CURS III – V

Capitolul II: Spatii vectoriale Lect. dr. Lucian Maticiuc

Facultatea de Electronica, Telecomunicatiisi Tehnologia InformatieiAlgebra, Semestrul I,Lector dr. Lucian MATICIUChttp://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/

CURS III – V

1 Spatii vectoriale

1.1 Definitii, exemple si proprietati generale

Fie K un corp comutativ (camp) ale carui elemente le vom numi scalari si le vom nota cu literegrecesti α, β, γ, δ, . . ., avand elementul nul notat cu 0 si elementul unitate (neutru) cu 1. Fie V omultime a carei elemente le vom numi vectori si le vom nota cu ~a,~b, ~x, ~y, ~u,~v, . . . (vectorii se maipot nota si cu a, b, x, y, u, v, . . .).

Definitia 1 Vom spune ca V este un spatiu vectorial peste campul K daca pe multimea V sunt definitedoua legi de compozitie, una interna “+” numita adunarea vectorilor, astfel ıncat

pentru orice ~x, ~y ∈ V avem ca ~x+ ~y ∈ V,

si una externa “·” numita ınmultirea vectorilor cu scalari, astfel ıncat

pentru α ∈ K si ~x ∈ V avem ca α · ~x ∈ V,

si astfel ıncat:1. Adunarea vectorilor este asociativa

~x+ (~y + ~z) = (~x+ ~y) +−→z ∈ V, ∀~x, ~y,−→z ∈ V,

2. Adunarea vectorilor este comutativa

~x+ ~y = ~y + ~x, ∀~x, ~y ∈ V,

3. Exista un vector notat ~0 ∈ V , numit vector nul, astfel ıncat

~x+~0 = ~0 + ~x = ~x, ∀~x ∈ V,

4. Pentru orice ~x ∈ V exista vectorul −~x ∈ V , numit opusul lui ~x, astfel ıncat

~x+ (−~x) = (−~x) + ~x = ~0,

5.α · (β · ~x) = (αβ) · ~x, ∀α, β ∈ K, ∀~x ∈ V,

6.(α+ β) · ~x = α · ~x+ β · ~x, ∀α, β ∈ K, ∀~x ∈ V,

7.α · (~x+ ~y) = α · ~x+ α · ~y, ∀α ∈ K, ∀~x, ~y ∈ V,

8.1 · ~x = ~x, ∀~x ∈ V,

unde 1 este elementul (unitate) neutru pentru operatia de ınmultire ın corpul K.

1

Lucia

n Mati

ciuc

http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/


Remarca 2 Reamintim ca o multime K ınzestrata cu doua operatii (unda aditiva si una multiplicativa),notat (K,+, ·), este corp comutativ sau camp daca:– (K,+) este grup comutativ (adica operatia + este asociativa, admite element neutru, fiecare element dinK admite invers (opus) si + este comutativa);– operatia · este asociativa;– operatia · este distributiva fata de +– operatia · admite element unitate (diferit de zero)(mentionam ca cele doua operatii +, · sunt altele decat cele definite pe spatiul vectorial, ele fiind doar notatesimilar).

Remarca 3 Din definitia de mai sus se observa ca V are structura de grup comutativ ın raport cu operatia“+” de adunare a vectorilor.

Remarca 4 In cele ce urmeaza corpul K va desemna campul numerelor reale R sau campul numerelorcomplexe C (ınzestrate cu operatiile uzuale de adunare si ınmultire a numerelor).

Propozitia 5 Din definitia de mai sus deducem urmatoarele:

1. 0 · ~x = ~0, ∀~x ∈ V

2. α ·~0 = ~0, ∀α ∈ K

3. (−α) · ~x = α · (−~x) = − (α · ~x) , ∀α ∈ K, ∀~x ∈ V

4. (−α) · (−~x) = α · ~x, ∀α ∈ K, ∀~x ∈ V

Demonstratie. Folosind axiomele din definitia spatiului vectorial deducem

~x+ 0 · ~x = 1 · ~x+ 0 · ~x = (1 + 0) · ~x = 1 · ~x = ~x.

Pe de alta parte ~x+~0 = ~x deci, din unicitatea elementului neutru, obtinem

0 · ~x = ~0.

De asemeneaα ·~0 + α · ~x = α · (~0 + ~x) = α · ~x,

deci, din unicitatea elementului neutru, obtinem

α ·~0 = ~0.

Obtinem a treia afirmatie:

~0 = 0 · ~x = (α+ (−α)) · ~x = α · ~x+ (−α) · ~x⇔ (−α) · ~x = −α · ~x.

Exemplul 6 Multimea R a numerelor reale formeaza un spatiu vectorial peste R.

Exemplul 7 Multimea C a numerelor complexe formeaza un spatiu vectorial peste R.

Exemplul 8 Multimea Pn (x) a polinoamelor cu coeficienti reali de grad cel mult n (unde n ∈ N∗

este arbitrar fixat). formeaza un spatiu vectorial peste R cu operatiile de adunare ale polinoamelor si deınmultirea a acestora cu un numar real.

2

Lucia

n Mati

ciuc


Exemplul 9 Spatiul vectorial aritmeticKn. FieK un camp oarecare si n ∈ N∗. Sa consideram spatiulKn dat de produsul cartezian

Kn := K ×K × · · · ×K = {~x = (x1, . . . , xn) : x1, . . . , xn ∈ K}

Definim operatiile

~x+ ~y = (x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn) , ∀~x, ~y ∈ Kn

α · ~x = α (x1, . . . , xn) = (αx1, . . . , αxn) , ∀α ∈ K, ∀~x ∈ Kn

Observam ca opusul lui ~x este−~x = (−x1, . . . ,−xn) .

Se poate verifica ca, ın raport cu aceste doua operatii, Kn este spatiu vectorial peste campul K.

Exemplul 10 In particular pentru K = R obtinem Rn numit spatiul vectorial aritmetic real n-dimensional.

Exemplul 11 Spatiul vectorialMm,n (K) al matricelor cu elemente din K situate pe m linii si ncoloane.

Vom nota cu aij elementul matricei A ∈ Mm,n (K) situat pe linia i si coloana j. Deci A se va scriesub forma

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

......

. . ....

am1 am2 . . . amn

sau prescurtat A = (aij)i=1,m, j=1,n .

Definim operatiile

A+B = (aij)i=1,m, j=1,n + (bij)i=1,m, j=1,n = (aij + bij)i=1,m, j=1,n , ∀A,B ∈Mm,n (K)

α ·A = α · (aij)i=1,m, j=1,n = (αaij)i=1,m, j=1,n , ∀α ∈ K, ∀A ∈Mm,n (K)

Se poate verifica ca, ın raport cu aceste doua operatii,Mm,n (K) este spatiu vectorial peste campul K.In particular pentru m = n obtinemMn (K) numit spatiul vectorial al matricelor patratice de

ordin n.

