

pentru orice (u, x1, x2, , xn) D . Din (6) se pot obine derivatele pariale ale lui u n raport cu xi,

uVxV

xu i

i

=

rezultnd

1nn

n2

21

1 X

uVxV

X

uVxV

X

uVxV

X +=

K ,

sau

0uVX

xVX

xVX

xVX 1n

nn

22

11 =

+++

+

+K (7)

i deci soluia general a ecuaiei cvasiliniare (5) este definit implicit de soluia general a ecuaiei (7) cu derivatele pariale de ordinul nti liniar i omogen n ( n+1) variabile.

Exemplu:

S se determine soluia general a ecuaiei:

mfxfx

xfx

xfx

nn =++

+ K

22

11 ,

care este tocmai relaia lui Euler pentru funcii omogene. Ecuaiei date i atam sistemul caracteristic:

mfdf

xdx

xdx

xdx

n

n ==== K2

2

1

1

care are integralele prime

nmn

nn

n CxfC

xxC

xxC

xx ==== ;;; 112

2

21

1

1 K .

Soluia general a ecuaiei date este

0)xf;

xx;;

xx;

xx( m

nn

1n

n

2

n

1 = K

unde este o funcie arbitrar. Din ultima egalitate rezult soluia

);;;( 121n

n

nn

mn x

xxx

xxxf = K ,

cu funcie arbitrar; deci funcia f este omogen de gradul unu.