1

1. Noiuni introductive Corpurile la care forele de coeziune molecular sunt foarte mici ca valoare, fac

parte din categoria de corpuri numite fluide. Aceast categorie cuprinde att lichidele ct i gazele. Deformarea corpurilor fluide fr modificarea volumului se poate face cu fore neglijabile ca valoare. La lichide i la gaze se constat o mobilitate mare a particulelor din care sunt formate, aceast proprietate comun definind de fapt fluiditatea acestora, cauzat de forele mici de coeziune molecular.

Lichidele sunt acele corpuri fluide la care exist fore mici de coeziune ntre molecule. Dac sunt aezate ntr-un vas, acestea iau forma vasului, prezentnd suprafa liber n raport cu mediul nconjurtor, dac acesta este un gaz. n aplicaiile practice curente, la care variaiile de presiune sunt reletiv mici, lichidele pot fi considerate ca fiind incompresibile. Totui comparate cu corpurile solide, cum ar fi de exemplu o bar de oel moale, lichidele sunt de circa 100 de ori mai compresibile.

Gazele sunt acele fluide la care nu se manifest fore de coeziune molecular. Ca o consecin a acestui fapt, gazele sunt expansibile, adic ocup ntregul volum care le st la dispoziie. Drept urmare pot fi considerate n stare de repaus, numai dac sunt nchise n recipiente complet etane. Comparate cu lichidele, gazele sunt foarte uor compresibile.

Att lichidele ct i gazele sunt considerate medii continue, la care exist o dependen direct proporional ntre volum i masa coninut n acel volum. Astfel volume finite, conin mase fluide finite, iar volume infinit mici vor conine mase infinit mici. Ipoteza continuitii presupune c fluidul are o structur continu la orice scar.

Mrimile asociate care definesc starea fluidului, cum ar fi: presiunea, densitatea i temperatura, sunt definite prin funcii continue i derivabile, cu excepia unor situaii singulare cnd pot exista puncte, linii sau suprafee de discontinuitate.

Mecanica fluidelor studiaz repausul i micarea fluidelor ideale sau reale, compresibile sau incompresibile, precum i interaciunea dintre fluide i corpurile solide cu care vin n contact direct.

Mecanica fluidelor are patru capitole distincte: statica, cinematica, dinamica i mainile hidropneumatice.

Statica fluidelor sau hidrostatica studiaz fluidele aflate n echilibru static, caz n care viteza n raport cu sistemul de referin ales este egal cu zero.

Cinematica fluidelorseocup cu descrierea strii de micare, fr a analiza cauzele micrii.

Dinamica fluidelor se ocup cu studiul micrii fluidelor, punnd accent pe cauzele i pe efectele micrii.

Mainile hidropneumatice reprezint un capitol aplicativ al mecanicii fluidelor,care studiaz acele maini la care transformrile energetice din interiorul lor se produc prin intermediul unui fluid. Dac fluidul este un lichid, avem de-a face cu mainile hidraulice, iar dac fluidul este un gaz este vorba de mainile gazodinamice.

2

1.2. Proprieti fizice comune lichidelor i gazelor. 1.2.1. Densitatea sau masa specific. n aplicaiile practice se lucreaz cu corpuri fluide finite. Un corp fluid finit va ocupa

un volum finit V, fiind mrginit de o suprafa nchis S, numit suprafa de control. Pe aceast suprafa de control, mediul fluid este n contact cu mediul nconjurtor. Volumul ocupat de fluid este materializat prin masa m.

Fig. 1.1 Deoarece distribuia masei n interiorul corpului fluid poate fi neuniform (corp fluid

anizotrop), densitatea sau masa specific ntr-un punct M, considerat ca fcnd parte din volumul interior finit V, se poate scrie:

dVdm

Vm

VM

0

lim (1.1)

Dac avem de-a face cu un corp fluid omogen, la care masa este uniform disrtibuit

(corp fluid izotrop), poate fi scris densitatea medie, sub forma:

Vm

med (1.2)

Pornind de la densitate, poate fi exprimat volumul specific cu relaia:

1

v (1.3)

Densitatea depinde n general de poziia punctului M, n care se determin, de

presiunea p, de timpul t i de temperatura , ( , , , )M p t . Astfel n cazul gazelor densitatea la temperatura este dat de relaia:

t10 (1.4)

3

0 - reprezint densitatea sau masa specific, la temperatura de 00C i presiunea

p0=760 mm col. Hg. t - reprezint coeficientul de dilataie termic al fluidului La lichide se poate considera c densitatea nu depinde de presiune, ci se modific

numai n funcie de temperatur. Ecuaia dimensional a densitii, poate fi scris:

33

LMLM

Vm

(1.5)

Pentru cele mai uzuale fluide folosite n mod curent n practic, pot fi date cteva

valori ale densitilor dup cum urmeaz:

- n cazul apei la temperatura de 40C, apkgm

1000 3 . La alte valori ale

temperaturii, densitatea se modific n sensul scderii acesteia odat cu creterea temperaturii.

- pentru alcool metilic la temperatura de 100C, alcoolkgm

790 3 ,

- pentru mercur la temperatura de 00C, Hgkgm

13595 3 ,

- la aer pentru temperatura de 00C, i presiunea p=760 mm col. Hg, aerkgm

1 293 3,

1.2.2. Greutatea specific. Are ca simbol i poate fi definit n mod similar densitii, n cazul unei distribuii

neuniforme a masei de fluid n interiorul unui corp fluid de volum V. Astfel pentru un punct N conform figurii 1.2, din interiorul corpului fluid, care face parte dintr-un volum finit mic V ,ce conine o greutate finit mic G , se poate defini greutatea specific proprie punctului N, astfel:

dVdG

VG

oV

lim (1.6)

Fig. 1.2

4

Pentru fluidele omogene sau izotrope, greutatea specific se scrie mult mai simplu:

VG

, n care (1.7)

- greutatea specific; G - greutatea volumului de fluid considerat; V - volumul corpului fluid considerat. ntre greutatea specific i densitate exist relaia:

g (1.8) g - acceleraia gravitaional. Valoarea standard pentru acceleraia este gu=9,80665 m/s2. Ca i n cazul densitii, greutatea specific a unui fluid, depinde de coordonatele

punctului N considerat, de presiunea p, de timpul t i de temperatura . Astfel greutatea specific este o funcie de forma:

,,, tpN (1.9)

1.2.3. Compresibilitatea izoterm i elasticitatea. Pentru prezentarea noiunii de compresibilitate izoterm, trebuie definit presiunea,

ntr-un punct dat aflat pe suprafaa de control, n cazul unui corp fluid analizat. Astfel pentru un corp fluid, a crei suprafa de control are o form oarecare, conform figurii 1.3, se poate defini presiunea ntr-un punct M, care face parte dintr-o suprafa mic S ,cuprins n suprafaa de control, sub forma:

dSdF

SFp snsn

S

0lim (1.10)

Se poate observa din figura 1.3, c fora Fsn ce acioneaz asupra suprafeeiS ,

lucreaz dup direcia normalei, ns n sens invers acesteia.

Fig. 1.3

5

Dac se izoleaz un volum oarecare V, din masa unui fluid conform figurii 1.4,

aciunea restului fluidului asupra acestui volum, se nlocuiete cu fore de presiune p. Dac se mrete presiunea cu valoarea p, volumul iniial se micoreaz cu valoarea

V . Raportul VV

reprezint variaia relativ a volumului, n raport cu volumul iniial.

Aceast variaie este proporional cu creterea de presiune p. Ca urmare se poate scrie:

pVV

(1.11)

n cazul n care temperatura corpului fluid nu se schimb odat cu creterea de

presiune, comprimarea poate fi considerat izoterm. n acest caz: -reprezint modulul sau coeficientul de compresibilitate izoterm.

Fig. 1.4 Pentru variaii infinitezimale (variaii foarte mici), relaia devine:

dpVdV

sau (1.12)

dpdV

V1

(1.13)

Semnul minus din relaia (1.13) indic faptul c la o cretere a presiunii, corespunde

o scdere de volum. Semnificaia mrimilor din relaia (1.13) este: - reprezint modulul sau coeficientul de compresibilitate izoterm; V - este volumul iniial, izolat din masa fluidului; dV - reprezint variaia elementar de volum; dp - reprezint zariaia elementar de presiune. Masa de fluid coninut n volumul V este este constant, adic: m V ct prin difereniere se obine:

6

0 dVdV sau

d

VdV

(1.14)

ntroducnd relaia (1.14) n relaia (1.13), obinem:

dpd

1 (1.15)

Relaia (1.15) reprezint o alt form de scriere a modulului de compersibilitate

izoterm, n funcie de densitate i de presiune. Inversul coeficientului de compresibilitate izoterm, este modulul de elasticitate,

notat cu . Astfel folosind relaia (1.13) se obine:

dVdpV (1.16)

- reprezint coeficientul de elasticitate al fluidului, sau modulul de elasticitate

izoterm. Dac se folosete relaia (1.15), atunci se mai poate scrie:

ddp

(1.17)

Trebuie precizat faptul c dac presiunea revine la valoarea iniial, n acest caz i

volumul fluidului revine la aceiai valoare avut iniial, fr a prezenta deformaii remanente. Putem trage concluzia c fluidele sunt perfect elastice. Lichidele sunt considerate ca fiind incompresibile la variaii mici ale presiunii, n comparaie cu gazele, care sunt foarte compresibile. Totui lichidele pot fi considerate foarte compresibile n raport cu corpurile solide. Astfel apa de exemplu este de 100 de ori mai compresibil dect un oel moale.

Viteza de propagare a sunetului (celeritatea) c ntr-un mediu fluid de densitate , modul de elasticitate i modul de compresibilitate , este dat de relaia lui Newton:

1c (1.18)

Dac inem seama de relaia (1.17), viteza sunetului ntr-un mediu fluid mai poate fi

exprimat:

7

ddpc (1.19)

Aceast relaie este folosit n special la gaze, n aplicaiile practice curente. 1.2.4. Dilataia termic. Sub aciunea variaiilor de temperatur, fluidele au proprietatea de a-i modifica

volumul, dac presiunea se pstreaz constant. Coeficientul de dilataie termic t care arat modificarea unitii de volum la o variaie a temperaturii cu un grad, este:

ddV

Vt

1 (1.20)

t - reprezint coeficientul de dilataie termic; V - este volumul iniial de fluid considerat; dV - reprezint creterea elementar de volum; d - reprezint creterea elementar de temperatur. Din experienele practice s-a putut constata faptul c valoarea acestui coeficient este

mult mai mare gaze n comparaie cu lichidele. 1.2.5. Adeziunea. Aceast proprietate se manifest la fluide, prin interaciunea dintre moleculele

fluidului i particulele unui perete solid situat la distane moleculare, fiind de aceiai natur cu coeziunea. Fora de adeziune depinde de natura suprafeei solide, de natura fluidului i de temperatur. Experimental s-a demonstrat conform figurii 1.5, c n vecintatea unui perete solid care este n contact cu un fluid care curge, exist un strat de fluid aderent n repaus, a crui grosime este de ordinul unei sutimi de milimetru.

