Curs - Rezistenta Materialelor Partea 2

GGaallaaffttiioonn SSOOFFOONNEEAA AAddrriiaann MMaarriiuuss PPAASSCCUU

RREEZZIISSTTEENNȚȚAA

MMAATTEERRIIAALLEELLOORR

Universitatea „Lucian Blaga” din Sibiu 2007

© Copyright 2007 Toate drepturile asupra acestei lucrări sunt rezervate autorilor. Reproducerea

integrală sau parțială a textului sau figurilor din această carte este posibilă numai cu acordul prealabil scris al autorilor. Descriere CIP a Bibliotecii Naționale a României SOFONEA, GALAFTION

Rezistența materialelor / Galaftion Sofonea, Pascu Adrian Marius. – Sibiu: Editura Universității „Lucian Blaga” din Sibiu, 2007

Bibliografie ISBN (13) 978‐973‐739‐432‐3

I. Pascu, Adrian Marius 539.4(075.8) Tehnoredactare: Adrian Marius PASCU

1

C U P R I N SC U P R I N S

pag 9. DEPLASĂRI 5

9.1. Generalități 59.2. Deformarea grinzii drepte solicitate la încovoiere 6

9.2.1. Ecuația diferențială a fibrei medii deformate 69.2.2. Metoda integrării ecuației diferențiale a fibrei medii deformate 9

9.3. Metode grafo‐analitice 129.3.1. Metoda grinzii reciproce (fictive) 129.3.2. Ecuația celor două rotiri. Ecuația celor două săgeți. 179.3.3. Ecuația celor trei săgeți (Clapeyron) 19

9.4. Metoda suprapunerii de efecte 229.5. Metode energetice de calculul deformațiilor 23

9.5.1. Expresiile energiei şi lucrului mecanic de deformație 239.5.2. Lucrul mecanic al forțelor exterioare 259.5.3. Teoria reciprocității lucrului mecanic şi a deplasărilor 269.5.4. Teorema Castigliano 289.5.5. Metoda lui Mohr‐Maxwell 299.5.6. Regula de integrare a lui Vereşceaghin 32

9.6. Întrebări ‐ test 379.7. Probleme propuse 38

10. SISTEME STATIC NEDETERMINATE 41

10.1. Introducere 4110.2. Metoda eforturilor 4210.3. Simetrii şi antisimetrii în sistemele static nedeterminate 4610.4. Recomandări pentru alegerea sistemului de bază 4710.5. Grinda continuă (pe mai multe reazeme) 4810.6. Deplasări în sisteme static nedeterminate 5110.7. Întrebări ‐ test 5310.8. Probleme propuse 54

11. SOLICITĂRI DINAMICE 57

11.1. Considerații generale 5711.2. Solicitări prin forțe de inerție 57

11.2.1. Calculul unui cablu de macara 5811.2.2. Bară în mişcare de rotație uniformă 5911.2.3. Solicitare de încovoiere produsă de forțe de inerție 60

11.2.3.1. Grinda rulantă 6011.2.3.2. Biela motoare 61

11.2.4. Calculul aproximativ al volantului 62

2

11.3. Solicitări produse prin şoc 65

11.3.1. Solicitare axială prin şoc 6611.3.2. Solicitare de încovoiere prin şoc 6811.3.3. Solicitare de răsucire prin şoc 70


12. CALCULUL DE REZISTENȚĂ LA SOLICITĂRI VARIABILE 77

12.1. Generalități 7712.2. Clasificarea solicitărilor variabile în timp 7812.3. Rezistența la oboseală 8012.4. Diagrame ale rezistențelor la oboseală 8212.5. Factorii care influențează rezistența la oboseală 86

12.5.1. Factorii constructivi 8612.5.2. Factorii tehnologici 8812.5.3. Influența condițiilor de lucru 90

12.6. Calculul de rezistență la oboseală pentru o piesă 9112.7. Calculul de rezistență la solicitări variabile 91

12.7.1. Ciclul alternant simetric 9312.7.2. Solicitarea variabilă cu coeficient de asimetrie oarecare 93

12.7.2.1. Metoda Soderberg 9412.7.2.2. Metoda Serensen 9512.7.2.3. Metoda Buzdugan 98

12.7.3. Solicitarea variabilă compusă de încovoiere şi torsiune 10212.8. Întrebări ‐ test 10712.9. Probleme propuse 108

13. FLAMBAJUL BARELOR DREPTE 113

13.1. Noțiuni generale 11313.2. Sarcina critică de flambaj. Formula lui Euler 11413.3. Modul de rezemare. Lungime de flambaj 11713.4. Limita de valabilitate a relației lui Euler. Flambajul în domeniul elasto‐plastic 11813.5. Calculul barelor comprimate la flambaj 121

13.5.1. Calculul de flambaj în construcția de maşini 12113.5.2. Calculul la flambaj prin metoda coeficientului ϕ 123


14. TESTE PENTRU VERIFICAREA CUNOŞTINȚELOR 129 ANEXE 135Anexa 1. Rezistențe admisibile 135Anexa 1,a. Rezistențe de calcul la stare limită 137Anexa 2. Valorile constantelor E, G, ν şi α 139

3

Anexa 3. Coeficienții de siguranță 140Anexa 4. Mărimi geometrice ale secțiunilor 141Anexa 5. Presiunea maximă de contact 147Anexa 6. Elemente geometrice la răsucire 149Anexa 7. Oțel cornier cu aripi egale 151Anexa 8. Oțel cornier cu aripi neegale 152Anexa 9 Oțel I 153Anexa 10. Oțel U 154Anexa 11. Oțel T 155Anexa 12. Oțel Z 156Anexa 13 Ecuația liniei elastice, săgeata maximă, rotirea maximă 157Anexa 14 Indicatorul tabelelor cu coeficientul ϕ şi STAS 10108/0‐78 160 SOLUȚII LA PROBLEMELE PROPUSE 163 BIBLIOGRAFIE 171

5

99.. DDEEPPLLAASSĂĂRRII

9.1. Generalități

Prin solicitare orice element de rezistență se deformează. Bara solicitată la întindere ‐ compresiune se alungeşte sau se scurtează cu ΔL (vezi relația 5.3 din vol. I [41]). Bara solicitată la torsiune se răsuceşte cu Δϕ (vezi relația 6.11 din vol. I [41]). Prin

solicitarea la încovoiere bara dreaptă se curbează; curbura barei, într‐o secțiune oarecare, se poate calcula cu relația 7.5 din vol. I.

Deplasarea definită în cap. 2 al primului volum, prin “drumul parcurs de un punct al unui element de rezistență în mişcarea sa cauzată de deformarea acelui element de rezistență sub acțiunea sarcinilor” lămureşte mai bine natura diferită a celor două deformații. Astfel, lungirea ΔL are valoarea egală cu deplasarea liniară a secțiunii transversale, aflată la distanța L de secțiunea considerată fixă (vezi fig. 5.1 din vol. I [41]), rotirea Δϕ este valoric egală cu deplasarea unghiulară a direcției unei

drepte aflată în secțiune la distanța L de secțiunea fixă (vezi fig. 6.1,b din vol. I [41]). Studiul deformației barei solicitate la încovoiere ce are ca scop stabilirea formei

deformate a acesteia, nu este aşa de simplu de analizat ca alungirea la întindere sau rotirea la răsucire. De aceea, în rezistența materialelor, studiul deformațiilor la încovoiere se realizează prin stabilirea deplasărilor liniare şi a rotirilor fibrei medii în dreptul unei secțiuni. Tot de aceea pentru stabilirea acestor deplasări a fibrei medii se utilizează mai multe metode. Fiecare metodă prezintă avantaje şi dezavantaje şi poate fi utilizată cu succes numai pentru aflarea deplasărilor la anumite bare şi anumite încărcări.

Pentru început se va studia deformarea grinzii la solicitarea de încovoiere. Aici se vor prezenta cele mai utilizate metode folosite de ingineri, pentru determinarea deplasărilor, apoi se vor prezenta metode generale (energetice) pentru calculul deplasărilor.

6

9.2. Deformarea grinzii drepte solicitate la încovoiere

Studiul deformării grinzii drepte solicitate la încovoiere se impune întrucât în exploatare se cer respectate atât condițiile de rezistență cât şi cele de rigiditate. Aceasta înseamnă, că atunci când deformațiile maxime depăşesc limitele impuse de condițiile de exploatare se redimensionează bara astfel încât şi condițiile de rigiditate să fie respectate.

9.2.1. Ecuația diferențială a fibrei medii deformate

În rezistența materialelor grinda dreaptă solicitată la încovoiere se reprezintă prin fibra medie (axa barei). Aceasta se raportează la un sistem de axe xOy în care axa Ox este axa longitudinală a barei.

Fig. 9.1

Starea deformată a barei (grinzii) drepte poate fi caracterizată prin următoarele mărimi geometrice ale fibrei medii deformate în dreptul secțiunii x (fig.9.1.):

− deplasarea transversală, v (numită săgeată), care reprezintă poziția deplasării punctului de abscisă x pe normala la aceasta;

− rotirea unei secțiuni normale, definită prin unghiul θ, dintre planul secțiunii inițiale cu planul secțiunii după deformare;

− panta la axa deformată ϕ definită cu tangenta trigonometrică a unghiului ϕ dintre axa nedeformată şi tangenta geometrică la axa deformată;

− deplasarea axială u, a punctului de abscisă x de pe axa deformată față de poziția sa de pe axa nedeformată.

7

Deoarece deformația grinzii este foarte mică deplasarea axială, u, se neglijează iar panta la fibra medie deformată se consideră egală cu rotirea, adică:

θ=ϕ≈ϕ= tgdxdv

.

Egalitatea dintre pantă şi rotire mai presupune neglijarea efectului forței tăietoare asupra deformațiilor, efect care produce deplasarea secțiunilor.

În paragraful 7.2. din vol. I, de la încovoiere s‐a stabilit expresia curburii:

zIEM

r1

dxd

⋅==

ϕ=ω , (9.1)

unde: M este momentul încovoietor din secțiunea x, iar produsul zEI constituie rigiditatea la încovoiere.

În cazul încovoierii pure, când momentul încovoietor este constant pe toată lungimea barei şi bara are rigiditate constantă din relația de mai sus rezultă r = constant, adică fibra medie se deformează sub forma de arc de cerc.

Deşi relația (9.1) a fost dedusă pentru încovoiere pură, datorită faptului că efectul forței tăietoare de la încovoierea simplă este mic în comparație cu cel al momentului încovoietor, aceasta se utilizează şi la încovoierea simplă.

Deplasarea v se consideră pozitivă când are sensul axei y (în jos), iar rotirea ϕ este pozitivă când are sensul orar.

Deoarece, în sistemul de axe ales (fig.9.1) rotirea pozitivă este în sens orar, atunci pentru M pozitiv, unghiul ϕd are sens antiorar, deci negativ. De aceea relația (9.1) se

va scrie:

IEM

dxd

⋅−=

ϕ. (9.2)

Din relația (9.2), ținând seama că:

ϕ=dxdv

, (9.2.a)

rezultă ecuația:

IEM

dxvd2

2

⋅−= , (9.3)

care se numeşte ecuația diferențială aproximativă a fibrei medii deformate. Semnul minus este impus de orientarea axelor. Pentru sistemul de axe din figura (9.1), când M>0, rezultă:

0dxvd2

2

> şi 0r1

dxd

<=ϕ

=ω .

8

Înlocuind în ecuația (9.3) momentul încovoietor în funcție de variabila x şi integrând se obțin funcțiile:

.dxdxIE

MxCCv

,dxIE

MCdxdv

LL12

L1

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

⋅−⋅+=

⋅⋅

−==ϕ=θ

∫ ∫

∫

(9.4)

Cele două constante de integrare (C1 şi C2) se determină din condițiile la limită. Acestea reprezintă valori ale rotirii ϕ, (C1) şi ale deplasării v (C2) în anumite puncte ale secțiunii. De obicei aceste puncte sunt legăturile în care se cunosc valorile săgeților şi ale rotirilor. Astfel, la bara simplu rezemată din fig. 9.1, condițiile limită luate în considerare sunt pentru x = 0, v1 = 0 şi pentru x = L, v2 = 0, (u2 0≈ prin aproximația

admisă). Când nu poate fi scrisă expresia momentului încovoietor funcție de x, situație

întâlnită la sistemele static nedeterminate, atunci se ține seama de relațiile diferențiale între eforturi:

pdxdT

dxMd2

2

−== ,

în ecuația (9.3),

p)dxvdIE(

dxd

2

2

2

2

=⋅⋅ ,

care prin derivare, devine:

.IE

pdxvd4

4

⋅= (9.5)

Din ecuația (9.5) se poate obține deplasarea v funcție de patru constante de integrare ale căror valori se obțin din condițiile la limită în deplasări, rotiri, momente şi forțe tăietoare. Observații:

a) Ecuația (9.3) este forma simplificată a ecuației fibrei medii deformate. Ecuația exactă se obține din relația:

.IE

M

dxdv1

dxvd

r1

2/32

2

2

⋅−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

= (9.6)

Pentru marea majoritate a problemelor din practică inginerească poate fi folosită ecuația aproximativă (9.3)

b) Efectul forței tăietoare asupra deplasării se poate lua prin integrarea relației:

9

dxAGTdv ⋅

′⋅= , (9.7)

unde A’, este aria redusă, în care tensiunile tangențiale se consideră distribuite uniform şi se calculează cu expresia:

∫ ⋅=′

A 2

2z

2z

dAbSIA . (9.8)

Pentru secțiunea dreptunghiulară vom avea A65ʹA ⋅= , iar pentru cea circulară A9,0ʹA = .

c) Expresiile săgeților maxime şi ale rotirilor maxime pentru anumite bare, mai frecvent utilizate sunt date în anexe (Anexa 13).

9.2.2 Metoda integrării ecuației diferențiale a fibrei medii deformate

Aceasta este o metodă analitică şi se bazează pe integrarea ecuației fibrei medii deformate (9.3). Pentru aceasta se delimitează grinda în regiuni, în care momentul încovoietor are aceeaşi expresie şi rigiditatea grinzii nu are variații bruşte. Astfel, pentru o grindă simplu rezemată cu o consolă şi cu secțiunea variabilă în trepte, încărcată cu sarcina uniform distribuită şi sarcina concentrată (fig.9.2), se va împărți în 5 regiuni şi va trebui să se scrie şi să se integreze 5 ecuații diferențiale. Pentru aceasta este necesar să se determine 5 x 2 = 10 constante de integrare. În acest caz pentru fiecare regiune din grindă (a1, a2,..a5) se obțin câte două constante de integrare. Valorile constantelor de integrare se determină din condițiile de legătură (din reazeme) şi din condițiile de continuitate ale fibrei medii deformate. Astfel în dreptul reazemelor deplasările fibrei medii deformate sunt cunoscute. În articulații, reazeme simple şi încastrări săgețile grinzilor sunt egale cu zero, iar în încastrare rigidă rotirea este nulă.

Fig. 9.2

Condițiile de continuitate ale fibrei medii deformate exprimă continuitatea acesteia în dreptul secțiunilor de trecere de la o regiune la alta, adică fibra medie

10

deformată a grinzii este o fibră continuă, cu racordări (fără discontinuități sau salturi) chiar dacă rigiditatea sau expresia momentului încovoietor se schimbă brusc. Continuitatea se exprimă prin egalitatea săgeților şi rotirilor pe cele două regiuni vecine în apropierea punctelor de discontinuitate. În figura (9.2,b) se arată modul cum se deformează fibra medie în secțiunea de separație la abscisa xm, a două regiuni cu rigiditate sau cu expresii ale momentului încovoietor diferite:

mdms vv = , mdms ϕ=ϕ . (9.9)

Metoda analitică de integrare a ecuației diferențiale a fibrei medii deformate, poate fi utilizată pentru calculul deplasărilor la orice grindă dreaptă, solicitată, dar prezintă dificultăți mari față de alte metode. De aceea se recomandă utilizarea acesteia numai în cazul stărilor simple de încărcare când grinda este de rigiditate constantă. În cazul existentei mai multor regiuni, deoarece trebuie scrise şi integrate mai multe ecuații, apoi determinate câte două constante de integrare pentru fiecare regiune, această metodă se caracterizează printr‐un volum mare de calcule, fapt pentru care nu este utilizată în mod frecvent.

Aplicația 9.1. Să se determine expresia săgeții şi rotirii, precum şi valorile maxime ale acestorapentru o bară încastrată la un capăt şi solicitată de o forță concentrată, conform figurii 9.3.

Rezolvare: Momentul încovoietor în secțiunea x are expresia:

( )M P L x=− ⋅ − , Fig. 9.3

iar ecuația diferențială a fibrei medii deformate devine:

zz

i2

2

IE)xL(P

IEM

dxvd

⋅−⋅

=⋅

−= .

Prin integrare se obține:

1z

2

CIE

)2xxL(P

dxdv

+⋅

−⋅⋅==ϕ , şi v P

E IL x x C x C

z

=⋅

⋅⋅

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + ⋅ +

2 3

1 22 6.

Din condițiile la limită, în încastrare pentru x = 0, unde v0 = 0 şi ϕ0 = 0 se obține C1 = 0 şi C2 = 0 astfel că:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⋅⋅

⋅⋅

=ϕ 2

2

z

2

Lx

Lx2

IE2LP

şi ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⋅⋅

⋅⋅

= 3

3

2

2

z

3

Lx

Lx3

IE6LPv

Rotirea şi săgeata, ce se produc în dreptul forței (x = L) sunt:

11

ϕmax =⋅⋅

P LE Iz

2

2 şi v P L

E Izmax =

⋅⋅

3

3.

Aplicația 9.2. Să se determine expresiile săgeții şi rotirii pentru o bară simplu rezemată solicitată de o forță concentrată P (fig.9.4).

Rezolvare: Expresiile momentului de încovoiere pe cele două porțiuni ale barei sunt:

131 xLbPM ⋅⋅

=− , pentru [ ]a,0x1∈ Fig. 9.4

)xL(LaPM 223 −⋅⋅

=− , pentru [ ]L,ax2 ∈ .

Ecuația diferențială a fibrei medii deformate se integrează pe cele două porțiuni şi se obține:

1231

z31z CxL2bP

dxdvIEIE +⋅

⋅⋅

−=⋅⋅=ϕ⋅⋅ −− ,

3

2

2

31z23z C

2xxL

LaP

dxdvIEIE +⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−⋅⋅

⋅=⋅⋅=ϕ⋅⋅ −

− ,

iar expresiile săgeților pe cele două porțiuni sunt:

213

31z CxCxL6bPvIE ++⋅⋅

−=⋅⋅ − ,

43

32

23z CxC6x

2xL

LaPvIE +⋅+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

⋅⋅

⋅−=⋅⋅ − .

Pentru determinarea constantelor de integrare se impun condițiile de legătură şi condițiile de continuitate a fibrei medii în punctul 3 şi anume:

− condiții de legătură: x1 = 0, v1 = 0 şi x = L, v2 = 0,

− condițiile de continuitate a fibrei medii: x1 = x2 = a , v1‐3 = v3‐2 şi ϕ1‐3 = ϕ3‐2. Din aceste condiții rezultă următoarele valori pentru constantele de integrare:

)b2a(L6baPC1 ⋅+⋅⋅⋅

= , 0C2 = , )aL2(L6aPC 22

3 +⋅⋅⋅

= , 6aPC3

4⋅

−= ,

iar cu aceste valori expresiile săgeților sunt:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−+⋅⋅⋅⋅⋅

=− bax

bx

ax2

IEL6baPv 2

3

z

22

31 , pentru ax0 1 ≤≤ şi

12

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛++−⋅

⋅⋅⋅

=− 3

3

2

3

2

2

2

2

z

2

32 Lx

Lx3

Lx

La2

La

IE6LaPv pentru Lxa 2 ≤≤

Săgeata în dreptul forței se obține pentru x = a din oricare din aceste expresii şi are valoarea:

z

22

3 IEL3baPv⋅⋅⋅⋅

= .

Săgeata maximă se produce pe porțiunea cea mai lungă a barei de la reazeme la forță şi pentru cazul a > b, la distanța x0, care se obține prin anularea derivatei primei relații.

0baax3

b1

a2

IEL6baP

dxdv

2

2

z

2231 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅⋅

−+⋅⋅⋅⋅⋅

=− ,

de unde:

3bLx22

0−

=

Înlocuind această valoare în prima relație a săgeții se obține expresia săgeții maxime:

322

zmax )bL(

IEL39bPv −⋅

⋅⋅⋅⋅⋅

= .

9.3. Metode grafo ‐ analitice

Întrucât prin utilizarea metodei analitice pentru determinarea deplasărilor este necesar un mare volum de calcul, inginerii utilizează metode rapide, fără să mai calculeze în prealabil ecuația fibrei medii deformate. Metodele grafo‐analitice, care constau în îmbinarea calculului analitic cu utilizarea diagramelor de momente încovoietoare, evită neajunsurile metodei analitice.

9.3.1. Metoda grinzii reciproce (fictive)

Această metodă are la bază analogia (lui Mohr) dintre relațiile diferențiale dintre sarcini şi eforturi şi ecuațiile diferențiale aproximative ale fibrei medii deformate:

pdxdT

dxMd2

2

−== , Mdxd)IE(

dxvd)IE( 2

2

−=ϕ

⋅⋅=⋅⋅ .

13

Se observă că cele două relații, ce exprimă două fenomene fizice diferite, au aceeaşi formă de exprimare matematică şi aceeaşi structură. Pe baza acestei constatări diagrama momentelor încovoietoare redusă prin produsul EIz se consideră ca fiind sarcină fictivă:

Mpf = , (9.10.a)

ce acționează pe grinda reciprocă sau conjugată (fictivă). După ce se stabileşte modul de rezemare a grinzii reciproce, se pot calcula

reacțiunile, forțele tăietoare şi momentele încovoietoare fictive (Tf, Mf) produse la sarcina fictivă pf (9.10.a), procedând în mod similar ca la grinzile reale. Momentul încovoietor fictiv, forța tăietoare fictivă şi sarcina fictivă satisfac relațiile:

ff T

dxdM

= , ff p

dxdT

−= , ff

2f

2

pdxdT

dxMd

−== (9.11)

care, formal sunt identice cu relațiile (2.9) şi (2.10) stabilite între sarcini şi eforturi în paragraful 2.5 din vol. I.

După integrări succesive se obține:

1z

f CIE

Tdxdv

+⋅

==ϕ , 21z

f CxCIE

Mv +⋅+⋅

= ,

unde C1 şi C2 sunt constante de integrare. Dacă se aleg legăturile grinzii fictive în mod corespunzător, astfel încât, să

satisfacă condițiile de legătură şi de continuitate a fibrei deformate a grinzii reale, constantele C1 şi C2 sunt nule, astfel că relațiile de mai sus devin:

z

f

IET⋅

=ϕ , z

f

IEMv⋅

= . (9.12)

În aceste relații s‐a notat cu Tf, forța tăietoare fictivă şi respectiv Mf, momentul încovoietor fictiv, produse de încărcarea grinzii reciproce cu sarcina fictivă pf = M, calculate în secțiunile unde se determină deformațiile.

Din relațiile (9.12) rezultă: − panta la axa deformată într‐o secțiune oarecare este egală cu raportul

dintre forța tăietoare în acea secțiune a grinzii reciproce încărcate cu sarcina fictivă şi rigiditatea barei;

− săgeata grinzii într‐o secțiune oarecare este egală cu raportul dintre momentul încovoietor în acea secțiune a grinzii reciproce încărcate cu sarcina fictivă şi rigiditatea barei.

Condițiile de legătură şi de continuitate a fibrei medii deformate a grinzii reale sunt îndeplinite dacă se respectă modalitățile de sprijinire a grinzii fictive ce sunt prezentate în tabelul 9.1.

14

Tabelul 9.1

Grinda reală Grinda fictivă Nr. crt. Legătura Simbol Deformații

Sarcini fictive

Legătura Simbol

1 Reazem de capăt

v =≠

00ϕ

MT

f

f

=≠

00 Reazem

de capăt

2 Reazem

intermediar ϕ ϕS d

S dv v= ≠

= =

00 T T

M Mfs fd

fs fd

= ≠= =

00

Articulație intermediară

3 Articulație intermediară

ϕ ϕs d

s dv v≠ ≠= ≠

00 T T

M Mfs fd

fs fd

≠ ≠

= ≠

00

Reazem intermediar

4 Încastrare ϕ ==

00v

TM

f

f

==00 Capăt liber

5 Capăt liber ϕ ≠≠

00v

TM

f

f

≠≠00 Încastrare

Sarcina fictivă ce rezultă din diagrama reală de momente, amplasată conform convenției pe fibra întinsă a barei, i se pun săgețile în aşa fel încât să tragă de bară. Trei cazuri tipice de transformarea grinzii reale în grindă reciprocă sunt date în tabelul 9.2.

Tabelul 9.2

Grinda reală Grinda fictivă

ϕ 2

2

00

=

=⎧⎨⎩v

ϕ 2

2

00

≠

≠⎧⎨⎩v

TM

f

f

1

1

00

=

=⎧⎨⎩

TM

f

f

2

2

00

≠

≠⎧⎨⎩

ϕ 1

1

00

≠

=⎧⎨⎩v

ϕ 2

2

00

≠

=⎧⎨⎩v

TM

f

f

1

1

00

≠

=⎧⎨⎩

TM

f

f

2

2

00

≠

=⎧⎨⎩

ϕ 1

1

00

≠

=⎧⎨⎩v

ϕ 3

3

00

≠

≠⎧⎨⎩v

TM

f

f

1

1

00

≠

=⎧⎨⎩

TM

f

f

3

3

00

≠

≠⎧⎨⎩

Din tabelul de mai sus rezultă următoarele reguli de corespondență între condițiile de legătură ale grinzii reale şi cele ale grinzii reciproce:

15

− reciproca grinzii în consolă este tot o grindă în consolă, la care capătului încastrat îi corespunde unul liber, iar celui liber o încastrare;

− reciproca unei grinzi simplu rezemate îi corespunde tot o grindă simplu rezemată;

− reciproca grinzii simplu rezemată cu o consolă este o grindă care are o încastrare în capătul liber, simplu rezemată în capătul opus şi o articulație intermediară în locul reazemului intermediar.

Forța tăietoare fictivă (Tf) şi momentul fictiv (Mf) se calculează în mod similar ca în cazul sarcinilor distribuite.

În figura 9.5 sunt date ariile diagramelor de momente şi pozițiile centrelor de greutate ale acestora, corespunzătoare celor mai frecvente diagrame M întâlnite în practică şi la care se poate aplica metoda grafo ‐ analitică.

Dacă grinda are rigiditate constantă pe porțiuni, atunci este necesar să se reducă rigiditatea pe toată lungimea barei la o rigiditate constantă cu amplificarea sau micşorarea diagramei de momente cu acelaşi coeficient cu care s‐a mărit sau micşorat rigiditatea reală la cea convenită.

Fig. 9.5

16

Aplicația 9.3. Să se determine săgeata şi rotirea punctului k al barei din oțel din figura 9.6.

Rezolvare: În figura 9.6 s‐a reprezentat diagrama de momente pe grinda fictivă. Reacțiunea Vk pentru grinda fictivă este:

Fig. 9.6

Pa75,6a

3aa

2Pa5,1aa2

32a2

2Pa3

V 2fk ⋅=

⋅⋅⋅

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅⋅

⋅

= .

Eforturile în secțiunea k pentru bara fictivă sunt:

Pa3a22Pa3T 2

fks ⋅−=⋅⋅

−= ,

Pa75,3Pa75,6Pa3VTT 222fkfksfkd ⋅=⋅+⋅−=+= ,

Pa4a232a2Pa3

21M 3

fk ⋅−=⋅⋅⋅⋅⋅−= .

Aplicând relațiile (9.12), rezultă:

o235

32

z

2

z

fksks 982,0rad10714,1

10060101,21210610003

IEPa3

IET

−=⋅−=⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅−=

⋅⋅

−=⋅

=ϕ − ,

o235

32

z

2

z

fkdkd 24556,0rad10413,2

10060101,212106100075,3

IEPa75,3

IET

=⋅=⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅

=⋅

=ϕ − ,

mm86,2210060101,2

1210610004IEPa4

IEMv 35

33

z

3

z

fkk −=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−=⋅⋅

−=⋅

= .

Aplicația 9.4. Să se determine deplasarea şi rotirea capătului, la grindă în consolă cu momentul de inerție variabil în trepte (fig.9.7).

Rezolvare: După ce sa trasat diagrama de momente, s‐a calculat şi s‐a trasat diagrama de momente reduse (Mr), rezultată prin împărțirea momentului încovoietor la rigiditatea barei la încovoiere pe fiecare zonă. Utilizând relațiile (9.12a) se obține:

17

( )

( ) ;IEPa25,6aPa

21aPa5,0Pa

21

a2PaPa421

IE1

IET

z

2zz

1f1

⋅⋅

−=⎥⎦⎤⋅+⋅+

⎢⎣⎡ +⋅+⋅

⋅−=

⋅=ϕ

( )

.IEPa67,28

3a2Pa

2aa

2aPa

2a

a3a2Pa5,0

2aa2aPaa2

a2a232Pa3

2a2

IE1

IEMv

z

3

zz

1f1

⋅⋅

=⎥⎦⎤⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅⋅++⋅⋅+

⎢⎣⎡ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅⋅⋅

⋅=

⋅=

Fig. 9.7

9.3.2. Ecuația celor două rotiri. Ecuația celor două săgeți

Se consideră o porțiune a unei grinzi, de lungime a şi rigiditate constantă, EIz, pe care este cunoscută aria diagramei momentului încovoietor Ω12 şi poziția centrului de greutate al acesteia (fig.9.8). Se trasează diagrama de momente pe grinda conjugată, se reprezintă eforturile fictive în secțiunile făcute ce delimitează această porțiune şi se scriu ecuațiile de echilibru ale elementului a, pentru sarcinile şi eforturile fictive.

.aTaMM,TT

1221f1f2f

121f2f

Ω⋅−⋅+=Ω−=

(9.13)

unde: Ω12 este aria diagramei pe regiunea a, iar a2 este distanța de la centrul de greutate al ariei Ω12 la secțiunea 2. Înlocuind aceste expresii în relațiile (9.12) se obține:

z

1212 IE ⋅

Ω−ϕ=ϕ şi

z

122112 IE

aavv⋅Ω⋅

−ϕ⋅+= .

Ecuațiile (9.13) permit calcularea rapidă a deplasărilor în secțiunea (2) când se cunosc deplasările în secțiunea (1) suprafața diagramei Ω12 precum şi distanța a2 de la centrul de greutate al acesteia la secțiunea (2).

18

Fig. 9.8 Fig. 9.9

Aplicația 9.5. Să se determine săgeata în punctul (2) şi rotirea în punctul (1) pentru bara din figura 9.9 utilizând ecuația celor două rotiri şi ecuația celor doua săgeți.

Rezolvare: Datorită faptului că bara este simetrică şi încărcată simetric, săgeata în punctul (2) este maximă, iar rotirea în acest punct este zero (�2 = 0). Aplicând relațiile (9.13) pentru secțiunile (1) şi (2) se obține:

0IELP

2LLPL

2LP

IE1

IE z

2

1z

1z

1212 =

⋅⋅

−ϕ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅+⋅

⋅⋅

⋅−ϕ=

⋅Ω

−ϕ=ϕ ,

deci:

z

2

1 IELP⋅⋅

=ϕ ,

şi

.IELP8125,0

4L

2LLP

2L

3LLP

21

IELPL5,10

IEaavv

z

32

z

2z

122112

⋅⋅

⋅=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅⋅−

⋅⋅

⋅+=

=⋅Ω⋅

−ϕ⋅+=

19

9.3.3. Ecuația celor trei săgeți (Ecuația lui Clapeyron)

Se consideră două regiuni vecine ale unei grinzi drepte cuprinse între secțiunile consecutive (1), (2) şi (3), de rigiditate constantă pe fiecare porțiune (EIz1 pentru porțiunea 1‐ 2 şi EIz2 pentru porțiunea 2 ‐ 3) conform figurii 9.10. Deplasările celor trei secțiuni sunt: ϕ1, v1, ϕ 2, v2, ϕ 3, v3.

Ecuațiile de echilibru ale momentelor pentru porțiunile fictive (1) ‐ (2), respectiv (2) ‐ (3), sunt:

11212f2f1f aLTMM ⋅Ω−⋅−= ,

32322f2f3f aLTMM ⋅Ω−⋅+= ,

şi respectiv prin împărțire la rigiditatea corespunzătoare fiecărei porțiuni:

1z

1211s221 IE

aLvv⋅Ω⋅

−⋅ϕ−= ,

2z

2332d223 IE

aLvv⋅Ω⋅

−⋅ϕ+= ,

în care a, b, a1, a3, Ω12 şi Ω23 au semnificațiile de la paragraful 9.3.2, iar ϕ2s şi ϕ2d sunt rotirile din secțiunea (2), la stânga şi respectiv la dreapta care sunt egale între ele conform condiției de continuitatea fibrei medii ( 2d2s2 ϕ=ϕ=ϕ ).

Fig. 9.10

Exprimând aceste rotiri din expresiile de mai sus rezultă:

1z1

121

1

122 IEL

aLvv

⋅⋅Ω⋅

−−

=ϕ , 2z2

233

2

322 IEL

aLvv

⋅⋅Ω⋅

−−

=ϕ− .

Adunând aceste expresii se obțin:

2z2

233

1z1

121

2

32

1

12

ILa

ILa

Lvv

LvvE

⋅Ω⋅

+⋅Ω⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

−⋅ .

Expresiile momentelor statice ale ariilor diagramelor de momente Ω12, de pe regiunea (1) ‐ (2), respectiv Ω23 de pe lungimea (2)‐(3) se obține astfel:

1121

211

11121 dA3L2ML

21

3LML

21a ⋅+⋅⋅+⋅⋅=Ω⋅

20

3232

232

22233 dA3LLM

21

3L2ML

21a ⋅+⋅⋅+⋅⋅=Ω⋅ ,

care înlocuite în egalitatea de mai sus conduc la ecuația lui Clapeyron:

.ILdA

ILdA6

ILM

IL

ILM2

ILM

Lvv

LvvE6

2z2

323

1z1

112

2z

23

2z

2

1z

12

1z

11

2

32

1

12

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

+⋅⋅

+⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅+⋅=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

−⋅

(9.14)

Dacă rigiditatea barei pe cele două porțiuni este aceeaşi ecuația lui Clapeyron devine:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+

⋅+⋅++⋅+⋅=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

−⋅⋅

2

323

1

1122321211

2

32

1

12

LdA

LdA6LMLLM2LM

Lvv

LvvIE6

(9.14,a).

Ecuația lui Clapeyron permite determinarea săgeții într‐o secțiune dacă se cunosc săgețile în alte două secțiuni precum şi momentele în cele trei secțiuni. Termenii A12⋅d1 şi A23⋅d3 numiți termeni de încărcare sunt momentele statice ale ariei diagramei de momente produse de sarcinile de pe regiunea (1)‐(2), aplicată pe grinda 1‐2, considerată grindă simplu rezemată în secțiunile (1) şi (2) fața de secțiunea (1) şi respectiv a diagramei de momente produsă de sarcinile de pe regiunea (2)‐(3), aplicată pe grinda 2‐3, considerată grindă simplu rezemată în (2) şi (3) față de secțiunea (3).

Pentru calculul mărimilor A12⋅d1 şi A23⋅d3, se trasează diagramele momentelor încovoietoare produse de forțele reale pe regiunile L1 şi L2 (considerate simplu rezemate în (1) şi (2) respectiv în (2) şi (3).

Aplicația 9.6. Să se determine săgeata în punctul (2) pentru grinda din figura 9.11.

Rezolvare: Înlocuind valorile mărimilor din ecuația (9.14) se obține:

( ) ,a2

aa22aP

21

b060a2a2b

ba2baP20b

)a20v

b0v(IE6 22

z

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ ⋅⋅⋅

⋅+⋅+⋅++⋅

+⋅⋅

⋅+⋅=

=−

+−

⋅⋅

din care rezultă:

( ))ba2(IE6b2a3baPv

z

2

2 +⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

= .

21

Fig. 9.11

Fig. 9.12

Pentru cazul particular în care b=a săgeata va fi:

z

3

2 IE18aP5v⋅⋅⋅

= .

Aplicația 9.7. Să se determine săgeata în capătul liber pentru bara în consolă solicitată de o forță uniform distribuită (fig.9.12.).

Rezolvare: În cazul barelor în consolă încastrarea se înlocuieşte cu două reazeme foarte apropiate (L ≅ 0), a căror deplasări sunt nule.

