Conducţia termicǎ unidirecţionalǎ în regim constant

c) Conducţia termicǎ prin suprafeţe extinse

Exemple de nervuri: a) cu secţiune constantǎ;b) cu secţiune variabilǎ; c) circularǎ; d) acicularǎ.

• Ecuaţia generalǎ a nervurilor Bilanţul termic pentru elementul de volum cu grosimea dx:

WQQQ convdxxx

Wdx

dTSQx

dxdx

TdSdx

dx

dT

dx

dS

dx

dTSdx

dx

dTS

dx

d

dx

dTSQ dxx 2

2

Wdxdx

dQQQ xxdxx

WTTdxP

TTAQ

f

fsconv

fTTdxPdxdx

TdSdx

dx

dT

dx

dS

dx

dTS

dx

dTS

2

2

02

2

fTTdxPdxdx

dT

dx

dSdx

dx

TdS

01

2

2

fTTS

P

dx

dT

dx

dS

Sdx

Td

0

1 22

2

m

dx

d

dx

dS

Sdx

d

22

mS

Pm

CTT f

• Nervura cu secţiune constantǎ (S = const.)

022

2

m

dx

d mxmx eCeC 21

• la x = 0, T = T0, respectiv = 0;

• la x = L, , respectiv

Condiţii la limitǎ

a) Cǎldura transmisǎ prin vârful nervurii este neglijabilǎ

0dx

dT.0

dx

d

mLmL emCemC

CC

21

021

LmLm

Lm

LmLm

Lm

ee

eC

ee

eC

02

01

Distribuţia temperaturii în lungul nervurii:

Lm

xm

Lm

xm

LmLm

xmLmxmLm

e

e

e

e

ee

eeee

22

00 11

2

2xx

xx

eechx

eeshx

Lmch

xLmsh

0

Fluxul termic transmis prin nervurǎ = fluxul termic care intrǎ prin baza nervurii:

Lmthmb

LmthSPmLch

mLshmS

dx

dSQ

bS

SPm

xn

00

00

0

Randamentul nervurii se defineşte ca raportul între fluxul termic transmis prin nervurǎ şi fluxul maxim care s-ar transmite dacǎ nervura ar avea pe toatǎ lungimea temperatura de la baza ei T0.

Lm

Lmth

L

mLthm

bL

Lmthmb

Q

Qm

nn

0

2 2

0

0

00

max22

Pentru a se lua în consideraţie cǎldura cedatǎ prin vârful nervurii Harper-Brown, propune ca sǎ se mǎreascǎ fictiv lungimea nervurii L cu o lungime L, astfel încât, fluxul de cǎldurǎ transmis prin vârful nervurii sǎ fie egal cu cel transmis prin suprafaţa lateralǎ a prelungirii fictive cu L a nervurii:

.2

;22

0

0

0

LL

LLbb

c

L

• la x = 0, = 0;

• la x = , = 0.

Condiţii la limitǎ

b) Nervura infinitǎ

Lm

mbQ

e

n

n

xm

100

0

.

;0

2

1

C

C

c) Nervura cu lungime finitǎ

• la x = 0, T = T0, respectiv = 0;

• la x = L, , respectiv fLL TTdx

dT LLdx

d

LmLmLmLm

Lx

eCeCemCemCdx

d

CC

2121

021 ;

mme

meC

mme

mC

Lm

mL

Lm 2

20

22

0

1 ;

Variaţia temperaturii în lungul nervurii:

mme

meeme

Lm

Lmxmxm

2

2

0

Lmshm

Lmch

xLmshm

xLmch

0

Fluxul termic transmis prin nervurǎ:

Lmshm

Lmch

Lmchm

LmshSP

dx

dSQ

xn

00

• Nervura circularǎ

rrP

rSr

424

;2

0

0

0

rmKCrmIC 0201Ecuaţia este o ecuaţie Bessel, care are soluţia:

Considerând cǎldura degajatǎ prin vârful nervurii neglijabilǎ, avem condiţiile la limitǎ:

00

dr

d la r = r1, la r = r2 ,

21102110

021021

0 rmIrmKrmKrmI

rmKrmImrIrmK

001010 2211

mrdr

dr

dr

dTSQ

rrrrn

21102110

11211121

rmKrmIrmIrmK

rmIrmKrmKrmI

21

22

12

rr

rn

001

022

10

1

222

222

2

2

20

02

22

2

2

rmdr

dr

dr

drm

dr

d

rdr

d

mdr

d

rdr

dm

dr

d

dr

dS

Sdr

d

Eficienţa nervurǎrii = raportul între fluxul termic transmis prin nervurǎ şi fluxul termic transmis dacǎ nu ar exista nervurarea:

00

S

Qnn

Pentru nervura infinitǎ cu secţiunea constantǎ:

S

P

S

Pm

b

mbn

00

00

Variaţia randamentuluinervurilor longitudinale si circulare

Din analiza relaţiilor de calcul ale randamentului nervurilor şi a valorii eficienţei nervurii rezultǎ urmǎtoarele observaţii:

• randamentul şi eficienţa nervurii creşte odată cu conductivitatea termicǎ a materialului , din acest motiv se recomandǎ ca nervurile sǎ se realizeze din cupru sau aluminiu;

• în cazul nervurilor longitudinale profilul recomandat este parabolic sau triunghiular;

• pentru o eficienţǎ ridicatǎ nervurile trebuie sǎ aibǎ raportul P/S ridicat, pentru aceasta nervura trebuie sǎ fie „zveltǎ”, cu grosimea micǎ şi înălţimea ridicatǎ;

• nervurarea este eficientǎ numai în cazul în care coeficientul de convecţie este coborât, din aceste motive de obicei nervurarea se face pe partea gazelor la care valorile lui sunt de ordinul zecilor de W/(m2.K);

• nervurarea se justificǎ de obicei numai la valori [P/(S)]1/2 > 4.

• Transferul de cǎldurǎ printr-un perete nervurat

2mSSS nnnt WSSSQQQ trednnnnnnn 0022

00202

0

trednnnn SSSQnn

Km

W

S

SS

t

nnnnred 22

22

2111111

fptred

pppf

TTS

TTSTTSQ

WS

S

S

S

STT

SSS

TTQ

red

tt

tff

tred

ff

11111

111

21

111

21

În cazul peretelui nervurat se pot defini doi coeficienţi globali de schimb de cǎldurǎ, dupǎ cum aceştia se referǎ la suprafaţa nervuratǎ sau ne nervuratǎ:

2122111 fftSffS TTSKTTSKQ

red

ttS

tred

S

S

S

S

SK

S

SK

11

1;

111

111

21

1

1

Coeficientul de nervurare:

1S

Sn t