Campurile vectoriale ca operatori liniari si derivari

7/25/2019 Campurile vectoriale ca operatori liniari si derivari

1/85

INTRODUCERE

Prezenta lucrare contine notiuni teoretice si aplicatii interesante refer-itoare la campuri de vectori .Lucrarea este structurata in trei capitole :

Capitolul I Campuri vectoriale

In acest capitol sunt descrise campurile scalare si campurile vectoriale ca fiind

modele matematice derivate din legi ale naturii din care citam urmatoarele exemple :

1)legea vitezei de sublimare a moleculelor si legea presiunii necesare

aparitiei fenomenului de sublimare ,conditia de echilibru si expresia volumu-

lui in procesul de obtinere in cosmos o unor produse in forma de sfere .

2)viteza de evolutie locala a unui sistem biologic format dintr-o specie

rapitor si o specie prada, campul gravitational , campul electrostatic

, campul vitezelor in masa unui fluid si gradientul unui camp scalar.

Sunt prezentate teorema functiei inverse si teorema functiei implicite care stau la baza geome-

triei diferentiale.Partea elementara din aceasta geometrie se refera la subvarietatiile lui IRn .Sunt puse

in evidenta unele proprietati cantitative sau calitative ale campurilor scalare si vectoriale de derivata

in raport cu un vector sau cu un camp vectorial tratate in subcapitolul 1.4 sau de operatorii gradient,

hessiana, rotor, divergenta sau laplacian prezentati in subcapitolul 1.6.In subcapitolele 1.5, 1.7 sunt de-

scrise alternative de definire a vectorilor tangenti ,si deci a campurilor vectoriale , impuse de nevoile de

abstractizare si anume in trecerea de la IRn la varietati diferentiabile finit sau infinit dimensionale .

Capitolul II Campuri vectoriale particulare

In acest capitol se dezvolta teoria de reprezentare locala a cam-

purilor vectoriale si se realizeaza legaturi intre campurile vectoriale cu

semnificatii fizice si campurile vectoriale cu semnificatii geometrice.

Campurile vectoriale irotationale de clasa C1sunt local potentiale, iar potentialele se determina

cu ajutorul integralei curbilinii de al doilea tip. Daca lucram pe intervale n-dimensionale sau pe mul-

timi convexe este suficienta integrala simpla si rezultatele sunt globale.Campul magnetic exterior gen-

erat de un curent care circula printr-un conductor cilindric este irotational descris in subcapitolul 2.1.

Campurile vectoriale cu simetrie sferica sunt campuri global potentiale, cele mai des in-

talnite fiind campurile newtoniene si campurile electrostatice prezentate in subcapitolul 2.2.

Campurile vectoriale solenoidale de clasa C1pe multimi deschise din IR3admit potentiali vectori

locali.Campurile vectoriale de clasa C pe multimi deschise din IRn, n 3,admit reprentarea locala :

1


2/85

X=gradf1 .. gradf n1

Un exemplu de campuri solenoidale sunt campurile vitezelor unui fluid

incompresibil si campul Biot-Savart descrise in subcapitolul 2.3.

Orice camp vectorial de clasa C pe o multime deschisa si conexa din IR3 ad-

mite reprezentarea locala Monge,X=gradh+fgradgsi reprezentarea locala Stokes, X=gradh+rotY.(2.4.)

Numim campuri armonice campurile vectoriale irotationale si solenoidale . Cel mai sug-

estiv exemplu este campul vitezelor pentru un fluid incompresibil prezentat in subcapitolul 2.5.

Pentru campurile vectoriale Killing prezentate in subcapitolul 2.6, campurile vectoriale

conforme pezentate in subcapitolul 2..7, campurile afine sau proiective pe IRnprezentate in subcapitolul

2.8 avem expresii explicite. Campurile vectoriale torsionale descrise in subcapitolul 2.9, sunt intere-

sante cel putin prin cazurile particulare: campuri concirculare, campuri concurente, campuri recurente si

campuri paralele .Campurile newtoniene si campurile electrostatice, cu simetrie sferica , sunt torsionale.

Capitolul III Probleme referitoare la campuri de vectori

In acest capitol sunt date problemele

referitoare le campuri vectoriale speciale, rezolvate intr-o maniera moderna. Sunt abordate chestiuni de

natura locala si globala. Avand in vedere diversitatea si complexitatea notiunilor teoretice care intervin in

lucrare, fapt ce face mai dificila manevrarea acestora, am urmarit de regula, prezentarea unor solutii com-

plete, insotite adeseori de observatii care contin comentarii ce pun in evidenta proprietati suplimentare.

Multumesc coordonatorului stintific al acestei lucrari , doamna Mariana Popescu pentru ajutorul acordat.

1.CAMPURI VECTORIALE

1.1 CAMPURI SCALARE

Fie IR multimea numerelor reale si IRn spatiul euclidian canonic cu dimensiunea n.

Definitie.Ofunctie de tipulf :IRnIRse numestecamp scalarpeIRn.. Pentru prescurtare campul scalar se noteaza cu f, iar valoarea sa in punctulx = (x1, . . . ,xn) cuf(x).

Definitie.Un camp scalar continuu se numeste de clasa C0 .

2


3/85

Definitie.Un camp care are derivate partiale continue pana la or-

dinul p inclusiv (p = 1,2,. . . ) se numeste de clasa C p.

Definitie.Un camp scalar care admite o dezvoltare in serie Tay-

lor in vecinatatea oricarui punct xIRn

se numeste de clasa C sauanalitic.Observatie. Fie S o submultime oarecare

a lui IRn.Campul scalar f :SIR se numeste de clasa C P, p 1 ,daca exista o multime deschisa D IRn care include pe S si un camp scalar F :D IR de clasa C p, p 1, astfel incat f = FS.

Fief :IRnIRun camp scalar de clasa C1. Solutiile sistemului :

se numesc puncte critice ale campului scalar f .Punctele in care cel putin una din

derivatele nu se anuleaza se numesc puncte regulate pentru f.

Fie c un numar real .Multimea MC = f1(c) = (x1, . . . . ,xn)(x1, . . . . ,xn)

IRn , f(x1, . . . . ,xn) = c se numeste multime de nivel constant c sau multime de ecu-atie carteziana implicita f(x1, . . . . ,xn)=c. Pe scurt se scrie Mc : f(x1, . . . . ,xn) = c .

Evident , daca c /f (IRn) , atunci Mc = .

Denumirilepunctele de nivel constant , curbe de nivel constantsi suprafete de nivel constant

se utilizeaza pentru anumite mutimi de nivel constant in cazurilen = 1, n = 2, respectiv n =3 (fig 1.3).

Daca privim pe c ca fiind variabil in IR , atunci ecuatiile f (x1,..,xn) = c reprez-

inta o familie de multimi de nivel constant. Aceasta familie are propietatiile :1) prin fiecare punct trece o multime de nivel constant si anume

prin x0 = (x10, . . . . . ,xn0) IRn trece multimea pentru care c = f(x0) ;

2) doua multimi de nivel constant nu pot avea nici un punct comun .

Daca ar avea unul , ele ar trebui sa coincida si acest lucru este con-

secinta a faptului ca fiecare valoare a unei functii este unica .

Multimile de nivel constant atasate

functieifsunt strans legate de graficul lui f, impreuna servind la descrierea unor proprietatii calitative

ale campurilor scalare .Graficul campului scalarf :IRnIReste submultimea luiIRn+1 definita prin :

G(f ) = (x1, . . . . ,xn,xn+1)(x1, . . . . ,xn) IRn ,xn+1= f(x1, . . .xn),

Asadar se observa ca Mc nu este altceva

decat proiectia pe IRn a sectiunii graficului luif prin hiperplanulxn+1 = c. Pe de alta parte, G(f ) este

multime de nivel constant zero atasata functiei F : IRn+1 IR , F(x1, . . . ,xn+1) = f(x1, . . . ,xn) - xn+1 .

3


4/85

In general MC contine atat punctele regulate cat si punctele critice ale

lui f. Punctele critice ale lui f care fac parte din Mc se numesc puncte critice

sau singulare ale lui Mc .

Dacaf este un polinom de graduln, atunciMcse numestehipersuprafata algebrica de ordinuln.

In particular avem urmatoarele denumiri : hipersuprafete algebrice de or-

dinul unu (hiperplane), hipersuprafete algebrice de ordinul doi (hipercvadrice).

Exemple. Sa consideram campurile scalare definite pe IR2 respectiv prin :

x2+y2(-x2-y2) ,x2-y2, -3xy2,x2,x2y2.

Acestea se vizualizeaza fie prin graficele corespunzatoare care au respectiv alura din de-

senele de mai jos , fie prin curbele de nivel constant care sunt schitate in figurile de mai jos .

0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData z z

0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNo-GraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData

0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNo-

GraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic:

StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData o o y

0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData y

x

0x08 graphic: StrangeNoGraphicData y x

0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData Figura 1.1



StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData

z

0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData




GraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData

4


5/85


0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData x 0

0x08 graphic: StrangeNoGraphicData

y

0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData y


0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData -1

1 1

0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0 0 x

0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0 0

-1

0x08 graphic: StrangeNoGraphicData Figura 1.2

0x08 graphic: StrangeNoGraphicData y

0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData z



0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic:

StrangeNoGraphicData -1 0 0 1


StrangeNoGraphicData x

0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0 0


StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic:

StrangeNoGraphicData 0 y

1 -1

x

Figura 1.3

0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData y y


5


6/85



0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 2 2

1 1 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData


StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 2 1 0 1 2 x 1 0 1 x

2 2

Figura 1.4

Aplicatii.

