3. PROPAGAREA FASCICULELOR GAUSSIENE

3.1. Ecuţia undei. Fasciculele optice care fac obiectul acestui curs sunt în general fascicule a

cãror densitate de energie este localizatã, pe distante de propagare rezonabile, în apropierea axei de propagare. Astfel de fascicule sunt numite "fascicule Gaussiene", iar caracteristicile lor pot f i obtinute din setul de ecuatii Maxwell pentru medii omogene fãrã sarcini electrice, deci în conditia

E 0

3.1.1

Aplicând acum operatorul celei de a doua relatii din 3.1.1 si tinând cont de prima ecuatie

rezultã:

3.1.2

care este bine cunoscuta ecuatie a undei plane. Daca considerãm acum câmpul electric ca fiind

monocromatic, adicã relatia 3.1.2 devine:

3.1.3

unde 3.1.4

fãrã a t ine cont de o eventualã dependentã a lui k de pozitie. Am luat k de asemenea un numãr complex pentru a exprima pierderile ( ) sau câstigul ( ) ce ar putea avea loc în mediul de propagare. Sã ne limitãm acum doar la cazul când k2(r) este dat de relatia:

3.1.5 unde k2 este o constantã oarecare iar este numãrul de undã al radiatiei TEM ce se propagã prin mediu, având lungimea de undã . Considerãm în continuare o solutie pentru care dependenta transversalã este

si în acest caz putem înlocui în 3.1.3 prin:

3.1.6

Equation ___ În aceste conditii, considerând directia de propagare dupã axa z putem limita operatia de derivare la o singurã componentã a câmpului transversal E. Luând câmpul de forma:

3.1.7

Equation ___ putem obtine din 3.1.3 si 3.1.5, dupã câteva operatii simple:

3.1.8

Equation ___ unde si unde considerãm cã variatiile transversale sunt suficient de încete astfel încât . În aceste conditii dacã luãm de forma: 3.1.9

si o introducem în 3.1.8, tinând cont de 3.1.6, obtinem:

3.1.10

Dacã suntem în conditii le de fascicul gaussian coeficientii diferitelor puteri ale lui r trebuie sã se anuleze, rezultând:

3.1.11

În acest fel am redus ecuatia undelor 3.1.2. la setul de ecuatii 3.1.11.

3.2. Fascicul gaussian în mediu omogen. Dacã mediul este omogen, putem conform relatiei 3.1.5 sã punem k2=0, relatia 3.1.10

devenind :

prima ecuatie din setul 3.1.11 devine:

3.2.1

Fie acum fuctia Q definitã cu ajutorul functiei s(z) astfel:

3.2.2 În acest caz rezultã imediat din 3.2.1 cã s' '=0 si deci prin urmare s'=a respectiv s=az+b unde a si b sunt constante. Rezultã în acest caz, conform relatiei 3.2.1. cã:

3.2.3

19

Putem lucra însã mai comod dacã definim parametrul q ca fiind:

3.2.4

Equation ___ ceeace ne va permite sã rescriem relatia 3.2.3 în forma: 3.2.5

Din relatii le 3.1.11 si 3.2.4 rezultã:

astfel cã, prin integrare rezultã:

3.2.6

unde constanta de integrare a fost luatã zero 1

Prelucrând relati i le 3.2.5 si 3.2.6 în 3.1.9 rezultã:

3.2.7

Considerând constanta de integrare q 0 ca fiind pur imaginarã, o putem exprima în termenii unei noi constante , dupã cum urmeazã:

3.2.8

Alegerea constantei q0 ca un numãr imaginar este justif icatã prin conventia cã aceasta reprezintã undele a cãror densitate maximã de energie este localizatã aproape de axa de propagare (axa z). Prin aceastã ult imã substi tutie primul termen al ecuatiei 3.2.7 devine:

3.2.9

expresie pentru care am folosit relatia . În

continuare, substituind 3.2.8 în al doilea termen al relatiei 3.2.7 si fãcând separarea pãrti i imaginare de cea realã, rezultã:

1 Aceastã a legere ne f ixeazã faza osc i laþ ie i a so luþie i f ina le ca f i ind ze ro.

20

3.2.10

Definim acum urmãtorii parametrii :

3.2.11

3 .2.12

3 .2.13

În aceste conditi i combinând relati i le 3.2.10 si 3.2.9 în relatia 3.2.7 , expresia câmpului 3.1.7 devine:

3.2.14

Acesta este solutia fundamentalã a fasciculului Gaussian , deoarece în aceastã expresie sunt excluse solutii le mai complicate ale ecuatiei 3.1.3, prin limitarea dependentei transversale doar la .

