Suport Curs VOCATIONAL Unit 6. Spatii vectoriale. Baze si dimensiuni, coordonate, schimbarea...

8/16/2019 Suport Curs VOCATIONAL Unit 6. Spatii vectoriale. Baze si dimensiuni, coordonate, schimbarea bazelor.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/suport-curs-vocational-unit-6-spatii-vectoriale-baze-si-dimensiuni-coordonate 1/16

Unitatea 6

Spatii vectoriale, baze si dimensiuni, coordonate,schimbarea bazelor

SPAŢII VECTORIALE

§1. Definitie si exemple

Notiunea de spatiu vectorial constituie obiectul de studiu al algebrei liniare si reprezinta una dintre cele mai importante structuri algebrice utilizata în diferite ramuri ale matematicii precum si în disciplinele aplicate.

1.1 Definitie. O multime nevida V se numeste spatiu vectorial (liniar) pestecâmpul K (pe scurt K -spatiu vectorial) daca sunt indepliniteurmatoarele conditii:

I. (V, +) formeaza o structura de grup abelian (de tip aditiv), adicaa) ( x+y )+z = x+(y+z) , ∀ x, y, z∈ V

b) astfel încât , x +0 = 0 + x

c) , , x +(-x ) = (- x ) + x = 0

d) ,

II. Legea de compozitie externaϕ : K V, ϕ (α , x ) =α x, satisface axiomele:

a) α ( x + y ) = α x +α y

b) (α + β ) x =α x + β x

c) α ( β x ) = (αβ ) x

d) 1⋅ x = x,∀ α , β ∈ K , ∀ x, y∈ V .

Conditiile I si II reprezinta axiomele spatiului vectorial peste câmpulK .

Elementele multimii V se numesc vectori , elementele câmpului K se numesc scalari , iarlegea de compozitie externa se numeste înmultirea cu scalari.

Daca corpul comutativ K este corpul numerelor reale R sau complexe C , vom vorbi atuncidespre un spatiu vectorial real, respectiv spatiu vectorial complex.

În majoritatea cazurilor vom întâlni spatii vectoriale peste corpul numerelor reale si le vom numi simplu "spatii vectoriale", iar în celelalte cazuri vom indica câmpul scalarilor.

Daca notam cu 0V vectorul nul al grupului aditivV si cu 0

K scalarul nul, atunci din axiomele

care definesc spatiul vectorial V peste câmpul K avem urmatoarele proprietati:



1.2 Corolar Daca V este un spatiu vectorial peste câmpul K , atunci pentru,

x V , α K au loc proprietatile:

1) 0K x =0V

2) α 0V = 0V

3) (-1) x= -x .

Demonstratie : 1) Folosind axiomele IIb si IId avem 0K x =(0K + 0K ) x = =0K x + 0K x⇒ 0K x =0V.

2) Ţinând cont de I b si IIa, α 0V = α (0V +0V ) =α 0V + α 0V din care obtinem .

3) din axiomele grupului aditiv ale câmpuluiK , consecinta 1) si axioma Ic avem x + (-1) x = [1 + (-1)] x =

0K x = 0V de unde obtinem (-1) x= -x.

Exemple 1° FieK un corp comutativ. Ţinând cont de structura aditiva abeliana a câmpului K , atunci

multimea K reprezinta un K -spatiu vectorial. Mai mult daca K' ⊂ K este un subcorp, atunci K este unK '-spatiu vectorial. Multimea numerelor complexe C poate fi privita ca un C -spatiu vectorial sau R-spatiu vectorial respectiv Q-spatiu vectorial.

2° Multimea K n

= K × K × . × K , unde K este un corp comutativ, este un K -spatiu vectorial,numit spatiul aritmetic (standard ),în raport cu operatiile : ∀ x,y∈ V ,∀α ∈ K , x= ( x 1 , x 2 ,..,x n), y = (y 1 ,y 2 ,..,y n)

3° Multimea matricelor Mm×n(K ), este un K -spatiu vectorial în raport cu operatiile:

, ∀ A =(a ij ) , B =(bij ) ∈ Mm×n(K ) , ∀α ∈ K .

