CURS2 - Lucrarea 1 - Fizica atmosferei

Originile experimentale ale mecanicii cuantice

11

9.2.2. Efectul fotoelectric

În anul 1887 Hertz (Heinrich Rudolf) a efectuat celebrele experienţe prin care a produs şi

detectat unde electromagnetice, confirmând teoria lui Maxwell. În cursul aceloraşi experienţe, Hertz a observat că lumina ultravioletă care cade pe electrozii metalici facilitează producerea unor scântei. M. Stoletov şi P. Lenard au arătat că suprafeţele metalice iradiate cu unde electromagnetice de înaltă frecvenţă emit particule încărcate electric. Acest fenomen a fost numit efect fotoelectric.

Efectul fotoelectric extern constă în emisia de electroni de către un metal atunci când este iluminat cu o radiaţie electromagnetică a cărei lungime de undă este sub o valoare 0λ numită pragul roşu al efectului fotoelectric. Legile experimentale ale efectului fotoelectric extern au fost formulate de fizicianul rus Stoletov între anii 1888-1890:

- efectul se produce doar dacă 0λ<λ ; - viteza fotoelectronilor emişi nu depinde de intensitatea fascicolului radiaţiei incidente,

ci doar de lungimea de undă a acesteia; - la saturaţie, numărul fotoelectronilor depinde doar de intensitatea luminoasă

incidentă;

- efectul fotoelectric se produce practic instantaneu ( s10~ 8−τ ). Încercarea de explicare clasică a efectului a fost sortită eşecului. Din punct de vedere clasic,

unda transportă continuu energie şi indiferent de valoarea frecvenţei undei, electronul din atomul metalic ar fi putut acumula continuu energie şi după un timp suficient de lung energia acumulată ar fi permis ieşirea acestuia din metal.

Explicarea efectului a fost făcută de Albert Einstein (1905), care plecând de la ipoteza cuantelor a lui Planck, a afirmat că emisia şi absorbţia radiaţiei luminoase se face în cantităţi discrete numite fotoni. Cu această ipoteză, efectul fotoelectric constă în absorbţia unui foton de către un electron. Considerând energia fotonului λ=ν=ε /hch , electronul poate părăsi metalul în urma absorbţiei unui foton, doar dacă energia preluată de la acesta este mai mare decât lucrul de

extracţie al metalului (prima lege experimentală a efectului fotoelectric):

00

λ≤λ⇒λ

≥λ

⇒≥εhchc

Wextr (9.25)

Dacă fotonul incident are o energie mai mare decât lucrul de extracţie al metalului, surplusul de energie îl regăsim în energia cinetică a electronului (a doua lege experimentală a efectului fotoelectric):

λ−

λ=⇒+

λ=

λ 0

2

0

112vv

21

m

hcm

hchc (9.26)

Intensitatea luminosă a fascicolului incident este egală cu numărul de fotoni incidenţi în unitatea de timp pe unitatea de suprafaţă înmulţit cu energia unui foton, νhNI fotoni~ . Numărul de

fotoelectroni (electroni emişi prin efect fotoelectric) este proporţional cu numărul de fotoni incidenţi şi implicit proporţional cu intensitatea luminoasă a fascicolului (a treia lege experimentală a efectului fotoelectric).

Procesul de ciocnire dintre foton şi electron urmat de absorbţia fotonului se face într-un timp extrem de scurt, încât din punct de vedere practic efectul fotoelectric se produce instantaneu.

Dacă între fotocatod şi anod se aplică o tensiune întârzietoare (v. Fig. 9.3), o parte din electronii emişi de catod care au o energie cinetică mai mică vor fi returnaţi în catod şi intensitatea curentului anodic scade cu creşterea tensiunii de frânare. Există o valoare 0U a tensiunii, numită tensiune de stopare, pentru care şi cel mai energetic fotoelectron emis este returnat în catod şi

Fig. 9.3.