Fig. 1.5

Experienele au fost efectuate att n cazul lichidelor, ct i al gazelor, rezultatele fiind identice. Adeziunea fluidelor la suprafeele solide este mai pregnant observabil n cazul lichidelor. Aceast proprietate a fluidelor se aplic la ungerea suprafeelor solide care sunt n contact direct i care au micri de translaie sau de rotaie, n vederea reducerii forelor de frecare.

8

1.2.6. Vscozitatea. Vscozitatea se manifest sub forma unor eforturi tangeniale de frecare, care apar n

cazul deplasrii plan paralele a dou straturi de fluid nvecinate, cu vitez diferit. Dac se consider dou straturi vecine de lichid real (vscos), avnd suprafa elementar dS, distana dintre ele dup direcia normalei fiind o distan elementar dn, conform figurii 1.6, se poate exprima conform relaiei lui Isaac Newton (1686), fora tangenial elementar care acioneaz asupra stratului cu vitez mai mare.

Fig. 1.6

dSdndvdFt (1.21)

dv - reprezint creterea vitezei, la naintarea spre axa curentului cu dn, dup

direcia normalei; - este vscozitatea dinamic sau vscozitatea absolut; dn - reprezint distana elementar dintre cele dou straturi considerate; dS - reprezint suprafaa elementar a celor dou straturi elementare plan-

paralele de fluid. Efortul tangenial datorat vscozitii care apare n aceast situaie se scrie:

dFdS

saudvdn

t (1.22)

La toate fluidele se poate defini i aa numita vscozitate cinematic

(1.23)

- reprezint vscozitatea cinematic; - este vscozitatea dinamic sau vscozitatea absolut; - reprezint densitatea fluidului. Aceast vscozitate cinematic este des utilizat n practica curent.

9

Astfel se poate urmri n figura 1.7, modul de variaie al vscozitii cinematice n funcie de temperatur, la trei fluide diferite.

Fig. 1.7

Se poate observa c n cazul lichidelor vscozitatea cinematic scade cu creterea temperaturii. Vscozitatea la lichide se datoreaz forelor de coeziune molecular pentru c moleculele sunt dispuse mult mai aproape, comparativ cu gazele. Aceste fore de coeziune molecular scad cu creterea temperaturii, iar ca urmare vscozitatea se micoreaz.

n cazul gazelor, vscozitatea este condiionat de ciocnirile reciproce ntre molecule, provocat de micarea termic dezordonat a acestora, care se intensific odat cu ceterea temperaturii. Din acest motiv vscozitatea la gaze, crete odat cu creterea temperaturii.

Vscozitatea fluidelor se manifest numai n cazul curgerii lor. ntr-un fluid aflat n repaus forele tangeniale datorate vscozitii sunt nule. Micarea descris la definirea vscozitii, adic micarea care satisface legea de frecare a lui Newton, are o structur ordonat, se face n straturi paralele, fr s apar schimb de particule ntre acestea. Majoritatea fluidelor reale (vscoase) utilizate n practica curent sunt newtoniene, adic satisfac legea de frecare dat de Newton.

Exist fluide cu structuri moleculare mai complexe care nu se supun legii de frecare stabilit de Newton, acestea poart numele de fluide nenewtoniene. n cazul acestora vscozitatea dinamic nu depinde numai de starea termodinamic local, ci i de ali parametri sau factori.

Comportarea diferitelor tipuri de fluide n sistemul de coordonate ,dvdy

poate fi

urmrit n figura 1.8.

10

Fig. 1.8

Astfel fluidul ideal (fluid lipsit de vscozitate) =0, este reprezentat chiar de axa orizontal (abscisa). Axa vertical (ordonata) reprezint solidul elastic. Celelalte tipuri de fluide sunt dup cum urmeaz:

- fluide pseudoplastice reprezentate prin curba 2, la care vscozitatea dinamic

descrete cu dvdy

. Ca exemple se pot da: soluii de polimeri, plasma sngelui, produsele

petroliere, cernelurile, unele grsimi, etc. La aceste fluide particulele asimetrice ale substanelor n soluie au tendina de orientare n direcia curgerii pentru poziia corespunztoare frecrii minime.

- fluide dilatante redate prin curba 3, la care vscozitatea dinamic crete cu dvdy

. Aceast situaie are loc la suspensiile foarte concentrate la care faza lichid ocup

doar spaiul dintre particulele solide. n acest caz particulele solide frneaz deplasarea reciproc a straturilor. Astfel de comportri se ntlnesc la suspensiile de nisip, argile, mluri, cuar, etc.

- fluide vscoplastice al cror comportament poate fi definit cu legea lui Bingham:

dydv

00

(1.24)

0 i 0 depind numai de starea termodinamic. Astfel la fluidele la care 0 ,

acestea se comport ca i corpurile solide, avnd o structur molecular rigid. n schimb dac 0 structura molecular se distruge i fluidul se comport ca un lichid, dup curba 4 din figura 1.8. Astfel de situaii se ntlnesc la cimentul proaspt, vopsele, noroi de foraj, etc.

- fluide tixotropice, la care pe parcursul curgerii la vitez i temperatur constante, vscozitatea dinamic scade n timp.

11

- fluide reopectice, la care vscozitatea dinamic crete n timp. Exemple n acest caz ar fi: maioneza, margarina, etc.

Cel mai facil mod de a ine cont de comportarea nenewtonian a unui fluid, se poate face folosind relaia:

n

dydvK

, (1.25)

K respectiv n sunt constante care se pot determina experimental pentru domeniul de

utilizare al fluidului folosit. Cu studiul comportrii acestor tipuri de fluide se ocup Reologia. 1.2.7. Aplicaii. 1.1. Pentru presa cu urub din figura 1.9, cunoscnd pasul urubului h=2mm,

diametrul cilindrului d=1,2cm, volumul iniial de ulei la presiunea atmosferic V= 200

cm3 i coeficientul de compresibilitate izoterm =4,85.10-10 N

m2 , s se determine

numrul de rotaii necesare a fi efectuate, la roata volant, pentru obinerea unei suprapresiuni ps =240 at.

Fig. 1.9

Elementele componente ale presei cu urub, conform figurii 1.9:

1- conduct central; 2- cilindru; 3- piston cu diametrul d; 4- tija filetat a pistonului; 5,6- robinete;

7- rezervor cu ulei; 8- supap conic cu tija filetat; 9- roat volant; M.E- manometru etalon; M.V- manometru de verificat.

12

Rezolvare: Se cunoate relaia modulului de compresibilitate:

dpdV

V

1

pentru variaii finite mici, relaia poate fi scris:

pV

V

1

Variaia de volum ca urmare a deplasrii pistonaului presei este:

hndV 4

2

n - numrul de rotaii ale volantului presei. Dac exprimm aceiai variaie de volum din expresia modulului de compresibilitate

(abstracie fcnd de semn):

pVV Se poate scrie:

pVhnd

4

2

de unde:

spp

hdpV

n s24

nlocuind datele problemei, n sistemul internaional obinem:

093,10102102,1

10750

53,735240102001085,44342

5610

n

13

1.2. S se calculeze densitatea dioxidului de carbon (CO2), la temperatura t=400C i presiunea p=830 mm col.Hg.

Rezolvare: Din ecuaia gazelor perfecte:

RTvp

MR

1

v volumul specific

=8314 J/Kmol K

KmolkgM masa kilomolar a dioxidului de carbon:

KmolkgM 4416212

TpM

TM

p

KtTT 15,3134015,2730

3

5

87,115,3138314

1075083044

mkg

1.3. S se determine viteza de propagare a sunetului n aer, la temperatura de 40C,

dac legea de variaie a densitii aerului este adiabatic. Pentru aer, masa kilomolar

KmolkgM 29 i 4,1k (exponentul adiabatic).

Rezolvare: Se cunoate c viteza sunetului este:

ddpc

Din ecuaia adiabatei putem scrie:

14

constvp k

constpk

dkconstdp k 1

pkkp

ddp k

k 1

Din ecuaia gazelor perfecte putem scrie:

RTvp sau

TM

p

Lund n considerare cele scrise anterior:

MTk

ddp

sm

MTk

ddpc 524,333

2915,27783144,1

1.4. Cuzinetul unui lagr, figura 1.10, are diametrul cmDc 24,12 i lungimea

cmL 14 .

Fig. 1.10

15

Diametrul arborelui este cmDa 22,12 , iar turaia acestuia este min160 rotn .

Stiind c uleiul lubrifiant are vscozitatea dinamic la temperatura de lucru

245,0

msN

, s se determine fora de frecare vscoas i putrea disipat sub form de

cldur n mediul nconjurtor, pe unitatea de timp. Rezolvare: Se cunoate c fora de frecare tangenial, datorat vscozitii, este:

dSdndvdFt

Pentru o variaie finit mic a vitezei, la periferia arborelui din figura 3, putem scrie:

SvFt

sau

NLR

LRR

F aaa 55,1768

101011,6755,1645,0222 4

422

1755,16

30 sn

mcmDD ac 41001,0

2

Puterea disipat sub form de cldur este:

wRFvFP a 51,18101011,6755,1655,17682

2. Statica fluidelor

16

Satica fluidelor sau hidrostatica, studiaz repausul lichidelor (repaus considerat n

raport cu un sistem de referin fix) i aciunile pe care acestea le exercit asupra corpurilor solide cu care vin n contact direct.

Forele exterioare care acioneaz asupra unui corp lichid aflat n repaus se mpart n dou categorii:

- fore masice; - fore de suprafa. 2.1. Fore masice. n toate cazurile se constat c asupra unei mase de fluid considerate, acioneaz o

for proporional cu masa respectiv.

Fig. 2.1

Pentru cazul cmpului de for gravitaional, conform figurii 2.1, fora masic

elementar, dFm care acioneaz asupra unui corp fluid de mas elementar dm, poate fi scris:

dmfFd m (2.1)

Spaiului n care se gsete masa dm, i se poate ataa un cmp de for a crui

vector intensitate este:

dmFdf m (2.2)

Vectorul intensitate a cmpului de for, are dimensiune de acceleraie, fiind o

mrime de cmp, deci va depinde numai de coordonatele punctului considerat. n cmpul de for gravitaional, intensitatea cmpului de for gravitaional poate fi

scris, dup cum se constat din figura 2.2 sub forma:

kgfg

17

Fig. 2.2 Se cunoate ns c:

dVdm deci

dVfFd m (2.3) 2.2. Fore de suprafa. n vederea analizei problemelor legate de echilibrul i micarea corpurilor fluide, se

va separa totdeauna masa fluid considerat de mediul nconjurtor, cu ajutorul unei suprafee nchise denumit suprafa de control, fiind notat cu S.

n consecin se poate lucra cu masa fluid din interiorul suprafeei de control, fcnd abstracie de mediul nconjurtor, dac aciunea mediului nconjurror asupra masei fluide, se nlocuiete cu fore care acioneaz pe suprafaa de control. Aceste fore care nlocuiesc legturile cu mediul nconjurtor, pe suprafaa de control, figura 2.3, se numesc fore de suprafa.

O for elementar de suprafa poate fi scris:

dSpFd ss (2.4) dFs fora elementar de suprafa; dS - suprafaa elementar considerat; ps - reprezint tensiunea (coeficient de proporionalitate);

18

Fig. 2.3

Vectorul ps nu formeaz un cmp vectorial, pentru c valoarea ei depinde n afar de coordonatele punctului considerat i de modul cum a fost trasat suprafaa de control prin punctul considerat.

