UNIVERSITATEA SPIRU HARET FACULTATEA DE MATEMATICA - INFORMATICA

RODICA TRANDAFIR I. DUDA (coordonator)

AURORA BACIU RODICA IOAN

SILVIUBARZA

MATEMATICI PENTRU ECONOMIST! editia a 3-a

EDITURA FUNDATIEI ROMANIA DE MAINE BUCURE§TI, 2007

7.2. Asigurarea de pensie 288 7.3.Asigurareadedeces 289 7.4. Asigurari mixte 291

8. Modele matematice pentru gestiunea stocurilor 293 8.1. Notiuni generate 293 8.2. Modele deterministe 293

8.2.1. Model de stocare a unui produs cu cerere constanta, perioada constanta de reaprovizionare si fara lipsa de stoc 293

8.2.2. Model de stocare a unui produs cu cerere constanta, perioada constanta de reaprovizionare si cu posibilitatea lipseidestoc 295

8.2.3. Model de stocare a unui produs cu cerere constanta, perioada constanta de reaprovizionare, fara lipsa de stoc, luand in considerare si costul de achizitie sau de productie ' 299

8.2.4. Model de stocare a mai multor produse 300 8.3. Modele probabiliste 302

8.3.1. Model de stocare a unui produs cu cererea aleatoare, cu pierdere in cazul surplusului de stoc, cu cheltuieli suplimentare in cazul lipsei de stoc si cu cost de stocaj neglijabil 302

8.3.1.1. Cazul discret 302 8.3.1.2. Cazul continuu 305

8.3.2. Model de stocare a unui produs cu cerere aleatoare, cu cost de stocare si cost de penalizare pentru lipsa de stoc .. 306

8.3.2.1. Cazul discret 307 8.3.2.2. Cazul continuu 310

9. Elemente de teoria a§teptarii 312 9.1. Structure de baza si caracteristicile unui sistem de asteptare 312 9.2. Masurareaperformantelor sistemului de asteptare. Relatii de

baza ' .' 313 9.3.Legiprobabilisticealesosirilorsialeserviciilor 315 9.4. Deducerea ecuatiilor de stare pentru un fenomen de asteptare in

regimstationar'. ... 316 9.4.1. Cazul n = 0 317 9.4.2. Cazul n>0 318

8

9.5. Modele de asteptare 319 9.5.1. Model cu fir nelimitat (MIM11): (FIFO I oo / ao) 320 9.5.2. Model cu fir limitat (MIMII): (FIFO/N/OO) 323 9.5.3. Modul de asteptare cu sosiri poissoniene, timp de servire

exponential, cu s statii identice, populatiei infmita (MlMis): (FIFOIccIce) 3 2 5

9.5.4. Modelul de asteptare cu sosiri poissoniene, timp de servire exponential, cu o statie, populatie finita (MIMl\)\(FIFOIm-\lm) 329

9.5.5. Model de asteptare cu sosiri poissoniene, timp de scriere exceptional, cu s statii identice, populatia finita (MIMIS):(FIFOIm-sIm) 332

Bibliografle 335

9

8. MODELE MATEMATICE PENTRU GESTIUNEA STOCURILOR

8.1. Notiuni generate

Definitie. Prin stoc se intelege o rezerva de bunuri materiale destinate vdnzdrii saufolosirii in procesul 'de productie.

Exemple: stocuri de marfuri, de materii prime, de piese de schimb etc. Pentru a constitui stocuri avem: cheltuieli de aprovizionare sau productie, cheltuieli de stocaj, pierderi pentru deprecierea marfurilor si altele.

Orice gestiune de stoc presupune intrari in stoc (inputs) si iesiri din stoc (outputs) determinate de cererea de bunuri ce poate fi determinista si cunoscuta sau aleatoare cu o repartitie statistic cunoscuta sau necunoscuta.

In activitatea de management a stocului intervin urmatoarele elemente: cererea de bunuri, nivelul stocului, volumul comenzii de reaprovizionare, perioada de reaprovizionare, costuri de stocare, de penalizare, de lansare a comenzii.

Politica economics determina deciziile ce se iau in organizarea stiintifica a stocurilor, avand la baza un criteriu de optim, acesta fiind de obicei costul global minim.

Definitie. Se numeste politica optima acea activitate de management a stocului care implied un cost total minim,

Elementele unei politici optime sunt: nivelul optim al stocului, volumul optim al unei comenzi de reaprovizionare, perioada optima de reaprovizionare, numarul optim de reaprovizionari, costul total minim (gestiunea optima).

In gestiunea stiintifica a stocurilor un rol important il au modelele economico-matematice a nivelurilor stocurilor si a momentelor in care se face reaprovizionarea, cu ajutorul carora putem stabili politici optime. Dupa natura lor, modelele pot fi deterministe sau aleatoare.

8.2. Modele deterministe

8.2.1. Model de stocare a unuiprodus cu cerere constanta, perioada constanta de reaprovizionare sifard lipsd de stoc

Se considers ca se stocheaza un singur produs al carui consum este o functie liniara de timp, cererea produsului este g , pe o perioada de timp 9 , reaprovizionare stocului se face instantaneu la intervale de timp egale cu T si in cantitati egale q.

Stiind costul unitar de stocare in unitatea de timp cs, costul de lansare a comenzii de reaprovizionare cx, reprezentand totalul cheltuielilor legate de operatii de reaprovizionare ce nu depinde de q, si ca nu se admite lipsa de stoc, se cere gestiunea optima (costul total minim).

293

O astfel de gestiune se prezinta cain figura 8.2.1.

Figura 8.2.1.

Vrem sa scriem functia obiectiv a modelului ce cuprinde toate cheltuielile legate de gestiunea stocului.'

Observam ca pentru fiecare perioada T se fac cheltuielile cx+-qTcs,

deoarece in stoc se considers ca se afla cantitatea medie - . Perioadele fiind egale, avem numarul aprovizionarilor

Q 6 V — — — —

q T (8.2.1.)

Astfel, functia obiectiv „cost total" va fi obtinuta prin inmultirea cheltuielilor corespunzatoare unei perioade cu numarul perioadelor v

1 Cq) = \cl+-qTc 2

Inlocuind in relatia (8.2.2.) relatia (8.2.1.) vom obtine

C\q) -QCl+-qQcs q 2

(8.2.2.)

(8.2.3.)

Volumul optim al unei comenzi de reaprovizionare q se obtine punand conditia de minim pentru functia C(q), Derivatele acestei functii sunt

C'(q) = -\Qc,+-Qc,

C"q) = ^QCl

(8.2.4.)

Rezolvam C'(q) = 0 si obtinem

294

Q

\

2Qcx

6c (8.2.5.)

si cum C"(q) > 0, atunci extremul este un minim. (Din considerente economice se considera numai valorile pozitive ale lui q .)

Inlocuind (8.2.5.) in (8.2.1.) obtinem numarul optim de reaprovizionari cat si perioada optima.

V — Q 0&s

2c,

e = — =

V

29c7 Qcs

(8.2.6.)

(8.2.7.)

C(q) Inlocuind (8.2.5.) in (8.2.3.) obtinem gestiunea optima

C = Cq) = 2QQcfs . (8.2.8.) Exemplu. Cererea pentru un anumit aparat electrocasnic este de 700.000

bucati pe an. Aprovizionarea unui depozit cu acest produs se face in cantitati egale, la intervale de timp egale, iar produsele sunt scoase cu un ritm constant din stoc. §tiind ca pentru a stoca in depozit un singur aparat timp de un an se platesc 50 u.m., costul de lansare al comenzii este 150 u.m. si ca nu se accepta lipsa produsului din stoc, sa se determine volumul optim al unei comenzi, numarul optim de aprovizionari, perioada optima de reaprovizionari si gestiunea optima. Raspuns. Q = 700.000 bucati, 9 - 1 an, c , = 5 0 u.m., c, =150 u.m.

q 2-700.000-150

1 342

1-50

1 zi §i C

«2049 bucati, , 700.000 , „ v = « 342

2049 aprovizionari,

V2-700.000-1-50-150 =102.469,5 u.m.

8.2.2. Model de stocare a unui produs cu cerere constanta, perioada constanta de reaprovizionare si cu posibilitatea lipsei de stoc

Vom admite ipotezele din modelul 8.2.1., cu deosebirea ca se admite lipsa de stoc penalizata cu un cost unitar de penalizare cp (penalizarea pentru lipsa unui produs in unitatea de timp).

Perioada constanta de timp T a fost impartita in doua subperioade, perioada Tx in care stocul satisface cererea, perioada in care se va plati pentru stocul mediu

s 2

costul unitar de stocaj cs si perioada T2 in care stocul nu mai satisface cererea,

295

perioada in care se va plati pentru lipsa medie q — s costul unitar de

penalizare cp

Modelul se prezinta grafic in figura 8.2.2.

Figura 8.2.2.

Vrem sa determinam costul global C(q,s). Intr-o perioada T se vor face cheltuielile

s_ q-s_ i 2 i , 2 2 P

Costul global va fi

Cq,s) = \ cx +-T1cs +—T,c 2 >

In relatia (8.2.10.) introducem relatia (8.2.1.) si obtinem

C(q,s) o s' e q-s^ e c, — + —7]c, — + — r , c „ —

1q 2 l s r 2 2 p r

(8.2.9.)

(8.2.10.)

(8.2.11.)

Din asemanarea triunghiurilor dreptunghice formate in figura 8.2.2, a acestui model, rezulta

Tx _ s T2 _ q-s T~ q' T~ q

Din (8.2.12.) si (8.2.11.) avem Q 6 2 6 A2 ^ / \ u 0 2 e / v

V ; g 2q 2qy ' p

(8.2.12.)

(8.2.13.)

296

2

Vrem sa determinam minimul functiei obiectiv. Rezolvam sistemul dC(q,s)

dq dC(q,s)

0 (8.2.14.)

ds de unde rezulta

-to- 2 " ( 2 2\

q2^1 2qlSCsJr^Kq ~$ jCp

q q

(8.2.15.)

Din prima relatie a sistemului (8.2.15.) rezulta

q2 2QcL + cl+cJL s2

Din a doua relatie a sistemului (8.2.15.) rezulta

s - P 1 cs +c

(8.2.16.)

(8.2.17.)

Introducand (8.2.17.) in (8.2.16.) obtinem valoarea optima pentru volumul comenzii q,

22Qc1 cs+cp q 6c

Notam

P cs +cp

(8.2.18.)

(8.2.18'.)

numit factor depenalizare. Cu aceastanotatie relatia (8.2.18.), respectiv (8.2.17.) vor deveni

Q

S — 0(7

2Qcx

9c, \

VlQt VP-

(8.2.19.)

(8.2.20.)

C(q,s) are minimul C(q,s) numit gestiune optima pentru ca

A(q,s)>0

dq2

0

p P

297

Obtinem perioada optima precum si numarul optim de aprovizionari din relatiile (8.2.1.) si (8.2.19.)

si respectiv

- Q V — — —

q \

e —

Ws 2c, VP

v \ 2 9 ^ Qcs \

(8.2.21.)

(8.2.22.)

Gestiunea optima se obtine inlocuind in (8.2.13.) pe q si s cu valorile optime q §i s din (8.2.19.) §i (8.2.20.), adica

C = 2Q^s-f9. (8.2.23.)

Observatie. Daca cp -> oo din (8.2.18') rezulta ca p - > 1 §i ajungem la modelul (8.2.1) care apare ca un caz particular al modelului (8.2.2.).

Exemplu. La o patiserie necesarul lunar este de 1000 kg de zahar. Costul de stocaj pentru 1 kg. de zahar este de 2 u.m. pe zi, costul de lansare al comenzii este de 1.300 u.m., iar in caz de lipsa de stoc se aplica o penalizare cu 30 u.m./zi pentru 1 kg de zahar lipsa. Sa se determine volumul optim al unei comenzi, stocul optim, numarul optim de aprovizionari, perioada optima, stiind ca aprovizionarea se face in cantitati egale, la intervale de timp egale.

Solutie. Q = 1.000,0 = 3 0 , ^ = 1 . 3 0 0 , c = 30, cs = 2. Astfel p 30 32

.Avem

2Qcx

0csP

2-1.000-1.300

30-2- 30 32

= 214,99

Q Deasemenea, s = q-p = 201,56, v = ^ = A,65, f = — = 6,45. Rezulta q v

C = J2Q0csclp=A2-1.000 -30 -1.300 -2 -—=12.092,385. v 1 32

298

8.2.3. Model de stocare a unuiprodus cu cerere constanta, perioadd constanta de reaprovizionare, fara lipsd de stoc, luand in consider are si costal de achizitie sau deproductie

Consideram gestiunea unui stoc de cantitate Q, a unui singur produs, pe un interval de timp 9 . Reaprovizionarea stocului se face instantaneu la intervale egale cu T si in cantitati egale cu q, pretul unitar de cumparare al produsului sau costal unitar de productie este ca, costul fix al comenzii este cb, iar costul unitar de stocaj cs se presupune proportional cu cheltuielile facute pentru aprovizionarea cu o unitate de produs, coeficientul de proportionalitate fiind a .