K

mA

V

A h ν

M. Cristea - Fizică generală

12

12

curentul anodic devine zero. Aplicând teorema variaţiei energiei cinetice şi ţinând cont de expresia lucrului mecanic al forţelor de câmp, ecuaţia (9.26) poate fi rescrisă în forma:

00 eUhh +ν=ν (9.27)

Măsurând tensiunile de stopare iU0 pentru diverse frecvenţe iν , din reprezentarea

( )ν= fU0 se poate calcula panta eh / . Astfel de experienţe au fost efectuate pentru prima dată de fizicianul american Millikan (Robert Andrews) în anul 1915. Verificarea experimentală a teoriei lui Einstein era perfectă.

Trebuie remarcat faptul că din toată activitatea ştiinţifică de excepţie desfăşurată de Einstein (teoria relativităţii, teoria efectului fotoelectric, teoria mişcării browniene, coeficienţii de emisie stimulată, bazele laserilor, etc.), el a fost premiat cu premiul Nobel pentru “explicarea efectului fotoelectric”. Totuşi, ca o încununare a activităţii lui geniale, la sfârşitul mileniului II, în anul 2000, Einstein a fost declarat “Omul Secolului”.

Este important de notat că în acest experiment lumina are comportare corpusculară, fotonul fiind caracterizat de o energie

ω=πνπ

=ν=ε h22

hh (9.28)

şi de un impuls

kc

h

c

h

cp h=

πν

π=

ν=

ε=

22

( kpr

hr

= ) (9.29)

unde h este constanta lui Planck barată (redusă), iar kr

este vectorul de undă. Existenţa fenomenelor de difracţie şi de interferenţă demonstrează de asemenea că lumina are

şi un comportament ondulatoriu. Acest aspect dual al radiaţiei electromagnetice este incompatibil cu fizica clasică.

Ultimele două relaţii, numite relaţiile Einstein-Planck, fac legătura între mărimi caracteristice corpurilor (energie, impuls) şi mărimi caracteristice undelor (pulsaţie, vector de undă).

Aplicaţii ale efectului fotoelectric se regăsesc în multe domenii: de la numărătoare industriale, la comenzi prin relee acţionate cu efect fotoelectric, la dispozitive electronice, etc.

9.2.3. Efectul Compton

A fost descoperit şi explicat de către fizicianul american Arthur Holly Compton în anul 1923

(În anul 1927 lui Compton i s-a decernat premiul Nobel pentru “descoperirea efectului care îi poartă numele, dovadă a naturii corpusculare a energiei electromagnetice”). El constă în împrăştierea radiaţiei X (raze Röntgen, 1~λ Å) pe electroni, urmată de modificarea lungimii de undă a acesteia.

Un fascicol de radiaţii X emis de un tub Cook este trimis pe o ţintă formată din elemente uşoare (grafit, parafină). În spatele ţintei se găseşte un analizor spectral şi un cilindru Faraday. Se constată că atunci când analizorul este pus pe direcţia fascicolului incident de lungime de undă 0λ , analizorul găseşte o radiaţie de aceeaşi lungime de undă, numită componenta Thomson. Când analizorul este pus la un anumit unghi θ , atunci găseşte o radiaţie de lungime de undă λ , totdeauna

superioară celei incidente. Cilindrul Faraday pune în evidenţă apariţia unor electroni liberi relativişti. Legile experimentale ale efectului Compton sunt: a) deplasarea 0λ−λ=λ∆ creşte cu

creşterea unghiului θ ; b) intensitatea radiaţiei difuzate scade cu creşterea unghiului de difuzie; c) la unghiuri de difuzie egale, valoarea deplasării Compton nu depinde de natura substanţei difuzante; d) intensitatea radiaţiei cu lungime de undă deplasată scade atunci când numărul atomic al substanţei difuzante creşte.

Din punct de vedere clasic, împrăştierea luminii pe o ţintă nu este însoţită de modificarea lungimii de undă a acesteia. Experimentul Compton pune în evidenţă ipoteza fotonilor a lui

Fig. 9.4.

