PROCESE TERMODINAMICE SIMPLE ALE GAZULUI IDEAL

Deşi poate exista practic o infinitate de transformări posibile, deoarece oricând ecuaţia caracteristică de stare f (p,v,T) = 0 – pentru gazul perfect pV = mR∙T – va fi satisfăcută, în aplicaţiile tehnice interesează în mod curent câteva din acestea şi anume: transformarea la volum constant (dV = 0), la presiune constant (dp = 0), la temperatură constantă (dT = 0) şi transformarea fără schimb de căldură-adiabatică (dQ = 0).

1. Transformarea la volum constant (transformarea izocoră)

În cazul unei transformări izocore se menţine constant volumul gazului variind presiunea şi temperatura acestuia.

Ecuaţia izocorei este de forma (legea lui Charles) :dV = 0 sau V = const. (1)

În coordonatele p – V transformarea izocoră se prezintă ca un segment de dreaptă, parcurs de jos în sus în cazul în care gazul absoarbe căldură din interior şi în sens opus, când gazul cedează căldură (figura 1).

Fig .1

Dacă se aplică ecuaţia termică de stare la cele două stări extreme 1 şi 2 ale transformării, rezultă:

p1V1 = mRT1 şi p2V2 = mRT2 sau:

(2)

Lucrul mecanic într-o transformare izocoră este nul. Căldura schimbată cu mediul exterior serveşte numai la variaţia energiei interne a gazului:

(3)

sau, dacă se ţine seama de relaţia , se obţine:

(4)

în condiţiile în care cv nu variază cu temperatura.Exemple de transformări izocore se pot da: procesul de ardere la motoarele cu

aprindere prin scânteie, în instalaţiile de cazane etc.

30

p

V1

2

Q12

v1 = v2

2. Transformarea la presiune constantă (transformarea izobară)

În transformarea izobară presiunea se menţine constantă în timpul procesului, iar volumul şi temperatura gazului variază.

Ecuaţia transformării izobare este (legea Gay-Lussac) :dp = 0 sau p = const. (5)

Dacă se aplică ecuaţia termică de stare pentru două stări ale unei transformări izobare, se obţine:

(6)

Din relaţia (6) rezultă că în cazul unui proces de destindere, temperatura gazului ideal creşte, iar într-un proces de comprimare temperatura scade.

În figura 2 este redată reprezentarea grafică a unei transformări izobare în coordonate p – V.

Grafic, aceasta apare ca o dreaptă paralelă cu abscisa parcursă de la 1 la 2 într-un proces de destindere a gazului şi de la 2 spre 1 într-un proces de comprimare.

Fig . 2

Lucrul mecanic (în acest caz, lucrul mecanic de dislocare) este dat de relaţia:

(7)

Dacă masa m = 1 kg şi diferenţa T2 – T1 = 1 grad, din relaţia (7) rezultă l12 = R. Deci constanta R a gazului ideal reprezintă lucrul mecanic efectuat de 1 kg de gaz într-o transformare izobară la o variaţie a temperaturii cu un grad.

Căldura schimbată în transformarea izobară pentru producerea lucrului mecanic va fi:

(8)

Raportul dintre lucrul mecanic obţinut şi căldura consumată în acest scop este:

Variaţia energiei interne în transformarea izobară, este:

[J] (9)

Din figura 3 rezultă că o transformare izobară nu este economică deoarece numai o parte din căldura consumată se transformă în lucru mecanic, restul contribuind la creşterea energiei interne. Se recomandă ca procesul izobar să fie urmat de o expansiune adiabatică prin care şi restul din căldura introdusă s-ar transforma în lucru mecanic.

31

U2U1

Q12

L12

p

V

1 2destindere

Fig. 3

Ca exemplu de procese izobare se pot da cele din motoarele Diesel şi respectiv din camerele de ardere la presiune constantă ale turbinelor cu gaze.

3. Transformarea la temperatură constantă (transformarea izotermă)

La acest tip de transformare rămâne constantă temperatura corpului, în timp ce presiunea şi volumul variază.

