1  

Cursul 6 : Grinzi continue

Rezumat:

În zonele de moment negativ de la reazeme betonul va fi întins şi talpa inferioară de oţel comprimată, ducând la posibilitatea voalării locale. Aceasta este luată în consideraţie prin clasificarea secţiunilor.

Momentul capabil plastic poate fi utilizat în cazul secţiunilor de clasă 1 şi 2.

Pentru secţiuni de clasă 3, trebuie făcut un calcul elastic şi determinat momentul capabil elastic.

Principiile calculului momentului capabil, atât plastic cât şi elastic, sunt similare cu cazul încovoierii cu moment pozitiv. Rezistenţa la întindere a betonului este neglijată.

Flambajul prin încovoiere-răsucire este un fenomen care poate fi evitat respectând anumite reguli de alcătuire.

Verificările în exploatare includ deformaţii, vibraţii precum şi fisurarea betonului. Aceasta din urmă are aspecte specifice pentru că întinderea din beton produsă de momentele negative poate produce fisuri cu deschideri inacceptabile, în timp ce la grinzi simplu rezemate fisurarea se datora numai contracţiei împiedicate şi era mai redusă. Calculul deformaţiilor trebuie să ţină seama de fisurarea betonului în zonele de moment negativ şi de posibila intrare în curgere a profilului metalic pe reazeme.

Cunoştinţe preliminare:

Cursul privind încovoiere grinzilor simplu rezemate. Obiective:

Înţelegerea metodelor pentru calculul momentului capabil plastic al secţiunilor supuse la moment negativ, a forţei tăietoare capabile şi evitare fenomenului de flambaj prin încovoiere-răsucire.

Conştientizarea necesităţii de a face verificări la SLS pentru limitarea deformaţiilor şi a fisurării în zonele de moment negativ.

Referinţe:

[1] EC4: EN 1994-1-1: Eurocode 4: Design of Composite Steel and Concrete Structures Part 1.1: General rules and rules for buildings.

[2] SSEDTA: Structural Steelwork Eurocodes - Development of a Trans-National Approach, 2001

[3] R.P. Johnson: Composite Structures of Steel and Concrete, 3rd Edition, Blackwell, Londra, 2004, 230 p.

2  

Conţinut:

1. Clasificarea secţiunilor şi capacitatea la încovoiere 1.1 Generalităţi 1.2 Momentul capabil plastic negativ 1.3 Analiza elastică a secţiunii şi momentul capabil elastic

2. Capacitatea la forţă tăietoare

3. Flambaj prin încovoiere-răsucire

3.1 Introducere 3.2 Verificare fără calcul diect

4. Starea limită de deformaţie

5. Starea limită de fisurare a betonului

6. Rezumat cu concluzii

3  

1. Clasificarea secţiunilor şi capacitatea la încovoiere

1.1 Generalităţi

Lăţimea activă a plăcii este lăţimea pe care armăturile sunt active; placa este de obicei integral întinsă, deci nu există şi beton comprimat. Lăţimea activă se calculează aşa cum s-a arătat în cursul „Grinzi simplu rezemate”, doar că lungimea efectivă Le este lungimea zonei de moment negativ, adică aproximativ ¼ din deschiderea adiacentă a grinzii. Rezultă că, dacă există placă pe amble părţi şi este suficient de lată şi distanţa tranversală între conectori este b0, lăţimea efectivă a plăcii este:

beff = [(L1 + L2)/4]/4 + b0 = (L1 + L2)/16 + b0 (1)

Clasificarea secţiunilor influenţează calculul secţiunilor compozite la moment negativ: adăugarea unei cantităţi de armătură în placă poate mări înălţimea părţii comprimate din inimă şi modifica clasa inimii de la clasa 1 la clasa 3, ceea ce poate reduce substanţial momentul capabil.

În calculul momentelor capabile negative se consideră conexiune totală de forfecare.

1.2 Momentul capabil plastic negativ

Armăturile din zona activă de placă trebuie să fie bine ancorate (pentru a putea fi luate în calcul cu întreaga lor capacitate) şi ductile (pentru a avea capacitate suficientă de deformare – de exemplu plasele sudate nu sunt recomandate).

