Numele unitii de studiu

Mecanic i mecanica fluidelorMecanic i mecanica fluidelorStatica

1.3.2 Statica punctului materialTimp mediu de studiu: 2 ore

Sarcini de nvare: Prin parcurgerea acestei uniti de studiu, studentul va fi capabil s aplice condiiile de echilibru n cazul punctului material liber fie capabil s foloseasc axioma legturilor n cazul punctului material supus la legturi calculeze poziia de echilibru a punctului material liber acionat de un sistem de fore i a punctului obligat s rn pe o suprafa sau pe o curb.1.3.2.1 Statica punctului material liberFie M un punct material liber, aflat n repaus fa de un sistem de axe de coordonate i sistemul de fore active sau efectiv aplicate care acioneaz asupra lui M, deci un sistem de fore concurente. Statica punctului material se ocup de determinarea condiiilor n care punctul M rmne n repaus, adic i pstreaz neschimbat poziia fa de sistemul de axe de coordonate. Este vorba de aa-numitele condiii de echilibru. Condiia ca un sistem de fore, care acioneaz asupra unui punct material n repaus, s-l lase pe acesta n aceeai stare este ca rezultanta sistemului de fore s fie nul.

Teorema 1

Condiia necesar i suficient ca un punct material, aflat sub aciunea unui sistem de fore, s fie n echilibru este ca rezultanta a sistemului de fore s fie nul.

,

adic

(1).

n cazul sistemului de fore n spaiu, fa de un sistem de axe de coordonate n raport cu care forele au componentele , aceast condiie vectorial este echivalent cu trei condiii scalare,

(2)

Pentru sistemul de fore plane rmn doar dou condiii scalare, dup cum pentru forele coliniare se obine o singur condiie.

Exist mai multe tipuri de probleme care apar n statica punctului material liber:

a) probleme n care se dau forele care acioneaz asupra punctului i se cer condiiile de echilibru;

b) probleme n care se d poziia de echilibru a punctului i se cere determinarea uneia sau mai multor fore care, mpreun cu forele date n problem, s permit meninerea n echilibru a punctului, n poziia dat;

c) probleme mixte, n care se dau o parte dintre parametri care definesc poziia de echilibru i o parte dintre fore i trebuie determinai ceilali parametri i restul de fore. Aplicaie

Asupra unui punct material M, de mas m, care se poate deplasa n plan vertical, se exercit dou fore de atracie, din partea punctelor A i B, fore proporionale cu distana, ca n fig. 1. Cunoscnd OA=a, OB=b i coeficienii de proporionalitate pentru cele dou fore de atracie, k1, k2, s se determine poziia de echilibru a punctului M.

Soluie

Cele dou fore de atracie se scriu

.

Poziia de echilibru a punctului M se determin din condiia de echilibru

.

Se proiecteaz aceast ecuaie vectorial pe cele dou axe de coordonate din figur i se obine

,

unde

Dac se noteaz cu x, y coordonatele punctului M, corespunztoare poziiei de echilibru, sunt verificate relaiile

i

nlocuind expresiile lui F1 i F2 i, innd cont de relaiile de mai sus, pentru determinarea necunoscutelor x i y, se obine sistemul,

Figura 1

de unde rezult

,

coordonatele lui M, n poziia de echilibru.

1.3.2.2 Statica punctului material supus la legturi

1.3.2.2.1 Statica punctului material supus la legturi fr frecare

Se consider un sistem cartezian de axe de coordonate Oxyz. Dac se noteaz cu fora de legtur i dac este rezultanta forelor efectiv aplicate punctului material, condiia de echilibru este

.(3)

Restriciile ce trebuie impuse forei de legtur se studiaz descompunnd fora dup dou direcii: una normal i una tangenial la legtur

.(4)

Fora mpiedic punctul s prseasc legtura, iar fora mpiedic corpul s se deplaseze pe curb sau pe suprafa. Fora se numete for de frecare de alunecare.

Condiii necesare i suficiente de echilibru pentru punctul material supus la legturi

Dac punctul material se reazem pe o suprafa neted (fr frecare), condiia necesar i suficient de echilibru este ca rezultanta forelor efectiv aplicate punctului s fie dirijat dup normala la suprafa n punctul considerat.

Dac punctul se reazem pe o curb neted, condiia necesar i suficient pentru ca punctul s rmn n echilibru pe curb este ca rezultanta forelor efectiv aplicate punctului material s aib suportul n planul normal la curb n punctul considerat.