1)Intr-un mediu cosmic asemanator vidului are loc sublimarea metalelor .Viteza de sub-limare a moleculelor de la suprafata corpurilor formate din substante anorganice se determina cu relatia

V = (1)

unde V este viteza de sublimare , p este presiunea vaporilor materialului , M este

masa moleculara a vaporilor materialului, iar T este temperatura absoluta .Relatia cu aju-

torul careia se determina presiunea necesara aparitiei fenomenului de sublimarea este :

lgp = A-B/T , A, B = const > 0. (2)

Un model matematic allegii fizice (1) este un camp scalarf : D IR, D= IR (-,0] (-,0) IR [0,) (0,) IRn,

f(x, y,z) = (sau o restrictie a acesteia ).

Multimile de nivel constant atasate functiei f sunt submultimi din D caracterizate prin ecu-

atii carteziene implicite c2z = x2y.Acestea sunt suprafete riglate deoarece sectiunile lor prin planele

x = k sunt portiuni de drepte, x = k a2z = k2y.Graficul lui f este o hipersuprafata a lui IR4 .

Relatia fizica (2) este strans legata de functia f : IR \0 IR,

f(z) = , A , B = const > 0 sau de restrictia f (0,T]

Tabelul de variatie al luifeste (fig. 1.5)

6


7/85

0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraph-

icData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData z - 0 1\2

0x08 graphic: StrangeNoGraphicData f 2

(z) 0 + + 0 + + 0 0

0x08 graphic: StrangeNoGraphicData f 3(z) + + 0

0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData f(z) eA 0 eA

0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData f (z)

0x08 graphic: StrangeNoGraphicData (0,eA)



0 (1/2,0) z

Figura 1.5

2) Procesul de obtinere in cosmos a unor produse sub forma de sfere incepe cu dilatarea unei

bile (in stare lichida) prin intermediul injectarii de gaze sub presiune in interior.Diametrul interior D 1al cavitatii in care se afla gazul este determinat de presiunea gazului p2 si de tensiunea a lichidu-lui ce o inconjoara .La randul ei tensiunea este determinata de diametrul bilei D2si de presiuneaexterioara p0.Conditia de echilibru pentru fiecare punct de pe suprafata sferica este data de relatia:

p2-p0= 4 (3)

unde D1 este diametrul interior , iar D2 este diametrul exterior al inelului sferic (fig. 1.6)


StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNo-

GraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData


0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData S

0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08

graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic:


GraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraph-

icData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData




7


8/85

StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData D1


graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic:

StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNo-GraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphic-

Data 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData D2


StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraph-

icData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData P2


GraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData V=const

Figura 1.6

Singura marime constanta a procesului este volumul V al materialului stabilit initial pentru

obtinerea grosimii finale S a peretilor si a diametrului exterior D2 .Dependenta dintre presiunea in-terioara p2, diametrul exterior D2si volumul V al materialului este data de relatia urmatoare :

V = (4)

Legea (3) sugereaza campul scalarf : E IR, E =IR3 \ (yOz xOz),f (x, y,z) = 4z .

Multimile de nivel constant ale lui fsunt portiunile din E ale conurilor de ecuatii cxy = zy zx.

Graficul luif este o hipersuprafata a luiIR4. Campul scalar ,

cu domeniul de definitie maxim posibil (din punct de vedere matematic), care modeleaza legea (4) este :

f :EIR,E =IR3 \ (yOz) (x,y,z) IR3,y - 4z= 0),

f (x, y, z) =

Fata de aceasta , legea (4) reprezinta multimile de nivel constant pozitiv ale unei restrictii a luif.

1.2. Campuri vectoriale

FieIRn spatiul vectorial (real) euclidian canonic cu dimensiunea n.

8


9/85

Ca orice spatiu vectorial euclidian, IRn este implicit un spatiu punctual euclidian.

Fiex si y doua puncte oarecare din

IRn. Perechea ordonata (x, y) se numeste vector tangentla IRn in punctulx (segment orientat , vector

legat) si se reprezinta grafic printr-o sageata care incepe din punctulxsi se termina in punctul y(fig 1.7). 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData y X x

x x

Figura 1.7

Definitie. Punctul x se numeste originea sau punctul de apli-

catie al vectorului tangent, iar y se numeste extremitata sa .

Definitie. Daca x = (0, 0, . . . , 0) este originea lui IRn

, atunci (x, y) se numeste vec-torul de pozitie al punctului y.Punctul X= yx se numeste partea vectoriala a vectorului tangent

si in loc de (x , y) putem nota Xx sau chiar X daca punctul de aplicatie se subintelege .

Din definitia vectorului tangent laIRn intr-un punct rezulta ca vectorii tangentiXxsi YY coincid

(sunt egali) daca si numai daca au aceeasi parte vectoriala , X = Ysi acelasi punct de aplicatie , x = y.

Definitie. Doi vectori Xx si Yy care au aceeasi parte vectoriala X = Y,

dar care au puncte de aplicatie diferite, x = y, se numesc paraleli (fig 1.8)

0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData X xX y

x y

Figura 1.8

Fixam

un punct x IRn si consideram toti vectorii tangenti la IRn in x si atunci dam definitia urmatoare .

Definitie. Multimea tuturor vectorilor tangenti la IRn in x se numeste

spatiu tangent la IRn in punctul x si se noteaza cu TxIRn (fig 1.9)

0x08 graphic: StrangeNoGraphicData WX

0x08 graphic: StrangeNoGraphicData VX

0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData x

YX

9


10/85

XX

Figura 1.9

Spatiul tangent se organizeaza ca spatiu vectorial cu operatiile :

Xx+ Yx= (X +Y)x, rX= (rX)x.

Astfel , ca spatiu vectorial , TxIRn este izomorf cu

IRn , izomorfismul fiind dat de corespondenta X Xx .

Produsul scalar se defineste astfel (Xx , Yx) = (X , Y),

unde membrul drept reprezinta produsul scalar din IRn .

Norma (lungimea) vectorului Xx este numarul .

Definitie. Un vector de lungime unu se numeste vector unitate sau versor.

Daca (X,Y) =0, atunci vectorii tangenti Xx si Yx se numesc ortogonali.

Din inegalitatea Cauchy-Schwarz rezulta :

-1 1.

De aceea formula : cos= , , definesteunghiul dintre doi vectori tangenti nenuli Xxsi Yx (fig. 1.10).


Yx


X x

Figura 1.10

Definitie. Un sistem ordonat de n vectori unitari, reciproc or-

togonali tangenti la IRn in x se numeste reper in punctul x.

Daca E1,E2, . . . ,En este un reper in punctul xIRn, atunci XTx IR

n putem scrie :

X =(X, E1)E1 + (X, E2)E2+ . . . + (X, En)En

Numerele reale ri = (X, Ei), i = 1, 2, . . . ,n ,se numesc componentele lui

X in raport cu reperul fixat si sunt marimi algebrice ale unor proiectii .

10


11/85

Reperul (1,0,. . . ,0)x, (0,1,. . . ,0)x, (0,0,...,1)xse numeste

reper natural, iar componentele unui vector in raport cu acest reper se numesc componente euclidiene.

Fie

X2= r21E1+ r22E2+ . . . +r2nEn ,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Xn = rn1E1+ rn2E2 + . . . +rnnEn ,

n-1 vectori din TxIRn raportati la reperul E1, . . . , En.Vectorul :

X2 . . . Xn = TxIRn

unde membru al doilea este un determinant simbolic ce se dezvolta

dupa prima linie, se numeste produsul vectorial dintre X2,...,Xn.

Evident, X2 . . . Xn este ortogonal pe fiecare dintre vectorii X2, . . . ,Xn.

Sa consideramnvectoriXiTxIRn .Numarul (X1,X2,. . . Xn) se numesteprodusul mixtal celornvec-

tori .

Daca X1=(r11,r12,. . . ,r1n), X2=(r21,r22, . . . ,r2n), Xn =(rn1, rn2, . . . , rnn) atunci :

(X1,X2. . . Xn ) = .

Modulul acestui numar reprezinta volumul n-paralelipipedului construit pe vectoriiX1, X2, . . . ,

Xn.

InIR3 reperul natural esteix= (1, 0, 0)x,jx= (0, 1, 0)x, kx= (0, 0, 1)x

si se poate vorbi de produsul vectorial a doi vectori tangenti (fig.1.11)

0x08 graphic: StrangeNoGraphicData VxWx


Wx

11


12/85

0x08 graphic: StrangeNoGraphicData x Vx

Figura 1.11

Vx= aix+ bjx+ ckx ,Wx= eix+ fjx+ gkx,

VxWx= .

Definitie. O functie X care asociaza fiecarui punct x al lui IRn un vec-

tor X(x) tangent la IRnin x se numeste camp vectorial pe IRn(fig. 1.12)

0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData



Figura 1.12

Definitie. Un camp vectorial X pentru care X(x) este paralel cu

X(y), x, y IRn, se numeste camp vectorial paralel sau constant .

Multimea valorilor unui camp paralel se identifica cu un vector liber.

Definitie.Campurile paralele U1,U2, . . . ,Un definite prin U1=(1,0,. . . ,0)x,

U2=(0,1,..0)x, . . . ,Un=(0,0,. . . .,1)x, se numesc campuri fundamen-tale iar ansamblul lor se numeste campul reperului natural.

Teorema.Daca

Xeste un camp vectorial pe IRn,atunci exista n functii reale fi: IRn IR, i = 1, 2,. . . ,nastfel incat :

X=f1U1+ f2U2+ . . . .+fnUn.