Din ipoteze rezulta ca acest model este o varianta a modelului (8.2.1.) in care costul de lansare este

iar costul unitar de stocaj Cl = 1Ca + Cb '

cs - a V

cb ca+ — q

(8.2.24.)

(8.2.25.) J

Folosim acelasi criteriu de optim ca si la modelul 1 in care costul de lansare, functia obiectiv (8.2.2.) devine, dupa inlocuirea lui cx si cs cu expresiile (8.2.24.) si (8.2.25.)

Cq) = —qca+cb) + -Qa q 2

]_ q ca+-cb

ce se rescrie

C(q) ^cb +-aQqca + Qca +-acb. q 2 2 Din conditia de optim pentru functia obiectiv avem

(8.2.26.)

C \Q) Q c+-aQc q2 " 2

Rezolvand ecuatia C'(q) = 0 vom gasi pentru comanda optima

Q

\ 2Qcb

aQc (8.2.27.)

cu C"(q)>0

299

Din (8.2.1.) si (8.2.27.) rezulta Q q \

V — ^fi&

2c si respectiv (8.2.28.)

e = — =

V

29^ aQca

Din (8.2.26.) si (8.2.27.) obtinem gestiunea optima

C = C(q) = 2aQQcacb + Qca + -aQcb. (8.2.29.)

Exemplu. Un magazin de produse electronice are o cerere trimestriala de 100.000 componente electronice de acelasi tip. Pentru fiecare comanda se cheltuiesc 10.000 u.m. iar costul de achizitie este de 200 u.m. pentru fiecare produs. Coeficientul de proportionalitate intre costul unitar de stocaj si costul unitar de lansare este 2% . §tiind cfi'nu se admite lipsa de stoc, sa se determine politica optima de reaprovizionare. Solutie. Se cunosc Q = 100.000, 9 - 9 0 , ca=200, cb -10.000 si factorul de proportionalitate asociat stocarii a - 0,02. Folosim relatia (8.2.27.) avem

q 2-100.000-10.000

0,02-90-200 Perioada optima reaprovizionare este

2357,02.

T = 2-90-10.000 = 2,12,

iar numarul de reaprovizionari v

C = C(q)

42 . Se obtine costul minim

0,02-100.000-200

q

v/2-0,02-90-200-10.000+100.000-200

2.011.683,28

8.2.4. Model de stocare a mai multorproduse

2 '

In cele mai multe cazuri, in practica, se fac stocuri de mai multe produse. Vom construi o varianta a modelului 1 pentru cazul a mai multor produse.

Se stocheaza k produse i>, i = ljc al caror consum este dat de functii liniare de timp, cererea produsului i> este Qt pentru o perioada de timp 9 , reaprovizionarilor se fac instantaneu la intervale de timp T, in cantitati egale cu q,,

300

costurile unitare de stocare sunt c , costurile de lansare c, , i = \,k si nu se

admite lipsa de stoc pentru nici un produs. Din relatia (8.2.2.) obtinem costul global de stocaj pentru produsul P. este

It 2 iar functia obiectiv pentru produsele stocate va fi

(8.2.30.)

C(qx,q2,...,qk) = YJCiqi). (8.2.31.) ;=i

Functiile Ct(q,), i = ljz sunt independente, minimul sumei lor are loc o data cu minimul fiecaruia dintre ele. Vom avea urmatoarele relatii

dC(qx,q2,...,qk)

dC,-(g,-) =

o , i = l,2,...,k (8.2.32.)

0

Tinand cont de relatiile (8.2.32.) si de relatiile (8.2.5.), (8.2.6.) si (8.2.7.) gasim pentru produsele i> urmatoarele valori

1i 2siC] 1;

ec (8.2.33.)

QQ.c 1 si

2c,

29^

Q.c l s^

iar pentru gestiunea optima

C ±c, (8.2.34.) i= i

unde C. - C.(q.) = h.§cx.cHQ .

Exemplu. Se organizeaza pe o perioada de 300 zile (an comercial), la o cofetarie, stocul produselor faina, zahar, ulei in cantitatile Q1 = 5 tone, Q2 = 2 tone, Q3 = 1 tona, costurile de lansare a comenzii fiind c, - 40.000 lei,

"h -13.000 lei respectiv cx -15.000 lei. Costurile de stocaj sunt cs "h 500

lei/t zi, cS2 = 800 lei/t zi, cs^ =

activitatii de management al stocului.

400 lei/t zi. Se cer valorile elementelor optime ale

301

V- =

Solutie. Se obtine ^ =5,16, g 2 = 0 , 4 6 , g 3 = 0 , 5 . Pentru numarul

aprovizionarilor avem ^=10, v 2 =18 s i v 3 = 3 . Pentru gestiunile optime pe

produs obtinem C; =244506, C2 =111.713,92 si C3 =60.000, de unde 3

C = £ C . =416213,92.

8.3. Modele probabiliste

8.3.1. Model de stocare a unuiprodus cu cererea aleatoare, cu pierdere in cazul surplusului de stoc, cu cheltuieli suplimentare in

cazul lipsei de stoc si cu cost de stocaj neglijabil

Se stocheaza un singur produs, stocul constituit la un anumit moment se

noteaza cu s, a carei cerere este variabila aleatoare X, cu repartitia X : x

JC = 0,1,2,... pentru cerere discreta, si X: x ^

f(x\ , xe[0,oo) pentru cerere

continua. Excedentul de stoc, cand x < s se penalizeaza cu o pierdere unitara cx; lipsa

de stoc, cand x > s se penalizeaza cu cheltuieli suplimentare de reaprovizionare c2, iar cheltuielile de stocaj sunt foarte mici in raport cu c, si c2 si se pot neglija.

Prezentam separat modelul pentru cazul discret si pentru cazul continuu.

8.3.1.1. Cazul discret

Notam cu Es variabila aleatoare excedent de stoc, ce are repartitia

Es s-x

P(X),

repartitia L

, x = 0,1,2,...,.? si notam cu Ls variabila aleatoare lipsa de stoc ce are

J C - ^ , x = s + \,s + 2,....

P(x). Mediile celor doua variabile aleatoare vor fi

M[ES) = ^ [s - x)p(x)

si respectiv CO

M(LS)= ^(x-s)p(x). x=s+\

302

Aplicand penalizarile c, §i c2 celor doua medii M(ES) §i M(LS), determinam functia obiectiv, ce reprezinta cheltuielile medii totale legate de managements stocului,

S CO

C(s) = c^(s-x)p(x) + c2 ^(x-s)p(x). (8.3.1.)

Vrem sa determinam stocul optim s, pe care-1 vom obtine punand conditia de minim pentru functia C(s). C(s) fiind o functie discreta, minimul ei va fi S pentru care

C(s-l)>C(s)<C(s + l). (8.3.2.) deci, pentru al determina pe S vom rezolva sistemul

[C(s-l)-C(s)>0 \r( 1 r n ' (8.3.3.)

Din (8.3.1.) avem J+ l GO

C(^+1) =c1E(^+1-x)JD(x)+c2 Z (*-^-iMx)=

x=0 x - ^ + 2

s

Cl^i(s+l-x)p(x) + C2 ^ (jC-S-l)/>(*) = x - 0 x - s + l

S + l S GO CO

ciZ(^_xMx)+ciZHx)+c2 Z (^--O/K*)-^ Z />(*)

Notam F(s) = p(x) §i introducand in expresia lui C ^ + l) obtinem

C(s + l) = C(s)+(cl+c2)F(s)-c2. (8.3.4.) Similar, din (8.3.1.) obtinem

j - i

c(*_1) =<iZ(*-1-*M*)+c2Z(*-'s+1M*)= x=0 x=s j — 1 J — 1 CO CO

= clYJs-x)px)-clYJpx) + c2YJx-s)px) + c2YJpx) = x=0 x=0 x=s x=s

S CO

= c1^(5-x)jp(x) + c2^(x-5)jp(x)-c1F(5-l) + c2(l-F(5-l)) x=0 x=s

sau C ( * - 1 ) = C ( 5 ' ) - ( C 1 + C 2 ) F ( 5 ' - 1 ) + C2 . (8.3.5.)

Inlocuind in (8.3.3.) relatiile (8.3.4.) §i (8.3.5.) avem jC(s +1) - C(s) = (q + c2 ) F ( S ) - c2 > 0

[C(s -l)-C(s) = -cx + c2)F(S) + C2 > 0

303

de unde

F(s-1) < C\ +C2

<F(s). (8.3.6.)

Astfel, stocul optim s este acea valoare a lui s ce satisface relatia (8.3.6.) si

vom nota cu p Cl + C2

raportuldepenalizare.

Observatii Din relatia (8.3.6.) si din faptul ca F(s) este nedescrescatoare rezulta ca exista s unic. Daca F(S-1)<P = F(S), atunci C(s + l) = C(s), deci minimul are loc pentrudouavalori s si s + 1. Daca F(S-1) = P = F(S), atunci C(s-l) = C(s), deci minimul are loc pen t ru2va lo r i i - l si s.

Exemplu. Un atelier auto are nevoie de un numar de piese de un anumit tip. Se cere numarul de piese ce trebuiesc stocate stiind ca daca exista un surplus de piese exista pierderi in valoare de 15.000 u.m., si daca nu se achizitioneaza suficiente, piesele lipsa se vor procura cu un pret de cost mai ridicat cu 10.000 u.m. Din datele statistice obtinem urmatoarea cerere de piese.

1.

2.

3.

Piese inlocuite (x) Numarul de masini cu (x) piese inlocuite

1 10

2 20

3 4 30 25

5 15

§tiind ca, costul de stocaj este neglijabil in raport cu celelalte costuri se cere stocul optim si gestiunea optima.

Solutie. q =15.000, c2 =10.000, deci p

Organizam calculele astfel Cl + C 2

0,4.

X piese inlocuite frecvente absolute Nt pyx) - PyX — X ) pd>) 1 10 0,10 0,10 2 20 0,20 0,30 3 30 0,30 0,60 4 25 0,25 0,85 5 15 0,15 1,00

Observam ca F(2)< p = 0,4 < 0,6 < F(3), deci stocul optim este s 0 = 3 piese de schimb pe masina in conditiile unui cost minim

3 5

C(3) =15.000X(3-x)^ (x) + 10.000X(^-3)^(x) =

= 15.000(2-0,1+ l-0,2) + 10.000(l-0,25 + 2-0,15) = 11.500

304

2

C 2

C 2

8.3.1.2. Cazul continuu

Notam cu Es variabila aleatoare excedent de stoc cu repartitia Es S-x f(x)

j e [ 0 , 4 cu media M(ES)= ^(s-x)f(x)dx si Ls variabila aleatoare lipsd de

stoc cu repartitia Ls x — s , J , x e [s,oo), cu media M ( Z S ) = J(x - s)f(x)dx

Astfel, functia obiectiv, a valorii medii a cheltuielilor totale, este S co

0 5

Punem conditia de minim pentru functia C(s), obtinem S co

C'yx) - cx \f\x)dx - c2 \fyx)dx 0 5

si notam

F[s) = \f\x)dx. 0

Rezolvam ecuatia C(s) = 0

Dinrelatiile (8.3.8.), (8.3.9.), (8.3.10.) obtinem c^Fys) - c2 (l - Fys)) - 0

si deci avem

(8.3.7.)

(8.3.8.)

(8.3.9.)

(8.3.10.)

r \S ) Cl + C 2

(8.3.11.)

Astfel, solutia optima s este solutia ecuatiei F(s) = p, unde p are aceeasi semnificatie ca in cazul discret.

Observam ca extremul unic (F(s) este nedescrescatoare) este un minim, caci C"(s) > 0.

Exemplu. Din datele statistice se stie ca cererea in tone pentru un anumit produs este o variabila aleatoare continua cu densitatea de probabilitate

f(x) 12 0

(lx +1) pentru x e [0,3]

pentru x £ [0,3]

305

S

0

c 2

In ipoteza in care pierderea pentru o tona de produs este de 130 u.m., iar in cazul lipsei de produs se fac cheltuieli suplimentare de 350 u.m., sa se organizeze gestiunea optima.

Solutie. Avem c, - 130, c, - 350 astfel c a p - — . Pentru a gasi S, rezolvam 1 2 4 g

ecuatia F(s) = p , unde

F (s)= \f(x)dx = \^(2x + \)dx = Ux1+x\ =-(s2

+s). W 0

J V r 0

J 1 2 V ; 12v \ 12v ;

I 35 5 Din ecuatia —(s2+s) = — obtinem s = - singura solutie convenabila, ' 12v ; 48 2

caci s = ^[0,31. Pentru calculul gestiunii optime inlocuim in formula g L J

(8.3.7.) si obtinem 5

c 5 5 130 J— (2JC + 1) — x dx + 350\— (2JC + 1) JC

1Z L 1Z Z afc = 244,53

8.3.2. Morfe/<fe stocare a unuiprodus cu cerere aleatoare, cu cost de stocare si cost de penalizare pentru lipsa de stoc

Fie X o variabila aleatoare ce reprezinta cererea la un moment dat,

cu repartitia X: x x , x , x-0,1,2,. . . pentru cerere discreta si X: , .

xe[0,oo) pentru cerere continua, costul unitar de stocaj este cs, costul unitar

de penalizare pentru lipsa de stoc este cp, iar nivelul stocului la un moment dat este s.