O for de suprafa are dou componente: una dup direcia normalei la elementul de suprafa n punctul considerat i una dup o direcie tangenial (direcie aleas n mod convenional), conform figurii 2.4.

Fig. 2.4

stsns FdFdFd (2.5) Tensiunea ps poate fi de asemenea descompus dup cele dou direcii:

tpnpp tns (2.6) pn - componenta normal a tensiunii; pt - componenta tangenial a tensiunii; n - versorul normalei; t - versorul tangentei.

19

n cazul staticii fluidelor, componenta tangenial a tensiunii este egal cu zero. Componenta pt se noteaz de obicei cu . n statica fluidelor pt= =0.

Normala la elementul de suprafa, este orientat tot timpul, de la mediul fluid spre exterior conform figurii 2.5.

Fig. 2.5

Componenta normal a forei elementare de suprafa dFsn acioneaz pe elementul de suprafa dup aceiai direcie cu normala, ns n sens contrar.

Se va face convenia s numim fa pozitiv a suprafeei de separaie S, partea n care se gsete versorul normalei n , iar fa negativ cealalt parte.

Componenta forei elementare de suprafa dup direcia normalei dFsn poate fi scris:

dSnpFd nsn (2.7)

Aceast relaie este valabil, n cazul n care se ndeprteaz mediul de pe faa

potitiv. 2.3. Ecuaia lui Euler n hidrostatic. Aceast ecuaie servete la calculul distribuiei de presiune n interiorul unui corp

fluid n spe lichid, care se gsete n echilibru static, ca urmare a aciunii cmpurilor de for n care se afl.

Se consider un volum elementar de lichid dV dxdydz , figura 2.6, aflat n echilibru static.

20

Fig. 2.6

Lichidul coninut n volumul elementar dV se consider omogen i izotrop, astfel nct rezultatele obinute pentru o particul de lichid de mas unitar dintr-un anumit punct considerat, rmn valabile pentru oricare alt particul din volumul dV.

Se consider c lichidul coninut n volumul elementar dV se afl n echilibru. Ca urmare suma forelor elementare exterioare ce acioneaz asupra acestuia, trebuie

s fie zero.

dmaFd ext (2.8) Condiia echilibrului static, este ca acceleraia s fie egal cu zero. a 0, deci

0extFd (2.9) Trebuie precizat c n aceast situaie componenta tangenial a tensiunii

0 tp De asemenea trebuie subliniat faptul c ntr-un astfel de caz, o for elementar de

suprafa admite component numai dup direcie normal, la suprafaa considerat:

dSnpFdFd sns (2.10) Suma forelor elementare exterioare ce acioneaz asupra elementului de volum, este

format din fora masic elementar i o sum de fore elementare de suprafa.

0 smext FdFdFd , dar (2.11)

dxdydzfdVfdmfFd m

21

Se consider c intensitatea cmpului de for admite componente dup toate direciile sistemului de axe:

zyx fkfjfif Fora masic elementar poate fi scris:

dxdydzfkdxdydzfjdxdydzfiFd zyxm , (2.12)

mzmymxm dFkdFjdFiFd (2.13) Comparnd ultimele dou relaii, rezult componentele scalare ale forei masice:

dxdydzfdFdxdydzfdFdxdydzfdF

zmz

ymy

xmx

(2.14)

Suma forelor elementare de suprafa care acioneaz pe feele paralelipipedului se

scrie:

212121 szszsysysxsxs FdFdFdFdFdFdFd (2.15) Astfel relaia vectorial (2.11) devine este echivalent cu urmtorul sistem de relaii

scalare:

0

0

)(0

21

21

21

szszmz

sysymy

sxsxmx

dFdFdF

dFdFdFadFdFdF

(2.16)

Vom analiza relaia (a), care reprezint ecuaia echilibrului static dup axa x. Urmrind figura 2.6 se poate observa c sunt figurate forele elementare de suprafa

pe feele dsx1 respectiv dsx2 i fora masic elementar, ce acioneaz n punctul M(x,y,z), aflat centrul de greutate al paralelipipedului care reprezint i centrul geometric al acestuia.

Dac proiectm punctul M(x,y,z) din centrul de greutate, dup direcia axei ox, pe

cele dou fee paralele cu planul yoz, obinem punctele M xdx

y z1 2( , , ) i

M xdx

y z2 2( , , ) . Comparnd versorii normalelor la aceste fee cu versorii axelor de

coordonate rezult:

22

in 1 i in 2 n continuare se poate observa c:

dydzipdsxnpFd

dydzipdsxnpFddydzdsxdsx

sx

sx

2222

1111

21

2

1

Scalar se poate scrie:

dydzpdF

dydzpdF

sx

sx

2

1

2

1

Se consider c presiunea are o anumit lege de variaie dup axa x conform figurii

2.7.

Fig. 2.7 Funcia de presiune fiind o funcie continu, dac se cunoate presiunea n punctul

M, care este p p x y z ( , , ), atunci pot fi scrise presiunile n punctele M1 i M2.

2),,(),,

2(11

dxxpzyxpzydxxpp

2),,(),,

2(22

dxxpzyxpzydxxpp

23

Ca urmare forele elementare de suprafa dup axa x pot fi scrise:

dydzdxxpdydzzyxpdFsx 2

),,(1

dydzdxxpdydzzyxpdFsx 2

),,(2

Suma forelor elementare de suprafa dup axa x ,va fi:

dxdydzxpdFdF sxsx

21

Revenind la relaia (a) din sistemul scalar (2.16), obinem:

0 dxdydzxpdxdydzfx

Dup simplificarea relaiei cu dxdydz dm, relaia devine valabil pentru o

particul de fluid de mas unitar.

01 xpfx

,

Prin permutri circulare pot fi scrise relaiile i dup celelalte axe de coordonate,

obinnd sistemul:

01 xpfx

01 ypf y

(2.17)

01 zpf z

,

Sistemul de relaii scalare (2.17) reprezint ecuaia echilibrului static, sau ecuaia lui

Euler n cazul Hidrostaticii, scris sub form scalar. Dup nmulirea relaiilor pe rnd cu i j k, , i nsumarea lor obinem:

01 pgradf

(2.18)

24

Aceasta reprezint ecuaia echilibrului static sau ecuaia lui Euler n Hidrostatic scris sub form vectorial. Folosind operatorul diferenial cu structur de vector nabla (), aceiai ecuaie (2.18) mai poate fi scris:

01 pf

Aceast ecuaie arat c ntr-un cmp de for, o particul de lichid de mas unitar

se afl n echilibru static datorit aciunii forei masice unitare ( f ) i a forei de presiune

unitare ( 1

p ).

2.4. Integrarea ecuaiei echilibrului static ntr-un cmp de for. Se consider ecuaia echilibrului static scris sub form scalar:

01 xpfx

01 ypf y

01 zpf z

,

Dac nmulim pe rnd relaiile cu dx,dy i dz, dup nsumare obinem:

01

dz

zpdy

ypdx

xpdzfzdyfdxf yx

(2.19)

Se poate observa c expresia din paranteza relaiei (2.19) reprezint difereniala

total a funciei de presiune:

dzzpdy

ypdx

xpdp

n continuare notm: ddzfzdyfdxf yx (2.20)

25

Se cunoate c:

dzz

dyy

dxx

d

sau

dzz

dyy

dxx

d

(2.21)

Dac comparm expresiile (2.20) i (2.21) rezult relaiile:

zf

yf

xf

z

y

x

Componentele scalare ale intensitii cmpului de for, sunt de fapt derivatele

pariale ale funciei scalare , luate cu semnul minus. Astfel din relaia (51) se mai poate scrie:

dzfdyfdxfd yyx de unde prin integrare obinem:

dzfdyfdxf zyx (2.22)

Funcia scalar reprezint potenialul cmpului de for sau potenialul forelor

masice. nlocuind rezultatele obinute n relaia (2.19), putem scrie:

01 dpd

schimbnd semnul i integrnd ultima relaie, obinem:

ctdp (2.23) Relaia (2.23) reprezint relaia fundamental a staticii fluidelor.

Se noteaz Pdp

p( ) i poart numele de funcie de presiune, sau potenialul forelor de presiune.

26

2.5. Formele relaiei fundamentale a staticii fluidelor. 2.5.1. Repausul fluidelor incompresibile. Pentru fluide incompresibile, cazul lichidelor n aplicaiile tehnice curente, la care

densitatea se poate considera constant ( ct ), funcia de presiune este:

dpP p)( ct

pdp 1

Astfel relaia (2.23) devine:

ctp

(2.24)

Aceast relaie reprezint relaia fundamental a staticii fluidelor incompresibile, sau

relaia echilibrului static, integrat pentru fluide incompresibile. 2.5.2. Repausul politropic al fluidelor compresibile. n cazul repausului politropic se poate scrie:

nnpp

0

0

, n care: (2.25)

n - reprezint exponentul politropic; p0 - este presiunea n condiii normale fizice; 0 - reprezint densitatea n condiii normale fizice; p- este presiunea la o stare oarecare; - reprezint densitatea tot la o stare oarecare. La repausul gazului n aceast situaie, temperatura nu rmne constant, de

asemenea exist schimb de cldur cu mediul exterior. Din relaia (2.25) se scrie:

nn

pp 0

0 prin difereniere obinem:

dnpdp nn1

0

0

dpP p)( ct

pn

ndpn nnn

n 1

0

02

0

0

1

sau

27

ctpn

nPn

p

1

00

0)( 1

Dar folosind relaia (2.25) se scrie:

nnn

n

ppdeci

pp

1

0

1

0

1

00

,adic

ctppp

nndp n

n

1

00

0

1

Lund n considerare relaia fundamental a staticii fluidelor, pentru gaze aflate n

repaus politropic obinem:

ctppp

nn n

n

1

00

0

1 (2.26)

Aceasta reprezint relaia fundamental a staticii fluidelor compresibile, scris pentru

repausul politropic. 2.6. Cazuri particulare ale ecuaiei echilibrului static la fluide incompresibile. 2.6.1. Ecuaia echilibrului static n cmpul de for gravitaional. n cmpul de for gravitaional, funcia de potenial reprezint potenialul

cmpului de for gravitaional (pe care l vom nota cu g ).

)( dzfdyfdxf gzgygxg f f fgx gy gz, , , reprezint componentele forei masice elementare, pentru o mas de

fluid egal cu unitatea, n cmpul de for gravitaional (intensitatea cmpului de for gravitaional). Aceasta poate fi scris:

gzgygxg fkfjfif

28

Fig. 2.8

n figura 2.8 poate fi observat intensitatea cmpului de for gravitaional, care acioneaz dup direcia liniilor de for ale cmpului gravitaional i n sens invers axei z.