F 0 λ

( ) θ λ

0 λ


13

Einstein şi constă în ciocnirea perfect elastică dintre un foton şi un electron. Astfel, scriind legile de conservare a energiei relativiste şi a impulsului avem (v. Fig. 9.5):

+=+

λ+=

λ+

fefpPp

hcmc

hccm

rrr 0

2

0

20

0 (9.30)

unde 0m , m, 0f

pr

, fpr

şi ePr

sunt masa de repaus a electronului,

masa de mişcare a electronului, impulsul fotonului incident de lungime de undă 0λ , impulsul fotonului difuzat de lungime de

undă λ , respectiv impulsul electronului relativist. Proiectând pe axele Ox şi Oy , avem:

ϕ−θλ

=

ϕ+θλ

=λ

λ+=

λ+

sinsin0

coscos0

2

0

20

e

e

Ph

Phh

hcmc

hccm

(9.31)

Din ultimele două ecuaţii obţinem:

( )

θ

λλ−

λ+

λ==θ+θ cos

211sincos

022

0

22222hPP ee (9.32)

Ţinând cont că energia relativistă a electronului este legată de impulsul relativist şi de masa de repaus prin relaţia:

420

222cmcPmc e += (9.33)

şi introducând în prima relaţie a sistemului (9.31), obţinem:

( )2

sin2cos1 2

00

θΛ=θ−=λ−λ=λ∆ c

cm

h (9.34)

Mărimea 0242.00

==Λcm

hc Å se numeşte lungimea de undă Compton pentru electron.

Relaţia (9.34) explică legile experimentale ale efectului Compton. Se vede imediat că în cazul 0=θ nu există deplasare Compton şi că la unghiuri de difuzie nenule, mărimea deplasării nu

depinde de materialul difuzant ci doar de unghi şi de nişte constante universale (viteza luminii în vid, masa de repaus a electronului).

Cea de-a patra lege experimentală a efectului Compton se poate explica după cum urmează. Efectul Compton înseamnă ciocnirea unui foton cu un electron liber sau cvasiliber. Cu creşterea numărului atomic A creşte şi numărul de ordine Z al elementului chimic, iar electronii acestui element chimic sunt mai legaţi de atom. Astfel, probabilitatea unei ciocniri elastice scade şi ca urmare, scade şi intensitatea radiaţiei difuzate, în timp ce intensitatea componentei Thomson creşte.

Electronii de recul prezişi de teoria lui Compton au fost observaţi de către W. Bothe şi de către C. T. R. Wilson. În 1925, W. Bothe şi H. Geiger au demonstrat că fotonul împrăştiat şi electronul de recul apar simultan.

Din relaţiile (9.31) se pot calcula unghiul de recul al electronului şi energia cinetică a acestuia. Astfel:

21

1

cos

sin

00

θ

λ

Λ+

=

θλ

−λ

θλ=ϕ

tghh

h

tg

c

(9.35)

Fig. 9.5.

θ ϕ

ePr

fpr

0fp

r


14

14

iar pentru energia cinetică a electronului de recul, obţinem:

2sin2

2sin2

20

2

00

20

2θ

Λ+λ

θΛ

⋅λ

=λ

−λ

=−=

c

chchchccmmcT (9.36)

În 1927 A. A. Bless a măsurat energia electronilor de recul găsind-o în acord cu valoarea energiei prezise de teoria lui Compton.