Se scrie ecuația lui Clapeyron (9.14),

( ) ,LdA

LdA6LMLLM2LM

Lvv

LvvIE6

2

323

1

1232321211

2

32

1

12z

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+

⋅+⋅++⋅+⋅=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

−⋅⋅

în care se identifică termenii:

0vv 21 == , 0MM 31 == , 22 ap2M ⋅−= , 0L1 ≈ , a2L2 ⋅=

0LdA

1

112 =⋅

, 3ap

a21aa2

2ap

32

LdA 32

2

323 ⋅=⋅⋅⋅

⋅⋅=

⋅.

Înlocuind aceste valori şi calculând se obține:

z

4

3 IE3ap2v⋅⋅

= .

22

9.4. Metoda suprapunerii de efecte

În manualele inginerului ca şi în cursurile şi culegerile de rezistența materialelor sunt date tabele cu ecuațiile fibrei medii deformate, expresiile rotirilor şi săgeților maxime pentru grinzi şi încărcări frecvent utilizate de ingineri (Anexa 13). Aceste pot fi utilizate şi în cazuri complexe de încărcare pentru calcularea rapidă a deformațiilor prin aplicarea principiului suprapunerii efectelor (vezi paragraful 1.4 din vol. I). Conform principiului suprapunerii efectelor starea complexă de solicitare poate fi considerată ca fiind suma mai multor stări simple, date în tabele. Astfel momentul încovoietor într‐o secțiune este suma momentelor încovoietoare, produse de acțiunea separată a fiecărei sarcini, adică:

∑=+++= i321 M...MMMM .

Ținând seama de aceasta în ecuația diferențială a fibrei medii deformare (9.3), se obține:

z

1121

2

IEM

dxd

dxvd

⋅−=

ϕ= ,

z

2222

2

IEM

dxd

dxvd

⋅−=

ϕ= , ,...

IEM

dxd

dxvd

z

3323

2

⋅−=

ϕ=

astfel că:

( ).......MMMIE1

dxd

dxvd

321Z

2

2

+++⋅⋅

−=ϕ

= .

Integrând se obține:

.v....vvvv,....

i321

321

∑=+++=

=++ϕ+ϕ+ϕ=ϕ (9.15)

Deci rotirea şi săgeata dintr‐o secțiune a grinzii se poate calcula prin însumarea deplasărilor produse separat de fiecare sarcină în parte.

Aplicația 9.8. Să se determine expresiile deplasărilor secțiunii (3) a grinzii din figura 9.13.a.

Rezolvare: Pentru a putea utiliza metoda suprapunerii de efecte este necesar ca sarcina p să fie distribuită pe toată lungimea grinzii. În acest scop se adaugă sarcina p şi pe porțiunea (1)‐(2) şi în acelaşi timp se aplică o sarcină p egală dar de sens contrar pe aceeaşi porțiune (fig.9.13,b)

Rotirea maximă se produce în punctul (3) şi are valoarea:

3332313 ϕ−ϕ+ϕ=ϕ ,

23

iar din anexa 13 se pot scrie:

z

3

z

2

z

2

31 IEap4

IE2)a2(ap2

IE2LP

⋅⋅

=⋅⋅⋅

=⋅⋅

=ϕ ,

z

3

z

3

z

3

z

3

32 IEap33,1

IE3ap4

IE6)a2(p

IE6Lp

⋅⋅

=⋅⋅

=⋅

⋅=

⋅⋅

=ϕ ,

z

3

z

3

33 IEap167,0

IE6Lp

⋅⋅

=⋅⋅

=ϕ .

După înlocuire se obține:

z

3

z

3

z

3

z

3

3 IEap167,5

IE6ap

IE3ap4

IEap4

⋅⋅

=⋅⋅

−⋅⋅

+⋅⋅

=ϕ .

Analog se obține şi săgeata punctului (3): avvvv 333332313 ⋅ϕ−−+= ,

iar din anexă valorile acestor săgeți sunt:

Fig. 9.13

z

4

z

3

z

3

31 IEap33,5

IE3)a2(ap2

IE3Lpv

⋅⋅

=⋅⋅⋅

=⋅⋅

= ,

EIpa2

EI8)a2(p

EI8pLv

444

32 === , EIpa125,0

EI8pLv

44

33 == ,

care după înlocuiri şi calcule rezultă:

z

4

z

3

z

4

z

4

z

4

3 IEap042,7a

IE6ap

IE8ap

IEap2

IE3ap16v

⋅⋅

=⋅⋅⋅

−⋅⋅

−⋅⋅

+⋅⋅

= .

9.5. Metode energetice de calculul deformațiilor

9.5.1. Expresiile energiei şi lucrului mecanic de deformație

În cazul studiului energiei de deformație pentru cazul general (starea triaxială de tensiune), se poate determina următoarea expresie a energiei de deformație specifică:

( )

( )[ ] ( )2zx

2yz

2xyxzzyyx

2z

2y

2x

zxzxyzyzxyxyzzyyxx1

G212

E2121U

τ+τ+τ⋅+σ⋅σ+σ⋅σ+σ⋅σ⋅υ−σ+σ+σ⋅=

=γ⋅τ+γ⋅τ+γ⋅τ+ε⋅σ+ε⋅σ+ε⋅σ⋅= (9.16)

iar energia de deformație acumulată în elementul de rezistență este:

24

∫ ⋅=V

1 dVUU .

În cazul unui element de rezistență solicitat uniaxial ( 0x ≠σ=σ ,

0zxyzxyzy =τ=τ=τ=σ=σ ) energia specifică de deformație devine:

E2U

2

1σ

= ,

şi ținând seama de expresia tensiunii pentru întindere sau compresiune simplă AN

=σ

rezultă:

2

2

1 AE2NU⋅

= .

Energia de deformație acumulată în volumul elementului de rezistență este:

∫ ∫ ∫ ∫ ⋅⋅

=⋅⋅⋅

=⋅=v L A L

2

2

2

1 dxAE2

NdAdxAE2

NdVUU (9.17)

Dacă elementul de rezistență este solicitat numai la forfecare pură: ( )0zxyzzyx =τ=τ=σ=σ=σ şi 0yxxy ≠τ=τ se obține:

G2U

2

1τ

= .

Tensiunea tangențială la forfecare poate fi exprimată prin:

ATK ⋅

=τ ,

iar energia de deformație acumulată în elementul de rezistență va fi:

∫ ∫ ∫ ∫ ⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅⋅

=⋅=V L A L

2

2

2

1 dxAG2TkdAdx

AG2TkdVUU . (9.18)

unde, s‐a notat K2 = k. Pentru cazul unui element de volum solicitat numai la încovoiere ( )0x ≠σ=σ ,

0zxyzxyzy =τ=τ=τ=σ=σ , analog vom obține:

E2U

2

1σ

= ,

şi ținând seama de relația yIM

z

i ⋅=σ , energia de deformație are expresia:

∫ ∫ ∫ ∫∫ ⋅⋅

=⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅

=⋅=V L A L z

22

2z

22

2z

2

V1 dx

IE2MdAydx

IE2MdVy

IE2MdVUU (9.19)

25

La răsucire, energia de deformație acumulată de un element de volum este dată

de relația rIM

p

t ⋅=τ , rezultând:

∫ ⋅⋅

=L p

2t dxIG2

MU . (6.21)

sau generalizând pentru cazul barelor de secțiune oarecare: ∫ ⋅⋅

=L t

2t dxIG2

MU .

În cazul solicitărilor compuse, admițând că deformațiile sunt elastice, în baza principiului suprapunerii efectelor, energia (lucrul mecanic) de deformație este suma energiilor solicitărilor simple componente. Astfel în cazul general de solicitare expresia energiei (lucrului mecanic) de deformație acumulată în bara dreaptă de lungime L este:

∫ ∫ ∫ ∫ ⋅⋅⋅

+⋅⋅

+⋅⋅

+⋅⋅

==L L L L

22

2t

2t

z

2i dx

AG2Tkdx

AE2Ndx

IG2Mdx

IE2MLU . (9.20)

Observații: a) Dacă bara este curbă elementul dx se înlocuieşte cu ds. b) Termenii din relația de mai sus au fost aranjați în ordinea importanței.

Energia de deformație produsă de forța tăietoare, cu excepția barelor în consolă scurte, este neglijabilă şi nu se ia în considerare. De asemenea se neglijează energia de deformație produsă de forțele axiale, cu excepția grinzilor cu zăbrele şi a barelor solicitate axial, iar la cadrele plane solicitate de forțe în planul cadrului se iau numai efectele momentelor încovoietoare.

9.5.2. Lucrul mecanic al forțelor exterioare Se consideră un corp elastic asupra căruia

acționează sarcina statică, P. Punctul de aplicație al sarcinii are deplasarea δ pe direcția forței când aceasta creşte de la valoarea 0 la valoarea nominală P. Lucrul mecanic efectuat de acțiunea statică a sarcinii P prin deplasarea punctului de aplicație cu δ se poate reprezenta prin aria triunghiului OAB din figura 9.14. Fig. 9.14

Dacă sarcina P creşte cu dP, deplasarea creşte cu dδ, iar lucrul mecanic creşte cu dL, reprezentat în figura 9.14 prin aria trapezului BACD şi are expresia:

26

δ⋅+δ⋅= ddP21dPdL .

În general ultimul termen (aria triunghiului ACE), fiind infinit de ordin superior se neglijează în raport cu primul termen, astfel că:

δ⋅= dPdL , (9.21) În cazul deformațiilor liniar elastice deplasările sunt proporționale cu forțele

aplicate: Pk ⋅=δ , (9.22)

astfel că lucrul mecanic elementar are expresia: dPPkdL ⋅⋅= . (9.22,a)

Pentru corpul ce se deformează liniar‐elastic sub acțiunea sarcinilor statice se poate obține expresia lucrului mecanic total prin integrarea relației (9.22,a):

∫ ∫δ⋅

=⋅

=⋅⋅==P

0

2

2P

2PkdPPkdLL .

Relația 2

PL δ⋅= are caracter general în sensul că P este forța generalizată (forță

sau moment), iar δ are componente pe axele de coordonate, expresia lucrului mecanic devine:

( ) ( )∑∑ ϕ⋅+ϕ⋅+ϕ⋅+⋅+⋅+⋅= zzyyxx MMM21wZvYuX

21L . (9.23)

În rezistența materialelor se consideră că tot lucrul mecanic efectuat de sarcinile exterioare se înmagazinează în corp sub formă de energie elastică de deformare care se poate restitui la descărcare.

9.5.3. Teorema reciprocității lucrului mecanic şi a deplasărilor

Asupra unui corp elastic se aplică succesiv două încărcări. Prin aplicarea primei încărcări corpul acumulează energia L11 datorită deplasărilor punctelor de aplicație a forțelor P, pe direcțiile acestora.

Dacă asupra aceluiaşi corp se aplică a doua încărcare aceasta produce noi deplasări. Forțele din a doua încărcare cu deplasările produse de aceasta cauzează acumularea în corp a energiei de deformație L22, dar în acelaşi timp se acumulează în corp energia L12 produsă de forțele din prima încărcare ce îşi deplasează punctele de aplicație datorită deplasărilor produse de a doua încărcare. Astfel datorită aplicării succesive a celor două stări de încărcare se acumulează energia de deformație egală cu lucrul mecanic al forțelor exterioare:

27

122211 LLLL ++=

Ținând seama că energia acumulată nu depinde de ordinea de aplicare a sarcinilor, rezultă că:

2112 LL = (9.21)

Relația (9.21) exprimă teorema reciprocității lucrului mecanic de deformație (teorema lui Betti) care se poate formula astfel: când asupra unui corp elastic acționează succesiv două sisteme de sarcini atunci lucrul mecanic L12 produs de sarcinile din prima încărcare cu deplasările produse de al doilea sistem de încărcare este egal cu lucrul mecanic L21 produs de sarcinile celui de al doilea sistem de încărcare cu deplasările produse de primul sistem de sarcini.

Aplicând teorema reciprocității lucrului mecanic la o grindă simplu rezemată (fig. 9.15) asupra căreia acționează succesiv sarcinile P1 şi P2 în secțiunea (1) şi respectiv (2) se obține:

121222111

122211 vP2vP

2vPLLLL ⋅+

⋅+

⋅=++= .

Aplicând întâi sarcina P2 şi apoi sarcina P1 lucrul mecanic efectuat de sarcini este:

211111222

211122 vP2vP

2vPLLLL ⋅+

⋅+

⋅=++= .

Având în vedere că sarcinile P1 şi P2 se aplică static, acestea parcurg deplasările v11 şi v22 cu intensitate variabilă de la zero la valoarea finală (vezi figura 9.14), astfel că primii termeni au factorul 1/2 şi întrucât sarcinile P1 şi respectiv P2 parcurg deplasările v12 respectiv v21 cu întreaga intensitate, ultimii factori ai expresiei lucrului mecanic nu conțin factorul 1/2.

Fig. 9.15

Din egalitatea celor două expresii ale lucrului mecanic (energia acumulată de bară nu depinde de ordinea de aplicare a sarcinilor), rezultă:

212121 vPvP ⋅=⋅ . (9.25a)

Pentru cazul general se scrie v12 = δ12 şi v21 = δ21 astfel că;

212121 PP δ⋅=δ⋅ . (9.25b)

Dacă în relația (9.25b) se ia P1=P2=P rezultă teorema reciprocității deplasărilor (Maxwell):

2112 δ=δ , (9.26)

28

adică: deplasarea secțiunii (1) a unei bare când forța acționează în secțiunea (2) este egală cu deplasarea secțiunii (2) când forța acționează în secțiunea (1). Ambele deplasări sunt măsurate pe direcția forței.

9.5.4. Teorema lui Castigliano

Din asemănarea triunghiurilor OAB şi ACE din figura 9.14 rezultă:

δδ

=d

PdP

,

şi respectiv: dPdPdL ⋅δ=δ⋅= .

Ultima egalitate poate fi scrisă şi sub forma:

δ=∂∂PL

, (9.27)

care exprimă faptul că: derivata parțială a lucrului mecanic de deformație acumulat de întregul corp elastic în raport cu o forță oarecare P este egală cu deplasarea δ a forței P pe direcția acesteia. În cazul că se derivează în raport cu un moment se obține rotirea:

ML

∂∂

=ϕ , (9.27a)

din punctul de aplicație al momentului şi în sensul acestuia. Utilizând expresia lucrului mecanic pentru o bară solicitată de un sistem compus

de forțe (9.20), în relația (9.27), se obține expresia săgeții în dreptul şi pe direcția forței P:

∫∫∫∫ ⋅∂∂⋅

⋅⋅

+⋅∂∂⋅

⋅+⋅

∂∂⋅

⋅+⋅

∂∂⋅

⋅=δ

LLL

t

t

ti

L z

i dxPT

AGTkdx

PN

AENdx

PM

IGMdx

PM

IEM

. (9.28)

Această expresie este cunoscută sub denumirea de teorema lui Castigliano şi are caracter general în sensul că se poate utiliza pentru determinarea deplasării generalizate (săgeată sau rotirea) la orice corp elastic, pentru orice fel de solicitare.

Când în punctul în care se va determina deplasarea sau rotirea nu acționează o sarcină concentrată, se aplică o forță fictivă, respectiv moment fictiv Pf, Mf, care

serveşte numai la calcularea derivatei ∂∂

LPf

şi respectiv∂∂

LMf

.

29

Aplicația 9.9. Să se determine deplasarea şi rotirea punctului (k) al barei din fig. 9.16.

Rezolvare: Pentru aflarea săgeții în secțiunea (k) se scrie expresia momentului încovoietor în funcție de variabila x:

xPM ⋅−= , iar derivata acestuia este: Fig. 9.16

xPM

−=∂∂

.

Integrând pe intervalul 0‐L rezultă:

z

3L

0

2

z

L

0 zk IE3

LPdxxIEPdx

PM

IEMv

⋅⋅

=⋅⋅⋅

=⋅∂∂⋅

⋅= ∫∫ .

Pentru aflarea rotirii kϕ s‐a aplicat un moment fictiv în secțiunea (k), Mf ce se ia

în considerare în expresia momentului numai pentru obținerea derivatei (apoi se ia Mf =0):

fMxPM −⋅−= , 1MM

f

−=∂∂

,

z

L

0z0Mfzk IE2

LPdxxIEPdx

MM

IEM

f⋅⋅

=⋅⋅⋅

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

∂∂

⋅−

=ϕ ∫∫=

.

9.5.5. Metoda Mohr‐Maxwell

Teorema lui Castiglianio, cu toate că are un caracter general, prezintă dezavantajul de a fi o metodă laborioasă. Față de aceasta, metoda Mohr‐Maxwell are avantajul de la corpul elastic deformabil, la bara elastică.

Eforturile din secțiunea x a unei bare, ținând seama şi de acțiunea sarcinii fictive Pf, sunt:

.PtTT,PnNN

,PmMM,PmMM

fx

fx

fttxt

fx

⋅+=⋅+=

⋅+=⋅+=

unde: Mx, Mtx, Nx şi Tx sunt eforturile produse de sarcinile reale de pe bară, iar m, mt, n şi t sunt eforturile produse de sarcina fictivă Pf = 1, aplicată în secțiunea unde se

30

calculează deplasarea pe direcția acesteia. Întrucât Mx, Mtx, Nx, şi Tx nu depind de sarcina fictivă, derivatele acestora față de sarcina Pf sunt nule. Derivatele eforturilor din formula (9.28) sunt:

if

i mPM

=∂∂

, tf

t mPM

=∂∂

, nPNf

=∂∂

, tPTf

=∂∂

.

Cu acestea înlocuite în relația (9.28.) se obține expresia:

∫ ∫ ∫∫ ⋅⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅

=δl L LLt

tt

z

dxAGtTkdx

AEnNdx

IGmMdx

IEmM

(9.29)

ceea ce reprezintă relația Mohr‐Maxwell de calcul a deplasărilor . Observații:

a) Relația (9.29) se utilizează ținând seama de observațiile de la §9.5.1. b) De efectul forței fictive (Pf = 1) se ține seama numai pentru determinarea

eforturilor mi, m t , n şi t ce se iau în considerare în formula (9.29);

c) Eforturile Mx, Mtx, Nx şi Tx sunt funcții de eforturi (în secțiunea de

abscisă x) produse de forțele reale ( sarcini şi reacțiuni); d) Eforturile m, mt, n şi t sunt funcții de eforturi (în secțiunea de abscisă x )

date de acțiunea forței fictive Pf = 1 aplicată în secțiunea unde se determină deplasarea δ şi pe direcția acesteia;

e) Deplasarea δ are sensul şi direcția forței unitare fictive. Dacă din calcul se obține semnul minus rezultă că sensul deplasării este contrar celui ales pentru forța fictivă;

f) Forța fictivă are caracter generalizat ‐ forța sau moment ‐ şi se ia forța unitară (Pf = 1) pentru calculul deplasărilor liniare şi respectiv moment unitar (Mf = 1) pentru calculul rotirilor.

Aplicația 9.10. Să se determine săgeata şi rotirea punctului (k) pentru bara din figura 9.17 de rigiditate constantă.

Rezolvare: În secțiunea definită de abscisa x, momentul încovoietor, este:

2)xa(pM2

x+⋅

−= .

Pentru calculul săgeții se aplică în punctul (k) o forță unitară verticală Pf = l (adimensională), care produce în secțiunea x momentul încovoietor: m = ‐ l⋅x. Fig. 9.17

Înlocuind în relația (9.29), neglijând efectul forței tăietoare se obține:

31

( )

.IEaP33,57v

4x

3xa2

2xa

IE2pdxxxa

IE2pdx

IEmMv

z

4

k

a4

0

4322

Z

a4

0

2

ZL zk

⋅⋅

=⇒

⇒⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

⋅+

⋅⋅

⋅=⋅⋅+⋅

⋅=⋅

⋅⋅

= ∫∫

Pentru determinarea rotirii se aplică un moment unitar Mf = l, în punctul (k), în locul rotirii cerute, care produce în orice secțiune efortul: mf= ‐ l.

Procedând în mod similar, ca la calculul săgeții v, se obține:

( ) .IEap67,20

3xxaxa

IE2pdxxa

IE2pdx

IEʹmM

z

3a4

0

322

z

a4

0

2

zL zk ⋅

⋅=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+⋅+⋅

⋅=⋅+

⋅=⋅

⋅⋅

=ϕ ∫∫

Aplicația 9.11. Să se determine deplasarea şi rotirea punctului (k) pentru cadrul din figura 9.18.

Fig. 9.18

Rezolvare: În secțiunile definite de variabila x, momentele încovoietoare pe cele două porțiuni sunt:

‐ pe porțiunea k‐1:

2xpM2

x⋅

−= , xmu −= , 0mv = , 1ʹm −= , pentru [ ]a3,0x∈ ,

‐ pe portiunea 1‐2:

xapap5,4M 2x ⋅⋅−⋅⋅−= , a3mu −= , xmv −= , 1ʹm −= , pentru [ ]a2,0x∈ .

Înlocuind în relația (9.29) expresiile de mai sus se obțin deplasările:

,IEap63,26dx

IE2a3)xapap5,4(dx

IE2xpdx

IEmMu

a3

0

a2

0 z

4

z

2

z

3

L z

uk ∫ ∫∫

⋅⋅

=⋅⋅

⋅⋅⋅+⋅+⋅

⋅⋅

=⋅⋅⋅

=

∫ ∫∫⋅⋅

=⋅⋅

⋅⋅+⋅+⋅

⋅⋅⋅−

=⋅⋅⋅

=a3

0

a2

0 z

4

z

2

z

2

L z

vk IE

ap833,5dxxIE2

xapap5,4dxIE20xpdx

IEmMv

32

Deplasarea δ se obține prin însumarea geometrică a celor două deplasări calculate:

z

42k

2k IE

ap26,27vu⋅⋅

=+=δ .

Rotirea punctului (k) va fi:

∫ ∫ ∫⋅⋅

=⋅⋅

⋅⋅+⋅+⋅

⋅⋅

=⋅⋅⋅

=ϕL

a30

z

3a2

0 z

22

zk IE

ap10dxIE2

xapap5,4dxIE2

xpdxIEʹmM

.

Aplicația 9.12. Să se determine deplasarea şi rotirea punctului de aplicație al forței pentru bara curbă din figura 9.19 de rigiditate constantă.

Rezolvare:Momentele încovoietoare date de solicitările barei din figură sunt:

,sinRm,sinRPM

v α⋅−=α⋅⋅−=

( ),1ʹm

,cos1Rmu

−=α−⋅−=

pentru ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

∈α2,0

Fig. 9.19

iar cu acestea înlocuite în relația (9.29) se obține:

∫ ∫π

⋅⋅

=α⋅α−⋅α⋅⋅

=⋅⋅⋅

=l 0 z

3

z

3

z

uk

2

IE2RPd)cos1(sin

IERPds

IEmMu ,

∫∫π

⋅⋅⋅π

=α⋅α⋅⋅

=⋅⋅⋅

=2/

0 z

32

z

3

l z

vk IE4

RPdsinIERPds

IEmMv ,

∫π

⋅⋅

=α⋅α⋅⋅

=⋅⋅⋅

=ϕ2/

0 z

2

z

2

zk .

IERPdsin

IERPds

IEʹmM

Observație: Pentru bara curbă elementul dx s‐a înlocuit cu ds = R⋅dx. Deplasarea δ a

punctului (k) este:

z

32k

2k IE

RP931,0vu⋅⋅

=+=δ .

33

9.5.6. Regula de integrare a lui Vereşceaghin

În rezistența materialelor se preferă, în general substituirea calculului integral prin metode grafo‐analitice, sau grafice. Integrarea expresiei (9.29) se preferă numai când metodele grafo‐analitice nu pot fi aplicate sau când funcțiile ce intervin în integrală sunt foarte simple şi nu merită să fie utilizată altă metodă.

Regula de integrare a lui Veresceaghin, care este o metodă matematică de integrare a produsului a două funcții dintre care una este liniară, numită şi metoda de înmulțire a diagramelor şi se aplică în următoarele situații:

− bara să fie dreaptă, de rigiditate constantă pe întreaga lungime sau cel puțin pe un număr mic de regiuni;

− se pot calcula ariile diagramelor de eforturi şi se pot preciza pozițiile centrelor de greutate ale acestora pe întreaga bară sau pe regiuni din bară.

Pentru demonstrarea metodei se consideră o bară simplu rezemată de rigiditate constantă pe toata lungimea, solicitată la încovoiere, la care se va determina deplasarea punctului (k) de pe axa barei:

În acest caz se poate scrie:

.dmEI1)dxM(m

IE1

dxmMIE1

LLz

Lz

∫∫

∫

Ω⋅=⋅⋅⋅

=

=⋅⋅⋅

=δ

unde: dxMd ⋅=Ω este elementul de arie a

diagramei de momente. Fig. 9.20

Pentru cazul din fig.9.20, efortul m are două zone de variație liniară:

111 tgxm α⋅= şi 222 tgxm α⋅= ,

astfel că expresia deplasării va rezulta:

[ ]

( ) .IEmmm

EI1

tgxtgxIE1dxtgdxtg

IE1

z

GiiG22G11

2G221G11za b

222111z

∑

∫ ∫

⋅⋅Ω

=⋅Ω+⋅Ω=δ⇒

⇒α⋅⋅Ω+α⋅⋅Ω⋅

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Ω⋅α+Ω⋅α

⋅=δ

34

Deplasarea δ se obține din suma produselor dintre aria diagramei momentului încovoietor de pe regiunea respectivă înmulțită cu ordonata mG pe care o are diagrama liniară m, în dreptul centrului de greutate a diagramei M, de pe regiunea respectivă şi împărțită la rigiditatea EIz.

În cazul general, când asupra barei acționează toate eforturile şi prin aplicarea forței unitare pe direcția pe care se doreşte calculul deplasării se produc în bară eforturile m, mt , n şi t, ținând seama de relația (9.29) expresia deplasării devine:

∑ ∑∑ ∑ ⋅⋅Ω⋅

+⋅⋅Ω

+⋅⋅Ω

+⋅⋅Ω

=δAGtk

AEn

IGm

IEm GTGN

t

GtMt

z

GM . (9.30)

În relația (9.30) ΩMi, ΩMt, ΩN şi ΩT sunt ariile diagramelor de eforturi Mi, Mt, N şi T de pe bară sau porțiuni de bară iar miG, mtG, nG, tG sunt ordonatele în dreptul centrelor de greutate ale diagramelor Mi, Mt, N şi T luate din diagramele m, mt, n şi respectiv t. Eforturile mi, mt, n, şi t sunt produse de sarcina unitară aplicată în punctul şi pe direcția deplasării.

Observații: a. se ține seama de observația b) de la 9.5.1. b. segmentele de bară se aleg astfel încât:

i. pe porțiunea respectivă rigiditatea să fie constantă; ii. diagrama produsă de sarcini să fie o funcție continuă la care să se

cunoască aria şi poziția centrului de greutate al acesteia; c. diagrama dată de sarcina unitară să fie liniară şi să aibă panta constantă

pe porțiunea respectivă. Aplicația 9.13. Să se determine deplasarea

pe verticală a capătului liber şi rotirea din reazemul (2) la bara din figura 9.21.

Rezolvare: Pentru calculul deplasării pe verticală se ia în considerare diagramele (M) şi (m) produse de sarcinile de pe bară şi respectiv de sarcina unitară P = 1 aplicată în capătul liber. Utilizând formula (9.30) în cazul solicitării de încovoiere, se obține:

Fig. 9.21

( )z

42

zz

GM3 IE

ap4a75,0ap2a432

IE1

IEmv

⋅⋅

−=−⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅Ω

=∑ .

35

Semnul minus arată că săgeata punctului (3) este de sens opus sensului forței unitare şi deci capătul liber se deplasează în sus.

Pentru rotirea din reazemul (2) care este egală cu cea din capătul liber (3) se ia în considerare diagrama (M) şi diagrama (m’) produsă de momentul unitar aplicat în capătul liber:

z

32

zz

GM32 IE3

ap821ap2a4

32

IE1

IEʹm

⋅⋅

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅

⋅=

⋅⋅Ω

=ϕ=ϕ .

Aplicația 9.14. Să se determine săgeata

capătului liber la bara cotită din figura9.22. Rezolvare: S‐au trasat diagramele (M) şi

(Mt) produse de sarcina P şi diagramele (m) şi (mt) produse de sarcina unitară aplicată în capătul liber.

Utilizând formula (9.30) şi ținând seama că:

4z cm2140I = ,

( )( ) .cm5,1475,013,1220

13,19233,1tb

3I

43

33t

=⋅⋅−+

+⋅⋅=⋅⋅α

= ∑

se obține, conform expresiei relației lui

Vereşceaghin:

t

tGMt

z

GM

IGm

IEmv

⋅⋅Ω

+⋅⋅Ω

=∑

că Fig. 9.22

mm22,17105,14101,8

10010258102140101,2

100102535IGaP8

IE3aP35

a2a2Pa2IG1)a3

32a3Pa3

21a2

32a2Pa2

21(

IE1v

44

33

45

33

t

3

z

3tz

=⋅⋅⋅

⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅

+⋅⋅

=

=⋅⋅⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

Aplicația 9.15. Să se determine deplasările u1, v1, v3, şi ϕ3, pentru cadrul din figura 9.23.

Rezolvare: Aplicând formula (9.30) din diagramele 9.23, b şi c rezultă:

z

4

z

2

321 IEap75,6

IE2a3a3pa5,1

uuu⋅⋅⋅

−=⋅

⋅⋅⋅⋅⋅−===

36

Fig. 9.23

Procedând în mod analog pentru diagramele 9.23 b şi d, apoi pentru 9.23. b şi respectiv 9.23 b şi f se obține:

z

4

z

2

z

2

1 IEap4

IEaa3pa5,1

IE2

a32aap3

21

v⋅⋅

−=⋅

⋅⋅⋅−

⋅

⋅⋅⋅⋅⋅= ,

z

4

z

2

z

2

3 IEap56,18

IEa3a3pa5,1

IE2

a343a3ap5,4

31

v⋅⋅

=⋅

⋅⋅⋅+

⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ,

z

3

z

2

z

2

3 IEap75,6

IEla3pa5,1

IE2

la3ap5,431

⋅⋅⋅

=⋅

⋅⋅⋅⋅+

⋅

⋅⋅⋅⋅⋅=ϕ .

37

9.6. Întrebări ‐ test 1. Ce este o deplasare? 2. Definiți starea de deformație la încovoiere. 3. Ce reguli cunoaşteți pentru deformațiile liniare şi unghiulare la încovoiere? 4. Ce este energia specifică de deformație? Dar energia elementară? Dar energia totală? 5. Care este expresia energiei potențiale specifice de deformație totală în cazul barelor? 6. Ce este energia de deformație modificatoare de formă la bare? 7. În ce constă metoda lui Mohr – Maxwell? 8. Care sunt metodele energetice de calcul a deformațiilor? 9. Definiți săgeata, rotirea, curbura şi raza de curbură la deformarea grinzilor drepte

supuse la încovoiere. 10. Scrieți şi comentați ecuația diferențială a fibrei medii deformate. 11. Ce metode pentru calculul deformațiilor grinzilor supuse la încovoiere, cunoaşteți? 12. În ce constă metoda analitică de calcul a deformațiilor la încovoiere? Ce dezavantaje prezintă

această metodă? Ce condiții trebuiesc puse pentru calculul constantelor de integrare? 13. Prin ce se caracterizează fibra medie deformată în punctele în care Mî = 0? 14. Ce este o grindă reciprocă (conjugată)? Cum se alege ea? 15. În ce constă metoda parametrilor inițiali? 16. Care sunt particularitățile metodei suprapunerii de efecte la calculul deplasărilor? 17. Scrieți şi comentați ecuația celor două rotiri şi ecuația celor două săgeți. 18. Scrieți şi comentați ecuația celor trei săgeți. Când se poate aplica această ecuație? 19. Scrieți expresia energiei de deformație pentru solicitările de tracțiune, forfecare,

încovoiere şi torsiune la bare drepte. 20. Când se neglijează energia de deformație produsă de solicitările de tracțiune şi

compresiune? 21. Ce metode energetice folosite la calculul deplasărilor liniar elastice cunoaşteți? 22. În ce constă metoda Clapeyron pentru calculul deplasărilor? Ce dezavantaje

prezintă această metodă? 23. Enunțați teorema lui Castigliano. Ce particularități prezintă această metodă? 24. Scrieți şi comentați formula lui Mohr – Maxwell. 25. Care sunt etapele de calcul la aplicarea metodei lui Mohr – Maxwell? 26. În ce constă regula lui Vereşceaghin? Care sunt etapele de calcul la aplicarea acestei

reguli? Când nu se poate aplica regula lui Vereşceaghin? 27. Enunțați teorema lui Betti. 28. În ce constă teorema reciprocității deplasărilor?

38

9.7. Probleme propuse

1. Să se calculeze deplasarea pe verticală a punctului k a barei din figura 9.24. 2. Să se calculeze deplasarea pe verticală a punctului k a barei din figura 9.25

Fig. 9.24

Fig. 9.25

3. Să se determine deplasarea pe orizontală a capătului liber a barei din figura 9.26. 4. Să se calculeze deplasarea pe verticală a punctului k a barei spațiale

reprezentată în figura 9.27, ştiind faptul că bara este confecționată din oțel şi are secțiune circulară cu diametrul d = 80 mm (P = 5 kN, a = 200 mm).

Fig. 9.26

Fig. 9.27

5. Să se determine deplasarea pe verticală a punctului k a barei din figura 9.28, ştiind că: E = 210 GPa; Iz = 605 cm4.

39

6. Să se determine reacțiunea pe direcție verticală ce ia naştere în reazemul barei din figura 9.29, dacă acesta se tasează cu 2 mm pe direcție verticală. (E = 210 GPa; Iz = 9800 cm4).

Fig. 9.28 Fig. 9.29

7. Pentru barele din figura 9.30, se cere să se determine săgeata şi rotirea punctului k.

a)

b)

c)

d)

Fig. 9.30 8. Pentru barele din figura 9.31, se cere să se determine săgeata şi rotirea

punctului k.

a)

b)

Fig. 9.31

40

9. Pentru barele din figura 9.32, se cere să se determine săgeata şi rotirea punctului k.

a) b) Fig. 9.32

41

1100.. SSIISSTTEEMMEE SSTTAATTIICC NNEEDDEETTEERRMMIINNAATTEE

10.1 Introducere

Sistemele static nedeterminate sunt acele sisteme de bare la care numărul ecuațiilor de echilibru este insuficient pentru determinarea, fie a forțelor de legătură (reacțiunilor), fie a eforturilor secționale.

Diferența dintre numărul necunoscutelor şi numărul ecuațiilor de echilibru reprezintă gradul de nedeterminare statică a sistemului. Prin metoda eforturilor se suprimă legăturile suplimentare (ce depăşesc numărul de ecuații ) dintre elementele componente astfel încât acestea să devină un sistem static determinat. Notăm cu e numărul de elemente componente ale sistemului şi cu L numărul legăturilor simple suprimate care constituie tot atâtea forțe de legătură necunoscute. Pentru o structura plană, la care se pot scrie trei ecuații de echilibru, diferența,

e3Ln ⋅−= , (10.1) dintre numărul necunoscutelor (L) şi numărul ecuațiilor de echilibru reprezintă gradul de nedeterminare statică al sistemului plan.

Structura este: − mecanism pentru cazul când: n < 0, − static determinată pentru cazul când: n = 0, − static nedeterminată pentru cazul când: n > 0.

Aplicând relația (10.1) pentru structura din figura (10.1,a) la care e = 3, L = 11 se obține n = 11 ‐ 3⋅3 = 2, ceea ce înseamnă că structura este de două ori nedeterminată.

La nodurile articulate C, D şi E numărul necunoscutelor este egal cu 2(b‐1), unde b este numărul de bare ce formează nodul.

Pentru cazul structurilor spațiale gradul de nedeterminare statică se determină cu relația:

e6Ln ⋅−= , (10.2) relație ce diferă de (10.1) prin numărul (6 ⋅ e) al ecuațiilor de echilibru.

Gradul de nedeterminare statică dat de relațiile (10.1) şi (10.2) reprezintă numărul forțelor de legătură care nu pot fi determinate din ecuațiile de echilibru. Aceste forțe de legătură sunt denumite necunoscute static nedeterminate.

Fig. 10.1

Metoda de calcul în care se aleg eforturile (forțele) ca necunoscute static nedeterminate şi prin care ecuațiile suplimentare se determină din condițiile de continuitate a modului de deformare a structurii este denumită metoda eforturilor. Forma de echilibru elastic a unei structuri sub acțiunea unui sistem de forțe dat, constituie o soluție unică. Cunoscând forțele exterioare şi forma deformată a structurii se pot determina eforturile în orice secțiune a acesteia.

Metoda de calcul în care se aleg deplasările şi rotirile ca parametri necunoscuți (care caracterizează complet modul de deformare a unei structuri) şi prin care ecuațiile suplimentare se determină din condițiile de echilibru ale eforturilor, este denumită metoda deplasărilor.