Campurile scalarefise numesc componentele euclidiene ale campului X.

Demonstratie.Prin definitieX asociaza luix un vector

X(x) tangent la IRn in x. Deoarece partea vectoriala a lui X(x) depinde de x, ea poate fi scrisa in forma

(f1(x), f2(x),. . . , f n(x)) si astfel obtinem functiile fi:IRn IR, i = 1,2,. . . ,n. In plus, xIRn , avem :

X(x)=(f1(x),f2(x),. . . , f n(x))x=f1(x)(1,0,. . . ,0)x+f2(x)(0,1,...,0)x+ . . . +fn(x)(0,0,..,1)x

= f1(x)U1(x) + f2(x)U2(x) + ...+fn(x)Un(x).

12


13/85

Deci X = . Evident functiile fi sunt unic determinate .

In particular, orice vector tangentXxse reprezinta in forma :

Xx= .

Algebra campurilor vectoriale se construieste pe baza urmatoarelor

operatii :

(1) (X+ Y)(x) =X(x) +Y(x)

(2) (f X)(x) =f(x)X(x) .

De asemenea produsul scalar al campurilor vectoriale X si Y se definesc prin :

(X,Y)(x) = (X(x) ,Y(x))

Produsul vectorial al campurilor X2, . . . ,Xn se defineste prin :

(X2... Xn)(x) =X2(x) . . . . . Xn(x)

Produsul mixt al campurilor X1, X2, . . . , Xn se defineste prin :

(X1,X2. . . Xn)(x) = (X1(x),X2(x) . . . Xn(x)) .

Operatiile definite anterior punctual se pot exprima prin operatii asupra componentelor campurilor

respective.

De asemenea facem observatia ca in baza teoremei precedente ,

orice camp vectorial X pe IRneste echivalent cu o functie de tipul :

F: IRn IRn F(x) = (f1(x),f2(x), . . . ,fn(x)).

De aceea este natural sa spunem ca X se numeste camp vectorial de clasa C P daca

componentele sale sunt de clasa CP(ca functii reale). In ipoteza ca X este de clasa CP,

p1, dispunerea vectorilor X(x) urmeaza reguli suplimentare precise, cel putin in vecinatateaunui punct, reguli impuse de existenta liniilor de camp si a hipersuprafetelor de camp .

Sa

presupunem ca ne referim laIR3. In acest caz campul reperului naturali, j, keste definit prin (fig 1.13).

i(x) =ix = (1,0,0)x, j(x) =jx = (0,1,0)x, ,k(x) =kx = (0,0,1)x,

0x08 graphic: StrangeNoGraphicData z

0x08 graphic: StrangeNoGraphicData k 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData (x,y,z) j

i

13


14/85

0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0 y

x

Figura 1.13

Orice camp vectorial pe IRn se scrie sub forma (fig. 1.14):

X= f(x,y,z)i+ g(x,y,z)j+ h(x,y,z)k.


GraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData z h(x,y,z)k



0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData g(x,y,z)j

f(x,y,z)i

0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0 y

x Figura 1.14

In cazul spatiului IR3 se poate defini produsul vectorial a doua campuri X si Y si anume :

(X Y)(x) =X(x) Y(x)

Observatii.

1) In general domeniile de definitie ale campurilor scalare sau vec-

toriale utilizate in continuare vor fi submultimi D ale lui IRn.

2) Campurile vectoriale X1,. . . ,Xm, mn, se numesc liniar independente pe DIRn daca

X1(x),...,Xm(x) sunt vectori liniar independenti, oricare ar fi xD. Acest tip de liniar indepen-denta, folosita in problemele elementare, nu are acelasi continut cu liniar independenta definita pe

spatiul vectorial real al campurilor vectoriale (spatiu de functii, infinit dimensional, vezi fig 1.5).

3) Doua campuri vectoriale X si Y se numesc coliniare pe D

daca exista un camp scalar f : D IR astfel incat Y = f X.

Trei campuri vectorialeX,Y si

Zse numesc coplanarepe D daca exista doua campuri scalare f,g : D IRastlel incatZ = f X+ gY.

Exemple:

1) In figura 1.15 sunt prezentate trei campuri vectoriale tipice pe IR2.





14


15/85




0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic:StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNo-





X (x,y)=(1,0)

X (x,y)=(x,y)



GraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic:StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData






X (x,y)= (-y,x)

Figura 1.15

2) O problema importanta pentru ecologie este fenomenul oscilatiilor populatiilor. Studiindpopulatia piscicola in Marea Adriatica, Volterra si Lotka au ajuns la concluzia ca viteza de evolu-

tie locala a unui sistem biologic format dintr-o specie rapitor si o specie prada are expresia:

X(x,y) = (x(a by),y(cx d)), (x,y) IR2, undea,b,c,dsunt constante.

3) Camp gravitational (fig.1.16). Fie IR3 modelul matematic al spatiului

fizic tridimensional si m o masa situata in origine. Forta de atractie cu care ac-

tioneaza masa m asupra masei unitate situata in punctul arbitrar (x, y, z) este :

F(x

,y

,z

) = - (xi

+yj

+zk

) 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData


15


16/85


StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic:

StrangeNoGraphicData

0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08

graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08

graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData Figura 1.16




Functia (x,y,z)F(x,y,z) se numeste camp gravitational (newtonian) produs de masa mpe IR3\(0,0, 0).

4) Camp electrostatic (fig.1.16,1.17). Fie IR3 modelul matematic al spatiului fizic tridimen-

sional si q0 o sarcina electrica situata in origine. Forta E cu care sarcinaq0 actioneaza asupra sarciniiq=+1 (unitate de sarcina electrica in SI,1 coulomb = 1As) situata in punctul arbritar (x,y,z) este :

E(x,y,z) = (xi+ yj+ zk),

unde este permitivitatea mediului in care sunt plasate sarcinile .



0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData









0x08 graphic: StrangeNoGraphicData Figura 1.17

Functia (x,y,z)E(x,y,z) se numeste camp electrostaticprodus de sarcina q0pe IR3 \ (0, 0, 0).

16


17/85

5) Campul vitezelor in masa unui fluid . Fie IR3 modelul matematic al

spatiului fizic tridimensional si o sursa de debit q situata in origine .La trecerea

prin punctul (x,y,z) o particula de fluid care izvoraste din origine are viteza :

V(x,y,z)= (xi+ yj+ zk).

Functia (x,y,z)V(x,y,z) se numeste campul vitezelor in masa fluidului.

6) Gradientul. Fie D o multime deschisa din IRn si f:DIR uncamp scalar de clasa C1. Acestui camp scalar ii putem atasa campul vectorial

gradf = U1 + . . . + Un numitgradientullui f .

Fie Mc: f(x1, . . . ,xn)=c multimea de nivel constant c atasata lui f si x0Mc. Aratam

ca grad f(x0) este ortogonal pe orice curba din Mc care trece prin x0cu viteza (t0).

Pentru a dovedi acest lucru fie IIRsi =(x1, . . . ,xn) : IIRn o curba de clasa C 1 cu propri-

etatile (t0) =x0 si (I)Mc. Derivand identitateaf (x1(t), . . . ,xn(t))=c,tI, in raport cut, gasim :

+ . . . +

= 0.

0x08 graphic: StrangeNoGraphicData In particular, (gradf(x0),

(t0))=0,

adica gradf(x0)

(t0). In baza acestei proprietati se spune ca gradientul este

un camp vectorial normal la oricare dintre multimile de nivel constant Mc(fig.1.18)


0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData grad f 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNo-

GraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData (t0)

17


18/85




(t0) 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData f (x)=c

Figura 1.18

1.3.Subvarietati ale lui IRn

Sa consideram o functie de tipul F : IRn IRm .

Functiile ft = yiF: IRnIR, unde yisunt functiile coordonate ale lui

IRm, se numesc componentele euclidiene ale lui F si se scrie F =(f1, . . . ,fm).

Definitie. Multimea

G(F)=(x1, . . . ,xn,f1(x1, . . . ,xn), . . . ,fm(x1, . . . ,xn))(x1, . . . ,xn) IRn

se numeste graficul functiei F = (f1, . . . , fm).Evident G(F) coincide cu multimea valorilor functiei (x1, . . . ,xn)

(x1, . . . ,xn,f1(x1, . . . ,xn), . . . ,fn(x1, . . . ,xn)).

FunctiaFeste de clasaC p daca componentele

fi,i=1,...,m sunt functii de clasa C p. Unei functii F de clasa C1 i se ataseaza matricea jacobian

J(F) = .

Daca n = m, atunci determinantul matricei J(F) se numeste ja-

cobianul lui f si se noteaza D(f1, . . . , fn) / D(x1, . . . ,xn) .

Functia F : IRn IRm se numeste :

1)injectivadaca relatiilex,y IRn,F(x) =F(y) IRm implicax = y ;

2) surjectiva daca zIRm, xIRn astfel incat F(x) = z ;

3) bijectiva daca este injectiva si surjectiva ;

4) imersie daca este de clasa C1 si rangJ(F)(x) = n, xIRn(n m) ;

5) submersie daca este de clasa C1 si rangJ(F)(x)=m, xIRn (m n)

6) regulata daca este imersie sau submersie ;7) difeomorfism pentru n = m, daca este de clasa C1 si daca poseda

inversa de clasa C1.

18


19/85

Daca functiaFnu este regulata intr-un punctx, atunci

xse numestepunct criticsau punct singular, iarF(x) se numestevaloare criticasau valoare singulara.