Remarca 12 In continuare vom renunta, pentru simplitatea scrierii, la notatia “·”; astfel α · ~x se va scrie,mai simplu, α~x (daca nu exista posibilitate de confuzie).

Definitia 13 O submultime V ′ ⊂ V ale carei elemente verifica axiomele spatiului vectorial V definit pesteK se numeste subspatiu vectorial al lui V.

Teorema 14 O submultime V ′ ⊂ V este un subspatiu vectorial al lui V daca si numai daca avem:

∀~u,~v ∈ V ′,∀α, β ∈ K ⇒ α~u+ β~v ∈ V ′. (1)

Demonstratie. Necesitatea (“⇒”) Daca V ′ ⊂ V este un subspatiu vectorial al lui V atunci are loc,evident conditia (1).

Suficienta (“⇐”) Mentionam, mai ıntai, ca daca are loc (1) atunci sa luam α = β = 1 si obtinemca ~u+ ~v ∈ V ′, apoi β = 0 si obtinem ca α~u ∈ V ′, si apoi sa luam α = β = 0 si obtinem ca ~0 ∈ V ′.Se poate arata usor ca sunt verificate toate axiomele spatiului vectorial.

Remarca 15 Pentru caracterizarea unui subspatiu vectorial relatia (1) poate fi ınlocuita, echivalent, cu

∀~u,~v ∈ V ′,∀α, β ∈ K ⇒ ~u+ ~v ∈ V ′ si α~u ∈ V ′. (2)

3

Lucia

n Mati

ciuc


Exemplul 16 Submultimea {~0} a unui spatiu vectorial este un subspatiu vectorial.

Exemplul 17 Consideram spatiul vectorial aritmetic Kn. Atunci submultimea sa

V = {~u ∈ Kn : ~u = (0, u2, u3, . . . , un) , u2, u3, . . . , un ∈ K} ⊂ Kn

este un subspatiu vectorial. Intr-adevar, pentru orice ~u,~v ∈ V,∀α, β ∈ K avem ca

α~u+ β~v = α (0, u2, u3, . . . , un) + β (0, v2, v3, . . . , vn) = (0, αu2, . . . , αun) + (0, βv2, . . . , βvn)

= (0, αu2 + βv2, . . . , αun + βvn) ∈ V

(adica vectorul care s-a obtinut este de forma celor din multimea V ).

Exemplul 18 Pe de alta parte, submultimea V ′ = {~u ∈ Kn : ~u = (1, u2, u3, . . . , un) , u2, u3, . . . , un ∈ K} ⊂Kn nu este un subspatiu vectorial. Intr-adevar, pentru orice ~u,~v ∈ V ′,∀α, β ∈ K avem ca

α~u+ β~v = α (1, u2, u3, . . . , un) + β (1, v2, v3, . . . , vn) = (1, αu2, . . . , αun) + (1, βv2, . . . , βvn)

= (2, αu2 + βv2, . . . , αun + βvn) /∈ V ′,

deoarece 2 6= 1 (adica vectorul care s-a obtinut nu este de forma celor din multimea V ′).

Exemplul 19 FieMn (K) spatiul vectorial al matricelor patratice cu elemente dinK. Atunci submultimeasa V = {A ∈Mn (K) : A = At} ⊂ Mn (K) (submultimea matricelor simetrice) este un subspatiu vec-torial. Intr-adevar, pentru orice A,B ∈ V,∀α, β ∈ K avem ca

(αA+ βB)t

= (αA)t

+ (βB)t

= αAt + βBt = αA+ βB,

adica vectorul matrice care s-a obtinut este o matrice simetrica si deci αA+ βB ∈ V.

Definitia 20 Fie S = {~v1, · · · , ~vn} un sistem de n ∈ N∗ vectori din spatiul vectorial V . Spunem cavectorul ~v ∈ V este o combinatie liniara de vectorii sistemului S daca exista n elemente a1, a2, . . . , an ∈K astfel ıncat are loc

~v = a1~v1 + a2~v2 + · · ·+ an~vn.

Teorema 21 Multimea vectorilor din V care se pot exprima ca o combinatie liniara de vectorii sistemuluiS formeaza un subspatiu vectorial al lui V.

Demonstratie. Fie ~u,~v ∈ V doi vectori din V care se pot exprima ca combinatii liniare de vectoridin S,deci

~u = a1~v1 + a2~v2 + · · ·+ ap~vp si ~v = b1~v1 + b2~v2 + · · ·+ bp~vp .

Atunci α~u+ β~v = · · · = (αa1 + βb1)~v1 + (αa2 + βb2)~v2 + · · ·+ (αap + βbp)~vp, adica α~u+ β~v estede asemenea o combinatie liniara de vectori din S si, aplicand caracterizarea data de Teorema 14,obtinem concluzia.

Definitia 22 Vom nota cu [S] multimea tuturor combinatiilor liniare de vectori din S,

[S] := {~u ∈ V : ~u = α1~v1 + · · ·+ αn~vn, ∀α1, ..., αn ∈ K} ⊆ V.

Acest spatiu este, conform teoremei precedente, un subspatiu vectorial si se numeste subspatiul vectorialgenerat de submultimea S. Vectorii ~v1, · · · , ~vp spunem ca formeaza un sistem de generatori pentru [S] .

4

Lucia

n Mati

ciuc


1.2 Dependenta liniara, independenta liniara si baze ıntr-un K–spatiu

Fie V un K–spatiu vectorial si S = {~v1, ..., ~vn} un sistem finit de vectori din V .

Definitia 23 Sistemul S se numeste liniar dependent daca exista scalarii α1, ..., αn ∈ K, nu toti egalicu zero, astfel ıncat sa aiba loc

α1~v1 + · · ·+ αn~vn = ~0 (3)

(combinatia liniara α1~v1 + · · ·+ αn~vn sa fie vectorul nul).

Definitia 24 In caz contrar, adica daca orice relatie de forma

α1~v1 + · · ·+ αn~vn = ~0

(orice combinatia liniara α1~v1 + · · ·+αn~vn care este ~0) implica α1 = · · · = αn = 0, atunci sistemul S senumeste liniar independent.

Exemplul 25 Sistemul S = {~0} este liniar dependent deoarece are loc α~0 = ~0, ∀α ∈ K.

Exemplul 26 Sistemul S = {~v : ~v 6= ~0} este liniar independent deoarece din relatia α~v = 0, obtinemα = 0 (daca α 6= 0, atunci se obtine ~v = 0).

Exemplul 27 In spatiul vectorial aritmetic Kn sistemul de vectori

B = {~e1 = (1, 0, . . . , 0) , ..., ~en = (0, 0, . . . , 1)}

(1 si 0 sunt elementele neutre ın campul K) este liniar independent.Intr-adevar, fie combinatia liniara

α1~e1 + · · ·+ αn~en = ~0.