Pentru intensitatea cmpului de for gravitaional componentele scalare sunt:

gff

f

gz

gy

gx

0

0

Potenialul cmpului de for gravitaional poate fi scris:

ctgzdzggdzg Relund ecuaia echilibrului static n cazul fluidelor incompresibile, aceasta se scrie:

,ctpg sau

ctpgz

(2.27)

Se poate observa c la z=ct,rezult p=ct. Dac lum un vas paralipipedic cu perei rigizi, umplut cu lichid pn la partea

superioar, a crui baz este chiar n planul xoy, atunci urmrind figura 2.9, n cazul n care scriem relaia (2.27), pentru dou puncte M i Mo, n cazul fluidelor incompresibile, la care densitatea ct , obinem:

0

0pgzpgz sau:

29

)( 00 zzgpp , dar observnd c: g , greutatea specific a lichidului;

hzz 0 h - reprezint adncimea sau cota, msurat de la suprafaa liber, n sens invers axei

oz, conform figurii 2.9.

Fig. 2.9

Avnd n vedere precizrile fcute, se obine n final :

hpp o (2.28) Relaia obinut poart numele de ecuaia fundamental a hidrostaticii. Aceast relaie permite calcularea presiunii n orice punct al unui lichid aflat n

repaus. Presiunea p, se compune din dou pri: 1) presiunea care acioneaz pe suprafaa liber po ; 2) presiunea creat de greutatea straturilor de lichid suprapuse h. Presiunea ntr-un lichid aflat n repaus variaz liniar cu cota h (adncimea). Relaia (59) este similar cu ecuaia unei drepte: y ax b ; n care b considerat constant, este asimilat cu po, a tot constant asimilat cu , iar x variabil,

asimilat cu h. Dac se urmrete figura 2.10, care reprezint un rezervor etan parial umplut cu

lichid, pe suprafaa liber a acestuia presiunea fiind po, se pot constata cele ce urmeaz. La aceiai cot h n raport cu suprafaa liber presiunea este constant, fiind:

p gh h . Se verific de fapt c presiunea variaz liniar cu cota h. Suprafeele care conin punctele de egal presiune poart numele de suprafee de

nivel sau suprafee echipoteniale. Suprafeele echipoteniale sunt suprafee izobare, izodense i izoterme.

30

ntr-un fluid n repaus suprafeele echipoteniale nu au nici-un punct comun. Dac dou suprafee echipoteniale ar avea un punct comun, ar rezulta c n acest punct presiunea ar avea dou valori diferite, ceea ce este absurd, deoarece presiunea are o valoare unic ntr-un punct dat.

Fig. 2.10

Fora masic elementar ce acioneaz asupra unei particule fluide, acioneaz dup o direcie normal la elementul de suprafa echipotenial, n sensul creterii presiunii.

Suprafaa de contact dintre dou fluide nemiscibile n repaus, este o suprafa echipotenial. De exemplu suprafaa de separaie dintre un lichid i un gaz.

Presiunea exercitat pe suprafaa liber a unui lichid n repaus, se transmite neschimbat n toate punctele lichidului (principiul lui Blaise Pascal). Pe baza acestui principiu a lui Pascal, se construiesc presele hidrauluice, acumulatoarele hidrauluice, amplificatoarele hidrauluice de presiune, etc.

2.6.1.1. Presa hidraulic. Presa hidraulic este utilizat pentru amplificarea forelor prin intermediul unui

lichid, de regul ulei. Elementele componente ale presei hidraulice sunt: 1- travers solidar cu fundaia prin intermediul unor montani rigizi; 2 - material de presat; 3 - piston de lucru cu diametrul D; 4 - cilindru de lucru; 5 - piston de comand cu diametrul d; 6 - supap de refulare; 7 - supap de aspiraie; 8 - bra rigid articulat n C; 9 - rezervor cu ulei,

31

10 - cilindru de comand; 11 - conduct de retur a uleiului n rezervorul 9; 12 - robinet de retur; 13 - montant rigid; 14 - tij rigid scurt rezistent la flambaj.

Fig. 2.11

Funcionarea presei este urmtoarea: - dac fora f1 este aplicat n sus, pistonul cu diametrul d se va deplasa n sus

realiznd o depresiune n cilindrul de comand 10. Ca urmare se va deschide supapa de aspiraie 7 iar uleiul va fi aspirat din rezervorul 9, n cilindrul de comand. Dac fora f1 este aplicat n jos, pistonul 5 coboar, ia natere o suprapresiune n cilindrul 10, se deschide supapa de refulare 6, iar uleiul sub presiune ajunge n cilindrul de lucru 4 i acioneaz asupra pistonului de lucru 3. Acesta se va deplasa n sus acionnd asupra materialului care se preseaz 2.

Urmrind figura 2.11, se poate scrie:

a

baff

afbaf

1

1

Fora f acioneaz asupra pistonului cu diametrul d, realiznd n ulei o presiune:

24dfp

32

Aceast presiune se exercit asupra pistonului cu diametrul D, rezultnd o for de lucru F.

2

22

4 dDfDpF

nlocuind expresia forei f fora dezvoltat de pres se scrie:

1

2

fdD

abaF

(2.29)

Presele hidraulice au o larg rspndire n industria metalurgic, industria

constructoare de maini, industria uoar, n agricultur, etc. Tot pe acelai principiu se bazeaz i cricul hidraulic utilizat la ridicarea sarcinilor mari.

2.6.1.2. Amplificatorul hidraulic de presiune. Acest dispozitiv este utilizat pentru amplificarea presiunii pentru diverse scopuri

practice.

Fig. 2.12

Conform figurii 2.12, presiunea p1 acioneaz pe faa pistonului cu diametrul D din stnga i dezvolt o for:

4

2

1DpF

Aceast for trebuie s fie egal cu fora dezvoltat de presiunea p2 pe pistonul din

dreapta avnd diametrul d. Deci se poate scrie:

4

2

2dpF

Este evident n aceast situaie relaia:

33

44

2

1

2

2Dpdp ;

rezult:

2

12

dDpp (2.30)

Presiunea se amplific prin urmare cu raportul Dd

2

. Aceste amplificatoare de

presiune se folosesc n acionrile i transmisiile hidraulice, larg rspndite n construciile de maini.

2.6.1.3. Acumulatorul hidraulic. Acumulatoarele hidraulice sau oleo-pneumatice folosite n acionrile hidraulice sunt

executate n mod obinuit sub forma unui rezervor tampon cilindric, avnd n interior un piston flotant, la fel ca nfigura 2.13.

Fig. 2.13 Elementele componente ale unui acumulator hidraulic, conform figurii 2.13 sunt

urmtoarele: 1- rezervor tampon cilindric; 2- piston flotant; 3- conduct pentru uleiul sub presiune; 4- conduct scurt necesar la realizarea pernei de aer; 5- robinet. Acumulatorul hidraulic este legat de regul, n paralel cu consumatorul dintr-un

circuit hidraulic, fiind alimentat cu ulei sub presiune de ctre o pomp, schema de legare este reprezentat n figura 2.14.

34

Funcionarea acumulatorului hidraulic este urmtoarea: - n cazul n care consumatorul din circuitul hidraulic cere o cantitate mai mic

de ulei sub presiune, surplusul de ulei sub presiune este trimis spre acumulatorul hidraulic, unde acesta va deplasa pistonul flotant din poziia extrem dreapta, corespunztoare lui x2, n poziia extrem stnga corespunztoare lui x1, realiznd o pern de aer sub presiune n partea stng a pistonului flotant. n acest volum de aer corespunztor deplasrii x1, este nmagazinat o rezerv de energie sub form de lucru mecanic al forelor elastice. Dac ulterior consumatorul pretinde pe o perioad scurt de timp, o cantitate mai mare de ulei sub presiune, ce depete posibilitile pompei, n aceast situaie perna de aer sub presiune din stnga pistonului flotant se destinde i realizeaz o pompare de ulei sub presiune spre consumator, furnizndu-i acestuia o energie suplimentar.

Fig. 2.14

Pentru calculul energiei nmagazinate de acumulator se fac urmtoarele ipoteze: - comprimarea i destinderea aerului este izoterm; - volumele de aer sunt proporionale cu deplasarile x ale pistonului flotant; - se neglijeaz frecrile. Lucrul mecanic elementar furnizat de acumulator este:

dxSpdL , n care: p- reprezint presiunea; S- este suprafaa frontal a pistonului flotant; dx- reprezint deplasarea elementar a pistonului. Destinderea aerului fiind izoterm se poate scrie:

35

mRTVprespectivmRTpV

11

VV

pp

ctVppV

11

11

Dup figura 2.13, se scrie:

1

21111

11

22

11

ln2

1

2

1

2

1VV

VpVdVVpdV

VV

pdVpL

xSVxSVdxSdV

V

V

V

V

V

V

Dar avnd n vedere c p V p V1 1 2 2 , rezult:

2

1

1

2

pp

VV

n final rezult relaia pentru energia nmagazinat de acumulator:

2

111 ln p

pVpL (2.30)

2.7. Msurarea presiunilor. Se poate spune c ecuaia echilibrului static st la baza metodelor utilizate n practic

pentru msurarea presiunilor. Pentru exprimarea presiunilor, se folosete scara absolut i scara relativ. Elementul

de difereniere l reprezint presiunea atmosferic, care este o presiune de referin. Astfel presiunea absolut se determin fa de zero absolut (din punct de vedere al presiunii), iar presiunea relativ se msoar pornind de la valoarea presiunii atmosferice.

2.7.1. Barometrul.

36

Pentru msurarea presiunii atmosferice ca element de baz, se utilizeaz un tub de sticl plin cu mercur, care este nchis la un capt, avnd lungimea de circa 900 mm. Acest tub este rsturnat cu captul liber ntr-un vas ce conine de asemenea mercur. Dac acest lucru se efectueaz la nivelul mrii i la temperatura de 0 oC, tubul continu s rmn umplut cu mercur pe o nlime egal cu 760 mm. Coloana de mercur rmas n tub echilibreaz n acest caz presiunea atmosferic. Experiena a fost fcut pentru prima oar de Evangelista Torricelli discipol al lui Galilei. Torricelli a observat c nlimea acestei coloane de mercur variaz n timp. De aici a tras concluzia c presiunea atmosferic prezint fluctuaii n timp, fapt de mare importan n meteorologie.

Blaise Pascal a utilizat pentru prima dat tubul lui lui Torricelli ca instrument de msur a presiunii atmosferice, dndu-i numele de barometru.

Fig. 2.15

Urmrind figura 2.15 n care este artat schema de principiu a barometrului, dac scriem ecuaia de echilibru a presiunilor la nivelul suprafeei libere a mercurului din rezervor, la nivelul mrii i la o temperatur de 0 0C obinem:

HgHgoat hgpp

Avnd n vedere faptul c po 0, fiind presiunea vaporilor saturai de mercur la

temperatura de 0 0C rezut presiunea atmosferic:

HgHgat hgp nlocuind valorile mrimilor n sistemul internaional; Hg=13595 kg/m

3; g = 9,81m/s2; hHg=0,76 m , obinem: pat 101358,882 N/m2. Unitatea de msur a presiunii n SI este N/m2 i poart numele de Pascal (Pa), n

memoria lui Blaise Pascal. 2.7.2. Aparate folosite la msurarea presiunilor.

37

Pentru msurarea presiunilor sau a diferenelor de presiuni mici, se folosesc piezometrele, aparate care se bazeaz pe echilibrarea forelor de presiune prin intermediul unei coloane de lichid. Lichidul folosit la msurare poart numele de lichid piezometric.