4° Multimea K [X] a polinoamelor cu coeficienti din câmpulK este un K -spatiu vectorial înraport cu operatiile:

, ,

∀ f = (a0 , a1 ,..), g =(b1 , b2 ,..) ∈ K [X] , ∀α ∈ K .



5° Multimea solutiilor unui sistem de ecuatii liniare si omogene formeaza un spatiu vectorialpeste câmpul K al coeficientilor acestui sistem. Solutiile unui sistem de m ecuatii cu n necunoscute,privite ca elemente din K n (n-uple), pot fi însumate si înmultite cu un scalar respectând adunarea siprodusul cu scalari definite pe K n.

6° Multimea vectorilor liberi V3 din spatiul punctual al geometriei elementare este un R-spatiu vectorial

Pentru a construi aceasta multime sa consideram spatiul geometric E 3 si multimea M = E 3 ×

E 3 = . Elementele multimiiM sunt numite bipuncte sau segmente orientate si vor fi notate prin .

Punctul A va fi numit originea iar B va fi numit extremitatea segmentului . În cazul în careoriginea si extremitatea coincid se obtine segmentul nul ( A, A). Dreapta determinata de punctele A si

B se numeste dreapta suport a segmentului . Doua segmente orientate au aceeasi directie daca

dreptele suport sunt paralele sau coincid.

Doua segmente orientate nenule si

cu aceeasi directie, au acelasi sens daca extremitatile lor se afla în acelasi semiplan determinatde dreapta ce uneste originile celor doua segmente,

Fig.1

Lungimea (modulul sau norma) unui segment orientat se defineste ca fiind lungimeageometrica a segmentului neorientat [AB], adica distanta de la punctul A la punctul B si va fi notata

cu | | (|| ||). Segmentul nul are lungimea zero .

Pe multimea M introducem relatia de echipolenta "~".

Doua segmente orientate si se zic echipolente daca acestea au aceeasi directie ,acelasi sens si aceeasi lungime, (fig.2) :

fig.2

Se verifica usor ca relatia de echipolenta este o relatie de echivalenta pe multimea M ( estereflexiva, simetrica si tranzitiva).



Multimea claselor de echivalenta, în raport cu aceasta relatie:

M /~ = = V 3

defineste multimea vectorilor liberi ai spatiului geometric E 3. Clasa de echivalenta a segmentului

orientat va fi notata cu si va fi numita vector liber iar segmentul orientat ∈ va

fi numit reprezentantul vectorului liber în punctul A. Directia, sensul si lungimea care sunt comunetuturor elementelor unei clase de echivalenta definesc directia, sensul si lungimea vectorului liber.Pentru lungimea unui vector liber vom folosi notatiile | | sau || ||. Vectorul liber de lungimea

zero se numeste vectorul nul si se noteaza cu . Un vector liber de lungime unu se numeste vectorunitate sau versor .

Doi vectori liber si sunt egali daca reprezentantii lor sunt doua segmenteorientate echipolente.

Doi vectori liberi care au aceeasi directie se numesc vectori coliniari . Doi vectori coliniari cuaceeasi lungime si de sensuri opuse se numesc vectori opusi .

Trei vectori liberi se numesc coplanari daca segmentele orientate corespunzatoare suntparalele cu un plan.

Multimea V3 poate fi organizata ca un grup aditiv abelian.

Daca vectorii liberi si sunt reprezentati de

segmentele orientate si respectiv , atunci vectorul reprezentat de segmentul orientat

defineste suma vectorilor si si se noteaza cu (fig. 3)

fig.3

Regula ce defineste suma a doi vectori liberi si este numita regula paralelogramelor(sau regula triunghiului).

Suma a doi vectori liberi "+": V3 × V3 → V3, este o lege de compozitieinterna bine definita (nu depinde de alegerea reprezentantilor). Axiomele de grup aditiv abelian suntusor de verificat.

Legea de compozitie externa

ϕ : K × V3 → V3,



unde vectorul este caracterizat de aceeasi directie cu , acelasi sens daca , sens opus

daca si || || = | | || ||, satisface axiomele grupei a II-a din definitia unui spatiuvectorial.

În concluzie,cele doua operatii definite pe V3 , satisfacând axiomele grupei I si II, înzestreaza multimea vectorilor liberi cu o structura de spatiu vectorial real.

