8/3/2019 Curs3_MC

1/28

CURS 3MECANICA

CONSTRUCIILOR

Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu

8/3/2019 Curs3_MC

2/28

SISTEME DE FORTE

OARECARE

8/3/2019 Curs3_MC

3/28

SISTEME DE FORE OARECARE Fora vector alunector; Momentul unei fore n raport cu un punct; Momentul unei fore fa de o ax;

Teorema lui VARIGNON; Cupluri de fore; Sisteme de fore echivalente; Reducerea sistemelor de fore n raport cu un punct.

Torsor. Variaia torsorului cu punct de reducere; Invariantul unui sistem de fore fa de punctul de

reducere; Torsorul minim. Axa central; Cazurile de reducere ale unui sistem de fore oarecare.

Sisteme echivalente;

Sisteme de fore particulare.

8/3/2019 Curs3_MC

4/28

DEFINIIIUn corp este liberatunci cnd nu este legat dealte corpuri i se poate deplasa arbitrar n spaiu.

Dac un corp este n repaus sub aciunea unuisistem de fore, atunci sistemul de fore este n

echilibru.Dou sisteme de fore se numesc echivalente

atunci cnd se poate nlocui un sistem careacioneaz asupra unui corp liber, cu cellaltsistem de fore fr a modifica starea de repaussau de micare a corpului.

8/3/2019 Curs3_MC

5/28

AXIOMELE STATICIISOLIDULUI RIGID (SR)

1. Condiia necesar i suficient ca dou

fore aplicate unui corp (SR) liber s fiein echilibru este ca cele dou fore s fiecoliniare, egale ca mrime i de sensuriopuse.

2. Se poate, f r a modifica stareamecanic a SR, aduga sau scoate unsistem de fore echivalent cu zero.

Cele dou fore formeaz un sistem

echivalent cu zero

8/3/2019 Curs3_MC

6/28

FORA VECTOR ALUNECTORForele care acioneaza asupra solidelor rigide nu maisunt, de regula, concurente in acelai punct.

1. Fie fora F care acioneaza in punctul A al SR (fig. a).2. Se adaug sistemul echivalent cu zero (fig. b).3. n figura cse identific sistemul echivalent cu zero dinpunctulA.

4. Se observa ca fora F s-a deplasat pe suportul sau dinpunctulA in punctul B.

8/3/2019 Curs3_MC

7/28

FORA VECTOR ALUNECTOR

Fora care acioneaz asupra unui corp rigideste un vector alunector, deoarece punctul eide aplicaie poate fi oricare punct situat pedreapta-suport a forei.

8/3/2019 Curs3_MC

8/28

MOMENTUL UNEI FORE N

RAPORT CU UN PUNCTDefiniie: Se numete moment al unei fore n raport cuun punct fix O, produsul vectorial dintre vectorul de

poziie care unete punctul Ocu un punct oarecare depe supotul forei i for.

dFMo

Caracteristicile vectorului moment:- originea este n O;- direcia normal pe planul formatde O

i suportul for

ei;

- sensul corespunztor triedruluidrept;- mrimea (d=OB braul forei).

FrMo

8/3/2019 Curs3_MC

9/28

8/3/2019 Curs3_MC

10/28

Triedrul drept

Regula burghiului (fig. a);Regula minii drepte (fig. b);Sensurile pozitive ale axelor (fig. c).

(a) (b)(c)

8/3/2019 Curs3_MC

11/28

Mrimea momentului se msoar inuniti de fornmulite cu uniti de

lungime (Nm, daNm etc.).

Raportata la noiunile fundamentale ale

Mecanicii, dimensiunea acestei mrimieste: MLT-2L = ML2T-2.

8/3/2019 Curs3_MC

12/28

M = F x d(Nm) = (N) x (m)

8/3/2019 Curs3_MC

13/28

O masa de 30kg apas braulpedalei de 170mm lungime. Careeste momentul?M = F * dF = 30 * 9.81 = 294.3N

d = 0.17mM = 294.3 * 0.17 = 50.03Nm

Daca urubul trebuie strns la unmoment de 85Nm, care este foraF de strngere?Unghiul = 35 grade, d = 420mm.M = F * d F = M / dDistanta perpendiculara =d*cos(35)F = 85 / (0.42 * cos(35)) = 247.06 N

8/3/2019 Curs3_MC

14/28

Dac punctul Ose afl pe dreapta suport a forei, atunci

Punctul de aplicare al forei se deplaseaz pe dreaptasuport a ei () ; Punctul Ose deplaseaz pe o dreapt paralel cu () ; Momentul unei fore se schimb dac se schimb polul

din On O1:

Proprieti

8/3/2019 Curs3_MC

15/28

8/3/2019 Curs3_MC

16/28

MOMENTUL UNEI FORE

N RAPORT CU O AXDefiniie: Momentul unei fore n raport cu o ax, de versoru, este egal cu proiecia pe acea ax a momentului forei

calculat n raport cu un punct oarecare al axei respective.

Semnificaia fizic:Momentul M arat tendina de rotire acorpului n raport cu axa sub aciuneaforei F.

