Curs Metoda Matricelor de Transfer Sisteme de Bare

_______________________________________________________________________________

1

METODA MATRICELOR DE TRANSFER PENTRU

SISTEME DE BARE

1.1. PREZENTAREA METODEI

Se consideră că sistemul de bare, ca mediu continuu, este alcătuit din elemente (tronsoane)

drepte, de secţiune constantă, care execută vibraţii de încovoiere, vibraţii longitudinale şi vibraţii

de torsiune.

Fiecare element al său execută vibraţii de încovoiere, în două plane perpendiculare, care

conţin axa longitudinală a elementului.

Alegând pentru un element axele ca în figura 1.3, cu axa Oy axă longitudinală, vibraţiile de

întindere compresiune se execută în lungul axei longitudinale şi sunt cuplate cu vibraţiile de

încovoiere în planul xOy.

Vibraţiile de torsiune se execută în jurul axei Oy şi se cuplează cu vibraţiile de încovoiere

în planul yOz.

Se urmăreşte construirea unei matrice de

transfer care să ţină seama de toate aceste tipuri de

vibraţii.

Se porneşte din capătul din stânga şi se

merge pe fibra medie din element în element până

în capătul din dreapta. În funcţie de tipul de

rezemare se pun condiţiile la limită şi, din condiţia

ca sistemul algebric liniar şi omogen care se obţine să admită rădăcini nenule, se obţin pulsaţiile

proprii.

Figura 1.3

_______________________________________________________________________________

2

1.2. STABILIREA MATRICEI DE TRANSFER

1.2.1. MATRICEA DE TRANSFER PENTRU VIBRAŢIILE DE ÎNCOVOIERE

Pentru un element de bară de lungime l care execută vibraţii de încovoiere, cu notaţiile din

figura 1.4, între vectorii de stare din secţiunile k-1 şi k se poate scrie relaţia:

v

M

F

S TU

EI

V

EI

V ST

EI

U

EI

EIU EIV ST

EIT EIU V S

v

M

F

k

k

k

k

k

k

k

kkk

k

ϕ

α α α

αα α

α αα

α α α

ϕ

=

− −

− −

− −

− −

−

−

−

−−

1

2 3

2

2

3 2

1

1

1

1 1

(1.1)

unde: - S,T,U,V sunt funcţiile Krîlov-Rayleigh:

( ) ( ) ( )[ ]S l ch l lα α α= +

1

2cos ,

( ) ( ) ( )[ ]T l sh l lα α α= +

1

2sin ,

( ) ( ) ( )[ ]U l ch l lα α α= −

1

2cos ,

( ) ( ) ( )[ ]V l sh l lα α α= −

1

2sin ;

- α ωρ

=

A

EI

4 în care, ω este pulsaţia proprie de ordinul n, ρ este densitatea

materialului, A este aria secţiunii transversale, E este modulul de elasticitate

longitudinal, I este momentul de inerţie al secţiunii transversale faţă de axa neutră a

acesteia.

Figura 1.4

_______________________________________________________________________________

3

Relaţia (1.1) mai poate fi scrisă sub forma:

v

M

EI

F

EI

S T U V

V S T U

U V S T

T U V S

v

M

EI

F

EIk k k

ϕ

α

α

α

ϕ

α

α

α

−

−

=

−

−

−

2

3

2

3

1

. (1.2)

Dacă se notează:

θϕ

α= ,

mM

EI= −

α2

,

fF

EI= −

α3

,

atunci se poate scrie:

v

m

f

S T U V

V S T U

U V S T

T U V S

v

m

fk k k

θ θ

=

−1

(1.3)

Matricea :

S T U V

V S T U

U V S T

T U V Sk

este matricea de transfer pentru vibraţiile de încovoiere pentru elementul k.

Utilitatea relaţiei (1.2) constă în aceea că, elementele matricei de transfer (S,T,U,V) iau

valori mai mici decât elementele matricei de transfer din releţia (1.1) şi deci valoarea

determinantului nu depăşeşte posibilitatea reprezentării sale în memoria calculatorului.