Avemα1 (1, 0, . . . , 0) + α2 (0, 1, . . . , 0) + · · ·+ αn (0, . . . , 1)

= (α1, 0, . . . , 0) + (0, α2, . . . , 0) + · · ·+ (0, . . . , αn) = (α1, α2, . . . , αn) ,

deci ecuatia precedenta devine

(α1, α2, . . . , αn) = ~0⇔ α1 = α2 = · · · = αn = 0.

Deci din orice combinatie liniara obtinem coeficientii nuli.

Exemplul 28 In spatiul vectorial Pn (x) al polinoamelor de grad cel mult n, polinoamele 1, x, x2, . . . , xn

formeaza un sistem liniar independent deoarece relatia

α01 + α1x+ α2x2 + · · ·+ αnx

n = 0

are loc doar daca α0 = α1 = α2 = · · · = αn = 0.

Exercitiul 29 Studiati daca urmatorul sistem de vectori din spatiul vectorial R3 este liniar dependent saunu:

S = {~v1 = (1, 1, 1) , ~v2 = (1,−1, 1) , ~v3 = (−1, 3,−1)} .

Fie combinatia liniara

α1~v1 + α2~v2 + α3~v3 = ~0⇔ α1 (1, 1, 1) + α2 (1,−1, 1) + α3 (−1, 3,−1) = ~0

⇔ (α1, α1, α1) + (α2,−α2, α2) + (−α3, 3α3,−α3) = ~0

⇔ (α1 + α2 − α3, α1 − α2 + 3α3, α1 + α2 − α3) = ~0

5

Lucia

n Mati

ciuc


care este echivalent cu rezolvarea sistemuluiα1 + α2 − α3 = 0

α1 − α2 + 3α3 = 0

α1 + α2 − α3 = 0

Matricea sistemului are determinantul ∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 −1

1 −1 3

1 1 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

deci sistemul omogen nu admite solutie unica. Aceasta ınseamna ca sistemul admite si o solutie dife-rita de cea banala. Deci sistemul dat este liniar dependent. Prin metodele cunoscute se va gasi solutia(α1, α2, α3) = (−t, 2t, t), t ∈ R. O solutie particulara este, luand t = −1, (α1, α2, α3) = (1,−2,−1),ceea ce ınseamna ca are loc ca urmatoarea combinatie liniara este vectorul nul:

~v1 − 2~v2 − ~v3 = ~0

(evident se poate verifica imediat, prin calcul direct, ca ~v1 − 2~v2 − ~v3 = 0).

Exercitiul 30 Sa se stabileasca daca urmatorii vectori sunt liniar independenti: ~v1 = (1,−1, 0), ~v2 =(−1, 2, 1), ~v3 = (1, 1, 1)

Sa consideram combinatia liniara

α~v1 + β~v2 + γ~v3 = ~0⇔

α− β + γ = 0

−α+ 2β + γ = 0

β + γ = 0

Determinantul matricii sistemului este detA =

∣∣∣∣∣∣1 −1 1−1 2 1

0 1 1

∣∣∣∣∣∣ 6= 0 deci rangul rangA = 3. Deci

sistemul de mai sus este compatibil unic determinat (admite o unica solutie). Pe de alta parte sistemul esteomogen deci admite cel putin solutia banala (0, 0, 0). Prin urmare solutia banala este unica solutie. Inacest caz deducem ca vectorii dati sunt liniar independenti adica orice relatie de tipul

α~v1 + β~v2 + γ~v3 = ~0

implica α = β = γ = 0.

Teorema 31 (de caracterizare a dependentei liniare) Conditia necesara si suficienta ca sistemul S ={~v1, ..., ~vn} sa fie liniar dependent este ca cel putin unul din vectorii sistemului S sa se poata scrie ca ocombinatie liniara de ceilalti vectori ai sistemului S.

Demonstratie. Necesitatea (“⇒”) Sa presupunem ca sistemul S este liniar dependent. Deci are locrelatia (3) cu scalarul α1 6= 0 (de exemplu). In acest caz exista (α1)

−1 deci obtinem

~v1 = − (α1)−1α2~v2 − (α1)

−1α3~v3 − · · · − (α1)

−1αn~vn

adica ~v1 este o combinatie liniara de ceilalti n− 1 vectori.Suficienta (“⇐”) Sa presupunem ca un vector (de exemplu ~v1) este o combinatie liniara de

ceilalti n− 1 vectori. Are loc

~v1 = β1~v2 + β2~v3 + · · ·+ βn−1~vn

6

Lucia

n Mati

ciuc


sau echivalent~v1 + (−β1)~v2 + (−β2)~v3 + · · ·+

(−βn−1

)~vn = ~0

adica are loc relatia (3) cu coeficientul 1, al lui ~v1, diferit de zero. Deci sistemul de vectori S esteliniar dependent.

Teorema 32 Fie V un K–spatiu vectorial. Atunci:1. Orice sistem de vectori care contine un subsistem liniar dependent este de asemenea sistem liniardependent.2. Orice subsistem de vectori liniar independent este de asemenea un sistem liniar independent.

Demonstratie. Fie S = {~v1, ..., ~vn} un sistem finit de vectori din V si sa presupunem ca S1 ={~v1, ..., ~vk} ⊂ S, k < n este o submultime de vectori liniar dependent. Deci exista scalarii αi,i = 1, k, astfel ıncat cel putin unul este nenul si are loc

α1~v1 + · · ·+ αk~vk = ~0

Deducem ca exista scalarii αi, i = 1, k, astfel ıncat cel putin unul este nenul si are loc

α1~v1 + · · ·+ αk~vk + 0~vk+1 + · · ·+ 0~vn = ~0

ceea ce ınseamna ca sistemul S este liniar dependent.A doua afirmatie se obtine din prima prin reducere la absurd.Avand ın vedera ca sistemul S = {~0} este liniar dependent obtinem

Propozitia 33 Orice sistem S care contine vectorul nul este liniar dependent deoarece are loc 0~v1 + · · ·+0~vn + α~0 = ~0, ∀α ∈ K.

Vom prezenta ın continuare notiunea de baza ıntr-un spatiu vectorial.

Definitia 34 Vom spune ca submultimea (cu un numar finit de vectori) S = {~v1, · · · , ~vn} ⊂ V este unsistem de generatori al lui V daca subspatiul vectorial generat de S coincide cu V , adica

[S] = V

(ceea ce ınseamna ca orice element vector din V se poate scrie ca o combinatie liniara de vectori din S).

Definitia 35 Sistemul finit de vectori B = {~e1, ..., ~en} se numeste baza ın K–spatiul vectorial V dacasatisface conditiile:(a) B este sistem liniar independent.(b) B este un sistem de generatori al lui V .

Exemplul 36 In spatiul vectorial aritmetic Kn sistemul de vectori

B = {~e1 = (1, 0, . . . , 0) , . . . , ~en = (0, 0, ..., 1)}

(1 si 0 sunt elementele neutre ın campul K) este baza ın Kn deoarece este liniar independent si este sisistem de generatori al lui Kn. Aceasta baza se numeste baza canonica.