9.3. Fenomene fizice în care se manifestă proprietăţile ondulatorii ale microparticulelor

9.3.1. Ipoteza lui de Broglie (1924)

Fizicianul francez Louis de Broglie (în anul 1929 a primit premiul Nobel pentru “elaborarea

teoriei dualităţii undă-corpuscul a materiei, care a pus bazele mecanicii cuantice”) a fost inspirat de comportarea duală a luminii. În unele experienţe (de interferenţă, de difracţie) lumina are caracter ondulatoriu, în timp ce în alte experienţe (efect fotoelectric, efect Compton) se manifestă caracterul corpuscular. El extinde această proprietate şi microparticulelor, afirmând că şi acestea au comportare duală, dar că în experienţele de până acum a fost pusă în evidenţă doar comportarea corpusculară. De Broglie postulează că unei microparticule de impuls mvp = i se asociază o undă a cărei lungime de undă este:

mv

h=λ (9.37)

iar funcţia de undă (unda de Broglie) are, pentru particula liberă, următoarea expresie:

( ) ( )

⋅−−⋅=ψ rpEt

iAtrB

rr

h

rexp, (9.38)

Viteza de grup a undelor de Broglie coincide cu viteza mecanică a particulei atât în caz

nerelativist cât şi relativist. Astfel, ţinând cont că viteza de grup este k

vg d

dω= şi utilizând relaţiile

Einstein-Planck (9.28) şi (9.29), avem: ( )( ) pp

vg dd

/d/d ε

=ε

=h

h (9.39)

Pentru particula nerelativistă obţinem:

vm

vm

m

p

m

p

pvg ===

=

0

0

00

2

22

2dd

(9.40)

în timp ce pentru o particulă liberă în mişcare relativistă, avem:

( )

( )( )

vvm

vvm

cvm

pc

cmcp

pccmcp

pvg ===

+

=

+=

2

2

420

22

242

022

2

2

d

d (9.41)

Ipoteza lui de Broglie trebuia confirmată experimental, printr-un experiment caracteristic undelor, fie o interferenţă cu microparticule, fie o difracţie.

9.3.2. Experienţa Davisson-Germer

Prima verificare a ipotezei de Broglie a fost făcută de fizicienii americani C. J. Davisson şi L. H. Germer (1927), printr-un experiment de difracţie a electronilor pe un cristal de nichel. Dispozitivul este reprezentat schematic în Fig. 9.6. Electronii emişi de filamentul unui tun electronic K sunt colimaţi cu ajutorul unui sistem de diafragme şi acceleraţi la o diferenţă de


15

potential U, iar apoi cad sub unghiul θ pe planele reticulare ale cristalului de Ni. Un cilindru Faraday F prevăzut cu un galvanometru balistic G pune în evidenţă electronii difractaţi sub unghiul θ .

Deoarece electronii utilizaţi în experienţă au energia mică, o mare parte a electronilor sunt difuzaţi pe stratul superficial al cristalului, astfel încât putem considera că difracţia se produce pe o reţea plană. Condiţia pentru a avea un maxim de difracţie pentru o undă este:

λ=θ=δ kd sin2 (9.42) Considerând că electronii sunt emişi de filament cu viteza zero, în urma accelerării la

tensiunea U, ei capătă energia cinetică eUmv =2/2 . Impulsul lor va fi emUp 2= , iar lungimea de undă de Broglie asociată

meU

h

p

h

2==λ (9.43)

Condiţia de maximum de difracţie devine:

meU

hkd

2sin2 =θ (9.44)

Păstrând o geometrie fixă, se constată că intensitatea curentului detectat de galvanometrul balistic are variaţia din Fig. 9.7. Asta înseamnă că electronii sunt difractaţi în direcţia cilindrului Faraday doar la anumite valori ale tensiunii de accelerare în acord cu teoria difracţiei. Ipoteza de Broglie căpăta astfel confirmarea experimentală.

Experienţe de difracţie au fost realizate ulterior şi cu alte microparticule. Experimente cu interferenţa au fost realizate mai greu şi mai târziu din cauza faptului că undele de Broglie ataşate fiecarei particule trebuiau să fie unde coerente. Abia în 1956 Faget şi Fert reuşesc să facă o interferenţă cu fascicule de electroni.

