STRUCTURI STATIC NEDETERMINATE

2.1 EXPRESIA I SEMNIFICAIA ECUAIILOR DE CONDIIE, A NECUNOSCUTELOR, A COEFICIENILOR I A TERMENILOR LIBERI

2.1.1 Expresiaecuaiilor de condiie, a coeficienilor i a termenilor liberi

Pentru sistemul de baz, ncrcat cu fore exterioare i cu necunoscute, se aplic suprapunerea de efecte i deci eforturile i deplasrile pot fi exprimate prin relaii liniare. Astfel, pentru cazul general al unei structuri de N ori static nedeterminat, o deplasare oarecare se poate scrie sub forma:

( ) ( )extin

iiii FX +=

=1(2.1)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )extinijiiiiiii FXXXXXX ++++++++= ......321 (2.2) ( ) iiiii XX = , unde: ii reprezint deplasarea n punctul i produs de o for 1=iX ; ( ) jijji XX = , unde: ij reprezint deplasarea n punctul i produs de o for 1=jX .

EIdx

mm jiij = 0>= EIdx

mm iiii ( ) EIdxMmF

extFiexti =

im reprezint diagrama de moment rezultat din ncrcarea S.B. cu o for 1=iX ; jm reprezint diagrama de moment rezultat din ncrcarea S.B. cu o for 1=jX ;

extFM reprezint diagrama de moment rezultat din ncrcarea S.B. cu forele exterioare.

Relaia (2.2) devine: ( )extininjijiiiiiii FXXXXXX ++++++++= ......332211 (2.3)

Considernd sistemul de baz ncrcat simultan cu forele exterioare i cu necunoscutele iX i innd cont de condiia de compatibilitate a deformatei sistemului de baz cu legturile structurii reale, S.B. trebuie s se comporte la fel ca structura dat, adic s aibe aceeai poziie deformat. nseamn c valorile necunoscutelor 1X , ..., nX trebuie s rezulte din condiia ca deplasrile pe direciile legturilor suprimate s fie nule. Se ajunge deci la condiiile: 01 = ; ...; 0=n . Rezult un sistem de ecuaii liniare de forma:

( )

( )( )

( ) 0... ...

0... ... 0 ... ...

0 ... ...

11

11

11

11111111

=++++++=

=++++++==++++++=

=++++++=

extnnnnjnjininn

extjnjnjjjijijj

extininjijiiiii

extnnjjii

FXXXX

FXXXX

FXXXX

FXXXX

LLLLLLL

LLLLLLL

(2.4)

Sistemul (2.4) poate fi scris i sub form matricial (2.5): [ ]{ } { } { }0=+extF

X unde: (2.5)

[ ]

=

nnnjnin

jnjjjij

inijiii

nji

LL

LLLLLL

LL

LL

LLLLLL

LL

1

1

1

11111

{ }

=

n

j

i

X

XX

X

X

L

L

1

{ }

=

ext

ext

ext

ext

ext

Fn

Fj

Fi

F

F

,

,

,

,1

L

L

Prin rezolvarea sistemului ecuaiilor de condiie devin cunoscute forele static nedeterminate 1X , ..., nX i deci toate forele exterioare care acioneaz pe sistemul de baz.

2.1.2 Semnificaiaecuaiilor de condiie, a necunoscutelor, a coeficienilor i a termenilor liberi

Semnificaia unei ecuaii depinde de natura legturii scoase. 0= i poate s reprezinte o translaie nul sau o rotire nul. Translaiile reprezint deplasri liniare, iar rotirile reprezint deplasri unghiulare. Att translaiile ct i rotirile pot fi absolute ct i relative. 0= i poate fi o deplasare absolut cnd legatura scoas este o legtur exterioar (dintr-un reazem) sau o deplasare relativ cnd legtura scoas este o legatur interioarstructurii.

reprezint matricea coeficienilor de flexibilitate a sistemului de baz. Aceast matrice are urmatoarele 2 proprieti:

este simetric n raport cu diagonala principal, astfel ncat jiij = [ ] [ ]( ) =T ;

toi termenii de pe diagonala principal sunt pozitivi, adic 0>ii .

reprezintvectorul necunoscutelor

forelor de legtur

reprezintvectorul termenilor liberi

P1

Figura 2.1 Structura folosit la evidenierea semnificaiei ecuaiilor de condiie

Contur nchis

54333 === LKN

P1

X2 X1

X3 X1

X3

X2 X4

X5

Contur nchis Contur nchis

n cazul structurii din figura 2.1 cele 5 ecuaii de condiie au urmtoarele semnificaii: 01 = reprezint o translaie relativ orizontal; 02 = reprezint o translaie relativ vertical; 03 = reprezint o rotire relativ; 04 = reprezint o translaie absolut vertical; 05 = reprezint o rotire absolut.