Intr-adevar, am vazut deja ca acesti vectori sunt liniari independenti. In continuare aratam ca formeazaun sistem de generatori pentru Kn. Fie ~x ∈ Kn si deci ~x = (x1, x2, . . . , xn), unde xi ∈ K, i = 1, n.Prin urmare

~x = (x1, 0, . . . , 0) + (0, x2, . . . , 0) + · · ·+ (0, 0, . . . , xn)

= x1 (1, 0, . . . , 0) + x2 (0, 1, . . . , 0) + · · ·+ xn (0, 0, . . . , 1) = x1~e1 + x2~e2 + · · ·+ xn~en .

7

Lucia

n Mati

ciuc


Exemplul 37 In particular, ın spatiul vectorial aritmetic Rn sistemul de vectori

B = {~e1 = (1, 0, . . . , 0) , ..., ~en = (0, 0, . . . , 1)}

este baza ın Rn deoarece este liniar independent si este si sistem de generatori al lui Rn. Aceasta baza senumeste baza canonica.

Exemplul 38 In spatiul vectorialM2 (R) al matricelor de tip (2, 2) cu elemente din R, sistemul de vectorimatrice

B =

{E1

1 =

[1 00 0

], E1

2 =

[0 10 0

], E2

1 =

[0 01 0

], E2

2 =

[0 00 1

]}este baza ınM2 (R) deoarece este liniar independent si este si sistem de generatori al luiM2 (R). Aceastabaza se numeste baza canonica.

Exemplul 39 In spatiul vectorial Pn (x) al polinoamelor de grad cel mult n, polinoamele 1, x, x2, . . . , xn

formeaza un sistem liniar independent si este sistem de generatori pentru orice vector (polinom) dinPn (x).Deci

{1, x, x2, . . . , xn

}formeaza o baza ın spatiul Pn (x) .

Teorema 40 (de caracterizare a bazelor) Conditia necesara si suficienta ca submultimea finita B ={~e1, ..., ~en} sa fie baza ın K–spatiul vectorial V , este ca orice vector ~x ∈ V sa se descompuna ın mod unicdupa vectorii lui B, adica

~x = x1~e1 + · · ·+ xn~en (4)

unde scalarii xi ∈ K, i = 1, n sunt unic determinati.

Demonstratie. Necesitatea (“⇒”) Sa presupunem ca sistemul B = {~e1, ..., ~en} este baza ın K–spatiul vectorial V , deci (avand ın vedere ca orice baza este un sistem de generatori) obtinem ca~x are o descompunere de tipul (4). Sa presupunem prin reducere la absurd ca descompunerea nueste unica deci are loc

~x = y1~e1 + · · ·+ yn~en

Prin scadere obtinem~0 = (x1 − y1)~e1 + · · ·+ (xn − yn)~en

Sistemul de vectori B fiind liniar independent deducem ca scalarii (xi − yi) = 0, i = 1, n adica

xi = yi, i = 1, n ,

deci cele doua descompuneri coincid.Suficienta (“⇐”) Sa presupunem ca orice vector ~x ∈ V se descompune ın mod unic dupa

vectorii lui B. Deci B este un sistem de generatori pentru V , adica [B] = V . A mai ramas dedemonstrat ca B este liniar independent. Sa presupunem ca avem o combinatie liniara de tipul

α1~v1 + · · ·+ αn~vn = ~0 (5)

Pe de alta parte ecuatia de mai sus reprezinta si o descompunere a lui ~0 dupa baza B. Avand ınvedere ca, evident,

0~v1 + · · ·+ 0~vn = ~0

si ca descompunere lui ~0 este unica deducem ca

α1 = α2 = · · · = αn = 0.

Definitia 41 Scalarii xi ∈ K, i = 1, n (din teorema precedenta) ce dau descompunerea unica a lui ~x ınbaza B = {~e1, ..., ~en} se numesc coordonatele vectorului ~x ın baza {~e1, ..., ~en}.

8

Lucia

n Mati

ciuc


Teorema 42 Daca V 6= {~0} este un K–spatiu finit generat atunci oricare doua baze ale lui V au acelasinumar de vectori.(fara demonstratie).

Definitia 43 Daca V este un K–spatiu finit generat atunci numarul de elemente dintr-o baza a lui V seva numi dimensiunea lui V notata cu dimK V sau, mai scurt (daca nu este pericol de confuzie), dimV .

Remarca 44 Daca V este un K–spatiu vectorial de dimensiune n, atunci vom mai nota spatiul si cu Vn(notatia va indica astfel si dimensiunea).

Un rezultat util ın practica este urmatorul

Propozitia 45 Fie V este un K–spatiu vectorial de dimensiune n. Atunci:(a) Orice sistem S format din n vectori liniari independenti este o baza ın V .(b) Orice sistem S format din n vectori care constitue un sistem de generatori al lui V este o baza ın

V .

Teorema 46 (de completare a bazei) Fie V este un K–spatiu vectorial de dimensiune n si fie S ={~v1, ..., ~vk} ⊂ V , unde k < n, un sistem de vectori liniar independenti din V . Atunci exista vectorii~vk+1, ~vk+2, . . . , ~vn ∈ V astfel ıncat submultimea B = {~v1, ..., ~vk, ~vk+1, ~vk+2, . . . , ~vn} este o baza aspatiului vectorial V.(fara demonstratie).

Definitia 47 Fie S un sistem de vectori din spatiul vectorial V . Se numeste rangul sistemului devectori S dimensiunea subspatiului vectorial generat de S.

Teorema 48 Toate sistemele de vectori din V obtinute din S prin urmatoarele transformari (numite sitransformari elementare):

1. schimbarea ordinii vectorilor;2. ınmultirea unui vector cu un scalar nenul;1. adunarea la un vector din S a unui alt vector din S ınmultit cu un scalar,

au acelasi rang cu S.(fara demonstratie).

Teorema 49 Rangul unui sistem finit de vectori este egal cu numarul maxim de vectori liniar independentiai sistemului.(fara demonstratie).

In cazul particular al spatiului vectorial aritmetic Kn, daca avem un numar finit de vectori,atunci, punandu-i pe coloana, putem forma cu ei o matrice iar problema independentei lor liniarese reduce la a determina rangul acelei matrice. Astfel are loc rezultatul urmator:

Teorema 50 Rangul unei matrice este egal cu numarul maxim al vectorilor coloana (sau linie,evident) liniar independenti.

9

Lucia

n Mati

ciuc


Demonstratie. Intr-adevar, fieA =

s11 s12 · · · s1n

s21 s22 · · · s2n

· · · · · · · · · · · ·

sm1 sm2 · · · smn

∈Mm,n (R) o matrice data si vectorii

coloana ai acesteia notati cu

v1 =

s11

s21

· · ·

sm1

, v2 =

s12

s22

· · ·

sm2

, . . . , vn =

s1n

s2n

· · ·

smn

.