Vectorii (matricele coloană):

_______________________________________________________________________________

4

v

M

EIF

EI

v

m

f

si

v

M

EIF

EI

v

m

fk k k k

ϕ

α

α

α

θϕ

α

α

α

θ

−

−

≡

−

−

≡

−−

2

3

2

3

1 1

sunt vectorii de stare pentru secţiunile k-1 şi k.

1.2.2. MATRICEA DE TRANSFER PENTRU VIBRAŢIILE LONGITUDINALE

Pentru un element de bară de lungime l, care execută vibraţii longitudinale, cu notaţiile din


1cossin

sin1

cos

−

−=

kk

kF

v

llEA

lEA

l

F

v

ααα

α

α

α (1.4)

unde: - α ωρ

=

E , în care, ω este pulsaţia proprie de ordinul n, ρ este densitatea materialului, E

este modulul de elasticitate longitudinal;

- A este aria secţiunii transversale.

Relaţia (1.4) conduce la sistemul:

v v l

F

EAl

F v EA l F l

k k

k

k k k

= +

=− +

−

−

− −

1

1

1 1

cos sin

sin cos

α

α

α

α α α

.

Dacă se înmulţeşte a doua ecuaţie cu 1

αEA, se obţine sistemul:

v v lF

EAl

F

EAv l

F

EAl

k k

k

k

k

k

= +

=− +

−

−

−

−

1

1

1

1

cos sin

sin cos

α

α

α

α

α

α

α

Figura 1.5

_______________________________________________________________________________

5

care poate fi pus sub forma matriceală:

1cossin

sincos

−

−=

kk

k EA

F

v

ll

ll

EA

F

v

ααα

αα

α

. (1.5)

Dacă se notează

fF

EA=

α

,

M l= cosα ,

N l= sinα ,

atunci se poate scrie:

v

f

M N

N M

v

fk k k

=

−

−1

. (1.6)

Matricea

M N

N Mk

−

este matricea de transfer pentru vibraţii longitudinale pentru elementul k, iar vectorii:

v

f

v

F

EA

si

v

f

v

F

EAk k k k

≡

≡

−−

1 1α α

sunt vectorii de stare pentru secţiunile k-1 şi respectiv k.

1.2.3. MATRICEA DE TRANSFER PENTRU VIBRAŢIILE DE TORSIUNE

a) Cazul arborilor cu secţiune circulară

Pentru un element de bară de lungime l care execută vibraţii de torsiune, cu notaţiile din


1cossin

sin1

cos

−

−

=

kk

kM

llGI

lGI

l

Mp

p

θ

ααα

αα

αθ (1.7)

_______________________________________________________________________________

6

unde: - α ωρ

=

G în care, ω este pulsaţia proprie de ordinul n, ρ este densitatea

materialului, G este modulul de elasticitate transversal;

- Ip este momentul de inerţie polar al secţiunii transversale.

Relaţia matriceală (1.7) conduce la sistemul :

θ θ αα

α

θ α α α

k k

k

p

k k p k

lM

GIl

M GI l M l

= +

=− +

−

−

− −

1

1

1 1

cos sin

sin cos

.


αGIp

, se obţine sistemul :

θ θ αα

α

αθ α

αα

k k

k

p

k

p

k

k

p

lM

GIl

M

GIl

M

GIl

= +

=− +

−

−

−

−

1

1

1

1

cos sin

sin cos

care poate fi pus sub forma matriceală :

1

cossin

sincos

−

−=

kk

k ppGI

M

ll

ll

GI

M

α

θ

αα

αα

α

θ

. (1.8)

Dacă se notează

mM

GIp

=

α

,

P l= cosα ,

R l= sinα ,

atunci se poate scrie :

θ θ

m

P R

R P mk k k

=

−

−1

. (1.9)

Matricea

Figura 1.6

_______________________________________________________________________________

7

P R

R Pk

−

este matricea de transfer pentru vibraţii de torsiune (în cazul elementelor de bară cu secţiune

circulară ) pentru elementul k, iar vectorii :

θθ

α

θθ

αm

M

GI

si

m

M

GIkk

kk

p p

≡

≡

−

−

11


b) Cazul barelor cu secţiune dreptunghiulară

Se consideră o bară dreaptă de secţiune transversală constantă, dreptunghiulară, (figura 1.7)

care execută vibraţii de torsiune în jurul axei sale de simetrie longitudinale Oy.

