CURSUL 1: INELE

G. MINCU

1. Inele

Definitia 1. Fie M o multime si doua legi de compozitie, 4 si ?, peM .Spunem ca ? este distributiva la stanga n raport cu 4 dacapentru orice a, b, c M avem a ? (b4 c) = (a ? b)4 (a ? c).Spunem ca ? este distributiva la dreapta n raport cu 4 dacapentru orice a, b, c M avem (b4 c) ? a = (b ? a)4 (c ? a).Spunem ca ? este distributiva n raport cu 4 daca ? este distribu-tiva si la stanga si la dreapta n raport cu 4.Definitia 2. Numim inel orice triplet (R,4, ?) format dintr-o multimeR si doua legi de compozitie, 4 si ?, pe R cu proprietatile:(G) (R,4) este grup abelian,(S) (R, ?) este semigrup, si(D) ? este distributiva n raport cu 4.

Definitia 3. Spunem ca inelul (R,4, ?) este comutativ daca operatia? este comutativa.Spunem ca inelul (R,4, ?) este unitar daca operatia ? admite elementneutru.

Exemplul 1. Conform proprietatilor cunoscute de la scoala generalasau de la liceu, (Z,+, ), (Q,+, ), (R,+, ), (C,+, ) sunt inele comuta-tive si unitare. (N,+, ) nu este inel, deoarece (N,+) nu este grup!Observatia 1. Tinand cont de faptul ca n exemplele ,,standardprezentate mai sus rolul operatiilor 4 si ? este jucat de adunare, re-spectiv de nmultire, convenim ca din acest moment sa utilizam n toateinelele cu care vom lucra notatia ,,+ si denumirea de ,,adunare pen-tru ,,prima lege si notatia ,, si denumirea de ,,nmultire pentru ,,ceade-a doua lege. Continuand paralela cu legile din exemplul anterior,dat fiind inelul (R,+, ), vom nota cu 0 elementul neutru al lui R nraport cu +, cu a simetricul elementului a R n raport cu +, si cu 1elementul neutru al lui R n raport cu operatia (daca acesta exista!).

1

2 G. MINCU

Daca operatiile de inel sunt subntelese n context, vom spune uneori,,inelul R n loc de ,,inelul (R,+, ).Propozitia 1. (Reguli de calcul n inele):Fie R un inel. Atunci:i) a R a 0 = 0 a = 0.ii) a, b R a(b) = (a)b = ab; (a)(b) = ab.iii) n Z a, b R (na)b = a(nb) = n(ab).iv) m,n N ai, bj R

(mi=1

ai

)(n

j=1

bj

)=

mi=1

nj=1

aibj.

v) a, b R ab = ba n N (a+b)n = an+n1k=1

(n

k

)ankbk+bn.

vi) a, b R ab = ba n N \ {1}an bn = (a b)(an1 + an2b+ . . .+ abn2 + bn1).

Definitia 4. Fie R un inel, iar S o submultime nevida a lui R. Spunemca S este subinel al lui R daca sunt ndeplinite conditiile:i) x, y S x y S siii) x, y S xy S.Exemplul 2. Daca R este un inel, atunci R si {0} sunt subinele alelui R.

Exemplul 3. Z este subinel al lui (Q,+, ),Q este subinel al lui (R,+, ),R este subinel al lui(C,+, ).(Tema: demonstrati aceste afirmatii!)

Exemplul 4. Daca R este un inel, atunci C(R)not= {a R : x R

ax = xa} este subinel al lui R (Tema: demonstrati aceasta afirmatie!).C(R) se numeste centrul inelului R.

Observatia 2. Daca S este subinel al inelului R, atunci S are o struc-tura de inel n raport cu legile induse.

Exemplul 5. Pentru orice n N \{1}, (nZ,+, ) este inel comutativ,dar neunitar.

Exemplul 6. Pentru orice n N, (Zn,+, ) este inel comutativ siunitar (aici + si desemneaza adunarea, respectiv nmultirea modulon).

Exemplul 7. DacaM este o multime nevida, iar R este un inel (comu-tativ, unitar), multimea F(M,R) a functiilor definite pe M cu valorin R are o structura de inel (comutativ, unitar) n raport cu adunarea

CURSUL 1: INELE 3

si nmultirea definite astfel: (f + g)(x) = f(x) + g(x) pentru oricex M si (fg)(x) = f(x)g(x) pentru orice x M . (Tema: demonstratiaceasta afirmatie!)