1) Condiiile de echilibru n cazul unei suprafee netede

Pentru suprafa dat printr-o ecuaie sub form implicit

,

se ine cont de faptul c fora de legtur are direcia normalei la suprafa. De aici, se scrie

.

.(5)unde este rezultanta forelor active aplicate punctului material.

(6)

(7)2) Legturi prin fire

n cazul n care punctul material interacioneaz cu un alt punct material sau cu un solid rigid prin intermediul unui fir mereu ntins sau prin intermediul unei bare rigide, apare aa-numita legtur prin fir. Dac lungimea firului este constant, atunci legtura constrnge punctul material s se menin pe o suprafa sferic. Din acest motiv, n general, aceast legtur nu se trateaz separat, fiind considerat ca un caz particular al legturii impuse punctului material de a rmne pe o suprafa. Fora de legtur trebuie s fie normal la suprafaa sferei, deci pe direcia normalei n punct la sfer, care coincide cu direcia firului. Aceasta se numete tensiunea (efortul) din fir.

3) Condiiile de echilibru n cazul unei curbe netedeSe consider cazul punctului material care se reazem pe o curb fr frecare. Din nou, dup modul n care este definit curba, apar mai multe situaii, descrise mai jos.

Pentru ecuaia implicit a curbei

,

reaciunea se poate scrie ca o combinaie liniar de grad i grad, adic

.(8)Dac este rezultanta forelor efectiv aplicate punctului material, condiia de echilibru se va putea scrie sub forma ecuaiei vectoriale

.

ecuaie care se transpune n trei ecuaii scalare

(9)Cazul ecuaiilor parametrice ale curbei conduce la condiii ce se pot scrie sub o form ceva mai simpl. Astfel, pentru ecuaiile parametrice ale curbei

,

cum fora de legtur trebuie s fie n planul normal curbei, deci perpendicular pe tangent, iar parametrii directori ai acesteia sunt , rezult c fora de legtur trebuie s verifice condiia

.

n acest caz, se gsete condiia

.(10)1.3.2.2.2 Statica punctului material supus la legturi cu frecare

n cazul legturilor ideale, componenta tangenial a reaciunii se neglijeaz. n realitate, legturile nu sunt ideale. Punctul material supus la legturi se reazem pe curbe i suprafee rugoase (aspre) i nu netede, aa cum se presupune n cazul legturilor ideale. n aceste condiii, componenta tangenial a forei de legtur, numit for de frecare de alunecare, nu mai poate fi neglijat.

Folosind legile frecrii uscate ale lui Coulomb rezult c fora de frecare are urmtoarele proprieti:

are direcia tangent la curb sau la suprafa;

sensul este invers tendinei de alunecare;

pentru ca punctul material s rmn n repaus pe suprafa (curb), modulul forei de frecare nu trebuie s depeasc , din legile lui Coulomb, ceea ce conduce la condiia necesar de echilibru a punctului material supus la legturi fr frecare

.(11)In cazul unei suprafee aspre, determinarea forei de frecare, aflat n planul tangent, necesit cunoaterea a dou necunoscute scalare, pentru c nu se cunoate direcia lui . Pentru a-l determina pe , acesta se descompune n , dup dou direcii ortogonale n planul tangent. n acest caz, condiia de echilibru se scrie

.(12)Aspectul geometric al forei de frecare de alunecare. Con de frecare.

Condiia dat de relaia (3.31) este o condiie de echilibru necesar, dar nu i suficient. Pentru determinarea unei condiii necesare i suficiente, se consider un punct material M situat pe o suprafa aspr , cu coeficient de frecare , acionat de un sistem de fore de rezultant . n condiii de echilibru, fora de legtur trebuie s verifice relaia . Se noteaz cu unghiul pe care l face fora cu normala la suprafa n punctul M . Exist egalitile

Se noteaza cu unghiul corespunztor lui , se scrie

.

Unghiul astfel introdus, se numete unghi de frecare.

n cazul unui punct material aflat sub aciunea unui sistem de fore active de rezultant , obligat s rmn pe o suprafa aspr, condiia de echilibru este ca suportul rezultantei a forelor efectiv aplicate s fac cu normala la suprafa un unghi mai mic sau cel mult egal cu unghiul de frecare.

Locul geometric al dreptelor care fac cu normala la suprafa n punctul de contact un unghi egal cu unghiul de frecare se numete con de frecare corespunztor suprafeei.

Pentru ca un punct material, aflat sub aciunea unui sistem de fore efectiv aplicate, s se gseasc n echilibru pe o suprafa aspr este necesar ca suportul rezultantei a forelor efectiv aplicate punctului s se afle n interiorul sau, la limit, pe suprafaa lateral a conului de frecare.

n cazul unei curbe aspre , se obine aceeai condiie

.