In gestiunea acestui stoc pe o perioada T se pot ivi doua situatii si anume 1. Cererea nu depaseste stocul, deci e satisfacuta in toata perioada T, adica

x<s (vezifigura 8.3.1). 2. Cererea este mai mare decat stocul x>s, pe perioada 7j cererea este

satisfacuta, in perioada T2 cererea nu este satisfacuta (perioada de penurie) si TX+T2=T (vezi figura 8.3.2)

2

306

Figura 8.3.1. Figura 8.3.2.

Vom studia separat cazul cererii discrete si cazul cererii continue.

8.3.2.1. Cazuldiscret

se plateste costul unitar cs este ^ \ s \p(x). Pentru situatia descrisa in

CO

figura 8.3.2. stocul mediu va fi Y - p ( x ) pentru care se vor face cheltuieli

Pentru situatia din figura 8.3.1. se observa ca stocul mediu pentru care

A

x=s+l

unitare de stocaj cs pe perioada Tx si o lipsa medie de stoc (penurie medie)

£ p(x) penalizata cu un cost unitar de penalizare cp , pe perioada T2 x=s+l 2

Vom determina functia obiectiv, ce reprezinta cheltuielile medii totale pentru perioada T

x=0

A QW= C / £ s-- \px) + csTx £ ^P(x) V x=s+\ 2

) + (8.3.12.)

+ c r. I ^/-M P 2 x=s+l 2

In figura 8.3.2. se formeaza triunghiuri dreptunghice asemenea si vom avea

T x T 5. *Si5- = £^ j d e m i d e

‘ Tl T si T7

x — s

Inlocuim relatia (8.3.13.) in expresialui CT(s) si obtinem

CT(s) = T .z p(x) + c 9 ^ x-s+\

^ •&

(8.3.13.)

(8.3.14.) ‘ ‘

307

Notam cu C(s) cheltuielile totale medii in unitatea de timp si relatia (8.3.14.) devine

CT(s) = TC(s). (8.3.15.) Stocul optim s se va obtine din conditia de minim pentru functia C(s). Din

conditia de minim pentru functii discrete, C(s-l)>C(s)<C(s + l),

rezulta ca valoarea optima s se obtine ca solutie a sistemului de inecuatii | C ( S - 1 ) - C W > 0

[C(s + l)-C(s)>0 Calculam C(s +1) cu ajutorul relatiei (8.3.14.) si avem

(8.3.16.)

s+\

C(s + 1)= cs^\s + l-^\(x) + csi^t^ + x=0 J * x=s+2 X

1 ^ (x-s-lf . . + -cn > p(x)

2 Px7?+2 x V '

Rescriem sumele din partea a doua a egalitatii. Obtinem

lT"i-f>M=|(.-§<*)+I,M

(8.3.17.)

x=0

x=0

x=0

V-l A ( \ s + 1 I A v - I \ Z\s--jp(x) + —p(s + l)+ZP^) x=0

f, p(x) ^ p(x) p(s + l) > = >

x=s+2 X x^s+1 X S + 1

^ (x-s-lf , , f, (x-s-lf , , L p\x)= 2 ^ ^ P \ X )

(8.3.18.)

(8.3.19.)

x=s+2

£ ^X S> p(x)-2^ x=s+\

x=s+l X

x — s

x=s+\ X (x)+ ^

p(x) (8.3.20.)

x=s+\

= j p v° s> p(x)-2^p(x) + (2s + l)^ ^ x=s+\ X x=s+i x=s+i X

Inlocuimrelatiile (8.3.18.), (8.3.19.), (8.3.20) in (8.3.17.) obtinem

C(s + l) = C(s) + (cs+cp\^p(x) + is + - ) ^ ^ x=0

W 'x=s+l

— c

sau C(s + l)-C(s) = (cs+cp)L(s) — c (8.3.21.)

308

X

X

unde

x=0

p(x)

' x=s+\

Analog, vom gasi C(s - 1 ) - C ( s ) = -(cs + cp)L(s -l) + cp.

Inlocuim relatiile (8.3.20.) si (8.3.23.) in (8.3.16.) avem \c, +C„)L(S)-C„ > 0 | \ s p / \ / p

(cs+cp)L(s-l) + cp>0,

de unde obtinem ca L(s-l)<p< L(s)

c cu p

(8.3.22.)

(8.3.23.)

(8.3.24.)

cs +cp

Valoarea optima a stocului s se obtine ca solutie a inecuatiei (8.3.24.). Se poate arata u§or ca C(s) > 0 §i deci s, solutia inegalitatii (8.3.24.) este punct de minim. Gestiunea optima se obtine calculand pe C(s).

Exemplu. Din datele statistice se cunoaste ca cererea de piese de schimb a unui atelier auto (pe o perioada de 4 saptamani) se prezinta astfel:

cererea X (numar de piese de schimb) 1 2 3 4 5 probabilitatea p(x) 0,05 0,3 0,4 0,2 0,05

Se stie ca se admit cheltuieli de stocaj pe zi de 1.000 u.m. si lipsa de piese din stoc aduce o pierdere de 7.000 u.m./zi pentru o piesa lipsa sa se determine stocul optim.

7.000 Solutie. cp - 7.000 si cs - 1 .000 , deci p

Organizam datele astfel: 7.000 + 1.000

0,875.

s X p(x) x=2

px) X x=2 X

s + — \ ^ ^ ^

1 1 0,05 0,05 0,05 0,343 0,5145 2 2 0,3 0,35 0,150 0,193 0,4825 3 3 0,4 0,75 0,133 0,06 0,210 4 4 0,2 0,95 0,05 0,01 0,045 5 5 0,05 1 0,01 0,000 0

L(s)

0,5645 0,8325 0,96 0,995

Observam ca 0,8325 - L(2) < p - 0,875 < 0,96 - L(j), rezulta s = 3

309

x

1

8.3.2.2. Cazul continuu

Rezolvand calculele similar ca si in cazul discret, vom scrie functia obiectiv - cheltuieli totale medii astfel:

C(i) = c , J s - - f(x)dx + -s2cs \^^dx + -cp p >f(x)dx- (8.3.25.) 0 V / s s

Stocul optim s se obtine din conditia de optim pentru functia C(s). Functia

C(s) isi atinge minimul in punctul S pentru care L(s) = p , unde p - ^ si c +cs

CO CO

L(s) = F(y) + s \ ^ d x , iar F(s) = J/(jc)afc. Astfel x n

^ 0

C ' ^ ) ^ ^ \f(x)dx + scs \^^dx-c [ f(x)dx

Rezolvam ecuatia C'(s) - 0 si obtinem

F(s) + s+^dx= Cp sauL(s) = p. (8.3.26.) J x c +c s p s

Solutia ecuatiei L(s) = p o notam cu 5 si pentru ca C"(s)> 0 , acesta este punct de minim.

Exemplu. Cererea unui produs este o variabila aleatoare X care are repartitia

f\x) X pentru jce[0,4]

0 pentru jcg[0,4] Costul stocarii unui produs este 100 u.m., lipsa acestui produs se

penalizeaza cu un cost unitar suplimentar de reaprovizionare de 1.500 u.m. Care este stocul optim si gestiunea optima, considerand costul de stocaj neglijabil. Solutie. Volumul optim se determina rezolvand ecuatia (8.3.25.) unde

F(s)= \-dx = — d a c a s e 0,4 si \±±Jdx= dx = iS 16 J x J 8 x 8

0

310

1.500 15 =

1.500 + 100 16 Cum cp = 1.500 , cs = 100, p - = — Rezolvam ecuatia

(8.3.26.), — + s = —, de unde s = 3, singura radacina convenabila, 16 8 16

cealalta, s = 5 , nu apartine domeniului de defmitie a functiei cerere. Pentru a determina costul minim, inlocuim s cu 3 in formula (8.3.25.) ce

devine

C(3) ^ 1 0 0 3 f f 3 - ^ ^ ^ + I.9.100p.i^ + i.l.5004ffe^2 x

«M J J O 3

200

dx 8 x 2 x

311

9. ELEMENTE DE TEORIA A§TEPTARII

In viata de zi cu zi, in productia de bunuri si de servicii, intalnim fenomene de asteptare generate fie de oameni, fie de masini, atunci cand cererea curenta de servicii depaseste capacitatea de a asigura serviciile cerute. Astfel, dacanumarul de oameni sau de masini care asteapta este prea mare, la un moment dat, atunci vom avea cheltuieli neproductive pentru intreprinderea respectiva. De aceea se impune elaborarea unui plan adecvat de asteptare din punct de vedere economic, care sa conduca la satisfacerea cererilor de servicii in conditii cat mai avantajoase.

Primele lucrari legate de sistemele de asteptare apartin lui Erlang (1908), referitoare la problema incercarii rationale a centralelor telefonice.

Teoria asteptarii (teoria firelor de asteptare sau teoria cozilor) este acea ramura a matematicii ce studiaza fenomenele de asteptare.

Modelele de asteptare s-au diversificat continuu si au patruns in cele mai variate domenii atat din sfera productiei, cat si din cea a serviciilor.

Vom enumera principalele elemente ale problemei fenomenului de asteptare.

9.1. Structura de baza §i caracteristicile unui sistem de asteptare

Intr-un model de asteptare procesul de baza este urmatorul: unitatile care cer sa fie servite sunt generate in timp de o sursa a intrarilor. Servirea este asigurata de una sau mai multe stati de servire. Unitatile ce nu pot fi servite imediat vor forma coada sau firul de asteptare.

Deci: • Sursa reprezinta multimea unitatilor ce solicita un serviciu la un moment

dat. Ea poate fi fmita sau infmita. Sosirea unitatilor in sistemul de asteptare determina variabila aleatoare X, a numarului de' unitati ce intra in sistem in unitatea de timp.

• Firul de asteptare este determinat de numarul unitatilor care asteapta (finit sau infmit) limitat sau nelimitat.

• Statia de serviciu reprezinta fie un lucrator (mecanic auto, easier, vizitator etc.), fie o masina ce efectueaza un serviciu ce a fost solicitat. Vom nota cu Y variabila aleatoare ce reprezinta timpul de servire a unei unitati in statia de serviciu.

Din practica se iau valorile empirice pentru variabilele aleatoare X si Y, cu ajutorul carora se determina legile de repartitie si parametrii pentru variabilele aleatoare X si Y, prin ajustarea unei distributii empirice la o distributie teoretica folosind metodele din teoria probabilitatilor si statistica matematica. Ansamblul format din firul de asteptare si statiile de servire formeaza sistemul de asteptare. Schematic situatia se prezinta astfel:

312

Clienti Sursa

inlrici

Clienti ! Firul de

asteptare

Statii de Clienti Sursa

inlrici sistem !

Firul de

asteptare sevire sefsiti

!

sefsiti

Figura 9.1.1. Sistem de asteptare

La un moment dat, o unitate ce asteapta sa fie servita este aleasa pentru servire printr-o anumita regula, numita disciplina de servire.

Cea mai des utilizata disciplina de servire este „primul sosit, primal servif (sau FIFO), o alta metoda cu aplicatii in metalurgie, metoda „ultimul sosit, primal servit" (UFO). Disciplina de servire este un element de corectitudine intre clienti, dar nu este importanta pentru statia de servire, ce face aceleasi servicii pentru orice client.

Dupa numarul unitatilor de servire si numarul statiilor servite putem avea urmatoarea clasificare a fenomenelor de asteptare: 1. un fir, o statie, 2. un fir, mai multe statii, 3. mai multe fire, o statie, 4. mai multe fire, mai multe statii; iar dupa natura sosirilor sau a serviciilor putem avea: 1. mai multe fire, sosiri constante, servicii constante, 2. sosiri constante sau servicii aleatoare, 3. sosiri aleatoare cu servicii constante, 4. sosiri aleatoare, servicii aleatoare.

9.2. Masurarea performantelor sistemului de asteptare. Relatii de baza

Intr-o problema de asteptare se intalnesc urmatorii indicatori principals 1. m este numarul de unitati ale populatiei ce sosesc in sistem (m poate fi fmit

sau infmit); 2. s este numarul de statii de serviciu; 3. pn\t) este probabilitatea ca in sistemul de asteptare sa se gaseasca n unitati la

momentul t. Vom nota simplificat pn ; 4. n(t) este numarul de unitati ce se gasesc in sistemul de asteptare la momentul

t, care este o variabila aleatoare cu distributia n fO 1 2 ••• n •• m^

n(t): \Po P\ Pi '" Pn '" PmJ

valoarea sa medie (numarul mediu de unitati din sistem la un moment t) va fi

313

Cand m = <x>, se impune conditia cawf) = ]T wp„ sa fie convergenta.