2.7.2.1. Piezometre directe. Piezometrul direct sau tubul manometric, msoar presiunea relativ, la peretele

unui rezervor n punctul de legare, n situaia cnd n rezervor se afl lichid. n locul dorit pentru msurare, se practic un orificiu n peretele rezervorului n care se monteaz o eav subire scurt, care formeaz priza de presiune. Cu ajutorul unui futun se face legtura la un tub de sticl vertical sau nclinat, care are ataat o scal gradat montat pe un suport.

Lichidul din rezervor reprezint lichidul piezometric, care poate urca prin furtunul de legtur n tubul piezometric. La captul liber al tubului ptrunde fluidul din mediul nconjurtor (de obicei aerul), acionnd cu presiunea mediului asupra lichidului din tub, figura 2.16.

Presiunea absolut n punctul M aflat n axa prizei de presiune, poate fi exprimat:

ghpp atM (2.31) Dac cunoatem valoarea presiunii atmosferice, pe care o putem citi la barometru,

poate fi determinat presiunea n punctul M. Presiunea relativ msurat de piezometrul direct este: p p ghM at (2.32) Aceast metod de msurare este foarte precis. Domeniul de msurare este limitat

de posibilitatea citirii n condiii bune a unei coloane de lichid de nlime mare. Uzual acest instrument poate fi folosit pn la o nlime maxim de coloan de 2...3 m.

La msurarea unor presiuni relative mici se poate practica nclinarea tubului manometric, n vederea creterii preciziei de citire. Astfel presiunea se determin n aceste condiii cu relaia:

singlpp atM (2.33)

38

Fig. 2.16

2.7.2.2. Piezometre indirecte. Piezometrele indirecte se folosesc la msurarea presiunilor mici i mijlocii, respectiv

a diferenelor de presiune n cazul gazelor sau lichidelor. Domeniul de utilizare al acestor aparate se poate extinde n cazul n care n care

lichidul de msur este mercurul, a crui densitate este: Hgkgm

13595 3 . n acest caz suprafaa de separaie dintre cele dou fluide este bine conturat.

Dac se msoar presiuni mici la gaze reci, ca lichide piezometrice se poate folosi

alcoolul (alcoolkgm

800 3 ) sau apa distilat (apkgm

1000 3 ). n situaia n care fluidul a crui presiune se msoar este lichid, se utilizeaz ca lichid piezometric mercurul.

La astfel de msurri n majoritatea situaiilor, se folosete tubul manometric indirect, care este un tub de sticl de forma literei U, legat printr-un furtun de cauciuc la priza de presiune a recipientului, la care dorim s-i determinm presiunea.

Piezometrul indirect manometric. Acest tip de piezometru se utilizeaz la msurarea unor presiuni mai mari dect

presiunea atmosferic, schema de principiu fiind artat n figura 2.17.

39

Fig. 2.17

Condiia de msurare confom figurii 2.17 este urmtoarea:

at

lp

pp

n cazul n care scriem ecuaia de echilibru pentru presiuni la nivelul I-I obinem

pentru braul din din stnga al piezometrului:

1ghpp ar pentru braul din dreapta la acelai nivel:

ghpp lpat Urmrind relaiile anterioare rezult:

ghpghp lpat 1

1hhgpp lpat (2.34) Dar p pat b reprezint presiunea citit la barometru sau presiunea barometric

cum este denumit n mod uzual. Valoarea pozitiv g h h plp s 1 poart numele de suprapresiune

sb ppp (2.35)

40

Piezometrul indirect vacuummetric. La msurarea presiunilor mai mici dect presiunea atmosferic se folosete

piezometrul indirect vacuummetric, figura 2.18. Conform condiiei enunate se impune: lp ; p pat Dac scriem echilibrul presiunilor din cele dou brae ale piezometrului la nivelul II-

II, obinem:

Fig. 2.18

hpp lpat n mod similar la nivelul I-I se poate scrie:

2hpp

hhgpphhpp

lpat

lpat

2

2 (2.36)

Se noteaz cantitatea pozitiv:

hhgp lpd 2 i poart numele de depresiune. Presiunea atmosferic se citete la barometru i se noteaz:p pat b , n acest caz relaia devine:

db ppp Relaia obinut reprezint relaia uzual n cazul vacuummetrlor.

41

Piezometrul indirect diferenial. Se utilizeaz la msurarea diferenelor de presiune, existente ntre dou rezervoare

diferite. n aceast situaie ambele capete ale tubului manometric sunt racordate la prizele de presiune ale rezervoarelor prin intermediul unor furtune flexibile. Pentru cazul expus n figura 2.19 se impune condiia:

lp ; p1 p2 Urmrind figura 2.19 la nivelul I-I putem scrie:

111 ghpp n mod similar la nivelul II-II se scrie:

222 ghpp Prin diferena dintre ultimele dou relaii se obine:

212121 hhgpppp

Fig. 2.19

Din scrierea ecuaiei de echilibru de echuilibru a presiunilor la nivelul III-III rezult:

ghpp lp 21

De unde se obine:

ghpp lp 21

2121 hhgghpp lp

42

Urmrind figura 2.19, din lanul de nchidere al cotelor se observ c:

hhhhhhhh

321

231

n final diferena de presiuni va fi:

321 hhgghpp lp (2.37) Piezometrul inversat diferenial. Acest aparat se utilizeaz la msurarea unor diferene de presiuni mici, lichidul

piezometric din piezometru fiind chiar lichidul coninut n recipientele a cror diferen de presiune se msoar.

Condiia impus pentru exemplul prezentat n figura 2.20 este: lp ; p2 p1

Fig. 2.20

Fluidul existent n tubul piezometric ntre nivelele III-III i IV-IV poart numele de fluid de nchidere, densitatea acestuia fiind mai mic dect a lichidului piezometric.

Dac scriem echilibrul presiunilor la nivelul I-I, urmrind braul din stnga al piezometrului obinem:

111 ghpp lp

n mod similar la nivelul II-II, urmrind braul din dreapta putem scrie:

222 ghpp lp

43

La nivelul III-III urmrind interiorul piezometrului inversat, poate fi scris relaia dintre presiunile de legtur:

p p gh1 2 Folosind ultimele trei relaii se scrie diferena presiunilor:

p p p p g h hlp2 1 2 1 2 1 Din lanul de nchidere al cotelor rezult:

312

231

hhhhhhhh

Avnd n vedere diferena dintre presiunile de referin:

ghpp 12 n final diferena presiunilor existent ntre cele dou recipiente va fi :

ghhhgpp lp 312 (2.38) Piezometrul cu bra nclinat (Micromanometrul cu bra nclinat). Micromanometrul cu bra nclinat se folosete la msurarea unor diferene mici sau

foarte mici de presiuni la gaze reci. Aparatul se compune dintr-un rezervor i un tub piezometric cu nclinare reglabil, care are ataat o scal gradat, figura 2.21.

Fig. 2.21

44

Avnd n vedere c suprafaa liber a lichidului piezometric din rezervor este mult mai mare n comparaie cu seciunea transversal a braului nclinat, la variaiile cotei hd n situaia schimbrii nivelului n braul nclinat, nivelul lichidului piezometric n rezervor rmne practic neschimbat.

Urmrind figura 2.21 se poate observa:

of lll lf - reprezint cota citit pe scala ataat braului nclinat; lo - este cota citit pe scal n repaus. Dac scriem egalitatea presiunilor la nivelul suprafeei libere a lichidului piezometric

din rezervor obinem:

sinsin 21 glpglp lp n cazul n care notm diferena de presiuni cu p , atunci:

sin)(21 lgppp lp (2.39) Pentru p orict de sczut ar fi, unghiul poate fi ales suficent de mic, astfel nct l

s fie suficent de mare, pentru a crete n mod corespunztor precizia de citire. 2.7.2.3. Manometrul cu tor oscilant (Balana inelar). Manometrul cu tor oscilant este un micromanometru diferenial pentru gaze. Acest

aparat se folosete la msurarea unor diferene de presiuni mici. Elementele componente ale balanei inelare pot fi urmrite n figura 2.22.

Fig. 2.22

45

Conform figurii 2.22 balana inelar se compune din: 1- tor de sticl umplut parial cu lichid de nchidere avnd densitate , 2- bra rigid solidar cu torul, 3- cuit prismatic fixat pe braul rigid, 4- reazem fix, 5- greutate de echilibrare a balanei notat cu G, 6- prize de presiune legate prin furtune elastice la recipientele a cror diferen de presiune se determin, 7- scal gradat. La partea superioar a torului, acesta este prevzut cu un perete rigid despritor care are suprafaa A.

R- reprezint raza medie a torului; r- este raza pe care se plimb centrul de greutate al balanei. Pentru cazul prezentat p2p1, astfel nct pe peretele solid despritor al torului

acioneaz o for, conform desenului, avnd valoarea F=pA, unde p=p2 -p1. Aceast for genereaz un moment activ de dezechilibrare a balanei care are valoarea:

pARARppM a )( 12

Momentul activ apare ca urmare a presiunilor diferite ce acioneaz asupra peretelui

despritor de suprafa A. Momentul reactiv sau de revenire Mr care echilibreaz momentul activ, este dat de

greutatea balanei G:

gmG m- reprezint masa balanei inelare,

sinrgmM r La echilibru se egaleaz cele dou momente: pAR m g r sin de unde rezult diferena de presiune:

sinRA

rgmp

(2.40)

Se poate observa c diferena de presiune este o funcie de unghiul : p=f, factorul scris sub form de fracie fiind de fapt o constant.

2.7.3. Manometre. La majoritatea masurtorilor practice nu pot fi folosite aparatele cu lichid, datorit

dezavantajelor acestora cum ar fi: domenii restrnse de msurare, citire mai dificil, fragilitate, lichide piezometrice cu pre ridicat (cazul mrecurului), etc.

Manometrele metalice cu elemente elastice de msurare nu prezint aceste impedimente. n general toate manometrele se bazeaz pe principiul deformrii unui element metalic elastic sub aciunea presiunii sau a diferenelor de presiuni, dac aparatul msoar diferene de presiuni. Fora de presiune acioneaz pe suprafaa activ a elementului elastic provocnd o deformare, care determin o for egal egal i de sens din partea acestuia.

46

Deformrile legate de solicitrile care apar nu trebuie s depeasc limita de proporionalitate al materialului din care este executat elementul elastic pentru evitarea apariiei unor deformri remanente. Chiar i n cazul respectrii acestei condiii, la un numr foarte mare de msurtori pot s apar mici deformaii remanente care ne oblig s efectum o reetalonare a aparatului n cadrul serviciilor de metrologie avizate.

Calitile acestor aparate deriv din: - posibilitatea utilizrii ntr-o gam larg de presiuni; - simplitate constructiv; - manipulare uoar cu citirea direct a valorii presiunii; - robustee i precizie satisfctoare n majoritatea situaiilor; - transport facil dintr-un loc n altul cu posibilitatea unei montri rapide. Aparatele avnd elemente elastice de msurare a presiunii sunt aparate de msurare a

presiunii relative, cum ar fi: manometre, vacuummetre, manovacuummetre, respectiv manometre difereniale.

Exist aparate de msurare a presiunii absolute cu element elastic asemntoare cu manovacuummetrele, care difer de acestea numai prin numerotarea scrii gradate.