Teorema functiei inverse. Fie F:IRnIRn o functie de clasa C1.

Daca x0IRn

este un punct pentru care detJ(F)(x0)=0, atunci exista o veci-natate D a lui x0astfel incit restrictia lui F la D sa fie un difeomorfism.

Teorema functiei implicite. Fie F=(f1, . . . ,fm) : IRn+mIRn o functie de

clasa C1. Daca in (a,b)IRn+m avem F(a,b)=0 si (a,b)=0,

atunci exista o vecinatate D a lui a si o functie de clasa

C1(unica) g:DIRm astfel incat g(a)=b si f (x,g(x))=0, x D.

Urmand modelul suprafetelor din IR3 care se definesc cu ajutorul ecuatiilor (implicite sau

explicite sau parametrice) atasate unor functii cel putin de clasa C1, care indeplinesc anumite

conditii ce asigura netezimea si absenta autointersectiilor, introducem subvarietatile lui IRn .

O submultime M a lui IRnse numeste subvarietate de dimensi-

une m (n) daca pentru fiecare punct xM exista o multime deschisa Ddin IRn care contine pe x si o submersie F : DIRnm astfel incit :

MD=xx D, F(x) = 0.

Teorema. Fie M o submultime a lui IRn. Urmatoarele proprietati sunt echivalente :

1) M este o multime de dimensiune m a lui IRn ;

2)pentru fiecare punct xMexista o multime deschisa D din IRn care contine pe x si n m functiifi: DIR, i = 1,. . . , n m de clasa C

1astfel incit vectorii grad f1(x) sa fie liniar independenti si

M D=xx D,f1(x) = 0,. . . ,fnm(x) = 0;3) pentru fiecare punct x M exista o multime deschisa D din IRn care contine pe

x = (x1, . . . , xn), o multime deschisa E din IRmcare contine pe (x1, . . . , xm) si n m func-

tii hi :EIR, i = 1 , . . . , n - m, de clasa C 1astfel incit , abstractie facand eventual de o

permutare a coordonatelor, M D sa fie graficul aplicatiei (h1, . . . , hnm) : E IRnm;

4) pentru fiecare punct xM exista o multime deschisa D din IRn carecontine pe x, o multime deschisa E din IRmsi o imersie injectiva g : E IRn cu imaginea M D si cu inversa g 1: M D E continua.

Demonstratie. Schematic 1) 2) 3) 4) 2).

Proprietatea 2) este o traducere a proprietatii 1) utilizand componentelef1, . . . ,fnmale submersiei F.

Reciproc, daca 1) este adevarata, atunci F=(f1, . . . ,fnm) :DIRnm este o submer-

sie in punctul x. Deoarece determinantii sunt functii continue, functia F ramane sub-

mersie pe o multime deschisa ce contine pe x si deci avem demonstrata implicatia .

19


20/85

Proprietatea 3) rezulta din 2) in baza teoremei functiei implicite.

3)4) Functia g:EIRn, g(u)=(u1,..,um,h1(u),..,hnm(u)), u=(u1,.., um), esteo imersie injectiva cu imaginea MD si cu inversa g 1:MDE continua.

4)2) Reprezentam imersia g prin componentele sale x1=g1(

u1, . . . ,um), . . . ,xn=gn(u1, . . . ,um). Daca (u0)=0, atunci prin teo-rema functiei inverse u1=1(x1, . . . ,xm), . . . , um=m(x1, . . . , xm) cu conditiile :

xm+1=gm+1(1(x1, . . . ,xm), . . . ,m(x1, . . . ,xm)),

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xn=gn(1(x1, . . . ,xm), . . . ,m(x1, .. . . , xm)).

Functiile definite prin

f1(x) =xm+1-gm+1(1(x1, . . . ,xm), . . . ,m(x1, . . . ,xm)) ,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

fnm(x) =xn - gn(1(x1, . . . ,xm), . . . ,m(x1, . . . ,xm))

satisfac conditiile din 2) .

Exemplu. Consideram un circuit RLCformat dintr-un rezistor, un inductor si un capacitor (fig.

1.19). Prin fiecare ramura trece curent avand intesitatea i si tensiunea v . La un moment dat, circuitului

i se asociaza doua triplete de numere reale (iR ,iL, iC),(vR, vL, vC). Acestea sunt legate prin legile

Kirchoff iR=iL=-iC , vR+vL=vCsi legea Ohm generalizeaza vR = (iR) , cu functie de clasa C1 .


Schimband notatiile, asociem circuitului RLC urmatoarea multime : M = (x1, . . . ,x6) x1-

x2=0, x2+x3= 0; x4+x5- x6 = 0, (x1)x4=0, care este subvarietate de dimensiune 2 a lui IR6.



graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData Figura 1.19 R c




0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData L

Daca in fiecare din definitiile subvarietatii utilizam functii de

clasa Cp, p1, atunci M se numeste subvarietate de clasa C p.

Subvarietatile de dimensiune 0 sunt multimi de puncte izolate din IRn.

20


21/85

Definitie. Subvarietatile de dimensiune 1 se numesc curbe, iar subvarietatile de dimensiune 2 se

numesc suprafete. Subvarietatile de dinensiune nse numesc multimi deschise inIRn, iar subvarietatile de

dimensiune n1 se numesc hipersuprafete.

Imaginea unei imersiiinjective nu este intotdeauna o subvarietate (inversa nu este neaparat continua). Imaginea unei functii

de clasa C1 poate fi o subvarietate chiar daca acea functie nu este o imersie. De asemenea fiind data o

submersie F:IRnIRm, multimea F1(z) este sau vida sau o subvarietate de dimensiune nma lui IRn.

In general, fiind date doua functii G :IRnIRm, H :IRPIRn de clasa C1

care nu verifica peste tot conditiile de definitie a unei subvarietati, putem obtine sub-

varietati din G1(z) sau din H(IRP) eliminand punctele singulare. Acestea sunt fie

puncte in care conditia rangului nu este verificata, fie puncte de autointersectie.

Definitie.Fie Mo subvarietate a lui IRn

de dimensiune m si D o multime deschisa din IRn. O functie h : D IRnde clasa C1 cu proprietatile

[1.] h(D) M ,heste o imersie injectiva,

se numeste harta in M.

Definite. Daca h este numai imersie, atunci h se numeste parametrizare a regiunii h(D) din

M . Daca I = si (a) si (b), atunci curba se numeste inchisa .O curba inchisa :

M cu propritatea ca : Meste injectiva se numeste curba simpla si inchisa .

Un vector v din IRn se numeste tangent in punctul x la subvarietatea M daca ex-

ista o curba : IM de clasa C1 pentru care (t0)=x,

(t0)=v, t0I .

Multimeavectorilor dinIRn tangenti laMinxeste un subspatiu vectorial al lui IRn de dimensiunemnumitspatiul

tangent la M in x si notat TxM . Multimea TM = TxM se numeste fibrarea tangenta a lui M

(subvarietate a lui IR2n de dimensiune 2m).

Definitie. Un vector w din IRn se numeste normal la

M in punctul x daca el este ortogonal spatiului tangent TxM .

Multimea tuturor vectorilor normali la M in punctul x este un spatiu vecto-

rial de dimensiune n-m numit spatiul normal la M in punctul x si notat NxM .

Fie M o subvarietate a lui IRn. O functie X care asociaza fiecarui punct

xM un vector X(x) tangent la IRn in punctul x se numeste camp vectorial pe M.

Daca X(x)TxM, xM, atunci X se numeste camp vectorial tangent la M,iar daca X(x)NxM, xM, atunci X se numeste camp vectorial normal la M.

21


22/85

Definitie. O subvarietate M se numeste simplu conexa daca pentru fiecare

punct x0M si fiecare curba inchisa : M,

exista o functie continua H : M astfel incit :

H(t,0)= (t), H(t,1) =x0, t ,

H(0,s)=H(1,s) =x0, s ,

Aceasta definitie contine faptul intuitiv ca poate fi continuu deformata la punctul x0.

Definitie. O subvarietate M se numeste conexa daca x,yM exista o curba :

M de clasa C1 pe portiuni care uneste pe x cu y, adica (a)=x , (b)=y.

Definitie. O submultime M a lui IR

n

se numeste subvarietate de dimensiune m(n), cu frontiera , daca pentru fiecare punct xM exista o multime deschisa D din IRn

care contine pe x si nm+1 functii fi:DIR, i=1,.. . ,n-m+1, de clasa C1 astfel incat vectorii

gradfi(x) sa fie liniar independenti si MD=x x D, f1(x)=0,...,fnm(x)=0,fnm+1(x) 0.

Multimea

M=xxMsi fnm+1(x)=0,

numita frontiera lui M, este o subvarietate de dimensiune m1.

Multimea M- M, numita interiorul lui M, este o subvarietate de dimensiune m .

1.4 Derivata in raport cu un vector

Fie D o multime deschisa din IRn, fie f, g:DIR doua campuri scalare de clasa C1 sic un numar real. Campurile scalare f+g, cf , fg, f/g sunt de clasa C1 si au loc relatiile :

grad(f +g)=gradf+ gradg, grad(cf) =cgradf,

grad(fg) =ggradf +fgradg, grad =

Observatii.

1) Deoarece df(x)(h)=(gradf(x),h), pentru determinarea lui grad de f(x) putem utiliza diferentiala

df(x)(h).

2) Deseori in loc de grad se scrie semnul nabla, .

Fie D o multime deschisa din IRn si f :DIR un camp de clasaC1.Fie x=(x1, . . . , xn)D si Xx u n vector tangent la D in punctul x.