9.3.3. Relaţiile de nedeterminare Heisenberg

În mecanica clasică starea unei particule este complet determinată dacă sunt cunoscute poziţia şi impulsul acesteia la orice moment de timp. Acest lucru nu mai este posibil în cazul microparticulelor. Să considerăm o fantă de lărgime a foarte mică prin care va trece o microparticulă. Nu putem cunoaşte exact locul x prin care a trecut microparticula. Deci imprecizia în determinarea lui x este ax ~∆ . Ar trebui să reducem dimensiunile fantei pentru a stabili precis

G

U K

Fig. 9.6. d

n r F

θ

I

Fig. 9.7. U


16

16

locul prin care trece microparticula. Comportarea duală a microparticulei, face ca unda asociată să sufere o difracţie sub un unghi ϕ a.î pnhna /sin =λ=ϕ . Imprecizia în determinarea lui

xp (v. Fig 9.8.), va fi ϕ=∆ sinppx .

Rezultă hpx x ~∆⋅∆ (9.45)

În anul 1927, fizicianul german Werner Karl Heisenberg a arătat că relaţii de nedeterminare există pentru toate perechile de variabile canonice conjugate, dar şi pentru energie şi timp:

≥∆⋅∆

≥∆⋅∆

≥∆⋅∆

≥∆⋅∆

2

2

2

2

h

h

h

h

tE

pz

p

px

z

yy

x

(9.46)

Deci o determinare a poziţiei implică o imprecizie în determinarea impulsului şi reciproc. Noţiunea de traiectorie îşi pierde sensul când lucrăm la scară microscopică. De asemenea, determinarea exactă a momentului de timp implică o nedeterminare a energiei. Această ultimă relaţie - ce implică un parametru de evoluţie şi o observabilă - arată că dacă starea dinamică există doar un timp de ordinul t∆ atunci energia stării nu poate fi definită cu o precizie mai bună dacât

t∆/h . Mai mult, dacă printr-un procedeu oarecare se demonstrează caracterul ondulatoriu al unui

fenomen, atunci este imposibil ca în acelaşi timp să se demonstreze şi caracterul său corpuscular.

Probleme propuse. P1. O bilă de aluminiu neutră şi izolată de alte corpuri este iluminată cu 1850=λ Å.a) La ce potenţial maxim se încarcă bila, pierzând fotoelectroni? b) Dacă bila are cm1=R , câţi fotoelectroni au fost emişi? Lucrul de

extracţie pentru aluminiu este eV74.3=extrL .

P2. Un fascicul de lumină monocromatică având lungimea de undă nm500=λ şi puterea W1=P este trimis pe o celulă fotoelectrică cu catod de cesiu. Curentul care se stabileşte în circuitul fotocelulei are valoarea

mA16=I . Ştiind că lucrul de extracţie al cesiului este eV1.2=extrL , să se calculeze: a) tensiunea de stopare; b)

randamentul cuantic al fotocatodului de cesiu.

P3. Un foton cu lungimea de undă pm110 =λ suferă o difuzie Compton sub un unghi o110=θ , iar

electronul de recul face unghiul o30=ϕ cu direcţia fotonului incident. Cunoscând masa de repaus a electronului

kg101.9 310

−×=m şi valoarea vitezei luminii în vid m/s103 8×=c , să se calculeze constanta lui Planck.

P4. Un foton cu lungimea de undă 0λ ciocneşte un electron având impulsul 0eP orientat perpendicular pe

direcţia de mişcare a fotonului incident. Să se stabilească formula deplasării Compton 0λ−λ=λ∆ pentru fotonul

difuzat sub unghiul θ .

Soluţie problema 1: a). Pierzând fotoelectroni, bila se încarcă cu sarcină pozitivă enQ = , unde n

este numărul de fotoelectroni emişi. Această sarcină, uniform distribuită pe suprafaţa sferei, va crea în exterior un câmp electric:

204 r

QE

πε= (1)

căruia îi corespunde, pentru Rr > , un potenţial:

ϕpr

xp∆x∆

Fig. 9.8.