2.7.3.1. Manometrul cu burduf. Acest tip de mamometru are ca element elastic un burduf cu perei ondulai, care

supus unei presiuni dinuntru sau din afar se deformeaz modificndu-i forma.

Fig. 2.23

n figura 2.23 poate fi urmrit schematic construcia unui astfel de manometru cu burduf.

Elementele componente sunt:1- burduf metalic cu perei subiri ondulai, 2- racord (conduct scurt) pentru presiune, 3- tij lamelar elastic, 4- bra rigid solidar cu acul indicator, dublu articulat; 5- reazem fix, 6- scar gradat.

Ca urmare a aciunii presiunii burduful se deformeaz, deplasarea fiind transmis acului indicator, care pe o scar gradat indic presiunea relativ corespunztoare. Domeniul de utilizare este cuprins ntre 0,5....5 bari.

47

Modul de deformare al burdufului la diferite valori ale presiunii poate fi urmrit n figura 2.24. Astfel n schema din figura 2.24 - b se poate observa modul de deformare al burdufului n situaia n care presiunea msurat este mai mare dect presiunea atmosferic (presiunea mediului), p pat. n schema din figura 2.24 - c se observ deformarea burdufului n cazul n care presiunea msurat este mai mic dect presiunea mediului, p pat.

Manometrul cu burduf poate fi folosit i la msurarea diferenelor de presiune, n situaia n care acesta mpreun cu sistemul de msurare este nchis ntr-o cutie metalic etan prevzut cu un vizor de sticl rezistent la diferenele de presiuni msurate.

Sunt situaii n care se msoar presiuni sau diferene de presiuni la rezervoare, care conin substane agresive din punct de vedere chimic. ntr-o astfel de situaie fortuit burduful este protejat printr-o acoperire metalic corespunztoare, cum ar fi: cuprare, nichelare, cromare, etc.

Fig, 2.24 2.7.3.2. Manometrul cu membran elastic. Acest aparat are ca element elastic o membran metalic de form circular,

ondulat, fixat etan ntre dou flane. Una din fee vine n contact cu fluidul sub presiune, iar cealalt fa este n contact cu mediul nconjurrtor (de obicei mediul atmosferic) i transmite deformaia acului indicator prin intermediul unei cremaliere i al unui pinion, figura 2.25.

Elementele componente ale manometrului cu membran, conform figurii 2.25 sunt: 1 - cutie metalic, 2 - membran metalic elastic circular cu peri ondulai 3 - cremalier, 4 - pinion solidar cu acul indicator, 5 - scar gradat. Trebuie precizat c axul pinionului este fixat n carcasa aparatului.

48

La msurarea presiunii unor fluide corozive (agresive chimic), membrana elastic poate fi protejat prin acoperire cu un strat de argint, cupru sau chiar platin. Aparatul poate msura presiuni relative mai mari sau mai mici dect presiunea atmosferic.

n general domeniul de utilizare pentru acest tip de aparat, n ceea ce privete presiunile msurate se ncadreaz n limitele 0,2....80 bari.

Fig. 2.25

2.7.3.3. Manometrul cu tub elastic (cu tub Bourdon). Aparatul este format dintr-un tub metalic de seciune oval aplatisat, curbat n arc

de cerc, figura 2.26.

Fig. 2.26

49

Elementele componente ale manometrului cu tub elastic sunt urmtoarele: 1- racord pentru presiune (tu) solidar cu corpul aparatului, 2- tub elastic, 3- pinion solidar cu acul indicator, 4- sector dinat articulat n corpul aparatului, 5- bra reglabil care transmite micarea de la tubul elastic la sectorul dinat, 6- arc spiral slab avnd rolul de readucere a acului indicator la zero.

Aparatul este prevzut cu o scar gradat marcat n uniti de presiune. Tot n figura 2.26 poate fi observat forma oval aplatatisat a tubului elastic ntr-o seciune A-A.

Sub aciunea presiunii tubul elastic are tendina s se ndrepte, deoarece seciunea transversal a acestuia tinde s ia form circular. Extremitatea liber a tubului elastic fiind prins de braul reglabil, acesta transmite micarea sectorului dinat care prin angrenare rotete pinionul mpreun cu acul indicator, indicnd valoarea presiunii pe scara gradat. n funcie de grosimea pereilor tubului elastic i de rezistena materialului, acest aparat poate fi folosit ntr-o gam larg de presiuni variind ntre 0,5....12000 bari.

Avantajul acestor aparate const n simplitatea construciei, sunt uoare deci portabile, uor de manevrat, avnd domeniul de utilizare foarte extins. trbuie precizat c aparatul poate fi folosit att ca manometru ct i ca vacuummetru. Totui datorit mecanismului de transmitere a deformaiei nu poate fi realizat o precizie prea mare. Dup un numr mare de msurtori, tubul elastic poate prezenta deformaii remanente, astfel nct se impun reetlonri periodice obligatorii.

2.8. Echilibrul relativ al lichidelor. Sunt situaii n care corpurile lichide se pot afla n echilibru relativ ca urmare a

aciunii conjugate a unor cmpuri de for. Ca exemple n acest sens pot fi date echilibrul relativ al lichidului dintr-un rezervor aflat sub influena cmpului gravitaional i a cmpului inerial, respectiv echilibrul lichidului dintr-un rezervor aflat sub influena cmpului gravitaional i respectiv a cmpului centrifugal.

2.8.1. Echilibrul relativ al lichidului dintr-un rezervor aflat n micare de

translaie uniform accelerat sub influena cmpului de for gravitaional. n situaia n care considerm un rezervor umplut parial cu lichid, rezervorul

aflndu-se n micare uniform accelerat pe un plan nclinat, asupra lichidului din rezervor acioneaz cmpul de for gravitaional i cmpul inerial. Se consider lichidul incompresibil, adic ct (densitatea o apreciem ca fiind constant).

Dac lum o particul de lichid M(x,y,z) de mas unitar, forele elementare ce acioneaz asupra acesteia conform figurii 2.27, sunt:

fg - intensitatea cmpului de gor gravitaional (fora elementar datorat cmpului gravitaional);

fi - intensitatea cmpului de for inerial (fora elementar de inerie).

50

Fig. 2.27

Relund relaia echilibrului static n cazul lichidelor:

ctp

n cazul considerat:

gi i - reprezint potenialul cmpului de for inerial; g - este potenialul cmpului de for gravitaional.

i dzfdyfdxf iziyix Urmrind figura 2.27, se poate observa:

afi (2.41) a - reprezint acceleraia rezervorului pe planul nclinat; n general se poate scrie:

iziyixi fkfjfif (2.42) Dac se proiecteaz intensitatea cmpului de for inerial dup axele oy, respectiv

oz, conform figurii 2.27, obinem:

sincos akajfi (2.43)

51

Comparnd relaiie (2.42) i (2.43), scriem componentele intensitii cmpului de for inerial:

sin,cos,0 afaff iziyix ;

Potenialul cmpului inerial se scrie:

ctzayadzadya

dzadya

dzfdyfdxf

i

i

iziyixi

sincossincos

sincos

Intensitatea cmpului de for gravitaional este:

gzgygxg fkfjfif ; componentele intensitii cmpului de for gravitaional sunt:

gfff gzgygx ,0,0 ; Potenialul cmpului de for gravitaional poate fi scris:

ctzgdzgdzgg ; Cu aceste precizri, relaia echilibrului static n cazul lichidelor pentru aceast

situaie devine:

ctpzagay

sincos (2.44)

Se cunoate c pe suprafaa liber a lichidului din rezervor acioneaz presiunea

mediului p0. Pentru un punct M x y z0 0 0 0, , de pe suprafaa liber poate fi scris ultima relaie, determinndu-se constanta ct.

y a g a z p ct0 0 0 cos sin (2.45) nlocuind valoarea constantei n relaia (2.44) obinem expresia presiunii:

zzagayypp 000 sincos (2.46)

52

Se observ c presiunea variaz liniar n funcie de acceleraie. Suprafeele echipoteniale se determin pentru ct .

ctgi Urmrind expresiile celor dou cmpuri inerial i gravitaional, obinem:

ya g a z ctcos sin 0 Se poate observa c suprafeele echipoteniale reprezint o familie de suprafee plane

nclinate, fiind n acelai timp paralele cu axa x. 2.8.2. Echilibrul relativ al lichidului dintr-un vas cilindric aflat n micare de

rotaie cu vitez unghiular constant. Dac avem n vedere un vas cilindric umplut parial cu lichid i care se afl n

micare de rotaie cu vitez unghiular constant, dac considerm o particul de lichid de mas unitar M (x,y,z), acest particul de lichid se va afla sub aciunea cmpului de for centrifugal i al cmpului de for gravitaional, dup cum reiese din figura 2.28. Asupra particulei considerate acioneaz intensitatea cmpului de for gravitaional i respectiv intensitata cmpului de for centrifugal, datorat micrii de rotaie a vasului.

Dup cum se cunoate ecuaia echilibrului static la lichide se scrie:

p

ct

n cazul de fa: g c De la cazul anterior se cunoate c: g g z ct

Fig. 2.28

53

Potenialul cmpului de for centrifugal se scrie:

dzfdyfdxf czcycxc n aceast relaie f f fcx cy cz, , reprezint componentele scalare ale intensitii

cmpului de for centrifugal, care se scrie:

czcycxc fkfjfif n cazul unei mase m care se rotete n jurul unei axe verticale cu turaia fora

centrifug se scrie:

rmFc2

pentru m=1,rezult intensitatea cmpului de for centrifugal:

rfc2

Micarea de rotaie avnd loc n planul xoy, vectorul de poziie este: r ix jy Ca urmare intensitatea cmpului de for centrifugal devine: f i x j yc

2 2 Comparnd aceast relaie cu forma cea mai general, care este: f if jf kfc cx cy cz Putem scrie componentele scalare ale intensitii cmpului de for centrifugal: f x f y fcx cy cz

2 2 0, , Astfel potenialul cmpului de for centrifugal va fi:

ctyxydyxdxc 22

22

2222

ctrctyx 22

222

22

54

Potenialul echilibrului relativ va fi:

ctrgz 22

2

ct reprezint familia de suprafee echipoteniale. Suprafeele echipoteniale reprezint o familie de paraboloizi de revoluie n jurul

axei oz:

gctCcaren

grCz 1

22

1 ;2

Revenind la ecuaia echilibrului static cu precizrile fcute, obinem:

ctprgz

22

2 (2.47)

Pentru determinarea constantei alegem un punct M0(0,0,z0) situat pe axa de rotaie a

vasului cilindric i n acelai timp pe suprafaa liber a lichidului din vas, conform figurii 2.29.

Fig. 2.29 n cazul punctului M0(0,0,z0) ales, presiunea p = p0, este chiar presiunea mediului

ambiant, sau presiunea pe suprafaa liber a lichidului. Raza de rotaie n acest caz r = 0. nlocuind n relaia (2.47) condiiile pentru punctul M0 obinem valoarea constantei:

55

0

0p

gzct

n aceste condiii relaia (2.47) poate fi scris:

0

02

2

2pgzprgz

Rezult astfel legea de distribuie a presiunii n cazul unui vas n micare de rotaie.