22


23/85

Fixam intervalul I t astfel incat x+tXD, unde X este punctul corespun-zator vectorului Xx. Evident tx+tX reprezinta restrictia unei drepte si daca feste de clasa C1, atunci functia compusa tf (x+ tX ) este tot de clasa C1.

Numarul : f = f(x+ tX)t=0 se numeste derivata lui f in raport cu vectorul Xx.

Derivata luif in raport cu vectorulXxreprezinta actiunea vectoruluiXxasupra functieifindicand cantitativ schimbarea luif (x) candxse misca

in sensul luiX. DacaXxeste un versor, atunci fse mai numeste siderivata lui f dupa directia Xx.

Lema. Daca Xx= (a1,a2, . . . ,an),atunci

f =a1 (x)+ . . . +an (x) =(Xx,f (x))=df (x)(X),

unde f este gradientul lui df este diferentiala lui f .

Demonstratia este imediata ca urmare a teoremei de derivare a unei functii compuse .

Daca f=(Xx,f (x))=0 Xx TxD, atuncix este un punct critic al lui f, adica f (x)=0.

Fie f (x)=0. Utilizand inegalitatea Cauchy Schwarz

=

,

in care egalitatea are loc daca si numai daca Xx si f(x) sunt coliniari rezulta ca functia Xx

f, =1 isi atinge minimul - pentru Xx= , maximul

pentru Xx= . Astfel -f(x)) (respectiv f(x)) indica local directia si sensul in care fdescreste (creste) cel mai repede . De aceea gradientul este des utilizat in teoria extremelor .

In ipoteza f (x))=0 , relatia f=0 este echivalenta cu faptul ca Xx este tan-gent in punctul x la hipersuprafata de nivel constant a lui f care trece prin punctul x.

23


24/85

Teorema. Fief,g:DIRfunctii de clasa C1, Xx,YxTxDsi a,b IR.Sunt satisfacute relatiile:

Daxx+byx f =aDxx f + bDyx f ,

Dxx(af +bg)=aDxxf +bDxx g ,

Dxx(fg)=g(x)Dxx f+ f(x)Dxxg .

Putem defini actiunea unui camp vectorial Xasupra unui camp scalar fde clasa C1 (ambele

definite pe D) ca fiind campul scalar notat cu Dxfsi a carui valoare in fiecare punct xD este numarul

f.Campul scalar fse numestederivata campului scalar f in raport cu campul vectorialX.

In particular, pentru cazul n = 3, avem :

Dif = ,Djf = ,D kf = .

In baza teoremei precedente deducem ca derivata fare urmatoarele proprietati :

Df X+gYh = fDxh+ gDYh,

Dx(af + bg) =aDxf + bDxg,

Dx(fg) =fDxg + gDxf

unde f, g, h, sunt functii reale, X si Y sunt campuri vectoriale , iar a, b sunt numere reale .

Observatie.Relatia Dxf = (f,x)pune in evidentaca Dxf=0 daca si numai daca Xeste un camp vectorial tangent la multimile de nivel constant ale lui f .

Notiunea pe care o introducem acum generalizeaza derivata f si reprezinta o operatieasupra campurilor vectoriale. Fie Y un camp vectorial definit de multimea deschisa D din IRn si Xxun vector tangent la D in punctulx. Presupunem ca Y este de clasa C1 si consideram functia compusa

t Y(x+ tX) ,unde tI este determinat de conditia x+ tX D .

Definitie. Vectorul Dxx Y = t=0tangent la D in

punctul x se numeste derivata covarianta a lui Y in raport cu Xx .

Derivata covarianta Ymasoara rata initiala a schimbarii lui Y(x) cand punctulx se misca

in sensul lui Xx (fig. 1.20) si deci reprezinta o actiune a vectoruluiXx asupra campului vectorial Y . 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic:


24


25/85

0x08 graphic: StrangeNoGraphicData Y(x) Y(x+tX)


x x+tX Xx

Figura 1.20

Lema. Daca Y=Y1U1+ . . . +YnUn este un camp vectorial de

clasa C 1 si Xx este un vector tangent la D in punctul x, atunci

Y= ( Y1)U1(x) +. . .+ ( Yn)Un(x).

Demonstratie.

Se observa ca Y(x+tX)=Y1(x+tX)U1(x+tX)+ . . .+Yn(x+ tX)Un.

A deriva un astfel de camp vectorial in t=0 inseamna a deriva componentele sale int=0. Tinand seama de definitia derivatei in raport cu un vector, lema devine evidenta.

Proprietatile derivate covariante rezulta din lema precedenta si din proprietatile derivatei f .

Teorema. Fie X si Y doua campuri vectoriale de clasa

C1 pe D , fie Vx, Wx TxD si a, b IR. Avem :

D aV x+bW xY= aD V xY +b DW xY,

D V x(f Y) = (D V xf)Y+ fD V xY,

D V x(aX+bY) =aD V xX+bD V xY,

D V x(X, Y) =(D V xX, Y)+ (X,D V xY).

Notiunea de mai sus se poate extinde considerand derivata covarianta a unui camp

vectorial Y de clasa C1 in raport cu campul vectorial X. Rezultatul este un camp vec-

torial care se noteaza cu DXY si a carei valoare in punctul x este vectorul DX(x)Y.

Daca Y=Y1U1+ . . . +YnUn , atunci DXY=(DXY1)U1+ .. .+ (DXYn)Un.

In baza celor precedente rezulta ca DXY are urmatoarele proprietati :

Df V+gw Y= fDvY+ g DwY,

D V(aX+bY) =aD VX+bD VY,

D V(f Y) = (D Vf)Y+ fD VY,

D V(X, Y) = (D V X, Y) + (X,D VY).Observatii.

1) Fie derivata covarianta DXY. Rolul lui X este algebric , iar Y se deriveaza .

25


26/85

2) Derivatele covariante ale campurilor fundamentale Ui,i =1,. . . ,n,

sunt nule deoarece acestea din urma sunt campuri vectoriale paralele.

3) Fie X si Y doua campuri vectoriale de clasa C1. Campul vectorial

definit prin se numeste crosetul campurilor X si Y.

1.5. Campurile vectoriale ca operatori liniari si derivari

In acest subcapitol vom utiliza notatii si conventii specifice calculului tensorial. Astfel indicii vor

ocupa pozitii superioare sau inferioare si in consecinta sumele vor fi marcate prin conventia Einstein .

FieD o multime deschisa din IRn . Multimea C(D)atuturorfunctiilorreale(campuriscalare)decbiliniara, comutativamultimeaC(D)esteoalgebracomutativa.

Fiex=(x1, . . . . ,xn)D sifC(D).UnuivectorXxtangentlaDinpunctulxiseasociazanumarulXx(f)

fnumitderivataluifinraportcuXx.DerivataXx(f)areurmatoareleproprietati :

Xx(af +bg) =aXx(f)+bXx(g)

Xx(fg) = (Xx(f))g(x) +f(x)Xx(g)

(aXx+ bYx)(f) =aXx(f)+bYx(f),

unde Xx si Yx sunt vectori tangenti la D in punctul x,a si b sunt numere reale, iar f,gC(D).

Sa privim acum lucrurile dintr-un alt punct de vedere si anume, regula fXx(f), cu pro-prietati convenabile, determina bine pe Xx. Astfel suntem condusi la urmatoarea alternativa ca

definitie a vectorilor tangenti, unanim acceptata in lucrarile actuale de geometrie diferentiala .

Fie x un punct fixat din D. O functie Xx : C(D)IR care satisface conditiile :

1) este liniara, adica Xx(af +bg) =aXx(f)+bXx(g)

2) este o derivare , adica Xx(fg) = (Xx(f))g(x) +f(x)Xx(g),

unde a,bIR ,f, g C(D), senumestevector tangentlaDinpunctulx.

Se observa ca functia definita prin 0x(f) = 0 , f=gC(D),decivectorul zero, casioperaorii

De asemenea, dacaf=g=1, atunci Xx(1)=2

Xx(1) si deci Xx(1)=0. In plus, Xx(c)=c Xx(1)=0 pentru orice functie constantac. Identificand functiile

constante cu valorile lor , se poate afirma ca valorile oricarui vector tangent pentru scalari sunt nule .

Fie TxD multimea tuturor vectorilor tangenti la D in punc-

tul x. Elementele lui TxD sunt functii reale definite pe

C(D), sideciaresenssumaadoivectoritangentisiprodusuldintreunnumarrealsiunvectortangent.

26


27/85

Mai mult, pentru oricare xD, multimea TxD este unspatiu vectorial real numit spatiu tangent la D in punctul x.

Teorema. Multimea este o baza a spatiului vectorial D(reper in

punctul x0)

Demonstratie. Evident fac parte din D.

Sa aratam ca acesti vectori sunt liniari independenti. Pentru aceasta

pornim de la relatia ai si folosim functiile coordonate xj:DIR

j=1,. . . ,n.

In baza definitiei vectorului tangent, a faptului ca D este un spatiu vec-

torial si a observatiei rezulta 0=ai (xj ) = ai =

ai =aj , j=1,. . . ,n.Deci vectorii tangenti sunt liniar independenti .

A ramas sa demonstram ca genereaza pe D . Pentru

aceasta observam ca pe o vecinatate convexa a lui x0 si pentru orice f C(D)avem :

27


28/85

f(x) =f(x0) + (x0)(xi x0

i) +fij(x)(xi x0

i)(xi x0j)

Conform definitiei lui Xx si a observatiei ca valorile lui Xx pe constante sunt nule , gasim

Xx f =Xx(xi) (x0)+Xx(fij(x))(x

i-x0i) (xj xi0)+2fij (x)Xx(x

i) (xj x0j ).