Secţiunile de oţel sunt alese de obicei (la clădiri) pentru a fi în clasa 1 sau 2 şi a permite calculul plastic. Dacă tălpile sunt în clasa 1 sau 2 şi inima în clasa 3, se poate face calcul plastic considerând inima redusă (metoda „găurii în inimă”), adică luând în calcul numai zonele de lungime 20 de la capetele inimii comprimate (Figura 1).

Figura 1. Utilizarea unei inimi efective de clasa 2 pentru o secţiune solicitată la moment negativ cu inima în clasa 3 [2]

Axa neutră plastică poate fi în inimă (Figura 2) sau în talpa superioară a grinzii metalice. Cel de-al doilea caz nu este tratat în acest curs.

Pentru a determina clasa inimii trebuie determinată distanţa de la axa neutră a secţiunii grinzii metalice la axa neutră plastică a secţiunii compozite zw după care se determină c = 0,5c + zw.

Dacă inima este în clasa 1 sau 2, se pot aplica relaţiile de mai jos.

4  

Figura 2. Distribuţia plastică a tensiunilor: axa neutră plastică în inima grinzii metalice (moment negativ) [2]

Forţa de întindere de calcul în armătură este:

Ns = Asfsk/S = Asfyd (2)

Forţa de compresiune de calcul pentru toată secţiunea metalică este:

Na = Aafy/a (3)

Axa neutră plastică este în inimă dacă ambele condiţii de mai jos sunt îndeplinite:

Na > Ns şi Na – Ns > 2bftffy/a (4)

Cel mai simplu mod de a calcula zw este să se presupună (ca şi la secţiunile solicitate la moment pozitiv), că pe o zonă de înălţime zw tensiunile schimbă de semn şi atunci:

)/(2 ayw

sw ft

Nz

(5)

Momentul capabil negativ este:

MRd = Mpl,a,Rd + Nsz (6)

Cu :

z = ha/2 + hs – zw/2 (7)

1.3 Analiza elastică a secţiunii şi momentul capabil elastic [3]

În calculele din secţiunea precedentă a fost posibil să fie neglijate influenţa metodei de execuţie şi efectele curgerii lente, contracţiei şi variaţiei de temperatură, pentru că acestea sunt reduse de comporatrea inelastică a oţelului şi devine neglijabile înainte de atingerea momentului capabil plastic.

Când este folosită analiza elastică, se ţine seama de curgerea lentă în algerea coeficientului de echivalenţă n (=Ea/Ec,eff), şi astfel nu are nic o influenţă asupra secţiunii numia din oţel. În clădiri efectele contracţieie şi variaţiei de temperatură asupra momentelor capabile poate fi de obicei neglijată, dar trebuie să se ţină seama de metoda de execuţie. Aici vom presupune că, în secţiunea considerată, încărcarea produce moentele negative Ma,Ed în elementul numai din

5  

oţel, şi Mc,Ed în elementul compozit. Diferenţa mică (≈ 3%) între modulii elastici ai armăturii ,si oţelului structural este de regulă neglijată.

Înălţimea xe a axei neutre elastice a secţiunii compozite (Fig. 4.1(c)) deasupra celei a secţiunii de oţel se determină făc6and momentele statice faţă de aceasta din urmă:

)2/()( sassae hhAAAx (8)

şi momentul de inerţie al secţiunii compozite este: 22 )2/( xhhAxAII saseaa (9)

Momentul de curgere este aproape întotdeauna controlat de efortul unitar total în talpa inferioară a secţiunii de oţel fibra cea mai de jos, notată cu nivelul 4). Efortul unitar de compresiune datorită momentului Ma,Ed este:

a

aEdaa I

hM )2/(,,4 (10)

Efortul unitar rămas disponibil este fyd − σ4,a, astfel încât momentul de curgere este:

)2/(

)( ,4,,,

ea

aydEdaRdcEda xh

IfMMM

(11)

Condiţia de proiectare este:

RdcEdc MM ,, (12)

Momentul încovoietor Ma,Ed nu produce nici un efort în armătura plăcii. În cazul execuţiei cu sprijiniri, pentru care Ma,Ed ≈ 0, efortul unitar de întindere σs din aceste bare poate controla proiectarea. El este:

I

xhhM esaEdcs

)2/(, (13)

şi nu trebuie să depăşească fsd.