2

22

00rzzgpp (2.48)

Una din aplicaiile practice ale echilibrului relativ n cazul micrii de rotaie este

tahometrul hidraulic, aparat folosit pentru msurarea turaiei. Principiul de msurare n cazul acestui aparat, se bazeaz pe faptul c cota z0 scade odat cu creterea turaiei. Utiliznd un plutitor plasat pe suprafata lichidului, n axa de rotaie a vasului, care are ataat un indicator, acesta poate indica direct turaia pe o scar gradat n uniti de turaie.

2.9. Interpretarea geometric i energetic a ecuaiei echilibrului static, n

cmpul de for gravitaional. 2.9.1. Interpretarea geometric. n vederea interpretrii geometrice a ecuaiei echilibrului static considerm un

recipient de form paralelipipedic nchis la partea superioar, umplut parial cu lichid aflat sub influena cmpului de for gravitaional, conform figurii 2.30.

Fig. 2.30

56

Dac scriem ecuaia echilibrului static pentru lichide sub form integrat n cmpul de for gravitaional, vom avea relaia:

gzp

ct

Dup simplificarea relaiei cu acceleraia gravitaional g obinem:

zpg

ct

Produsul g = , reprezint greutatea specific a lichidului din rezervor, astfel relaia

anterioar poate fi scris:

ctpz

Aplicnd aceast relaie pentru piezometrele ataate pe peretele din dreapta

rezervorului, avem:

2

21

1p

zp

z

Urmrind figura 2.30, se poate observa c:

22

11

mat

mat

ghppghpp

(2.49)

Atunci mai departe nlocuind n relaia anterioar obinem:

at

mat

mp

hzp

hz 2211

Ceea ce conduce la:

mmm Hzhzh 2211 Hm - reprezint sarcina manometric. Din relaiile (2.49) mai putem scrie:

57

atm

atm

atm

pph

generalnsau

pph

pph

22

11

hm - poart n general numele de nlime manometric. Dac se consider piezometrele din partea stng a rezervorului, care sunt nchise la

capetele de sus, presiunea ce acioneaz la nivelul din partea superioar poate fi considerat ca fiind p0 0 (adic o presiune nelijabil pozitiv).

Pentru aceste piezometre se poate scrie:

4404

3303

44

33

bb

bb

hghpp

hghpp

dar

pz

pz

(2.50)

Urmrind figura 2.30 se poate exprima:

sbb Hhzhz 4433

Hs - reprezint sarcina hidrostatic total. Din relaiile (2.50) se poate scrie:

44

33

ph

ph

b

b

sau n general:

p

hb

hb - reprezint nlimea barometric.

58

2.9.2. Interpretarea energetic. n vederea interpretrii energetice se consider un rezervor paralelipipedic umplut

parial cu lichid i care este nchis la partea superioar. Presiunea pe suprafaa liber este p0 pat, conform figurii 2.31.

Fig. 2.31

Se consider un punct material fluid avnd masa elementar dm situat n planul peretelui din stnga la cota z. Energia potenial elementar de poziie a masei dm corespunztoare punctului material fluid este:

dmgdGzdGzgdmdE pot

dG - reprezint greutatea elementar a punctului material. Punctul material fluid mai dispune de un gen de energie, care se pune n eviden,

dac i se d posibilitate acestuia s urce ntr-un piezometru nchis la capt (la captul superior al piezometrului fiind presiunea p0 0

/ ). Pentru msurarea acestei energii se utilizeaz relaia lucrului mecanic consumat la

deplasarea masei dm de la nivelul I-I la nivelul II-II, n cmpul de for gravitaional, notatt ca fiind energia elementar de presiune dEpres.

p

dGhdGdE bpres

Energia elementar total a punctului material fluid este:

59

p

dGzdGdEdEdE prespottot

mprind prin dG, se obine:

pz

dGdE

dGdE

dGdE prespottot

Se noteaz: dEdG

etot totHS - energia specific total hidrostatic;

z epot - energia specific potenial de poziie; p

epres - energia specific de presiune.

n aceast situaie poate fi scris energia specific total hidrostatic sub forma:

pzeee prespottotHS

Conform relaiei echilibrului static, scris pentru cmpul de for gravitaional n

cazul fluidelor incompresibile:

ctpz

Aceast precizare fiind fcut se poate scrie energia specific total hidrostatic sub

forma:

cteee prespottotHS (2.51) Concluzia ar fi c suma dintre energia specific potenial i energia specific de

presiune este constant pentru toate punctele mediului lichid considerat, fiind egal cu energia specific total hidrostatic.

2.10. Aplicaii 2.1. Pentru determinarea nlimii de zbor a unui avion , se folosete un altimetru a

carui funcionare se bazeaz pe dependena dintre presiunea p i altitudinea h. S se calculeze presiunea la nlimea de zbor indicat de altimetru h= 9850 m, tiind c presiunea atmosferic la nivelul mrii este

20101325

mNp , iar densitatea n aceleai condiii

30228,1

mkg

. Se consider

repausul politropic , cu exponentul 235,1n .

60

Rezolvare: Conform relaiei fundamentale a staticii fluidelor:

constdp Pentru cmpul de for gravitaional :

dzfdyfdxf gzgygx

gzgygx fff ,, reprezint componentele scalare ale intensitii cmpului de for

gravitaional. Se cunoate c gf gz , celelalte componente fiind egale cu zero. constgzdzg Relaia staticii fluidelor se scrie:

constzgdp Pentru repausul politropic, scriem:

nn

pp

0

0

sau

n

n

pp 0

0 de unde

dnp

dp nn1

0

0

constppp

nnd

pndp

nn

nn

1

00

02

0

0

1

Relaia fundamental a staticii fluidelor, devine pentru z=h:

consthgppp

nn n

n

1

00

0

1

Constanta se determin , punnd condiiile limit pentru nivelul mrii:

0;0 pph

61

0

0

1 p

nnconst

nlocuind n relaia fundamental, valoarea constantei, avem:

0

0

1

00

0

11 p

nnhg

ppp

nn n

n

Explicitnd presiunea din ultima relaie, obinem n final:

1

0

00

11

nn

pnnhgpp

Dup nlocuirea datelor numerice:

21235,1

235,1

3,26935101325

228,1235,1

1235,1985081,91101325mNp

2.2. Stvilarul vertical al unui bazin cu ap, conform figurii 1, este articulat n A la

partea inferioar i simplu ancorat cu un cablu la partea superioar, n vederea meninerii lui n poziie de lucru. S se determine fora hidrostatic F ce acioneaz asupra stvilarului i fora Fc necesar n cablul de meninere n poziie nchis.

Fig. 2.32

62

Se cunosc datele:

0

3

30

9810

5,25,1

6

mN

uistavilarullatimeambmH

mH

Rezolvare: Fora hidrostatic elementar care acioneaz pe o suprafa elementar dS de

stvilar, avnd nlimea dh se scrie:

dhbhdShdF

NHbdhhbdhbhFHH

4414502

65,298102

22

00

Se poate constata c, fora hidrostatic ce acioneaz asupra stvilarului, mai poate fi

scris i sub forma:

s

H

IdhbhF 0

sI - reprezint momentul static al stvilarului, n raport cu axa x ,obinut prin

intersecia dintre suprafaa liber a apei i planul stvilarului. Pentru determinarea cotei la care acioneaz fora hidrostatic trebuie s scriem

suma momentelor forelor elementare, astfel:

3

3

0

2

0

HbIbdhhhdFhF xHH

c

ch - reprezint cota centrului de presiune (cota punctului n care acioneaz fora

hidrostatic); xI - este momentul de inerie al suprafeei stvilarului, n raport cu axa x0.

( x0 este axa paralel cu axa x care trece prin centrul de greutate al stvilarului) Avnd n vedere expresia forei hidrostatice, putem scrie:

HII

hs

xc 3

2

Din ecuaia de momente n raport cu articulaia A, avem:

63

cos HHFhHF cc

NF

HHbH

HH

HHHb

HHhHFF

c

cc

34,13593130cos5,1665,29810

61

cos61

cos32

2cos

0

3

3

2

2.3. Discul unui variator toroidal din aluminiu, este turnat centrifugal n cochil

metalic, conform figurii 2.33. S se determine presiunea absolut n punctul S situat la baza i totodat pe periferia piesei (nainte de solidificarea aluminiului turnat).

Date cunoscute:

cmhcmd

HgmmpmN

rotn

at

Al

4565

712

1065,2

min220

34

Fig. 2.33

64

Rezolvare: Relaia pe care o aplicm este relaia fundamental a staticii fluidelor incompresibile,

aplicabil n cazul n cazul echilibrului relativ:

constp

Potenialul micrii este suma dintre potenialul cmpului de for gravitaional i

potenialul cmpului de for centrifugal.

cg Se cunoate c (aplicaiile anterioare): constzgg

dzfdyfdxf czcycxc

Componentele intensitii cmpului de for centrifugal sunt:

czcycxc fkfjfif

0;; 22 czcycx fyfxf

constrconstyxydyxdxc 22

222

22

22

r - raza punctului material lichid considerat.

constrzgcg 2

2

2

De remarcat z i r sunt varialile n funcie de punctul considerat. Difereniala potenialului micrii este:

drrdzgd2

22

innd cont de relaia fundamental a staticii fluidelor incompresibile, putem scrie:

ddp

sau

65

dzgdrrdp 2

Prin integrare considernd limitele de variaie ale elementelor, avem:

h

dp

p

dzgdrrdpS

at 0

2

0

2

hgdpp atS

8

22

hgdpp

hgdpp

AlAlatS

AlAlatS

8

822

22

1038,2330220

30 sn

2

22245 69,18257645,0

81,98105,6038,231065,210

750712

mNpS

66

3. Cinematica fluidelor 3.1. Generaliti. Cinematica fluidelor se ocup cu studiul micrii fluidelor, fr a analiza cauzele i

efectele micrii. Studiul cinematicii fluidelor este valabil att pentru fluidele ideale ct i pentru fluidele reale.

Cinematica fluidelor se bazeaz pe ipoteza continuitii fluidelor. Astfel starea fluidului este caracterizat de parametri acestuia definii prin funcii continue i derivabile.

Studiul cinematic al micrii, poate fi fcut prin dou metode distincte, metoda Lagrange i metoda Euler.

3.1.1. Metoda Lagrange. Aceast metod studiaz micarea fiecrei particule de fluid, raportat la un sistem

de axe fix, conform figurii 3.1.

Fig. 3.1

Punctul M(x,y,z) este oconsecin a timpului t i a punctului iniial M0(x0,y0,z0) existent la timpul t0.

Vectorul de poziie rr al punctului M(x,y,z) este o consecin a vectorului de poziie r

r0 corespunztor punctului iniial considerat M0(x0,y0,z0) i al timpului t. Se poate spune c la timpul t, coordonatele punctului M(x,y,z), depind de poziia iniial M0(x0,y0,z0) i de timpul t.