17

r

QV

04πε= (2)

Potenţialul pozitiv al sferei va acţiona ca un potenţial de frânare pentru electroni, aşa încât

||2

2max Ve

mv= (3)

Dar extrLhcmv

−λ

=2

2max de unde:

V51.2||

=

−λ=

e

Lhc

Vextr

(4)

b) Din relaţia (2), obţinem pentru Rr = : max04 RVQ πε= , de unde numărul de fotoelectroni emişi

este:

8max0 1074.1||

4

||×=

πε==

e

RV

e

Qn electroni (5)

Soluţie problema 2: a). Din ecuaţia lui Einstein pentru efectul fotoelectric se obţine:

V38.01

≅

−

λ=⇒+=

λextrssextr L

hc

eUeUL

hc (1)

b) Într-un timp t asupra catodului cade energia transportată de fN fotoni

hc

PtNPt

hcNE ff

λ=⇒=

λ= (2)

Curentul care se stabileşte în circuitul fotocelulei se datoreşte mişcării ordonate a n electroni în acelaşi timp t:

e

Itn

t

neI =⇒= (3)

Randamentul cuantic al fotocatodului de cesiu (definit ca raportul dintre numărul fotoelectronilor emişi şi numărul fotonilor incidenţi) devine:

%97.3=λ

==ηPe

hcI

N

n

f

(4)

Soluţie problema 3: Legea de conservare a impulsului fef pPprrr

+=0 scrisă pe componente este

( ) ( )

( ) ( )

ϕ−θ−πλ

=

ϕ+θ−πλ

−=λ

sinsin0

coscos0

vvmh

vvmhh

(1)

de unde rezultă

θλ−λ

θλ=

λθ−λ

λθ=ϕ

cos

sin

/cos//sin

0

0

0 hh

htg (2)

Ţinând cont de formula deplasării Compton (8.31), avem:

( ) θλ−θ−+λ

θλ=

θλ−λ

θλ=ϕ

coscos1

sin

cos

sin

00

0

0

0

0

cm

htg (3)

După un calcul simplu, se ajunge la expresia:


18

18

Js104.612 34

00−×≅

−ϕ

θ

λ=tg

ctg

cmh (4)

Soluţie problema 4 : Ţinând cont de relaţia energie-impuls

pentru o particulă relativistă ( 420

222cmcpmc += ), legile de

conservare a impulsului şi a energiei se scriu în forma:

( )

++=++

ϕ+θ=

ϕ+θ=

420

22420

2200

0

0

sinsin

coscos

cmcPcpcmcPcp

PpP

Ppp

efef

efe

eff

(1)

Din primele două ecuaţii ale sistemului (1) obţinem:

( ) ( ) ( ) ( ) 2222020 sincossincos eeefeff PPPpPpp =ϕ+ϕ=θ−+θ−

sau încă

( ) ( ) ( ) θ−θ−++= sin2cos2 00202202feffeffe pPppPppP (2)

Ultima ecuaţie a sistemului (1) poate fi transformată astfel

( ) 220

2220

200cmPcmPpp eeff +=++−

care prin ridicare la pătrat devine

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 20220

20020220 22 effeffeff PppcmPppPpp =−+−+++ (3)

Introducând (2) în relaţia (3) avem:

( ) ( ) ( ) θ−θ−=+− sincos1 00220

200feffeff pPppcmPpp (4)

sau scriind impulsul fotonului în funcţie de lungimea de undă, obţinem

( ) θλ

−

θ

λλ=+

λ−

λsin

2sin2

11 02

0

222

0

20

0ee P

hhcmPh (5)

de unde rezultă deplasarea Compton:

( ) 220

20

002

0

sin2

sin2

cmP

Ph

e

e

+

θλ−θ

=λ−λ=λ∆ (6)

Observaţie: Dacă electronul este în repaus ( 00 ≡eP ), atunci se regăseşte formula din breviarul

teoretic.

θ

0fp

r

fpr

ϕ

ePr

0ePr

Fig. 5.2.

CURS2 - Lucrarea 1 - Fizica atmosferei

Documents

Transcript of CURS2 - Lucrarea 1 - Fizica atmosferei