7/25/2019 Curs_10.12.2015

1/6

CAPITOLUL 7

METODE COMPUTA|IONALE IN MECANICA LANTURILOR

CINEMATICE CU ELEMENTE DEFORMABILE

7.1. Consideratii generale

In acest capitol se fac unele consideratii generale privind modalitatea

de folosire a algoritmilor prezentati in capitolul 6 pentru construirea modelelor

matematice ale miscarii solidelor deformabile incluse in structura unui lant

cinematic.

Unui solid deformabil, element cinematic, i se asociaza un reper

propriu (P) astfel:

- originea reperului (P) este un punct O P al frontierei deformabile

a solidului

- unul din planele de coordonate ale reperului (P) este tangent in O P

la .

!ie (" #) un reper e$terior, solidar cu baza lantului cinematic. !ie

si bazele de versori asociate reperelor (P) si (" #).

%cceleratia instantanee a unui punct & al elementului deformabil, calculata in

raport cu reperul (" #), este ':

* ,

(+..)

unde:

- sunt viteza si acceleratia ungiulara ale reperului (P)

fata de reperul ("#)

- este deplasarea punctului & datorita deformabilitatii

elementului cinematic

- este viteza punctului & fata de (P)

- este acceleratia punctului & fata de (P).

atorita modului de alegere a reperului (P), este evident ca vectorii

si sunt functii de timp si de starea de deformare instantanee.

&odelul matematic in deplasari pentru elementul deformabil se

obtine, uzual, astfel:

- se scrie modelul matematic in deplasari pentru starea de ecilibru a

solidului deformabil

- se scrie modelul matematic al miscarii in deplasari, suprapunand

peste campul incarcarilor e$terioare, din ecuatiile de ecilibru, un camp al

fortelor de inertie, dat de: , unde este masa specifica in &,

iar este elementul de volum in /urul lui &.

0e pot folosi si alte procedee pentru deducerea modelului matematic,ca de e$emplu teorema variationala 1amilton '.

7.. Consideratii as!"ra #e$torilor si

!ie (P#) un reper propriu cu originea in si unul din planele de

coordonate tangent in la frontiera a solidului deformabil afalt

intr-o stare de referinta, de regula starea nedeformata. "eperul (P #) este

astfel ales incat la un moment oarecare al miscarii el sa treaca in reperul (P).

%vem :

,

(+.2.)

viteza ungiulara corespunzand asa numitei miscari de solid rigid a

elementului cinematic.

In construirea modelului matematic sunt doua optiuni:

7/25/2019 Curs_10.12.2015

2/6

- optiunea in care se considera , cel mai uzual

folosita

- optiunea in care se accepta relatia (+.2.).

3ste evident ca:

.

A"li$atia 7.1. 0a se afle e$presia vectorului pentru un

element cinematic deformabil de tip bara dreapta 4ernoulli-3uler (fig. +..).

Fig. 7.1.

%ol!tie.in motive evidente, modelul matematic al miscarii se scrie

in baza asociata reperului (P#). 0e considera

baza de versori asociata reperului !renet atasat in O P la a$a geometrica a

barei : .

"eperului (P) i se asociaza urmatoarea baza de versori:

.

!ie

deplasarea datorata deformabilitatii unui punct ( $, #, # ) al a$ei barei.

0e folosesc notatiile:

.

5inand cont de definitia reperului !renet se obtine, dupa calcule,

urmatoarea relatie de scimbare de baza de la P la P#:

,

(+..)

unde matricea ortogonala este data de:

,

(+..)

unde:

7/25/2019 Curs_10.12.2015

3/6

*

.

* .

!ie:

.

7omponentele rezulta elementar din:

.

(+.8.)

%cceleratia ungiulara rezulta prin derivare in raport cu timpul.

%sa cum rezulta si din aplicatia precedenta, functiile

, prin intermediul carora se determina , nu

sunt cunoscute a priori, fiind necesar un algoritm de apro$imatii succesive:

- se considera , se construieste si se rezolva modelul

matematic al miscarii, rezultand starea de deplasari

- se determina si apoi se construieste cu

care se corecteaza modelul matematic rezultand o noua stare de deplasari

etc.

Procedeul din aplicatia +.. poate fi aplicat si pentru alte geometrii ale

elementului cinematic deformabil: placa, corp etc.

7.&. Modele 'ate'ati$e in de"lasari

&odalitatea de construire a modelelor matematice a fost e$pusa, la

modul general, anterior.

In structura unui model matematic, in deplasari, intra:

- componentele

ale

deplasarii in baza asociata reperului (P#), & fiind un punct curent

al elementului cinematic deformabil

- componentele ale vitezei ungiulare

instantanee , in baza asociata reperului (P#)

- componentele ale acceleratiei

ungiulare instantanee , in baza asociata reperului (P#)

- componentele a #(t), a #2(t), a #(t) ale acceleratiei , in baza

asociata reperului (P#).

0e considera , vectorul putand fi determinat ca in

cadrul capitolului 6.

7u a/utorul relatiei (8..) se poate scrie, indicand prin indicele 9;

elementul deformabil, restul elementelor fiind presupuse rigide:

,

adica:

.

(+.6.)

Prin derivare in raport cu timpul se obtine:

7/25/2019 Curs_10.12.2015

4/6

.

(+.+.)

7u (8.2#.) se poate scrie:

* ,

adica:

* ,

(+.

7/25/2019 Curs_10.12.2015

5/6

3 - este modulul lui ?oung

3I2, 3I- sunt rigiditati de incovoiere.

0olutionarea modelului variant in timp (+.=.) se poate face iterativ,

descompunand operatorul diferential matricial in:

,

(+.#.)

in asa fel incat modelul matematic al primei iteratii:

(+..)

sa fie invariant in timp si, deci, solutionabil, spre e$emplu, cu transformate

integrale de tip @aplace (in raport cu 9t;) si !ourier finita (in raport cu 9$;), care

aplicate succesiv algebrizeazarezolvarea.

!ie AuB()solutia modelului (+..). 7u a/utorul lui AuB()se calculeaza

termenul a&s (AuB()) construind modelul matematic invariant in timp al celei

de a doua iteratii:

* , (+.2.)

din care rezulta AuB(2)etc.

Pentru conditiile la limita:

(+..)

si pentru conditii initiale nule:

,

(+..)

prin aplicarea succesiva in (+..) a transformatei @aplace, in raport cu 9t; si a

transformatei !ourier finite, in raport cu 9$ ;, se obtine, dupa inversarea

succesiva a acestora, solutia primei iteratii:

. ,

(+.8.)

unde:

.

!unctiile se introduc cu (+.6.), (+.+.),

(+.

7/25/2019 Curs_10.12.2015

6/6

In final, sa remarcam ca si modelele matematice asociate unor

modele mecanice cu numar finit de grade de libertate (elaborate frecvent cu

metoda elementului finit) sunt tot variante in timp, putand fi solutionate tot prin

procedee iterative, elementele miscarii de solid rigid fiind introduse tot cu

a/utorul relatiilor (+.6.) - (+.