Ecuaţia transformării izoterme este:dT = 0 sau T = const. şi pV = const. (legea Boyle-Mariotte)

(10)Dacă se scrie ecuaţia termică de stare pentru cele două stări limită ale

transformării, în ipoteza de mai sus, rezultă:

p1V1 = p2V2 = … = pnVn sau (11)

Prin reprezentarea grafică în coordonate p – V a unei transformări izoterme se obţine o hiperbolă echilateră (figura 4.). Se face menţiunea că posibilitatea reprezentării grafice a izotermei este condiţionată de cunoaşterea iniţială a unui punct prin care aceasta va trece (spre exemplu punctul 1 ale cărei coordonate sunt p1, V1).

Fig. 4 Fig. 5

Dacă se diferenţiază relaţia pv=RT se obţine forma diferenţială a ecuaţiei izoterme, adică:

pdv + vdp = 0 sau

Valoarea tangentei trigonometrice a unghiului făcut de tangenta geometrică la

32

V

p

Q12

V1 V1

a c

1

2

p

VV1

V7

p 1

p 7

7

1

2

34

5 6

0

curba izotermei cu axa volumelor, conform figurii 5, este:

sau:

În diagrama p – V, izoterma are ca asimptote axele de coordonate şi împarte planul p – V în două zone: deasupra curbei se găsesc punctele cu temperatură mai mare ca a izotermei, iar sub aceasta punctele cu temperaturi mai reduse ca ale izotermei.

Lucrul mecanic obţinut prin destindere izotermică este:

(12)Se poate vedea că valoarea acestuia depinde de produsul pV = mRT, adică de temperatura izotermei şi de valorile raportului presiunilor extreme.

Căldura schimbată în transformarea izotermă, se deduce din relaţiile dQ = dU + pdV şi dQ = dI – Vdp.

Dacă se ţine seama de relaţiile şi în cazul gazului ideal, se

poate scrie:dQ = pdV şi Q12 = L12 (13)

În transformarea izotermă căldura introdusă se transformă integral în lucru mecanic, fără a realiza şi variaţia energiei interne a gazului, adică să fie împiedicată variaţia temperaturii de lucru.

4. Transformarea adiabatică

Caracteristica principală la această transformare este aceea că sistemul termodinamic considerat nu schimbă căldură cu exteriorul în sensul că nici nu cedează dar nici nu primeşte, adică:

dQ = 0În transformarea adiabată, parametrii de stare p, V şi T sunt variabili.Pentru deducerea ecuaţiei adiabatei se foloseşte relaţia primului principiu în care

se pune condiţia de mai sus, adică:0 = dU + pdV sau:0 = mcvdT + pdV (14)

Dacă se înlocuieşte căldura specifică la volum constant , se obţine:

(15)

Prin diferenţierea ecuaţiei termice de stare scrisă sub forma mRT = pV, se obţine:

m.RT = pdV + Vdp (16)

Introducerea expresiei (16) în (15), ne conduce la rezultatul:

sau:

33

0 = pdV + Vdp + kpdV - pdV, de unde rezultă:

0 = Vdp + kpdV (17)

Dacă ecuaţia (17) este amplificată cu , se obţine:

(18)

Expresia (18) reprezintă forma diferenţială a ecuaţiei transformării adiabatice în coordonatele p – V.

Deoarece pentru gazul ideal exponentul k este constant cu temperatura, integrarea ecuaţiei (18) ne conduce la rezultatul:

ln p + k ln V = const. sau:(19)

Relaţia (19) reprezintă ecuaţia adiabatei în p – V în care k, aşa cu s-a arătat în cursul anterior, se numeşte exponent adiabatic.

Pentru determinarea variaţiei temperaturii într-o transformare adiabatică în funcţie de presiune şi volum se pleacă de la expresia (19), adică:

(20)unde, pentru început, din ecuaţia termică de stare scrisă pentru unitatea de cantitate, se explicitează volumul specific v şi se înlocuieşte în (20) obţinându-se:

(deoarece, pentru un gaz dat, R este

constant) de unde: p1-kTk = const.În general, se poate scrie:

sau:

(21)

Dacă, în mod asemănător, din ecuaţia termică de stare pv = RT se explicitează presiunea p şi se introduce în (20), se obţine:

de unde Tvk-1 = const.În general, se poate scrie şi în acest caz:

sau: (22)

În consecinţă, într-o transformare adiabată, legătura între parametrii de stare este

de forma: (23

În diagrama dinamică p – V, adiabata este reprezentată de o hiperbolă neechilateră. Alura curbei cât şi modul de construcţie sunt redate în figura 6.