§ 2. Subspatii vectoriale

Fie V un spatiu vectorial peste câmpul K .

2.1 Definitie. O submultime nevida U V se numeste subspatiu vectorial allui V daca operatiile algebrice de pe V induc pe U o structurade K -spatiu vectorial.

2.2 Teorema. Daca U este o submultime a K -spatiului vectorial V , atunciurmatoarele afirmatii sunt echivalente:

1° U este subspatiu vectorial în V

2°∀ x, y ∈ U , ∀ α∈ K avem

a) x + y ∈ U

b) α x ∈ U

3°∀ x, y ∈ U , ∀ α , β ∈ U ⇒ ∀ α x + β y∈ U .

Demonstratie

1° → 2°: daca U ⊂ V este un subspatiu rezulta ca pentru si pentru

si , întrucât cele doua operatii induc pe submultimea U ostructura de spatiu vectorial.

2° → 3°: si .

3° → 1°: si pentru α = 1, β = -1 rezulta ca x - y∈ U ceea ce demonstreaza ca U

⊂ V este un subgrup abelian. Pe de alta parte pentru , si

iar axiomele II din definitia unui spatiu vectorial se verifica imediat, decisubmultimea U ⊂ V poseda o structura de spatiu vectorial.

Exemple



1° Multimea ⊂ V este subspatiu în V , numit subspatiul nul al lui V . Orice subspatiu diferitde spatiul vectorial V si de subspatiul nul se numeste subspatiu propriu .

2° Multimea matricelor simetrice (antisimetrice) de ordinul n este un subspatiu al multimiimatricelor patratice de ordinul n.

3° Multimea polinoamelor cu coeficienti reali de grad ≤ n, R[X] = reprezinta un subspatiuvectorial al spatiului vectorial al polinoamelor cu coeficienti reali.

4° Submultimile

R x =⊂ R2 Ry =⊂ R2.

sunt subspatii vectoriale ale spatiului aritmetic R2. Mai general, multimea punctelor de pe oricedreapta ce trece prin originea spatiului R2, determina un subspatiu vectorial. Aceste subspatiivectoriale reprezinta multimea solutiilor unor ecuatii liniare si omogene în doua necunoscute.

2.3 Propozitie. Fie V 1 si V 2 doua subspatii în K -spatiul vectorial V .Submultimile V 1 ∩ V 2 ⊂ V si V 1 + V 2 =

= sunt subspatiivectoriale.

Demonstratie. Pentru ∀ x, y ∈ V 1 ∩ V 2 ⇒ x, y ∈ V 1 si cum V 1 si V 2 sunt subspatii

vectoriale ale lui V rezulta ca pentru avem si , deci α x + β y ∈ V 1 ∩ V 2. Folosind Teorema 2.1 rezulta prima parte a propozitiei.

Daca si atunci pentru ,

. Cum V 1 si V 2 sunt subspatii

vectoriale, ⇒ si , c.c.t.d.

Observatie. Submultimea V 1 ∪ V 2 ⊂ V nu este un subspatiu vectorial.

Exemplu. Subspatiile vectoriale R x si Ry definite în exemplul 4°, verifica relatiile:

R x ∩ Ry = siR x + Ry = R2.

În adevar, daca ( x, y ) ∈ R x ∩ Ry ⇔ ( x, y ) ∈ R x si ( x, y ) ∈ Ry ⇔ y = 0 si x = 0, ceea ce dovedeste casubspatiul R x ∩ Ry este format numai din vectorul nul.

Pentru ∀ ( x, y ) ∈ R2 , ∃ ( x , 0)∈ R x , ∃ (0, y )∈ Ry , astfel încât ( x, y ) = ( x, 0) + (0 , y) ceea ce

demonstreaza ca R2 ⊂ R x + Ry . Incluziunea inversa este evidenta.

2.4 Propozitie. Fie V 1 , V 2 ⊂ V doua subspatii vectoriale si v ∈ V 1 + V 2.



Descompunerea este unica daca si numai dacaV 1 ∩ V 2 = .

