Transferul de căldură - Curs Cap. 3: Teoria similitudinii

Teoria similitudinii

Similitudinea reprezintă o generalizare a asemănării geometrice. Fenomenele de aceeaşi natură şi descrise analitic de ecuaţii identice ca formă şi conţinut sunt similare.

Similitudinea (asemănarea) geometrică

Două figuri geometrice sunt asemenea dacă segmentele lor corespunzătoare sunt proporţionale.

cl'c

c cll

'RR

'hh

'bb

'll

=====

unde se numeşte clc factor de asemănare sau coeficient de scară al lungimii caracteristice, l . c

Similitudinea cinematică

wc'w

w= ; ττ

τ c'=

Similitudinea dinamică

Fc'F

F= ; ac

'aa= ; mc

'mm

=

Similitudinea termică

tc'tt= ; qc

'qq

&&

&= ; λλ

λ c'=

Remarcă: Două fenomene similare au coeficienţi de scară interdependenţi. Exemplu:

ττττ

τ c

c''l

l'l'l

'wwc cl

c

c

c

cw =⋅=⋅== →

τcc

c clw = → 1

ccc

clw =⋅ τ

Ghiaus A.-G. 1

Transferul de căldură - Curs Cap. 3: Teoria similitudinii

Ho.const'l''w

lw

cc==

⋅=

⋅ ττ

unde constanta adimensională este Ho criteriul de homocronie, iar expresia ei se numeşte invariant, criteriu adimensional sau criteriu de similitudine.

clwHo τ⋅

= [-]

Legile similitudinii

1. Legea lui Newton: Două fenomene similare au criterii de similitudine identice. 2. Legea lui Buckingham: Soluţia generală a sistemului de ecuaţii care descrie un fenomen poate fi exprimată cu ajutorul criteriilor de similitudine corespunzătoare fenomenului sub forma unei ecuaţii criteriale:

( ) 0K,,K,Kf n21 =K

unde , , ... , sunt criterii de similitudine. 1K 2K nK 3. Legea lui Kirpicev-Guhmann: Condiţiile de unicitate a două fenomene similare sunt la rândul lor similare şi respectă legea lui Newton. Criteriile de similitudine corespunzătoare condiţiilor de unicitate se numesc criterii determinante.

Similitudinea proceselor dinamice

x2x

2

2x

2

2x

2x

zx

yx

x gzw

yw

xw

xp1

zww

yww

xww +

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂∂⋅−=

∂∂⋅+

∂∂⋅+

∂∂⋅ ν

ρ

( )

( ) g2l

wl

p

l

2w c

ccc

ccc

cc

ccc

=⋅

=⋅

= ν

ρ

Ghiaus A.-G. 2

Transferul de căldură - Curs Cap. 3: Teoria similitudinii

( )cc l

p

l

2w

ccc

cc

⋅=

ρ →

( )1

cc

c2

w

p =⋅ρ

→ Eu.constwp

2 ==⋅ρ

unde este Eu criteriul Euler.

Notă: De regulă, în exprimarea criteriului Euler, se foloseşte diferenţa de presiune corespunzătoare pierderilor de sarcină: 2wpEu ⋅= ρ∆

( )

( )2l

wl

2w

cc ccc

cc ⋅

= ν → 1c

cc clw =⋅

ν → Re.constlw c ==

⋅ν

unde este Re criteriul Reynolds.

( )

gl

2w cc

c

c

= → ( )

1c

cc2

w

lg c =⋅

→ Fr.constw

lg2c ==

⋅

unde este Fr criteriul Froude.

Similitudinea proceselor termice

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂∂⋅+

∂∂

⋅+∂∂⋅ 2

2

2

2

2

2tyx

zt

yt

xta

ztw

ytw

xtw

( )2l

tal

tw

cc ccc

ccc ⋅

=⋅ → 1

ccc

a

lw c =⋅

→ Pe.constalw c ==⋅

unde este Pe criteriul Péclet. Remarcă: Criteriul Péclet mai poate fi scris şi sub următoarea formă:

PrRea

Rea

lwalwPe cc ⋅=⋅=⋅

⋅=

⋅=

ννν

unde este Pr criteriul Prandtl: a

Pr ν=

Ghiaus A.-G. 3

Transferul de căldură - Curs Cap. 3: Teoria similitudinii

Similitudinea condiţiilor la limită

( )fpp

ttnt

−⋅−=∂∂

λα

tlt c

cc

cc

c

⋅=λ

α → 1c

cc cl =⋅

λ

α → Nulc =⋅λ

α

unde este criteriul Nusselt, criteriul de similitudine determinant pentru procesele de transfer de căldură prin convecţie.

Nu

Pentru mişcarea forţată: ( )PrRe,fNu =

Pentru mişcarea liberă: ( )Pr,GrfNu =

Criterii de similitudine combinate

Ga.constlcglww

lgReFr 2

3

2

2c

2

2c2 ==

⋅=

⋅⋅

⋅=⋅

νν (criteriul Galilei)

Ar.constlgGao

o2

3c

oo ==

−⋅

⋅=

−⋅

ρρρ

νρρρ (criteriul Arhimede)

Gr.consttlgtGa 2

3c ==⋅⋅

⋅=⋅⋅ ∆β

ν∆β (criteriul Grashof)

Ra.constta

lga

tlgPrGr3

c2

3c ==⋅⋅

⋅⋅

=⋅⋅⋅⋅

=⋅ βν

ν∆β

ν∆ (criteriul Rayleigh)

St.constcw

alw

lPrRe

NuPeNu

pcc ==

⋅⋅=⋅

⋅⋅

⋅=

⋅=

ρα

νν

λα (criteriul Stanton)

Ghiaus A.-G. 4