Sa presupunem ca vectorii v1, v2, . . . , vr, cu r ≤ n, sunt liniar independenti (presupunem, fara arestrange generalitatea ca sunt independenti primii r vectori), deci din orice combinatie liniara alor

α1v1 + α2v2 + · · ·+ αrvr = 0 ∈Mm,1 (R)

rezulta α1 = α2 = · · · = αr = 0.Evident, vectorii vi ∈ Km, i = 1, r, deci numarul maxim de vectori liniar independenti este

m, ceea ce ınseamna ca trebuie sa luam r ≤ m.Deci se obtine sistemul

α1

s11

s21

· · ·

sm1

+ α2

s12

s22

· · ·

sm2

+ · · ·+ αr

s1r

s2r

· · ·

smr

=

0

0

· · ·

0

⇔

α1s

11

α1s21

· · ·

α1sm1

+

α2s

12

α2s22

· · ·

α2sm2

+ · · ·+

αrs

1r

αrs2r

· · ·

αrsmr

=

0

0

· · ·

0

⇔

s11α1 + s12α2 + · · ·+ s1rαr = 0

s21α1 + s22α2 + · · ·+ s2rαr = 0

...

sm1 α1 + sm2 α2 + · · ·+ smr αr = 0

care este omogen de tip (m, r) si care trebuie sa admita doar solutia banala. Prin urmare existaun determinant principal de rang r care sa fie nenul. Acest determinant principal este exact celcare da rangul matricei initiale A, deci rangA = r.

Invers, sa presupunem acum ca rangA = r (deci, evident, r ≤ min (m,n)) si sa aratam canumarul maxim de vectori liniar independenti este tot r. Fie astfel, o combinatia liniara de (r + 1)vectori

α1v1 + α2v2 + · · ·+ αrvr + αpvp = 0 ∈Mm,1 (K) ,

10

Lucia

n Mati

ciuc


unde p este un indice oarecare astfel ıncat r + 1 ≤ p ≤ n. Prin urmare obtinem sistemul

α1

s11

s21

· · ·

sm1

+ α2

s12

s22

· · ·

sm2

+ · · ·+ αr

s1r

s2r

· · ·

smr

+ αp

s1p

s2p

· · ·

smp

=

0

0

· · ·

0

⇔

s11α1 + s12α2 + · · ·+ s1rαr + s1pαp = 0

s21α1 + s22α2 + · · ·+ s2rαr + s1pαp = 0

...

sm1 α1 + sm2 α2 + · · ·+ smr αr + s1pαp = 0

care este un sistem omogen de tipul (m, r + 1). Rangul matricei sistemului este r (este exactrangul matricei initiale A) si deci mai mic decat numarul de necunoscute. Prin urmare sistemulnu admite solutie unica, deci admite si solutii nenule. Aceasta ınseamna ca exista cel putin uncoeficient αi nenul, deci vectorii {v1, v2, . . . , vr, vp} sunt liniar dependenti.

1.3 Schimbarea bazelor si schimbarea coordonatelor unui vector ıntr-un K–spatiu

Fie V este un K–spatiu vectorial de dimensiune n si B = {~e1, ..., ~en}, B = {~f1, ..., ~fn} doua bazediferite ale aceluiasi spatiu V . A determina schimbarea de baze ınseamna a descompune vectoriibazei B dupa baza B, adica a obtine relatii de tipul

~fj =∑n

i=1sij ~ei , j = 1, n (6)

sau, echivalent,

~f1 = s11 ~e1 + s21 ~e2 + · · ·+ sn1 ~en

~f2 = s12 ~e1 + s22 ~e2 + · · ·+ sn2 ~en

...

~fn = s1n ~e1 + s2n ~e2 + · · ·+ snn ~en .

Definim matricea S := (sij)i,j=1,n ale carei coloane sunt formate din coordonatele vectorilor luiB ın baza B. Deci

S =

s11 s12 · · · s1n

s21 s22 · · · s2n

· · · · · · · · · · · ·

sn1 sn2 · · · snn

.

Matricea S se numeste matricea schimbarii de baze de la B la baza B si vom nota B S−−→ B.

Teorema 51 Daca avem BS−−→ B atunci matricea S este inversabila si are loc B S−1

−−−→ B, unde S−1

este inversa matricei S.(fara demonstratie).

11

Lucia

n Mati

ciuc


Consideram acum un vector oarecare ~x ∈ V . Atunci vectorul ~x are doua descompuneri ıncele doua baze:

~x =∑n

i=1xi ~ei si ~x =

∑n

j=1yj ~fj . (7)

Este important determinarea legaturii dintre coordonatele xi, i = 1, n ale vectorului ın baza B sicoordonatele yj , j = 1, n ale vectorului ın baza B.

Din (6) obtinem

~x =∑n

j=1yj ~fj =

∑n

j=1yj

(∑n

i=1sij ~ei

)=∑n

i=1

(∑n

j=1sij yj

)~ei

Din unicitatea scrierii vectorului ~x ın baza B vom obtine identificarea coeficientilor:

xi =∑n

j=1sij yj , i = 1, n. (8)

Introducand matricea coloana a coordonatelor vectorului ~x ın cele doua baze

X =

x1x2· · ·xn

si Y =

y1y2· · ·yn

putem rescrie (8) sub forma matriceala si obtinem

Propozitia 52 Fie ~x ∈ V un vector care are descompunerea (7) ın raport cu cele doua bazeB si B.Atuncilegatura ıntre coordonatele vectorului ~x din cele doua baze este data de relatia:

X = S · Y ⇔ Y = S−1 ·X , (9)

ceea ce constitue formula matriceala de schimbare a coordonatelor unui vector la o schimbare debaze.

Exercitiul 53 Se da sistemul de vectori B = {~v1 = (1, 2, 1) , ~v2 = (2, 3, 3) , ~v3 = (3, 7, 1)}.a) Sa se arate ca B este o baza ın R3.b) Sa se scrie matricea schimbarii de baza de la baza canonica la B.c) Sa se afle coordonatele vectorului ~x = (3,−1, 2) ın baza B.

a) Avand ın vedere ca dim R3 = 3 aplicam Propozitiei (45) si deducem ca este suficient ca B sa fie liniarindependent (pentru ca sa fie baza). Liniara independenta a vectorilor lui B se va studia ca ın exempleleprecedente (de exemplu, scriem vectorii pe coloana si formam o matrice; apoi determina rangA = 3).b) Trebuie determinate mai ıntai coordonatele vectorilor bazei B ın baza canonica. Avem

~v1 = ~e1 + 2~e2 + ~e3, ~v2 = 2~e1 + 3~e2 + 3~e3, ~v3 = 3~e1 + 7~e2 + ~e3 .