Inlocuirea x = x0 implica

Xx f =Xx(xi) (x0).

Tinand seama ca f C(D)estearbitrarasinotand (xi) = 0 , deducem

=ai

Numerele (xi) =ai se numesc componentele lui ,

iar reperul se numeste reper natural .

Daca raportam pe D la reperul natural, atunci adunarea a doi vec-

tori se reduce la adunarea componentelor corespondente, iar imultirea unui vector ca

un numar real se reduce la imultirea componentelor vectorului cu acel numar .

Exemplu. Pentru X= ,Y =

si k IR gasim

28


29/85

X +Y= ,kX=

Definitie. O functie X : D , X(x)Tx D, se numeste camp vectorial pe D.

Adunarea dintre doua campuri vectoriale si produsul din-

tre o functie reala si un camp vectorial se definesc punctual.

Definitie. Campurile vectoriale definite prin x , i = 1,. . . , n

si notate cu , i = 1,. . . , n , se numesc campuri fundamentale. Ansamblul lor se numestecampulreperului natural.

Teorema. DacaX este un camp vectorial pe D,atunci exista n functii reale X i : D IR, i = 1 ,. . . ,n ,astfel incat

X= Xi .

Demonstratie. Prin definitieX asociaza luixDun vector,X(x) tangent laD in punctulx. DarX(x) =

Xi(x) si regulilex Xi(x),x D, definesc (unic) functiile X i : D IR.

Functiile reale X i se numesc componentele campului X. Campul vectorial X=X

i se numeste de clasa C p daca functiile X i sunt de clasa Cp.

Exemplu.

X(x, y) = x2 este un camp vectorial de clasa

C .Alternativ, campulvectorialXpoatefiprivitcaf iindaplicatiaX :C(D)C(D)caresatisfaceconditiile :

[1.] este liniara , adica

29


30/85

X(af + bg) =aX(f) +bX(g),

[1.] este o derivare , adica

X(fg) = (X(f))g+ fX(g) ,

unde a, b IR, iar f , g C D.

Fie X si Y doua campuri vectoriale de clasa C

pe D. Campul vectorial X,Y definit prin f (f)=X(Y(f)) Y(X(f)) se numeste crosetul cim-purilor X si Y.

Evident = - .

De asemenea pentru oricare trei campuri vectoriale X, Y, Z de clasa

CsesatisfaceidentitateaJacobi :

+ + = 0.

Multimea (D) a tuturor campurilor vectoriale de clasa C

pe D este un spatiu vectorial real infinit dimensional .

Deoarece crosetul [,]:(D) (D)(D) este biliniar peste campul numerelor reale ,an-ticomutativ si verifica identitatea Jacobi, multimea (D) se numeste algebra Lie .

Fie TxD spatiul tangent la D in punctul x si x o 1-forma in x ,adica o transformare liniara x: TxD IR . Multimea tuturor 1- formelor in x este un spatiu vectorial real de dimensiunen , dualulluiTxD.Acest spatiu vetorial se numeste spatiului cotangent la D in punctulx si se noteaza cu Tx

D.

Fief C(D).F unctiadfx: TxD IRdefinita prin dfx(Xx) =Xx(f) se numestediferentiala lui f inpunctul x .

Aceasta definitie impreuna cu definitia vectorilor tangenti arata ca dfx este o 1- forma in punctulx.

Teorema. Fie x

j

:DIR, j = 1,. . . , n , functiile coordonate pe D.

Multimea dxj , I = 1,. . . , nxo este o baza a lui D .

30


31/85

Demonstratie .

Evident dxj , j =1,. . . ,n apartin lui D. Fie

reperul natural in D. Tinand seama de definitia diferentialei , deducem

= (xj )= = ,

i,j =1,. . . ,n, si deci dxj,j=1,. . . ,n este baza duala.

Reperul dxj , j = 1,. . . ,n se numeste coreper natural in x0.

Fie Xx = ai . Rezulta dx j (Xx )= a

i dxj

= aj .

De asemenea , orice 1- forma xTxD se scrie x=jdxj j fiind compo-

nentele lui xin raport cu coreperul natural . Rezulta x = i ,

adica componentele 1-formei x sunt valorile lui x pentru vectorii reperului natural in x.

Fie C (D)algebrafunctiilordeclasaCpeDsi(D) algebra Lie a campurilor de clasa CpeD.

O functie : (D) C (D)cu(X) de clasa C , X(D) si (fX+gY) =f (X)+g(Y) , f ,g C (D),X, Y(D) , se numeste 1-forma diferentiala pe D .

Adunarea a doua

1- forme diferentiale si produsul dintre o functie reala si o 1- forma diferentiala se definesc punctual .

31


32/85

Fie o 1-forma diferentiala.Valorilexsunt 1- forme in punctulx.

De aceea expresia locala a unei 1-forme diferentiale x = j(x)dxj . Putem scrie = jdx

j

deoarece 1- formele diferentiale dx1,. . . , dxn sunt duale campurilor fundamentale .

Ansamblul dxj , j = 1,. . . ,n se numeste campul coreperului natu-

ral. Multimea tuturor 1-formelor diferentiale pe D va fi notata cu (D) .

O multime ordonata X1, . . . ,Xn de campuri vectoriale se numeste camp de repere pe

D daca X1(x), . . . ,Xn(x) este o baza in TxD pentru oricare punct xD. Analog se definestecampul de corepere 1, . . . , n.Aceastea se numesc duale unul altuia daca b(Xa) = a

b.

Desi in general, campurile de repere (sau de corepere) nu exista de-

cat pe o vecinatate a punctului x din D, totusi faptul ca D este o multime de-schisa in IRn asigura existenta unor exemplare globale din aceste entitati .

DacaXa,a=

1,. . . ,n este un camp de repere pe D, atunci orice alt camp vectorialV se exprima in forma V=V aX a.

Analog, daca b,b =1 ,. . . ,n este un camp de corepere , atunciorice alta 1-forma diferentiala se exprima in forma = b

b.

Fie x un punct din D caracterizat, pe de o parte prin coordonatele (xi, . . . ,xn)=(xi),

iar, pe de alta parte, prin coordonatele (xi

, . . . ,xn

)=(xi

) schimbarea de coordonate fiind

xi

= xi

(xi) cu inversa xi=xi(xi

), pe o vecinatate a lui x continuta in D. Baza

se schimba in cu legatura = ; corespunzator

baza duala dxj x se schimba in dxj

x cu legatura dxj = .

Evident :

32


33/85

Aceasta implica Xi

= Xi, j

= j.

Observatii .

1) In acest subcapitol , multimea deschisa D poate fi inlocuita cu

orice subvarietatea de dimensiune m1, cu sau fara frontiera , a lui IRn.

2) Fiex un punct dinD si C(D)xmultimea tuturor functiilor definite pe o vecinatate a luix, care suntde clasa Cinpunctulx.DomeniulmaximdedefinitiealunuivectorXxesteC(D)x.

1.6 OPERATORI DIFERENTIALI

Gradient.Fie C(D)algebrafunctiilordeclasaC

, iar(D) algebra Lie a campurilor vectoriale de clasa C

pe multimea deschisaD IRn.

Definitie.Operatorul grad : C(D)(D),f gradfse numestegradient. Proprietatile de baza ale

operatorului gradient au fost expuse in subcapitolul 1.4.

FieX un camp vectorial de clasa C

pe D. Daca exista un camp scalar de clasa C,f : DIR cu proprietatea X = grad f, atunci X senumeste camp potential,fse numestepotentialul luiX, iar multimile de nivel constant ale luifse numesc

multimi echipotentiale. Existenta si unicitatea unui potential vor fi discutate in subcapitolul urmator.

Hessiana. Fie f C(D).Diferentialadeordinuldoi :

d2f(x)(dx) = (x)dxidxj

33


34/85

se numeste hessiana lui f si uneori se noteaza Hess f. Hes-

siana se utilizeaza des in problema de extrem si de convexitate .

Rotor.

Unui camp vectorial X=X1U1+ . . . +XnUn de clasa CpeDIRn, i se poate atasa matricea simetrica

rotX =

care se numeste rotorul lui X .

Ca orice matrice antisimetrica de ordin n si aceasta este determinata de

n(n - 1)/2 elemente posibil nenule (cele situate deasupra diagonalei principale).

Fie V=(V1, . . . ,Vn) si W=(W1, . . . ,Wn) duoa campuri vectoriale oarecare

pe DIRn. Notam cu VW matricea de elemente Vi Wj- Vj WI adica

VW= .

Cu aceasta conventie si cu = putem scrie simbolicrotX=X si putem exprima simplu unele proprietati ale rotorului. De ex-emplu (X + Y) = X + Y , (fX) = f X + f X.

Definitie . Un camp vectorial al carui rotor este nul peste tot se numestecamp iratational.

Dacan=3 (deci inIR3), atunci =3 si matricea rotX este echivalenta cu campul vecto-

rial

rotX =

Astfel , in IR3 si numai aici, oricarui camp vectorial X = (X1 , X2 , X3) i

se poate atasa un alt camp vectorial rot X numit rotor. Simbolic putem scrie :

34


35/85

rotX = = X,

unde este semnul produsului vectorial.

Divergenta.FieX = X1U1+

. . . +XnUn un camp vectorial de clasa CpeD IRn .Lui i se poate asocia campul scalar definit prin :

DivX= = ( ,X),

numit divergenta lui X.

Operatorul div :(D)C (D)definitprinX= (X1,. . . , Xn) se numestedivergenta .