Conform teoriei lui Saint-Vénant privind

torsiunea barelor cu secţiune dreptunghiulară,

axa Oy va fi şi axă neutră pentru torsiune.

Se izolează din această bară un element

prismatic de lungime dx, acţionat la capete de

momentele de torsiune My şi My +dMy .

Se aplică teorema momentului cinetic în

raport cu axa Oy: dK

d tM

y

y=∑ .

Deoarece axa Oy este axă de simetrie, ea este şi axă principală de inerţie, deci Jxy =Jyz =0.

Din expresia momentului cinetic [94]: { } [ ] { }K J= ω , se obţine în acest caz K Jy y y= ω sau

K Jy y=

&θ în care, s-a notat cu θ unghiul de rotaţie în jurul axei Oy.

Momentul de inerţie al elementului prismatic faţă de axa Oy va fi : Jy =ρIpdy în care, ρ este

densitatea materialului, iar Ip este momentul de inerţie polar al secţiunii transversale.

Conform teoriei lui Saint-Vénant, unghiul de torsiune specifică va fi

∂θ

∂ βy

M

hb G

y

=3

,

unde :

- h este latura mare a secţiunii transversale;

- b este latura mică a secţiunii transversale;

Figura 1.7

_______________________________________________________________________________

8

- β este un coeficient care se alege în funcţie de raportul h

b şi care ia valori între

0,141 (pentru h

b= 1) şi 0,333 (pentru

h

b→∞ ).

Notând I hbd= β

3, se obţine pentru momentul de torsiune relaţia : M G Iy

y d=

∂θ

∂.

Înlocuind în expresia teoremei momentului cinetic şi efectuând calculele, se obţine ecuaţia

cu derivate parţiale pentru vibraţiile de torsiune în jurul axei longitudinale ale barelor drepte

prismatice de secţiune constantă :

∂ θ

∂ ρ

∂ θ

∂

2

2

2

2t

GI

I y

d

p

= . (1.10)

Dacă se notează cG I

I

d

p

= ⋅

ρ=constant, atunci ecuaţia cu derivate parţiale (1.10),

devine ∂ θ

∂

∂ θ

∂

2

2

2

2

2t

cy

= . Această formă este identică cu cea a ecuaţiei cu derivate parţiale pentru

vibraţiile de torsiune ale barelor drepte cu secţiune circulară, deci integrarea ecuaţiei (1.10) se face

prin analogie.

Pentru un element de bară prismatică de secţiune constantă, de lungime l, care execută

vibraţii de torsiune, relaţia de legătură între vectorii de stare din secţiunile k-1 şi k se stabileşte

procedând analog cu cazul barelor drepte de secţiune circulară.

Se pleacă de la soluţia ecuaţiei cu derivate parţiale (1.10). Se face notaţia α ωρ

= ⋅

G

I

I

p

d

în care, ω este pulsaţia proprie de ordinul n. Se ţine seama de relaţia de legătură între

momentul de torsiune şi unghiul de torsiune specifică rezultată din teoria lui Saint-Vénant pentru

torsiunea barelor cu secţiune dreptunghiulară.

Cu notaţiile din figura 1.7 se obţine :

1cossin

sin1

cos

−

−

=

kk

kM

llGI

lGI

l

Md

d

θ

ααα

αα

αθ (1.11)

care conduce la sistemul :

θ θ αα

α

θ α α α

k k

k

d

k k d k

lM

GIl

M GI l M l

= +

=− +

−

−

− −

1

1

1 1

cos sin

sin cos

.