Deci matricea schimbarii de baze este data coordonatele de mai sus puse pe coloana:

S =

1 2 32 3 71 3 1

.In acest caz Bc

S−−→ B sau echivalent B S−1

−−→ Bc.c) Vectorul ~x = (3,−1, 2) are deci ın baza canonica

~x = 3~e1 − ~e2 + 2~e3

12

Lucia

n Mati

ciuc


Formula matriceala de schimbare a coordonatelor unui vector la o schimbare de baze esteXB = S−1 ·XBc ,

unde XB =

x1x2x3

este matricea coloana a coordonatelor lui ~x ın baza B, XBc=

3−1

2

este matricea

coloana a coordonatelor lui ~x ın baza canonica Bc iar

S−1 =

1 2 32 3 71 3 1

−1 = calcule..... =

−18 7 55 −2 −13 −1 −1

Deci

XB =

−18 7 55 −2 −13 −1 −1

· 3−12

=

−51158

Exercitiul 54 Se considera bazeleB1 = {~u1 = (1, 1, 1) , ~u2 = (2,−1, 1) , ~u3 = (−1, 1, 1)} siB2 = {~v1 = (1, 0, 1) , ~v2 = (0, 1, 1) , ~v3 = (1, 1, 0)}precum si vectorul ~x = (1,−1, 0).a) Sa se scrie matricea schimbarii de baze de la B1 la B2.b) Sa se afle coordonatele vectorului ~x ın cele doua baze.

Exercitiul 55 a) Trebuie determinate mai ıntai coordonatele vectorilor bazei B2 ın baza initiala B1. Vomdetermina elementele sij , i, j = 1, 3 astfel ıncat

~v1 = a~u1 + b~u2 + c~u3

~v2 = a′~u1 + b′~u2 + c′~u3

~v3 = a′′~u1 + b′′~u2 + c′′~u3

echivalent cu (1, 0, 1) = (a+ 2b− c, a− b+ c, a+ b+ c)

(0, 1, 1) = (a′ + 2b′ − c′, a′ − b′ + c′, a′ + b′ + c′)

(1, 1, 0) = (a′′ + 2b′′ − c′′, a′′ − b′′ + c′′, a′′ + b′′ + c′′)

ceea ce ınseamna a rezolva urmatoarele trei sisteme liniare neomogene:a+ 2b− c = 1

a− b+ c = 0

a+ b+ c = 1

,

a′ + 2b′ − c′ = 0

a′ − b′ + c′ = 1

a′ + b′ + c′ = 1

,

a′′ + 2b′′ − c′′ = 1

a′′ − b′′ + c′′ = 1

a′′ + b′′ + c′′ = 0

.

Vom obtine solutiilea = 1/4, b = 1/2, c = 1/4

a′ = 1/2, b′ = 0, c′ = 1/2

a′′ = 5/4, b′′ = −1/2, c′′ = −3/4,

adica matricea S este data de (coordonatele puse pe coloane)

S =

1/4 1/2 5/41/2 0 −1/21/4 1/2 −3/4

.Remarca 56 Exista si o metoda alternativa de a gasi matricea de schimbare de baze, cand niciuna dintre cele doua baze nu sunt cele canonice. Avand ın vedere ca este usor de citit matricea detrecere de la baza canonica, fie

BcS1−−→ B1 si Bc

S2−−→ B2,

13

Lucia

n Mati

ciuc


unde S1 si S2 sunt:

S1 =

1 2 −11 −1 11 1 1

si S2 =

1 0 10 1 11 1 0

.Fiind ambele baze, avem ca S1 si S2 sunt nesingulare si deci

B1S−11−−→ Bc si Bc

S2−−→ B2.

Acum putem scrie direct matricea S de schimbare de baza de la B1 la B2 :

B1S−11 S2−−−−→ B2,

adica S = S−11 S2, deci

S =

1 2 −11 −1 11 1 1

−1 1 0 10 1 11 1 0

=1

4

2 3 −10 −2 2−2 −1 3

1 0 10 1 11 1 0

=

1

4

1 2 52 0 −21 2 −3

=

1/4 1/2 5/41/2 0 −1/21/4 1/2 −3/4

.b) Avand ın vedere ca putem scrie imediat coordonatele vectorului ~x ın baza canonica, obtinem ca XBc

= 1−1

0

. Scriem acum matricele schimbarii de baze S1, S2 astfel ıncat BcS1−−→ B1, Bc

S2−−→ B2 :

S1 =

1 2 −11 −1 11 1 1

, S2 =

1 0 10 1 11 1 0

Deci XB1 = S−11 ·XBc , XB2 = S−12 ·XBc . Se vor calcula si inversele

S−11 =

1 2 −11 −1 11 1 1

−1 , S−12 =

1 0 10 1 11 1 0

−1

si atunci

XB1=

1 2 −11 −1 11 1 1

−1 · 1−1

0

, XB2=

1 0 10 1 11 1 0

−1 · 1−1

0

.Se vor face calculele si se va obtine

XB1=

1

4

2 3 −10 −2 2−2 −1 3

1−1

0

=1

4

−12−1

si

XB2=

1

2

1 −1 1−1 1 1

1 1 −1

1−1

0

=

1−1

0

14

Lucia

n Mati

ciuc


1.4 Spatii euclidiene

Definitia 57 Fie V un spatiu vectorial. Se numeste produs scalar pe V o functie

〈·, ·〉 : V × V → R

care asociaza fiecarei perechi de vectori din V un numar real notat 〈u, v〉 si care satisface conditiile:(i) 〈u, v〉 = 〈v, u〉, ∀u, v ∈ V ;(ii) 〈u1 + u2, v〉 = 〈u1, v〉+ 〈u2, v〉, ∀u1, u2, v ∈ V ;(iii) 〈λu, v〉 = λ〈u, v〉, ∀λ ∈ R, ∀u, v ∈ V ;(iv) 〈u, u〉 ≥ 0, ∀u ∈ V si 〈u, u〉 = 0⇔ u = 0.

Remarca 58 Din cele patru proprietati de mai sus, se mai pot deduce urmatoarele:1. 〈u, v1 + v2〉 = 〈u, v1〉+ 〈u, v2〉, ∀u, v1, v2 ∈ V2. 〈u, λv〉 = λ〈u, v〉, ∀λ ∈ R, ∀u, v ∈ V3. 〈0, v〉 = 〈v, 0〉 = 0, ∀v ∈ V

Intr-adevar,

〈u, v1 + v2〉 = 〈v1 + v2, u〉 = 〈v1, u〉+ 〈v2, u〉 = 〈u, v1〉+ 〈u, v2〉,

〈u, λv〉 = 〈λv, u〉 = λ〈v, u〉 = λ〈u, v〉,

〈0, v〉 = 〈u− u, v〉 = 〈u, v〉 − 〈u, v〉 = 0.

Definitia 59 Un spatiu vectorial ınzestrat cu un produs scalar 〈·, ·〉 se numeste spatiu euclidian.

Exemplul 60 Pe spatiul vectorial Rn definim produsul scalar standard

〈x, y〉 = x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn ,

unde x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn, y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn.