Cele două metode, a eforturilor şi a deplasărilor, constituie metodele generale pentru calculul sistemelor static nedeterminate. Aplicarea uneia sau a celeilalte metode se face în funcție de numărul de necunoscute şi de uşurința de alcătuire a sistemului de ecuații pentru determinarea lor. Aceste aspecte depind de configurația structurii.

10.2. Metoda eforturilor

Ridicarea nedeterminării, prin metoda eforturilor pentru o structură static nedeterminată necesită parcurgerea următoarelor etape:

a. se determină gradul de nedeterminare statică a sistemului şi apoi se suprimă, la structura reală (fig.10.2,a) un număr de legături egal cu gradul de nedeterminare. Legăturile suprimate se înlocuiesc cu forțe corespunzătoare, notate cu X1, X2,.. Xn (unde n este gradul de nedeterminare statică). Sistemul static determinat obținut astfel, se numeşte sistem de bază (fig. 10.2,b)

42

Fig. 10.2

b. se încarcă sistemul de bază, în mod succesiv, întâi cu sarcinile exterioare şi apoi numai cu fiecare din necunoscute, luate în valoare unitară. Pentru fiecare caz de încărcare se determină funcțiile, respectiv diagramele de eforturi şi apoi deplasările corespunzătoare (produse de fiecare încărcare şi pe direcția fiecărei necunoscute). Deplasarea Δk a secțiunii k, depinde de mărimea şi de poziția sarcinilor:

( ) kon21kk X,...X,X δ+⋅Δ=Δ ,

şi poate fi exprimată cu ajutorul principiului suprapunerii efectelor:

0kn1k11kk X...X δ+⋅δ++⋅δ=Δ , (10.3)

unde semnificația coeficienților de influență δk1,.. δkn, rezultă din particularizarea expresiei (10.3). Astfel, dacă se consideră sistemul încărcat cu o singură sarcină concentrată egală cu unitatea, aplicată în locul sarcinii X j, deplasarea secțiunii k se obține:

kjk δ=Δ ,

ceea ce arată că δkj constituie deplasarea secțiunii k pe direcția şi sensul forței X k, produsă de o sarcină X j = 1 (egală cu unitatea şi aplicată singură pe sistemul de bază în locul şi pe direcția sarcinii X j). Primul indice arată locul şi direcția deplasării, iar cel de al doilea indică sarcina unitate care produce deplasarea respectivă δkj.

În cazul sistemelor de bare, expresia generală a coeficienților de influență se poate obține prin utilizarea relației Mohr‐Maxwell:

∫∫∫∫ ⋅⋅

⋅⋅+⋅

⋅

⋅+⋅

⋅

⋅+⋅

⋅

⋅=δ

L

kj

L

kj

L t

tktj

L z

ikijk dx

AGttk

dxAEnn

dxIGmm

dxIEmm

j (10.4)

Dar,

jkkj δ=δ , (10.5)

adică deplasarea în k pe direcția lui Xk produsă de o sarcină unitate Xj = 1, aplicată în j pe direcția lui Xj, produsă de aceeaşi sarcină unitate aplicată în k pe direcția lui Xk.

43

c. se determină deplasările δk0, pe direcția necunoscutelor Xk produsă de sarcinile exterioare aplicate pe sistemul de bază, care cu ajutorul relației lui Mohr‐Maxwell rezultă din relația:

∫ ∫∫∫ ⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅

=δL

Lk0

Lk0

Lt

tk0t

z

k0k dx

AGtTdx

AEnNdx

IGmMdx

IEmM

0. (10.6)

d. întrucât pe sistemul real (fig.10.2.0), deplasările pe direcțiile legăturilor sunt nule, rezultă condițiile de continuitate Δ k = 0 , ( , ..., )k n= 1 care conduc la

sistemul:

0Xn

1j0,jjj,k =δ+⋅δ∑

=

, (10.7)

care este sistemul ecuațiilor de condiție al metodei eforturilor. Valorile necunoscutelor X1,..Xn, sunt soluțiile sistemului (10.7).

Sistemul (10.7) poate fi scris şi sub forma:

0X...X...........................................................

0X...X0X...X

0nnnn11nn

20nn21212

10nn11111

=δ+⋅δ++⋅δ=Δ

=δ+⋅δ++⋅δ=Δ=δ+⋅δ++⋅δ=Δ

, (10.7,a)

care este un sistem format dintr‐un număr de n ecuații liniare cu n necunoscute şi poartă denumirea de sistem de ecuații canonice ale metodei eforturilor (sau metodei forțelor). Prin rezolvarea acestui sistem se obțin valorile mărimilor static nedeterminate.

În cazul unui grad mai mare de nedeterminare calcularea coeficienților δkj şi δk0 necesari pentru rezolvarea sistemului de ecuații canonice (10.7,a) constituie o operație greoaie şi necesită timp şi o anumita practică de calcul.

Pentru rezolvarea ecuațiilor (10.7,a) cu ajutorul calculatoarelor se utilizează calculul matriceal. Astfel, sistemul de ecuații canonice al metodei eforturilor se scrie sub forma: [ ] { } { }0X δ−=⋅δ , (10.8)

unde: − s‐a notat cu matricea deplasărilor unitare sau a coeficienților de

influență care este o matrice pătratică simetrică (

[ ]δjiij δ=δ ):

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

δδδ

δδδδδδ

=δ

nn2n1n

n22221

n11211

...............

...

...

, (10.9)

− matricea coloană a forțelor necunoscute: { }X

44

45

}{ } { Tn21 X,...,X,XX = , (10.10)

− { }0δ matricea coloană a termenilor liberi:

{ } { }T0n20100 ,...,, δδδ=δ (10.11)

Alegerea rațională a sistemului de bază simplifică sistemul de ecuații canonice şi implicit micşorează volumul de calcul.

Aplicația 10.1. Să se ridice nedeterminarea cadrului din figura10.3a şi să se traseze diagramele de eforturi.

Rezolvare: Cadrul este dublu static nedeterminat. Ca necunoscute se pot alege, spre exemplu, reacțiunile din A. În acest caz se înlocuieşte articulația din A cu cele două reacțiuni rezultând sistemul de bază din figura (10.3,b), astfel că sistemul ecuațiilor canonice ia forma:

0XX0XX

20222121

10212111

=δ+⋅δ+⋅δ=δ+⋅δ+⋅δ

.

Pentru determinarea coeficienților de influență şi a termenilor liberi se încarcă succesiv sistemul de bază mai întâi cu forța exterioară şi apoi cu câte o sarcină egală cu unitatea aplicată în locul necunoscutelor static nedeterminate. Pentru fiecare din aceste stări de solicitare se trasează diagrama de momente (fig.10.3, c, d şi e).

Fig. 10.3

Pentru determinarea deformațiilor şi a coeficienților de influență, se aplică metoda lui Vereşceaghin:

z

3

z10 IE3

aP7a232aa2Pa2

21

IE21

⋅⋅

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅⋅⋅⋅⋅

⋅−=δ ,

zz20 IE

aP5,1a5,1a2Pa221

IE21

⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=δ ,

z

3

z11 IE

a5,4a332a3a3

21

IE21

⋅⋅

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=δ ,

z

3

z2112 IE

a375,3a5,1a3a321

IE21

⋅⋅

−=⋅⋅⋅⋅⋅

−=δ=δ ,

z

3

zz22 IE

a5,4a5,1a5,1a3IE2

1a5,132a5,1

21

IE1

⋅=⋅⋅⋅

⋅+⋅⋅⋅⋅

⋅=δ

cu aceste valori sistemul de ecuații canonice devine:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⋅+⋅+⋅−

=⋅−⋅−⋅

0P58,1X5,4X375,3

0P37X375,3X5,4

21

21

ale cărui soluții sunt: şi P6138,0X1 = P127,0X2 = .

Cunoscând reacțiunile din articulația A s‐au trasat diagramele de eforturi, care sunt reprezentate în figura 10.4.

Fig. 10.4

10.3. Simetrii şi antisimetrii în sistemele static nedeterminate

În practica inginerească se întâlnesc frecvent sisteme static nedeterminate care prezintă simetrie atât geometrică cât şi de încărcare mecanică. În axele de simetrie unele eforturi sunt nule astfel că aceasta face ca să se reducă gradul de nedeterminare statică. Reducerea gradului de nedeterminare se bazează pe constatarea că în cazul sistemelor simetrice din punct de vedere geometric şi încărcate simetric, forța tăietoare (efort asimetric) este nulă în axa de simetrie iar pentru cazul sistemelor simetrice şi încărcate asimetric eforturile M şi N (eforturi simetrice) sunt nule în axa de simetrie.

Astfel, în cazul sistemelor static nedeterminate simetrice şi încărcate simetric, în planele de simetrie forța tăietoare este nulă. Spre exemplu cadrul din figura (10.5,a), ce are, pentru un sistem de bază oarecare, gradul de nedeterminare 6, datorită faptului că este simetric şi încărcat simetric, forțele tăietoare sunt nule în axa de simetrie. Deci alegând sistemul de bază din figura (10.5,b) vor fi numai 4 necunoscute. La cadrele

46

simetrice şi încărcate asimetric, în planele de simetrie eforturile M şi N sunt nule. La acelaşi cadru, dar încărcat asimetric, (fig.10.6,a) din acest motiv pentru sistemul de bază ales, numărul necunoscutelor este 2 în loc de 6.

Fig. 10.5 Fig. 10.6

Mai mult, prin secționarea unei structuri simetrice într‐un plan de simetrie unele necunoscute rezultă din condițiile de echilibru.

Astfel, în cazul inelului din figura (10.7,b) forțele tăietoare de pe axa verticală sunt zero, iar forțele axiale rezultă N = P/2, ceea ce conduce la un sistem simplu static nedeterminat (față de 3 ori static nedeterminat pentru un sistem de bază obținut prin tăierea inelului într‐o secțiune oarecare).

Fig. 10.7

10.4. Recomandări pentru alegerea sistemului de bază

Teoretic, legăturile static nedeterminate ale unei structuri pot fi suprimate în oricare secțiune a acesteia, cu condiția ca sistemul static determinat (sistemul de bază) la care se ajunge, să fie un sistem corect, adică să nu fie critic.

Totuşi, de alegerea sistemului de bază depinde foarte mult volumul de calcul. De aceea se fac următoarele recomandări:

− sistemul de bază să fie cât mai simplu şi să permită determinarea cu uşurință a funcțiilor de eforturi, respectiv a diagramelor de eforturi;

− diagramele m să se întindă pe porțiuni cât mai reduse din structură, astfel ca termenii δij să fie simplu de calculat;

47

− la sistemele simetrice se vor folosi sisteme de bază obținute prin secționarea structurii printr‐un plan de simetrie care să conducă la micşorarea numărului necunoscutelor;

− pentru sarcinile exterioare se indică un sistem de bază pe care diagrama Mo să fie cât mai apropiată de diagrama reală M, pentru ca aceasta să fie uşor trasată prin suprapunere de efecte.

10.5. Grinda continuă (pe mai multe reazeme)

Grinda dreaptă rezemată pe r reazeme simple plus o articulație sau o încastrare şi acționată de sarcini (de regulă transversale) şi momente se numeşte grindă continuă. Exemple de grinzi continue sunt: arborii drepți rezemați pe 3 sau mai multe paliere, longeroanele unor maşini unelte ce se reazemă pe trei sau mai multe puncte de sprijin, căile de rulare ale podurilor rulante, unele poduri de cale ferată şi rutiere etc.

Gradul de nedeterminare a grinzii continue rezultă din ecuația: 3ri3n −+⋅= pentru grinda cu o încastrare, 3ra2n −+⋅= pentru grinda cu o articulație.

Ridicarea nedeterminării prin metoda eforturilor, alegând un sistem de bază oarecare, conduce la calcule laborioase. Această dificultate este diminuată prin utilizarea ecuației celor 3 momente.

Sistemul de bază ce stă la baza ecuației lui Clapeyron, este format din grinzi simplu rezemate obținut prin secționarea grinzii continue în dreptul reazemelor, unde se introduc momente necunoscute conform figurii 10.8. Ecuația lui Clapeyron (9.14) poate fi transcrisă pentru grinda din figura 10.8 cu notațiile şi semnificațiile date în §9:

Fig. 10.8

,0)ILdA

ILdA(6M

ILM)

IL

IL(2M

IL

)Lvv

Lvv(E6

23

323

11

1122

2

32

2

2

1

11

1

1

2

32

1

12

=⋅⋅

+⋅⋅

⋅+⋅+⋅++⋅=

=−

+−

⋅

(10.12)

care pentru v1 = v2 = v3 = 0 (când reazemele nu se tasează) devine:

,0)ILdA

ILdA(6M

ILM)

IL

IL(2M

IL

22

323

11

1123

2

22

2

2

1

11

1

1 =⋅⋅

+⋅⋅

⋅+⋅+⋅++⋅ (10.13)

48

şi poartă numele de ecuația celor trei momente. Dacă bara are rigiditatea constantă pe toată lungimea ecuația devine:

.0)LdA

LdA(6MLM)LL(2ML

2

323

1

1123222111 =

⋅+

⋅⋅+⋅+⋅++⋅ (10.13,a)

Această ecuație se scrie pentru trei grupuri consecutive de reazeme. Pentru o grindă de n ori static nedeterminată se scriu n ecuații: prima pentru reazemele 1, 2 şi 3; a doua pentru reazemele 2, 3 şi 4 ş.a.m.d.

Rezolvând sistemul de n ecuații liniare se obțin, ca soluții, valorile celor n momente necunoscute din reazeme. În cazul grinzii continue cu o încastrare la capăt, aceasta se echivalează cu două reazeme simple, situate la o distanță foarte mică ε, care practic se consideră egală cu 0 (vezi aplicația 10.2).

Când grinda continuă are console încărcate, sarcina de pe acestea se reduce în reazemul adiacent la o forță şi un moment (cunoscute).

Reacțiunile din reazeme se calculează pentru sistemul de bază (grinzile simplu rezemate) acționat atât cu sarcinile reale cât şi cu momentele de la capetele barelor (din dreptul reazemelor).

Cunoscând valorile reacțiunilor şi ale momentelor din reazeme se pot scrie funcțiile de eforturi şi trasa diagramele acestora.

Aplicația 10.2. Să se ridice nedeterminarea şi să se traseze diagramele de eforturi pentru grinda din figura 10.9.

Rezolvare: Bara este dublu static nedeterminată şi se aplică de două ori ecuația celor trei momente:

,0LdA

LdA6MLM)LL(2ML

2

323

1

1123222111 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+

⋅⋅+⋅+⋅+⋅+⋅

,0LdA

LdA6MLM)LL(2ML

3

434

2

2234333222 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+

⋅⋅+⋅+⋅+⋅+⋅

unde:

.a4L,a5L,0Lap95,0M,0M

321

241

===⋅⋅−==

Se trasează diagramele M0 pentru barele simplu rezemate în punctele 1‐2, 2‐3 şi respectiv 3‐4, numai pentru sarcinile ce acționează efectiv între aceste puncte şi se obține:

0LdA

1

112 =⋅

;

49

32

2

323 ap8,4a51

3a5a30

2a5ap6,3

LdA

⋅⋅=⋅++

⋅⋅⋅

= ;

32

2

223 ap2,4a51

3a5a20a5

2ap6,3

LdA

⋅=⋅++

⋅⋅⋅

=⋅

;

32

3

434 ap4a41a2a4ap3

32

LdA

⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅

.

Fig. 10.9

Cu aceste valori determinate anterior, ecuațiile celor trei momente, devin:

( ) ( )( ) ( ) .0ap4ap2,466a4ap95,0a4a5M2a5M

;0ap8,406a5Ma50M2332

32

332

=⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−+⋅⋅+⋅

=⋅⋅+⋅+⋅++⋅⋅

de unde rezultă: 2

32

2 ap2M,ap88,1M ⋅⋅−=⋅⋅−= .

Pentru calculul reacțiunilor se exprimă momentele în dreptul reazemelor 3 şi 2:

50 .a9,10pa5,0a7a4p5,1a2pa3a9Va5VM

;a9,5pa5,0a2a4p5,1a4VM;Ma3pa3a5VM

432

43

223

⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅+⋅=⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅=

+⋅⋅−⋅=

de unde: .pa237,3V,pa487,4V,pa776,1V 432 ⋅=⋅=⋅=

Cu valorile obținute s‐au trasat diagramele T şi M (fig. 10.9).

10.6. Deplasări în sisteme static nedeterminate

După ridicarea nedeterminării, deplasările într‐un sistem static nedeterminat se pot calcula prin metodele cunoscute. În cazul folosirii metodei Mohr‐Maxwell, deplasarea dintr‐o secțiune oarecare k, scrisă cu ajutorul suprapunerii de efecte este:

nkn22k11k0kk X...XX ⋅δ++⋅δ+⋅δ+δ=δ . (10.14)

Notăm cu: − M0 – momentul încovoietor într‐o secțiune oarecare a sistemului de bază,

produs de forțele exterioare date; − mi – momentul încovoietor într‐o secțiune oarecare produs de sarcinile

unitare aplicate în locul pe direcția şi sensul de aplicare al necunoscutei static nedeterminate Xi;

− M – momentul încovoietor real, într‐o secțiune oarecare a sistemului static nedeterminat.

Deoarece, prin definiție sistemul de bază, încărcat cu sarcinile exterioare şi cu necunoscutele static nedeterminate, este echivalent cu sistemul static nedeterminat real, rezultă că momentul real este dat prin suprapunerea de efecte în sistemul de bază:

nn22110 Xm...XmXmMM ⋅++⋅+⋅+= . (10.15)

Înlocuind deplasările din relația (10.14) cum au fost definite de formulele (10.4) şi respectiv (10.5), ținând seama numai de încovoiere, rezultă:

∫∫∫∫ ⋅⋅⋅

++⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅

=δL z

nkn

L z

2k2

L z

1kl

L z

k0k dx

IEmmX...dx

IEmmXdx

IEmmXdx

IEmM . (10.16)

Expresia de mai sus se poate scrie:

dxmIE

Xm...XmXmMk

L z

nn22110k ⋅⋅

⋅⋅++⋅+⋅+

=δ ∫ ,

sau ținând seama de relația (10.15) vom avea:

dxIEmMz

kk ∫ ⋅

⋅⋅

=δ . (10.17)

Relația (10.17) ne arată că într‐un sistem static nedeterminat, solicitat la încovoiere, deplasarea într‐un punct oarecare se obține cu formula lui Mohr–Maxwell, în care intervin momentele încovoietoare reale din sistemul static, nedeterminat şi

51

momentul sarcinii unitare aplicate în secțiunea respectivă, pe direcția şi sensul deplasării cerute aplicate pe sistemul de bază.

Aplicând regula lui Vereşceaghin, relația de calcul devine:

z

kGMk IE

m⋅⋅Ω

=δ (10.18)

Concluzia dată de relația (10.17) este valabilă şi pentru sisteme static nedeterminate în care se produc şi alte eforturi (Mt, N, T).

Aplicația 10.3. Să se ridice nedeterminarea şi să se determine deplasarea punctului de aplicație a forței P pe verticală la bara din figura 10.10.

Rezolvare: Se alege sistemul de bază şi se scriu funcțiile de eforturi pentru determinarea deplasărilor δ10 şi δ11 prin metoda Mohr‐Maxwell:

Fig. 10.10

,x1m,0M xx0 ⋅== pentru [ ]x a∈ 0, ,

( ) ( )[ ],cos1aa1m,cos1aPM0 α−⋅+⋅=α−⋅⋅−= αα

pentru απ

∈⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

02

, ,

iar deplasările vor fi:

,IEaP937,0)3

45(

IEaP

da)cos2(a)cos1(PIEl

dsmMIEl

z

3

z

3

2

0a

z

Lo

z10

⋅⋅

−=−π

⋅⋅

−=

=α⋅⋅α−⋅⋅α−⋅⋅

−=

=⋅⋅⋅

=δ

∫

∫π

αα

,IE

a402,3)449

3l(

IEa

da))cos2(adxx(IEldsm

IEl

z

3

z

3

2

0

220

2

zL

2

z11

⋅=−

π+

⋅=

=α⋅⋅α−⋅+⋅⋅

=⋅⋅

=δ ∫∫∫π

α

Valoarea necunoscutei X este:

.P2725,0X11

o1 =δδ

−=

52

Pentru a calcula deplasarea pe verticală a punctului de aplicație a forței scriem funcțiile reale ale momentului M, precum şi funcțiile de moment mk, pentru o forță unitară aplicată în locul, pe direcția şi sensul deplasării cerute, pe sistemul de bază:

0m,xP2725,0xXM kxx =⋅⋅=⋅= , pentru [ ]a,0x∈

( ) ( )( )( ).cos1a1m

,455,0cos7272,0aPcos1aPcos2aP2725,0M

k α−⋅⋅−=−α⋅⋅⋅=

=α−⋅⋅−α−⋅⋅⋅=

α

α

pentru απ

∈⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

02

,

Aplicând relația (10.170 se obține deplasarea:

.IEaP1036,0da)cos1(a)cos7275,0455,0(aP

IEl

dsmMIEl

2

0 z

3

z

k

2

0zk

∫

∫π

α

π

α

⋅⋅

⋅=α⋅⋅α−⋅⋅α⋅−⋅⋅⋅

=

=⋅⋅⋅

=δ

10.7. Întrebări ‐ test 1. Ce este un sistem static nedeterminat? Dați exemple de astfel de sisteme. 2. Ce influență au simetria şi antisimetria la structurile static nedeterminate? 3. Ce este un sistem static nedeterminat? Ce este gradul de nedeterminare şi cum se

calculează acesta? 4. Cum se clasifică sistemele static nedeterminate? Dați câteva exemple de astfel de

sisteme. 5. Ce este sistemul de bază? Ce este un sistem static echivalent? 6. Ce metode cunoaşteți pentru ridicarea nedeterminării? 7. Ce avantaje prezintă simetria şi antisimetria asupra gradului de nedeterminare? 8. Care sunt etapele de calcul la ridicarea nedeterminării cu metoda eforturilor? 9. În ce condiții se poate aplica ecuația celor trei momente (Clapeyron)? 10. Care este semnificația termenilor δii, δij, δji, δi0 din ecuațiile canonice ale metodei

eforturilor? 11. Cum se calculează deplasările în cazul sistemelor de bare static nedeterminate?

53


1. Să se ridice nedeterminarea şi să se traseze diagramele de eforturi pentru structurile din figura 10.11.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g) h)

i)

Fig. 10.11 54


a)

b)

c) d)

Fig. 10.12


a) b)

c)

d)

Fig. 10.13

55

4. Să se ridice nedeterminarea şi să se traseze diagramele de eforturi pentru cadrele din figura 10.14.

a) b) c)

Fig. 10.14

5. Să se ridice nedeterminarea şi să se traseze diagramele de eforturi pentru structurile prezentate în figura 10.15.

a)

b)

c)

d)

Fig. 10.15

56

57

1111.. SSOOLLIICCIITTĂĂRRII DDIINNAAMMIICCEE

11.1. Considerații generale

În capitolele precedente s‐au studiat atât solicitările simple cât şi cele compuse produse de sarcinile aplicate static (lent). De asemenea s‐a considerat că elementul de rezistență sau structură, asupra căruia acționează sarcina statică, este fie în poziție de repaus, fie în mişcare rectilinie şi uniformă.

În general se consideră că sarcina este aplicată static când la aplicarea acesteia, în cel mai solicitat punct al secțiunii periculoase a ER, tensiunea nu creşte cu o viteză mai mare de 10 MPa/s (în anumite cazuri se admite o viteză de max. 30 MPa/s). În caz contrar sarcina se consideră aplicată dinamic. De asemenea, se consideră că un ER este solicitat dinamic când se află în mişcare, alta decât mişcarea de translație rectilinie şi uniformă şi iau naştere accelerații, sau în cazul în care sarcinile se aplică dinamic (cu şoc).

Folosind drept criteriu modul de variație a vitezei ER şi a sarcinilor aplicate, ER, solicitările dinamice se pot clasifica în trei grupe:

I. Solicitări prin forțe de inerție, produse de mişcarea ER cu accelerație mare, dar constantă sau cu variație lentă;

II. Solicitări prin şoc, produse de variația bruscă a vitezei ER sau de lovirea (ciocnirea) acestuia cu un corp în mişcare;

III. Solicitări variabile în timp, produse fie de variația periodică a tensiunilor, fie a deformațiilor ER. Aceste solicitări pot fi produse atât de mişcarea ER, astfel încât accelerația acestuia sa varieze ciclic cât şi de acțiunea unor sarcini a căror intensitate variază ciclic. În aceste cazuri se pot produce două fenomene diferite: oboseala şi vibrația sistemelor elastice.

11.2. Solicitări prin forțe de inerție

Problema esențială, în cazul solicitărilor prin forțe de inerție, este determinarea forțelor de inerție. Rezolvarea se bazează, cel mai frecvent, pe principiul lui D’Alembert (metoda cinetostatică). Conform acestui principiu un ER de masă m, aflat

în mişcare accelerată poate fi considerat în echilibru fictiv dacă se admite că pe lângă forțele exterioare (sarcini şi reacțiuni) mai este acționat şi de o forță de inerție.

Forța de inerție elementară, ce se produce datorită mişcării elementului de masă

dm, cu accelerația a , se obține din relația: dmaFd i ⋅−= , (11.1)

în care semnul minus arată că sensul forței de inerție este opus sensului accelerației. Forța de inerție este o forță masică, ce se distribuie uniform în toate punctele

corpului, proporțional cu valoarea accelerației punctului respectiv. Forța de inerție se ia în considerare în calculul rezistenței ca forță exterioară,

alături şi împreună cu celelalte forțe exterioare. Astfel, problema solicitării unui ER se reduce la o problemă de solicitare statică. Mai jos se dau câteva exemple din multiplele probleme din care reiese modul de rezolvare al acestora.

11.2.1. Calculul cablului de macara

Se consideră un cablu, de greutate q pe unitatea de lungime, de care este legat la

capătul inferior greutatea P, iar capătul superior este înfăşurat pe un tambur, acționat de un motor (fig.11.1). În momentul pornirii în sus a sarcinii, ansamblul sarcină‐cablu are accelerația circumferențială a tamburului a = R ⋅ εt, (εt ‐ este accelerația tangențială) dirijată în sus.

Datorită acestei accelerații în masa sarcinii se va produce o forță de inerție:

gaPa

gPaMFi ⋅=⋅=⋅= ,

iar în fiecare porțiune de lungime unitară a cablului o forță de inerție distribuită:

gaqa

gqamfi ⋅=⋅=⋅=

Fig. 11.1 Forța axială maximă, în secțiunea cea mai solicitată, aflată în punctul de contact

dintre cablul şi tambur, este:

)LqP()LqP(ga1LfFLqPN ii ⋅+⋅ψ=⋅+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⋅++⋅+= (11.2)

în relația (11.2) s‐a notat cu ψ mărimea:

ga1+=ψ (11.3)

58

numită coeficient dinamic. Tensiunea dinamică maximă, din secțiunea periculoasă este:

smax

ALqP

AN

σ⋅ψ=⋅+

⋅ψ==σ , (11.4)

unde, prin σS s‐a notat tensiunea statică maximă ce se produce în secțiunea periculoasă când macaraua se află în repaus sau în mişcare uniformă.

Condiția de rezistență ce trebuie respectată este:

ad σ≤σ . (11.5)

Observații: 1. Situația periculoasă de la pornire în sus poate avea loc şi la frânare la

coborâre, când accelerația este tot în sus. 2. Dacă lungimea cablului este mică astfel ca PL <<⋅γ , se ia în considerare

numai greutatea P a sarcinii.

11.2.2. Bară dreaptă în mişcare de rotație uniformă

Se consideră o bară dreaptă de

secțiune constantă A, ce are la un capăt un ax vertical, în jurul căruia se roteşte cu o viteza unghiulară .ct=ω (fig.11.2). Într‐un element de bară de lungime dr, situat la raza r de axa de rotație, se produce o forță de inerție elementară:

Fig. 11.2

drrgAdrA

g)r(dmadF

22

i ⋅⋅γ⋅⋅ω

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

γ⋅⋅ω=⋅= ,

în care γ este greutatea specifică a materialului barei. Intensitatea forței de inerție în lungul barei este:

rg

AdrdFf

2i

i ⋅⋅ω⋅γ

== ,

unde se observă că dacă bara este prismatică (A=const.) sarcina fi are o distribuție liniară.

Forța axială din secțiunea curentă, situată la distanța r este:

∫ ⋅⋅⋅γ⋅ω=

L

r

2 drrAg

N .

59

Pentru bara prismatică se obține expresia:

)rL(g2AN 22

2

−⋅⋅γ⋅ω

= ,

ce este o funcție parabolică, cu maximul, la îmbinarea barei cu butucul:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⋅

⋅γ⋅ω=

4dL

g2AN

22

2

max . (11.6.)

Dacă se pune problema ca bara sa fie de egală rezistență ( .ctAN

==σ ), din

condiția de echilibru dinamic al eforturilor pe cele două fețe ale unui element de bară din secțiunea r:

idFNdNN +=+ ,

respectiv,

rgdrAAdAA 2

aaa ⋅ω⋅⋅⋅γ

−⋅σ=⋅σ+⋅σ ,

rezultă:

drrgA

dAa

2

⋅⋅σ⋅ω⋅γ

−= ,

din care rezultă o funcție exponențială de variație a secțiunii:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

σ⋅

ω⋅γ−

⋅= 2dr1

g20

22

a

2

eAA , (11.7)

unde A0 este mărimea secțiuni în dreptul axei de rotație. Observații:

1. Dacă bara se roteşte în jurul unei axe verticale, datorită încovoierii acesteia sub greutatea proprie se produc tensiuni suplimentare, care nu pot fi neglijate când bara este lungă;

2. Dacă axa este orizontală, când bara trece prin poziția verticală inferioară, se produc tensiuni suplimentare, sub greutatea proprie, ce se însumează cu cele produse de forța centrifugă.

11. 2. 3. Solicitare de încovoiere produsă de forțe de inerție

11.2.3.1. Grinda rulantă

Unul din cazurile reprezentative de solicitare la încovoiere produse de forța de

inerție este reprezentat în figura 11.3. Grinda rulantă din figura 11.3 susține căruciorul

60

mobil cu dispozitivele de ridicat şi transportat. Atât la transportul cât şi la ridicarea sarcinii în timpul pornirii căruciorului pe grindă se produc accelerații, respectiv forțe de inerție. Când accelerațiile au valori mari, forțele de inerție sunt relativ mari şi nu pot fi neglijate. Aceste forțe de inerție sunt:

a. forța de inerție produsă de punerea în mişcare a sarcinii P şi a cablului la ridicare, a cărui valoare este:

ga)LqP(F r

i ⋅+= , (11.8)

b. forța de inerție produsă de pornirea căruciorului pe grinda rulantă:

gaGF t , (11.9) c

it⋅

=

în care ar ‐ este accelerația la ridicare; at ‐ accelerația de transport pe grindă, iar Gc‐ este greutatea căruciorului împreună cu sarcina P.

Forța de inerție verticală se însumează cu Gc şi solicită grinda la încovoiere simplă.

Forța de inerție longitudinală FiL, ce acționează în centrul de greutate al căruciorului, produce în grindă o solicitare compusă suplimentară: o solicitare axială şi una de încovoiere.

Fig. 11.3 Întrucât pentru fiecare instalație de ridicat şi transport se cunosc, din datele

tehnice ale instalației atât ar cât şi at se pot calcula cele două forțe de inerție. Acestea se iau în considerare ca sarcini ce acționează împreună cu cele statice (Gc, P, etc.) în scrierea funcțiilor de eforturi şi la determinarea secțiunii (secțiunilor) periculoase . În final se face un calcul de rezistență rezultat din problema respectivă.

11.2.3.2. Biela motoare

În cadrul mecanismului bielă‐manivelă (fig.11.4) biela transmite forța atât de la arborele motor la piston (la compresor) cât şi de la piston la arbore (la motor). Datorită mişcării bielei în planul figurii se produc accelerații, respectiv forțe de inerție de care trebuie ținut seama în calculul de rezistență.

61

În bielă accelerațiile sunt maxime

când aceasta este perpendiculară pe manivelă. În această poziție punctul A al

bielei are accelerația , iar

punctul B, are accelerația

2A Ra ω⋅=

4

AB LRaa ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅= .

Fig. 11.4

Întrucât în mod frecvent RL< 0 25, , aB aA< ⋅0 004, şi se poate neglija. De aceea

se poate admite că accelerațiile din bielă variază liniar, fiind normale pe axa bielei şi într‐o secțiune x, de la bolțul pistonului are valoarea:

LRxa

Lxa

2

Axω⋅⋅

=⋅= .

Intensitatea forței distribuite produsă de forța de inerție este:

LgxAR

dxdma

dxdFf

2xi

i ⋅⋅⋅⋅ω⋅γ

=⋅

== . (11.8)

Dacă biela are secțiunea constantă intensitatea forței de inerție variază liniar, ca şi accelerația ax, având valoarea maximă:

gARff

2

maxiiA⋅⋅ω⋅γ

== .

Această forță produce momentul maxim la 3Lx = de bolț (vezi aplicația 2.9.), a

cărui valoare se calculează cu relația:

g39ARL

39LfM

222iA

max ⋅⋅⋅⋅⋅ω⋅γ

=⋅⋅

= . (11.9)

Cu această valoare şi ținând seama şi de forța axială ce o transmite biela se face calculul de rezistență al acesteia.

11.2.4. Calculul aproximativ al volantului

Volantul este o coroană circulară, numită obadă, de secțiune constantă ce se

roteşte în jurul unei axe centrale normale pe planul median şi care este legată de butuc prin mai multe spițe. Calculul aproximativ al volantului se face neglijând masa spițelor

62

şi a butucului şi considerând grosimea obezii mică în raport cu raza medie R a volantului, (fig.11.5).

În baza acestor ipoteze în obada volantului, rotit cu viteza unghiulara ω constantă, vor acționa numai forțele de inerție. (Prin neglijarea masei spițelor s‐a înlăturat şi acțiunea acestora, ca forțe de legătură, asupra obezii). Forța de inerție elementară ce revine unui element de obadă (fig.11.5.b.) este:

Fig. 11.5

α⋅γ⋅ω⋅⋅=α⋅⋅⋅

γ⋅⋅ω=⋅= d

gRAdRA

gRdmadF 222

i ,

Din ecuația de proiecții a forțelor ce acționează asupra elementului, pe

bisectoarea unghiului dα (considerând 2d

2dsin α

≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α

) se obține:

gvA

gRA

ddFN 222i γ

⋅⋅=γ⋅ω⋅⋅=

α= , (11.10)

în care: A ‐ este aria secțiunii transversale a obezii şi ω⋅=Rv este viteza liniară a centrului de greutate a secțiunii (de rază R).

Tensiunea normală, constantă pe secțiune se obține din:

222 vg

RgA

N⋅

γ=ω⋅⋅

γ==σ , (11.11)

relație ce nu depinde de aria secțiunii obezii, astfel că se utilizează numai pentru verificare şi capacitate de încărcare. Capacitatea de încărcare constă în determinarea vitezei maxime cu relația:

γσ⋅

= amax

gv . (11.12)

Obada volantului se dimensionează în funcție de energia cinetică ce trebuie să o acumuleze volantul şi se face verificarea acesteia cu una din relațiile (11.11) sau (11.12).

Sub acțiunea forțelor de inerție obada se lungeşte cu:

EgvR2

ER2L

2

L ⋅⋅γ⋅⋅π

=σ⋅⋅π=ε⋅=Δ , (11.13)

şi raza creşte cu:

EgvR

2R

2L

⋅⋅⋅γ

=π

Δ=Δ . (11.14)

63

În calculul de rezistența nesimplificat se ține cont atât de efectul spițelor cât şi de grosimea obezii. Ținând seama de efectul spițelor, volantul trebuie analizat ca o structură static nedeterminată, axial simetrică şi în secțiunea curentă se vor determina eforturile N, T şi M, ce produc o repartiție neuniformă a tensiunii pe grosimea obezii.

Aplicația 11.1. Să se dimensioneze cablul unui ascensor ce ridică o sarcină de 50 kN, cu viteza de 2 m/s, ştiind că atinge această viteză pe distanța de 0,2 m, iar cablul este din oțel cu σr = 1400 MPa şi coeficientul de siguranță c0 = 8.

Rezolvare:

Din relațiile 2tah2⋅

= şi ( )

2vva 0−

= se obține accelerația mişcării:

2

22

sm10

2.022

h2va =

⋅== .

Forța axială în cablu, neglijând greutatea acestuia, este:

N P ag

kN= ⋅ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⋅ +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟=1 50 1 10

9 81101

,.