2. Capacitatea la forţă tăietoare şi interacţiunea cu momentul încovoietor Forţa tăietoare verticală se consideră că este preluată în totalitate de inima secţiunii metalice. Solicitarea VEd nu trebuie să depăşească capacitatea plastică Vpl,Rd (sau o valoare mai mică dacă poate apare pierdere de stabilitate locală).

Regula de proiectare la încovoiere combinată cu forţă tăietoare este că dacă VEd ≤ 0,5 VRd, nu este nici o influenţă (bazat pe rezultate experimentale), iar dacă VEd > 0,5 VRd capacitatea la moment scade, şi anume se admite o variaţie parabolică cu raportul VEd / VRd (Figura 3):

RdbRdpl

EdRdfRdRdfRdv M

V

VMMMM ,

2

,),,, 1

21(

(14)

Unde Mf,Rd este momentul capabil dat numai de tălpi (inclusiv efectul armăturii din placă).

6  

Figura 3. Interacţiunea între forţa tăietoar verticală şi momentul încovoietor dacă pierderea stabilităţii la forţă tăietoare eset nerelevantă [2]

3. Flambaj prin încovoiere-răsucire (EC4, §6.4)

3.1 Introducere [3]

Flambajul clasic prin încovoiere-răsucire (fără deformarea secţiunii) are loc atunci când talpa superioară a unei grinzi simplu rezemate nu este împiedecată să se deplasze lateral în zona de la mijlocul deschiderii. Se presupune că ambele tălpi sunt împiedecate să se deplaseze lateral la reazeme, unde elementul se poate roti liber în jurul unei axe verticale. Talpa superioară, care este comprimată, este impiedecată de inimă să flambeze vertical, dar dacă raportul între lăţimea sa bf şi deschidere L este mic, poate flamba lateral aşa cum se vede în Fig. 4(a). Secţiunea transversală se roteşte în jurul axei longitudinale, dar îşi menţine forma.

Trebuie verificat că flambajul prin încovoiere-răsucire nu are loc în timpul turnării betonului în cazul unei grinzi compozite nesprijinite; dar odată ce betonul s-a întărit, conexiunea de forfecare împiedecă flambajul de acest tip. Metodele de proiectare adecvate, fiind pentru grinzi metalice şi nu compozite, nu vor fi tratate aici.

În vecinătatea reazemelor interioare ale grinzilor continue, talpa inferioară comprimată a profilului metalic este rezemată lateral numai prin inima flexibilă aprofilului; dar placa împiedecă răsucirea secţiunii ca un întreg. Talpa poate să flambeze numai dacă inima se încovoaie, aşa cum se vede în Fig. 4(b). Acest fenomen este cunoscut ca „flambaj lateral cu deformarea secţiunii”, şi va fi subiectul acestui capitol.

Flambajul constă într-o deformată compusă dintr-o singură jumătate de undă de fiecare parte a reazemului interior, unde este întotdeauna prevăzută rezemare laterală. Semiunda se extinde pe cea mai mar parte a regiunii de moment negativ. Nu este sinusoidală, punctul de deplasare maximă fiind la o distanţă egală cu 2-3 înălţimi de grindă făţă de reazem, aşa cum se vede în Fig. 5.

Este improbabilă voalarea locală a tălpii, la care mişcarea este în esenţă verticală, nu laterală, şi unde deplasarea maximă a secţiunii transversale este la la distanţă de o lăţime de talpă de reazem. Sunt unele rezultate experimentale care arată că voalarea locală poate iniţia flambajul lateral, dar în proiectare sunt considerate separat şi în moduri diferite. De voalarea locală se ţine seama prin sistemul de clasificare a elementelor de oţel comprimate. Flambajul lateral este evitat prin reducerea momentului capabil de calcul la rezemul intern, MRd, la o valoare mai mică, Mb,Rd. Voalarea locală are loc atunci când raportul între lăţimea şi grosimea tălpii (bf/tf) este mare; flambajul lateral are loc atunci când acest raport este mic.

Acolo unde grinda este una dintre mai multe grinzi paralele, toate legate de aceea,si placă de beton sau compozită, după cum este obişnuit în clădiri, proiectarea este de obicei bazată pe

7  

modelul „cadrului continuu inversat în U”. Tendinţa tălpii inferioare de a se deplasa lateral produce încovoierea inimii de oţel şi răsucire la nivelul tălpii superioare, care este împiedecată prin încovoierea plăcii, ca în Fig. 4(c).