Exemplul 61 Pe spatiul vectorial al matricelor patraticeMn(R) definim produsul scalar

〈A,B〉 = Tr(AtB), ∀A,B ∈Mn(R).

Exemplul 62 Pe spatiul vectorial al functiilor continue definite pe [a, b] definim produsul scalar

〈f, g〉 =

∫ b

a

f(x)g(x)dx, ∀f, g : [a, b]→ R continue.

Teorema 63 (Cauchy–Schwarz–Buniakovski) Fie (V ; 〈·, ·〉) un spatiu vectorial euclidian. Atunci areloc inegalitatea

|〈u, v〉| ≤√〈u, u〉 ·

√〈v, v〉 .

Demonstratie. Inegalitatea ceruta este echivalenta cu

〈u, v〉2 ≤ 〈u, u〉 · 〈v, v〉.

Pentru u = 0 sau v = 0, inegalitatea devine egalitate.Daca u, v ∈ V \ {0}, consideram combinatia liniara u + λv ∈ V , unde λ ∈ R este un scalar

arbitrar. Din proprietatile produsului scalar avem ca

〈u+ λv, u+ λv〉 ≥ 0, ∀λ ∈ R. (10)

Aplicand proprietatile produsului scalar, membrul stang al inegalitatii devine

〈u+ λv, u+ λv〉 = 〈u, u+ λv〉+ 〈λv, u+ λv〉 = 〈u, u〉+ 〈u, λv〉+ 〈λv, u〉+ 〈λv, λv〉

= 〈u, u〉+ λ〈u, v〉+ λ〈v, u〉+ λ2〈v, v〉 = 〈u, u〉+ 2λ〈u, v〉+ λ2〈v, v〉

15

Lucia

n Mati

ciuc


Notand cu A = 〈v, v〉, B = 〈u, v〉 si C = 〈u, u〉, inegalitatea (10) devine

Aλ2 + 2Bλ+ C ≥ 0, ∀λ ∈ R.

Cum A > 0, inegalitatea de mai sus are loc pentru orice λ real doar daca discriminantul

∆ = 4B2 − 4AC ≤ 0,

deci B2 ≤ AC ceea ce ınseamna ca 〈u, v〉2 ≤ 〈u, u〉 · 〈v, v〉.

Definitia 64 Se numeste norma pe spatiul vectorial V o functie

‖ · ‖ : V → R

care satisface conditiile:(i) ‖v‖ ≥ 0, ∀v ∈ V si ‖v‖ = 0⇔ v = 0;(ii) ‖λv‖ = |λ|‖v‖, ∀λ ∈ R, v ∈ V ;(iii) ‖u+ v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖, ∀u, v ∈ V.

Definitia 65 Un spatiu vectorial ınzestrat cu o norma ‖ · ‖ se numeste spatiu normat.

Teorema 66 Fie (V ; 〈·, ·〉) un spatiu vectorial euclidian. Atunci functia

‖ · ‖ : V → R, ‖v‖ :=√〈v, v〉, ∀v ∈ V

este o norma pe V , numita norma euclidiana indusa de produsul scalar.

Demonstratie. Vom arata ca functia definita ın enunt satisface axiomele normei. Deoarece〈v, v〉 ≥ 0, ∀v ∈ V , avem ca are sens radicalul si ca ‖v‖ =

√〈v, v〉 ≥ 0. Mai mult, ‖v‖ = 0

daca si numai daca 〈v, v〉 = 0 ceea ce ınseamna ca v = 0. Avem si

‖λv‖ =√〈λv, λv〉 =

√λ2〈v, v〉 = |λ|

√〈v, v〉 = |λ|‖v‖.

Pentru a demonstra ca ‖u + v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v‖, ∀u, v ∈ V , folosim inegalitatea Cauchy–Schwarz–Buniakovski si proprietatile produsului scalar. Astfel

‖u+ v‖2 = 〈u+ v, u+ v〉 = 〈u, u+ v〉+ 〈v, u+ v〉 = 〈u, u〉+ 〈u, v〉+ 〈v, u〉+ 〈v, v〉 =

= ‖u‖2 + 2〈u, v〉+ ‖v‖2 ≤ ‖u‖2 + 2|〈u, v〉|+ ‖v‖2 ≤ ‖u‖2 + 2√〈u, u〉

√〈v, v〉+ ‖v‖2 =

= ‖u‖2 + 2‖u‖ · ‖v‖+ ‖v‖2 = (‖u‖+ ‖v‖)2,

prin urmare ‖u+ v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖.

Remarca 67 Din teorema anterioara rezulta ca orice spatiu vectorial euclidian este un spatiu normat cunorma indusa de produsul scalar.

Remarca 68 Intr-un spatiu vetorial normat, inegalitatea Cauchy–Schwarz–Buniakovski se poate rescriesub forma

|〈u, v〉| ≤ ‖u‖ · ‖v‖ ⇔ −1 ≤ 〈u, v〉‖u‖ · ‖v‖

≤ 1.

Definitia 69 Fie V un spatiu vectorial euclidian si u, v ∈ V \ {0}. Numarul θ ∈ [0, π] definit prin

cos θ =〈u, v〉‖u‖ · ‖v‖

se numeste unghiul dintre vectorii u si v.

16

Lucia

n Mati

ciuc


Definitia 70 Un vector se numeste versor (sau vector unitar) daca norma sa este 1.

Remarca 71 Orice vector v ∈ V \ {0} are un vector unitar corespunzator notat cu v0 si dat de:

v0 =1

‖v‖· v.

Definitia 72 Se numeste distanta sau metrica pe multimea nevida M o functie

d : M ×M → R

care satisface conditiile:(i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈M si d(x, y) = 0⇔ x = y;(ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈M ;(iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈M.

Definitia 73 O multime M ınzestrata cu o distanta (metrica) d se numeste spatiu metric.

Remarca 74 Orice spatiu vectorial normat este spatiu metric cu distanta euclidiana definita de d(u, v) =‖u− v‖.

Definitia 75 Fie (V ; 〈·, ·〉) un spatiu vectorial euclidian. Doi vectori u, v ∈ V se numesc ortogonalidaca produsul lor scalar este nul, i.e. 〈u, v〉 = 0.

Definitia 76 Fie (V ; 〈·, ·〉) un spatiu vectorial euclidian si o multime de vectori U ⊂ V . Multimeatuturor vectorilor ortogonali pe vectorii din U

U⊥ := {v ∈ V : 〈u, v〉 = 0, ∀u ∈ U}

se numeste complementul ortogonal al lui U si este un subspatiu vectorial al lui V .

Teorema 77 Fie (V ; 〈·, ·〉) un spatiu vectorial euclidian. Daca vectorii v1, v2, . . . , vn ∈ V \ {0} suntortogonali doi cate doi, adica

〈vi, vj〉 = 0, i, j = 1, n, i 6= j,

atunci acestia sunt liniar independenti.

