CURS_005_ET_LEGI_DE_REPAR_2.doc

Ethan Frome

36fiabilitate37fiabilitate

CURS 5

LEGI DE REPARTIIE (2)

REPARTIII DISCRETE

5.1. Repartiia Poisson

Dac evenimentele independente A1, A2, A3... An au probabilitile P(A1) =p1, P(A2) =p2... P(An) =pn cunoscute, atunci probabilitatea ca din cele n evenimente s se realizeze k (i s nu se realizeze n-k) este coeficientul lui xk din polinomul:

EMBED Equation.3 (5.1)

unde .

Demonstraie

Se va considera, pentru nceput un caz particular: n=4, k=2. Evenimentul a crui realizare nseamn realizarea a dou evenimente i nerealizarea celorlalte dou se scrie astfel:


Acest eveniment este reuniunea a ase evenimente incompatibile, fiecare dintre acestea fiind intersecia a patru evenimente independente.

Probabilitatea acestui eveniment este:


Este evident c, pentru coeficientul lui x2 din polinomul Q(x) se obine expresia dat de relaia (5.3).

n cazul general, evenimentul a crui realizare nseamn realizarea de k evenimente din cele n este reuniunea a evenimente, fiecare dintre acestea fiind intersecia a n evenimente independente.


Probabilitatea acestui eveniment este:

EMBED Equation.3 (5.5

care reprezint coeficientul lui xk din polinomul Q(x) din relaia (5.1).

5.2. Repartiia binomial

Repartiia binomial se obine cnd experimentrile au urmtorul model probabilistic:

a) fiecare ncercare are numai dou rezultate posibile, care s formeze un sistem complet de evenimente incompatibile ();

b) fiecare probabilitatea de obinere a unui eveniment (de exemplu A) este constant la fiecare ncercare i egal cu p. n cazul repetrii experimentului de n ori numrul de apariii a evenimentului A este o variabil aleatoare discret avnd valorile 0,1,2....n.

Se consider un lot de piese avnd un procent p de defectare. Efectund extrageri repetate, iar piesele extrase fiind introduse din nou n lot, se obine o repartiie a numrului de piese defecte.

Presupunem c s-au realizat dou extrageri i se noteaz cu:

- evenimentul ca piesa s fie bun;

- evenimentul ca piesa s fie defect.

a) probabilitatea apariiei evenimentului A o dat:

EMBED Equation.3 .(5.6)

b) probabilitatea apariiei evenimentului A de dou ori:


c) probabilitatea neapariiei evenimentului A n cele dou extracii:


Probabilitatea ca din dou extrageri s se obin:

a) zero piese bune:


b) o pies bun:


c) dou piese bune:


Dup n ncercri s-a produs de k ori evenimentul i de n-k ori . Probabilitatea de a se produce de k ori evenimentul i apoi evenimentul de n-k ori este:


n relaia de mai sus indicii 1,2...semnific numrul de ordine al evenimentelor respectiv .

n cele n experiene nu intereseaz ordinea de apariie a evenimentului A, deci trebuie considerate toate situaiile posibile (). Rezult:


Expresia are aceeai form ca i termenul k al binomului lui Newton. Pentru valori mari ale lui n se poate utiliza formula lui Stirling:


5.2.2. Funcia de probabilitate a repartiiei binomiale

Conform relaiei:


{probabilitatea ca variabila aleatoare X s ia valoarea xi este p), funcia de probabilitate a repartiiei binomiale este:


Repartiia variabilei aleatoare X este:


Valoarea medie este a variabilei aleatoare cu repartiie binomial este iar dispersia:

5.3. Repartiia hipergeometric.

Modelul probabilistic al repartiiei hipergeometrice este similar cu cel binomial cu diferena c elementul extras s nu mai revin i astfel se modific compoziia. Extragerea se numete fr ntoarcere.

Se presupune c avem o populaie cu n piese, din care a piese bune i b = n-a piese defecte. Probabilitatea ca efectund m extrageri succesive fr ntoarcere s se scoat x piese bune i m-x piese defecte este:


Dac n este foarte mare repartiia hipergeometric se apropie de repartiia binomial cu parametri:


Funcia de repartiie :


5.4. Repartiia binomial cu exponent negativ

Variabila aleatoare are distribuie binomial cu exponent negativ cu parametri p i q dac poate lua valorile i:


O experien se efectueaz pn la cea de-a n-a realizare a unui eveniment A. Dac probabilitatea acestui eveniment, cnd se efectueaz o singur dat experimentul este p, atunci numrul X de efecturi a experimentului este o variabil aleatoare cu exponentul negativ.

Evenimentul {X=n} se scrie ca intersecia a dou evenimente:

- n primele n-1 efecturi ale experienei evenimentul A se produce de m-1 ori;

- n a n-a efectuare a experienei evenimentul A se produce.

Probabilitatea primului eveniment:


(schema lui Bernoulli).

Probabilitatea celui de al doilea eveniment:


Evenimentele fiind independente se poate scrie:


Se demonstreaz c pentru o variabila aleatoare X care are distribuie binomial cu exponent negativ cu parametri p i q valoarea medie i dispersia sunt date de relaiile:


5.5. Repartiia evenimentelor rare

Variabila aleatoare X are distribuia evenimentelor rare cu parametrul (>0) dac poate lua orice valoare ntreag i :


Aceast distribuie se numete i distribuia evenimentelor rare, fiind corespondentul n domeniul discret al repartiiei (distribuiei) exponeniale. Se au n vedere urmtoarele:

- probabilitatea de apariie a evenimentelor care se examineaz este mic;

- este un caz particular al repartiiei binomiale, n cazul n care n , meninndu-se ca o distribuie de tip discret.

Densitatea distribuiei Bernoulli:


Se noteaz: . ntruct n este foarte mare (n ) relaia (5.27) devine:


innd seama de faptul c:


relaia (5.28) devine:


Funcia de repartiie este:


Se demonstreaz c pentru o variabila aleatoare X care are distribuie Poisson valoarea medie i dispersia sunt date de relaiile:


Cnd parametrul a crete (a>30), distribuia Poisson tinde s se suprapun cu cea

a lui Bernoulli.

_1166192473.unknown

_1166197671.unknown

_1166198665.unknown

_1168533512.unknown

_1199871188.unknown

_1199891762.unknown

_1256657945.unknown

_1256659244.unknown

_1256659880.unknown

_1395151063.unknown

_1256659879.unknown

_1256658282.unknown

_1199892002.unknown

_1199892535.unknown

_1199891781.unknown

_1199872449.unknown

_1199891668.unknown

_1199891690.unknown

_1199872043.unknown

_1168533588.unknown

_1168533569.unknown

_1166201442.unknown

_1168533081.unknown

_1168533445.unknown

_1166199649.unknown

_1166198380.unknown

_1166198454.unknown

_1166198248.unknown

_1166198346.unknown

_1166198372.unknown

_1166197723.unknown

_1166194117.unknown

_1166195388.unknown

_1166196112.unknown

_1166197556.unknown

_1166195695.unknown

_1166194801.unknown

_1166195079.unknown

_1166194308.unknown

_1166193556.unknown

_1166193799.unknown

_1166193838.unknown

_1166193682.unknown

_1166192991.unknown

_1166193256.unknown

_1166192979.unknown

_1160496799.unknown

CURS_005_ET_LEGI_DE_REPAR_2.doc

Documents

Transcript of CURS_005_ET_LEGI_DE_REPAR_2.doc