Demonstratie: Necesitatea conditiei o demonstram prin reducere la absurd. Presupunem ca V 1 ∩ V 2

≠ ⇒ ∃ v ≠ 0 ce poate fi scris v =0 +v sau v = v+ 0, ceea ce ar contrazice unitatea scrierii, deci V 1 ∩ V 2 = .

Pentru a demonstra suficienta conditiei admitem ca . Deoarece

si , vectorul este continut în V 1 ∩ V 2. Cum V 1 ∩

V 2 = rezulta ca si , adica unicitatea descompunerii.

Daca V 1 si V 2 sunt doua subspatii vectoriale ale subspatiului vectorial V si V 1 ∩ V 2 = atuncisuma V 1 + V 2 se numeste suma directa si se noteaza cu V 1 ⊕ V 2. În plus, daca V 1 ⊕ V 2 = V , atunci V 1 siV 2 se numesc subspatii suplimentare . În cazul în careV 1 ⊂ V este un spatiu vectorial dat si exista ununic subspatiu V 2 ⊂ V astfel încât V = V 1 ⊕ V 2, atunci V 2 se numeste complementul algebric alsubspatiului V 1.

Exemplu. Subspatiile vectoriale R x si Ry , satisfacând proprietatile R x ∩ Ry = , R x + Ry = R2, suntsubspatii vectoriale suplimentare, iar spatiul aritmetic R2 poate fi reprezentat sub forma R2 = R x ⊕ Ry .Acest fapt permite ca orice vector ( x, y ) ∈ R2 sa poata fi scris în mod unic ca suma vectorilor ( x, 0) ∈ R2 si (0 , y ) ∈ R2, ( x, y ) = ( x, 0) + (0 , y ).

Observatie. Notiunile de suma si suma directa pot fi extinse la un numar finit de termeni.

2.5 Definitie. Fie V un spatiu vectorial peste câmpul K si S o submultimenevida a sa. Un vector v∈ V de forma

K, x i∈R (2.1)

se numeste combinatie liniara finita de elemente din S. 2.6 Teorema. Daca S este o submultime nevida a lui V , atunci multimea

tuturor combinatiilor liniare finite de elemente din S , notata cuL( S ) sau <S> , este un subspatiu vectorial al lui V , numitsubspatiul generat de submultimea S sau acoperirea liniara alui S.

Demonstratie Aplicând rezultatul teoremei 2.1 pentru ∀ x, y ∈ L(S), ∀ α , β ∈ K ,

suma reprezinta tot o combinatie

liniara finita cu elemente din S, deci .

2.7 Consecinta. Daca V 1 si V 2 sunt doua subspatii vectoriale ale spatiului



vectorial V atunci L(V 1∪ V 2)=V 1 + V 2.

Demonstratia este imediata.

2.8 Definitie. O submultime S ⊂ V se numeste sistem de generatori pentruspatiul vectorial V daca subspatiul generat de submultimea S coincide cuV , L (S)=V .

Daca submultimea S este finita, si pentru orice vector v ∈ V , ∃ λ i ∈ K , astfel încât

, atunci spunem ca spatiul vectorial V este finit generat.

O generalizare a notiunii de spatiu vectorial este data de notiunea de varietate liniara.

2.9 Definitie. Se numeste varietate liniara în spatiul vectorial V osubmultime L ⊂ V pentru care exista un vector x 0 ∈ L astfel

încât multimea este un subspatiuvectorial al luiV .

Subspatiul V L se numeste subspatiul director al varietatii liniare L.

Exemplu . Sa consideram spatiul vectorial

standard R2

înzestrat cu sistemul axelor decoordonate x O y (fig. 4)

Sa consideram o dreapta L care trece prin punctul . Punctul

, ∀ (a, b) ∈ L este situat pe o dreapta paralela cu L⊂ R2 ce trece prinorigine (demonstratia este imediata).

fig.4



În concluzie submultimea punctelor din spatiul vectorial R2 situate pe orice dreapta ( L) dinplan reprezinta o varietate liniara având drept spatiu vectorial director dreapta ce trece prin originesi care este paralela cu dreapta ( L).

Un subspatiu vectorial reprezinta un caz particular de varietate liniara; este acea varietateliniara a spatiului vectorial V ce contine vectorul nul al spatiului vectorial V (v 0 = 0).