Secțiunea necesară a cablului rezultă:

A N c mmnecr

=⋅

=⋅ ⋅

=03

2101 10 81400

579 1σ

,

Se alege un cablu 6×37 fire cu diametrul de 1,8 mm, având forța de rupere , pentru care se obține coeficientul de siguranță: kN790Nr =

619,705,1c82,7

101790

NNc 0r =>=== .

Aplicația 11.2. Să se calculeze turația maximă cu care se poate roti un volant din

fontă MPa25,mkN77 a3 =σ=γ , dacă are diametrul mediu al obezii .

Să se determine cu cât se măreşte diametrul la turația adoptată.

m8,4R2D ==

Rezolvare: Ținând seama de relația (11.12) se obține:

minrot6,224

1077259810

240030

Rg3030n 62

a ==⋅⋅

π⋅=

⋅γσ⋅

⋅π

=ω⋅π

= − .

Se adoptă: n=225 rot/min. În acest caz, viteza medie este:

sm55,56

304,2225R

30nRv =

⋅⋅π=⋅

⋅π=⋅ω= ,

iar din formula 11.14 se obține:

mm5737,0101,2981056550240010772

Egvr2R2D 5

262

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅γ

=Δ⋅=Δ−

.

64

11.3. Solicitări produse prin şoc

Solicitarea prin şoc a unui ER este produsă de lovirea acestuia cu un corp sau de lovirea acestuia de un corp în repaus. Durata contactului între corpurile ce se lovesc este

foarte scurtă, de ordinul 42 10...10 −− secunde. Datorită timpului foarte scurt, în care

viteza relativă a corpului față de ER scade la zero, se produc forțe de contact ce cresc brusc de la zero la o valoare foarte mare şi apoi scad din nou la zero. Forța dinamică, provocată de ciocnire, produce o solicitare locală foarte mare. Aceasta se propagă prin unde elastice în toată masa corpurilor ce se lovesc. Intensitatea undei scade o dată cu mărirea distanței de la locul ciocnirii.

Studiul stării reale de solicitare produsă în jurul punctului de impact este foarte complicat şi nu poate avea loc în cadrul disciplinei de rezistența materialelor. Dacă se neglijează fenomenul local şi se admit unele ipoteze simplificatoare ale fenomenului, se pot stabili relații simple de calcul a tensiunilor şi a deformațiilor.

Aceste ipoteze sunt: − Solicitarea prin şoc poate fi asimilată unei solicitări statice prin

considerarea că întreaga energie cinetică se transformă în energie de deformație ce se acumulează în volumul elementului de rezistență;

− Deplasările din locul lovit (a axei şi a secțiunii) au direcția mişcării corpului care loveşte, sunt liniar elastice şi se consideră că acestea se obțin prin aplicarea statică a unei forțe dinamice Fd, egală cu cea care produce şocul;

− Deformațiile elementului de rezistență sunt proporționale cu mărimea forței dinamice şi coincid ca direcție cu unicul grad de libertate a elementului de rezistență;

− Corpul care loveşte este perfect rigid; − Pe durata şocului cele două corpuri rămân în contact; − Viteza corpului care loveşte este inferioară vitezei undei de şoc, iar durata

şocului este superioară duratei propagării acestor unde în tot volumul corpului lovit. În baza acestor ipoteze deplasările dinamice (δ), tensiunile dinamice (σ, τ) şi

eforturile dinamice (N, T, M, Mt) din elementul de rezistență lovit se pot exprima prin funcții liniare de mărimile similare statice prin relații de forma:

sδ⋅ψ=δ , sσ⋅ψ=σ , sτ⋅ψ=τ , sNN ⋅ψ= , sMM ⋅ψ= (11.15)

Mărimile δS, σS, τS, NS, MS,.., corespund acțiunii statice a forței dinamice Fd, ce acționează asupra ER în locul şi pe direcția corpului care loveşte (sau de care se loveşte),

65

iar Ψ este un coeficient dinamic numit multiplicator de impact fără dimensiuni şi este supraunitar.

11.3.1. Solicitare axială prin şoc

Se consideră o bară verticală prismatică (fig.11.6) încastrată la capătul superior,

pe care se poate mişca fără frecare un disc de greutate P, ce este împiedicat să iasă de talerul inferior.

Bara are mărimile A, L, E constante şi greutatea acesteia se neglijează față de cea a discului.

Lăsând discul să cadă de la înălțimea h, față de taler produce un şoc la contactul cu talerul. În momentul lovirii se consideră că discul şi talerul îşi continuă drumul cu o viteză încetinită întinzând bara. Mişcarea se opreşte când forța elastică ajunge să fie egală cu cea produsă de şoc.

În acest moment alungirea barei δ, numită alungire dinamică, este maximă. Tot maximă este în acel moment forța de interacțiune dintre disc şi opritor, numită forță dinamică Fd = N. Fig. 11.6

În continuare, datorită forței elastice, deplasarea îşi schimbă sensul şi împreună cu ea şi forța axială. Acestea devin egale cu zero şi apoi de sens contrar, talerul oscilând în jurul poziției inițiale (de echilibru elastic). În momentul trecerii înapoi prin poziția inițială de repaus a talerului, discul se desprinde de taler şi ar trebui să se ridice la înălțimea h, însă datorită pierderilor inevitabile de energie (sub formă de căldură, etc.), discul se ridică numai la înălțimea h’ < h, de la care cade din nou pe taler. Procesul se repetă până când mişcările discului şi ale talerului se amortizează în poziția de repaus. În acest caz, discul aflat pe taler lungeşte bara cu:

AELP

s ⋅⋅

=δ . (11.16)

Lucrul mecanic efectuat de disc în mişcarea sa din momentul căderii sale de la înălțimea h, până în momentul opririi sale, după alungirea barei cu δ este:

( δ+⋅= hPL ) .

Acest lucru mecanic se consideră că este în întregime înmagazinat de bară sub formă de energie de deformație.

Expresia energiei potențiale de deformație este:

66

L2AE

AE2LN

AELNN

21N

21U

22 ⋅⋅δ=

⋅⋅

=⋅⋅

⋅=δ⋅= .

Din egalitatea U = L se obține:

)h(PL2AE2 δ+⋅=⋅

⋅δ ,

respectiv:

0AELPh2

AELP22 =

⋅⋅

⋅−⋅⋅⋅δ

−δ ,

şi ținând seama de relația (11.16) se obține ecuația de gradul doi:

0h22 SS2 =δ⋅−δ⋅δ−δ ,

din care rezultă:

SSS

h211 δ⋅ψ=δ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛δ

++=δ . (11.17)

Soluția negativă a ecuației de gradul doi nu are sens fizic. În relația de mai sus s‐a notat cu:

S

h211δ

++=ψ ,

factorul dinamic sau multiplicatorul de impact, definit prin relația (11.15). Ținând seama că în momentul atingerii talerului viteza discului se poate determina cu expresia

hg2v0 ⋅= , factorul dinamic poate fi scris astfel:

S

20

S gv11h211δ⋅

++=δ

++=ψ (11.18)

Factorul dinamic ia valori mari datorită valorilor mici ale deplasării statice (δS) în comparație cu înălțimea de cădere (h).

În cazul în care discul se aplică brusc pe taler fără înălțime de cădere (h → 0), din relația 11.18 rezultă:

2min =ψ (11.18a)

adică efectul unei sarcini aplicate brusc este cel puțin dublu față de cel al sarcinii aplicate static (lent).

Dacă raportul 10hS

≥δ

, factorul dinamic se poate calcula cu formula simplificată:

SS gv1h21δ⋅

+≈δ

+≈ψ , (11.18b)

67

făcând o eroare mai mică de 5%. Când 400h2S

≥δ

, se poate utiliza tot cu o eroare de

sub 5%, formula:

S

0

S gvh2δ⋅

=δ

≈ψ . (11.18c)

Tensiunea maximă din bara solicitată axial prin şoc rezultă:

SS AP

LE

AELP

LE

LEE σ⋅ψ=⋅ψ=⋅ψ⋅

⋅⋅

=⋅δ⋅ψ=⋅δ

=⋅ε=σ . (11.19)

Calculul de rezistență al barei solicitate axial are la bază formula:

aS AP

LPAEh211 σ≤⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⋅

++=σ⋅ψ=σ . (11.20)

Din relația de mai sus se obține relația de dimensionare:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σ⋅+⋅

σ=

aamec

ELh1P2A (11.21)

Formula (11.14) pentru factorul dinamic a fost dedusă fără a se ține seama de greutatea barei, respectiv de faptul că după lovire aceasta are o mişcare de amplitudine δ la capătul liber şi care descreşte în lungul barei până la zero în încastrare. Această mişcare se execută consumând o parte din lucrul mecanic, deci reducând efortul şocului. Din bilanțul energetic se deduce următoarea formulă pentru factorul dinamic:

GkPPh211

S ⋅+⋅

δ⋅

++=ψ (11.22)

în care G este greutatea barei şi k = 1/3 este coeficientul de reducere a greutății barei la locul unde se produce lovitura.

11.3.2. Solicitare la încovoiere prin şoc

Procedând în mod similar ca la solicitarea axială se poate deduce aceeaşi relație

(11.18) pentru factorul dinamic. În acest caz, însă, deplasarea statică reprezintă săgeata statică a secțiunii lovite a grinzii, pentru cazul în care sarcina P este aplicată static în acea secțiune. Astfel, pentru grinda în consolă (fig.11.17,a) când sarcina P cade pe capătul liber

z

5

S IE3LPv⋅⋅

==δ ,

68

iar pentru grinda simplu rezemată (fig.11.17b), lovită de sarcina P la mijlocul deschiderii

δS Lz

v P LE I

= =⋅⋅⎛

⎝⎜⎞⎠⎟2

3

48.

Pentru determinarea coeficientului de impact se consideră bara din figura (11.7,b) de rigiditate constantă, simplu rezemată cu deschiderea L şi asupra căreia cade o sarcină P de la înălțimea h.

Fig. 11.7 Forța dinamică creată prin ciocnire produce o solicitare dinamică Q care va

conduce la apariția în bară a unui efort dinamic x2QMd ⋅= . După ciocnire apare un

proces de oscilație în jurul poziției de echilibru până la amortizarea în poziția de repaus. În acest caz săgeata barei va fi:

z

3

s IE48LP⋅

⋅=δ .

Lucrul mecanic efectuat de sarcina P în mişcarea sa din momentul căderii de la înălțimea h, până în momentul opririi va fi:

)h(PL δ+⋅= .

Acest lucru mecanic se consideră că se acumulează în întregime în volumul elementului sub formă de energie de deformație.

În acest caz expresia energiei va fi:

3z2

3z

2

z

32L

0 z

32

z

2

L z

2

LIE24

LIE24

IE48LQ

IE96LQdx

IE2

x2Q

2IE2dxMU ⋅

⋅δ=⋅

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

=⋅⋅

=⋅⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

=⋅⋅

= ∫∫ ,

deoarece z

3

IE48LQ⋅⋅

=δ (vezi anexa 13).

Din egalitatea L = U rezultă:

23

z

LIE24)h(P δ⋅⋅

=δ+ ,

sau:

0hIE24LQ

IE24LQ

z

3

z

32 =⋅

⋅⋅

−δ⋅⋅⋅

−δ ,

respectiv se obține ecuația de gradul II:

69

0h22 ss2 =⋅δ−δ⋅δ−δ .

Soluția compatibilă cu problema va fi:

sss

h211 δ⋅ψ=δ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛δ

++=δ ,

unde:

s

20

s gv1h211δ⋅

+=δ

++=ψ .

Se observă că se obține aceeaşi relație a coeficientului de impact ca şi la solicitările axiale, cu observația că este deplasarea punctului de impact, pe direcția şi sensul

sarcinii aplicate, determinate la încovoiere sub acțiunea statică a sarcinii P. Observațiile făcute la § 11.3.1 referitoare la coeficientul de impact, rămân valabile.

δ s

După determinarea coeficientului ψ cu una din formulele (11.14) tensiunea maximă, respectiv deplasarea secțiunii lovite, se determină cu relațiile:

z

maxs W

M⋅ψ=σ⋅ψ=σ , sδ⋅ψ=δ (11.23)

Coeficientul de reducere a greutății barei la locul de lovire este k = 33/140 pentru grinda în consolă lovită în capătul liber şi k = 17/35 pentru grinda simplu rezemată.

11.3.3. Solicitare de răsucire prin şoc

Elementele de rezistență aflate în mişcare de rotație (ex. arborii), sunt solicitate prin

şoc atunci când sunt frânate brusc sau când sunt acționate la răsucire de momente dinamice. În figura 11.8 s‐a reprezentat un arbore cu dimensiunile L şi d care are la un capăt

un volant, iar la celălalt capăt un cuplaj F. Acesta se roteşte cu viteza unghiulară ω, iar volantul are momentul de inerție masic J. Se consideră că arborele se roteşte numai datorită inerției volantului.

Fig. 11.8

Dacă prin cuplajul F se imobilizează brusc arborele, volantul mai continuă să se rotească un timp foarte scurt, până când întreaga energie cinetică a sistemului se acumulează sub formă de energie de deformație în volumul arborelui. Mişcarea volantului se reia în sens invers şi se amortizează cu timpul.

70

Din egalitatea U = Ec scrisă sub forma:

2

p

2t J

21

IG2LM

ω⋅=⋅⋅

,

rezultă momentul de răsucire dinamic:

LIJG

M pt

⋅⋅⋅ω= . (11.24)

Tensiunea dinamică maximă produsă în arbore de momentul de torsiune dinamic este:

VJG2

L4d

JG2WI

LJG

WM

22p

p

p

t ⋅⋅ω=

⋅⋅π

⋅⋅ω=⋅

⋅⋅ω==τ . (11.25)

Din formula (11.25) se observă că tensiunea tangențială dinamică depinde de volumul V al arborelui. Cu cât volumul acestuia este mai mare cu atât tensiunea tangențială dinamică este mai mică.

Momentul de inerție masic, în cazul volantului sub formă de disc este:

g8DPJ

2⋅= ,

iar în cazul unei obade (cilindru gol):

( )g8

dDPJ22 −⋅

= .

Aplicația 11.3. Să se verifice sistemul de bare din figura 11.9. din oțel, dacă σc = 200 MPa.

Rezolvare: Eforturile statice maxime în cele două

bare sunt:

,kN65,759TN 3221 =⋅

== −− Fig. 11.9

kN155,755,29M3 =⋅⋅

= .

Tensiunile statice maxime produse în cele două bare de forța axială şi respectiv de momentul încovoietor sunt:

MPa05,531260004

AN

2NS =⋅π⋅

==σ ,

71

MPa09,70102141015

WM

3

6

z

iMS =

⋅⋅

==σ .

Deplasările pe verticală ale secțiunilor 2 şi 3 sunt:

mm263,1210000

500005,53ELv S2 =

⋅=⋅σ= ,

.mm75,147500102140101,23

50002500900075263,150

LIE3baP

75v50v 45

22

z

222

3 =⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅+

⋅=

⋅⋅⋅⋅

+⋅

=

Factorul dinamic este:

8,1375,14

1200211h211S

=⋅

++=δ

++=ψ .

Tensiunile dinamice maxime în cele două bare rezultă: MPa1,73205,538,13NSN =⋅=σ⋅ψ=σ ,

MPa2,96709,708,13MSM =⋅=σ⋅ψ=σ .

În ambele cazuri se depăşeşte limita rezistenței admisibile şi în acest caz se propun următoarele soluții:

a. Reducerea sarcinii la cea capabilă pentru sistem:

kN861,12,967

2009PPMS

acap =

⋅=

σσ

⋅= ,

deci: P ≤ 1,8 kN. b. Reducerea înălțimii de la care poate să cadă sarcina inițială:

,mm96,17275,1411

09,70200

211h

2S

2

MS

a =⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

δ⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

σσ

=

deci: h ≤ 18 mm. c. Rezemarea elastică a sistemului de bare, printr‐un sistem de arcuri care să

aibă deplasarea sub sarcină:

.mm7,97075,1411

09,70200

12002v11

h2232

MS

a

=−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅=−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

σσ

=δ ,

respectiv sistemul de arcuri să aibă constanta elastică:

mmN27,9

7,9709000Pk ==

δ= .

Aplicația 11.4. Să se stabilească ce se poate întâmpla cu bara din OL 37, având d = 50 mm, L = 800 mm, ce este strunjită la turație n = 600 rot/min şi accidental cuțitul se înfige la capătul opus universalului astfel încât blochează mişcarea. Se va lua în

72

considerare numai energia cinetică a universalului având diametrul D = 250 mm şi greutatea P = 200 N.

Rezolvare:

222

smmN3,15998108250200

g8DPJ ⋅⋅=

⋅⋅

=⋅

= ,

322

mm1571000480050

4LdV =

⋅⋅π=

⋅⋅π= ,

.MPa7,2541571000

3,15981000230

600VJG2max =

⋅⋅⋅

π⋅=

⋅⋅ω=τ

Neglijând efectul cuplului motor şi energiile cinetice ale celorlalte elemente în

mişcare, bara suferă deformații plastice permanente inadmisibile. Luând în considerare toate efectele sau pentru L > 800 bara se rupe.

11.4. Întrebări ‐ test 1. Cum se clasifică solicitările dinamice? 2. Cum se fac calculele la solicitări dinamice datorate forțelor de inerție? 3. Ce este coeficientul dinamic? 4. La ce solicitare este supus un volant (considerat fără spițe şi butuc) aflat în mişcare

de rotație uniformă? 5. Care este secțiunea cea mai solicitată a unei bare drepte aflată în mişcare de rotație

uniformă? 6. Care trebuie să fie poziția reciprocă a bielei şi manivelei, astfel încât forța de inerție

să fie maximă? 7. Cum se calculează turația critică a unui arbore aflat în mişcare de rotație? 8. Ce metode cunoaşteți pentru efectuarea calculului la şoc? 9. Cum influențează volumul barei tensiunea dinamică dintr‐o bară solicitată la

încovoiere. Dar la întindere? 10. Care sunt factorii care determină creşterea tensiunii într‐o bară supusă la întindere

prin şoc? Dar la compresiune? Dar la încovoiere? 11. Cum influențează lungimea barei tensiunea dinamică la solicitarea de încovoiere? 12. Scrieți şi comentați formula lui ψ la şoc. 13. Cum influențează masa corpului lovit solicitarea prin şoc?

73


1. Cu ce viteză poate atinge mijlocul unei bare drepte simplu rezemate lungă de 5 m, confecționată din profil I20 (Iz = 2140 cm4) o sarcină P = 3 kN dacă σa = 200 MPa.

2. Să se determine tensiunea ce ia naştere în bara din figura 11.10, dacă pe capătul în consolă al acesteia cade de la o înălțime h = 100 mm o greutate P = 3 kN. (Iz = 1450 cm4).

3. Să se determine tensiunea maximă ce ia naştere în bara din figura 11.11, confecționată din profil I20, (Iz = 2140 cm4), dacă sarcina P = 8 kN atinge bara cu o viteză de 0,4 m/s.

Fig. 11.10 Fig. 11.11

4. Tensiunea într‐un cablu ce ridică o greutate de 5 kN este de 100 MPa. Se cere să se determine cu cât creşte tensiunea în acest cablu dacă viteza de coborâre scade de la 4m/s la 0 în 0,5 s.

5. Să se determine înălțimea maximă de la care poate să cadă o greutate P=2 kN pe bara curbă din figura 11.12, dacă materialul din care este confecționată bara are σa=200 MPa.

Fig. 11.12

74

6. Să se determine tensiunea maximă ce ia naştere într‐un arc elicoidal ce are următoarele dimensiuni: d = 12 mm; D = 80 mm; n = 16 spire; confecționat din oțel cu G=81 GPa, dacă pe acesta cade o greutate P = 1 kN de la o înălțime h = 100 mm.

7. Să se determine forța de inerție maximă ce ia naştere într‐o bară lungă de 1 (un) metru, care are aria secțiuni transversale A = 20 mm2, este confecționată dintr‐un material cu greutatea specifică γ = 78,5 kN/m3 şi se roteşte cu o turație n = 300 rot/min în jurul unei axe normale pe axa proprie, la unul din capete.

8. Să se determine înălțimea maximă de la care poate să cadă o sarcină Q = 400 N pe bara din figura 11.13 fără ca tensiune din bară să depăşească valoarea σa = 200 MPa.

Fig. 11.13 Fig. 11.14

9. Să se verifice elementele sistemului din figura 11.14 dacă sarcina Q = 800 N cade de la înălțimea h = 60 mm. Caracteristicile arcului sunt: D = 76 mm, d = 12 mm, n = 27 spire, iar tensiunile admisibile ale grinzii şi respectiv ale arcului sunt σa = 150 MPa şi τa = 300 MPa.

10. Să se determine tensiunea maximă ce ia naştere într‐un arc cu: D = 70 mm, d = 6 mm, n = 20 spire şi H = 300 mm, precum şi înălțimea maximă de la care trebuie să cadă o sarcină Q = 100 N pentru a comprima arcul spiră pe spiră. Se cunoaşte că τa = 400 MPa

11. Să se determine înălțimea maximă de la care poate să cadă o sarcină Q = 3 kN pe bara din figura 11.15, dacă aceasta este confecționată din oțel cu σa = 150 MPa.

Fig. 11.15

75

77

1122.. CCAALLCCUULLUULL DDEE RREEZZIISSTTEENNȚȚĂĂ LLAA SSOOLLIICCIITTĂĂRRII VVAARRIIAABBIILLEE

12.1. Generalități

Elementele de rezistență nu rezistă la fel de bine la solicitări variabile în timp, ca şi la solicitări statice. Astfel au apărut ruperi premature la multe organe de maşini ca: arbori cotiți, roți dințate, arcuri de supapă, bolțuri de piston, etc., aparent bine dimensionate cu relațiile clasice ale rezistenței materialelor. Ruperile s‐au produs la tensiuni mult mai mici decât tensiunea corespunzătoare limitei de curgere sau limitei de rupere pentru solicitarea statică. Aceste ruperi s‐au numit impropriu, ruperi la oboseală, ca şi cum materialul ar fi obosit la solicitarea variabilă, datorită preluării şi cedării de foarte multe ori într‐un timp scurt a energiei de deformație.

S‐a observat că ruperea apare după un număr cu atât mai mic de variații ale solicitării cu cât tensiunea maximă din secțiunea periculoasă are o valoare mai mare. Dacă însă tensiunile produse au valori relativ mici, atunci ruperea la oboseală nu se produce nici după un număr foarte mare de variații ale solicitării.

Comparativ cu ruperile produse prin solicitări statice, ruptura la oboseală are un aspect specific (fig. 12. 1). În secțiunea de rupere se disting două zone, o zonă lucioasă şi o zonă grăunțoasă, cu cristale ascuțite, rezultate dintr‐o rupere casantă, produsă în mod brusc.

Ruperea la oboseală se produce în zona tensiunilor mari, unde anumiți factori constructivi sau tehnologici, cum ar fi concentratorii de tensiune, conduc la început la apariția de microfisuri. Aceste microfisuri se adâncesc datorită variației solicitării. Contactul dintre suprafețele rezultate prin fisurare conduce la apariția zonei lucioase în secțiunea de rupere.

Fig. 12.1 Prin propagarea fisurii secțiunea se micşorează şi la un moment dat conduce la

ruperea bruscă şi astfel apare zona grăunțoasă în zona de rupere. La explicarea ruperilor la oboseală trebuie avut în vedere şi faptul că relațiile de

calcul stabilite până acum, se bazează pe ipoteza mediului continuu şi pe ipoteza izotropiei. Din examinarea mai atentă a materialelor se constată că aceste ipoteze nu concordă cu realitatea. Astfel, metalele utilizate în construcția de maşini sunt anizotrope

şi neomogene. Ele conțin pori, incluziuni nemetalice, grupuri de cristale orientate diferit, ceea ce constituie concentratori de tensiune deosebit de periculoşi, în cazul solicitărilor variabile.

Din cauza neomogenității materialelor distribuția tensiunilor din secțiunile elementelor de rezistență diferă de cea rezultată din relațiile de calcul ale tensiunilor deduse pentru materiale omogene şi izotrope. Distribuția reală a tensiunilor prezintă abateri, vârfuri de tensiune, față de cea teoretică. Aceste vârfuri de tensiune pot constitui cauza microfisurilor care conduc la ruperea la oboseală.

Pe baza acestor constatări s‐au elaborat metode de calcul pentru solicitările variabile în timp care se aplică în mod special la calculul de rezistență al organelor de maşini.

12.2. Clasificarea solicitărilor variabile în timp

În majoritatea cazurilor, în dreptul unui punct dintr‐un organ de maşină tensiunea prezintă o variație periodică între aceleaşi valori maxime σmax (sau τmax) şi minime σmin (respectiv τmin).

Această variație poate fi asimilată cu o sinusoidă ca în figura 12.2. având ecuația:

Fig. 12.2 tsinam ω⋅σ+σ=σ , (12.1)

unde: ω constituie pulsația variației periodice, iar t timpul. Variația tensiunii pe durata unei perioade formează un ciclu de tensiune.

Elementele caracteristice ale unui ciclu de tensiune sunt:

− tensiunea maximă: ammax σ+σ=σ ,

− tensiunea minimă: ammin σ−σ=σ ,

− tensiunea medie: ( )

2minmax

mσ+σ

=σ , (12.2)

− amplitudinea tensiunilor: ( )

2minmax

aσ−σ

=σ ,

− coeficientul de asimetrie: max

minSR

σσ

= .

Valoarea coeficientului de asimetrie defineşte natura unui ciclu de tensiune. Ciclurile cu acelaşi coeficient de asimetrie se numesc cicluri asemenea.

78

În funcție de valoarea coeficientului de asimetrie se disting următoarele tipuri de solicitări:

a. solicitare statică, dacă tensiunea îşi menține valoarea constantă;

1R,0, amminmax +==σσ=σ=σ ;

b. solicitarea oscilantă, când tensiunea în timpul solicitării îşi păstrează semnul:

0max

min >σσ

sau ; 1R0 <<

c. solicitarea pulsantă, dacă una din tensiunile limită este egală cu zero:

0;2 minmax

am =σσ

=σ=σ ,sau 0R = ;

d. solicitarea alternantă, dacă tensiunea îşi schimbă semnul:

0max

min <σσ

, 0R1 <<− ;

e. solicitarea alternant simetrică, dacă tensiunile limită au aceeaşi valoare, dar de semn contrar:

1R,0; maminmax −==σσ=σ−=σ .

Solicitarea statică, oscilantă şi pulsantă pot fi pozitive sau negative după cum tensiunea σm este de întindere sau de compresiune.

Fig. 12.3 Stările de solicitare variabilă cu tensiuni tangențiale sunt caracterizate prin

aceleaşi elemente ca şi stările de tensiuni normale. Clasificarea prezentată mai sus în dependență de coeficientul de asimetrie este aplicabilă şi în cazul tensiunilor tangențiale.

79

12.3. Rezistența la oboseală

Determinarea rezistenței materialelor supuse la solicitări variabile se face prin încercări pe maşini special construite. Există maşini universale de tracțiune, dotate cu pulsatoare care pot realiza orice solicitare variabilă simplă. S‐au construit şi maşini speciale care dezvoltă numai o anumită solicitare variabilă.

Se utilizează mult maşinile care realizează solicitarea de încovoiere alternant ‐ simetrică. Aceste maşini folosesc pentru încercare epruvete de secțiune circulară (fig. 12.4,a) solicitate la încovoiere alternant simetrică, într‐o mişcare de rotație (fig.12.4,b).

Fig. 12.4

Astfel, în timpul mişcării de rotație a epruvetei tensiunea normală din dreptul unui punct oarecare îşi schimbă valoarea după un ciclu de solicitare alternant ‐ simetric. Viteza unghiulară constantă a unui punct M situat într‐o poziție oarecare, determinată de unghiul ϕ este:

tϕ

=ω ,

iar ordonata lui instantanee:

tsin2dsin

2dy ⋅ω⋅=ϕ⋅= ,

Tensiunea din dreptul punctului M se calculează cu relația lui Navier:

tsindLP32

IyM

3z

⋅ω⋅⋅π⋅

=⋅

=σ , (12.3)

80

tensiune alternant simetrică şi care are amplitudinea:

3maxa dLP32

⋅π⋅

=σ=σ ,

iar tensiunea normală medie este egală cu zero (σm = 0). Pentru stabilirea comportării materialului la solicitare variabilă se confecționează

mai multe epruvete identice (20...30 buc.) care se încarcă la diferite forțe şi apoi se rotesc până la rupere. Se constată astfel că epruvetele încărcate cu forțe mai mari se rup la un număr mai mic de rotații decât cele încărcate cu forțe mai mici. Astfel, o epruvetă se rupe după n1 rotații, dacă ea este încărcată cu o forță care în secțiunea periculoasă produce o tensiune σ1. La o tensiune σ2 ruperea apare după n2 rotații, pentru σ3 la n3, ş.a.m.d. Valorile astfel obținute se înscriu într‐o diagramă σmax= f(n), iar punctele astfel rezultate se pot uni printr‐o curbă continuă (fig. 12.5). Curba obținută pentru oțel, se apropie asimptotic de o valoare denumită rezistența la oboseală.

Diagrama astfel trasată poartă denumirea curbă de durabilitate sau curba lui Wöhler.

Deci, rezistența la oboseală (notată σ‐1 pentru R = ‐1) este cea mai mare valoare a tensiunilor maxime a ciclurilor la care epruveta nu se rupe oricât de mare ar fi numărul de cicluri. De obicei se limitează durata încercării şi în acest scop se adoptă un număr de 5x107 .. 108 cicluri. Fig. 12.5

Rezistența la oboseală (notată în general cu σR) depinde de natura solicitării variabile, exprimată prin valoarea coeficientului de asimetrie. Ca urmare se atribuie în notație, ca indice, coeficientul de asimetrie al ciclului corespunzător rezistenței la oboseală. Astfel, se notează cu σ‐1 rezistența la oboseală în cazul ciclului alternant simetric, σ0 ‐ rezistența la oboseală în ciclul pulsant şi σ0,4 ‐ rezistența la oboseală a materialului cu coeficientul de asimetrie R = 0,4.

In tabelul 12.1 se dau valori ale rezistențelor la oboseală pentru câteva oțeluri mai des utilizate în practică.

Întrucât în tabele nu se dau rezistențele la oboseală pentru toate materialele şi toate tipurile de solicitări, iar încercarea necesită un număr foarte mare de epruvete şi timp foarte îndelungat, pentru determinarea rezistențelor la oboseală se pot utiliza unele relații empirice, în funcție de rezistența la rupere astfel:

( ) r1 5,04,0 σ⋅−≈σ− , pentru oțel la încovoiere,

( r1 5,025,0 σ⋅−≈σ− ) , pentru metale neferoase, 81

( ) 1t1 8,07,0 −− σ⋅−≈σ , la tracțiune‐compresiune,

( ) 11 8,06,0 −− σ⋅−≈τ , la torsiune,

( ) 10 6,15,1 −σ⋅−≈σ , pentru ciclul pulsant,

( ) 10 28,1 −τ⋅−≈τ , pentru ciclul pulsant la torsiune.

Tabelul 12.1

σr

[MPa]

σ‐1t

tracțiune‐compresie [MPa]

σ‐1

încovoiere [MPa]

τ‐1

torsiune [MPa]

320 ‐ 420 120 ‐ 150 160 ‐ 220 80 ‐ 120

400 ‐ 500 120 ‐ 160 170 ‐ 220 100 ‐ 130

480 ‐ 600 170 ‐ 210 200 ‐ 270 110 ‐ 140

600 ‐ 750 190 ‐ 250 250 ‐ 340 150 ‐ 200

700 ‐ 850 – 310 ‐ 380 170 ‐ 230

850 ‐ 1050 – 400 ‐ 450 210 ‐ 260

1050 ‐ 1250 – 450 ‐ 500 250 ‐ 300

1250 ‐ 1450 – 500 ‐ 600 280 ‐ 350

Dacă se urmăreşte a stabili exact modul de comportare la solicitări variabile a anumitor elemente de rezistență încercările la oboseală se fac direct pe aceste elemente.

12.4. Diagrame ale rezistențelor la oboseală

Diagramele rezistențelor la oboseală permit trasarea şi citirea valorii rezistențelor la oboseală în dependență de natura ciclului de solicitare variabilă, exprimat prin coeficientul de asimetrie. Se impune folosirea lor atunci când prin coeficientul de asimetrie, ciclului este oarecare.

Cel mai frecvent utilizate sunt diagramele în coordonate σm şi σa (diagrama de tip Haigh) şi diagramele în coordonate σm şi σmax, σmin (diagrame de tip Smith).

În figura 12.6 este reprezentată o diagramă în coordonate σm şi σa. Un punct oarecare M (σm, σa) defineşte complet ciclul de solicitare. Coordonatele punctului permit să se calculeze şi celelalte mărimi ale ciclului de tensiune:

Fig. 12.6

82

,ammax σ+σ=σ ,ammin σ−σ=σ şi am

amRσ+σσ−σ

= .

Curba A‐B‐C este curba ciclurilor limită sau curba rezistențelor la oboseală, a epruvetei. Punctele de pe curbă reprezintă solicitări pentru care coeficientul de siguranță este egal cu 1. Un punct M situat sub curba ciclurilor limită reprezintă un ciclu de tensiune nepericulos, pe când orice punct N situat în exteriorul diagramei conduce la ruperea epruvetei. Un punct L reprezintă o rezistență la oboseală a epruvetei corespunzătoare unui anumit coeficient de asimetrie R:

.aLmLR σ+σ=σ (12.5)

Locul geometric al ciclurilor asemenea, deci al ciclurilor cu acelaşi coeficient de asimetrie, este o dreaptă ce trece prin originea sistemului de referință. Pentru a demonstra aceasta, din expresia coeficientului de asimetrie:

am

amRσ+σσ−σ

= ,

se exprimă amplitudinea tensiunilor:

ma R1R1

σ⋅+−

=σ ,

şi se observă că s‐a obținut ecuația unei drepte ce trece prin origine, în cazul în care R = constant. Această dreaptă are panta:

R1R1tg

+−

=α (12.6)

Pentru cazurile particulare: − R = +1, rezultă ϕ = 0, ceea ce arată că axa absciselor este locul geometric al

solicitărilor statice, − R = ‐1, se obține ϕ = 900, adică axa ordonatelor este locul geometric al

ciclurilor alternat simetrice, − R = 0, ϕ = 450 prima bisectoare a sistemului de referință este locul

geometric al ciclurilor pulsante. Această bisectoare împarte în două părți domeniul solicitărilor reprezentate prin puncte situate în primul cadran al sistemului de referință şi anume, punctele 0 < ϕ < 450 reprezintă cicluri oscilante şi punctele cu 450 < ϕ < 900, cicluri alternante.

Punctul A corespunde rezistenței la oboseală σ‐1, la un ciclu alternant simetric,

punctul B (σ σ0

2 2, 0 ) rezistența la oboseală la un ciclu pulsant (σ0), iar punctul C

reprezintă rezistența la solicitarea statică (σ+1), adică o rezistență de rupere (sau de curgere, σc) a materialului.

83

În diagrama din figura 12.7 locul geometric al ciclurilor cu aceeaşi tensiune medie (σm = ct.), este o dreaptă verticală, iar locul geometric al ciclurilor cu aceeaşi amplitudine (σa = ct.) este o dreaptă orizontală. Ciclurile cu aceeaşi tensiune minimă (σmin = ct.) se află pe o linie paralelă cu a doua bisectoare (înclinată cu 1350).

Fig. 12.7 În cazul materialelor casante rezistența la solicitare statică, σ+1 , se ia egală cu

rezistența la rupere σr, iar la materialele tenace, care au un palier de curgere σ+1 se consideră egale cu limita de curgere σc.

Diagrama în coordonate σm , σmax , σmin (de tip Smith), are relațiile:

amminammax , σ−σ=σσ−σ=σ .

În acest caz, orice tip de ciclu de solicitare se reprezintă prin două puncte M1 şi M2 cu abscise egale cu σm şi ordonatele egale cu σmax respectiv σmin (fig 12.8). Cele două puncte sunt simetrice față de bisectoarea primului cadran. Punctele situate deasupra bisectoarei exprimă tensiunea maximă iar cele de sub bisectoare, tensiunea minimă. În diagramă apar două curbe ale ciclurilor limită, una pentru tensiunea maximă a ciclului rezistenței la oboseală, iar cealaltă pentru cea minimă. Cele două curbe se întâlnesc în punctul C, care reprezintă rezistența la rupere statică σ+1 = σr.

Fig. 12.8 În cazul materialelor tenace se introduce şi în această reprezentare limitarea

valorilor tensiunilor la limita de curgere. Perechile de puncte simetrice față de prima bisectoare şi situate în interiorul

diagramei reprezintă un ciclu nepericulos la solicitare variabilă, respectiv perechile de puncte din exterior reprezintă un ciclu periculos.