Locul geometric al punctelor care fac cu tangenta la curb n punctul M un unghi egal cu se numete con de frecare al curbei.

Pentru ca un punct material M, aflat sub aciunea unui sistem de fore active, s se gseasc n echilibru pe o curb aspr este necesar ca suportul rezultantei forelor active s fie n exteriorul sau, la limit, pe suprafaa conului de frecare din acest punct.

EMBED Equation.3 (13)n cazul punctul material obligat s rmn pe o curb de ecuaii parametrice

,

.(14)

Exerciii1. Care sunt condiiile de echilbru pentru un punct material obligat s rmn pe o suprafa?

2. Care este diferena dintre condiiile de echilibru pentru un punct material obligat s rmn pe o curb n cazurile legturii fr frecare i cu frecare?

3. Un punct material de greutate, este legat cu dou fire care trec peste doi scripei i . De capetele firelor sunt atrnate greutile respectiv . S se determine poziia de echilibru a punctului material. 4. S se determine condiia de echilibru pentru un punct material de greutate G, obligat s rmn pe o sfer de raz r. ntre sfer i punct exist frecare, coeficientul de frecare de alunecare fiind .

Rezolvri:

1. Curs

2. Curs3. Se introduc tensiunile din cele fire i se reduce sistemul de fore concurente. Poziia de echilibru se determin din condiia ca rezultanta forelor s fie nul.4. Se alege un sistem Oxyz de coordonate carteziene, cu axa Oz vertical n sus. Ecuaia suprafeei se scrie

.

Rezultanta forelor efectiv aplicate punctului material aflat pe suprafaa sferei este

.

Condiia de echilibru se transpune n

.

innd cont de faptul c punctul se afl pe sfer, deci coordonatele sale verific ecuaia sferei, din relaia de mai sus se obine

.

Punctele de pe sfer care verific aceast relaie definesc dou calote sferice. Concluzia care se desprinde de aici este c punctul rmne n echilibru, pe suprafaa sferei, dac se gsete pe una dintre cele dou calote sferice.

14 October 2010Conf. univ. dr. Angela Muntean1 Academia Naval "Mircea cel Btrn" (ANMB). Orice form de copiere, stocare, modificarei/sau transmitere a acestui material fr acordul prealabil i scris al ANMB este strict interzis.14 October 2010Conf. Univ. Dr. Angela Muntean7 Academia Naval "Mircea cel Btrn" (ANMB). Orice form de copiere, stocare, modificarei/sau transmitere a acestui material fr acordul prealabil i scris al ANMB este strict interzis.

_1193655586.unknown

_1193711111.unknown

_1198386662.unknown

_1290070155.unknown

_1290070157.unknown

_1290070158.unknown

_1290070159.unknown

_1290070156.unknown

_1202749321.unknown

_1202750705.unknown

_1202750787.unknown

_1202749336.unknown

_1198390035.unknown

_1202749265.unknown

_1200840685.unknown

_1198389425.unknown

_1198386233.unknown

_1198386495.unknown

_1193711182.unknown

_1193711425.unknown

_1193711980.unknown

_1193711257.unknown

_1193711128.unknown

_1193668472.unknown

_1193669482.unknown

_1193711013.unknown

_1193668514.unknown

_1193667695.unknown

_1193668372.unknown

_1193655652.unknown

_1091643248.unknown

_1097996114.unknown

_1097996800.unknown

_1183900338.unknown

_1183900412.unknown

_1097996824.unknown

_1098428988.unknown

_1183899893.unknown

_1097997556.unknown

_1097996812.unknown

_1097996733.unknown

_1097996776.unknown

_1097996691.unknown

_1097996719.unknown

_1097996457.unknown

_1097996497.unknown

_1093410039.unknown

_1097853567.unknown

_1097853600.unknown

_1093414441.unknown

_1093415102.unknown

_1091645067.unknown

_1091646834.unknown

_1091683205.unknown

_1092405067.unknown

_1091683695.unknown

_1091647525.unknown

_1091646732.unknown

_1091644004.unknown

_1091644432.unknown

_1091643820.unknown

_1091643765.unknown

_1091642373.unknown

_1091642701.unknown

_1091643103.unknown

_1091643155.unknown

_1091642784.unknown

_1091642634.unknown

_1088344289.unknown

_1091624180.unknown

_1091642336.unknown

_1091642192.unknown

_1091623463.unknown

_1076988848.unknown

_1076988868.unknown

_1076990625.unknown

_1076988437.unknown