8/3/2019 Curs3_MC

17/28

Observaii

M = 0 dac cei trei vectori sunt coplanari: foraeste || cu axa sau suportul forei neap axa .

M nu depinde de alegerea punctului Ope axa .

8/3/2019 Curs3_MC

18/28

Calculul practic pentru M

Momentul unei fore n raport cu o ax este egalcu mrimea momentului produs de componenta

forei dintr-un plan normal pe ax, calculat nraport cu punctul n care axa neap planulnormal.

8/3/2019 Curs3_MC

19/28

Teorema lui VARIGNON

Definiie:Momentul rezultant calculat n raport cu un punct fix Opentru un sistem de fore care admite o rezultant uniceste egal cu momentul rezultantei sistemului de forecalculat n raport cu acelai punct O.

Observaii:

Valabil pentru sisteme de for e care admit orezultant unic (ex: fore concurente, fore paralele,fore coplanare).

Prin rezultant unic se nelege c aceasta e nenul.

8/3/2019 Curs3_MC

20/28

Teorema lui VARIGNON - Demonstra ie

Demonstraie pentru un sistem de fore concurente

Sistemul de fore concurente n M:

are rezultanta:

0FR

n

1i

i

8/3/2019 Curs3_MC

21/28

Teorema lui Varignon va fi ilustrata pentru calcululmomentului de strngere a unui urub cauzat de o fora de100 N in diferite poziii prin punctele A, B, C, D, si E.

In fiecare punct, A, B, C, D si E,

momentul total in jurul urubului,produs de o fora de 100 N este egalcu 1200 Nmm. Mai mult, momentul total

este egal cu 1200 Nmm in orice punct inlungul liniei de aciune a forei.

8/3/2019 Curs3_MC

22/28

Cupluri de foreDefiniie: Un cuplu de fore reprezint ansamblul formatdin dou fore egale ca mrime, paralele i de sensuriopuse.

Cuplul de fore este caracterizat prin rezultant nuli moment nenul.

Rezult: Momentul unui cuplu este un

vector liber (este independent

de punctul din spaiu n raportcu care se calculeaz). Condiia de echivalen: Dou

cupluri sunt echivalente dac

au acelai moment.

FBAF)rr()F(rFrM BABAO

8/3/2019 Curs3_MC

23/28

Mrimea momentului cuplului: este egal cu produsuldintre intensitatea uneia dintre fore i distana dintredreptele suport ale celor dou fore (d= braul cuplului).

Direcia: perpendicular pe planul celor dou fore. Sensul: stabilit dup regula urubului drept. Originea: punct arbitrar n spaiu.

Caracteristicile cuplului: Rezultanta nul. Momentul cuplului este constantn mrime, direcie i sens, pentrutoate punctele din spaiu.

udFMO

8/3/2019 Curs3_MC

24/28

Se dau:

for a F= 25N si distanta d = 140mm.Care este momentul aplicat?Moment = 2*F*d

= 2 * 25 * 0.14= 7Nm

8/3/2019 Curs3_MC

25/28

Reducerea unei fore n raport cu un punct

Fora F acioneaz n punctul A i se caut efectul eintr-un punct Ocare nu aparine suportului ei (fig. a)1) se adaug sistemul echivalent cu zero n punctul O(fig. b);

2) fora FdinA i F1 din Oformeaz un cuplu (fig. c) cumomentulFrFOAM AO

Efectul n O: o for egal cu Fi un moment MO(momentul forei dinAn raport cu O).

8/3/2019 Curs3_MC

26/28

Reducerea unui sistem de

fore n raport cu un punctFie sistemul de fore F1,Fi,Fn, acionnd corpul npunctele A1,Ai,An (fig. a). Fiecare for este redus n

O. Se obin n fore echipolente n Oi n momente aleacestora (fig. b).Rezultanta forelor este , iar momentul rezultant

n

1i

iFR

)F(MM i

n

1iOO Ansamblul celor

doi vectori n Osenumete torsorulsistemului de foren O, si se noteaz:

)M,R( OO

8/3/2019 Curs3_MC

27/28

Reducerea unui sistem de

fore n raport cu un punctProprieti:1. Dac se schimb punctul de reducere, atunci rezultantaeste aceia

i n orice punct (invariant vectorial).

2. Dac se schimb punctul de reducere, atunci semodific i momentul rezultant:

n

1i

iFR

ROOMM 1O1O Demonstraie: se alege unpunct oarecare O1 i secalculeaz momentele forelor:

8/3/2019 Curs3_MC

28/28

Reducerea unui sistem de fore n

raport cu un punctObservaii:1. Dac R=0 i MO=0, atunci torsorul este nul n toatepunctele solidului.

Demonstraie:

2. Dac R=0, torsorul este un cuplu n toate punctelesolidului, MO=MO10.3. Dac R0, MO0, iar vectorul rezultant R este paralelcu vectorul OO1, momentele MO=MO1 (sunt egale), adicin punctele situate pe o dreapt paralel cu dreapta-suport a rezultantei unui sistem de forte, momentul

rezultant al sistemului este constant.