Fie F:DIRn, F(x)=(X1(x), . . . ,Xn(x)) o functie de clasaC.Seobservacadiv XcoincidecuurmamatriceijacobianatasatafunctieiF.Celemaisimpleproprietatia

div(X+ Y) = divX+ divY,

div(fX) = (f ,X) +f divX

Definitie. Daca divX=0, atunci campul vectorial X se numeste solenoidal.

Divergenta unui camp vectorial defineste viteza de contractie di-

latatie a volumelor de catre curentul generat de campul vectorial .

Laplacian.Operatorul

definit prin f=div(gradf) se numestelaplacian. Evident fcoincide cu urma hessianei lui f, adica

f = .

Definitie. O functie f : D IR de clasa C

35


36/85

cu proprietatea f = 0 se numeste functie armonica .

Observatie.Ipoteza clasa C

esteimpusademotivedeformalizarematematica(nefiindalterabilaprin derivari).Insituatiileconc

,unde valoarea minima a lui p este impusa de context .

2.CAMPURI VECTORIALE PARTICULARE

2.1. CAMPURI VECTORIALE IROTATIONALE

Definitie. Fie X un camp vectorial continuu pe o multime deschisa D IRn.Daca exista un

camp scalar de clasa C1,f : D IR cu proprietateaX=gradf, atunciXse numestecamp potential,f senumeste potentialul luiX, iar multimile de nivel constant ale luifse numesc multimi echipolente.(fig 2.1)

Demonstram ca pe

o multime deschisa si conexa , exista si este unic un potential abstractie facand de o constanta aditiva.


GraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData X=

0x08 graphic: StrangeNoGraphicData x/2 x/2



StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 2

Figura 2.1

(x)=c

36


37/85


Teorema. Fie X un camp vectorial pe o multime deschisa si conexa D IRn.Daca X admite pe

D un potential f , atunci acest potential este unic determinat, abstractie facand de o constanta aditiva.

Demonstratie.Presupunem ca X admite pe D doua functii poten-

tial f si g, adica X = grad f = grad g.Rezulta grad (f - g) = 0.

Sa aratam caf-g =c. Pentru acesta notam =f gsi presupunem ca orice doua puncte

x, ydin D pot fi unite pintr-o curba :[a,b] Dde clasa C1. Avem (a) =x, (b) = y si (

)

(t) = (grad ( (t)) ,

(t)) = 0, t [a, b]. Fixand pe y, se deduce (x

) = c, t [a,b].Fixand pe y, se deduce (x) = c, x D .Transferul rationamentu-

lui precedent la cazul curbelor de clasa C

1

pe portiuni(D fiind multime convexa ) este evident.

Fie X = (X1. . . . Xn) un camp vectorial si rot X = rotorul sau .

Avem urmatoarele situatii :

1) Daca rot X nu este identic nul, atunci X se numeste camp rotational

2) Daca rot X este identic nul ,adica = ,

x D, i,j = 1,. . . ,n, atunci X se numeste camp irotational.

Teorema urmatoare arata ca orice camp irotational X de clasa C1 admite reprezentarea

locala X=gradf, adica pentru fiecare x0 D exista o multime deschisa U D

care contine pe x0 si f :U IR de clasa C2 astfel incat X=grad f pe U .

Teorema. Fie X = (X1, . . . .Xn) un camp vectorial de clasa C1 pe D.

[1.] Daca X este un camp potential,atunci X este un camp irotational.Daca D

este un interval n-dimensional deschis si X este un camp

irotational,atunci X este un camp potential ,cu potentialul :D IR, f(x)=

37


38/85

,

x=(x10,........xn0) D .

3)Daca D este o multime convexa si Xeste un camp irotational , atunci Xeste un camp potential ,cu

potentialul f:D IR, f(x)= x0=(x10,. . . n0) D .

Demonstratie.1) FieX=gradf,adicaXi= .Rezulta

in concluzie X este irotational.

2) Avem :

=

3) Amintim ca multimea D se numeste convexa daca o data cu ori-

care doua puncte ale sale contine si segmentul determinat de aceste puncte.

Notam cu ui(t) =xi0+t(xI xi0), i= 1,. . . ,n , u(t) = (u1(t ) , . . . . . . ,un(t)). Rezulta :

38


39/85

Observatii:

1) Putem reformula teorema precedenta astfel : o conditie necesara si suficienta pentuca un camp vectorial X de clasa C1 sa fie local potential este ca el sa fie irotational.

2)Potentialele sunt analogul primitivelor de la functiile reale de o singura variabila.

3)Pe intervalele n-dimensionele sau pe multimi convexe potentialele pot fi determinate

cu ajutorul integralei obisnuite. Pe o multime deschisa si conexa , care nu face parte din

clasele celor mentionate nu exista intotdeauna functii potential definite pe toata multimea. Daca

exista potentiale , atunci aflarea lor este legata de integrala curbiliniede al doilea tip.

Exemplu.

Campul vectorial X = (2xyz+z2-2y2+1)i+ (x2z-4xy)j+(x2y+2xz-2)k este un camp irotational pe

IRn.

.

Teorema precedenta procura metode pentru calculul potentialului lui X. Putem sa determinam

acest potential f prin metoda primitivelor. Prin integrarea primei ecuatii a sistemului obtinem :

= 2xyz+z2 2y2 +1, =x2z4xy, =x2y+2xz-2

39


40/85

in raport cu x, gasim f(x,y,z)= x2yz+z2x-2y2x+x+ (y,z).

Daca inlocuim in ecuatia a doua, deducem =0, adica (y,z)= (z);

Daca inlocuim in ecuatia a treia a sistemului initial , gasim = -2. Adica (z)= -2z+c. Astfel f(x,y,z) =x2yz+z2x-y2x+x-2z+c. Evident acesta este un potential global pentru X.

Fie D o multime deschisa din IRn si :[a,b] D o curba orien-

tata de clasa C1.Fie X un camp vectorial continuu definit pe D .Restrictia lui

X la imaginea lui , adica X este o functie continua. Numarul :

se numeste integrala lui X de-a lungul curbei sau integrala curbilinie de

al doilea tip sau circulatia lui X de-a lungul curbei (fig. 2.2).

Aceasta definitie se extinde firesc la curbele de clasa C1 pe portiuni.

0x08 graphic: StrangeNoGraphicData Daca X = (X1,.....,Xn ) si =(x1, . . . . . ,xn),

atunci pentru circulatie se utilizeaza notatia .

0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData X((t))





0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 2(t)

Figura. 2.2Teorema. Fie D IRn o multime deschisa si conexa ,iar X

un camp vectorial continuu pe D .Urmatoarele afirmatii sunt echivalente :

40


41/85

1.2.1.1.2. 1)X poseda o functie potential pe D;

2) circulatia luiX de-a lungul curbei ,

este independenta de curba ;

3) circulatia lui X de-a lungul oricarei curbe inchise din D este egala cu zero.

Demonstratie. Cum D este o multime conexa rezulta orice doua puncte

ale lui D pot fi unite printr-o curba din D de clasa C1 pe portiuni.

1) 2).Presupunem ca 1) este adevarata si ca f potentialul lui X ,adica X = grad f

.Pentru orice curba :[a,b] D de clasa C1 pe portiuni gasim :

Altfel spus, integrala depinde numai de punctele x si y si

nu de curba care le uneste . Deci 2) este adevarata.

2) 3), este evident.

3) 2).Fie doua curbe de clasa C1

care uneste punctele Curba

este inchisa (de clasa C1 pe portiuni) si prin ipoteza Rezulta

2) 1).Fie punctele x0= (x10, . . . . . . ,xn0) si x = (x1, . . . . ,xn) din D. Cum

nu depinde de curba care uneste punctele x0 si x, putem folosi notatia

41


42/85

Fixam pex0si definimf(x) = Sa demonstram cafeste un potential al lui X = (X1,.....,Xn).

Asta inseamna , i = 1,. . . ,n.Notand eI =(0,...,0,1,0,...,0),ob-

servam ca f(x+hei)-f(x)=

Independenta integralei de curba care uneste doua puncte si faptul ca punctele x si

y+hei se pot considera ca fiind suficient de apropiate permit alegerea particulara = x+ thei, t [0,1], adica segmentul de dreapta care uneste punctele x si y+hei. (fig. 2.3)

Rezulta :

(am utilizat u=ht).Trecem la limita pentru h 0 si gasim c.c.tr.d.



GraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData D x+hei

x

x0

Figura 2.3.

Observatii.

1) Pentru campurile vectoriale X = (X1,.....,Xn) de clasa C1 existenta potentialului este

echivalenta cu faptul ca X1dx1+ . . . . . . + Xndxn este peste tot diferentiala unui camp scalar .

42


43/85

2) Exista campuri irotationale care nu sunt global potentiale.De exemplu, campul vec-

torial X = (X1,X2), X1(x,y)= , X2= , (x,y) (0,0) este irota-tional pe IR2\(0,0) (domeniul care nu este simplu conex).(fig. 2.4). Pe de alta parte :

i) exista campul scalar f:IR2\(x,0),x IRIR, f(x,y)=arctg

astfel incat X1 = X2 = pe IR2\(x,0),x IR;

ii) exista campul scalarg: IR2\(0,y),y IRIR,g(x,y) = -arctg astfel incat X1= , X2=

pe IR2\(0,y),y IR, adica Xeste un camp potential pe orice domeniu care nu contine originea . Dar

nu exista nici un camp , scalar: IR2\(0,0)IR astfel incat X1= , X2= pe IR2\(0,0) . Intra-

adevar , daca ar exista un astfel de camp , atunci pentru cercul x =cost, y= sint,t [0,2 ] (curba

inchisa care inconjoara originea) gasim contradictia : avem dar pe de alta parte :

=2 .