Necunoscutele au semnificaia unor fore generalizate. Prin fora generalizat se inelege for sau moment ncovoietor.

Coeficienii necunoscutelor sunt deplasri unitare produse pe direciile necunoscutelor cnd sistemul de baz este ncrcat succesiv cu X1=1, X2=1,....Xn=1; prin deplasare unitar se va inelege deplasarea produs de o for generalizat egal cu unitatea.

Termenii liberi sunt deplasrile pe direciile necunoscutelor cnd sistemul de baz este ncrcat cu forele exterioare. Semnificaia termenilor liberi este aceeai cu semnificaia ecuaiilor, adic termenii liberi pot reprezenta o translaie (relativ sau absolut) sau o rotire (relativ sau absolut).

OBSERVAII

Termenii liberi pot fi pozitivi, negativi sau nuli. Cel puin un termen liber trebuie s fie diferit de zero pentru a nu se obine soluia banal (Xi=0, pentru i=1,n);

Se observ c numai termenii liberi depind de forele exterioare date, n timp ce coeficienii necunoscutelor depind numai de caracteristicile structurii i de natura materialului din care se execut structura. Astfel, n cazul mai multor ipoteze de ncrcare, pstrnd acelai sistem de baz, n sistemul de ecuaii se schimb numai termenii liberi.

2.2 ETAPE DE REZOLVARE A STRUCTURILOR PRIN METODA FORELOR

Identificarea gradului de nedeterminare static; Alegerea unui sistem de baz static determinat prin scoaterea din structur static nedeterminat

a unui numr de legturi simple egal cu gradul de nedeterminare static; Se verific dac sistemul de baz este invariabil geometric; n locul legturilor scoase se prevd forele de legtur ca necunoscute (X1, ..., Xn). Aceste fore

sunt static nedeterminate deoarece nu se pot obine din condiia de echilibru static. Se impune sistemului de baz condiia ca deplasrile pe direcia legturilor scoase s fie nule, aa cum sunt i la structura real;

Se obine un sistem liniar de N ecuaii cu N necunoscute; se rezolv i se verific rezolvarea sistemului;

Se traseaz diagrama final de moment ncovoietor M prin suprapunere de efecte:

nnF

n

iiiF XmXmMXmMM extext +++=+=

=

K111

;

Se verific diagrama final a momentului ncovoietor; pentru verificare sefolosesc cele dou condiii: (i) Condiia de echilibru static.Se verific mai nti echilibrul tuturornodurilor (suma momentelor pe fiecare nod interior trebuie s fie egal cu 0). Cum diagrama

extFM i diagramele

unitare mi respect condiia deechilibru static, rezult ci diagrama finalM, obinut prin suprapunere de efecte, respect condiia de echilibru static. Verificarea static nu d asigurarea c diagrama de moment ncovoietor este corect, deoarece pot fi greeli la calculul termenilor din sistemul ecuaiilor de condiie sau la rezolvarea acestuia; (ii) Condiia de continuitate. Se calculeaz deplasrile pe direcia legturilor structurii reale, care n realitate sunt nule. n ceea ce privete modul de calcul al acestor deplasri se va discuta n paragraful urmtor;

Diagrama de for tietoare T se determin punnd condiia de echilibru pentru fiecare bar n parte. Pentru aceast se izoleaz fiecare bar din structur i se incarc cu momentele finale de pe capetele de bar i cu forele exterioare ce acioneaz pe lungimea barei;

Diagrama de for axialN se determin cunoscnd diagrama de for tietoare T i punnd condiia de echilibru asupra nodurilor. Se izoleaznodurile i se ncarc cu forele tietoare de pe barele concurente n nod (cunoscute), cu forele axiale de pe barele concurente n nod (necunoscute) i cu forele exterioare care acioneaz pe nod. Se scriu ecuaiile de echilibru la translaie de nod ( = 0X ; = 0Y ). Deteminarea forelor axiale ncepe cu nodurile avnd 2 bare.Se obin astfel valorile forei axiale la capetele barelor.

Problem

S se traseze diagramele de eforturi pentru urmtoarea structur: (aplicata 4 pg 110 pdf)

90 KN

45 KN

4,5

4

4

1

I

I

2,25I

2,25I

1

2

3

4

5

= = + 3 = 0 + 5 3 1 = 2

Stabilirea gradului de nedeterminare static:

STRUCTURA ESTE DE DOU ORI STATIC NEDETERMINAT