_______________________________________________________________________________

9


αGId

, se obţine sistemul:

θ θ αα

α

αθ α

αα

k k

k

d

k

d

k

k

d

lM

GIl

M

GIl

M

GIl

= +

=− +

−

−

−

−

1

1

1

1

cos sin

sin cos

care poate fi pus sub forma matriceală :

1

cossin

sincos

−

−=

kk

k ddGI

M

ll

ll

GI

M

α

θ

αα

αα

α

θ

. (1.12)

Dacă se notează

mM

GId

=

α

,

P l= cosα ,

R l= sinα ,

atunci se poate scrie :

θ θ

m

P R

R P mk k k

=

−

−1

. (1.13)

Matricea

P R

R Pk

−

este matricea de transfer pentru vibraţii de torsiune (în cazul elementelor prismatice) pentru

elementul k, iar vectorii :

θθ

α

θθ

αm

M

GI

si

m

M

GIkk

kkd d

≡

≡

−

−

11


Ca formă, expresiile matricelor de transfer în cazul vibraţiilor de torsiune sunt identice

pentru elemente cu secţiune circulară şi elemente prismatice cu secţiune dreptunghiulară. Ele diferă

însă prin argumentele funcţiilor trigonometrice.

De asemenea, sunt identice ca formă şi expresiile vectorilor de stare în cazul vibraţiilor de

torsiune pentru elemente cu secţiune circulară şi elemente prismatice cu secţiune dreptunghiulară.

Diferă însă prin expresiile elementului m.

_______________________________________________________________________________

10

1.2.4. MATRICEA DE TRANSFER PENTRU UN ELEMENT AL

SISTEMULUI DE BARE

Aşa cum se arată în § 1.1., s-a considerat că un element al sistemului de bare execută

vibraţii de încovoiere în două plane perpendiculare care conţin axa longitudinală a elementului,

vibraţii de întindere compresiune şi vibraţii de torsiune în lungul şi respectiv în jurul axei

longitudinale.

Cu notaţiile din figura 1.7, se poate scrie relaţia matriceală (1.14). Schimbările de semne

care apar faţă de relaţia (1.2), la unele elemente ale vectorilor de stare pentru vibraţiile de

încovoiere, se datorează utilizării unui sistem de referinţă unic pentru toate tipurile de vibraţii.

Figura 1.7

_______________________________________________________________________________

11

v

M

EI

F

EI

v

F

EA

M

GI

v

M

EI

F

EI

S T U V

V S T U

U V S T

T U

x

z

ix

z

ix z

x

ix z

y

y

cy xz

y

y

ry pxz

z

x

iz

x

iz x

z

iz x

x x x x

x x x x

x x x x

x x

k

−

−

−

−

=

ϕ

α

α

α

α

ϕ

α

ϕ

α

α

α

2

3

2

3

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

V S

M N

N M

P R

R P

S T U V

V S T U

U V S T

T U V S

x x

z z z z

z z z z

z z z z

z z z z

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

−

−

−

−

−

−

−

kk

v

M

EI

F

EI

v

F

EA

M

GI

v

M

EI

F

EI

x

z

ix

z

ix z

x

ix z

y

y

cy xz

y

y

ry pxz

z

x

iz

x

iz x

z

iz x

ϕ

α

α

α

α

ϕ

α

ϕ

α

α

α

2

3

2

3

1

(1.14)

în care se folosesc următoarele notaţii:

vx -deplasarea în lungul axei Ox;

vy -deplasarea în lungul axei Oy;

vz -deplasarea în lungul axei Oz;

ϕx -unghiul de rotaţie în jurul axei Ox;

ϕy -unghiul de rotaţie în jurul axei Oy;

ϕz -unghiul de rotaţie în jurul axei Oz;

Fx -forţa tăietoare pe axa Ox;

Fy -forţa axială pe axa Oy;

Fz -forţa tăietoare pe axa Oz;

Mx -momentul încovoietor pe axa Ox (încovoiere în planul yOz);

My -momentul de torsiune pe axa Oy (torsiune în jurul axei Oy);

Mz -momentul încovoietor pe axa Oz (încovoiere în planul xOz);