43


44/85




Figura 2.4.

Aplicatie 1. Fie Cun conductor rectiliniu de sectiune circulara , cu raza a, prin care circula un

curent de intensitate I(fig. 2.5).Fixam origineaOca in figura si notam r= (xi+yj+zk), r = (x2+y2+z2)1\2.


0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData c I

0x08 graphic: StrangeNoGraphicData H(Pi)






P2 H(P2)

Figura 2.5.

Curentul genereaza campul magnetic :

ale carei linii de camp sunt cercuri cu centrul pe axa cilindrului si cuprinse

in plane perpendiculare pe aceasta dreapta . Prin calcul se gaseste :

Adica ,restrictia lui H la ext C este un camp vectorial irotational.

Fixand un reper cartezian astfel incat axa Oz sa coincida cu

axa cilindrului , orientata in sens opus lui I, rezulta :

44


45/85

H=

Aceasta exprimare arata ca restrictia luiHla ext C nu poate fi un camp vectorial global potential .

Complemente.

1) Fie X un camp vectorial pe o multime deschisa si conexa D din IRn Pre-

supunem ca exista doua campuri scalare h si f astfel incat X=hgradf Daca h si f sunt

functional independente , atunci campul vectorial X se numeste biscalar.Daca h si f sunt

functional dependente , atunci se dovedeste ca X este un camp potential ; intr-adevar

h(f)gradf= grad este echivalenta cu h(f) df =d si deci (x) =

2)Teoria potentialelor impune determinarea conditiei in care o familie data de hipersuprafete de

nivelul constant sa fie o familie de hipersuprafete de nivel constant atasata unei functii armonice .

Teorema. FieD multime deschisa

si conexa din IRn si h :D IR un camp scalar de clasa C2 fara puncte critice Hipersuprafetele de

nivel constant h(x)= c sunt hipersuprafete de nivel constant ale unui camp scalar armonic f: D

IR daca si numai daca exista o functie reala de clasa C2 si o functie reala contiuna astfel incat :

Demonstratie.

Implicatiah(x) = c (x) =a este echivalenta cu existenta unei functii

reale de clasa C2 astfel incat f = (h) . Deci :

df =

(h)dh, d2f =

(h)dh2 +

(h) d2h .

45


46/85

Retinand numai urma hessianei , gasim

si arata ca relatia din teorema este necesara.

Reciproc ,din deducem si deci

f = (h)= , unde A si B sunt constante .

Aplicatia 2. Ne referim la IR3 si cercetam daca o familie de semiconuri circulare drepte cu aceeasi

axa si acelasi varf este o familie de hipersuprafete de nivel constant ale unui camp scalar armonic .

Fara a restrange generalitatea , putem presupune ca familia de semiconuri este descrisa de :

x2+ y2 = cz2 , z > 0 . Rezulta h(x,y,z) = , z > 0 si conditia din teorema devine :

Deci sau . Punand

h = tg2 gasim si f = (h)=2A ln + B , unde

A s i B s unt c onstante a rbitrare. Evident este s emiunghiul unui c on .

2.2 . CAMPURI VECTORIALE CU SIMETRIE SFERICA

46


47/85

Fie y = (y1, . . . . . . .,yn) un punct fixat si x = (x1, . . . . . .xn) un punct variabil din IRn

. Notam r = yx si r = .

Definitie.Fie f : (0 , ) IR o functie e clasa C , Campul scalar

definit pe IRn\y prin f(r) se numeste camp scalar cu simetrie sferica de centru de sime-trie y (intrucat nu depinde decat de distanta de la punctul fixat y la punctul variabil x) .

Hipersuprafetele de nivel constant ale unui camp scalar cu simetrie sferica sunt sfere .

Gradientul unui camp cu simetrie sferica este :

gradf(r) =f

(r) .

Fie un camp scalar cu simetrie sferica de centru de simetrie y.

Definitie.Campul vectorial X definit pe IRn\y prin X(x) =se numeste camp vectorial cu simetrie sferica de centru de simetrie y .

Orice camp vectorial cu simetrie sferica de centru de simetieyeste

un camp potential pe IRn\yavand drept hipersuprafete echipotentiale sferele cu centru in y.Intr-adevar ,

pentru orice functie : (0, ) IR de clasa C este o functief : (0, ) IRn de clasa C

astfel incat f

= si multimea ecuatiilorf(r)=const este echivalenta cu multimea ecuatiilorr=const.

FieX un camp vectorial cu simetrie sferica . Se constata ca :

divX(x)=

si deci X este solenoidal daca si numai daca (r) = c/rn1 , unde c este o constanta .

Campuri newtoniene .

a) Conform legii lui Newton , in IR3 forta de atractie cu care actioneaza o masa m situata

in punctul fix y(y1, y2,y3) asupra mesei unitate care se gaseste in punctul variabil x(x1, x2, x3) este

47


48/85

X(x) = - , under= yx ,r= .

CampulX este un camp vectorial pe IR3\ynumitcamp newtoniansaugravitational(fig. 2.6).Avand simetrie sferica , este evident un camp potential cu potentialul f(r) = m/r.








0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData




Figura 2.6.

Altfel. Campul newtonian :

X(x1,x2,x3) = - ,

unde (x1, x2, x3) IR3\( y1, y2,y3), este un camp irotational al carui domeniu de definitie

este conex sau simplu conex , dar nu este convex. Utilizand formulele corespunzatoare si teo-

rema a doua , pe un paralelipiped deschis sau pe o multime convexa deschisa D din IR3\ \( y1,y2,y3), se gaseste potentialul f (x1, x2, x3) = [ (x1-y1)

2+(x2-y2)2+(x3-y3)

2]1\2, (x1, x2, x3) D.

Se constanta insa ca f se prelungeste diferentiabil la IR3\( y1 ,y2,y3) side aceea campul newtonian X este un camp potential pe IR3\( y1 ,y2,y3).

b) In IR3 consideram campul gravitational generat e masele m1, . . . . .mk plasate in punctele

y1, . . . . . ,yk si actionand asupra masei unitate plasate in punctul x. Acest camp este dat prin X(x) =

, x IR3\ y1, . . . . . ,yk , si admite potentialul f(x) = , unde rI = yIx , rI =

48


49/85

c) Fie D o multime deschisa , conexa si marginita din IR3, cu frontiera

D neteda pe portiuni . Consideram o distributie de mase pe = D

D , cu densitatea (y) continua. Forta totala de gravitatie :

X(x) = - , under = (y,x) ,

defineste un camp newtonian pe IR3(in cazul in care x

integrala precedenta este improprie , dar absolut convergenta ).

Potentialul campului vectorial X este :

f(x) = .

d) Notiunea de camp newtonian se extinde la IRn . De exemplu , daca D este o mul-

time deschisa , conexa si marginita din IRn , cu frontiera D neteda pe portiuni , iar :

IR este o functie continua ,atunci campul este o functiecontinua, campul vectorial definit pe

IRn prin :

X(x) = - ,r =(y,x),

se numeste camp newtonian.

Se constata ca acesta poseda potentialul :

Campuri electrostatice.

49


50/85

a ) Coulomb a ajuns la concluzia ca forta de interactiune dintre doua corpuri punc-

tiforme purtatoare de sarcini electrice este proportionala cu produsul sarcinilor electrice si in-

vers proportionala cu patratul distantei dintre centrele corpurilor respective. Conform acestei

legi , forta (de atractie sau respingere ) cu care sarcina q

situata in punctul fixat y

= (y1,

y2,y3) actioneaza asupra sarcinii unitate +1 situate in punctul arbitrar x = (x1, x2, x3) este :

E(x) = ,x IR3\y,

unde 08,86 .1012 F\m este constanta dielectrica a vidului ,iar r=yx .

FortaEdetermina un camp vectorial pe IR3\y, numitcamp electrostatic .Acest camp are simetrie

sferica (pentruq0 figura 2.7).Potentialul corespunzator estef(r) = .

b) Campul electrostatic generat de sarcinile q1, . . . ,qk situate in punctele

y1,. . . . . . . . . .yk si actionand asupra sarcinii unitate situate in punctul x este :

E(x) = ,x IR3\ y1,. . . . . . . . . .yk,

unde r=y

i

x. Acesta este potentialul f(x) = - . 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData








0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData y 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData 0x08 graphic: StrangeNoGraphicData


50


51/85



Figura 2.7.

2.3.CAMPURI VECTORIALE SOLENOIDALE

Definitie.Un camp vectorial X se numeste solenoidal daca div X = 0.

Exemple.

1) Campul newtonian X = - , (x, y, z) IR3\0 este irotational sisolenoidal .

2) Campul vectorial X=gradf este solenoidal daca si nu-

mai daca f este o functie armonica , adica f = 0 .

3) Campul vectorial X = ,(x, y)

IR2\(0,0) este solenoidal, dar nu este global potential .

4) Daca f, g : IR3 IR sunt de clasa C2, atunci

campul vectorial X = este solenoidal .

5) Daca Y este un camp vectorial de clasa C2 pe IR3,

atunci campul vectorial X =rot Y este solenoidal pe IR3.

6) Fie IR6 = (x1,x2,x3, p1, p2, p3) privit ca spatiul fazelor asociat ecuatiei Lorentz

care descrie miscarea unei p

Campurile vectoriale ca operatori liniari si derivari

Documents

Transcript of Campurile vectoriale ca operatori liniari si derivari