5. nf(t) este o variabila aleatoare ce reprezinta numarul de unitati din firul de asteptare la momentul t care se reprezinta prin

^ 0 1 ••• h • m-s^ s

Y.Pi P* + l •'• Ph+* ••• Pm cu media w^f) numarul mediu de unitati ce se afla in fir data de

nJt):

4=1 n=s+l

Pentru m = oo seria ^(n-s)p„= nf (t) va trebui sa fie convergenta n-s+l

6. ns (t) reprezinta numarul de unitati ce sunt servite la un moment t,

(0 1 ••• s CO

Pa P\ '" /,Pn nst)-

0 f\ n n-s J

cu media s-\

^)=Z^-Z k+S^Pn, 4=0 n=s

deci, vom avea relatia n(t)=nf(t) + ns(t), ce exista si intre valorile medii.

njt) reprezinta numarul mediu de unitati servite la momentul t. 7. P(n(t) > k), probabilitatea ca numarul unitatilor din sistem la momentul t sa

fie mai mare decat k . Dar k

Pn(t)>t) = \ — P\n(t)<k) = l—/,/?,- i=l

8. Tf , timpul mediu de asteptare in fir a unei unitati.

9. Ts, timpul mediu de asteptare a unei unitati in sistem.

Observatie. Tf si Ts depind de legile serviciului si sosirilor si vor fi determinate pentru fiecare model in parte.

314

9.3. Legi probabilistice ale sosirilor §i ale serviciilor

Fie X variabila aleatoare ce reprezinta numarul de unitati sosite in unitatea de timp, intr-un sistem de asteptare. Vrem sa studiem repartitia variabilei X avand urmatoarele ipoteze: 1) Probabilitatea sosirii unei unitati la un moment dat este constants si nu depinde

de ce s-a intamplat anterior. 2) Probabilitatea sosirii unei unitati intr-un interval foarte mic de timp (t,t + h),

de lungime h, este proportionate cu lungimea intervalului, oricare ar fi t, adicaeste Xh + 0(h), unde

limO(h) = 0 si l i m ^ ^ = 0 (9.3.1.)

unde X este un coeficient de proportionalitate constant si pozitiv. 3) Probabilitatea ca in intervalul de timp (t,t + h) sa fie mai mult decat o sosire

este aproximativ egala cu zero, cand h indeplineste conditia (9.3.1.). Se arata ca, in aceste 3 ipoteze avem: Propozitia 9.3.1. Variabila aleatoare X ce reprezinta numarul de unitati

sositepe unitatea de timp intr-un sistem de asteptare are repartitia Poisson. Adica, probabilitatea ca in intervalul de timp (0,t), t>0 sa aiba loc n

sosiri este egala cu P (t) = e ^ , X>0, « E N . Pentru t - 1 (unitatea de

X" timp) ea este egala cu P, (l) = —e~k.

Astfel, observam ca X, coeficientul de proportionalitate introdus in ipoteza 2) reprezinta numarul mediu de unitati sosite in unitatea de timp.

In ipotezele 1), 2), 3) aplicate pentru numarul unitatilor servite de o statie ce lucreaza neintrerupt, vom obtine rationand similar, numarul de servicii ce pot fi facute de o statie intr-un timp t, este o variabila poissoniana. Daca [i este coeficientul de proportionalitate introdus in 2), el va fi numarul mediu de unitati servite in unitatea de timp.

Propozitia 9.3.2. Variabila aleatoare Y, ce reprezinta timpul dintre doua sosiri consecutive are o repartitie exponentiala.

Demonstratie. Se consider* ca moment initial momentul in care a sosit prima dintre cele doua unitati si calculam probabilitatea ca timpul Y dintre cele doua sosiri sa fie mai mare decat un timp oarecare t>0.

Notam cu P0(t) probabilitatea ca in timpul t sa nu avem nici o sosire, deci

P(Y > t) = P0(t) = eXt, de unde P(Y<t) = l-eXt.

315

Astfel, functia de repartitie a variabilei Y va fi F(t) = l-e~^ specifics variabilei Y de repartitie exponentials, cu densitatea de repartitie f(t) = F'(t) = Xe'At sideci

M(Y)=\tf(t)dt=\tXe^dt -Xt 1

In concluzie intervalul mediu dintre doua sosiri consecutive este intervalul numarului mediu de sosiri in unitatea de timp.

Observatie. Analog putem deduce ca timpul dintre doua servicii consecutive este o repartitie exponentials si cS intervalul mediu dintre douS servicii consecutive

este inversul numSrului mediu de servicii in unitatea de timp (pentru noi - ) .

Exemplu. Din datele statistice, numSrul clientilor ce sosesc la o firmS sunt poissonene cu numSrul mediu de o persoanS pe ora, iar timpul mediu de servire a unui client este 30 secunde. SS se determine intervalul mediu dintre douS sosiri consecutive si probabilitatea ca in 2 minute sS nu vina nici un client. Solutie. Folosind ca unitate de timp minutul, numarul mediu de sosiri pe minut va

fi X = = - = 1,6. Intervalul mediu intre doua sosiri consecutive va fi 60 3

- = 0,6. Cum P, (t) = e'kt ^ , rezulta

p ( 2 ) = e - 1 ' 6 2 f c ^ = e-3'2=0,05. ov ! 0 ,

9.4. Deducerea ecuatiilor de stare pentru un fenomen de steptare in regim stationar

Fie sistemul de asteptare ca un sistem cu starile E0,Ex,...,En,..., starea En fiind starea sistemului in cazul in care in el se gasesc n unitati. Asociem fiecarei stari E„ o probabilitate Pnt) de aparitie ce depinde de timpul t. Presupunem ca functiile P„(t) au proprietati de continuitate si derivabilitate potrivite si ca

1". n=0

(t) = l. (9.4.1.)

La momentul t - 0 presupunem ca nu exista nici o unitate in sistem, deci se adauga conditiile initiale

f x (1 pentru « = 0 P„(0) = \ (9.4.2.)

10 pen t ru^^O

316

Vom deduce un sistem de ecuatii ce conduce la determinarea probabilitatilor P„(t), numit sistemul ecuatiilor de stare. Astfel vom detenninarea comportamentul

si parametri de performanta a sistemului, cu ajutotul probabilitatilor ip (t)\ .

Se presupun cunoscute urmatoarele: 1. Probabilitatea de trecere de la starea En la starea En+l in intervalul de timp

foarte scurt (t,t + h) este Xnh + 0(h) si corespunde unei sosiri in sistem. Probabilitatea de a nu avea nici o sosire in sistem va fi \-[Xnh + 0h)].

2. Probabilitatea de trecere din starea En in starea En_x in intervalul de timp (t,t + h) este \inh + 0(h) si va corespunde unei serviri (plecari). Probabilitatea de a nu avea nici o servire este 1 — [[i„h + 0(h)\.

3. Probabilitatea de trecere din starea En intr-o stare En_k sau En+k C U ^ G N ,

k > 1 este 0(h) . Altfel spus, intr-un interval scurt de timp poate avea eel mult o sosire si eel mult o servire.

9A.\.Cazul n = 0

Calculam probabilitatea ce in sistemul de asteptare sa nu existe nici o unitate la momentul t + h, P0t + h) tinand cont de situatiile posibile la momentul t. Situatiile acestea pot fi: a) nu exista nici o unitate la momentul t si nu soseste nici o unitate in intervalul

(t,t + h), b) la momentul t, exista o singura unitate.

Situatiile a) si b) reprezinta evenimente incompatibile care sunt formate din evenimente independente si neglijand functia 0(h), fiind foarte mica daca h^>0, probabilitatea PQ(t + h) va fi

P0(t + h) = P0(tXl ~ \h) + Px(t)\yxh\ - Xxh). (9.4.3.) Rescriind si trecand in stanga pe PQ(t) avem

P0(t + h)-P0(t)- -XohPoiij + frhPfy-X^tfP^t) Impartimprin h si trecem la limita

sau

po(* + h) P0(t) = _xQpQ(t)+[iiPi(t)

tf(t) = -X0P0(t)+\ilPl(t).

l i m ^ O ^ _y pit\+ pit\ (9.4.4.)

317

9.4.2. Cazul n>0

Calculam probabilitatea ca in sistemul de asteptare sa existe n unitati la momentul t + h, Pnt + h), tinand cont de urmatoarele situatii posibile la momentul t: a) La momentul t exista n unitati in sistem, nu soseste nici o unitate si nu pleaca

nici o unitate in intervalul (t,t + h). b) La momentul t exista n +1 unitati in sistem, pleaca o unitate si nu soseste nici

o unitate in intervalul (t,t + h). c) La momentul t exista n -1 unitati in sistem, soseste o unitate si nu pleaca nici

o unitate in intervalul (t,t + h). d) La momentul t exista n unitati in sistem, soseste o unitate si pleaca o unitate

in intervalul (t,t + h). Evenimentul de a exista n unitati in sistemul de asteptare la momentul t + h

reprezinta reuniunea a patru evenimente incompatibile si fiecare este o intersectie de trei evenimente independente. Probabilitatea cautata Pn(t + h)va fi

Pn (t + h) = Pn (t\\ - Xnh\\ - nKh) + PK+1 (til - KuhKuh +

Trecem Pnt) in membrul stang, impartim la h , trecem la limits §i obtinem

U m ^ f e l ^ Z ^ W = -(Xn + n„ )Pn (t) + n„+lJP„+1 (t) + \n_xPn_x (t).

Rescriind avem Kit) = Xn_xPn_x (t) - (Xn + n„ )Pn t) + n„+1P„+1 t). (9.4.5.)

Relatiile (9.4.4.) si (9.4.5.) formeaza sistemul ecuatiilor de stare, ce se rezolvain conditiile (9.4.1.) si (9.4.2.).

Acest sistem va fi rezolvat in regim stationar, atunci cand probabilitatile P„ (t) nu depind de timp, adica %(t) = 0, rezultand ca Pn (t) = pn, constant orice n = 0,1,2,....

Sistemul devine IX »„-*.,/>,=() ( \ (9.4.6.) [K-lP»-l ~ \K + Vn )Pn + »„+lP„+l =V n ^ 1

Conditia (2) devine CO

YjPn=X- (9.4.7.)

Sistemul (9.4.6.) este cunoscut sub numele de sistemul ecuatiilor de stare in regim stationar. Vom conveni ca in acest caz nici ceilalti indicatori nu se scriu functiedeY

318

Din prima ecuatie a sistemului (9.4.6.) obtinem

A X0 p0 (9.4.8.)

si inlocuim in ecuatia (9.4.2.) pentru n = 1 obtinem

de unde rezulta X0p0 - (A,j + \i\)p2 + V-iPi - 0

P: p0.

Aratam prin inductie dupa n ca (j,0(j, A l l

PI KK-^n-l

n+1 Po (J.jJJ-2- \i„

Din ecuatia (9.4.2.) a sistemului (9.4.6.) scrisa pentru n avem

de unde

A

^n-lPn-l

X

VS + M-n )Pn + M" n+lA+1 = 0 >

n+1 JO,

A + H„ n+1 J-1 A

X n-\

n+1 JO, A n-1

n+1

Tinem cont in (9.4.9.) de ipoteza de inductie si de faptul ca p

de unde rezulta imediat ca

(9.4.9.)

n fn-l' H„

X°K-X" Po ^ 1 ^ 2 " ^ „ + 1

Deci, am determinat expresia tuturor probabilitatilor in functie de p0:

Pn p0.fl— 4=1 M-t

Daca inlocuim (9.4.10.) in relatia (9.4.7.) obtinem n

Po zri x - i

k-\ l + _ ^ n=l t=T M-t y'

9.5. Modele de a§teptare

(9.4.10.)

(9.4.11.)

Vom prezenta cateva modele de asteptare, cu notatiile de rigoare. O notatie pentru modelul de asteptare a fost introdusa de D. Kendall in 1953 si are informatia asupra modelului organizat astfel:

(alblc):(dlelf). Vom nota cu M faptul ca sosirile (sau servirile) au repartitia Poisson.

319

De exemplu, modelul (MIMIs):FIFOIN/OO) descrie un model cu sosiri poissoniene, serviri poissoniene, s statii de serviri, a carei disciplina de servire este „primul sosit, primul servit" numarul maxim de clienti in sistem fiind TV, ce provin dintr-o populatie infmita.

9.5.1. Model cu fir nelimitat (MIM / l ) : (FIFO I oo/oo)

Acest model este deschis (o infmitate de unitati in sursa) cu un fir si o singura statie de servire.