Exemplul 8. Fie (G,+) un grup abelian arbitrar. Atunci, multimeaEnd(G) a endomorfismelor lui G capata o structura de inel unitar nraport cu adunarea definita prin (f + g)(x) = f(x) + g(x) pentru oricex G si cu compunerea. (Tema: demonstrati aceasta afirmatie!)Exemplul 9. Fie (G,+) un grup abelian arbitrar. Daca definim pe Go noua operatie prin xy = 0 pentru orice x, y G, atunci (G,+, ) esteun inel comutativ fara element unitate. (Tema: demonstrati aceastaafirmatie!)

Exemplul 10. Fie (R,+, ) un inel (unitar). Atunci (R,+, ?), undex ? y = yx pentru orice x, y R, este un inel (unitar). (R,+, ?) senumeste inelul opus al lui (R,+, ).

2. inel produs

Exemplul 11. Fie R1, R2, . . . , Rn inele. Pe produsul cartezian Rnot=

R1R2. . .Rn consideram operatiile de adunare si nmultire definitepe componente. In raport cu aceste operatii, R capata o structura deinel. (Tema: demonstrati aceasta afirmatie!)

Definitia 5. Inelul din exemplul anterior se numeste produsul directal inelelor R1, R2, . . . , Rn.

Observatia 3. Inelul R1R2 . . .Rn este comutativ daca si numaidaca R1, R2, . . . , Rn sunt comutative.Inelul R1R2 . . .Rn este unitar daca si numai daca R1, R2, . . . , Rnsunt unitare; n caz ca exista, elementul unitate al lui R1R2. . .Rneste (1, 1, . . . , 1).(Tema: demonstrati aceste afirmatii!)

3. inele de matrice

Fie R un inel si m,n N.Definitia 6. Numim matrice de tip m,n cu elemente din inelulR orice functie definita pe {1, 2, . . . ,m} {1, 2, . . . , n} cu valori n R.Notatii:- Vom nota cu Mm,n(R) multimea matricilor de tip m,n cu elementedin R.- Prin Mn(R) vom desemna multimea Mn,n(R).- Daca A Mm,n(R), A(i, j) = aij, A este frecvent prezentata sugestiv

4 G. MINCU

sub forma de tablou astfel: A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n. . . . . . . . . . . .am1 am2 . . . amn

.- Vom folosi si urmatoarele variante mai economicoase de notatie:A = (aij)i=1,2,...,m

j=1,2,...,n, sau, daca nu este pericol de confuzie, A = (aij)i,j.

Pe Mm,n(R) definim operatia (aij)i,j + (bij)i,j def= (aij + bij)i,j. Sevede usor ca Mm,n(R) este grup abelian n raport cu aceasta operatie.Elementul neutru al acestui grup este matricea nula de tip m,n, iarsimetrica n acest grup a matricii (aij)i,j este matricea (aij)i,j.

Daca A = (aij)i=1,2,...,mj=1,2,...,n

Mm,n(R) si B = (bjk)j=1,2,...,nk=1,2,...,p

Mn,p(R),definim produsul lor astfel: AB =

(nj=1 aijbjk

)i=1,2,...,mk=1,2,...,p

. Se constata

ca, daca m,n, p, q N, A = (aij)i,j Mm,n(R), B = (bjk)j,k Mn,p(R), iar C = (ckl)k,l Mp,q(R), atunci

(AB)C =

( nj=1

aijbjk

)i=1,2,...,mk=1,2,...,p

C ==

(p

k=1

(n

j=1

aijbjk

)ckl

)i=1,2,...,ml=1,2,...,q

=

(n,p

j,k=1

aijbjkckl

)i=1,2,...,ml=1,2,...,q

=

(n

j=1

aij

(p

k=1

bjkckl

))i=1,2,...,ml=1,2,...,q

= A(

pk=1

bjkckl

)j=1,2,...,nl=1,2,...,q

= A(BC).

In consecinta, (Mn(R), ) este semigrup.Cu calcule similare celor de mai sus, se arata ca pentru orice A,B,C Mn(R) au loc relatiile A(B+C) = AB+AC si (B+C)A = BA+CA.In urma acestor consideratii obtinem:

Propozitia 2. Daca R este un inel, iar n N, atunci Mn(R) are ostructura de inel n raport cu adunarea si nmultirea introduse mai sus.

Observatia 4. Daca inelul R este unitar, inelulMn(R) este de aseme-nea unitar, avand drept element unitate matricea

Indef=

1 0 . . . 00 1 . . . 0. . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1

.

CURSUL 1: INELE 5

Definitia 7. Matricea In definita mai sus se numeste matricea uni-tate de ordin n (sau matricea identica de ordin n).

References

[1] T. Dumitrescu, Algebra, Ed. Universitatii din Bucuresti, 2006.[2] C. Nastasescu, C. Nita, C. Vraciu, Bazele algebrei, Ed. Academiei, Bu-

curesti, 1986.