Pentru un anumit material diagrama rezistențelor la oboseală se construieşte pe baza încercărilor la oboseală. Pentru o reprezentare cât mai exactă a curbei ciclurilor

84

limită este necesar să se cunoască rezistența al oboseală pentru un număr cât mai mare de solicitări caracterizate prin diverşi coeficienți de asimetrie, ceea ce este greu de realizat pe cale experimentală. Din acest motiv, pentru calculul la oboseală se folosesc diagrame schematizate ale rezistențelor la oboseală, pentru care este necesară determinarea unui număr redus de stări limită şi anume:

− rezistența la rupere sau limita de curgere (σr sau σc), − rezistența la oboseală pentru ciclul alternant simetric σ‐1 şi eventual pentru

ciclul pulsant σ0. În figura 12.9 se reprezintă câteva diagrame schematizate în coordonate σm şi σa

după cum urmează: a. diagrama schematizată printr‐o linie dreaptă (fig. 12.9, a) de ecuație:

11

aL

1

mL =σσ

+σσ

−+

. (12.7)

b. diagrama schematizată printr‐un sfert de elipsă (fig. 12.9, b) având ecuația:

12

1

aL

2

1

mL =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

−+

.

c. diagrama schematizată prin linii drepte pentru cazul materialelor tenace, cu limitarea la tensiunea de curgere pe baza condiției:

cammax σ≤σ+σ=σ .

85

86

d. diagrama schematizată prin două linii drepte după metoda S.V. Serensen, unind punctele A, B, şi o dreaptă la 45o din C (fig. 12.9, d). Schematizări asemănătoare se pot folosi şi în cazul diagramelor de tip Smith (în coordonate σm, σmax şi σmin).

Cele spuse mai sus cu privire la tensiunile normale sunt valabile şi pentru tensiunile tangențiale.

12.5. Factorii care influențează ruperea la oboseală

Ruperea la oboseală a pieselor de maşini prin solicitare variabilă în timp depinde de mai mulți factori, care se pot grupa astfel:

− factori constructivi cum ar fi forma piesei (concentratorii de tensiune) şi mărimea piesei;

− factori tehnologici dintre care menționăm caracteristicile fizico‐mecanice ale materialului şi calitatea suprafeței piesei, care depind de prelucrările mecanice, de tratamentele termice, termochimice sau mecanice, de acoperirile anticorozive;

− factori de lucru sau condiții de exploatare, în care se încadrează: felul solicitării, coeficientul de asimetrie al ciclului, suprasolicitările sau subsolicitările, şocurile, frecvența solicitării, temperatura, acțiunea chimică a mediului, etc.

12. 5. 1 Factori constructivi

Cei mai importanți factori constructivi care influențează mult ruperea la oboseală

sunt concentratorii de tensiuni şi dimensiunile presei. a. Coeficientul de concentrare a tensiunilor

În figura 6.5 s‐a analizat fenomenul concentrării tensiunilor la solicitări statice şi s‐a precizat modul de determinare experimentală a coeficientului de concentrare al tensiunilor αk. La solicitări variabile fenomenul local de concentrare a tensiunilor este mult mai complex şi nu poate fi exprimat numai prin coeficientul αk.

La solicitările variabile, concentratorii de tensiuni prezintă o mare influență asupra rezistenței la oboseală, deoarece în zonele respective apar şi se dezvoltă fisurile. Marginile fisurilor, în jurul cărora se dezvoltă o stare spațială de tensiuni, constituie la rândul lor, concentratori de tensiuni foarte puternici, ceea ce contribuie la propagarea fisurii.

Rezistența la oboseală a piesei depinde de tipul solicitării, de tipul concentratorului, de materialul piesei şi de coeficientul de asimetrie al ciclului. Pentru a

ține seama de toți aceşti factori se introduce coeficientul de concentrare a tensiunilor variabile definit de raportul:

0dRk

Rk ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

=σ sau 0dRk

Rk ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ττ

=τ , (12.9)

ai cărui termeni sunt: − σR, τR ‐ rezistența la oboseală a epruvetei netede standardizate de

diametrul d0, − σRk, τRk ‐ rezistența la oboseală a epruvetei standardizate (cu diametrul d0)

având un anumit concentrator. Majoritatea determinărilor pentru kσ şi kτ sunt făcute pentru cicluri alternant

simetrice ceea ce conduce la expresiile:

0dk1

1k ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

=−

−σ sau

0dk1

1k ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ττ

=−

−τ . (12.9,a)

Valorile acestor coeficienți se iau din manualele inginereşti unde sunt date în grafice. Trei exemple de astfel de grafice sunt prezentate în figurile 12.10, 12.11 şi 12.12.

Fig. 12.10

Fig. 12.11

b. Influența dimensiunilor Datele experimentale arată că rezistența la oboseală a unei piese scade o dată cu

creşterea dimensiunilor acesteia. O explicație a acestui fenomen, ce are la bază teoria probabilităților, arată că posibilitatea de a exista un defect de fabricație este cu atât mai mare cu cât piesa este mai mare.

Factorul dimensional ε se defineşte, pentru ciclul alternant simetric, prin raportul: ( )( )

0d1

d1

−

−

σσ

=ε sau ( )( )

0d1

d1

−

−

ττ

=ε , (12.10)

87

unde: (σ‐1)d, (τ‐1)d reprezintă rezistența la oboseală a unei epruvete cu diametrul d, iar

, reprezintă rezistența la oboseală a unei epruvete standardizate cu

diametrul d

( )σ −10d ( )τ −1

0d

0.

Fig. 12.12 Fig. 12.13

Valorile acestui coeficient sunt date în figura 12.13. Astfel:

− curba 1, este pentru oțeluri carbon fără concentratori de eforturi; − curba 2, este pentru oțeluri aliate fără concentratori sau oțeluri carbon cu

concentratori moderați (kσ = 1,8.. 2); − curba 3, este pentru oțeluri aliate cu concentratori moderați; − curba 4 este pentru oteluri aliate cu concentratori puternici.

Se constată că efectul dimensiunilor este mult mai puternic la oțelurile aliate decât la oțelurile carbon şi de asemenea la piesele cu concentratori.

12.5.2. Factori tehnologici

A. Materialul şi tehnologia de fabricație

Ca şi celelalte caracteristici mecanice şi rezistența la oboseală diferă de la un material la altul. Tabelele din standarde dau, alături de celelalte caracteristici mecanice valorile rezistenței la oboseală, determinate pe epruvete netede standardizate. Structura neuniformă a materialului sau cu granulație mare, existența crustei de turnare, forjare, laminare sunt factori tehnologici cu efect nefavorabil asupra rezistenței la oboseală. Crearea de fibre longitudinale prin forjare sau laminare are un efect favorabil şi de toate aceste situații trebuie să se țină seama la alegerea coeficientului de siguranță al piesei.

B. Starea suprafeței piesei Experiențele făcute pentru determinarea rezistenței la oboseală au arătat că unul

din factorii esențiali care influențează asupra acesteia este calitatea suprafeței piesei. Existența crustelor, zgârieturilor şi a surselor de coroziune pe suprafața piesei constituie o sursă de fisuri şi micşorează rezistența la oboseală. Alături de zgârieturi, acțiunea

88

agenților corozivi are efect dăunător asupra rezistenței la oboseală. Deci din punct de vedere al rezistenței la oboseală, suprafața pieselor este punctul slab al acestora şi asupra acesteia trebuie să‐şi concentreze atenția proiectantul şi tehnologul.

Cauzele care fac ca suprafața pieselor să fie punctul “slab” al piesei solicitate variabil sunt:

− zgârieturile rezultate din prelucrarea mecanică ce constituie sursa de amorsare a microfisurilor;

− distrugerea grăunților de la suprafață din cauza prelucrării mecanice; − la încovoiere şi răsucire punctele cele mai solicitate ale pieselor sunt cele

de suprafață. Din aceste motive lustruirea suprafeței pieselor are o mare importanță asupra

rezistenței la oboseală. Când gradul de prelucrare este mai grosolan, rezistența la oboseală scade.

Coeficientul de stare al suprafeței γ, de obicei subunitar, este raportul:

1

p1

−

−

σ

σ=γ , sau

1

p1

−

−

τ

τ=γ (12.11)

unde: σ‐1p ‐ este rezistența la oboseală a epruvetei având aceeaşi rugozitate cu a piesei; σ‐1 ‐ rezistența la oboseală a epruvetei cu suprafața lustruită. În figura 12.14 se dau valorile lui γ pentru

piese care au suprafața: − lustruită 1; − suprafața şlefuită fin sau prelucrată

cu cuțitul 2; − suprafața şlefuită sau strunjită brut 3;− suprafața laminată cu crustă 4; − supusă coroziunii în apă dulce 5; − supusă coroziunii în apă sărată 6.

Pe lângă prelucrarea fină a suprafeței se utilizează uneori tratamente de suprafață, termice, termochimice sau mecanice (honuirea, rularea cu role, ecruisare cu jet de alice) prin care se obțin coeficienți de calitate a suprafeței supraunitari. (γ=1, 1......1,5).

Fig. 12.14

C. Tratamentele termice, mecanice Se poate obține o creştere a rezistenței la oboseală a pieselor, uneori cu 200‐300%,

prin anumite tratamente superficiale care să îmbunătățească proprietățile suprafeței. 89

90

Aceste tratamente pot fi mecanice (prelucrare fină a suprafeței, ecruisarea cu jet de alice, rularea cu role) sau termice şi termochimice (călirea superficială cu flacără sau C.I.F., cementarea, nitrurarea).

Acoperirile anticorozive, cromare, nichelare, alămire, cadmiere, micşorează rezistența la oboseală.

12.5.3. Influența condițiilor de lucru

A. Acțiunea agenților corozivi

Agenții corozivi conduc la micşorarea rezistenței la oboseală ceea ce se observă şi la curbele 5 şi 6 din figura 12.12. Acest efect se combate prin acoperiri anticorozive.

B. Variația solicitărilor Experiențele au arătat că rezistența la oboseală rămâne practic aceeaşi când

frecvența ciclului se schimbă. La frecvențele foarte mari, de peste 10 kHz se constată creşteri ale rezistenței la oboseală de 10...20%.

În schimb rezistența la oboseală este influențată defavorabil de existența suprasolicitărilor, adică a unor solicitări de durată limitată având o valoare mai mare decât rezistența la oboseală. Subsolicitările, încărcările unei piese care produc tensiuni mai mici decât cele ale ciclului de solicitare variabilă, influențează în sens favorabil rezistența la oboseală dar într‐o măsură mică.

C. Temperatura Prin creşterea temperaturii piesei scade rezistența la oboseală. La oțeluri, peste

3000C se produce o scădere a rezistenței la oboseală cu 15‐20% pentru fiecare creştere a temperaturii cu 1000C.

Pentru un calcul corect este necesară determinarea rezistenței la oboseală corespunzătoare temperaturii respective.

D. Felul solicitării Pe lângă mărimea solicitării o importanță deosebită prezintă natura solicitării

variabile. Dintre rezistențele la oboseală, pentru solicitări simple, cea de încovoiere are cea mai mare valoare, fapt explicabil dacă se are în vedere că tensiunile la încovoiere sunt mari numai într‐o zonă restrânsă a secțiunii transversale, ceea ce conduce la o posibilitate mai mică de apariție a microfisurilor. La întindere‐compresiune rezistența la oboseală este mai mică decât la încovoiere, iar la torsiune este şi mai mică.

Mai ştim din § 12.4 că pentru o aceeaşi solicitare variabilă simplă, sau compusă, rezistența la oboseală depinde de coeficientul de asimetrie al ciclului. Ea are valoarea cea mai mică pentru ciclul alternant‐simetric.

12.6. Calculul de rezistență la oboseală pentru o piesă

Rezistența la oboseală a unei piese este influențată de foarte mulți factori (analizați mai sus) şi deci valorile acesteia diferă foarte mult de valorile definitive pe epruvete standardizate.

Întrucât în majoritatea cazurilor, rezistența la oboseală nu poate fi determinată experimental pe piesa reală, este necesară determinarea acesteia ținând cont de influența fiecărui factor menționat în 12.5. Aşadar, rezistența la oboseală a unei piese reale solicitate alternant simetric σ‐1p se poate calcula prin aplicarea succesivă a relațiilor 12.9, 12.10 şi 12.11 astfel că se obțin formulele:

1p1 k −σ

− σ⋅γ⋅ε

=σ şi 1p1 k −τ

− τ⋅γ⋅ε

=τ , (12.12)

unde: σ‐1 reprezintă rezistența la oboseală a epruvetei standardizate de diametru d0, confecționate din acelaşi material cu piesa reală şi supusă la acelaşi tip de solicitare. Pornind de la diagrama Haigh schematizată pentru un material, prin dreapta AC, diagrama rezistenței la oboseală a piesei se poate admite sub forma dreptei A’C (figura 12.15). Întrucât concentratori de tensiune nu modifică rezistența la rupere sau curgere, solicitare statică (punctul C) rămâne aceeaşi. Fig. 12.15

În consecință, față de dreapta AC, aproximația constă în asigurarea unei

dependențe liniare a grupului de coeficienți σ

γ⋅εk

în intervalul dintre solicitarea statică

şi ciclul alternant simetric. Limitei de rezistență a pieselor solicitate de cicluri cu

caracteristică m

a

0

0

OMMMtg

σσ

==ϕ , îi corespunde punctul L’ de pe dreapta A’C (figura 12.15).

12.7. Calculul de rezistență la solicitări variabile

Rezistența la oboseală depinde de factorii studiați în §12.5 care nu pot fi cunoscuți decât pentru o piesă reală, respectiv după dimensionarea acestei piese. Aceşti factori se iau în considerare în relațiile de calcul prin diverşi coeficienți ce conțin de obicei mai multe necunoscute. De aceea dimensionarea pieselor solicitate variabil se

91

face cu ajutorul metodelor clasice ale rezistenței , elaborate pentru solicitările statice, adoptând însă rezistențe admisibile mai mici. Între rezistențele admisibile la solicitări statice şi cele utilizate pentru ciclul pulsant, respectiv cel alternant simetric se poate utiliza următoarea relație aproximativă:

1Ra0Ra1Ra 32−==+

σ⋅=σ⋅=σ .

Deci, calculul la oboseală este un calcul de verificare şi de capacitate de încărcare care se poate efectua numai după ce există toate dimensiunile piesei şi tehnologia de fabricație.

Verificarea la solicitarea variabilă constă în calculul coeficientului de siguranță în secțiunile periculoase ale piesei şi în secțiunile slăbite prin concentratori. Pentru ca piesa calculată să reziste la solicitarea variabilă şi materialul piesei să fie eficient folosit este necesar să se obțină un coeficient de siguranță cât mai apropiat de cel prescris în manualele inginereşti. În tabelul 12.2 se dau câteva valori orientative ale coeficientului de siguranță la oboseală.

Tabelul 12.2

Felul solicitării Coeficient de siguranță

Piese de maşini, din oțel 1,5...1,7

Piese de maşini uşoare, din oțel 1,3...1,4

Piese importante din oțel, la care încercarea s‐a făcut pe piesă 1,35

Piese din oțel turnat 1,4‐2

Piese din fontă 2‐3

Piese din aliaje de cupru 2‐2,7

Piese din aliaje uşoare 2‐2,5

Coeficientul de siguranță la o solicitare variabilă se defineşte ca raportul dintre rezistența la oboseală a piesei şi tensiunea maximă produsă în aceasta:

max

pies‹Rcσ

σ=σ , respectiv

max

pies‹Rcτ

τ=τ . (12.14)

Ținând seama că rezistența la oboseală a piesei se obține din formulele (12.12), expresiile coeficienților de siguranță la solicitări variabile vor fi:

max

R

kc

σσ

⋅γ⋅ε

=σ

σ , şi respectiv max

R

kc

ττ

⋅γ⋅ε

=τ

τ . (12.15)

92

12.7.1 Ciclul alternant simetric

Relațiile (12.15) pot avea forme particulare, dependente de natura solicitării. Astfel în cazul ciclului alternant simetric la care σm=0 formula (12.15) devine:

max

1

kc

σσ

⋅γ⋅ε

= −

σσ , şi respectiv

max

1

kc

ττ

⋅γ⋅ε

= −

ττ . (12.16)

12.7.2. Solicitarea variabilă cu coeficient de asimetrie oarecare

În cazul solicitării variabile oarecare, caracterizată de un coeficient de asimetrie

de o anumită valoare, expresia coeficientului de siguranță şi deci rezultatele calculelor depind de:

− modul (criteriul) de atingere a rezistenței la oboseală, − tipul diagramelor rezistențelor la oboseală utilizat în calcul.

În figura 12.16 se consideră curba ciclurilor limită a piesei în coordonate σm şi σa precum şi o solicitare variabilă oarecare reprezentată printr‐un punct M. Coeficientul de siguranță este raportul dintre tensiunea limită, marcată prin punctul L pe diagramă şi de tensiunea maximă din piesa marcată prin punctul M. Expresia coeficientului de siguranță depinde de drumul de la M la L, respectiv de modul de creştere al solicitării pentru a atinge limita L. Deci, este necesar să se stabilească modul cum variază mărimile σmax. σmin, σa, σm, şi R ale solicitării variabile respective. Prin reprezentarea legii de creştere a solicitării variabile se obține punctul L, care reprezintă rezistența la oboseală căutată. Acest mod de determinare a rezistenței la oboseală constituie criteriul lui Kilmelmann. Ținând seama de acest criteriu rezultă o serie de cazuri particulare ce au în vedere mărimea ce rămâne constantă cum ar fi coeficientul de asimetrie, tensiunea medie, tensiunea minimă, etc.

La cele mai multe piese de maşini creşterea tensiunii are loc după cicluri asemenea (criteriul Soderberg), ce are la bază atingerea stării limită L prin creşteri cu acelaşi coeficient de asimetrie (R = ct.). Acest criteriu se foloseşte chiar dacă creşterea tensiunilor nu se produce după cicluri asemenea.

Fig. 12.16

93

12.7.2.1. Metoda Soderberg

Utilizând criteriul Soderberg şi respectiv schematizarea diagramei rezistențelor la oboseală printr‐o linie dreaptă (figura12.17), de ecuație:

Fig. 12.17

11

aL

1

mL =σσ

+σσ

−+

,

se obține:

11

a

a

aL

1

m

m

mL =σσ

⋅σσ

+σσ⋅

σσ

−+

,

respectiv:

1c1

a

1

m =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

+σσ

⋅−+

. (12.17)

Întrucât coeficientul de siguranță poate fi exprimat prin relația:

a

aL

m

mL

am

aLmL

)Mmax(

)L(rcσσ

=σσ

=σ+σσ+σ

=σσ

= , (12.18)

şi ținând seama de influența factorilor kσ, ε şi γ expresia (12.17) devine:

1

m

1

ak1c

+−

σ

σσ

+σσ

⋅γ⋅ε

= , (12.19)

ce poartă numele de relația lui Soderberg. Observații:

a. Relația lui Soderberg pentru ciclurile variabile de tensiuni tangențiale devine:

1

m

1

ak1c

+−

τ

ττ

+ττ

⋅γ⋅ε

= , (12.19.a)

b. Dacă materialele utilizate sunt tenace în locul tensiunii σ+1 şi τ+1 se va utiliza în relația (12.18) limita de curgere σc şi respectiv τc:

c

m

1

ak1c

σσ

+σσ

⋅γ⋅ε

=

−

σσ ,

c

m

1

ak1c

ττ

+ττ

⋅γ⋅ε

=

−

ττ . (12.19.b)

94

12.7.2.2. Metoda Serensen

Dacă se adoptă pentru calculul unei piese o schematizare a diagramei rezistențelor la oboseală de tip Serensen (schematizare prin două linii drepte) rezultă două relații de calcul, aplicabile pe domenii, după cum punctul L (punctul care defineşte atingerea stării limită) se află pe dreapta AB’, sau pe dreapta B’C (fig.12.18). Vom adopta şi în acest caz drept criteriu de atingere a stării limită criteriul lui Soderberg (R = ct.).

Pentru deducerea relațiilor de calcul se prelungesc dreptele AB până la intersecția cu axa orizontală Oσm (punctul D) şi B’C până ce intersectează axa Oσa (punctul A’’).

a. În cazul în care dreapta R = ct. taie prima oara dreapta AB’.

Fig. 12.18

Din ecuația dreptei AD, care trece prin punctele A(0; σ=1) şi B ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σσ

2;

2oo ,

122 1

o

mD

o =σ⋅σ

+σ⋅σ

−

,

rezultă abscisa punctului D:

ψσ

=σ−σ⋅

σ⋅σ=σ −

−

− 1

01

1mD 2

0 , (12.20)

unde s‐a notat:

0

012σ

σ−σ⋅=ψ − . (12.21)

95

Scriind din nou ecuația dreptei AD în funcție de coordonatele punctului L(σmL; σaL) se obține:

11

aL

mD

mL =σσ

+σσ

−

, (12.22)

din care rezultă coordonatele punctului care defineşte starea limită conform criteriului Soderberg (R = ct.), precum şi rezistența la oboseală σR.

Dacă ținem seama de expresia coeficientului de asimetrie R, conform definiției (12.2) se obține:

RLmaxLmaxminmax

mL 2R1

2R

2LL σ⋅

+=

σ⋅+σ=

σ+σ=σ ;

RLmaxLmaxLminLmax

aL 2R1

2R

2σ⋅

−=

σ⋅−σ=

σ−σ=σ ,

unde: σR = σmaxL, deoarece aşa s‐a definit rezistența la oboseală § 12.5. Cu aceste valori introduse în relația (12.22) se obține rezistența la oboseală a

materialului pentru ciclul de solicitare respectiv:

)R1()R1(21

2R1

2R1 1

RR1

R1 −+ψ⋅+

σ⋅=σ⇒=σ⋅

σ⋅−

+σ⋅ψ⋅σ⋅+ −

−−

, (12.23)

Reluând ecuația dreptei (12.22) şi procedând analog ca la metoda Soderberg, înmulțind şi împărțind primul termen cu σm, iar pe al doilea cu σa, obținem:

11

a

a

aL

1

m

m

mL =σσ

⋅σσ

+ψ⋅σσ⋅

σσ

−−

,

de unde rezultă expresia coeficientului de siguranță la oboseală, prin metoda Serensen (având în vedere relația 12.18):

ma

1cσ⋅ψ+σ

σ= − , (12.24)

relație valabilă numai dacă dreapta R = ct. taie mai întâi dreapta AB’. În cazul în care rezistența la oboseală a piesei diferă de rezistența la oboseală a

materialului se determină rezistența la oboseală a piesei pentru ciclul alternant simetric

ținând seama de factorii kσ, ε şi γ ( 1p1k

−σ

− σ⋅γ⋅ε

=σ ) şi vom aprecia tot o dependență

liniară a rezistenței la oboseală a piesei de la ciclul alternant simetric reprezentat de punctul A’(0; σ‐1p) la punctul D (reprezentată în figura 12.18 prin dreapta A’D). Scriind ecuația dreptei A’D în funcție de coordonatele punctului L’(σmLp; σaLp) se obține:

1p1

aLp

mD

mLp =σ

σ+

σ

σ

−

, (12.25)

96

din care se pot obține coordonatele punctului care defineşte starea limită a piesei, conform criteriului Soderberg (R = ct.), precum şi rezistența la oboseală σRp.

Dacă ținem seama de expresia coeficientului de asimetrie R, conform definiției (12.2), se obține:

Rppmaxpmaxminpmax

mLp 2R1

2R

2LLLpL σ⋅

+=

σ⋅+σ=

σ+σ=σ ,

Rppmaxpmaxminpmax

aLp 2R1

2R

2LLLpL σ⋅

−=

σ⋅−σ=

σ−σ=σ ,

unde: σR = σmaxL deoarece aşa s‐a definit rezistența la oboseală în § 12.5. Cu aceste valori introduse în relația (12.22) se obține rezistența la oboseală a

piesei pentru ciclul de solicitare respectiv:

γ⋅ε⋅−+ψ⋅+

σ⋅=σ⇒=σ⋅

σ⋅−

+σ⋅ψ⋅σ⋅+

σ

−

−−k)R1()R1(

212

R12

R1 1RpRp

p1Rp

1

, (12.26)

Procedând analog ca la deducerea relației (12.24), cu valorile tensiunilor σ‐1p şi σmD se obține expresia coeficientului de siguranță la oboseală prin metoda Serensen pentru piese:

.kcma

1

σ⋅ψ+σ⋅γ⋅ε

σ=

σ

− (12.27)

b. În cazul în care dreapta R = ct. taie prima oară dreapta B’C. Procedând analog şi în acest caz, scriind ecuația dreptei A’’D în funcție de noul

punct limită L1 se obține:

11

aL

1

mL =σσ

+σσ

++

,

de unde rezultă rezistența la oboseală a materialului în acest caz:

1mLmlR +σ=σ+σ=σ , (12.28)

respectiv:

ma

1cσ+σ

σ= + , (12.29)

iar dacă se ține seama de factorii kσ, ε şi γ se obține expresia coeficientului de siguranță prin metoda Serensen pentru piese:

ma

1kc

σ+σ⋅γ⋅ε

σ=

σ

+ . (12.30)

97

Dacă materialul este tenace diagramele rezistenței la oboseală se limitează la dreapta corespunzătoare limitei de curgere σc (figura 12.18) şi relația (12.30) devine:

ma

ckc

σ+σ⋅γ⋅ε

σ=

σ. (12.31)

Relațiile de calcul ale coeficientului de siguranță prin metoda Serensen, în cazul solicitărilor la care apar tensiuni tangențiale sunt aceleaşi, cu observația că în locul tensiunilor σ se introduc tensiunile τ şi relațiile (12.27), (12.30) şi (12.31) devin:

ma

1kc

τ⋅ψ+τ⋅γ⋅ε

τ=

τ

− , (12.27’)

ma

1kc

τ+τ⋅γ⋅ε

τ=

τ

+ , (12.30’)

ma

ckc

τ+τ⋅γ⋅ε

τ=

τ. (12.31’)

Observațiile făcute privind modul de utilizare rămân valabile şi pentru relațiile scrise în tensiuni tangențiale.

12.7.2.3. Metoda Buzdugan

Dacă se adoptă pentru calculul unei piese o schematizare a diagramei a rezistențelor la oboseală printr‐un arc de elipsă (Metoda Buzdugan, figura 12.19), vom adopta şi în acest caz drept criteriu de atingere a stării limită criteriul lui Soderberg (R=ct.) şi scriind ecuația arcului de elipsă AC în funcție de coordonatele punctului L(σmL, σaL) se obține ecuația stării limită pentru material:

12

1

aL

2

1

mL =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

−+

,

iar pentru piesă se obține următoarea ecuație a stării limită:

1k

2

1

aL

2

1

mL =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ⋅

γ⋅ε+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

−σ+

. (12.32)

Din ecuația (12.32) se pot obține coordonatele punctului care defineşte starea limită conform criteriului Soderberg (R=ct.), precum şi rezistența la oboseală σR, analog cu metoda Serensen. Procedând analog ca la deducerea relației (12.24), se obține expresia coeficientului de siguranță la oboseală prin metoda Buzdugan:

98

2

1

m

2

1

ak

1c

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

⋅γ⋅ε

=

+−

σ

. (12.33)

Fig. 12.19

Şi în acest caz, pentru materialele tenace se limitează în partea dreaptă diagrama rezistenței la oboseală, la limita de curgere a materialului şi relația (12.33) devine:

2

c

m

2

1

ak

1c

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

⋅γ⋅ε

=

−

σ

. (12.34)

Pentru solicitări variabile la care apar tensiuni tangențiale relațiile (12.33) şi (12.34) devin:

− pentru materiale casante:

2

1

m

2

1

ak

1c

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ττ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ττ

⋅γ⋅ε

=

+−

τ

, (12.33’)

− pentru materiale tenace:

2

c

m

2

1

ak

1c

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ττ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ττ

⋅γ⋅ε

=

−

τ

. (12.34’)

99

Aplicația 12.1. Să se verifice la oboseală arborele confecționat din OL cu σ+1=720 MPa, σ0= 520 MPa, σ‐1= 320 MPa, dacă în cel mai solicitat punct al său se dezvoltă

tensiuni între σmax= 100 MPa şi σmin= ‐ 30 MPa, ştiind că kσ

ε γ⋅ = 2 8, , c0 = 1,6 prin cele trei

metode. Rezolvare: Elementele ciclului sunt:

− tensiunea medie:

MPa30230100

2minmax

m =−

=σ+σ

=σ ,

− amplitudinea:

MPa65230100

2minmax

m =+

=σ−σ

=σ ,

Coeficientul de siguranță are următoarele valori: − prin metoda SODERBERG:

0

1

m

1

ac619,1

72035

320658,2

1k

1c >=+⋅

=

σσ

+σσ

⋅γ⋅ε

=

+−

σ,

− prin metoda SERENSEN:

2307,0520

520320320

01 =−⋅

=σ

σ−σ⋅=ψ − ,

0

ma

c684,1352307,0658,2

1k

1c >=⋅+⋅

=σ⋅ψ+σ⋅

γ⋅ε

=σ

,

− prin metoda BUZDUGAN:

0222

1

m

2

1

a

c752,1

72035

320658,2

1

k

1c >=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

⋅γ⋅ε

=

+−

σ

.

Deoarece prin toate cele trei metode s‐au obținut valori ale coeficientului de siguranță mai mari decât valoarea impusă arborele este dimensionat corect.

Observație importantă: Comparând cele trei valori ale coeficientului de siguranță obținute, pentru

aceeaşi piesă, se observă că cea mai mică valoare o are cea calculată prin metoda Soderberg, iar celelalte valori sunt mai mari, dar apropiate între ele. Pentru a sesiza mai uşor de unde provin aceste diferențe şi care sunt mai apropiate de realitate vom reprezenta suprapus cele trei schematizări (fig.12.20). Se observă că schematizările tip Serensen şi Buzdugan sunt mai apropiate de diagrama rezistenței la oboseală reală şi

100

vor utiliza mai bine capacitatea portantă a materialului. Din acest motiv se vor utiliza aceste două metode, cu precădere metoda Serensen.

Fig. 12.20

Aplicația 12.2. Să se determine sarcina maximă capabilă să o suporte un arc elicoidal confecționat din OL cu τc = 700 MPa; τ0 = 600 MPa; τ‐1= 350 MPa, cu d= 8 mm,

D= 40 mm, n= 12 spire care este solicitat de o forță de montaj P= 0,2 kN, dacă 2,1k=

γ⋅ετ

şi se impune un coeficient de siguranță c= 2.

Fig. 12.21

101

Rezolvare: Deoarece în acest caz se impune ca tensiunea minimă, corespunzătoare sarcinii de montaj, să fie constantă, nu se mai poate aplica criteriul lui Soderberg de atingere a stării limită (R= ct.) ci în acest caz se va folosi criteriul tensiunii minime (τmin= ct.), deci creşterea se va face după o dreaptă paralelă cu prima bisectoare

(fig.12.21,a) având ca abscisă a originii acestei drepte valoarea tensiunii tangențiale minime:

MPa79,398

40102,08dDP8

3

3

3min =⋅π

⋅⋅⋅=

⋅π⋅⋅

=τ .

Din relația (12.27ʹ) se obține:

10502,7167,02,1

3502k1c ma

mama

=τ+τ⋅⇒τ⋅+τ⋅

=⇔τ⋅ψ+τ⋅

γ⋅ε

=τ

unde:

167,061

60060035022

0

01 ==−⋅

=τ

τ−τ⋅=ψ − .

Dacă ținem seama de relațiile de definiție ale elementelor ciclului de solicitare variabilă (12.2) obținem cea de a doua ecuație necesară soluționării problemei:

,MPa79,39minam =τ=τ−τ

din cele două ecuații se obține: MPa2,123a =τ şi MPa2,2862,123279,392 aminmax =⋅+=τ⋅+τ=τ .

Cu valoarea tensiunii maxime se poate determina sarcina capabilă (maximă) la care poate lucra arcul:

kN. 1,439408286,28

D8dP

3max

3

max =⋅⋅⋅π

=⋅τ⋅⋅π

=

Se adoptă: P=1,5 kN. Deoarece nu pot fi reglate valorile sarcinilor ce solicită arcul decât prin săgețile

corespunzătoare se vor calcula aceste săgeți şi se va trasa caracteristica arcului (fig.12.21,b)

mm 3,70481081

1240100,28dG

nDP843

33

4

3min

min =⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅

=f ,

mm 27,881081

1240101,58dG

nDP843

33

4

3max

max =⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅

=f .

Pentru a satisface condiția de rezistență la oboseală arcul trebuie să lucreze între fmin= 3,7 mm şi fmax= 27,8 mm.

12.7.3. Solicitare variabilă compusă de încovoiere şi torsiune

Față de solicitările statice, unde era necesar să se aleagă doar teoria de rezistență,

la solicitările variabile, compuse trebuie să se stabilească: diagrama rezistenței la oboseală, tipul de schematizare şi criteriul de creştere a solicitărilor până la atingerea

102

stării limită. Pentru a simplifica problema care a devenit deosebit de complicată, se va lua în considerare la început, calculul la solicitări alternant simetrice şi în fază, la care:

aminmax σ=σ−=σ şi aminmax τ=τ−=τ

Coeficienții parțiali de siguranță se definesc în conformitate cu relațiile (12.16):

max

pcσσ

= −σ

1 şi max

pcττ

= −τ

1 . (12.35)

Pe cale experimentală s‐au determinat valori şi apoi s‐a trasat o curbă a rezistențelor la oboseală, în coordonate σa şi τa pentru solicitări variabile compuse de încovoiere şi torsiune prin cicluri alternant simetrice şi în fază (fig.12.22). Un punct oarecare L(σaL; τaL) de pe curbă reprezintă o anumită stare limită de solicitare compusă, caracterizată prin amplitudinile σaL şi τaL ale celor două solicitări. Pe axa absciselor (σaL= 0) sunt reprezentate numai stări de încovoiere cu rezistența la oboseală σ‐1L, iar pe axa ordonatelor (τaL= 0) stări de torsiune cu rezistența la oboseală τ‐1L.

La acțiunea simultană a celor două solicitări ruperea la oboseală se produce în dreptul unui punct L de coordonate:

L1aL −σ<σ şi L1aL −τ<τ .

Punctul L de coordonate σaL şi τaL, reprezintă rezistența la oboseală la acțiunea celor două solicitări.

Fig. 12.22

Locul geometric al rezistențelor la solicitări compuse (punctele cu coeficientul de siguranță c = 1), poate fi aproximat printr‐un arc de elipsă de ecuație:

12

1

aL

2

1

aL =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ττ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

−−

. (12.36)

O elipsă asemenea cu aceasta reprezintă locul geometric al stărilor compuse de solicitare cu acelaşi coeficient de siguranță c > 1.

Coeficientul de siguranță al stării de solicitare compusă, reprezentată prin punctul M de coordonate σa şi τa se calculează de obicei față de starea limită definită de punctul L. Dreapta OM, care trece prin originea sistemului de referință taie curba ALB în L (criteriul Soderberg). Prin această ipoteză se admite că solicitarea creşte de la M la L prin menținerea constantă a raportului R = ct.

Coeficientul de siguranță al solicitării variabile compuse este:

a

aL

a

aLcττ

=σσ

= . (12.37)

103

Amplificând şi simplificând funcțiile din ecuația (12.36) cu aceeaşi mărime (σa respectiv τa) obținem:

12

1

a

a

aL

2

1

a

a

aL =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ττ

⋅ττ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

⋅σσ

−−

,

rezultă relația coeficientului de siguranță al solicitării variabile compuse:

1cc

cc 22

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

τσ

, respectiv 22 cc

cccτσ

τσ

+⋅

= . (12.37)

Relația (12.37) poartă denumirea de relația lui H. J. Gongh şi H. V. Polard. Cu ajutorul ei calculul la oboseală la solicitări compuse se reduce la determinarea coeficienților de siguranță parțiali ai solicitărilor simple. Deşi această relație a fost dedusă pentru cazul ciclului de solicitare alternant‐simetric se foloseşte şi la calculul de verificare al solicitărilor variabile asimetrice pentru că dă valori acoperitoare.