Schematic modelul se prezinta astfel:

intran ^ r ^r i KX ^ lesin

Figura 9.5.1. Unitatile sosesc aleator, dupa o repartitie Poison de parametru X, indiferent

de starea sistemului, deci Xn = X . Servirea nu depinde de starea sistemului, deci

\in = [i, V« e N . Timpul petrecut in sistem este egal cu timpul petrecut in firul de asteptare plus timpul de servire.

Astfel tinand cont de cele de mai sus, formula de calcul (9.4.10.) pentru probabilitatile pn in functie de p0 avem

fxX p0. (9.5.1.)

Notam cu p - - factor de serviciu sau intensitate de traflc si obtinem

P"Po Relatia (9.4.11.) ne conduce la relatia

V n=\ J

-1

(9.5.2.)

Pentru ca suma seriei de mai sus, care este o serie geometrica cu ratia p > 0, sa fie convergenta se impune conditia p < 1 (in acest caz capacitatea de servire in sistem este corespunzatoare).

Daca p > 1, atunci vom avea aglomerarea si serviciul nu poate fi asigurat de o singura statie.

In cazul p < 1 suma seriei din paranteza (in relatia 9.5.2.) va f i * , de 1-p

unde ^o=l-P- (9-5.3.)

320

p =

n

P ~

Acum putem determina toate caracteristicile modelului. Numarul mediu de unitati in sistem (fir + statie) este

„- = f>„ =i>p.(l-p)=p(l-p)i>p"- ,,,4.) dar

d a 1 1 (p + p2

+... + p"+...)

ns-

dp dp\\-p) [\-p) Astfel relatia (9.5.4.) devine

n = ^ . (9.5.5.)

Numarul de unitati in curs de servire poate lua numai valorile 0 si 1, deci (0 1 ^

si atunci VPo l-Po)

^ = l-pQ=l-(l-p)=p. (9.5.6.)

Folosind formula n=nf + ns, obtinem ca numarul mediu de unitati ce asteapta sa fie servite (din firul de asteptare) va fi

f 1 -p deci

^ pLsm^ *L_ (9.5.7.) f 1 -p f \i(\i-X)

Timpul mediu de asteptare a unei unitati in fir, Tf , este dat de raportul dintre numarul mediu de unitati ce asteapta in fir si numarul de unitati efectiv servite in unitatea de timp

~nf _\ p

iar timpul de asteptare a unei unitati in sistemul de asteptare este - - 1 1 1 t

s = t f + - = - (9.5.9.) (j, (J, 1 - p

321

t f = ^ = - - — , (9.5.8.)

Probabilitatea ca numarul unitatilor ce se gasesc in sistem la un moment dat sa fie mai mare decat un numar k, va fi

P(n>k) = |>„ = £(l-p)p«.(l-p)(p^ + p t + 2 +. .>

h „\„k+l(i , „ , 2 , \ f-i „ \ „£+ l 1 k+1 = 1 - P P ll + p + D +...1=11 —Dip = p

deci P(n>k)=pk+1. (9.5.10.)

Dam fara a demonstra, probabilitatea ca o unitate sa astepte in fir mai mult decat timpul x,

ptf>x)=pe-^-x)\ (9.5.11.) Exemplu. La o casa de bilete a unei statii de metrou sosesc in medie 120

calatori pe ora. Casiera serveste in medie 3 calatori pe minut. a) Sa se scrie densitatea de repartitie a sosirilor, stiind ca sunt aleatoare si au

repartitia Poisson. b) Sa se scrie repartitia timpului de servire, stiind ca este exponentiala. c) Sa se scrie probabilitatea ca in sistemul de asteptare sa nu existe nici un calator

la un moment dat. d) Sa se scrie probabilitatea ce in sistem sa existe doi calatori la un moment dat. e) Timpul mediu de asteptare a unui calator pana sa fie servit si timpul mediu de

asteptare in intregul sistem de asteptare. Solutie. Problema se incadreaza in conditiile modelului prezentat. Unitatea de timp pe care o alegem este minutul. X = 2 calatori/minut, n = 3 calatori/minut, de unde

— = —= p < l . H 3 a) \ = 2 calatori/minut deci, repartitia sosirilor in sistem, adica a variabilei

aleatoare „numarul de unitati sosite in sistem pe unitatea de timp" este n

T 2

\n\e ) , n = 0,1,2,....

b) timpul de servire are o repartitie exponentiala cu parametrul [i = 3

( s \3e~3' p e n t r u / > 0 calatori/minut, fix) = \ . Media timpului de servire este

[0 p e n t r u / < 0

- minute, adica 20 secunde. 3

c) p - \ - = - . ^ ^ 3

322

^ 2 1 d) p - p 2p - - - - - 0 , 1 4 8 .

2

e) tf= — = ^ r = - m i n u t e , V- i - p 3 i _ 2 3

3

f = = - 1 minut. H 1 - p 3 j _ 2

3

9.5.2.Modelcufirlimitat (MIMI\):(FIF0I'TVI'oo) Acest model este asemanator cu eel precedent, cu presupunerea ca firul de

asteptare este limitat si are o capacitate marginita la TV unitati, deci in firul de asteptare se pot afla eel mult TV-1 unitati. Orice unitate care soseste cand sistemul este „plin" refuza sa intre in sistem si il paraseste pentru totdeauna.

Formulele din modelul precedent vor fi adaptate, tinand cont sa avem TV termeni, si nu o infmitate, adica sumele se va face numai pana la n = N. Astfel avem

N N+\ l = J^Pn=p0(l + p + ... + pN)=pi

1 P

„=0 " 1 -p

d e u n d e p 0 = T ^ r .

Observam ca, pentru acest model nu este necesara conditia p < 1, suma probabilitatilor avand sens si pentru p > 1.

Putem interpreta intuitiv ca numarul de unitati ce pot aparea in sistem este controlat de numarul maxim de unitati in coada, TV - 1 , si nu de ratele sosirilor si serviciilor. Ca o consecinta, rata sosirilor X nu afecteaza conditiile de stationaritate ale sistemului.

Din relatia (9.5.1.) rezulta n 1-P

i WTT Pentru n<N 1-p . (9.5.12.)

0 pentru n > TV Numarul mediu de unitati in sistem este dat de

N N N 1 - n oi\- o\ N

— V 1 V V n * P y\l P) V n-l "=LnPn=LnPn=LnP 1 _ v + 1 = 1 _ v + 1 L " P

n=0 n=\ n=\ l P i P n=\

323

Pentru a calcula ultima suma, £ « p " _ 1 , vom deriva termen cu termen 71 = 1

identitatea £ p " = ^ , ce va deveni prin derivare »=o 1 - P

2>" \-(N + \)pN +Np N+l

i\ Y2

71 = 1 ^ _ PJ Astfel

w = ^ / ^ ^ T T T J (9.5.13.) (1-pXl-p^1)

Numarul mediu de unitati in firul de asteptare va fi JV-l JV-l 1 ~ ^ A , - W - l

»/ - Z^-+i - Z»p"+1rzfe=f^1Z''p""1 71 = 0 71=1 1 P 1 P 71=1

Suma ^ H p " - 1 se calculeaza ca si suma anterioara, doar ca in loc de TV 7 1 = 1

avem7V-l sivomobtine p2[l-NP

N1+(N-iy] f w f = L , w — v4-i\ • (9.5.14.)

( I -PXI-P W + 1 )

Timpul mediu de asteptare a unei unitati in fir, tf=^=,ca ns=\-p0,

caredupainlocuiredevine

- pfl-^p^+fiV-lK] tf = / w- M f J , (9.5.15.)

n(i - px.1 - P j iar t impul mediu de asteptare in sistem, Ts = Tf + - , va fi

f, ^ f TT^X . (9.5.16.) H(I-PXI-P j

Exemplu. Intr-o parcare masinile sosesc conform legii Poisson cu rata de 2 0 masini pe ora. Parcarea are 15 locuri. Timpul de stationare a unei masini este exponential cu media de 16 pe ora. a) Care este probabilitatea ca o masina sa nu astepte? Care este probabilitatea sa

gaseasca un loc liber in parcare? b) Care este timpul mediu de asteptare pana cand o masina paraseste parcarea?

324

Solutie Cazul dinproblems se incadreazainmodelul (MIMI\):(FIF0IN/OO) in

care TV - 15. Alegem ca unitate de timp ora, atunci X = 20 masini/ora, [i = 16

masini/ora, rezulta p = - = 1,25 .

a) Probabilitatea ca o masina sa nu astepte este

Probabilitatea ca toate locurile sa fie ocupate este pls = p15p0 = 0,2046, deci probabilitatea sa gaseasca un loc liber va fi 1-/?15 =1-0 ,2046 = 0,7954.

b) timpul mediu de asteptare in sistem va fi - l - ( l 5 + l)(l,25)15+15-(l,25)15

ncn t = v , A J—7 \'\ ' s0,57.

16(l-l,25)(l-(l,25)16)

9.5.3. Modul de asteptare cu sosiripoissoniene, timp de servire exponential, cu s statii identice, populatiei infinita

(MlMis): (FIFOI'ooI'oo)

Vom presupune ca numarul statiilor s este mai mare ca unu, fiecare statie avand acelasi parametru de servire », sosirile avand o repartitie Poisson de medie X, timpul de servire exponential, iar trecerea din firul de asteptare in oricare statie libera se face in ordineasosirilor.

Populatia din care provin unitatile este infinita, asa ca numarul mediu al unitatilor ce sosesc in sistemul de asteptare este constant si egal cu X.

Pentru calculul probabilitatilor asociate starilor sistemului se utilizeaza sistemul general de ecuatii de stare in cazul stationar si formulele (9.4.11.) si (9.5.1.) in care

Xn=X,\/n^n, (9.5.17.) iar pentru \in vom considera doua cazuri: a) cand numarul n al unitatilor ce se afla in sistem in momentul t este mai mic

decat s, vor lucra doar n statii din cele s, iar \in va fi de n ori mai mare decat pentru o singura statie;

b) cand n > s toate statiile vor lucra la momentul respectiv si atunci \xn va fi s\i.

Astfel

325

Vn \n\i pentru\<n<s s\i pentru n> s

(9.5.18.)

X Inlocuim relatile (9.5.18.), (9.5.17.) in relatia (9.4.10.), cu p - - factorul de

serviciu al unei statii, vom avea

1) Daca \<n<s, p r i „ Pn - — P Pn,

l\i-2\i-...-n\i nY 2) Daca n>s, pn

Rezulta

X" \[i-2[i- ...-(s -\)[i- s[i- ... sp.

P" 0 ^ ^ 7 ^ 0

n-s ori

Pn n\ A> pentru \<n<s

P" (9.5.19.)

s\s p0 pentru n>s

sau

Pn Pi p0,l<n<s

unde ps+k = pk

Ps ,k>\,

p = A = E \xs s

(9.5.20.)

(9.5.21.)

se mai numeste factorul de utilizare al sistemului. Pentru a se evita aglomeratia,

acest factor este necesar sa fie subunitar, adica p < 1 echivalent cu — - - < 1, de s\i s

unde p < s, astfel vom putea concluziona ca factorul de serviciu al unei statii poate fi supraunitar, dar mai mic ca numarul statiilor s .

Cum ^p„=l §i tinand cont de forma probabilitatilor pn vom avea n = 0

P" PS

y —Pa + y — ( p ) " " Pa = 1 sau n=0 n\ s\

s-\

Pi v-p" p ' v v - v -/ — + —> (p

\n=0 n\ s\ = 1.

p

n-s

n-s

326

CO

si tinand cont ca £ ( p ) " ~ n-s

p < 1, obtinem l - p

=aci este o progresie geometrica cu ratia

hnl sl(l-p) (9.5.22.)

Variabile aleatoare nf ce reprezinta numarul de unitati din firul de asteptare la un moment dat are repartitia

n f 0 1 2

si atunci numarul mediu de unitati in firul de asteptare va fi

YJn-s)Pn= ^(n-S)-(Py-sp n=s+\ n=s+\ Si

Pi (l + 2p+3p2+..)=p0?

;aciamtinutseamaca si ( l - p ) 2

P l + 2p + 3p2+... = — ( p + p2 + p3 +...)= — ^P t / p ^ l - p j ( l - p ) 2

deci

Vf = 9s P (9.5.23.) s\ ( i _ p ) 2 0

Se arata, folosind sumarea acelorasi serii, ca numarul mediu de unitati de curs de servire in modelul acesta este ~ns = p , de unde numarul mediu de unitati din sistemul de asteptare este

s+l

n=nf + ns= SL PQ p. (S-I)(S-P7-Timpul mediu de asteptare a unei unitati in fir va fi

t r n 1 p s p

^ W 5! (l-p-r0

iar timpul mediu de asteptare a unei unitati in sistem este 1 1

ts - tf + — -(j, (J,

1 p s p

P *! ( l - p ) A > + 1

2 0

(9.5.24.)

(9.5.25.)

(9.5.26.)