Figura 4 Flambaj lateral [3]

Figura 5 Deformaţia tipică a tălpii inferioare a grinzii de oţel la flambjul lateral cu deformarea secţiunii [3]

3.2 Verificare fără calcul direct (EC4, §6.4.3)

Verificarea prin calcul este laborioasă. În plus, dacă există pericolul de flambaj lateral trebuie prevazute contrafişe care deranjează funcţional. De aceea, pentru clădiri, este preferabil să se folosească profile şi alcătuiri constructive care îndeplinesc anumite condiţii, specificate în standard:

a) Lungimea deschiderilor adiacente nu diferă cu mai mult de 20% din deschiderea minimă.Când există o consolă, lungimea ei nu depăşeşte cu mai mult de 15% lungimea deschiderii adiacente.

8  

b) Încărcarea pe fiecare deschidere este uniform distribuită şi încărcarea permanentă de calcul depăşeşte 40% din încărcarea totală.

c) Talpa superioară a elementului de oţel este conectată la o placă din beton armat sau compozită conform EC4, §6.6.

d) Aceeaşi placă este de asemenea conectată la altă grindă aproximativ paralelă cu grinda compozită considerată, pentru a forma un cadru U invers cum este cel dn Figura 4c.

e) Dacă placa este compozită, ea reazemă pe cele două elemente ale cadrului U inversat considerat.

f) La fiecare reazem al grinzii de oţel, talpa inferioară este împiedicată lateral şi inima ei este rigidizată. În celelalte zone inima grinzii poate ramâne nerigidizată.

g) Dacă grinda de oţel are o secţiune transversală IPE sau HE fără înglobare în beton şi înălţimea ei nu depăşeşte limitele date în Tabelul 1.

h) Dacă grinda de oţel are înglobare parţială în beton conform EC4, §5.5.3(2) şi înălţimea ei nu depăşeşte cu mai mult de 200mm pentru oţel de până la S355 şi cu mai mult de 150mm pentru oţel S420 şi S460 limitele date în Tabelul 1.

Tip oţel Secţiune

S 235 S 275 S 355 S 420 şi 460

IPE 600 550 400 270

HE 800 700 650 500

Tabelul 1 : Înălţimea maximă pentru elemente de oţel fără înglobare în beton pentru care nu sunt necesare contrafişe.[1]

4. Starea limită de deformaţie Calculul săgeţilor se face pornind de la o analiza globală elastică.

Efectul interacţiunii parţiale asupra săgeţii poate fi neglijat dacă:

conectorii au fost proiectaţi cf. §6.6 din EN 1994-1-1;

> 0,5 sau PEd ≤ PRd, cu solictarea determinată elastic sub încărcările de serviciu;

în cazul plăcilor cu nervuri perpendiculare pe grindă hp ≤ 80 mm.

Efectul contracţiei betonului poate fi neglijat dacă L/h ≤ 20.

Trebuie ţinut cont de efectul fisurarii în zonele de moment negativ. Acest lucru poate fi făcut cu metodele date în §5.4.2.3 din EN 1994-1-1. Pentru calculul săgeţii este dată şi o metodă simplificată specifică în §7.3.1(6) şi §7.3.1(7).

Metoda recomandată în standardul European la §5.4.2.3 comportă următoarele etape:

Se face o “analiza nefisurata”, conderând rigiditatea EaI1 pentru toată grinda;

Pe baza diagramei de momente obţinută, se determină efortul unitar în fibra extremă de beton ct. În zonele unde ct > 2fctm se consideră betonul fisurat şi rigiditatea secţiunii va fi EaI2;

Se face apoi o “analiza fisurata”, cu rigidităţile modificate (EaI2 pentru zonele fisurate şi EaI1 pentru celelalte zone ale grinzii), pe baza căreia se determină săgeţile.

9  

În anumite cazuri particulare (care de altminetri sunt frecvent întâlnite) standardul European admite o metodă simplificată, care implică o singură analiză, „fisurată”, cu considerarea ca zone fisurate zonele adiacente rezemelor interioare pe o lungime egală cu 15% din deschiderea respectivă. Condiţiile de aplicare a acestei simplificări sunt:

Grinda să facă parte dintr-o structură contravantuită;

Raportul deschiderilor să nu depăşească 0,6;

În §7.3.1(6) se prevede calcularea săgeţii pe baza unei anlize „nefisurate”, urmată de reducerea momentelor pe reazeme cu un coeficient f1. Acest coeficient se determină din Figura 6. Daca deschiderile difera cu mai puţin 25% şi încărcarea distribuită este acceaşi, se foloseşte curba A; în caz contrar se foloseşte curba B, adică se consideră f1 = 0,6 pentru orice valoare a raportului I1/I2. Pentru aplicarea metodei secţiunile trebuie să fie de clasă 1,2 sau 3.