Parametrul (vezi 3.2.11) defineste distanta r la care amplitudinea câmpului scade de e ori, fatã de valoarea ei pe axa de propagare. Vom numi de acum încolo acest parametru "dimensiunea transversalã a spotului" fasciculului . În consecintã, parametrul reprezintã dimensiunea minimã a spotului , în planul z=0.

Parametrul R (vezi 3.2.12) va defini raza de curburã a frontului de undã, care este foarte apropiat de un front sferic 2 . Conventia de semn pentru aceasta este cae clasicã, si anume, R(z) este negativ dacã centrul de curburã se gãseste la z' > z ,si viceversa.

Forma fasciculului Gaussian fundamental este, conform relatiei 3.2.14, unic determinatã odatã ce dimensiunea minimã a spotului si localizarea lui , adicã planul z=0, sunt date. În Fig.3.1. sunt prezentate câteva din aceste caracterist ici . Hiperbolele din figurã corespund razei de propagare si sunt intersecti i cu planele ce includ axa z si hiperboloizii . Acestia corespund directiei de propagare a energiei. Suprafetele sferice au raza de curburã corespunzãtoare relatiei 3.2.12. Pentru abscisã z mare, hiperboloizii

sunt asimptotici la conul

3.2.16

2 Evident , cu excepþia vec inãtãþi i imedia te a p lanului z=0, fronturi l e de undã sunt pa rabol ice deoarece e le sunt de fini te de re laþia k [z+(r 2 /2R) ] =const . , da r pent ru r 2 << z 2

di ferenþa d in t re parabolã º i s fe rã devine negl i j abi lã .

21

al cãrui semiunghi de la vârf , care este o mãsurã a împrãstieirii unghiulare a fasciculului, este:

3.2.17

pe o arie a cãrei suprafatã este . Acest rezultat este o consecintã a fenomenului de difractie, conform cãruia o undã ce trece printr-o aperturã de razã va fi împrãstiatã (difractatã) la distantã mare de aceasta în conformitate cu relatia 3.2.17.

3.3. Fascicule cu moduri de ordin înalt .

În subcapitolele precedente am prezentat fasciculul Gaussian doar ca fi ind dependent de distanta axialã z si de distanta r de axa acestuia. Dacã nu impunem conditia (unde este unghiul azimutal în sistemul de coordonate cil indrice) si luãm k2=0, atunci solutii le ecuatiei undei (3.1.3) nu mai sunt asa simple, ajungându-se, dupã un calcul destul de laborios, la solutii le mai generale:

3.3.1

unde Hm este polinom Hermite de ordin m , iar si sunt definite de relati i le 3.2.11-3.2.13 .

De remarcat în relatia 3.3.1. termenul de fazã care are o dependentã fatã de axa z de forma:

22

3.3.2 .

Variatia transversalã a câmpului electric dealungul axei x (sau y) este de forma:

3.3.3 .

unde . Se poate recunoaste în aceastã expresie solutia oscilatorului armonic tratat de mecanica cuanticã. Tinând cont de aceastã analogie, în Fig.3.2 sunt prezentate, pentru ordinele n=0 si n=1, distr ibutia câmpului electric si distributia intensitãti i acestuia , iar în Fig.3.3 spoturile câtorva laseri ce functioneazã în diverse moduri transversale de ordin mic.

3.4. Criteriul de stabilitate.

Din relati ile 3.2.11 si 3.2.12 se pot identif ica cei doi termeni din exponentiala relatiei 3.2.10, rezultând cã:

3.4.1 .

unde am tinut cont de relatii le 3.2.8. În conformitate cu relatia 3.4.1, odatã ce valoarea q(z ) este cunoscutã

întrun plan oarecare, f ie z1 acesta, atunci ea poate fi calculatã în orice alt plan z2 , prin relatia:

3.4.2 .

ca apoi sã recalculãm cu ajutorul pãrti i a doua a relatiei 3.4.1. raza de curburã a frontului de undã si dimensiunea transversalã a spotului .