Fie V un K -spatiu vectorial si submultimea S =⊂ V .

2.10 Definitie. Submultimea de vectori S = ⊂ V se numeste liniarindependenta ( libera sau vectorii

x 1 , x 2 , ., x n sunt liniar independent) daca egalitatea

, λ i ∈ K , , are loc numai

daca .

O multime (finita sau nu) de vectori dintr-un spatiu vectorial este liniar independenta dacaorice sistem finit de vectori este un sistem de vectori liniar independenti.

2.11 Definitie. Submultimea de vectori S =⊂ V se numeste liniar dependenta (legata sau vectorii x 1 , x 2 ,.., x n sunt liniar dependenti), daca (∃)λ 1 , λ 2 , ., λ p ∈ K

nu toti nuli pentru care .

Remarca: Daca anularea unei combinatii liniare finite, formata cu vectorii x 1 , x 2 , ., x n ∈ V, permiteexprimarea unui vector în functie de ceilalti (adica existenta macar a unui coeficient nenul) atuncivectorii x 1 , x 2 , ., x p sunt liniar dependenti, în caz contrar acestia sunt liniar independenti.

2.12 Teorema. Daca S = ⊂ V este o multime liniar independenta si L(S) acoperirea liniara a lui S , atunci orice multime de p + 1elemente din L(S) este liniar dependenta.

Demonstratie . Fie vectoriiy i = ij x j , i = 1,2,., p + 1 din acoperirea liniara L(S).

Relatia λ 1y 1 + λ 2y 2 + .+λ p+1y p+1 = 0 este echivalenta cu . Ţinând cont ca

vectorii sunt liniar independenti obtinem pentru relatiile λ 1a1 j + λ 2a2 j ++.+λ p+1a p+1 j = 0, care reprezinta un sistem de p ecuatii liniare cu p + 1 necunoscute (λ i ), admite sisolutii diferite de solutia banala, ceea ce înseamna ca vectorii y

1 , y

2 ,., y

p+1 sunt liniar dependenti,

c.c.t.d.



§3. Baza si dimensiune

Fie V un K -spatiu vectorial

3.1 Definitie. O submultime B (finita sau nu) de vectori din V se numestebaza a spatiului vectorial V daca:

1) B este liniar independenta

2) B reprezinta un sistem de generatori pentru V .

Spatiul vectorial V se zice ca este finit generat sau finit dimensional daca exista un sistemfinit de generatori.

3.2 Teorema. (de existenta a bazelor) Daca V ≠ este un spatiu vectorial finitgenerat si S este un sistem de generatori pentru V , atunciexista o baza B ⊂ S a spatiului vectorial V . (Din orice sistem finit de generatori al unui spatiu vectorial se poate extrage obaza).

Demonstratie: Mai întâi sa demonstram ca S contine si vectori nenuli. Presupunem ca S = , atunci

poate fi scris sub forma x = λ ° 0 = 0 (S - sistem de generatori) absurd ceea ce arataca presupunerea facuta este falsa, deci S ≠ .

Fie acum x 1 ∈ S un vector nenul. Multimea L =⊂ S reprezinta un sistem liniar independent.Continuam sa adaugam vectori nenuli din S pentru care submultimea L sa reprezinte o multime liniarindependenta. Sa presupunem ca S contine n elemente, atunci S are 2n submultimi finite. Dupa unnumar finit de pasi vom gasi L⊂ S, un sistem de vectori liniar independenti si pentru ∀ L'⊂ S' cu L⊂ L' , L' reprezinta o submultime liniar dependenta ( L este maximal în sensul relatiei de ordine).

L este un sistem de generatori pentru V . În adevar, daca L= pentru m = n⇒ L = S si este un

sistem de generatori, iar daca m < n, atunci , reprezinta un

sistem de vectori liniar dependeti ( L este maximal) si , x i ∈ L, .

Rezulta ca λ ∈ K , x i ∈ L, . Multimea L satisface conditiile teoremei 4.1deci formeaza o baza a spatiului vectorial V, c.c.t.d.