Astfel se poate scrie c:

),,,(),,,(),,,(

000

000

000

tzyxzztzyxyytzyxxx

67

Viteza punctului M este:

zyx vkvjviv Iar componentele vitezei dup cele trei direcii ox, oy, oz pot fi scrise:

tzyxvdtdzv

tzyxvdtdyv

tzyxvdtdxv

zz

yy

xx

,,,

,,,

,,,

000

000

000

Acceleraia punctului M poate fi scris:

zyx akajaia n aceast relaie componentele acceleraiei dup cele trei axe ox, oy, oz sunt:

2

2

2

2

2

2

dtzd

dtdv

a

dtyd

dtdv

a

dtxd

dtdv

a

zz

yy

xx

Avnd aceste componente se pot determina proieciile vitezei i acceleraiei dup

cele trei direcii,existnd posibilitatea stabililirii drumuli parcurs de particul. 3.1.2. Metoda Euler. Prin aceast metod se determin cmpul de viteze al mediului fluid n funcie de

vectorul de poziie r ix jy kz al particulei de fluid considerate i de timpul t, figura 3.2.

68

Fig. 3.2

Variabilele x,y,z i t poart numele de variabile spaiale sau variabilele lui Euler. Pornind de la vectorul de poziie r ix jy kz corespunztor punctului M(x,y,z)

i de la timpul t se pot determina vitezele i acceleraiile pentru orice punct aparinnd spaiului fluid aflat n micare.

n vederea definirii cmpului de vitez se folosete funcia cmpul vitezelor

dtrdv

Se cunoate c viteza poate fi scris:

zyx vkvjviv Componentele vitezei sunt funcii de variabilele spaiale:

),,,(

),,,(),,,(

tzyxvvtzyxvvtzyxvv

zz

yy

xx

Astfel aceste componente mai pot fi scrise:

.

;

;

dtdzv

dtdyv

dtdxv

z

y

x

69

Trebuie precizat c toate variabilele spaiale sunt funcii de timp:

)(;)(;)(;)( tzzyytxxtrr Acceleraia n punctul M(x,y,z) poate fi definit cu relaia:

dtdz

zv

dtdy

yv

dtdx

xv

tv

dtvda

n funcie de componentele scalare acceleraia poate fi exprimat:

zyx akajaia Componentele scalare ale acceleraiei dup axele ox, oy,oz pot fi scrise:

dtdz

zv

dtdy

dyv

dtdx

xv

dtv

a xxxxx

dtdz

zv

dtdy

dyv

dtdx

xv

dtv

a yyyyy

dtdz

zv

dtdy

dyv

dtdx

xv

dtv

a zzzzz

Aceiai acceleraie mai poate fi exprimat folosind operatorul diferenial cu structur

de vector ,sub forma:

vvtva )(

(3.1)

Avnd n vedere c viteza este:

zyx vkvjviv Derivata parial a vitezei n raport cu timpul se scrie:

tvzk

tv

jt

vi

tv yx

Semnificaia termenilor din relaia (3.1) este urmtoarea:

70

vt

- reprezint variaia vitezei ntr-un anumit punct;

( )v v - reprezint modificarea vitzei la trecerea dintr-un punct n altul al spaiului fluid aflat n micare (este vorba de puncte nvecinate).

Din cele prezentate pn acum se poate observa c metoda Lagrange studiaz variaia parametrilor unei singure particule de fluid, la deplasarea sa n spaiu (traiectoria, viteza, i acceleraiile succesive).

Metoda Euler n schimb permite studiul variaiei n timp a parametrilor fluidului ntr-un punct dat din spaiul fluid aflat n micare, precum i modificarea acestor parametri n cazul trecerii de la un punct dat la altul (puncte foarte apropiate).

3.2. Elemente caracteristice micrii fluidelor. 3.2.1. Clasificarea micrilor. Dac parametrii care definesc starea de micare a fluidului rmn neschimbai n

timp, procesul sub care se desfoar micarea poart numele de proces permanent sau staionar.

n cazul n care parametrii care definesc micarea fluidului se modific n timp procesul de curgere poart numele de proces nepermanent sau nestaionar. Se poate afirma c un proces nepermanent este format dintr-o succesiune de procese permanente pe intervale de timp t foarte mici.

Micrile fluidelor din punct de vedere spaial pot fi clasificate dup cum urmeaz: - micare spaial tridimensional nepermanent la care viteza poate fi exprimat sub

forma:

),,,( tzyxvv ; - micare spaial sau tridimensional permanent la care viteza poate fi scris sub

forma:

),,( zyxvv ; - micare plan sau bidimensional nepermanent la care viteza se exprim cu o

relaie de forma:

),,( tyxvv ; - micare plan sau bidimensional permanent n cazul creia viteza se scrie:

),( yxvv ; - micare liniar sau unidimensional nepermanent, exprimat sub forma:

),( txvv ;

71

- micare liniar sau unidimensional permanent la care viteza se scrie sub forma:

)(xvv ; n natur majoritatea micrilor sunt de tip spaial sau tridimensional nepermanente.

La o astfel de micare viteza i presiunea sunt funcii att de coordonatele punctelor considerate, ct i de timp.

Astfel se poate scrie:

),,,( tzyxvv Dar avnd n vedere c viteza poate poate fi exprimat:

zyx vkvjviv Derivatele pariale ale componentelor vitezei sunt diferite de zero:

0;0;0 t

vt

vt

v zyx

Se poate afirma n acest caz, c n oricare punct al spaiului fluid aflat n micare

viteza se modific n timp. n mod similar pentru presiune poate fi scris:

),,,( tzyxpp Deci presiunea este o funcie de coordonatele punctului studiat i de timp. i n cazul

presiunii, derivata parial n raport cu timpul este diferit de zero, ceea ce semnific faptul c presiunea se modific n timp, astfel nct putem scrie:

0tp

Curgere nepermanent poate fi socotit curgerea apei dintr-un rezervor printr-un

orificiu de fund, caz n care nivelul apei n rezervor este variabil, sau curgerea apei n conducta de aspiraie a unei pompe cu piston, care execut o micare rectilinie alternativ.

Curgerea permanent sau staionar a fluidelor este curgerea care nu se modific n timp. Pentru acest tip de curgere presiunea i viteza sunt funcii numai de coordonatele punctelor considerate i nu depind de timp.

),,( zyxvv

72

Avnd n vedere c:

zyx vkvjviv Derivatele pariale ale componentelor vitezei n raport cu timpul sunt nule:

0;0;0 t

vt

vt

v zyx

Acest lucru dovedete faptul c n orice punct al spaiului fluid aflat n micare,

viteza nu se modific n timp. Presiunea la rndul ei nu se schimb n timp, ceea ce poate fi exprimat sub forma:

),,( zyxpp Derivata parial a presiunii n raport cu timpul este zero, fapt ce arat c presiunea

i pstreaz valoarea n oricare punct al spaiului fluid aflat n micare:

0tp

Exemple de curgere permanent sunt curgerea apei dintr-un rezervor printr-un

orificiu de fund, caz n care nivelul apei n reezervor este meninut constant, respectiv curgerea ntr-o instalaie n circuit nchis a apei sub aciunea unei pompe centrifuge a crei turaie se menine constant.

3.2.2. Linia de curent. Linia de curent, este o linie imaginar cuprins ntr-un fluid n micare a crei puncte

materiale fluide au urmtoarea proprietate: tangenta dus n orice punct al liniei, coincide cu direcia vectorului vitez a particulei de fluid din punctul respectiv la momentul considerat. Se poate afirma c linia de curent este format din particule de fluid distincte (diferite), figura 3.3.

Fig. 3.3

73

Urmrind figura 3.3 se poate observa faptul c toate punctele de pe figur sunt considerate la momentul t0.

Dac lum separat un arc de linie de curent, conform figurii 3.4, pe acest arc considerm un punct M prin care ducem tangenta la linia de curent.

Fig. 3.4

Dup figura 3.4 vectorul l reprezint vectorul deplasare elementar virtual dup un arc elementar de linie de curent:

l i j kx y z Avnd n vedere c viteza poate fi scris: v iv jv kvx y z Condiia de tangen a vitezei locale v la linia de curent este ndeplinit, prin

respectarea ca produsul vectorial dintre vitez i deplasarea elementar virtual s fie zero.

v l 0 Dac dezvoltm aceast relaie, obinem:

yzzyzyx

zyx vvivvvkji

lv

0 xyyxzxxz vvkvvj

74

Condiia ca acest produs vectorial s fie zero conduce la urmtoarele relaii:

00

0

xyyx

zxxz

yzzy

vvvvvv

n conitinuare se pot scrie rapoartele:

y

y

x

x

z

z

x

x

z

z

y

y

vvvvvv

;;

Pe baza existenei acestor rapoarte, poate fi scris ecuaia diferenial a liniei de

curent:

z

z

y

y

x

x

vvv

la t=constant; (3.2)

x y z; ; - reprezint deplasri elementare virtuale; Timpul t este considerat parametru, adic pentru o anumit linie de curent t = constant. 3.2.3. Traiectoria. Traiectoria reprezint traseul sau drumul parcurs de o particul de fluid n timp i

spaiu. Ea se construiete, urmrind n timp i spaiu o anumit particul de fluid considerat (marcat), conform figurii 3.5.

Considernd un arc de traiectorie i un punct M pe aceasta dup figura 3.6, dac ducem tangenta n M, care coincide cu direcia vitezei i presupunem o deplasare elementar real, materializat prin vectorul dl ,se poate scrie:

dzkdyjdxild

Acesta reprezint vectorul deplasare elementar real a particulei de fluid dup un

arc elementar de traiectorie. Folosind vectorul deplasare elementar real i viteza, poate fi scris ecuaia

traiectoriei, folosind urmtorul produs vectorial:

75

Fig. 3.5

0 ldv Exist posibilitatea scrierii traiectoriei mai simplu pornind de la expresia

vitezei:v i v j v k vx y z avnd n vedere c:

dtldv sau scalar:

dtdzv

dtdyv

dtdxv

z

y

x

Fig. 3.6

76

Ca urmare ecuaia traiectoriei rezult din relaiile precedente sub forma:

zyx vdz

vdy

vdx

(3.3)

Ecuaia este valabil pentru un timp t = variabil. La curgerea permanent, situaie n care viteza nu se modific n timp, ntr-un punct

dat al spaiului fluid aflat n micare, traiectoria coincide cu linia de curent. 3.2.4. Suprafa de curent. Considernd o curb nchis sau deschis n spaiul fluid aflat n micare, care nu este

linie de curent, dac se iau toate liniile de curent care intersecteaz curba data se formeaz o suprafa de curent, figura 3.7.

Fig. 3.7

n general suprafeele de contact dintre corpurile fluide i mediul nconjurtor sunt suprafee de curent. De exemplu suprafaa de contact ntre un mediu fluid i conducta n care are loc curgerea ca i suprafaa liber a unui curs de ap, la care apa este n contact cu mediul atmosferic, etc.

3.2.5. Tub de curent. Dac se consider o curb nchis C, figura 3.8, liniile de curent care intersecteaz

aceast curb, formeaz suprafaa de curent SC care este o suprafa tubular.

Fig. 3.8

77

Suprafaa de curent tubular, mpreun cu liniile de curent ce se gsesc n interior, formeaz tubul de curent TC.

Particulele de fluid nu ptrund i nu prsesc tubul de curent prin suprafaa de curent (aceast suprafa de curent este inpenetrabil pentru particulele de fluid, la fel ca i un tub metalic).

n cazul micrii permanente, tubul de curent i pstreaz forma, suprafaa de curent fiind format din linii de curent care i pstreaz forma.

n aplicaiile practice se lu