1

1

327

Observatie. Daca se presupune ca in sistemul de a§teptare pot exista eel mult TV unitati la un moment dat §i ca deci firul de a§teptare este limitat, in el putand fi eel mult TV - s unitati, atunci pn = 0 pentru n > TV §i avem

1

m PPo pentru 1 < n < s

1

sis — P Po pentru s<n<N

p"p pentru 1 < n < s

Ps(p)" S Po pentru s<n<N

Punem conditi ia £ / ? „ = ! §iobtinem n=0

s-\

PO Z - P " + Z V ( P ) * \n=0 n\ s\

- 1

dar

atunci vom avea

/ - p (p)

Pi

I , l - p ^ + 1

slP 1 - p

1 0 s-\ ^ 1 „ 1 , 1 - p

> —p +—p N-s+\

n=0 n\ s\ 1-p

Pentru a evita calculele laborioase necesare determinarii indicatorilor n,nf,

~ns putem folosi formulele de recurenta pentru pn,

-pPn-i pentru \<n<s n P/Vi pentru s<n<N

§i formulele pentru indicatori, n N A'

n=0

*.=±«P.+>± + sypn

Exemplu. La o agentie de voiaj sunt amplasate patru case de bilete. Se §tie ca sosirea pasagerilor este poissoniana cu o medie de 120 pasageri pe ora, iar timpul de servire a unui pasager este 90 de secunde. Sa se determine numarul mediu de pasageri care a^teapta sa intre in agentie §i timpul de a^teptare in coada.

P n

n-s

n-s

n-s

328

Solutie. s = A, A. = 120, — = 90" = 1,5' = — ore, rezulta u, = 40 si p = - = 3. \i 40 H

- i

Avem p0

3 p" p4 1 1 - /I 3 y ^ « ! 4! 1 -p

0,038, p = — = - < 1 deci se evita supra-sju 4

aglomerarea, Tf = ?- - ^ P o = 2,052, ns = p = 3 , Tf = X = 0,0057 ore. ^ • ^ ^ 0 = 2 , 0 5 2 , ^ = 3 , ^ = ^ si ( l - p ) H«,

Cele patru case de bilete sunt folosite la intreaga capacitate, caci numarul de pasageri serviti in unitatea de timp \ms = 360 este egal cu posibilitatile de servire s[i = 360.

Observatie. Daca numarul pasagerilor ce sosesc la agentie ar fi: A = 80

pasageri pe ora, atunci s-ar obtine p = 2 , p = - < l , p0 = 0,l5, nf=\,2>2>,

~^s=p = 2, Tf= 0,008, iar capacitatea de servire a sistemului nu ar fi folosita decat in proportie de 25% caci numarul de pasageri serviti in unitatea de timp este \ms = 80 iar posibilitatile de servire s[i = 320 .

9.5.4. Modelul de mteptare cu sosiripoissoniene, timp de servire exponential, cu o statie, populatie finita

(MIM I\):(FIFO) m-\l m)

Modelele anterioare au presupus populatia din sursa infmita. In practica, de obicei, sosirile sunt in numar mare, dar finite. Modelul de fata este asa-numitul model al reparatorului. Sistemul are m (finit) masini cu aceleasi caracteristici tehnologice si care functioneaza independent unele de altele. Masinile se pot defecta in mod intamplator si sosesc la reparat dupa o lege poissoniana cu parametrul X, pentru a putea fi reparate exists un singur mecanic (statie), iar durata reparatiei unei masini urmeaza o repartitie exponentials cu parametrul \i.

Deoarece exista o singura statie, parametrul \in nu depinde de numarul de unitati din sistem, el va fi constant si se noteaza cu \i.

Vom determina caracteristicile acestui model, observand ca probabilitatea ca in intervalul de timp At sa soseasca in sistem o unitate, cand in sistem se afla n unitati, din cele m ale sursei, este cu atat mai mica, cu cat numarul unitatilor ramase in populatie este mai mic. Astfel putem scrie aceasta probabilitate ca find

XnAt = (m-n)XAt,

deci Xn=(m-n)X, n = 0,(m-l). Cu alte cuvinte, rata sosirilor este proportionala cu numarul de unitati ramase in sistem, m-n.

329

Inlocuim Xn si \in = \i in relatia (9.5.23.). Vomavea

mX (m -1) X ... ( m - n +1) X Pn

astfelcapentru « = l,2,...,/w,

/70 =/w(/W-l)...( l) (xY

- Po \v) (9.5.27.)

Stiind ca JT/?„ = 1 obtinem JT ^ p B / ? 0 = 1, de unde n=0 n=0

Po = i n

Numarul mediu de unitati in sistem se calculeaza astfel m m m m

(9.5.28.)

n n=0

de unde

n

m m

I ^ B = I(m -m + »k = 2>„ - I(m - » k n=0 n=0 n=0

(9.5.29.) n = 0 n=0

m

inlocuim pn cu expresia obtinuta anterior si tinem cont c& £ / ? „ = 1. Vom obtine n=0

m

n - m -^y(m-njA^p"p0 n=0

(m - n)Anm = m(m - \)..\m — n + \\m — n) = A^+l

dar

si atunci m-\

n=0

n - m -/,Al+lp"p()

djJC/Vi^-Po.deci

= m (1 -Po) .

n=0

1 n - m [\- p0).

p Numarul mediu de unitati in curs de servire este

ns=l-pt A

iar numarul mediu de unitati in firul de asteptare este

n =n-n f -n —ns -m 1 + p

(1-A,) -

(9.5.30.)

(9.5.31.)

(9.5.32.)

330

1

1

p

p

Timpul mediu de asteptare a unei unitati in fir este

» J - f - = — 1 / m 1 I s = = 1 (9.5.33.)

iar timpul mediu de asteptare in sistem va fi

(9.5.34.) 1 \f m O

• ' : r r ^ = ^ + — = (j, (j, i i - p0 V

Din (9.5.30.) obtinem m - n = - ( l - pQ), deci X(m - n) = \i(l -pQ), atunci

7 V> kym-n) Exemplu. In exemplu considerat in acest model sa presupunem ca masinile

apartin unui atelier de strungarie, in care avem 6 strunguri de acelasi fel, ce pot fi reparate in caz de defectare de un singur mecanic. Stiind ca in 8 ore masinile se defecteaza cu repartitia poissoniana cu X = 2 masini/h, iar muncitorul repara o masina intr-un timp exponential cu media 15 minute. Sa se determine: a) perioada de inactivitate a mecanismului; b) probabilitatea ca 3 strunguri sa fie defecte; c) celelalte caracteristici ale modelului. Solutie

a) Perioada de inactivitate este aceea cand in sistem nu exista nici un strung, deci trebuie calculat p0 cu ajutorul relatiei (9.5.27.) stiind ca

X = 2 masini/h, \i = 4 masini/h, p = - , />0 = 0,012 . 2 0

p3 - A6

b) Inlocuind datele in relatia (9.5.30.) obtinem 3

•0 ,012-0,18.

c) Din relatia (9.5.29.) avem

T 2

si din relatia (9.5.32.) obtinem

1 +

w = 1 6 - ] ( l - 0 , 0 1 2 ) =4,02

nf = 6 ^-(l - 0,012) = 3,036. f -T

2

331

Timpul mediu de asteptare a unui strung in fir este tf = 0,75 ore, iar timpul

mediu de asteptare in sistem Ts = 1,003 ore.

9.5.5. Model de asteptare cu sosiripoissoniene, timp de scriere exceptional, cu s statii identice, populatia flnita

(MIMI S):FIFO I m - s I m)

Acest model difera de eel anterior prin faptul ca servirea este asigurata de s stati de servire identice. Evident, s < m altfel nu ar exista asteptarea.

Ca si la modelul anterior, populatia din sursa este finite parametrul Xn

reprezentand numarul mediu al sosirilor pe unitatea de timp, depinde de numarul unitatilor ramase in sursa X„=(m- n)X.

Celalalt parametru, \in, se va scrie ca si in modelul (MlMis): (FIFO/oo/oo) CU S >1 SI anume

\n\i p e n t r u l < « < 5 [s\i pentru s<n<m

In (9.4.10.) inlocuim Xn si »„ in cele 2 statii si obtinem 1) daca 1 < n < s, atunci

mX-(m-\)k ...( m-n + l)X Anm

2) daca s<n<m, atunci

Po = CmP"P0 >

mX-(m-\)X-...-(m-n + \)k A"X A" „ P-= (i»X24..[(s-iHs4..MPo=J?IYPO=Z^p Po

^ v J

n-s ori

Astfel am obtinut C"o"n pentru \<n<s

A" (9.5.35.) ^ p»p pentru s<n<m I n-s

Tinand cont de faptul ca ^pn = 1 , obtinem valoarea probabilitatii p0

Avem

n «=0

m ( s-\ m Aft ^

£/>» = Z C - P " + Z ^ T P " de unde

Po=l,

n

332

s-\

Po A"

- i

ICP"+Z^7P" n=0 n = O i : i J V«=o

(9.5.36.)

si daca notam c u p = - = — factorul de servire global avem s sp.

Po s°

- i

(9.5.37.)

iar expresia obtinuta pentru probabilitatile pn se va scrie

pentru \<n<s s-m n '-mP Po

Vs

A" — o"n pentru s<n<m m si °

m-k

(9.5.38.)

Tinand seama ca au loc relatiile C k+i

k + l Ck

m si Ak:^m-k)Akm

putem scrie o relatie de recurenta pentru pn

P, 71+1

m-n PPn pentru \<n<s n + 1

(m-n)ppn pentru s<n<m

Caracteristicile modelului se calculeaza pornind de la defmitii, n Z>. n=0

m _

nf = ^ ( « - s ) p „ ,ns=n-nf,t n=s+l

§i t s=tf +

Exemplu. Intr-o fabrica de piese turnate sunt 8 masini de turnat continuu, deservite de 4 electricieni, care intervin numai in caz de defectiune. §tiind ca durata reparatiei unei masini de turnat este o variabila exponentials cu parametrul

| j , 2 3

masini/ora si ca durata de functionare a unei masini fara defect este 6 ore,

sa se determine: a) probabilitatea ca la un moment dat in sistemul de asteptare sa se gaseasca 3

masini, b) numarul mediu de masini defecte ce asteapta la un moment dat sa fie reparate, c) timpul de asteptare in fir si timpul de asteptare in sistem.

Pn =

333

Solutie. Din datele problemei deducem ca s = 4 statii, m = S ma§ini, u = -3

ma§ini pe ora. - = 6 , de unde X = - ma§ini pe ora, astfel ca p - - - - §i X 6 n 4

X 1 p

s\i 16 a) Aplicand formula (9.5.37.) vom avea

PA±C;<1

n=o v^y

4 4 ^

4! ti 1 V

16

- i

0,167

§i p3 = C\ p0 = 0,146

b) Tf = £ ( „ - 4 ) p n = 0,007, » = 2 ^ =1,12 ? i ^ = » - ^ = 1,113. n=4+l

C) f, i ^

n = 0

1 = 34 secunde §i ts = t f+ - = 1,5094 ore.

( j ,

3

334

I.1. Introducere

Cuvântul simulare este de origine latină (simulatio) şi înseamnă capacitatea de a reproduce ceva. În informatică, termenul de simulare a fost introdus de John von Neumann la începutul anilor `40, o dată cu apariŃia primelor calculatoare electronice. J.von Neumann împreună cu grupul de savanŃi de la Şcoala Los Alamos (Ulam, Metropolis etc) au dezvoltat primele aplicaŃii ale calculatoarelor. Tot ei au introdus denumirile Cercetări operaŃionale (pentru a desemna aplicaŃiile legate de dirijarea operaŃiilor militare pe arii geografice mari ale globului pământesc!) precum şi metoda Monte - Carlo (pentru a desemna aplicaŃii ale calculatoarelor bazate pe utilizarea numerelor aleatoare). În accepŃiunea actuală a informaticii, simularea cuprinde o serie de aplicaŃii care realizează imitarea comportamentului unor părŃi ale lumii reale (simularea stochastică), luând în considerare şi comportamentul aleator al acesteia. Din domeniul simulării face parte şi metoda Monte Carlo.

DefiniŃia 1. Simularea este o tehnică de realizare a experimentelor cu calculatorul, care implică utilizarea unor modele matematice şi logice care descriu comportarea unui sistem real (sau a unor componente ale sale) de-a lungul unor perioade mari de timp.

Deci simularea se realizează pe baza unui model special, numit model de simulare, cu ajutorul căruia se realizează experimentele prin intermediul calculatorului. Modelul de simulare se construieşte pe scheletul unui model matematic şi se finalizează într-un algoritm. De aceea în cele ce urmează vom prezenta schema generală a unui model de simulare, pornind de la descrierea principalelor elemente ale unui model matematic.