Aplicația: 12.3. Pentru secțiunea periculoasă a arborelui din figura (12.23,a) realizată din Ol cu σc = 480 MPa, σ0 = 400 MPa, σ‐1 = 300 MPa, τc = 400 MPa, τ0 = 320 MPa,

τ‐1 = 220 MPa, kσ

ε γ⋅= 31, ,

k τ

ε γ⋅= 2 8, , solicitat la încovoiere de un moment variabil M =

2 kNm, variabil cu Rσ = ‐ 0,6 şi la torsiune de un moment variabil cu Rτ = 0,2. Se cere să se determine:

a. rezistența la oboseală a materialului la încovoiere pentru ciclul respectiv, b. rezistența la oboseală a piesei la încovoiere pentru ciclul respectiv, c. coeficientul parțial de siguranță la încovoiere, d. rezistența la oboseală a materialului la torsiune pentru ciclul respectiv, e. rezistența la oboseală a piesei la torsiune pentru ciclul respectiv, f. momentul de torsiune capabil, maxim şi minim ce acționează simultan cu

cel de încovoiere dacă se impune un coeficient de siguranță global de c = 1,6. Rezolvare:

a. Se construieşte la scară diagrama schematizată de tip Serensen, pentru valorile σ ale materialului (ABB’C, fig. 12.23,b). Se determină unghiul ϕσ corespunzător ciclului cu Rσ = ‐ 0,6.

o96,756,016,01arctan

R1R1arctan =

−+

=+−

=ϕσ .

Se duce dreapta corespunzătoare lui Rσ = ‐ 0,6 măsurând unghiul ϕσ = 75,96o de la axa orizontală (Oσm). Se determină valoarea coeficientului ψσ cu relația (12.21):

5,0400

400200220

01 =−⋅

=σ

σ−σ=ψ −

σ .

104

Cu relați a (12.23) se obține rezistența la oboseală a materialului:

( ) ( ) ( ) ( )MPa9,352

6,015,06,013002

R1R12 1

R =++⋅−

⋅=

−+ψ⋅+σ

=σσσ

− .

Fig. 12.23

b. Utilizând relația (12.26) se obține rezistența la oboseală a piesei:

( ) ( ) ( ) ( )MPa3.116

1,36,015,06,013002

kR1R1

2 1Rp =

⋅++⋅−⋅

=

γ⋅ε⋅−+ψ⋅+

σ=σ

σσσ

− .

c. Pentru a determina coeficientul de siguranță parțial, la încovoiere trebuie să determinăm elementele ciclului de solicitare şi pentru aceasta mai întâi mărimile geometrice ale secțiunii:

462344

y mm10643,1168362128162

80251

6480I ⋅=⋅⋅⋅−

⋅⋅−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅

⋅π= ,

46344

z mm10986,112

816280251

6480I ⋅=

⋅⋅−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅

⋅π= ,

46yzp mm10629,3III ⋅=+= ,

36

max

yymin mm41650

4010643,1

zI

WW =⋅

=== ,

36

max

pp mm9070

4010629,3

rI

W =⋅

== ,

iar tensiunile la încovoiere sunt:

105

MPa69,4841080102

WM 6

minmax =

⋅==σ ,

MPa21,2969,486,0R maxmin −=⋅−=σ⋅=σ σ ,

MPa24,92

minmaxm =

σ+σ=σ ,

MPa95,382

minmaxa =

σ−σ=σ .

Aplicând relația (12.27) se obține:

388,275,95,095,381,3

300kc

ma

1 =⋅+⋅

=σ⋅ψ+σ⋅

γ⋅ε

σ=

σ

−σ .

d. Pentru a determina rezistența la oboseală a aceluiaşi material la torsiune se trasează diagrama schematizată, de tip Serensen pentru tensiuni tangențiale (fig. 12.24).

Fig. 12.24

Se determină unghiul ϕ corespunzător ciclului cu Rσ = 0,2 Se duce dreapta de Rτ= ‐0,2 măsurând unghiul de la axa orizontală Oτm,

o69,332,012,01arctan

R1R1arctan =

+−

=+−

=ϕτ

ττ ,

Se determină valoarea coeficientului ψ cu relația (12.21):

( ) ( )5455,0

6,015455,02,0122022

0

01 =−+⋅+

⋅=

ττ−τ⋅

=ψ −τ ,

Utilizând relația (12.23) se obține rezistența la oboseală a materialului:

( ) ( ) ( ) ( )MPa5,302

8,22,015,02,012202

R1R12 1

R =⋅−+⋅+

⋅=

−+ψ⋅+τ

=τ − .

106

e. Din relația (12.26) se obține rezistența la oboseală a piesei:

( ) ( ) ( ) ( )MPa152

8,22,015,02,012202

kR1R1

2 1Rp =

⋅−+⋅+⋅

=

γ⋅ε⋅−+ψ⋅+

τ=τ

τ

− ,

f. Ca să determinăm momentul de torsiune capabil trebuie aflat coeficientul de siguranță parțial la răsucire din relația (12.38):

156,26,1388,28,1388,2

ccccc

2222=

−⋅

=−⋅

=σ

στ .

Având valoarea rezistenței la oboseală a piesei şi coeficientul de siguranță se poate determina momentul de torsiune capabil:

kNm396,61090730156,2152W

cM 6

pR

maxt =⋅⋅=⋅τ

= −

τ

.

Se adoptă: Mt max = 6 kNm şi Mt min = Rτ ⋅ Mt max =1,2 kNm.

12.8. Întrebări ‐ test 1. Ce este o solicitare variabilă? 2. Ce sunt solicitările periodice? 3. Care sunt elementele unui ciclu de solicitare variabilă? 4. Definiți mărimile σm şi σa. 5. Ce este coeficientul de asimetrie R? Ce sunt ciclurile asemenea? 6. Care sunt caracteristicile ciclurilor alternant simetrice? 7. Care sunt caracteristicile ciclurilor pulsatorii? 8. Ce este rezistența la oboseală? 9. Cum se construieşte curba lui Wöhler? 10. Ce tipuri de diagrame ale rezistențelor la oboseală cunoaşteți? Cum se construiesc? 11. Ce sunt diagramele schematizate? Comentați schematizarea Sodenberg, Serensen şi

Buzdugan. 12. Cum arată o secțiune a unei bare ruptă prin oboseală? 13. Care sunt factorii care influențează rezistența la oboseală? 14. Cum influențează materialul şi tehnologia de fabricație rezistența la oboseală? Dar

natura solicitării? 15. Care rezistență la oboseală este mai mare σ+1, σ‐1, σ0, σc? Cum se explică răspunsul? 16. Odată cu creşterea dimensiunii piesei scade sau creşte rezistența la oboseală? Cum

explicați acest lucru? Ce este factorul dimensional?

107

17. Dați exemple de concentratori de tensiune. 18. Cum influențează concentratorii de tensiune rezistența la oboseală? 19. Definiți coeficientul efectiv de concentrare a tensiunilor. 20. Cum influențează starea suprafeței piesei rezistența la oboseală? 21. Care din următorii coeficienți are valoare mai mică γσ sau γτ? Cum se explică acest

lucru? 22. Cum influențează temperatura rezistența la oboseală a metalului? Dar a lemnului? 23. Cum influențează umiditatea rezistența la oboseală a lemnului? Cum se explică

răspunsul dat? 24. Scrieți şi comentați expresiile coeficienților de siguranță la oboseală. 25. De cine depinde expresia coeficientului de siguranță la oboseală? 26. Ce este un concentrator de tensiune? Dați câteva exemple. 27. Care sunt factorii care influențează rezistența la oboseală?


1. Să se verifice un arbore de secțiune inelară confecționat din oțel cu

, , MPa6001 =σ+ MPa4600 =σ MPa3201 =σ− , 1kk G =ε⋅γ

= σσ , dacă este solicitat de un

moment de încovoiere ce variază între Mi max = 9,5 kNm şi Mi min = ‐2,3 kNm şi se impune un coeficient de siguranță cσ = 2,3 (d = 0,8D, D = 100 mm).

2. Să se verifice fusul de bielă din figura 12.25 confecționat din oțel cu , , MPa400r =σ MPa300r =σ MPa2001 =σ− , dacă se impune un coeficient de

siguranță c0 = 2.

Fig. 12.25 Fig. 12.26

108

3. Să se verifice arborele a cărui secțiune este prezentată în figura 12.26, confecționat din oțel cu: , MPa480c =σ MPa4000 =σ , MPa3201 =σ− solicitat de un

moment de încovoiere Mî = 4 kNm, într‐un ciclu al cărui coeficient de asimetrie este Rσ = ‐0,6, dacă se impune un coeficient de siguranță cσ = 2,4. Se cere de asemenea, să se determine rezistența la oboseală a materialului σR şi rezistența la oboseală a piesei σRp,

dacă 5,3kk G =ε⋅γ

= σσ .

4. Să se determine sarcina maximă de încărcare a unui arc de supapă cu următoarele caracteristici: d = 8 mm, D = 40 mm, n = 6 spire, ştiind că este confecționat

din oțel cu: , , MPa3201 =τ+ MPa2000 =τ MPa1501 =τ− , 1kk G =ε⋅γ

= ττ . Se cunoaşte

faptul că sarcina de montaj este de 0,25 kN şi se impune un coeficient de siguranță cτ = 2.

5. Să se determine momentul de torsiune capabil să‐l suporte arborele din figura 12.27 confecționat din oțel cu: MPa250c =τ , MPa2200 =τ , , MPa2001 =τ−

5,2kk G =ε⋅γ

= ττ , dacă impune un coeficient de siguranță cτ = 1,4.

Fig. 12.27

Fig. 12.28

6. Să se determine coeficientul de siguranță în cazul solicitării la oboseală a unui arbore cu diametrul d=60 mm confecționat din OLC 60, solicitat de un moment de torsiune ce variază între Mt max = 4 kNm şi Mt min = ‐1 kNm, dacă: ,

; k

MPa2001 =τ−

MPa280c =τ τ = 1,3; γ = 0,85; ε = 0,9.

7. Pentru arborele cu secțiunea periculoasă din figura 12.28 confecționat din oțel cu: , , MPa480c =σ MPa4000 =σ MPa3001 =σ− , MPa300c =τ , ,

şi

MPa2800 =τ

MPa2001 =τ− 5,4kk G =ε⋅γ

= σσ , 5,3kk G =

ε⋅γ= τ

τ se cere să se determine:

a) Momentul de încovoiere capabil ( )4,0R −=σ , dacă cσ = 2,1;

b) Momentul de torsiune pulsator, dacă c = 1,4.

109

8. Să se determine pentru arborele cu secțiune din figura 12.29, dacă se cunosc:

, , , MPa350c =τ MPa3000 =τ MPa2501 =τ− 5,4kk G =ε⋅γ

= ττ :

a) Rezistența la oboseală a materialului, dacă ; 3,0R =τ

b) Rezistența la oboseală a piesei; c) Momentul de torsiune capabil dacă

se impune un coeficient de siguranță cτ = 2,1; d) Momentul de încovoiere ce poate

acționa simultan cu cel de torsiune, dacă se cunosc 6,0R −=σ MPa600c =σ , MPa5000 =σ ,

, MPa4001 =σ− 5,5kk G =ε⋅γ

= σσ , iar coeficientul

de siguranță total este c = 1,6.

Fig. 12.29

110

111

1133.. FFLLAAMMBBAAJJUULL BBAARREELLOORR DDRREEPPTTEE

13.1. Noțiuni generale

Barele solicitate la întindere, forfecare, răsucire, încovoiere şi la solicitări compuse, studiate în capitolele precedente, se deformează sub acțiunea sarcinilor, dar deformația are loc în cadrul echilibrului elastic. Situația de echilibru elastic nu se menține la bare drepte, de o anumită lungime comprimate, când forța P depăşeşte o valoare limită.

Se consideră bara dreaptă, articulată la ambele capete, din figura (13.1,a). Atât timp cît valoarea sarcinii P este mică, bara îşi păstrează poziția sa de echilibru elastic stabil. Fenomenul de echilibru stabil se constată prin aplicarea unei forțe transversale asupra barei comprimate. Această forță încovoaie bara, dar odată cu înlăturarea forței transversale bara revine la forma dreaptă.

Mărind valoarea forței de compresiune P se ajunge la situația când, la încetarea acțiunii forței transversale perturbatoare, bara nu mai revine din poziția deformată. Această situație, când bara îşi păstrează poziția deformată (nu revine), după acțiunea forței perturbatoare, se numeşte poziție de echilibru instabil. Instabilitatea este cauzată de valoarea nedeterminată a săgeții barei încovoiate (mărimea curburii nu depinde numai de valoarea forței transversale). Rezultă că la atingerea unei anumite sarcini Pf, numită sarcină critică de flambaj, bara trece din starea de echilibru stabil în cea de echilibru instabil. Acest fenomen de pierdere a stabilității elastice a barei, la atingerea sarcinii critice de flambaj, ce comprimă bara, se numeşte flambaj.

Mărind sarcina de compresiune peste valoarea Pf poate avea loc unul din următoarele fenomene:

a. dacă bara este deja curbată, curbura acesteia creşte depăşind orice valoare acceptabilă;

b. când bara este rectilinie, poziția sa de echilibru se păstrează un timp până când intervine o forță perturbatoare care scoate bara din poziția de echilibru şi în acest moment curbura barei creşte foarte rapid conducând la distrugerea acesteia prin flambaj.

Bielele de motor şi de compresor, tijele de piston, stâlpii şi barele comprimate din construcții sunt piese ce sunt supuse la flambaj şi care, sub acțiunea sarcinilor, nu trebuie să‐şi piardă stabilitatea.

Fenomenul de instabilitate elastică (flambajul) diferă mult de fenomenele studiate în capitolele precedente prin:

a. odată cu creşterea sarcinii de compresiune apar şi cresc eforturile de încovoiere sau/şi răsucire ce depind de deformații, eforturi care sporesc aceste deformații;

b. deformațiile nu au dependență liniară de sarcina de compresiune, ci neliniară;

c. deformațiile (la apariția fenomenului de flambaj) sunt mari astfel că nu mai pot fi luate în considerare ipotezele ce au la bază deformațiile mici ale barei.

Deci, fenomenul de flambaj trebuie situat şi studiat într‐o altă perspectivă comparativ cu solicitările la eforturile N, T, Mi şi Mt. Numai aşa se poate înțelege de ce o bară flambează când tensiunea normală de compresiune este inferioară rezistenței admisibile. Dacă se are în vedere că flambajul este pierderea poziției de echilibru static la valolri inferioare lui σa şi nu o nouă solicitare totul devine explicabil.

13.2. Sarcina critică de flambaj. Formula lui Euler

Se consideră o bară dreaptă de lungime L, realizată dintr‐un material elastic, articulată la cele două capete şi comprimată de sarcina P. Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarcinii critice de flambaj la care bara are o poziție de echilibru indiferent (deformație mare, de curbă neprecizată) cum este reprezentată în figura (13.1,a).

Fig. 13.1

Pentru bara având deformații mari ecuațiile de echilibru trebuie scrise considerând starea deformată (fig. 13.1,b). În această situație partea din stânga secțiunii x conține eforturile N = P şi M = P⋅v.

112

Deformația barei, reprezentată în figura (13.1,a) prin curba O′CA se poate aproxima prin ecuația fibrei medii deformate (11.3) a barei drepte solicitate la încovoiere:

IEM

dxvd2

2

⋅−= . (9.3)

Substituind în această ecuație expresia momentului încovoietor se obține ecuația diferențială:

0IEvP

dxvd

z2

2

=⋅⋅

+ , (13.1)

ce are soluția: axcosCaxsinBv ⋅+⋅= .

Din condiția la limită în origine x = 0, v0 = 0, rezultă că C = 0, astfel că ecuația axei barei deformate este:

axsinBv ⋅= . (13.2)

Derivând şi înlocuind în (13.1) se obține ecuația:

0axsinBIEPa

z

2 =⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+− ,

ce este satisfăcută pentru:

z

2

IEPa⋅

= sau zIE

Pa⋅

= . (13.3)

0axsinB ≠⋅ , deoarece dacă ar fi egală cu zero, înseamnă că bara nu se deformează pentru orice x şi deci bara nu flambează.

Condiția la limită în reazemul A: x = L, 0LasinBvA =⋅⋅= este satisfăcută

numai pentru: 0 , Lasin =⋅

numită ecuația de stabilitate, ale cărei soluții sunt:

π⋅=⋅

⋅=⋅ nIEPLLa

z

,

din care rezultă sarcinile critice de flambaj:

2z

2

f1 LIEP ⋅⋅π

= , 2z

2

f2

2L

IEP⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅π= , .... 2

z2

nf

nL

IEP⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅π= , (13.4)

şi respectiv deformațiile barei corespunzătoare acestor soluții:

113

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅π

⋅=LxsinBv 11 , ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅π

⋅=Lx2sinBv 22 ,.... ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅π⋅

⋅=L

xnsinBv nn . (13.5)

Deformațiile reprezentate prin expresiile (13.5) au o semiundă, două semiunde,...n semiunde. Notând cu Lf distanța dintre două puncte succesive de inflexiune a deformației şi numind această distanță lungime de flambaj (Llf = L , L2f = L/2,..., Lnf = L/n) soluțiile (13.4) şi (13.5) se pot scrie sub forma:

2nf

z2

nf LIEP ⋅⋅π

= , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅π⋅=

nfnn L

xsinBv . (13.6)

Din infinitatea de soluții (13.6) numai prima soluție (n = l) corespunde realității date în figura (13.1,a).

Soluțiile rezultate pentru n 2 corespund realității numai dacă bara e constrânsă de ghidaje suplimentare ca în figura 13.2, să ia forma corespunzătoare acestor legături în caz contrar valorile P

≥

2f, P3f,..., Pnf, respectiv deformațiile v2, v3,...,vn sunt doar soluții teoretice. Fig. 13.2

Deci în lipsa legăturilor suplimentare flambajul are loc numai pentru sarcina cea mai mică, respectiv numai pentru lungimea de flambaj maximă.

Considerând articulațiile O şi A spațiale, adică bara se poate curba în orice direcție transversală ei, aceasta se va produce astfel încât vectorul să fie dirijat după axa principală cu moment de inerție minim (I

PvM ×=2 = Imin).

Sarcina critică de flambaj este egală cu sarcina minimă dată de soluțiile (13.6) care este corespunzătoare atât lungimii de flambaj minime cât şi momentului de inerție minim :

2f

min2

f LIEP ⋅⋅π

= . (13.7)

Relația (13.7) se numeşte formula lui Euler. Constantele BBi din soluțiile (13.5) nu pot fi determinate din ecuația diferențială

(13.1), astfel că nu se pot stabili valorile deformațiilor de flambaj pornind de la ecuația diferențială aproximativă a fibrei medii deformate (11.3). Acest neajuns nu deranjează întrucât interesul inginerului este dirijat către aflarea sarcinii critice de flambaj, sarcină ce produce pierderea echilibrului.

114

13.3. Modul de rezemare. Lungime de flambaj

La § 13.2 s‐a stabilit formula pentru sarcina critică de flambaj în cazul barei articulate la capete şi s‐a definit lungimea de flambaj ca distanță dintre două puncte de inflexiune consecutive a deformației. În practica inginerească se întâlnesc şi alte moduri de rezemare a barelor comprimate, care vor avea deformații corespunzătoare acestor moduri de rezemare. Observând, în figura13.3 deformata după care flambează fiecare caz de bară dreaptă, de lungime L, se deduce lungimea de flambaj pentru cele 6 cazuri de rezemare:

− Cazul 1 (caz fundamental de flambaj, figura 13.1) este reprezentat de bara articulată la cele două capete, ce are Lf = L, respectiv are deformata sub formă de semiundă.

− Cazul 2 este cel al barei în consolă, comprimată de forța ce acționează la capătul liber şi are deformata sub forma unei jumătăți de semiundă, Lf = 2⋅L.

Fig. 13.3

− Cazul 3 este reprezentat de bara încastrată la un capăt şi articulată la celălalt. Deformata la flambaj a acestei bare are un punct de inflexiune în articulație iar

al doilea se află la L2 de primul astfel că L L Lf = ≈ ⋅

20 7, .

− Cazul 4 al barei dublu încastrate, ce are punctele de inflexiune la L/4 față de fiecare din încastrări, astfel că Lf = 1/2 .

− Cazul 5 este reprezentat tot de o bară dublu încastrată dar unul din capete îşi poate deplasa încastrarea în planul transversal al barei, astfel că rotirile din încastrări

115

sunt nule şi punctul de inflexiune se află la mijlocul barei, iar deformata este compusă din două sferturi de undă, respectiv Lf = L.

− Cazul 6 este reprezentat de o bară articulată la un capăt şi încastrată la celălalt (similar cazului 3) dar la care încastrarea se poate deplasa într‐un plan transversal barei (ca la cazul 5), astfel că deformata barei constituie un sfert de undă deci . L Lf = ⋅2

Deci, calculul sarcinii critice de flambaj se va face cu formula (13.7), calculându‐se în prealabil lungimea de flambaj, ținând seama de relația corespunzătoare cazului de flambaj în care se află bara. De asemenea, mai trebuie avut în vedere că bara dublu încastrată (cazul 4) este cea mai rezistentă la flambaj, iar bara încastrată la un capăt şi liberă la celălalt (cazul 2) are capacitatea de încărcare cea mai mică (de 16 ori față de cazul 4) .

13.4. Limita de valabilitate a relației lui Euler. Flambajul barei

în domeniul elasto‐plastic

Mărimea rezultată din raportul:

min

f

iL

=λ (13.8)

în care:

AIi min

min = ,

este raza de inerție minimă (vezi § 5.6), se numeşte coeficient de sveltețe sau de subțirime. Această mărime are o importanță deosebită în analiza fenomenului de stabilitate.

Tensiunea critică de flambaj se obține ținând seama de formula (13.7):

2

2

min

2f

ff

E

AILE

AP

λ⋅π

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

==σ (13.9)

Diagrama de variație a tensiunii critice de flambaj σ f în funcție de coeficientul

de sveltețe λ este o hiperbolă (hiperbola lui Euler, fig.13.4). Întrucât formula (13.7) a fost dedusă în condițiile deformării barei în domeniul liniar‐elastic, rezultă că tensiunea critică de flambaj nu poate depăşi limita de proporționalitate a materialului. Coeficientul de zveltețe corespunzător limitei de proporționalitate ( ): σ σf p=

116

λπ

σ

=E

p

, (13.10)

constituie limita la stânga a domeniului de valabilitate a relației lui Euler (flambaj elastic).

Limita la dreapta a domeniului elastic este fixată pe bază empirică şi stabilită prin norme tehnice. În STAS 10108/0‐78, tabelul 23, sunt date valorile maxime pentru coeficienții de zveltețe, dintre care redăm mai jos valorile:

λmax = 120 ‐ pentru stâlpi principali şi grinzi cu zăbrele din oțel; λmax = 150 ‐ pentru stâlpi secundari din oțel; λmax = 250 ‐ pentru barele care nu fac parte din elementele de rezistență

solicitate direct. Pentru barele din fontă se recomandă λmax= 120, iar pentru cele din lemn λmax=150. Formulele (13.7) şi (13.9) pot fi utilizate la calculul la flambaj numai pentru

domeniul elastic, respectiv pentru [ ]max0 ,λλ∈λ .

Pentru barele scurte, la care se deduce o valoare σ f > σ p , flambajul are loc în domeniul elasto‐plastic (λ > λ0). In domeniul elasto‐plastic au fost stabilite formule empirice pentru calculul tensiunii critice de flambaj. Dintre acestea, cea mai largă utilizare o are formula Tetmayer ‐ Iasinski.

λ⋅−=σ baf . (13.11)

Diagrama funcției (13.11) este o dreaptă din care se utilizează doar segmentul BD (fig.13.4). Punctul B constituie limita la dreapta şi rezultă din intersecția dreptei Tetmayer ‐ Iasinski cu hiperbola lui Euler. Punctul D constituie limita la stânga şi rezultă din intersecția dreptei Tetmayer ‐ Iasinski cu palierul . Abscisa

corespunzătoare punctului D este λ

cf σ=σ

1. Deci, formula (13.11) poate fi utilizată numai pentru domeniul [ ]01 ,λλ∈λ .

Calculul coeficientului λ1 rezultă din limitarea valabilității relației lui Tetmayer ‐ Iasinski la stânga, astfel: cf ba σ≤λ⋅−=σ ,

de unde se obține:

ba c

1σ−

=λ>λ . (13.12)

În cazul barelor foarte scurte, la care rezultă λ < λ1 şi din relația (13.11) se obține flambajul are loc în domeniul plastic. În acest caz bara se calculează la

compresiune cu relațiile de la § 5. cf σ>σ

117

Fig. 13.4

Diagrama ( )λ=σ ff , reprezentată cu linii groase în figura 13.4 poartă numele de

caracteristică de flambaj a materialului. Aceasta este formată din trei porțiuni:

− hiperbola AB, de ecuația 2

2

fE

λ⋅π

=σ , valabilă în domeniul elastic,

[ ]max0 ,λλ∈λ ;

− dreapta BD, de ecuație λ⋅−=σ baf , valabilă în domeniul elasto‐plastic

[ ]01 ,λλ∈λ ;

− palierul CD, de ecuație cf σ=σ , în domeniul plastic, pentru λ < λ1.

Valorile mărimilor λ0, λ1 şi ale coeficienților a şi b din formula (13.11) pentru unele materiale mai frecvent utilizate sunt date în tabelul 13.1.

Tabelul 13.1

Materialul λ0 λ1 σf [MPa]

OL 37 (σc = 240 MPa) 105 60 σf = 304 ‐ 1,12 λ

OL 44 (σc = 280 MPa) 100 60 σf = 460 ‐ 2,57 λ

OL 52 (σc = 350 MPa) 100 60 σf = 577 ‐ 3,74 λ

Oțel cu 5% nichel 80 0 σf = 461 ‐ 2,25 λ

Oțel crom ‐ molibden 55 0 σf = 980 ‐ 5,3 λ

Duraluminiu 50 0 σf = 372 ‐ 2,14 λ

Lemn 100 0 σf = 28,7 ‐ 0,19 λ

Fontă 80 0 σf = 776 ‐ 12 λ + 0,053 λ2

118

13.5. Calculul la flambaj al barelor comprimate

Calculul la flambaj al barelor comprimate se efctuează în funcție de domeniul de utilizare al barei:

a. în construcția de maşini, prin metoda coeficientului de siguranță; b. în construcțiile civile, industriale şi agricole, prin metoda coeficientului ϕ

(STAS 10108/0‐78).

13.5.1. Calculul la flambaj în construcția de maşini

Coeficientul de siguranță, ce stă la baza calculului de rezistență în construcția de

maşini este raportul dintre sarcina critică de flambaj şi sarcina efectivă, sau cel dintre tensiunea critică de flambaj şi tensiunea efectivă:

PPc f= , sau

σσ

= fc . (13.13)

Valoarea coeficientului de siguranță la flambaj c, se alege în funcție de domeniul unde se utilizează piesa respectivă. În tabelulul 13.2 se indică orientativ, valori ale coeficientului de siguranță la flambaj.

Calculul de verificare şi de capacitate de încărcare la flambaj începe cu determinarea coeficientului de zveltețe λ şi numai după ce se stabileşte domeniul în care trebuie calculată bara, ținând seama de caracteristicile de flambaj ale materialului ( λ0 şi λ1 ), se poate efectua calculul respectiv.

Tabelul 13.2

Domeniul de utilizare a barei comprimate c

Construcții metalice: civile, industriale şi agricole 1,7... 2,4 (met.ϕ)

Construcții din lemn 3 ‐ 10

Construcții obişnuite de maşini 4 ‐ 12

Piese de maşini supuse şocului şi solicitărilor variabile 8 ‐ 28

Formulele de verificare la flambaj sunt:

cPLIE

PPc 2

f

min2

fef >

⋅⋅⋅π

== , pentru [ ]max0 ,λλ∈λ , (13.14a)

cP

A)ba(PPc f

ef >⋅λ⋅−

== pentru [ ]01 ,λλ∈λ , (13.14b)

acmax AP

σ≤=σ . pentru . (13.14c) 1λ<λ

119

Capacitatea de încărcare se calculează cu formula corespunzătoare pentru fiecare domeniu şi anume:

2f

min2

cap LcIEP

⋅⋅⋅π

= , pentru [ ]max0 ,λλ∈λ , (13.15a)

cA)ba(Pcap⋅λ⋅−

= , pentru [ ]01 ,λλ∈λ (13.15b)

AP acap ⋅σ= , pentru 1λ<λ . (13.14c)

Dimensionarea secțiunii barei se poate realiza numai cu formula (13.15,a):

ELPcI 2

2f

necmin ⋅π⋅⋅

= . (13.16)

Valoarea obținută pentru Imin stă la baza adoptării dimensiunilor pentru secțiunea transversală. Apoi, după ce s‐a calculat în prealabil λ, secțiunea se verifică cu relațiile (13.14,b şi c). Verificarea cu relația (13.14,a) nu mai este necesară deoarece Imin a fost calculat cu formula (13.16) corespunzătoare domeniului elastic ( [ ]max0 ,λλ∈λ ). Când în

urma verificării cu formulele (13.13,a sau b) rezultă că secțiunea adoptată este supradimensionată, sau respectiv că nu rezistă la sarcina P se adoptă o nouă secțiune, cu dimensiuni mai mici, respectiv mai mari şi această nouă secțiune se verifică din nou. Calculul de dimensionare urmat de adoptarea unei mărimi a secțiunii şi verificarea acesteia se face până când valoarea coeficientului de siguranță efectiv satisface relația:

8,0cc

05,1c

ef ≤≤ , (13.17)

şi se numeşte dimensionarea prin încercări succesive. Din analiza formulei de dimensionare (13.16) se observă că la flambaj materialul

nu se ia în considerare prin rezistența la rupere sau de curgere (σr sau σc) ci prin caracteristica elastică E. Întrucât modulul de elasticitate are aproximativ aceeaşi valoare pentru oțeluri (E = 210 GPa) în domeniul elastic este necesar să se folosească un oțel de mică rezistență (folosirea unui oțel aliat nu este justificată).

Mai trebuie reținut că este necesar ca secțiunea transversală să aibă acelaşi moment de inerție pe cele două direcții principale sau de valori cît mai apropiate. Materialul care contribuie la diferența Imax ‐ Imin nu este utilizat la stabilitatea echilibrului elastic. O bară are o secțiune ce utilizează eficient materialul, la flambaj, când Imax = Imin.

120

13.5.2. Calculul la flambaj prin metoda coeficientului ϕ

În domeniul construcțiilor civile, industriale şi agricole coeficientul de siguranță la flambaj are valori mai mici, comparativ cu cel din construcția de maşini, care sunt precizate prin norme. Funcție de valoarea lui c, care variază în funcție de λ, s‐au dedus formule pentru un coeficient ϕ, care intră în formula de verificare:

RAP

f ≤⋅ϕ

=σ , (13.18)

în care P este sarcina (efortul) de compresiune, A ‐ aria efectivă a barei, ϕ ‐ coeficientul minim de flambaj şi R ‐ rezistența de calcul (vezi anexa 3.a, din STAS 10.108/0‐78, sau anexa 14.b).

Coeficientul minim de flambaj ϕ depinde de coeficientul de sveltețe λ, forma secțiunii şi de materialul barei. Acesta, pentru mărcile de oțel frecvent utilizate în construcții, se poate calcula cu una din relațiile date în anexa 14.b (sau se poate lua din tabelele 43...61 date în STAS 10.108/0‐78), în conformitate cu indicațiile date în anexa 14,a (sau tabelul 42 din STAS 10.108/0‐78).

Capacitatea de încărcare se calculează cu relația : RAPcap ⋅⋅ϕ= (13.19)

Bara se predimensionează la flambaj utilizând relația (13.16) şi apoi se verifică cu formula (13.18), efectuându‐se şi de această dată dimensionarea prin încercări succesive, aşa cum s‐a arătat la dimensionarea în construcțiile de maşini.

Aplicația 13.1. Să se dimensioneze din OL 52 şurubul conducător al unui strung ce se consideră încastrat la un capăt şi articulat la celălalt, de lungime L=1,5 m, dacă este comprimat de o forță P = 65 kN şi se impune un coeficient de siguranță c = 4.

Rezolvare: Lf = 0,7⋅L = 0,7⋅1250 = 875 mm.

Din relația (13.16), pentru 64dI

41⋅π

= , se obține:

mm4,3710210

4875106564E

cLP64d 433

234

3

2f

nec1 =⋅⋅π

⋅⋅⋅⋅=

⋅π⋅⋅

=

Se adoptă şurubul cu filet trapez Tr 46 x 8 cu dimensiunile: d1=37 mm, d=46 mm. Cu dimensiunile adoptate rezultă:

mm25,94d

d644d

AIi 1

21

41min

min ==⋅⋅⋅π

== ;

59,9425,9

875ilmin

f ===λ , deci λ1 < λ < λ0‐

121

Şurubul prezintă pericol de flambaj în domeniul elasto‐plastic şi trebuie verificat. MPa2,22374,3577baf =λ⋅−=λ⋅−=σ ,

03

2f c693,3

10654372,223

PPc <=

⋅⋅⋅π⋅

== ,

deci şurubul nu rezistă. Se măresc dimensiunile adoptându‐se Tr 48x8 cu d1 = 39 mm şi d = 48 mm. Se verifică pentru aceste dimensiuni obținându‐se:

mm75,94di 1

min == , 74,89iLmin

f ==λ ;

MPa4,24174,8974,3577baf =⋅−=λ⋅−=σ ;

03

2f c44,4

10654394,241

PPc >=

⋅⋅⋅

== .

Se adoptă şurub Tr 48x8. Aplicația 13.2. Să se verifice bara comprimată din figura 13.5 ce este solidarizată

cu plăcuțe dispuse la distanța de 0,7 m. Rezolvare: Caracteristicile geometrice ale unui profil cornier 100 x 100 x 10 sunt :

Iul= 280 cm4;Ivl= 72,9 cm4, A1= 19,2 cm2, e = 2,82 cm, iul=3,83 cm, ivl= 1,97 cm (din anexa 7).

Fig. 13.5

Momentele de inerție față de axele centrale principale de inerție sunt: 4

1uu cm5602802I2I =⋅=⋅= ;

( )[ ]I I a e A cmv v= ⋅ + ⋅ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = ⋅ + ⋅ + ⋅ =2 2

22 72 9 2 0 42 2 82 19 2 942 11

2

12 4. , , , , .

deci: cm83,3ii umin == ;

cm97,1ii v1 == ;

cm4202840

2LLf === ;

cm70L1 = ;

122

7,10983,3

420iLmin

f ===λ ;

Întrucât bara este confecționată din două profile L solidarizate cu plăcuțe la distanța de L1= 0,7 m este necesar să se aibă în vedere şi flambajul local al unui profil dintre două plăcuțe de solidarizare.

În acest caz coeficientul de zveltețe al unui profil va fi:

4053,3597,170

iL1

11 <===λ .

Întrucât în STAS 10108/0‐78 este precizată condiția ca λ1 40< pentru ca un profil

să nu flambeze, se poate concluziona că în acest caz nu apare pericolul de flambaj local. Calculul la flambaj se va face în acest caz numai pentru întreaga bară. Pentru secțiunea barei din figură, din anexele 14.a şi 14.b rezultă următoarea

formulă pentru coeficientul ϕ:

.488,07,109

117027,109

58517506,07,109

58517506,0

1170258517506,058517506,0

2

2

22

2

2

22

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

=λ

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λ+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λ+=ϕ

Înlocuind în formula (13.18) se obține:

MPa65,10102,192488,0

1020AP

3

3

f =⋅⋅⋅

⋅=

⋅ϕ=σ ,

valoare ce este mult sub valoarea rezistenței de calcul (R=220 MPa conform anexei 14.a), se afirmă: bara este supradimensionată pentru P = 20 kN şi se calculează sarcina capabilă:

kN2,41210220488,0102,192RAP 32cap =⋅⋅⋅⋅⋅=⋅ϕ⋅= − .

Se adoptă: Pcap = 400 kN.

13.6. Întrebări ‐ test 1. Definiți raza de inerție. 2. Ce se înțelege prin lungime de flambaj? 3. Ce este flambajul? Este flambajul o solicitarea? 4. La ce solicitare apare fenomenul de instabilitate? Dați câteva exemple. 5. Prin ce se caracterizează flambajul? 6. Ce este forța critică de flambaj? 7. Ce este coeficientul de siguranță la flambaj? Ce valori are şi de cine este influențat?

123

8. Ce este lungimea de flambaj? 9. Ce metode cunoaşteți pentru calculul forței critice de flambaj? 10. Scrieți şi comentați relația lui Euler. 11. Care sunt valorile lungimilor de flambaj pentru barele confecționate din lemn? 12. Ce este coeficientul de zveltețe? 13. Ce este flambajul elastic? Dar cel plastic? 14. Care sunt etapele de calcul în cazul problemelor de dimensionare la flambaj? 15. Cum se face verificarea unei bare la flambaj? 16. Cum se calculează forța capabilă a unei bare la flambaj? Dar forța critică de flambaj?


1. Să se dimensioneze o bară dreaptă de secțiune pătrată, încastrată la un capăt şi articulată la celălalt, lungă de 3 m şi solicitată la compresiune de o sarcină P = 300 kN, ştiind că materialul din care este confecționată bara este OL 37 şi se impune un coeficient de siguranță c0 = 3.

2. Să se verifice bara comprimată din figura 13.6 ştiind că este confecționată din OL 37 şi se impune un coeficient de siguranță c0 = 4.