Figura 6 Reducerea momentelor pe reazem datorită fisurării [1]

Dacă la execuţie grinzile metalice nu au fost sprijinite este foarte posibil ca oţelul structural să intre în curgere la talpa inferioară şi acest lucru trebuie luat în considerare printr-o reducere suplimentară a momentelor pe reazeme cu coeficientul f2:

f2 = 0,5 dacă fy este atins înainte de întărirea plăcii de beton; f2 = 0,7 dacă fy este atins după întărirea plăcii de beton.

5. Starea limită de fisurare a betonului Un tip specific de SLS, relevant pentru grinzi continue şi grinzi de cadru, este fisurarea betonului, care trebuie verificată împreună cu SLS de deformaţie şi de vibraţii discutate în cursul privind grinzile simplu rezemate.

Spre deosebire de grinzile simplu rezemate, unde fisurarea nu putea apare decât din deformaţii (contracţia betonului) împidicate, aici fisurarea este produsă de întinderea din moment negativ.

Limitarea deschiderii fisurilor se poate face prin limitarea distanţei între bare, în funcţie de tensiunea s din armătură, confom tabelului 5 din cursul privind grinzile simplu rezemate (tabelul 7.2 din EC4).

Pentru determinarea efortului unitar din armătură, în lipsa unei metode mai precise, EC4 admite calculul următor (EC4, §7.4.3(3)):

10  

s = s,0 + s (15)

Unde s,0 este efortul unitar în armătură determinat pe secţiunea compozită (calcul elastic în stadiul II) sub acţiunea încărcărilor din gruparea cvasipermanentă, fără considerarea efectului de „tension stiffening”. Efectul de „tension stiffening” este luat în considerare prin termenul s care are expresia:

ss

ctms

f

4,0 (16)

Şi aa

s IA

AI (17)

În care:

fctm este rezistenţa medie la întindere a betonului pentru beton normal sau pentru beton uşor (flctm), din EC2, Tabelul 3.1 respectiv Tabelul 11.3.1;

s este coeficientul de armare s = As / Act ;

Act este aria efectivă a tălpii de beton din zona întinsă; pentru simplitate, se poate folosi aria secţiunii de beton din cadrul lăţimii efective;

As este aria totală a tuturor rândurilor de armături longitudinale din interiorul ariei efective Act

A, I sunt aria şi respectiv momentul de inerţie ale secţiunii compozite, cu neglijarea betonului din zona întinsă precum şi a tablei cutate, dacă există;

Aa, Ia sunt aria şi respectiv momentul de inerţie ale secţiunii de oţel.

6. Rezumat cu concluzii

În zonele de moment negativ de la reazeme betonul va fi întins şi talpa inferioară de oţel comprimată, ducând la posibilitatea voalării locale. Aceasta este luată în consideraţie prin clasificarea secţiunilor.

Momentul capabil plastic poate fi utilizat în cazul secţiunilor de clasă 1 şi 2.

Pentru secţiuni de clasă 3, trebuie făcut un calcul elastic şi determinat momentul capabil elastic.

Principiile calculului momentului capabil, atât plastic cât şi elastic, sunt similare cu cazul încovoierii cu moment pozitiv. Rezistenţa la întindere a betonului este neglijată.

Flambajul prin încovoiere-răsucire este un fenomen care poate fi evitat respectând anumite reguli de alcătuire.

Verificările în exploatare includ deformaţii, vibraţii precum şi fisurarea betonului. Aceasta din urmă are aspecte specifice pentru că întinderea din beton produsă de momentele negative poate produce fisuri cu deschideri inacceptabile, în timp ce la grinzi simplu rezemate fisurarea se datora numai contracţiei împiedicate şi era mai redusă. Calculul deformaţiilor trebuie să ţină seama de fisurarea betonului în zonele de moment negativ şi de posibila intrare în curgere a profilului metalic pe reazeme.