Model matematic. Prin definiŃie, un model este un analog ce reprezintă o parte a lumii înconjurătoare într-un mod uşor de perceput de către noi. Modelul ne reprezintă uneori realitatea prin scheme, figuri geometrice sau alte obiecte ce ne sunt familiare şi pe care le înŃelegem uşor (i.e. la fel de bine cum le ''vedem'' sau le ''pipăim''). Modelul matematic ne reprezintă realitatea folosind elemente sau abstracŃiuni matematice.

Elementele constitutive ale unui model matematic sunt următoarele: a) Variabile (V ) şi Parametri ( P ) care pot fi de intrare ( PIVI , ), dacă pot fi percepute

(măsurate sau înŃelese uşor), sau de ieşire ( PEVE, ), dacă dimpotrivă, măsurarea sau perceperea lor este dificilă. Variabilele şi parametrii pot lua valori numerice sau logice. Deosebirea dintre variabile şi parametri constă în aceea că parametrii nu îşi schimbă valorile pe perioade mari de timp, în timp ce variabilele îşi schimbă valorile chiar pe intervale mici de timp. Scopul modelului este de a exprima variabilele şi parametrii de ieşire în funcŃie de variabilele şi parametrii de intrare, cu eventuala satisfacere a unor condiŃii de performanŃă de către sistem (de ex. condiŃii de optim). Unele VI pot fi aleatoare, caz în care şi unele variabile sau parametri de ieşire vor fi de asemenea aleatoare.

b) RelaŃiile funcŃionale constituie o altă categorie de elemente ale unui model matematic. Ele sunt de forma

( ) 0,,, =PEVEPIVIFi

(adică implicite) şi pot fi la rândul lor de două tipuri: - ecuaŃii, care sunt satisfăcute numai de anumite valori ale variabilelor sau

parametrilor;

- identităŃi, care sunt satisfăcute de orice valori ale variabilelor şi parametrilor; ele exprima condiŃii de echilibru sau legi de conservare. EcuaŃiile si identităŃile pot fi relaŃii algebrice sau transcendente, diferenŃiale sau

integrale, detrministe sau stochastice, etc. c) Caracteristicile operative constituie o altă categorie de elemente ce compun un model

matematic şi ele pot fi: - ipoteze de lucru (referitoare la relaŃiile funcŃionale); - ipoteze statistice (referitoare la VI -aleatoare).

d) Tehnica de rezolvare este un alt element constitutiv al unui model matematic. Ea este o tehnică matematică ce realizează separarea elementelor de ieşire în funcŃie de elementele de intrare, adică:

( ) ( )IIiE PVfPV ,, = .

Cu alte cuvinte, tehnica de rezolvare a modelului exprimă sub formă explicită variabilele şi parametrii de ieşire în funcŃie de variabilele şi parametrii de intrare.

Tehnicile matematice de rezolvare a modelelor sunt însă sărace atât ca varietate, cât şi ca performanŃă. De exemplu, ecuaŃiile modelului se pot reazolva numai dacă sunt liniare sau uneori pătratice, iar dacă sunt de grad superior ele se pot rezolva numai dacă au forme particulare. La fel, ecuaŃiile diferenŃiale sau cu derivate parŃiale se pot rezolva cu metode matematice deductive numai în anumite cazuri particulare. De aceea în construcŃia modelelor matematice se fac de multe ori ipoteze simplificatoare care permit aplicarea tehnicilor de care dispune matematica. (Acesta este scopul utilizării de către model a caracteristicilor operative!). Din aceste motive, modelarea matematică este aproximativă şi ea nu permite rezolvarea realistă a problemelor practice. Utilizarea calculatorului permite îmbunătăŃirea performanŃelor modelelor matematice prin utilizarea metodelor numerice. Dar şi în aceste condiŃii modelele matematice nu pot descrie corect realitatea în toată complexitatea ei deoarece nu toate relaŃiile dintre obiectele lumii reale se pot exprima prin formule matematice. Într-o atare situaŃie modelul matematic trebuie completat cu descrieri care să imite anumite comportări ale lumii reale. Acestea se realizează prin descrieri algoritmice de tipul if-then-else- sau if-then- combinate cu alte structuri algoritmce (cicluri, secvenŃe etc.). În acest fel, modelul matematic se completează, se extinde sub formă de algoritm şi devine model de simulare. Simularea măreşte deci mult posibilitatea de tratare realistă a problemelor aplicative. ConstrucŃia unui model de simulare, care în fapt este un algoritm complex, dezvoltat pe scheletul unui model matematic, este o sarcină nu prea uşoară; o vom trata mai jos. Clasificări ale modelelor matematice. Mai întâi să vedem însă cum pot fi clasificate modelele matematice? (i) Clasificarea modelelor matematice după natura variabilelor utilizate de model:

continue/discrete; statice/dinamice (dacă timpul nu intervine sau dacă apare explicit ca variabilă a modelului); deterministe/stochastice (după cum nu conŃin sau conŃin măcar o variabilă de intrare ca variabilă aleatoare).

(ii) Clasificare topologică, după structura determinată de părŃile în care se descopune modelul (când este cazul): cu o componentă/cu mai multe componente în serie , în paralel, în reŃea.

Un model, fie el matematic sau de simulare, constituie de fapt o clasă de modele.

I.2. ConstrucŃia unui model de simulare

Modelul de simulare (MS) presupune utilizarea calculatorului şi el se construieşte pe baza/scheletul unui model matematic; mai precis, el completează modelul matematic descriind unele relaŃii prin algoritmi, deci în final MS este un algoritm. Acest algoritm trebuie să descrie corect evoluŃia sistemului şi să permită efectuarea de experienŃe (prin rulări pe calculator), care să înlocuiască experienŃele ce ar trebui realizate asupra sistemului real.

Structura unui model de simulare

ConstrucŃia unui MS utilizează două concepte de bază: ceasul simulării şi agenda

simulării . Ceasul simulării . Ceasul asigură eşalonarea corectă în timp a evenimentelor

create de model şi uneori ajută la implementarea condiŃiei de terminare a simulării. El este de două feluri: a) ceas cu creştere constantă; b) ceas cu creştere variabilă.

Notă: Evenimentele corespund unor modificări în sistem adică modificari ale valorilor unor variabile care se calculează sau se generează prin instrucŃiuni ale modelului (chiar şi dacă sunt aleatoare!).

Ceasul porneşte cu valoarea zero la începutul simulării. Dacă modelul se bazează pe ceasul cu creştere variabilă, atunci ceasul este crescut cu valoarea ce corespunde apariŃiei primului eveniment următor; apoi programul prelucrează evenimentul, după care ceasul creşte din nou reluându-se ciclul simulării , până când ceasul atinge o valoare dată iniŃial, maxT care corespunde perioadei pe care se realizează simularea.

Ceasul cu creştere constantă presupune că de fiecare dată creşterea se realizează cu o cuantă de timp c constantă; apoi se prelucrează toate evenimentele apărute pe intervalul de timp de lungime c , după care se reia ciclul simulării. Simularea se termină de asemenea când ceasul atinge valoarea maxT .

Terminarea simulării se poate realiza şi impunând condiŃia ca modelul să prelucreze un anumit număr dat de evenimente de un tip precizat. (De exemplu, în cazul unui model de simulare a unui sistem de aşteptare, se poate impune condiŃia ca simularea să se termine când s-a simulat servirea unui număr dat de clienŃi).

A rămas oarecum neprecizat ce se înŃelege prin prelucrarea unui eveniment. Acest fapt se înŃelege uşor dacă precizăm şi conceptul de agendă a simulării .

Agenda simulării . Agenda se compune din elementele memorate de modelul de simulare. Variabilele modelului iau diverse valori pe parcursul simulării; de aici rezultă că pe parcursul simulării apar multe evenimente. Memorarea în totalitate a acestor evenimente, împreună cu caracteristicile lor, nu este nici recomandată dar nici necesară dacă simularea se realizează pe perioade mari de timp. De aceea, se memorează (în agendă) numai ceea ce este strict necesar. Evenimentele sunt de diverse tipuri; unele variabile descriu şi stări ale sistemului (sau ale unor componente ale acestuia). Evenimentele sunt create sau generate la momente de timp ulterioare valorii ceasului. De aceea agenda se compune din două părŃi: agenda evenimentelor curente AEC şi agenda evenimentelor viitoare AEV .

Deci agenda AEVAECA ⊕= , unde: AEC = agenda evenimentelor curente (care au timpul de apariŃie egal cu valoarea ceasului); iar AEV = agenda evenimentelor viitoare (care au timpul de apariŃie ulterior ceasului). Algoritmul simulării prelucrează deci numai evenimentele din AEC; prelucrarea unui eveniment înseamnă fie determinarea apariŃiei unui nou eveniment (memorat în AEV ) sau modificarea unei stări, fie distrugerea unui eveniment ("ştergerea'') lui din agendă. Prelucrările evenimentelor Ńin seama şi de stările sistemului la acel moment. Algoritmul simulării gestionează/actualizează agenda prin interacŃiunea acesteia cu ceasul; într-un ciclu al simulării ceasul este acualizat, după care se selectează din agenda A evenimentele care fac parte din AEC şi se prelucrează aceste evenimente până când AEC devine vidă. Atunci, ceasul este crescut din nou şi se reia ciclul simulării. Deci agenda simulării se modifică pe parcursul simulării conform următoarei relaŃii de dinamică

elimgen AEAEAA O⊕=

unde genA sunt evenimentele generate pe parcursul unui ciclu, iar elimA sunt evenimentele

eliminate cu ocazia prelucrării AEC. (Semnele ⊕ şi O se autexplică).

I.3. Concepte de bază în modelarea sistemelor

Prin sistem se înŃelege, sub forma cea mai vagă, o mulŃime de obiecte O interconectate prin intermediul unei relaŃii R , adica Sistem = ( )RO , , unde

OOR ×⊂ DefiniŃia formală generală a unui sistem este: DefiniŃia 2. Un sistem este următoarea structură de mulŃimi:

( )λδΣΩ= ,,,,,, YXTS unde: T = timpul de bază al sistemului (ceasul sistemului); X = mulŃimea intrărilor ; Ω = mulŃimea segmentelor de intrare (forma intrărilor!); segment =

( ) Xtt ֏10 ,:ω ,= ( )1,0 ttω =grafic= ( )( ) 10,, ttttt ≤≤ω . Se foloseşte de regulă notaŃia

( ) ( )( ) 11, ,, tttt ≤τ≤τωτ=ω şi notaŃiile ( )1,0 ttω=ω , ) ( )ttt ,0ω=ω , ( ( )1,ttt ω=ω , ) (tt ωω=ω .

Σ = mulŃimea stărilor interne ale sistemului = memoria sistemului; Conceptul de stare este esenŃial în modelarea sistemelor; el descrie structura internă (intimă!) a sistemului; δ = funcŃia de tranziŃie a stărilor definită ca

ΣΩ×Σδ ֏: . Ea satisface relaŃia

( ) )( ) (( )tt ωωσδδ=ωσδ ,,, , ) (ttt ωω=ω∀ , .

care este axioma semigrupului sau proprietatea de separabilitate a stărilor . MulŃimea (graficul) ( )σω, se numeşte traiectorie a stărilor ;

Y = mulŃimea ieşirilor (Sistemul este presupus deschis, intrările şi ieşirile fiind exterioare sistemului). MulŃimea Y conŃine răspunsul sistemului la intrarea de forma ω , când la momentul ini Ńial 0t sistemul se află în starea σ .

λ = funcŃia de răspuns, de forma YTX ֏××Σλ : ; ( )tx,,σλ conduce la un segment de ieşire ce reprezintă forma răspunsului sistemului la intrarea x , la momentul t când starea la momentul 0t , tt <0 , este σ ;

Notă: din definiŃie rezultă că pentru o stare iniŃială σ , (la momentul 0t ) când are

loc intrarea de forma ω se realizează o traiectorie unică a stărilor . Cu alte cuvinte, traiectoria stărilor satisface relaŃiile:

( ) Σωσ ֏10, ,: ttSTRAJ , astfel încât ( ) σ=ωσ 0, tSTRAJ

( ) (( )ttSTRAJ ωσδ=ωσ ,, , ( )10 ,ttt ∈∀

ProiecŃia STRAJ obŃinută prin funcŃia de tranziŃie a stărilor compusă cu funcŃia de răspuns, este traiectoria de ieşire

( ) YttOTRAJ ֏10, ,:ωσ

Dacă ( )σλ=λ (ieşirea depinde numai de σ ) atunci rezultă relaŃia simplă:

( ) ( )( )tSTRAJtOTRAJ ωσωσ λ= ,, .

Nivele de reprezentare a sistemelor. Există mai multe nivele de reprezentare a sistemelor şi anume:

- Reprezentarea la nivel de comportare. Sistemul este o cutie neagră (black box), exprimat formal prin relaŃia:

( ) Σ∈σ=ρΩ∈ωρω= ωσ ,,, ,OTRAJRs

Acest nivel de reprezentare este cel mai vag. El descrie numai relaŃiile de intrare/ieşire ce se pot observa din afara sistemului (care deci se comportă ca o cutie neagră).