_______________________________________________________________________________

12

Axz - aria secţiunii transversale (din planul xOz);

E - modulul de elasticitate longitudinal;

G - modulul de elasticitate transvarsal;

Iz -momentul de inerţie faţă de axa Oz, al secţiunii din planul xOz;

Ix -momentul de inerţie faţă de axa Ox, al secţiunii din planul xOz;

Ipxz - momentul de inerţie polar al secţiunii din planul xOz;

4

z

xz

ixix

EI

Aρωα = , unde: ρ- este densitatea materialului;

ωix - este pulsaţia proprie pentru vibraţiile de incovoiere din planul xOy (pe direcţia Ox ).

E

cycy

ρωα = , unde: ωcy - este pulsaţia proprie pentru vibraţiile longitudinale

(în lungul axei Oy).

G

ryry

ρωα = , unde: ωry - este pulsaţia proprie pentru vibraţiile de torsiune

(în jurul axei Oy).

4

x

xz

iziz

EI

Aρωα = , unde: ωiz - este pulsaţia proprie pentru vibraţiile de incovoiere din planul

yOz (pe direcţia Oz ).

Sx, Tx, Ux , Vx - sunt funcţiile Krîlov-Rayleigh scrise în cazul vibraţiei de încovoiere în

planul

xOy (pe direcţia Ox ), adică:

( ) ( )( ) 2coskixkixxllchS αα +=

( ) ( )( ) 2sinkixkixxllshT αα +=

( ) ( )( ) 2coskixkixxllchU αα −=

( ) ( )( ) 2sinkixkixxllshV αα −=

unde lk - reprezintă lungimea elementului k.

M, N - funcţiile trigonometrice cosinus şi sinus scrise pentru vibraţia de întindere-

compresiune în lungul axeiOy:

( )kcylM αcos=

( )N lcy k= sin α .

_______________________________________________________________________________

13

R, P - funcţiile trigonometrice cosinus şi sinus scrise pentru vibraţia de torsiune în jurul

axei

Oy:

( )P lry k= cos α

( )R lry k= sin α .

Sz, Tz, Uz , Vz - sunt funcţiile Krîlov-Rayleigh scrise în cazul vibraţiei de încovoiere în

planul

yOz (pe direcţia Oz ), adică:

( ) ( )( )S ch l lz iz k iz k= +α αcos 2

( ) ( )( )T sh l lz iz k iz k= +α αsin 2

( ) ( )( )U ch l lz iz k iz k= −α αcos 2

( ) ( )( )V sh l lz iz k iz k= −α αsin 2.

Cu notaţiile:

θϕ

αz

z

ix

= −

mM

EIz

z

ix z

= −

α2

fF

EIx

x

ix z

= −

α3

fF

EAy

y

cy xz

=

α

θ ϕy y=

m

M

GIy

y

ry pxz

=

α

θϕ

αx

x

iz

=

mM

EIx

x

iz x

=

α 2

fF

EIz

z

iz x

= −

α 3

se scriu matricele vectorilor de stare{ }q şi matricea de transfer [ ]A :

_______________________________________________________________________________

14

{ }q

v

m

f

v

f

m

v

m

f

k

x

z

z

z

y

y

y

y

z

x

x

z k

−

=

−

1

1

θ

θ

θ

şi { }q

v

m

f

v

f

m

v

m

f

k

x

z

z

z

y

y

y

y

z

x

x

z k

=

θ

θ

θ

[ ]A

S T U V

V S T U

U V S T

T U V S

M N

N M

P R

R P

S T U V

V S T U

U V S T

T U V S

k

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

z z z z

z z z z

z z z z

z z z z

=−

−

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

k

.

Relaţia matriceală (1.14) pentru elementul k se poate scrie

{ } [ ] { }q A qk k k=

−1 (1.15)

în care: { }qk −1

şi { }qk - reprezintă vectorii de stare pentru secţiunile k-1 şi respectiv k;

[ ]Ak - reprezintă matricea de transfer pentru elementul k.