3.3 Consecinta. Daca V ≠ si S ⊂ V un sistem finit de generatori si L1 ⊂ S unsistem liniar independent, atunci exista o baza B a spatiuluivectorial V , asa încât L1 ⊂ B ⊂ S.



Scalarii λ 1 , λ 2 ,., λ n se numesc coordonatele vectorului x în baza B, iar bijectiile

, se numeste sistem de coordonate pe V .

3.7 Teorema. (Steinitz-teorema schimbului). Daca B =

este o baza în spatiul vectorial V n si S = este un sistem devectori liniar independenti din V n atunci p ≤ n si dupa oeventuala renumerotare a vectorilor bazei B , sistemul B ′ =reprezinta de asemenea o baza pentru V .

Demonstratie: Aplicând rezultatul consecintei 3.3 si faptul ca orice doua baze au acelasi cardinalrezulta ca p ≤ n.

Pentru a doua parte a teoremei folosim metoda inductiei matematice complete. Pentru p =

1, f 1 ∈ V se scrie în baza B sub forma .Cum f 1 ≠ 0 rezulta ca exista cel putin un λ i ≠ 0.

Admitând ca λ 1 ≠ 0 avem , adica este un sistem de vectori generatoriai spatiului V n, deci o baza. Admitând ca este o baza atunci vectorul f p ∈ S se poate exprima subforma f p = µ 1 f 1 + µ 2 f 2+.+ µ p-1 f p-1+ µ pe p+.+ µ nen. În aceasta relatie cel putin un coeficient dintre µ p,µ p+1,., µ n este nenul, caci în caz contrar multimea S ar fi liniar dependenta. Facând eventual orenumerotare a vectorilor e p , e p+1, ., en, putem presupune ca µ p ≠ 0 si obtinem

, din care rezulta ca este unsistem de n vectori generatori ai spatiului n-dimensional V n, deci o baza pentru V n, c.c.t.d.

3.8 Consecinta. (teorema completarii) Orice sistem de vectori liniarindependenti dintr-un spatiu vectorial V n poate fi completat pâna la o baza în V n.

3.9 Consecinta. Orice subspatiu V ' al unui spatiu vectorial finit generat V n admite cel putin un subspatiu suplimentar.

3.10 Teorema. (Grassmann - teorema dimensiunii). Daca V 1 si V 2 sunt douasubspatii vectoriale ale K -spatiului vectorial V n atunci

din ( V 1 + V 2 ) = dimV 1 + dimV 2 - dim(V 1 V 2) (3.1)

Demonstratie: Fie o baza a subspatului (V 1∩V 2)⊂ V 1.

În virtutea consecintei 3.8 putem completa acest sistem de vectori

liniar independenti la o baza în V 1 , fie aceasta data de multimea



B1=.În mod similar consideram în spatiul vectorial V 2 , baza B2 =. Se demonstreaza usor casubmultimea B = ,este un sistem de generatori pentru V 1+ V 2. Submultimea B este liniarindependenta. In adevar ,

,

ceea ce înseamna ca vectorul , deoarece suma din membrul stângreprezinta un vector al subspatiului V 1 iar cea din membrul drept un vector din V 2. În spatiul V 1∩V 2

avem ⇔ γr+1 = γr+2 = ... =γr+p = δ1 = δ2 = ... =δ r =0.

Folosind acest rezultat în prima relatie si tinând cont de faptul ca B1 este o baza în V 1 rezulta α 1 = α 2 = . =α r = β r+1 = β r+2 = . = 0, deciB este liniar independenta, adica o baza în V 1+V 2.

În aceste conditii putem scrie dim (V 1+V 2) = r + s + p = = (r +s) + (r + p) - r = dimV 1 + dimV 2 -dim(V 1∩V 2). c.c.t.d.

3.11 Consecinta. Daca spatiul vectorial V n este reprezentat sub forma V 1 = V 1 ⊕ V 2 atunci dimV n = dimV 1 + dimV 2.

Sa consideram un K -spatiu vectorial V n si B = respectiv B′ = doua baze în V n. Orice vector dinB′ poate fi exprimat în functie de elementele celeilalte baze. Asadar avem relatiile:

sau (3.2)

Notând cu B = t [e1, e2,., en], B′ = t [e′1, e′2,., e′n] si cu matricea de tip n × n,

care are drept coloane coordonatele vectorilor e′ j , , relatiile (4.2) pot fi scrise sub forma

B = t AB (3.2)′

Fie acum un vector x ∈ V n, exprimat în cele doua baze ale spatiului vectorial V

n prin

relatiile:



si respectiv (3.3)

Ţinând seama de relatiile (3.2), obtinem

.