- Reprezentarea la nivel de structură de stare. La acest nivel se intră în structra internă a sistemului, adică se stabilesc elementele acestuia : ( )λδΣΩ ,,,,,, YXT , definite ca mai sus.

- Reprezentarea modulară (ca structură compusă). Dacă sistemul este complex, atunci se identifică subsisteme ale acestuia precum şi interconexiunile dintre ele în sensul că ieşirile unor subsisteme sunt intări în alte subsisteme, intrările unor subsisteme fiind intrări ale sistemului şi ieşirile unor subsisteme fiind ieşiri ale sistemului.

Nivelele de reprezentare a sistemelor, pornind de la forma cea mai vagă şi continuând până la forma detaliată, legitimează Metodologia ''TOP DOWN'' de proiectare a sistemelor de orice fel, în particular, metodologia de proiectare a sistemelor informatice, şi în general metodologia de proiectare ierarhică, descendentă a programelor.

1. Sa se determine parametrii optimi pentru stocare în cazul în care cererea totală este de 300 unităŃi fizice pentru o perioada de 50 de zile. Costul de stocare este de 5 unităŃi monetare, costul de reîncărcare este de 10 u.m. iar penalizarea în cazul lipsei de stoc este de 7 u.m. Să se realizeze o comparaŃie a rezultatelor obŃinute cu cele din cazul aplicării modelului de stocare fără lipsa de stoc.

2. Sa se determine parametrii optimi pentru stocare în cazul în care cererea totală este de 500 unităŃi fizice pentru o perioada de 3 luni. Costul de stocare este de 10 unităŃi monetare, costul de reîncărcare este de 20 u.m. iar penalizarea în cazul lipsei de stoc este de 15 u.m. Să se realizeze o comparaŃie a rezultatelor obŃinute cu cele din cazul aplicării modelului de stocare fără lipsa de stoc.

3. Sa se determine parametrii optimi pentru stocare în cazul în care cererea totală este de 2000 unităŃi fizice pentru o perioada de un an. Costul de stocare este de 25 unităŃi monetare, costul de reîncărcare este de 10 u.m. iar penalizarea în cazul lipsei de stoc este de 8 u.m. Să se realizeze o comparaŃie a rezultatelor obŃinute cu cele din cazul aplicării modelului de stocare fără lipsa de stoc.

4. Pentru stocarea a 3 produse pe o perioada de 100 de zile, datele de lucru pot fi rezumate în următorul tabel:

Nr. Produs Cererea Cost stocare Cost reîncărcare Penalizare pentru lipsa de stoc

1 400 15 10 8 2 150 10 15 10 3 250 25 8 30

Să se determine paramettii optimi ai stocării şi costul total al stocării 5. Pentru stocarea a 3 produse pe o perioada de un an, datele de lucru pot fi rezumate

în următorul tabel: Nr. Produs Cererea Cost stocare Cost reîncărcare Penalizare pentru

lipsa de stoc 1 300 10 8 5 2 250 18 10 0 (nu se admite

lipsa de stoc) 3 500 15 12 10

Să se determine parametrii optimi ai stocării şi costul total al stocării

TEMA1 1. Sa se determine parametrii optimi pentru stocare în cazul în care cererea totală

este de 300 unităti fizice pentru o perioada de 50 de zile. Costul de stocare este de

5 unităti monetare, costul de reîncărcare este de 10 u.m. iar penalizarea în cazul

lipsei de stoc este de 7 u.m. Să se realizeze o comparatie a rezultatelor obtinute cu

cele din cazul aplicării modelului de stocare fără lipsa de stoc.

1. Cu lipsa de stoc

Q=300 bucati p=Cp/(Cs+Cp)=7/12=0.58

Ѳ=50 zile q=sqrt((2*Q*c1)/( Ѳ*Cs*p))=sqrt(2*300*10/50*5*0.58)=sqrt(24/0.58)=6.43 bucati

Cs=5 u.m. s=p*q=6.43*0.58=3.73

C1=10 u.m. v=Q/q=300/6.43=46.66 aprovizionari

Cp=7 u.m T= Ѳ/v=50/46.66=1 zi

q=? C=sqrt(2*Q* Ѳ*c1*Cs*p)=sqrt(2*300*50*10*50*0.58)=932.73 u.m.

T=?

s=? 2. fara lipsa de stoc

v=? q=sqrt((2*Q*c1)/( Ѳ*Cs))=sqrt(2*300*10/50*5)=4.89 bucati

C=? v=Q/q=300/4.89=61.349 aprovizionari

T= Ѳ/v=50/61.349=0.815 zile

C=sqrt(2*Q* Ѳ*c1*Cs)=sqrt(2*300*50*10*50)=1224.744 u.m

2. Sa se determine parametrii optimi pentru stocare în cazul în care cererea totală

este de 500 unităti fizice pentru o perioada de 3 luni. Costul de stocare este de 10

unităti monetare, costul de reîncărcare este de 20 u.m. iar penalizarea în cazul

lipsei de stoc este de 15 u.m. Să se realizeze o comparatie a rezultatelor obtinute

cu cele din cazul aplicării modelului de stocare fără lipsa de stoc.

1. Cu lipsa de stoc

Q=500 bucati p=Cp/(Cs+Cp)=15/25=0.6

Ѳ=90 zile q=sqrt((2*Q*c1)/( Ѳ*Cs*p))=sqrt((2*500*20)/(90*10*0.6)=6.085 bucati

Cs=10 u.m. s=p*q=6.085*0.6=3.651 bucati

C1=20 u.m. v=Q/q=500/6.085=82.169 aprovizionari

Cp=15 u.m. T= Ѳ/v=90/82.169=1.095 zile

q=? C=sqrt(2*Q* Ѳ*c1*Cs*p)=sqrt(2*500*90*20*10*0.6)=3286.33 u.m

T=?

s=? 2. fara lipsa de stoc

v=? q=sqrt((2*Q*c1)/( Ѳ*Cs))=sqrt((2*500*20)/(90*10))=4.71 bucati

C=? v=Q/q=500/4.71 aprovizionari

T= Ѳ/v=0.847

C=sqrt(2*Q* Ѳ*c1*Cs)=sqrt(2*500*90*10*20)=4242 u.m

3. Sa se determine parametrii optimi pentru stocare în cazul în care cererea totală

este de 2000 unităti fizice pentru o perioada de un an. Costul de stocare este de 25

unităti monetare, costul de reîncărcare este de 10 u.m. iar penalizarea în cazul

lipsei de stoc este de 8 u.m. Să se realizeze o comparatie a rezultatelor obtinute cu

cele din cazul aplicării modelului de stocare fără lipsa de stoc.

1.Cu lipsa de stoc

Q=2000 bucati p=Cp/(Cs+Cp)=8/33=0.24

Ѳ=1 an q=sqrt((2*Q*c1)/( Ѳ*Cs*p))=sqrt((2*2000*10)/(1*25*0.24)) =81.64 bucati

Cs=25 u.m. s=p*q= 81.64*0.24=19.59

C1=10 u.m. v=Q/q=2000/81.64=24.49 aprovizionari

Cp=8 u.m T= Ѳ/v=1/24.49=0.040 ani

q=? C=sqrt(2*Q* Ѳ*c1*Cs*p)=sqrt(2*2000*1*10*25*0.24)=489.89 u.m.

T=?

s=? 2. fara lipsa de stoc

v=? q=sqrt((2*Q*c1)/( Ѳ*Cs))=sqrt((2*2000*10)/(25*1))=40 bucati

C=? v=Q/q=2000/40=50 aprovizionari

T= Ѳ/v=1/50=0.02 ani

C=sqrt(2*Q* Ѳ*c1*Cs)=sqrt(2*2000*25*10)=1000 u.m.

Primele 3 probleme au fost rezolvate corect de gusterita!

4. Pentru stocarea a 3 produse pe o perioada de 100 de zile, datele de lucru pot fi

rezumate în următorul tabel:

Nr. Produs Cererea Cost stocare Cost reîncărcare Penalizare pentru

lipsa de stoc

1 400 15 10 8

2 150 10 15 10

3 250 25 8 30

Să se determine paramettii optimi ai stocării si costul total al stocării

Rezolvare:

Q1=400; Q2=150; Q3=250 ;Cs1=15; Cs2=10; Cs3=25; C11=10; C12=15; C13=8; Cp1=8;

Cp2=10; Cp3=30; Ѳ=100

p 1=Cp/(Cs+Cp)=0,3

q 1=sqrt((2*Q1*c11)/( Ѳ*Cs1*p1))=sqrt(2*400*10)/(100*15*0,3)=4,21

v 1=Q 1/q 1=sqrt((Ѳ*Q 1* Cs1)/(2*C11*0,3))=400/4,21=95,01

T1= Ѳ/v1=sqrt((2* Ѳ*C11)/(Q1*Cs1*0,3))=100/95,01=1,05

S1=q 1*p1=1,26

C1=sqrt(2* Ѳ*Cs1*Q1*p1)=sqrt(2*100*15*400*0,3)=600

P 2=10/20=0,5

q 2=sqrt((2*150*15)/(100*10*0,5))=3

V 2=Q2/q 2=150/3=50

T 2= Ѳ/v 2=100/50=2

S 2=p 2*q 2=1,5

C 2=sqrt(2*100*150*10*0,5)=387,298

P 3=30/55=0,5

q 3=sqrt((2*250*8)/(100*25*0,5))=1,78

v 3=Q 3/q 3=250/1,78=140,44

T 3= Ѳ/V 3=100/140,44=0,71

S 3=q 3*p 3=0,89

C 3=sqrt(2*100*250*25*0,5)=790,569

3

C=∑ Ci =1777,867

I=1

Am rugamintea sa verificati si voi daca am aplicat formulele corecte si daca mai e ceva de

completat,corectat.Problema am rezolvato dupa modelul de stocare a mai multor produse

tinand cont ca exista lipsa de stoc.

1. Se consideră că pentru stocarea unui produs costul unitar de stocare este de 45 u.m. iar costul suplimentar este 15 u.m. Să se determine stocul optim şi costul total dacă cererea este specificată prin variabila aleatoare discreta cu repartiŃia

7 12 18 23 25

0,2 0,15 0,25 0,17 0,23

.

2. Se consideră că pentru stocarea unui produs costul unitar de stocare este de 45 u.m. iar costul suplimentar este 15 u.m. Să se determine stocul optim şi costul total dacă cererea este specificată prin variabila aleatoare continua cu densitatea de repartiŃie

( )

[ )[ )[ )

[ )

0 0,1

0,25 1,3

0,2 3,5

15,10

3750 10

x

x

xf x

x x

x

∈ ∈ ∈= ∈ >

.

3. Se consideră că pentru stocarea unui produs costul unitar de stocare este de 40 u.m. iar costul suplimentar este 10 u.m. Să se determine stocul optim şi costul total dacă cererea este specificată prin variabila aleatoare discreta cu repartiŃia

3 5 6 7 10 12

0,1 0,24 0,16 0,15 0,17 0,18

.

4. Se consideră că pentru stocarea unui produs costul unitar de stocare este de 40 u.m. iar costul suplimentar este 10 u.m. Să se determine stocul optim şi costul total dacă cererea este specificată prin variabila aleatoare continua cu densitatea de repartiŃie

( )[ )[ )

0,2 x 0,3

0,0025 0,04 x 3,5

0 x>5

x

f x x

∈= + ∈

.

5. Se consideră că pentru stocarea unui produs costul unitar de stocare este de 25 u.m. iar costul în cazul lipsei de stoc este 15 u.m. Să se determine stocul optim şi costul total dacă cererea este specificată prin variabila aleatoare discreta cu repartiŃia

7 12 18 23 25

0,2 0,15 0,25 0,17 0,23

.

6. Se consideră că pentru stocarea unui produs costul unitar de stocare este de 25 u.m. iar costul în cazul lipsei de stoc este 15 u.m. Să se determine stocul optim şi costul total dacă cererea este specificată prin variabila aleatoare continua cu densitatea de repartiŃie

( )

[ )[ )[ )

[ )

0 0,1

0,25 1,3

0,2 3,5

15,10

3750 10

x

x

xf x

x x

x

∈ ∈ ∈= ∈ >

.

7. Se consideră că pentru stocarea unui produs costul unitar de stocare este de 110 u.m. iar costul în cazul lipsei de stoc este 90 u.m. Să se determine stocul optim şi costul total dacă cererea este specificată prin variabila aleatoare discreta cu repartiŃia

3 5 6 7 10 12

0,1 0,24 0,16 0,15 0,17 0,18

.

8. Se consideră că pentru stocarea unui produs costul unitar de stocare este de 110 u.m. iar costul în cazul lipsei de stoc este 90 u.m. Să se determine stocul optim şi costul total dacă cererea este specificată prin variabila aleatoare continua cu densitatea de repartiŃie

( )[ )[ )

0,2 x 0,3

0,0025 0,04 x 3,5

0 x>5

x

f x x

∈= + ∈

.