23

Parametrul q este asa numita razã de curburã complexã a frontului de undã în fasciculul gaussian. Vom nota în continuare, pentru simplitate, si în mod similar toti parametrii în discutie .Astfel relatia 3.4.2. se rescrie sub forma:

3.4.3 .

unde z este distanta dintre planele celor douã fronturi de fazã. Relatia 3.4.3. este identicã cu relatia ce leagã razele de curburã a douã

unde sferice separate la distanta z:

3.4.4 .

Deasemenea, aceste unde când trec printr-o lentilã subtire de distantã focalã f îsi modificã raza de curburã conform relatiei:

3.4.5 .

pãstrând aceeasi conventie de semn ca pânã acum pentru R iar pentru f considerãm cã este pozitiv dacã lentila face frontul de undã ce trece prin ea sã f ie concav.

Cum am arãtat în paragraful 3.2. , fasciculele gaussiene sunt caracterizate în apropierea axei de propagare, de fronturi de undã sferice, deci relatia 3.4.5. se poate aplica si lor. În plus trebuie sã t inem cont de faptul cã dacã lentila este subtire, atunci dimensiunea spotului din stânga lentilei , este egalã cu cea din dreapta lentilei , al tfel spus, lenti la nu altereazã dimensiunile spotului incident. În consecintã, pentru fasciculele gaussiene putem scrie urmãtorul set de relati i :

3.4.6 .

Fie acum fasciculul gaussian considerat ca un mod de propagare într-o cavitate laser formatã din douã oglinzi sferice cu raze de curburã R A , respectiv RB , separate prin distanta d. Cavitatea astfel formatã poate fi tratatã ca o secventã de lentile a cãror distantã focalã este distanta focalã a oglinzilor. În acest caz fie q1 parametrul cu care pãrãseste fasciculul oglinda A. Când fasciculul ajunge la oglinda B, acest parametru se modificã conform relatiei 3.4.3. , devenind: . Dupã reflexia pe oglinda B, acesta se modificã

conform relatiei 3.4.6. , devenind: . În continuare, în urma

propagãrii înapoi la oglinda A, parametrul q devine: , care în urma

reflexiei pe aceastã oglindã se modificã conform relatiei: .

Rezolvând acest sistem de patru ecuatii pentru q 5 , functie de q 1 , obtinem legãtura dintre "intrare" si "iesire" :

24

3.4.7 .

Conditia ca, dupã o parcurgere complectã dus-întors a cavitãtii , fasciculul sã aibã o configuratie de câmp auto-reproducãtor, deci sã fie un mod de propagare în cavitatea laser, este:

3.4.8 .

Din rezolvarea relati ilor 3.4.7. si 3.4.8. pentru q 1 , rezultã urmãtoarea ecuatie:

ale cãrei soluti i sunt:

3.4.9 .

Conform relatiei 3.4.1. parametrul q1 este un numãr complex, care contine înformatia despre dimensiunea transversalã a fasciculului în partea imaginarã. Este deci evident cã pentru a avea un fascicul ce îndeplineste conditia 3.4.8. , partea imaginarã a solutiei 3.4.9. nu trebuie sã se anuleze, deci:

dar sistemul este perfect reversibil , deci alegerea oglinzii A ca fiind de "extractie" este arbitrarã, acelasi lucru putând sã-l spunem si despre oglinda B. În acest caz relatia de mai sus devine:

Din combinarea celor douã relati i de mai sus rezultã asa nuumitul criteriu de stabili tate :

3.1.10.

Relatia 3.4.10. ne indicã în ce limite putem varia parametrii cavitãti i laser (distanta dintre oglinzi, raza lor de curburã) pentru ca aceasta sã întretinã în interiorul ei moduri de propagare stabile.

Dacã definim , respectiv , putem construi diagrama de stabilitate trasând graficul (Fig.3.4.) .

25

Zonele hasurate reprezintã configurati ile stabile de rezonatori laser. Celelalte puncte din diagramã (nehasurate) nu respectã relatia 3.4.10. , deci nu reprezintã combinatii de R si d aplicabile în practicã. Granita dintre cele douã t ipuri de zoneeste definitã de hiperbolele si sistemul de coordonate. Rezonatorul confocal este reprezentat de originea sistemului de coordonate, deci orice micã variatie a parametrilor sãi poate sã-l "arunce" în zone de

instabilitate. Configuratia A este cel mai des folositã în practicã, cu una din oglinzi planã .

26