Dacă se consideră că pentru o secţiune (nod) se poate vorbi de un vector de stare la stânga

secţiunii (nodului), { }qst

, şi un vector de stare la dreapta secţiunii (nodului), { }qdr

, atunci pentru

elementul k se poate scrie:

{ } [ ] { }q A qk

st

k k

dr

=−1

. (1.16)

_______________________________________________________________________________

15

1.4. MATRICEA DE TRANSFER PENTRU SISTEMUL DE BARE Conform celor prezentate în capitolele precedente, sistemul de bare se împarte în elemente

de secţiune constantă, neacţionate de forţe şi/sau momente concentrate, care vor fi parcurse pe fibra

medie. Elementele astfel delimitate vor fi numerotate în ordine începând cu numărul 1 pentru

primul element din stânga. Sistemul de bare va fi parcurs de la stânga la dreapta pe fibra medie a

elementelor.

Punctele în care are loc o schimbare a direcţiei de parcurgere, o modificare a

caracteristicilor geometrice şi/sau mecanice sau intervin forţe şi/sau momente concentrate vor fi

denumite noduri şi vor fi numerotate începând cu numărul 0 pentru nodul din extremitatea stângă a

sistemului de bare. Astfel, elementul k va fi mărginit la stânga de nodul k-1 şi la dreapta de nodul k.

Pentru fiecare element k (k=1, 2,---, n ) se va scrie matricea de transfer [A]k.

În vectorii de stare pentru nodurile din capete, 0 şi n, vor apărea condiţiile de rezemare la

capete.

În nodurile interioare, 1, 2,---, n-1 pot interveni câte una dintre matricele:

[B]k - matrice de salt (de secţiune);

[C]k - matrice de trecere la schimbarea direcţiilor axelor de coordonate;

[E]k - matrice de trecere peste un reazem elastic.

[D]k - matrice de trecere peste noduri unde sunt forţe şi/sau momente concentrate

Se pot scrie astfel relaţiile matriceale între vectorii de stare din stânga şi din dreapta

nodurilor:

Figura 1.26

_______________________________________________________________________________

16

[ ] [ ] { }

[ ] [ ] { }

[ ] [ ] { }

[ ] [ ] { }

[ ] [ ] { }

[ ] [ ] { }

[ ] [ ] { }

[ ] [ ] { }

[ ] [ ] { }

q A q

q H q

q A q

q A q

q H q

q A q

q A q

q H q

q A q

st dr

dr st

st dr

k

st

k k

dr

k

dr

k k

st

k

st

k k

dr

n

st

n n

dr

n

dr

n n

st

n

st

n n

dr

1 1 0

1 1 1

2 2 1

1

1 1

1 1 2

1 1 1

1

=

=

=

=

=

=

=

=

=

−

+ +

− − −

− − −

−

M

M

(1.98)

în care, [H]k este după caz una dintre matricele [B]k, [C]k, [D]k , [E]k,

Înlocuind succesiv, se obţine:

{ } [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] { }q A H A A H A A H A qn

st

n n n k k k

dr

=− − + −1 1 1 1 2 1 1 0

L L (1.99)

sau

{ } [ ]{ }q Q qn

st dr

=0

(1.100)

unde, s-a notat [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]Q A H A A H A A H An n n k k k

=− − + −1 1 1 1 2 1 1

L L .

Matricea 12x12, notată [Q], este matricea de transfer pentrusistemul de bare.

După ce se pun condiţiile la limită (în nodurile 0 şi n ) din relaţia (1.100) se oţine un sistem

algebric liniar şi omogen. Condiţia ca acest sistem să admită soluţii nenule conduce la ecuaţia

pulsaţiilor proprii. Ecuaţia pulsaţiilor proprii este o ecuaţie transcendentă deoarece necunoscuta, ω,

apare şi ca argument al funcţiilor hiperbolice şi trigonometrice. De aceea se rezolvă numeric.

Curs Metoda Matricelor de Transfer Sisteme de Bare

Documents

Transcript of Curs Metoda Matricelor de Transfer Sisteme de Bare