Cum B este baza, egalitatea este echivalenta cu

, (3.4)

relatii ce caracterizeaza transformarea de coordonate ale unui vector la o schimbare a bazeispatiului vectorial V n .

Daca notam cu X = t [ x 1, x 2,., x n] matricea coloana a coordonatelor vectorului x∈ V n în baza B si respectiv cu X′ = t [ x ′1, x ′2,., x ′n], matricea coordonatelor aceluiasi vector x∈ V n în baza B′, putemscrie

X = AX (3.4)′

Matricea A = (a ij ) se numeste matricea de trecere de la baza B la baza B′. În concluzie,într-un spatiu vectorial finit dimensional avem teorema de schimbare a bazei :

3.12 Teorema. Daca în spatiul vectorial V n , schimbarea bazei B cu baza B ′ este data de relatia B′ = t AB , atunci relatia întrecoordonatele unui vector x ∈ V n , în cele doua baze ,estedata de X = AX .

Fie V n un spatiu vectorial si B = o baza a sa. Daca vectorii v 1, v 2,., v p ∈ V n, p ≤ n sunt

exprimati prin relatiile v j = ij ei , atunci matricea A = (a ij ), având drept coloane coordonatelevectorilor v1 , v 2 ,.,v p, va fi numita matricea de trecere de la vectorii e1 , e2 ,...,en la vectorii v1 , v 2 ,., v p .

3.13 Teorema. Rangul matricei A este egal cu numarul maxim al vectorilorcoloana liniar independenti.

Demonstratie Sa presupunem ca rang A = r, adica



∆ = ≠ 0.

∆ ≠ 0 implica liniar independenta vectorilor v 1 , v 2 , ..., v r .

Fie coloana v k , r ≤ k ≤ p si determinantii

∆i = ,

Fiecare din acesti determinanti este nul deoarece pentru i ≤ r , ∆i are doua linii identice, iarpentru i > r , ordinul lui∆i este mai mare decât rangul r. Dezvoltând dupa ultima linie avem

a i1Γ i1 +ai2 Γ i2 +.+a ir Γ ir + ail D = 0 ail= j aij; j =Γ ij ⁄ D,

Aceste relatii scalare exprima faptul ca orice coloana v k , r ≤ k ≤ p, este o combinatie liniara

a primelor r coloane ale matricei A, deci orice r + 1 vectori sunt liniar dependenti.

3.14 Consecinta. Daca B = este o baza în V n , atunci multimea B ′ = ,

este baza a lui V n daca si numaidaca matricea de trecere A = (aij ) este nesingulara.

Fie V si W doua spatii vectoriale peste câmpul K .

3.15 Definitie. O aplicatie T : V → W cu proprietatile:

T (x + y) = T(x) + T(y),∀ x, y∈ V

T (α x ) =α T ( x ) ,∀ x∈ V , ∀ α ∈ V

se numeste morfism de spatii vectoriale sau transformareliniara .

O transformare liniara bijectiva între doua spatii vectoriale va fi numita izomorfism de spatii vectoriale.



3.16 Teorema. Doua spatii vectoriale V si W peste câmpul K , dedimensiune finita, sunt izomorfisme daca si numai daca auaceeasi dimensiune.

Un sistem de coordonate pe un spatiu vectorial finit dimensional V n, f : V → K n , x ∈ V n ( x 1, x 2, x n)∈ K n este un izomorfism de spatii vectoriale.

(Sursa: http://www.scritube.com/stiinta/matematica/SPATII-VECTORIALE84892.php)

Suport Curs VOCATIONAL Unit 6. Spatii vectoriale. Baze si dimensiuni, coordonate, schimbarea...

Documents

Transcript of Suport Curs VOCATIONAL Unit 6. Spatii vectoriale. Baze si dimensiuni, coordonate, schimbarea...