3. La ce diferență de temperatură flambează bara din figura 13.7, confecționată din oțel cu: E = 210 GPa şi α = 12 x 10‐6 grad‐1?

Fig. 13.6 Fig. 13.7 4. Să se verifice la flambaj o bară confecționată din OL37 de lungime L = 4 m şi

diametru d = 100 mm, încărcată cu o sarcină P = 500 kN, dacă este încastrată la ambele

capete. (c0 = 4, σf = 304 ‐ 1,12 λ [MPa], λ0 = 105 şi λ1 = 60). 5. Să se determine sarcina critică de flambaj ce poate să o suporte o bară de lemn

(E = 10 GPa) cu secțiunea dreptunghiulară 80 x 120 [mm2] solicitată la compresiune, dacă bara are o lungime L = 3 m şi este încastrată la ambele capete. (ptr lemn λ0 = 80 şi λ1 = 0).

6. Să se verifice bara comprimată din figura 13.8 confecționată din patru corniere 40x40x5 asamblate prin sudură.

124

Fig. 13.8 Fig. 13.9 7. Să se verifice la flambaj bara confecționată din țeavă de oțel OL 37, ştiind că

are dimensiunile şi încărcările prezentate în figura 13.9 8. Să se dimensioneze biela din figura 13.10 confecționată din oțel OL 52, dacă se

impune un coeficient de siguranță c0 = 6.

Fig. 13.10

9. Să se dimensioneze bara comprimată din figura 3.11 confecționată din oțel OL37, dacă se impune un coeficient de siguranță c0 = 3,5.

Fig. 13.11

10. Să se determine sarcina capabilă să o suporte bara din figura 13.12, în condiții de eficiență economică. De asemenea, să se determine distanța dintre zăbreluțele de rigidizare.

Fig. 13.12

125

11. Să se dimensioneze bara din figura 13.13, ştiind că este confecționată din OL37 şi se impune un coeficient de siguranță c0 = 4.

Fig. 13.13

126

127

1144.. TTEESSTTEE PPEENNTTRRUU VVEERRIIFFIICCAARREEAA CCUUNNOOŞŞTTIINNȚȚEELLOORR

Testul nr. 1

1. Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de siguranță. 2. Să se ridice nedeterminarea şi să se traseze diagramele de eforturi pentru bara

din figura de mai jos.

3. Să se dimensioneze bara comprimată din figura de mai jos, confecționată din oțel

OL 37, dacă se impune un coeficient de siguranță c0 = 3,5. (ptr. OL 37, E=210 GPa, λ1=60, λ0=105, ). [ ]MPa12,1304f λ⋅−=σ

4. Arborele a cărui secțiune este prezentată în figura

alăturată, confecționat din oțel cu: ,MPa)n1,010(48c ⋅+⋅=σ MPa)n1,010(400 ⋅+⋅=σ ,

, este solicitat de un moment de

încovoiere într‐un ciclu al cărui coeficient de asimetrie este R

MPa)n1,010(321 ⋅+⋅=σ−

σ = ‐0,6. Se cere să se determine: a) rezistența la oboseală a materialului σR; b) rezistența la oboseală a piesei σRp, dacă 5,3k G =σ ;

c) momentul de încovoiere maxim şi minim, dacă se impune un coeficient de siguranță cσ=2,5.

Testul nr. 2

1. Demonstrați expresia coeficientului de siguranță la oboseală (metoda Soderberg). 2. Să se ridice nedeterminarea şi să se traseze diagramele de eforturi pentru bara


3. Să se dimensioneze bara comprimată din figura de mai jos, confecționată din oțel

OL 37, dacă se impune un coeficient de siguranță c0 = 3,5. (ptr. OL 37, E=210 GPa, λ1=60, λ0=105, [ ]MPa12,1304f λ⋅−=σ ).


alăturată, confecționat din oțel cu: MPa)n1,010(401 ⋅+⋅=τ+ MPa)n1,010(340 ⋅+⋅=τ ,

este solicitat de un moment de torsiune într‐un ciclu al cărui coeficient de asimetrie este R

MPa)n1,010(261 ⋅+⋅=τ−

τ = 0,4. Se cere să se determine: a) rezistența la oboseală a materialului τR; b) rezistența la oboseală a piesei τRp, dacă

; 5,3k G =τ

a) momentul de torsiune maxim şi minim, dacă se impune un coeficient de siguranță cτ=2,1.

128

Testul nr. 3

1. Demonstrați expresia coeficientului de siguranță la oboseală (metoda Serensen). 2. Să se ridice nedeterminarea şi să se traseze diagramele de eforturi pentru bara


3. Să se dimensioneze o bară dreaptă de secțiune circulară, încastrat la ambele

capete, lungă de (3000 + 10n) mm şi solicitată la compresiune de o sarcină P = 30 (10+n) kN, ştiind că materialul din care este confecționată bara este OL 37 şi se impune un coeficient de siguranță c0 = 3. (ptr. OL 37, E=210 GPa, λ1=60, λ0=105,

). [ ]MPa12,1304f λ⋅−=σ

4. Arborele a cărui secțiune este prezentată în figura alăturată, confecționat din oțel cu:

,MPa)n1,010(451 ⋅+⋅=σ+ MPa)n1,010(370 ⋅+⋅=σ , , este solicitat de un moment

de încovoiere într‐un ciclu al cărui coeficient de asimetrie este R

MPa)n1,010(301 ⋅+⋅=σ−

σ = ‐0,4. Se cere să se determine: a) rezistența la oboseală a materialului σR;

b) rezistența la oboseală a piesei σRp, dacă

; 3k G =σ


129

Testul nr. 4

1. Demonstrați expresia coeficientului de siguranță la oboseală (metoda Soderberg). 2. Să se ridice nedeterminarea şi să se traseze diagramele de eforturi pentru bara


3. Să se determine sarcina capabilă să o suporte o bară de lemn (E = 10 GPa) cu

secțiunea dreptunghiulară b x h [mm2] (b=[8 (10+n)] şi h=[12 (10+n)]), solicitată la compresiune, dacă bara are o lungime L = (3000 + 10n) mm şi este încastrată la ambele capete, dacă se impune un coeficient de siguranță c0 = 4. (ptr. lemn λ1 = 0, λ0 = 80,

). [ ]MPa19,07,28f λ⋅−=σ


MPa)n1,010(38C ⋅+⋅=τ MPa)n1,010(300 ⋅+⋅=τ , este solicitat de un moment de

torsiune într‐un ciclu al cărui coeficient de asimetrie este R

MPa)n1,010(241 ⋅+⋅=τ−

τ = 0,8. Se cere să se determine: a) rezistența la oboseală a materialului τR; b) rezistența la oboseală a piesei τRp, dacă

; 3k G =τ

c) momentul de torsiune maxim şi minim, dacă se impune un coeficient de siguranță cτ=2.

130

Testul nr. 5

1. Demonstrați relația lui Euler. 2. Să se ridice nedeterminarea şi să se traseze diagramele de eforturi pentru bara


3. Să se verifice bara comprimată din figura de mai jos, ştiind că este confecționată

din OL 37 şi se impune un coeficient de siguranță c0 = 4. (ptr. OL 37, E=210 GPa, λ1=60, λ0=105, ). [ ]MPa12,1304f λ⋅−=σ


alăturată, confecționat din oțel cu: ,MPa)n1,010(40c ⋅+⋅=τ MPa)n1,010(350 ⋅+⋅=τ , , este solicitat de un moment de

încovoiere într‐un ciclu al cărui coeficient de asimetrie este R

MPa)n1,010(301 ⋅+⋅=τ−

τ = ‐0,5. Se cere să se determine: a) rezistența la oboseală a materialului τR; b) rezistența la oboseală a piesei τRp, dacă

; 7,2k G =τ

c) momentul de torsiune maxim şi minim, dacă se impune un coeficient de siguranță cτ=1,8.

131

Testul nr. 6

1. Întindere – compresiune cu şoc. 2. Să se ridice nedeterminarea şi să se traseze diagramele de eforturi pentru bara


3. Să se dimensioneze o bară dreaptă de secțiune inelară (d=0,8D), încastrată la un

capăt şi liberă la celălalt, lungă de (1500 + 10n) mm şi solicitată la compresiune de o sarcină P = 40 (10+n) kN, ştiind că materialul din care este confecționată bara este OL 52 şi se impune un coeficient de siguranță c0 = 4. (ptr. OL 52, E=210 GPa, λ1=60, λ0=105,

). [ ]MPa74,3577f λ⋅−=σ


MPa)n1,010(441 ⋅+⋅=σ+ MPa)n1,010(400 ⋅+⋅=σ , este solicitat de un moment

de torsiune într‐un ciclu al cărui coeficient de asimetrie este R

MPa)n1,010(361 ⋅+⋅=σ−

σ = 0,4. Se cere să se determine: a) rezistența la oboseală a materialului σR;


; 5,2k G =σ

c) momentul de încovoiere maxim şi minim, dacă se impune un coeficient de siguranță cτ=1,7

132

Testul nr. 7

1. Încovoiere cu şoc. 2. Să se ridice nedeterminarea şi să se traseze diagramele de eforturi pentru bara


3. Să se dimensioneze bara comprimată din figura de mai jos, confecționată din

oțel OL 37, dacă se impune un coeficient de siguranță c0 = 4. (ptr. OL 37, E=210 GPa, λ1=60, λ0=105, ). [ ]MPa12,1304f λ⋅−=σ

4. Arborele a cărui secțiune este prezentată în

figura alăturată, confecționat din oțel cu: ,MPa)n1,010(401 ⋅+⋅=τ+ MPa)n1,010(370 ⋅+⋅=τ , , este solicitat de un moment


MPa)n1,010(251 ⋅+⋅=τ−

σ = 0,2. Se cere să se determine: a) rezistența la oboseală a materialului τR; b) rezistența la oboseală a piesei τRp, dacă ; 2k G =τ


133

Testul nr. 8

1. Răsucire cu şoc. 2. Să se ridice nedeterminarea şi să se traseze diagramele de eforturi pentru bara


3. Să se determine sarcina capabilă să o suporte o bară confecționată din oțel

cornier cu laturi egale 70x70x7 solicitată la compresiune, dacă bara are o lungime L = (1200 + 12n) mm şi este încastrată la un capăt şi liberă la celălalt. 4. Arborele a cărui secțiune este prezentată în figura

alăturată, confecționat din oțel cu: ,MPa)n1,010(521 ⋅+⋅=σ+ MPa)n1,010(480 ⋅+⋅=σ , , este solicitat de un moment


MPa)n1,010(401 ⋅+⋅=σ−

σ = ‐0,7. Se cere să se determine: a) rezistența la oboseală a materialului σR;


; 4k G =σ


134

135

Anexa 1 Tabelul 1

Rezistențe admisibile

Pentru unele materiale folosite în construcția de maşini

Materialul Caracteristici mecanice Rezistențe admisibile

la tracțiune [MPa]

Celelalte rezistențe admisibile

Grupa Simbol STAS σr

MPa

σc

MPa

An

%

I statică

II pulsantă

III alternantsimrtică

Compr. σσ

ac

at

Încov. σσ

ai

at

Răsucire τσ

at

at

Forfec. τσ

af

at

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Oțel carbon

OL 37 OL 44 OL 52 OL 60

500/1‐80

370‐450 420‐500 500‐620 min.700

210‐240 230‐260 270‐290 340‐360

25‐27 22 19 10

120‐150 130‐160 150‐180 210‐250

110‐130 110‐140 125‐160 160‐200

70‐100 80‐110 90‐120 110‐150

1,0 1,0 1,0 1,0

1,1‐1,2 1,1‐1,2 1,1‐1,2 1,1‐1,2

0,6‐0,65 0,6‐0,65 0,6‐0,65 0,6‐0,65

0,8 0,8 0,8 0,8

Oțel corbon de calit.

OlC 10 x OLC25 xx OLC45 xx

880‐80 420 500 660

250 310 400

19 22 17

130‐170 140‐170 200‐260

110‐170 120‐150 170‐220

80‐110 85‐115 120‐160

1,0 1,0 1,0

1,1‐1,2 1,1‐1,2 1,1‐1,2

0,6‐0,65 0,6‐0,65 0,6‐0,65

0,8 0,8 0,8

Oțel aliat

18MC10 33MoC11 13CN35

791‐80 880 880 1130

735 690 930

10 12 10

300‐380‐300‐380 380‐460

230‐320 230‐280 280‐380

150‐220 180‐230 190‐260

1,0 1,0 1,0

1,1‐1,2 1,1‐1,2 1,1‐1,2

0,6‐0,65 0,6‐0,65 0,6‐0,65

0,8 0,8 0,8

136

Anexa 1 Tabelul 1 (continuare)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Oțel turnat în piese

OT 40‐2 OT 50‐2

600‐74 400 500

200 280

24 18

100‐130 130‐180

80‐110 100‐130

50‐75 70‐95

1,1 1,1

1,1 1,1

0,6‐0,65 0,6‐0,65

0,8 0,8

Fonte grafit lamelar

Fc200 Fc300

568‐82 230∗ 330∗

‐ ‐

‐ ‐

60‐80 90‐110

50‐70 70‐90

30‐45 45‐60

2,5 2,5

‐ ‐

1.2 1,2

‐ ‐

Fonte grafit

lmodul.

Fgn45‐5 Fgn60‐2

6071‐75 450 600

320 400

5 2

150‐200 200‐260

100‐140 130‐170

75‐100 90‐120

2,5 2,5

‐ ‐

1,0‐1,3 **

1,0‐1,3 ** ‐ ‐

Aliaje nefer.de turnare

Bz12T AmT67 ATMg3Si

197‐80 199/1‐80 201‐77

200 180 130

‐ ‐ ‐

6 20 3

40‐60 40‐60 40‐75

30‐50‐30‐50

30‐55

20‐30 20‐35 20‐35

1,0 1,0 1,0

1,0 1,0

1,1‐1,2

0,7 0,7 0,7

‐ ‐ ‐

Observație: x călire şi revenire joasă; xx îmbunătățit; * pentru probe cu diametrul de 20 mm.Piese cu crustă de turnare; ** 1,1 la solicitare I ; 1,2 la solicitare II ; 1,3 la solicitare III .

137

Anexa 1 a Tabelul 2

Rezistențe de calcul la starea limită în MPa = N/mm2 (Stas 10108 ‐ 78)

I. Laminate din oțel

Marca oțelului Limita de curgere minimă 2,0c RsauR mγ

Rezistența de calcul ptr. întindere, compresiune

şi încovoiere t <16 mm 16 < t < 40 mm t <16 mm 16 < t < 40 mm

OL 34 210 200 1,10 190 180 OLT 35 230 220 1,10 210 200

OL 37, RCA 37 240 230 1,10 220 210 OLT 45 260 250 1,10 240 230 OL 44 280 270 1,12 260 250 OCS 44 265 255 1,12 260 250 OL 52 350 340 1,15 315 300

RCA 52, RCS 52 355 345 1,15 315 300 OCS 52 355 335 1,15 315 300 OCS 55 420 410 1,20 360 340 OCS 58 460 450 1,20 390 370

Valoarea limitei de curgere, respectiv a rezistenței de calcul (pentru grosimi t>40) se obțin

din relațiile urnătoare:

,RR;s2RRm

ccmc γ=⋅−=

în care: cmR este media aritmetică a limitei de curgere; s abaterea medie pătratică standard; mγ coeficientul din tabelul de mai sus.

II. Piese din oțel carbon şi de calitate turnate sau forjate sau din fontă turnată

Solicitarea Sim‐bol

Coef.γ m

OT40 OT50 OLC35Față de Ri

Fc150 Fc200

Întindere din încovoiere

Ri = 1 45 60

Compresiune din incov. sau din forță

axială R 1,0 150 210 210 R 160 180

Forfecare Rf 0,6 90 130 130 0,36 35 45 Presiune locală R 4,0 600 840 840 3,5 550 650

Presiune diametrală Rd 0,04 6 8 8 ‐ ‐ ‐

138

Anexa 1 a Tabelul 2 (continuare)

III. Profile şi table laminate

Solicitarea Simbo

l Coef.γ m O

LT35

OL3

7,

RCA37

OLT

45

OL4

4,

OCS44

OL5

2, OCS52,

RCA52, R

CB5

2

OCS55

OCS58

Întindere, compresiune, încovoiere

R 1,0 200 200 230 250 300 340 370

Forfecare Rf 0,6 120 120 140 150 180 210 220 Presiune locală

de contact R1 0,4 800 840 920 1000 1200 1360 1500

Presiune pe plan diametral Rd 0,04 8 8,4 9,2 10 12 13,6 15

Rezistențe de calcul pentru profile ş table cu grosimi mm16t≤

Întindere, compresiune, încovoiere

R 1,0 210 220 240 260 315 360 390

Forfecare Rf 0,6 125 130 145 155 190 215 235

Rezistențe de calcul pentru cordoane de sudură Întindere,

compresiune, încovoiere ∗

Ris 1,0 200 210 230 250 300 340 370

Întindere, suduri

necontrolate∗ Ri

s 0,8 160 170 180 200 240 280 300

Compresiune ∗ Rcs 1,0 200 210 230 250 300 340 370

Forfecare ∗ Rf 0,6 120 130 140 150 180 210 220 Forfecare ∗∗ Rf 0,7 140 150 160 170 210 240 260 Rezistențe de calcul pentru cordoane de sudură la profile laminate cu grosimi mm16t≤

Întindere, suduri

controlate∗ Ri

s 1,0 210 220 240 260 315 360 390

Întindere, suduri

necontrolate∗ Ri

s 0,8 170 175 190 210 250 2900 310

Compresiune ∗ Rcs 1,0 210 220 240 260 315 360 390

Forfecare ∗ Rf 0,6 125 130 145 155 190 215 235 Observație: ∗ Sudură cap la cap; ∗∗ Sudură de colț.

139

Anexa 2

Valorile caracteristicilor E, G, ν şi α

Material E

[ ]GPa G

[ ]GPa ν [ ]16

C10−

−

°

⋅α

Oțel carbon 200 ‐ 215 78 ‐ 85 0,26 ‐ 0,29 11 ‐ 13 Oțel aliat 190 ‐ 220 81 ‐ 83 0,25 ‐ 0,3 11 ‐ 13 Oțel turnat nerecopt 175‐ 185 80 ‐ 85 ‐ 11 ‐ 12 Oțel inoxidabil 190 ‐ 200 66 ‐ 75 0,25 ‐ 0,32 15 ‐ 18 Fontă cenuşie şi albă 75 ‐ 160 ∗ 32 ‐ 52∗ 0,2 ‐ 0,27 10 ‐ 12 Fontă perlitică maleabilă 160 ‐ 185∗ 68 ‐ 80∗ ‐ 10 ‐ 13 Aluminiu 69 ‐ 70 ≈ 26 0,32 0,33 23 ‐ 24 Duraluminiu (Al‐Cu‐Mg) 69 ‐ 75 27 28 0,32 ‐ 0,33 23 ‐ 24 Aliaje de AL cu siliiciu ≈ 76 ≈ 30 ≈ 0,27 ≈ 18 Aliaje de AL cu magnez. 43 ‐ 45 16 ‐ 18 ≈0,35 23 ‐ 26 Cupru laminat la rece 110 ‐ 130 ≈ 49 0,31 ‐ 0,34 16 ‐ 17 Alamă 90 ‐ 130 35 49 0.32 ‐ 0,42 18 ‐ 20 Bronz 90 ‐ 120 ≈ 43 0,31 ‐ 0,35 14 ‐ 18 Plumb 14 ‐ 17 ≈ 7 0,4 0,45 ≈ 29 Lemn de brad în lungul fibrelor 9 ‐ 13 4,5 ‐ 6 5 ‐ 2 ‐ 6 Lemn de stejar în lungul fibrelor 12 ‐ 14 4,5 ‐ 6,5 ‐ 2 ‐ 5 Lemn perpendicular pe fibre 4 ‐ 11 4,5 ‐ 6,5 ‐ ‐ Beton cu σr MPa= −10 30 15 ‐ 27 ‐ 0,16 ‐ 0,18 9 ‐ 12 Beton armat comprimat 18 ‐ 43 ‐ 0,18 ‐ 0,3 10 ‐ 12 Beton armat încovoiat 11 ‐ 30 ‐ 0,18 ‐ 0,3 10 ‐ 14 Zidărie de cărămidă 2,5 ‐ 3 ‐ ‐ ‐ Piatră de calcar, granit 42 ‐ 49 ‐ ‐ ‐ Sticlă 45 ‐ 100 21 ‐ 23 0,24 ‐ 0,27 2 ‐ 8 Celuloid 1,4 ‐ 2,7 0,6 ‐ 0,8 0,35 ‐ 0,45 6 ‐ 7 Răşini epoxidice 2,5 ‐ 4 ‐ ‐ 30 ‐ 60 Bachelit 2 ‐ 6 0,7 ‐ 2 0,35 ‐ 0,38 ‐ Polistiren 3 ‐ 5 ‐ ‐ 130

Polietilenă 1 ‐ 2,5 ≈ 3 ‐ 270

Pertinax ≈ 2,5 ‐ ‐ ‐

Textolit fibre 6 ‐ 10 2,2 ‐ ‐

Cauciuc ‐0,2 ‐ 0,6 0,0012‐0,0014

≈ 0,5 ‐

Observa:ie: ∗ La fontă E şi G scad odată cu creşterea solicitări.

140

Anexa 3 Coeficienți de sigurană la solicitarea monoaxială şi temperatură normală ∗

Solicitarea Coeficientul de siguranță faşă de :

Modul Felul Cedarea materialului prin:

Deformare Rupere Oboseală Flambaj∗∗

Întindere Deformare tenace Rupere tenace Rupere fragilă

σ σcsau 0 2, σr σr

1,2 ‐ 2 ‐ ‐

‐ 2 ‐ 3 2 ‐ 4

‐ ‐ ‐

‐ ‐ ‐

Statică

Compresiune

Deformare tenace Flambaj

Rupere tenace Rupere fragilă

σ σcsau 0 2, σ σcsau 0 2,

σr σr

1,2 ‐ 2‐ ‐ ‐ ‐

‐ ‐

2 ‐ 4 ‐

‐ ‐ ‐ ‐

‐ 3 ‐ 5 3 ‐ 5 ‐

Cicluri simetrice

Oboseală Flambaj

σ−1t σ f

‐ ‐

‐ ‐

2 ‐ 3 ‐

‐ 3 ‐ 5

Cicluri pulsante la întindere

Deformare tenace Oboseală tenace Rupere fragilă Oboseală fragilă

σ σcsau 0 2, σot σr σot

1,2 ‐ 2 ‐ ‐ ‐

‐ ‐

2 ‐ 4 ‐

‐. 2 ‐ 3 ‐

2 ‐ 3

‐ ‐ ‐ ‐

Variabilă periodică

Cicluri

pulsante la

compresiune

Deformare tenace

Oboseală tenace

Rupere fragilă

Oboseală fragilă

Flambaj

σ σcsau 0 2,

σot

σr

σot σ f

1,2 ‐ 2

‐

‐

‐

‐

‐

‐

2 ‐ 4

‐

‐

‐

‐

‐

2 ‐ 3

‐

‐

3 ‐ 5

‐

3 ‐ 5

Observație: ∗ După Wellinger ‐ Dietmann, Festigkeitsberechnung, Alfred KrönermVerlag;

∗∗ Față de sarcina critică de flambaj elastic.

141

Anexa 4 MÃRIMI GEOMETRICE

SECȚIUNEA Axele principale: 1 şi 2 Axele centrale: z şi y

ARIA A

DISTANȚE MAXIMEpânã la punctele extreme de la axele

principale

MOMENTE DE INERȚIE PRINCIPALE

fațã de axele inițiale alese

MODULE DE REZISTENȚÃ

WI

yW

Izz

zy

y= =

max max,

RAZE DE INERȚIE i I A i I A1 1 2 2= =/ , /

1 2 3 4 5 1. Dreptunghi înclinat

A= b⋅h

zh b

1 2=

⋅ + ⋅cos sinα α

yh b

1 2=

⋅ + ⋅sin cosα α

I Ah b h b

z =+

+−⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

2 2 2 2

24 242cos α

I Ah b h b

y =+

+−⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

2 2 2 2

24 242sin α

Pentru: α ≠

≠ ≠0

1 2

o

I I I Iz y,

ih b h b

z =+

+−2 2 2 2

24 242cos α

ih b h b

z =+

+−2 2 2 2

24 242cos α

2. Dreptunghi cu gol simetric

A=h⋅(B‐b)

zB

max =2

yh

max =2

I IB b

hy = =−

1

2 2

12

I IB b

hy = =−

213

12

WB b

Bh1

3 3

6=

−

WB b

Bh1

3 3

6=

−

iB Bb b

ih

1

2 2

2

12

12

=+ +

=

142

Anexa 4 (continuare) 1 2 3 4 5

3. Pătrat cu gol simetric

A= H2‐h2

z yH

1 1 2= =

u vH

1 12

2= =

⋅

I I I IH h

z y u v= = = =−2 2

12

W WH h

Hz y= =−4 4

6

W WH h

Hu v= =−4 4

6 2

i i i i

H h

z y y v= = = =

=+2 2

12

4. Secțiuni compuse simetrice

A=(B⋅H‐b⋅h) y

H

zB

1

1

2

2

=

=

( )zB H b h

B H b h3

2 2

2=

⋅ − ⋅⋅ − ⋅

I IB H b h

z = =⋅ − ⋅

1

3 3

12

I IB H b h

y 1 2

3 3

12= =

⋅ − ⋅

( ) ( )I I

B H h B b hy 2 2

3 3

12= =

− + −

I I I B H zB

b h zb

y y3 12 3

2

3

2

2

2

= = + ⋅ ⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− ⋅ ⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

WB H b h

Hz =⋅ − ⋅3 3

6

W WB H b h

By y1 2

3 3

6= =

⋅ − ⋅

WIzyy

3

3

3=

( )iB H b h

B H b hz =⋅ − ⋅⋅ − ⋅

3 3

12

5. Secțiuni compuse simetrice

A=B

⋅H+b

⋅h

zH

1 2= , y

B1 2=

( )( )z

b h B H B bB H b h3

2 22

=⋅ + ⋅ +

⋅ + ⋅

( ) ( )

( ) ( )

I IB H b h

I IB H h B b h

I IB b H b H h

I IB h b h

BH zB

b bh zb

z

y

y

y

= =⋅ + ⋅

= =− + +

= =+ − −

= =+

+

+ − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

3 3

2

3 3

2

3 3

2

3 3

3

2

3

2

12

12

12

12

2 2

1

2

3

( ) ( )( )

( ) ( )( )

WBH bh

H

WB H h B b h

B b

WB b H b H h

B b

WIz

z

y

y

yy

=+

=− + +

+

=+ − −

+

=

3 3

3 3

3

6

6

6

1

2

3

3

143


6. Secțiune dublu T

A=(Bt

1+bt

2+gt) ( )

( )

y y

Bt bt H tBt bt

gh t hgh

1

12

2 2

1 2

1

22

2

=

=+ − +

+ +

+ ++

(

)y H y2 1= −

( )( )

( )( )

IB t b t g h

IBy B g y t

by b g y t

y

z

=+ +

=− − −

+

+− − −

31

32

3

13

1 1

3

23

2 2

3

12

3

3

( )

WB t b t g h

B

WIy

WIy

iB t b t g h

Bt bt gh

iIA

y

z1z

zz

y

zz

=+ +

= =

=+ +

+ +

=

31

32

3

12

2

31

32

3

1 2

6

12

,

7. Secțiune Z

A==(BH‐bh)

eH B g

H

eh B g

H

eH g

H

1

2

2

22

22

2

= +−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= − +−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

cos sin

sin cos

sin cos'

α α

α α

α α

( )

( )( )

IBH bh

Ig h B t Bt

B g

IBt

B g H t

I II I I I

I

arctgI

I I

z

y

zy

z y z yzy

zy

z y

=−

=+

+ −

= − − −

=+

±−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

=−

3 3

3 32

1 2

2

2

1

122

12 2

2

2 2

12

2

,

α( )

WIe

WIe

iIA

iIA

iBH bh

BH bhz

11

12

2

2

11

22

3 3

12

= =

= =

=−−

,

,

8. Cornier

A=(BH‐bh) ( )

( )

( )

zB H b h

BH bh

yBH bh

BH bhz B z y H ye y z

e z y t

1

2 2

1

2 2

2 1 2 1

1 1 2

2 1 2

2

2

=−−

=−−

= − = −= +

= − −

,cos sin

cos sin

α α

α α

( )

( )

( )( )

( )( )

IB y b y t gy

IH z h z g tz

IB H

B z H y

bhb z h y

arctgI

I I

z

y

zy

zy

z y

=− − +

=− − +

= − − −

− − −

=−

23

2

3

13

23

2

3

13

1 1

1 2

1

3

3

42 2

42 2

12

2α

WI

e

WI

e

11

1

22

2

=

=

max

max

144


9. Triunghi

Abh

=2

y h

y h

1

2

23

13

=

=

Ibh

z =3

36

Wbh

Wbh

Ih

z1

z

z

=

=

=

2

2

224

12

18

10. Romb

Abh

=2

zb

yh

1

1

2

2=

I Ibh

I Ib h

z

y

= =

= =

2

3

1

3

48

48

Wbh

Wb h

ih

ib

z y

z y

= =

= =

2 2

24 24

48 48

,

,

11. Trapez

AB b

h=−2

yB bB b

h

yb B

1

2

23

2

=++

⋅

=+

IB Bb b

B bh

z =+ +

+⋅

2 2 3436

Pentru trapez isoscel

( )Ih

B B b Bb by = + + +48

3 2 2 3 ( ) ( )

WIy

WIy

ih

B bB Bb b

z1z

zz

z

= =

=+

⋅ + +

12

2

2 2

62 4

,

145


12. Coroana circularã (k = d/D)

( )AD

k= −π 2

2

11

Inel subțire

( )A D t t

tD d

= −

=−

π

2

z yD

tD d

1 1 2

2

= =

=−

( )

( )

I I I I

Dk

I It

D d

z y

z y

= = = =

= −

= = −

1 2

44

3

641

64

π

π

( )

( )

W WD

k

i iD d

W W tD t

D

i iD t

z y

y

z y

y

= = −

= =+

= =−

= =+

π

π

34

2

2 2

3

2

321

4

4

2 2

13. Sector inelar

( )A R r= −2 2 ϕ

Sector de inel subțire A tRm= 2 ϕ

zR rR r

z z rz R z

z R

y R

m

m

0

3 3

2 2

1 0

2 0

0

1

23

= ⋅−−

= − ⋅

= −

=

=

sin

cos

sin

sin

ϕϕ

ϕ

ϕϕϕ

( )

( )

( )

IR r

IR r

R r tR r

ItR

ItR

z

y

m

ym

=−

−

=−

− −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

−+

= −

= + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4 4

4 4 2

2 2 2

2

3

32

82 2

82 2

329

49

22 2

22 2

4

ϕ ϕ

ϕ ϕϕ

ϕ

ϕϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕϕ

ϕ

sin

sinsin

sin

sin

sin sin

( )

WR r

R

WIz

WIz

i R r

iIA

yy

yy

z

yy

=−

⋅−

= =

= −−

=

4 4

11

22

2 2

82 2

2 28

ϕ ϕϕ

ϕ ϕϕ

sinsin

,

sin

14. Segment de cerc

A

R

=

=−2 2

2ϕ ϕsin

z R

yR

y R yy y R

o

o

o

13

1

2

43 2 2

=

=−

= −= −

sin

sinsin

cos

ϕ

ϕϕ ϕ

ϕ

I IAR

y = = −−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟1

4 3

41

43 2 2

sin cossinϕ ϕ

ϕ ϕ

I IAR

z = = +−

−

−−

2

2 3

2

41

42 2

329 2 2

(sin cos

sinsin

sin)

ϕ ϕϕ ϕ

ϕϕ ϕ

WIz

WIy

WIyy

yz1

zz

z= = =1 1

22

, ,

iR

y = −−2

143 2 2

2sin cossinϕ ϕ

ϕ ϕ

iIAz

z=

146


15. Semicoroanã circularã

AD d

=−2 2

8π

yD dD d

yD

y

zD

1

3 3

2 2

2 1

1

23

2

2

=−−

= −

=

π

I ID d

I ID d

D d D dD d

y

z

= =−

= =−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

−−+

1

4 4

2

4 4

2 2

128

128649

18

π

ππ

π

( )WD

k

WIy

WIy

iD d

iIA

y

z1z

zz

y zz

= −

= =

=+

=

π 34

12

2

2 2

641

4

,

,

16. Coroanã elipticã

(A ab a b= −π 1

y1=b

z1=a

( )

( )

I I a b a b

I I ab ab

y

z

= = −

= = −

13

13

1

23

13

4

4

π

π

( )

( )

Wa

a b a b

Wb

ab ab

y

z

= −

= −

π

π

4

4

313

1

313

17. Hexagon regulat

A R= 1 5 32,

yR

z R

1

1

23=

= I I I I Rz y= = = =1 2

45 316

W R

W R

i i R

z

y

z y

=

=

= =

585 316

524

3

3

147

Anexa 5 PRESIUNEA MAXIMĂ DE CONTACT

Schema corpurilor în contact A B Pmax 1 2 3 4

1.

d dd d1 2

1 2

+

d dd d1 2

1 2

+ 0 62 2 1 2

1 2

2

3, ⋅+⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟PE

d dd d

2.

d dd d1 2

1 2

−

d dd d1 2

1 2

+ 0 62 2 2 1

1 2

2

3, ⋅−⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟PE

d dd d

3.

1d

1d 0 62

2

23, ⋅

PEd

4.

1

1d

1 1

1 2d d+ α ⋅

PEd

2

12

3

5.

1 1

1 2d d−

1

1d α ⋅

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟PE

d dd d

2 2 1

1 2

2

3

Anexa 5

148

(continuare)1 2 3 4

6.

1 1

1 2d d−

1 1

1 2d d+ α ⋅

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟PE

d dd d

2 2 1

1 2

2

3

7.

1 1

2 4d d−

1 1

4 3d d+ α ⋅

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟PE

d dd d

2 4 2

2 4

2

3

8.

1

2d

1

1d α ⋅

PEd

2

22

3

9.

‐ 1 1

4 3d d+ 0 59 1 2

1 2, ⋅

+PEL

d dd d

10.