34

p

vv1

v2

p 1

1

2

34

56p 2

45a a

a

0

b

b

b

x

y

45

Fig. 6

Lucrul mecanic al transformării adiabate se obţine plecând de la expresia primului principiu al termodinamicii sub forma:

dq = du + dl unde dq = 0Deci: dl = - du = - cv dT (24) În cazul unei transformări finite între două stări 1 şi 2, relaţia (24) devine:

l12 = - cv (T2 – T1) = cv (T1 – T2) sau:

(25)

Pentru a se ajunge la ecuaţiile (25), s-au folosit expresiile p1V1=p2V2 şi (23).Ţinându-se seama că în transformarea adiabată dq = 0, din expresia δq=du+δl

rezultă: l12 = u1 – u2 = cv (T2 – T1) (26)Această expresie ne arată că lucrul mecanic în transformarea adiabată se

realizează numai pe seama energiei interne (figura 7).Într-o transformare adiabată, căldura schimbată cu mediul exterior este nulă

chiar prin natura procesului: dQ = 0; Q12 = 0 (27)Transformarea adiabatică presupune o izolare termică perfectă a pereţilor

spaţiului unde se desfăşoară procesul pentru a nu interveni acţiunile termice ale mediului ambiant. Un caz practic de proces de proces adiabatic îl reprezintă curgerea aburului sau gazelor printre paletele turbinelor cu abur sau gaze, proces ce realizează cu o viteză de transformare foarte mare.

Fig.7 5. Transformarea politropică

În realitatea practică, procesele din maşinile termice nu se realizează nici izoterm şi nici adiabatic ci apropiate oarecum de acestea şi se numesc transformări politropice.

În aceste transformări are loc şi schimb de căldură şi de lucru mecanic şi variază toţi parametrii de stare.

O transformare politropică, este definită prin ecuaţia:

35

u1 – u2

u 1 u 2

l12

(28)Ecuaţia (28) cuprinde totalitatea transformărilor reprezentate în diagrama p – V,

în care n poate căpăta valori concrete şi constante pentru o anumită porţiune de curbă.În general, relaţiile stabilite pentru transformarea adiabată rămân valabile şi

pentru transformările politropice. Astfel, ecuaţia politropei sub formă diferenţială este de forma:

(29)

Legătura între parametrii unei transformări politropice este identică celei de la adiabată, cu deosebirea că exponentul adiabatic k este înlocuit cu n:

(30)

Lucrul mecanic în transformarea politropică se obţine ca şi la transformarea adiabată, adică:

l12 = - cv (T2 – T1) = cv (T1 – T2) sau:

(31)

relaţia valabilă pentru unitatea de cantitate (m = 1 kg).Variaţia energiei interne se determină cu relaţia:

u2 – u1 = cv (T2 – T1) (32)

Relaţia de calcul pentru căldură într-o transformare politropică se stabileşte astfel:

q12 = u + l12;

dar: u = cvT = cv (T2 – T1) şi

Deci:

sau:

de unde:

(33)

În consecinţă: [J/kg] (34)

36

Relaţiile (33) şi (34) reprezintă expresia căldurii specifice politropice şi respectiv căldura schimbată într-un proces politropic (pentru o masă m = 1 kg)

Menţiunea care se impune a fi făcută este aceea că, în maşinile termice existente, exponentul (indicele) politropic n satisface de obicei condiţia: 1 < n < k. Din analiza relaţiilor (33) şi (34) rezultă semnul minus pentru căldura specifică, ceea ce înseamnă că temperatura agentului de lucru scade chiar dacă acesta absoarbe căldură. Acest aspect al procesului ne arată că agentul de lucru realizează un lucru mecanic exterior atât în schimbul căldurii primite, cât şi pe seama energiei interne a acestuia.

Bilanţul energetic al unei politrope este redat in figura 8

Fig. 8 Fig. 9

Reprezentarea grafică a diferitelor transformări simple în coordonate p–V prin particularizarea valorii exponentului n este prezentată în figura 9.

37

U1

U2

L12U12

p

V

p = const.; n = 0; c = cp

v =

con

st.;

n =

; c

= c

v0 < n < 1; c > 0

T = const.; n = 1; c =1 < n < k; c < 0

n = k; c = 0n > k; c > 0