‐ 1d 0 59, ⋅

⋅⋅

P Ed L

149

Anexa 6 ELEMENTE GEOMETRICE LA RĂSUCIRE

Caractersticile geometrice Forma secțiunii transversale de rezistențã

Wt [cm3] de rigiditate It [cm4]

Locul undeeste τmax

1 2 3 4 1. Coroană circulară

WD d

Dt = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

π 3 4

161 I

D dDt = −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

π 4 4

321 pe conturul

exterior

2. Segment de cerc

pentru 2 8< <DH

WD H

Dt =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3 2 82

22 92

,

,

I DHDt =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟4 74

243 35

,,

A

3. Cerc fãrã segment

WD H D

H Dt = ⋅−

+

3

82 6

0 3 0 7,

, , I

D HDt = −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4

162 6

1,

A

W Rt = α3 I Rt = β

4 r/R 0 0,05 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,5

α 1,57 0,89 0,82 0,81 0,76 0,66 0,52 0,38 0,14

4. Cerc scobit

β 1,57 1,56 1,56 1,46 1,22 0,92 0,63 0,38 0,07

A

5. Dreptunghi b<h

W k b ht = 12 I k b ht = 2

3 A τ τB Ak= 3

h/b 1 1,25 1,5 1,75 2,0 2,5 3 4 5 6 8 10 ∞ k1 0,208 0,221 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,292 0,299 0,307 0,313 0,333k2 0,141 0,172 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,292 0,299 0,307 0,313 0,333k3 1,0 0,292 0,859 0,820 0,795 0,766 0,752 0,745 0,743 0,742 0,742 0,742 0,742

Anexa 6

150

(continuare)1 2 3 4

6. Triunghi echilateral

Wb h

t = =3 3

20 12 99, I b

ht = =

380 25 98

43

, A

7. Hexagon regulat

W ht = 0 189 3, I ht = 0 115 4, A

8. Octogon regulat

W ht = 0 185 3, I ht = 0 108 4, A

9. Elipsă

Wab nb

unde nab

t = =

= ≥

π π2 2

2 2

1: I

a ba b

n bnt = +

=+

π π3 3

3 3

3 4

2 1 A

10. Coroanã elipticã

( )W c nb

unde caa

bb

nab

t = −

= =

= ≥

1

1

4 3

1 1: , ( )I cn bnt = −

+π 1

14

3 4

4 A

11. Profil subțire deschis

Wb h

bh b

ti i

i i

=

>

∑ 3

3 max I b ht i i= ∑13

3 la mijlocul dreptunghiului cu bmax

12. Arc de grosime t constantã

Wst

s lungimea arcului

t =

=

2

3 Ist

t =3

3

la mijlocul laturii

13. Profil subțire închis

W tt = 2Ω min Ω = aria închisã de fibra medie s

I dst

st

ti

i

= =

∫ ∑4 42 2Ω Ω

s = este lungimea fibrei medii

în dreptul lui tmin

151

Anexa 7 OȚEL CORNIER CU ARIPI EGALE (STAS 424‐80)

I – momente de inerție, W – module de rezistență, AIi = ‐ rază de inerție

(indicele dă axa în raport cu care s‐au calculat) Distanța axelor

[cm] Mărimile statice pentru axele de încovoiere Dimensiunile

secțiunii Aria

secțiunii Masa liniară

r r1 x ‐ x şi y ‐ y u ‐ u v ‐ v

a*a*g, [mm] [cm2] [kg/m] [mm] [mm] e u1 v1 v2 Ix= Iy[cm4]

Wx= Wy

[cm3] ix= iy [cm]

Iu [cm4]

iu [cm]

Iv [cm4]

Wv

[cm3]iv [cm]

20*20*4 1,45 1,14 3,5 2,0 0,64 1,41 0,90 0,71 0,14 0,36 0,58 0,77 0,73 0,21 0,23 0,38 30*30*4 2,27 1,78 5 2,5 0,88 2,12 1,24 1,05 1,8 0,85 0,89 2,85 1,12 0,75 0,61 0,58 40*40*4 3,08 2,42 6 3 1,12 2,83 1,58 1,40 4,47 1,55 1,2 7,09 1,52 1,85 1,17 0,78 40*40*5 3,79 2,97 6 3 1,16 2,83 1,64 1,42 5,43 1,91 1,20 8,60 1,51 2,26 1,37 0,77 50*50*5 4,80 3,77 7 3,5 1,40 3,54 1,98 1,76 11,0 3,05 1,51 17,4 1,90 4,54 2,59 0,97 50*50*6 5,09 4,47 7 3,55 1,45 3,54 2,04 1,77 12,8 3,61 1,50 20,4 1,89 5,33 2,61 0,97 60*90*6 6,91 5,42 8 4 1,69 4,24 2,39 2,11 22,8 5,29 1,82 36,2 2,29 9,43 3,95 1,17 60*60*8 9,63 7,04 8 4 1,77 4,24 2,50 2,14 29,2 6,89 1,80 46,2 2,26 12,1 4,86 1,16 70*70*7 9,40 7,38 9 4,5 1,97 4,95 2,79 2,47 42,4 8,41 2,12 67,1 2,67 17,5 6,27 1,36 80*80*8 12,30 9,63 10 5 2,26 5,66 3,19 2,82 72,2 12,6 2,43 115 3,06 29,8 9,36 1,55

100*100*10 19,2 15,0 12 6 2,82 7,07 3,99 3,54 177 24,6 3,04 280 3,83 72,9 18,3 1,95 120*120*10 23,2 18,2 13 6,5 3,31 8,49 4,69 4,23 313 36,0 3,67 497 4,63 129 27,5 2,36 140*140*14 37,6 29,4 15 7,5 3,98 9,90 5,61 5,07 689 68,8 4,30 1094 5,42 284 50,5 2,74 150*150*16 45,7 35,9 16 8 4,29 10,6 6,07 5,34 949 88,7 4,56 1510 5,74 391 64,4 2,93 160*160*14 43,3 34,0 17 8,5 4,47 11,3 6,30 5,77 1046 90,8 4,92 1662 6,20 431 68,1 3,16 160*160*16 49,1 38,5 17 8,5 4,55 11,3 6,42 5,79 1175 103 4,89 1866 6,17 485 75,3 3,14

OBSERVAȚIE ‐ Masa este calculată pentru dimensiunile nominale pe baza densității de 7,85 kg/dm3.

152

Anexa 8 OȚEL CORNIER CU ARIPI INEGALE (STAS 425‐80)


(indicele dă axa în raport cu care s‐au calculat)

Mărimile statice pentru axele de încovoiere

Distanța axelor [cm] x ‐ x y ‐ y u ‐ u v ‐ v

Dimensiunile secțiunii a*b*g

Aria secțiuni

Masa liniară r r1

Unghiulde

înclinarea axelor

Ix Wx ix Iy Wy iy Iu iu Iv iv [mm] [cm2] [kg/m] [mm] [mm]

ex ey v3 v2 u1 u2 u3 tg(ϕ) [cm4] [cm3] [cm] [cm4] [cm3] [cm] [cm4] [cm] [cm4] [cm]

80*65*8 11,0 8,66 9 4 2,47 1,73 5,59 4,65 2,79 2,91 2,05 0,615 68,1 12,3 2,49 40,1 8,41 1,91 88,0 2,82 20,3 1,35 100*75*9 15,1 11,8 10 5 3,15 1,91 6,91 5,45 3,22 3,63 2,22 0,549 148 21,5 3,13 71,0 12,7 2,17 181 3,47 37,8 1,59

OBSERVAŢIE: -Momentul de inerţie (I), modulul de rezistenţă (W), raza de giraţie (i) sunt raportate la axele de încovoiere respective. - Masa este calculată pentru dimensiunile nominale pe baza densităţii de 7,85 kg/dm3.

153

ANEXA 9 OȚEL I (STAS 565‐80)



Sibol Dimensiuni [mm]

Aria secțiunii

Mărimi geometrice inerțiale Sz Simbol

I h b t g = R r [cm2] z ‐ z y ‐ y I Iz Wz iz Iy Wy iy [cm4] [cm3] [cm] [cm4] [cm3] [cm] [cm3] 8 80 42 5,77 3,9 2,3 7,58 778 19,5 3,20 6,29 3,00 0,91 11,4 8 10 100 50 6,64 4,5 2,7 10,6 171 34,2 4,01 12,2 4,88 1,07 19,9 10 12 120 58 7,52 5,1 3,1 14,2 328 54,7 4,81 21,5 7,41 1,23 31,8 12 14 140 66 8,40 5,7 3,4 18,3 573 81,9 5,61 36,2 10,71 1,40 47,7 14 16 160 74 9,28 6,3 3,8 22,8 935 117 6,40 54,7 14,8 1,55 68,0 16 1 180 82 10,16 6,9 4,1 27,9 1450 161 7,20 81,3 19,8 1,71 93,4 18 20 200 90 11,04 7,5 4,5 33,5 2140 214 8,00 117 26,0 1,87 125 20 22* 220 98 11,92 8,1 4,9 39,6 3060 278 8,80 162 33,1 2,02 162 22* 24 240 106 12,80 8,7 5,2 46,1 4250 354 9,59 221 41,7 2,20 206 24 26* 260 113 13,77 9,4 5,6 53,4 5740 442 10,4 288 51,0 2,32 257 26* 28* 280 119 14,85 10,1 6,1 61,1 7590 542 11,1 364 61,2 2,45 316 28* 30 300 125 15,82 10,8 6,5 69,1 9800 653 11,9 451 72,2 2,56 381 30 32* 320 131 16,92 11,5 6,9 77,8 12510 782 12,7 555 84,7 2,67 457 32* 36* 360 143 19,05 13,0 7,8 97,1 19610 1090 14,2 818 114 2,90 638 36* 40 400 155 21,10 14,4 8,6 118 29210 1460 15,7 1160 149 3,13 857 40

OBSERVAŢIE: * Aceste profile nu mai sunt prevăzute în STAS 565 ‐ 80

154

ANEXA 10 OȚEL U (STAS 564‐80)



Sibol Dimensiuni [mm]

Aria secțiunii

Mărimi geometrice inerțiale Sz ey Simbol

U h b t g = R r [cm2] z ‐ z y ‐ y U Iz Wz iz Iy Wy iy [cm4] [cm3] [cm] [cm4] [cm3] [cm] [cm3] [cm] 5* 50 38 5 7 35 7,12 26,4 10,6 1,92 9,12 3,75 1,13 6,43 1,37 5 6,5 65 42 5,5 7,28 4 9,03 57,5 17,7 2,52 14,1 5,07 1,25 10,6 1,42 6,5 8 80 45 6 7,76 4 11,0 1,06 26,5 3,1 19,4 6,36 1,33 15,9 1,45 8 10 100 50 6 8,26 4,5 13,5 205 41,2 3,91 29,3 8,49 1,47 24,5 1,55 10 12 120 55 7 8,72 4,5 17,0 364 60,7 4,62 43,2 11,1 1,59 36,3 1,60 12 14 140 60 7 9,72 5 20,4 605 86,4 5,45 62,7 14,8 1,75 51,4 1,75 14 16 160 65 7,5 10,20 5,5 24,0 925 116 6,21 85,3 18,3 1,89 68,8 1,84 16 18 180 70 8 10,68 5,5 28,0 1350 150 6,95 114 22,4 2,02 89,6 1,92 18 20 200 75 8,5 11,16 6 32,2 1910 191 7,70 148 27,0 214 114 2,01 20 22* 220 80 9 12,14 6,5 37,4 2690 245 8,45 197 33,6 230 146 2,14 22* 24 240 85 9,5 12,62 6,5 42,3 3600 300 9,22 248 39,6 2,42 179 2,23 24 26* 260 90 10 13,60 7 48,3 4820 371 9,99 317 47,7 2,56 221 2,36 26* 30 300 100 10 15,60 8 58,8 8030 535 11,7 495 67,8 2,90 316 2,70 30


155

ANEXA 11 OȚEL T (STAS 566‐80)



Denumirea Dimensiuni [mm] Secțiunea Greutatea e Mărimi geometrice inerțiale Denumirea T a=h g=t=r r1 r2 A G z ‐ z y ‐ y T [cm2] [N/m] [cm] Iz [cm4] Wz [cm3] iz [cm] Iy [cm4] Wy [cm3] iy [cm] 2* 20 3 1,5 1 1,12 0,88 0,58 0,38 0,27 0,58 0,20 0,20 0,42 2*

2,1/2* 25 35 2 1 1,65 1,29 0,73 0,87 0,49 0,73 0,43 0,34 0,51 2,1/2* 3 30 4 2 1 2,26 1,77 0,85 1,72 0,80 0,87 0,87 0,58 0,62 3 4 40 5 2,5 1 3,77 2,96 1,12 5,28 1,84 1,18 2,58 1,29 0,83 4 5 50 6 3 1,5 5,66 4,44 1,39 12,10 3,36 1,46 6,06 2,42 1,03 5


156

ANEXA 12 OŢEL Z



Denumirea Dimensiuni [mm] Secțiunea Greutatea

Mărimi geometrice inerțiale Denumirea

Z h a g=t r r A G z ‐ z y ‐ y Z [cm2] [N/m] Iz [cm4] Wz [cm3] iz [cm] Iy [cm4] Wy [cm3] iy [cm] 8 80 65 6,0 6,0 3,0 12,0 9,42 123,9 30,98 3,21 94,0 15,17 2,80 8 10 100 75 6,5 6,5 3,25 15,5 12,20 251,4 50,29 4,02 158,0 22,02 3,19 10

OBSERVAŢIE: Greutatea teoretică este calculată cu greutatea specifică de 78,5 N/dm3.

Ecuația liniei elastice, săgeata maximă, rotirea maximă Anexa 13

Nr Încărcarea grinzii Ecuația liniei elastice Săgeata maximă Rotirea 0 1 2 3 4

1 vPLEI

xL

xL

x Lz

= ⋅ ⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≤ ≤

3 2

263 0, f

PLEI

x Lz

= =3

3, ϕA

z

PLEI

x L= =2

2,

2 vpL

EIxL

xL

xL

x Lz

= ⋅ ⋅ − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≤ ≤

4 2

2

2

2246

40, f

PLEI

x Lz

= =4

8, ϕA

z

PLEI

x L= =3

6,

3 vMxEI

x Lz

= ≤ ≤2

20, f

MLEI

x Lz

= =2

2, ϕA

z

MLEI

x L= =,

4 v

p LEI

xL

xL

xL

xL

x L

o

z= ⋅ ⋅ − + −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

≤ ≤

4 2

2

2

2

3

3121

42 10

0

, f

P LEI

x Lo

z= =

4

30, ϕA

o

z

p LEI

x L= =3

24,

5 vpL

EIxL

xL

xL

x Lz

= ⋅ ⋅ − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≤ ≤

4 2

2

3

3241 0, f

pLEI

xL

z= =

5384 2

4

, ϕ ϕA B

z

pLEI

x x L

= =

= =

3

240

,

,

6 vPLEI

xL

xL

xL

z= ⋅ ⋅ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≤ ≤

3 2

2161

43

02

, fpLEI

xL

z= =

3

48 2,

ϕ ϕA Bz

pLEI

x x L

= =

= =

2

160

,

,

157

0 1 2 3 4

7

( )

( )

vPa b

EI Lxa

xb

xa b

x a

vPa bEI L

xb

xa

xab

x b

z

z

1

2 2 3

2

2

2 2 3

62

0

62

0

= ⋅ + −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ ≤ =

= ⋅ + −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ ≤ =

' ' ''

'' '' ''''

,

,

( )

fP b L b

L E IL b

vP a b

L E Ix a

z

pz

=− −

= =

2 2 32 3

2 2

9 3 3

3

,

,

ϕ

ϕ

Az

Az

b LLEI

abP x

a LLEI

abP x

=+

=

=+

=

60

60

,

,

'

''

8 v L x

E L Ia x P x L

v aLx ax xE I

P x a

z

z

=−⋅ ⋅

⋅ ⋅ ≤ ≤

=+ −

⋅≤ ≤

2 2

11 1

213

1

60

2 36

0

;

;

f PaLEI

x L

f a LE I

a P x a

z

z

max ;

;

= ≤ ≤

=+⋅

=

2

2

327

0

3

ϕ ϕ

ϕ

B Az

Kz

aLPEI

a LEI

aP

= − =

=+

23

3 26

9 v L x

E Ia x P x L

v aLx ax xE I

P x a

z

z

=−⋅

⋅ ⋅ ≤ ≤

=+ −

⋅≤ ≤

20

3 36

011 1

213

1

;

;

f PLEI

x L

f a LE I

aP x a

z

z

max ;

;

= =

=+⋅

=

3

8 22 36

ϕ ϕ

ϕ

A Bz

Kz

aLPEI

a LEI

aP

= − =

=+

2

2

10 ( ) ( )

v L a L a xE I L

x M x a

vL x Lx a x

E I LM x L

z

z

= − + ⋅ − −⋅ ⋅

⋅ ≤ ≤

=− ⋅ − −

⋅ ⋅≤ ≤

2 6 36

0

2 3

60

2 2 2

2 2

;

;

Dacă a>b f în intervalul a la

x aL a L= − −2 23

2 2

ϕ

ϕ

Az

Az

a a b bEI L

M

a a b bEI L

M

=+ −

=− −

3 2 3

2

3 2 3

2

3 26

2 36

11 v L xL x

E I LxL M x L

zA=

− +⋅ ⋅

≤ ≤2 3

60

2 22 ;

f M LEI

pt

x L

z

=

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

02

9 2

1 13

.,

ϕ ϕA BA

z

LMEI

= =23

12 v xL x L xE I L

x Lz

=− +

⋅ ⋅≤ ≤

7 10 3360

04 3 2 5

; f P L

EI

pt x Lz

=

= −

4 127450

1 1 15

04,

. /

ϕ

ϕ

Az

Bz

p LE I

P LE I

=

=

4 5

73 6 0

03

158

0 1 2 3 4

13

( )

( )[ ] ( )

vaL L b x

E I Lb xP x a

vaL L b x b x L x a

E I La L

z

z

=− −

⋅ ⋅≤ ≤

=− − − −

⋅ ⋅≤ ≤

3 312

0

3 3 2

120

2 2

32

2 2 2 3 3

3

;

;

f PabEI

aL b

x L aL b

v ab aL LEI L

a b P

z

pz

=−

=−

=− −

2

2

32 2

6 3 3

3 312

;

;

ϕ

ϕ

Az

B

abPEI L

=

=40

14 v x L xE I Lz

=−⋅ ⋅

3 448

2 3

f PLEI

x L

z

= =3

192 2;

ϕ ϕA B= = 0

159

Anexa 14 Tabelul 1

INDICATORUL TABELELOR CU COEFICIENTUL ϕ

Nr. crt. Tipul profilului Indicatorul

coef. ϕ

1.

a) Tuburi laminate la cald fără sudură. b) Profile dublu T laminate sau sudate din tablă în plan paralel cu inima.

A

2.

a) Chesoane sudate, profile solidarizate.

b) Profile dublu T sau sudate care flambează în plan paralel cu tălpile.

B

Profile deschise cu o axă de simetrie

a) Flambaj în plan paralel cu axa de simetrie y‐z.

C

3.

b) Flambaj în plan perpendicular pe axa de simetrie.

B

160

Anexa 14 Tabelul 2

STAS 10108/0‐78 Marca oțelului

Limita de curgere

Rezistența de calcul

Ind. tabel

Expresia coeficientului de flambaj ϕ

R [MPa] t ≤ 16 16 40< ≤t

A ( )

161

22

211335.*.56676465,0λ

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λ+=ϕ

B ( ) 22

212210...61057506,0

λ−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λ+=ϕOLT 35 230 210 200

C ( ) 22

223902...11951411,1

λ−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λ+=ϕ

A ( ) 22

210862...54316465,0

λ−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λ+=ϕ

B ( ) 22

211702...58517506,0

λ−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λ+=ϕ

OL 37 RCA 37

240 220 210

C ( ) 22

222917...11453411,1

λ−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λ+=ϕ

A ( )ϕλ λ

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− −0 6 4 6 5

5 0 1 3 1 0 1 2 62

22, . . .

B ( )ϕλ λ

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− −0 7 5 0 6

5 4 0 1 1 0 8 0 22

22, . . .OLT 45 260 240 230

C ( )ϕλ λ

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− −1 4 1 1

1 0 5 7 2 2 1 1 4 52

22, . . .

A ( ) 22

28890...44956465,0λ

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λ+=ϕ

B ( ) 22

29684...48427506,0λ

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λ+=ϕ

OL 44 OSC 44 290 260 250

C ( ) 22

218957...9479411,1

λ−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λ+=ϕ

A ( ) 22

27668...38346465,0λ

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λ+=ϕ

B ( ) 22

28260...41307506,0λ

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λ+=ϕ

Oțeluri cu Rc=340 MPa

C ( ) 2

22

16160...8085411,1λ

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λ+=ϕ

A ( ) 22

27242...36216465,0λ

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λ+=ϕ

B ( ) 22

27801...39007506,0λ

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λ+=ϕ

OL 52, RCA 52, RCB 52, RCB 52, OSC 52

350 . .

360

315 300

C ( ) 22

215267...7636411,1

λ−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λ+=ϕ

A ( ) 22

26063...30316465,0λ

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λ+=ϕ

OSC 55 430 360 340 B ( )ϕ

λ λ= +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− −0 7 5 0 6

3 2 6 6 6 5 3 12

22, . . .

A ( ) 22

25546...27736465,0λ

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λ+=ϕ

OSC 58 4700 390 370 B ( ) 2

22

5975...29887506,0λ

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λ+=ϕ

INDICAȚII ŞI RĂSPUNSURI LA PROBLEMELE

PROPUSE

Cap. 9. Deplasări

Problema 1

163

IEaP33,213

k ⋅⋅

⋅−=ν .

Problema 2

IEap1524

k ⋅⋅

⋅=ν .

Problema 3

IEaP103

k ⋅⋅

⋅=ν .

Problema 4 În cazul acestei structuri, se va lua în considerare si momentul te torsiune ce apare în bară, astfel ca relația lui Veresceaghin, va arăta astfel:

[ ]mm30,14IGaP54

IEaP81

IGmM

IEmM

p

33

p

tgtgk =

⋅⋅

+⋅⋅

=⋅

⋅Ω+

⋅

⋅Ω=ν ∑∑ .

Problema 5

[ ]mm65,33IEaP375,214

k =⋅⋅

⋅=ν .

Problema 6

[ ]kN988,0V = . Problema 7a

[ ]mm508,7IE3aP7 3

k =⋅⋅⋅⋅

=ν ; ʺ14ʹ110IEaP 2

ko=

⋅⋅

=ϕ .

Problema 7b

164

[ ]mm13IE3aP7 3

k =⋅⋅⋅⋅

=ν ; ʺ03ʹ370IEaP2 2

ko=

⋅⋅⋅

=ϕ .

Problema 7c

[ ]mm992,2IEaM4 2

k =⋅⋅⋅

=ν ; ʺ9ʹ50IEaM2

ko=

⋅⋅⋅

=ϕ .

Problema 7d

[ ]mm68,19IEap10 4

k =⋅⋅⋅

=ν ; ʺ25ʹ171IE3ap2 3

ko=

⋅⋅⋅⋅

=ϕ .

Problema 8a

[ ]mm16,10IEap38,484

k =⋅⋅

=ν ; [ ]mm954,2IEap06,14u4

k =⋅⋅

= ;

[ ]mm58,10IEap38,504

k =⋅⋅

=δ ; ʺ50ʹ490IEap25,173

ko=

⋅⋅

=ϕ .

Problema 8b

[ ]mm20,10IEap3,3014

k =⋅⋅

=ν ; [ ]mm4825,0IEap25,14u4

k =⋅⋅

= ;

[ ]mm21,10IEap6,3014

k =⋅⋅

=δ ; ʺ38ʹ70IEap25,263

ko=

⋅⋅

=ϕ .

Problema 9a

[ ]mm003,8IEap5,54

k =⋅⋅

=ν ; ʺ45ʹ30IEap75,02

ko=

⋅⋅

=ϕ .

Problema 9b

[ ]mm86,1IE3

aM 2

k =⋅⋅

⋅=ν ; ʺ16ʹ190

IEaM

ko=

⋅⋅

=ϕ .

165

Cap. 10. Sisteme static nedeterminate

Problema M2 V1 V2 V3 X0 Mx01a ‐ 1,143 pa2 1,714 pa 2,667 pa ‐ 0,381 pa 1,720 a 1,469 pa2

1b ‐ 3,375 pa2 ‐ 1,687 pa 5,25 pa 2,438 pa 5,560 a 2,971 pa2

1c ‐ 0,525 pa2 ‐ 0,175 pa 0,680 pa 0,495 pa ‐‐‐‐ M4=0,99 pa2

1d ‐ Pa 1,75 Pa ‐‐‐‐ ‐ 0,75 Pa ‐‐‐‐ M3=0,5 Pa

1e ‐ 1,647 pa2 1,634 pa 3,403 pa 3,436 pa 6,537 a 0,427 pa2

M4=2,451 pa2 M5= ‐ 1,5 pa2

1f ‐ 1,5 pa2 1,625 pa 4,125 pa 0,25 pa 1,627 a 1,32 pa2

1g ‐ 0,6786 pa2 1,0804 pa 3,1456 pa 2,774 pa 6,610 a 1,92 pa2M1= ‐ pa2

1h 3,5 pa2 6,167 pa ‐ 7 pa 7,833 pa ‐‐‐‐ M1= ‐ 6 pa2 M3= ‐ 8 pa2

1i 0,3 pa2 ‐ 2,7 pa 0,025 pa 3,175 pa ‐‐‐‐ M1=1,5 pa2 M5= ‐ 1,5 pa2

Observație: Abscisa x0 este măsurată față de capătul din stânga al barei Problema M2 V1 V2 V3 X0 Mx0

2a 2,361 pa2 1,66 pa 4,312 pa 2,028 pa 6,967 a 2,056 pa2M4=1,66 pa2

2b ‐ 0,222 pa2 ‐ 0,044 pa 1,34 pa 5,694 pa 6,307 a 0,63 pa2M3= ‐ 3 pa2

2c ‐ 0,1964 pa2 1,2 pa 1,365 pa 1,435 pa 6,570 a 1,029 pa2M1= ‐ pa2

2d ‐ 0,7143 pa2 1,821 pa 1,7504 pa 0,4286 pa 1,827 a 1,659 pa2M3=M4= ‐ 2 pa2

Observație: Abscisa x0 este măsurată față de capătul din stânga al barei

Problema X V1 V2 H1 H2 Mmax

3a 0,72 pa ‐‐‐‐ 3,28 pa ‐‐‐‐ 0 3,68 pa2

3b 0,25 pa ‐ 0,3125 pa 0,3125 pa 0,25 pa 0,25 pa 0,088 pa2

3c 1,35 pa2 ‐‐‐‐ ‐‐‐‐ ‐‐‐‐ ‐‐‐‐ 1,65 pa2

3d 2,5 P ‐‐‐‐ 1,5 P ‐‐‐‐ 0 Pa

Problema X Mmax

4a 0,667 pa2 ‐ 2,667 pa2

4b 0,318 Pa 0,318 Pa 4c 0,1 Pa ‐ 0,6 Pa

Problema X V1 V2 H1 H2 Mmax

5a 0,167 P 0,778 P 0,222 P 0,167 P 0,167 P 0,133 Pa 5b ‐ 0,067 pa ‐ 0,067 pa ‐ 0,067 pa 0,9 pa ‐ 1,1 pa ‐ 0,45 pa2

5c 0,954 pa ‐‐‐‐ 1,046 pa ‐‐‐‐ 0 0,455 pa2

5d 0,613 pa ‐‐‐‐ ‐ 0,613 pa ‐‐‐‐ 3 pa 3,274 pa2

Cap. 11. Solicitări dinamice

Problema 1

166

[ ]sm98,0v0 = .

Problema 2

[ ]MPa1,160max =σ . Problema 3 hmax ≤ 33,44 [mm]. Problema 4

[ ] [ ]MPa5,181;MPa5,81 max =σ=σΔ . Problema 5 hmax ≤ 38,7 [mm].

Problema 6 [ ]MPa5,400max =τ .

Problema 7 [ ]MPa1,160max =σ .

Problema 8 hmax ≤ 640,1 [mm]. Problema 9

[ ]MPa6,265max =τ ], , observație [MPa79,14max =σ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=δ ssas vf

21 .

Problema 10

[ ]MPa1,284max =τ ; hmax ≤ 360,8 [mm]. Problema 11 hmax ≤ 170,95 [mm], [ ]( )mm27,2;aQ625,0M s2 =δ⋅⋅= .

Cap. 12. Calculul de rezistență la solicitări variabile

Problema 0 , prin urmarea arborele rezistă. 0c54,2c >=σ

Problema 1 Pentru alegerea valorilor coeficiențiolor kσ, ε şi γ se utilizează diagramele din figurile 12.10, 12.12 şi respectiv 12.14. Astfel: kσ = 1,75; ε = 0,75 şi γ = 1. După calcularea momentului de încovoiere maxim şi înlocuirea acestuia alături de coeficienții mai sus amintiți în relația (12.16), se obține c = 2,295 > c0, deci fusul bielei rezistă. Problema 2

, prin urmarea arborele rezistă. [ ]MPa8,347R =σ ; [ ]MPa6,109Rp =σ . 0c5,2c >=σ

Problema 3

[ ]kNm3M maxt = ]; ; P[kNm82,1M mint = max = 0,55 [kN]. Dacă se trasează caracteristica arcului, se ca obține fmin = 7,3 [mm] şi fmax = 17 [mm].

167

Problema 4 [ ]kN0363Mtcap = , .

Problema 5

733,1c =τ

Problema 6

[ ] [ ]Nm72M;Nm180M minimaxi == ; a) b) [ ] [ ]Nm0M;Nm5,1M mintmaxt == . Problema 7 a) ; [ ]MPa1,319R =τ

b) [ ]MPa5,124Rp =τ ;

c) [ ] [ ] [ ]( )kNm65,1M,kNm5,5MkNm46,5M mintmaxttcap === ;

d) [ ] [ ] [ ]( )kNm9,0M,kNm5,1MkNm506,1M mintmaxticap −=== ;

Observație: [ ]MPa5,88;44,2c Rp =σ=σ

Cap. 13. Flambajul barelor drepte

Problema 1

ELPc

12aIII 2

2f0

4

yzmin ⋅π⋅⋅

==== . În final, se adoptă secțiune pătrată cu latura a = 70 mm

(la calculul de verificare, se constată că flambajul are loc în domeniul elastic, λ = 103,81). Problema 2

[ ]4ymin cm4,2II == , λ = 346,62, ceea ce înseamnă că flambajul are loc în domeniul elastic. În final, se obține un coeficient de siguranță c = 4,73 > c0, prin urmare bara nu flambează. Problema 3

AEPtAtENP f

maxf ⋅⋅α=Δ⇒⋅Δ⋅⋅α== . Dacă se calculează coeficientul de zveltețe, se

obține λ = 75, ceea ce înseamnă flambaj în domeniul elasto‐plascic; dacă se calculează sarcina de flambaj se obține Pf = 1105,84 [kN], care dacă se înlocuieşte în relația anterioară, se obține Δtmax = 87,3 ˚C.

168

Problema 4λ = 80, ceea ce înseamnă flambaj în domeniul elasto‐plascic; dacă se calculează

sarcina de flambaj se obține Pf = 1680,76 [kN] şi un coeficient de siguranță c = 3,36 < c0, ceea ce înseamnă că trebuie calculată sarcina capabilă, care este P = 420 [kN]. Problema 5

λ = 64,93, ceea ce înseamnă flambaj în domeniul elasto‐plascic, dacă se calculează sarcina critică de flambaj, se obține Pf = 157,056 [kN].

Problema 6

λ = 132,9, ϕ = 0,3305, [ ]MPa131f =σ , se constată că bara este supradimensionată, motiv pentru care se va recalcula sarcina capabilă, adoptându‐se Pcap = 140 [kN]. Problema 7

λ = 135,97 şi conform tab. 14b, ϕ = 0,40 (R = 220 [MPa], Rc = 240 [MPa]).

[kN52,170PARmax =⋅ϕ

= ] . Se poate constata că Rmax < R, prin urmare bara nu flambează.

Problema 8

ELPca951,1II 2

2f04

ymin ⋅π⋅⋅

=⋅== . În final, se adoptă a = 60 mm (la calculul de

verificare, se constată că flambajul are loc în domeniul elasto‐plastic). Problema 9

ELPca667,4II 2

2f04

ymin ⋅π⋅⋅

=⋅== . În final, se adoptă a = 7,5 mm (la calculul de

verificare, se constată că flambajul are loc în domeniul elastic). Problema 10

λ = 109,1 şi conform tab. 14b ϕ = 0,495, RAPcap ⋅⋅ϕ= , se adoptă Pcap = 700 [kN], iar distanța între plăcuțele de rigidizare este dată de relația: [ ]mm856i40 1y1 =⋅≤l , adoptându‐se . [ ]mm8001 =l

Problema 11

ELPca11II 2

2f04

ymin ⋅π⋅⋅

=⋅== . În final, se adoptă a = 13 mm (la calculul de verificare, se

constată că flambajul are loc în domeniul elasto‐plastic).

169

171

BIBLIOGRAFIE

1. Atanasiu C., Canta T., ş.a., Încercarea metalelor, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1982. 2. Avril J., Encyclopedie Vishay d`Analyse des Contraintes, Vishay‐Micromesurements,

Paris, 1974. 3. Babeu T., Rezistența materialelor, Institutul Politehnic Traian Vuia Timişoara, 1980. 4. Bausic, V. ş.a., Rezistența materialelor, vol.II, Inst. Politehnic Iaşi, 1978. 5. Bia C., ş.a. Rezistența materialelor şi teoria elasticității, Ed. Didact. şi Ped. Bucureşti, 1983. 6. Blumenfeld M., Calculul barelor cu calculatoare numerice, Ed. Tehnică, Bucureşti,

1975. 7. Boleanțu L., ş.a., Aplicații ale solidului deformabil în construcția de maşini, Ed. Facla,

Timişoara, 1978. 8. Buga M., Iliescu N., Atanasiu C., Tudose I., Probleme alese din rezistența

materialelor, Tipografia Universității Politehnica Bucureşti, 1995. 9. Buzdugan Gh. Rezistența materialelor, Ed. Academiei, Bucureşti, 1986. 10. Buzdugan Gh., ş.a. Rezistența materialelor. Culegere de probleme, Ed. Academiei,

Bucureşti, 1991. 11. Cioclov D., Mecanica ruperii materialelor, Ed. Academiei, Bucureşti, 1977. 12. Courbon J, Resistance des materaux, vol. I şi II, Dunod, Paris,1965. 13. Curtu I. Sperchez F., Rezistența materialelor, vol. I,II Tipografia Universității

Braşov, 1988. 14. Curtu I., ş.a., Mecanica lemnului şi materialelor pe bază de lemn, Ed. Tehnică,

Bucureşti,1984. 15. Deutsch I., Rezistența materialelor, Ed. Didact. şi Ped. Bucureşti, 1984. 16. Deutsch I., ş.a. Probleme de rezistența materialelor, Ed. Didact. şi Ped. Bucureşti,

1979. 17. Felicia Doina Ciomocoş, Teodor Ciomocoş, Teoria elasticității în probleme şi

aplicații, Editura Facla, 1984. 18. Feodoseev V.I., Izbranie zadaci i c vapros po soprotivleniu materialov, Izdatelstovo

Nauka, Moskva,1973. 19. Feodoseev V.I., Résistance des matériaux, Edition Mir, Moskva, 1975.

172

20. Filonenko Borodici, Curs de rezistența materialelor, vol I şi II, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1951, 1952.

21. Goia I., Rezistența materialelor, vol., I II, Tipografia Universității Braşov, 1981. 22. Hűtte, Manualul inginerului ‐ Fundamente, Editura Tehnică, Bucureşti 1997. 23. Hărdău M., Aplicarea metodei elementului finit la calculul de rezistență în construcția

de maşini, Universitatea Tehnică Cluj‐Napoca, 1992. 24. Ille V. ş.a., Rezistența materialelor, Inst. Politehnic, Cluj‐ Napoca, 1980. 25. Massonnet Ch., Résistance des matériaux, vol. I şi II, Dunod, Paris, 1968. 26. Mazilu P. ş. a. Probleme de rezistența materialelor, vol. I, II, Ed. Tehnică. Bucureşti,

1969, 1975. 27. Mazilu P., Rezistența materialelor, Inst. de Construcții, Bucureşti, 1974. 28. Mocanu D,R., Rezistența materialelor, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1980. 29. Mocanu D.R. ş.a., Analiza experimentală a tensiunilor, vol. I, II, Ed. Tehnică,

Bucureşti, 1976, 1977. 30. Modiga M., Rezistența materialelor, I.I.S. Galați, 1986. 31. Munteanu M., Radu N., Popa A., Rezistența materialelor, vol. I,II Tipografia

Universității Braşov, 1989. 32. Petre A. ş. a., Bare cu pereți subțiri, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1960. 33. Petre A. Calculul structurilor de aviație, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1984. 34. Ponomariov S.D. ş.a., Calculul de rezistență în construcția de maşini, vol. I, II şi III,

Ed. Tehnică, Bucureşti, 1960, 1963, 1964. 35. Posea N., Rezistența materialelor, Ed. Did. şi Ped., Bucureşti, 1979. 36. Posea N., Rezistența materialelor, Probleme, Ed. Ştiinț. şi Enciclopedică, Bucureşti,

1986. 37. Păstrav I., Rezistența materialelor, Inst. Politehnic, Cluj‐ Napoca, 1979. 38. Radu N. Gheorghe, Munteanu M, Biț C, Rezistența materialelor şi elemente de teoria

elasticității Vol. I 1995, Vol. II 1996, vol.III 1998, Ed. Macarie Târgovişte. 39. Sofonea G., Frațilă M., Rezistența materialelor, Ed. Universității “Lucian Blaga”

Sibiu, 1998, ISBN 973‐9280‐97‐8 40. Sofonea G., Frațilă M., Vasiloaica C‐tin. Culegere de probleme de Rezistența

materialelor, Ed. Universității “Lucian Blaga” Sibiu, 1995. 41. Sofonea G., Pascu A., Rezistența materialelor, Ed. Universității “Lucian Blaga”

Sibiu, 1998, ISBN 973‐9280‐97‐8 42. Sofonea G. ş.a. Îndrumar de lucrări de laborator, Ed. Universității “Lucian Blaga”

Sibiu, 2001. 43. Solomon L., Elasticitate liniară, Editura Academiei Bucureşti, 1969.

173

44. Teodorescu P.P., Teoria elasticității şi introducere în mecanica solidului deformabil, Ed. Dacia, Cluj‐Napoca,1976.

45. Timoshenko S.P., Résistance des matériaux, Vol. I şi II, 1986. 46. Tudose I., Atanasiu C., Iliescu N. Rezistența materialelor Ed. Didact. şi Ped.

Bucureşti, 1981. 47. Voinea R. ş.a. Mecanica solidului cu aplicați în inginerie Ed. Academiei 1989.

Curs - Rezistenta Materialelor Partea 2

Documents

Transcript of Curs - Rezistenta Materialelor Partea 2