Demonstratie. Consideram combinatia liniara

α1v1 + · · ·+ αnvn = 0⇒ 〈α1v1 + · · ·+ αnvn, v1〉 = 〈0, v1〉 = 0

⇒ α1〈v1, v1〉+ α2〈v2, v1〉+ · · ·+ αn〈vn, v1〉 = 0⇒ α1‖v1‖2 = 0⇒ α1 = 0.

Inmultind cu ceilalti vectori v2, . . . , vn obtinem mod analog α2 = · · · = αn = 0.

Definitia 78 Fie (V ; 〈·, ·〉) un spatiu vectorial euclidian n-dimensional si o baza B = {e1, e2, . . . , en}.1. Baza B se numeste ortogonala daca e1, . . . , en sunt ortogonali doi cate doi, i.e.

〈ei, ej〉 = 0, i, j = 1, n, i 6= j;

2. Baza B se numeste ortonormata daca este ortogonala si toti vectorii din B au norma 1, i.e.

〈ei, ej〉 =

{1, daca i = j

0, daca i 6= j, i, j = 1, n.

Teorema 79 (Procedeul de ortonormalizare Gram–Schmidt) Fie (V ; 〈·, ·〉) un spatiu vectorial eu-clidian n-dimensional si o baza B = {u1, u2, . . . , un}. Atunci se poate construi o baza ortonormata{e1, e2, . . . , en} pornind de la baza B.

17

Lucia

n Mati

ciuc


Demonstratie. Construim mai ıntai o baza ortogonala pornind de la bazaB, iar apoi considerandversorii corespunzatori se obtine baza ortonormata cautata.Pasul 1. Definim v1 = u1.Pasul 2. Definim v2 = u2 + α21v1, unde scalarul α21 se determina punand conditia ca v2 sa fieortogonal pe v1,

0 = 〈v2, v1〉 = 〈u2 + α21v1, v1〉 = 〈u2, v1〉+ α21〈v1, v1〉,

de unde rezulta

α21 = −〈u2, v1〉〈v1, v1〉

.

Pasul 3. Definim v3 = u3 +α31v1 +α32v2, unde scalarii α31, α32 se determina punand conditia cav3 sa fie ortogonal pe v1 si v2,

0 = 〈v3, v1〉 = 〈u3 + α31v1 + α32v2, v1〉 = 〈u3, v1〉+ α31〈v1, v1〉+ α32〈v2, v1〉,

de unde observand ca 〈v2, v1〉 = 0 rezulta α31 = −〈u3, v1〉〈v1, v1〉

.

Apoi

0 = 〈v3, v2〉 = 〈u3 + α31v1 + α32v2, v2〉 = 〈u3, v2〉+ α31〈v1, v2〉+ α32〈v2, v2〉

de unde observand ca 〈v1, v2〉 = 0 rezulta α32 = −〈u3, v2〉〈v2, v2〉

.

Dupa n pasi se obtine baza ortogonalaB′ = {v1, . . . , vn}. Considerand versorii corespunzatori

vectorilor din B′ se obtine baza ortonormata B′′ = {e1, . . . , en}, unde ei =1

‖vi‖· vi, i = 1, n.

18

Lucia

n Mati

ciuc


1.5 Exercitii

1. Fie G un grup aditiv comutativ si K un camp. Are G o structura de spatiu vectorial fata deınmultirea cu scalari definita prin αx = x, ∀α ∈ K, ∀x ∈ G ? Dar daca este definita prinαx = 0, ∀α ∈ K, ∀x ∈ G ?

2. Se noteaza cuFD (R) multimea functiilor reale definite peD ⊂ R. Pentru orice f, g ∈ FD (R)se definesc operatiile

f ⊕ g = fg si α� f = fα, ∀α ∈ R.

Este FD (R) un spatiu vectorial?

3. Sa se arate ca multimea V = {x ∈ R : x > 0} cu operatiile definite de

x⊕ y = xy si α� x = xα, ∀α ∈ R, ∀x, y ∈ V,

este un spatiu vectorial peste R.

Rezolvare:

Se observa imediat ca operatiile sunt cu valori ın V , adica⊕ : V ×V → V si� : K×V → V(deci pentru orice x, y ∈ V si α ∈ R avem ca x ⊕ y ∈ V si ca α � x ∈ V ). De asemenea esteusor de verificat ca (V,⊕) este un grup comutativ (are loc asociativitatea, comutativitatea,existenta vectorului nul si a opusului oricarui vector din V ).

Sa verificam si celelalte proprietati

α� (β � x) = α�(xβ)

=(xβ)α

= xαβ = (αβ)� x,

(α+ β)� x = xα+β = xαxβ = α� ~x⊕ β � ~x,

α� (x⊕ y) = α� (xy) = (xy)α

= xαyα = α� ~x⊕ α� ~y,

1� x = x1 = x,

pentru orice α, β ∈ K si orice x, y ∈ V.

4. Sa se verifice daca urmatoarea multime{a0x

n + a1xn−1 + · · ·+ an−1x+ an : a0 6= 0, ai ∈ R, i = 1, n

}este spatiu vectorial.

5. Se considera multimea tuturor perechilor de numere reale strict pozitive V = {(x1, x2) : x1, x2 > 0} ⊂R2 si se definesc operatiile

x+ y = (x1y1, x2y2) si αx = (xα1 , xα2 ) , ∀α ∈ R, ∀x, y ∈ V.

Sa se arate ca multimea data este un spatiu vectorial peste R.

6. Sa se verifice daca urmatoarele perechi de operatii definesc pe R2 o structura de spatiuvectorial:

(a) (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, 0) , α (x1, x2) = (αx1, αx2) , ∀α, x1, x2, y1, y2 ∈ R

(b) (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, y2) , α (x1, x2) = (αx1, αx2) , ∀α, x1, x2, y1, y2 ∈ R

(c) (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2) , α (x1, x2) = (0, αx2) , ∀α, x1, x2, y1, y2 ∈ R

(d) (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2) , α (x1, x2) = (αx1 − βx2, βx1 + αx2) ,

∀α ∈ C,∀x1, x2, y1, y2 ∈ R.

7. Sa se arate ca multimea tuturor sirurilor convergente de numere reale formeaza un patiuvectorial peste R.

19

Lucia

n Mati

ciuc


8. Sa se arate ca multimea tuturor functiilor continue definite pe [a, b] formeaza un patiu vec-torial peste R. Idem pentru functiile derivabile pe (a, b) .

9. Este multimea V ={

(x1, x2, x3) ∈ R3 : 3x1 + 4x2 = 0}⊂ R3 un subspatiu vectorial al lui R3

? Dar W ={

(x1, x2, x3) ∈ R3 : x1 = 0}⊂ R3 ?

10. Fie ~x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn. Sa se precizeze care din submultimile determinate deconditiile de mai jos formeaza un spatiu vectorial si care nu.

(a) toti vectorii astfel ıncat x1 = 0;

(b) toti vectorii astfel ıncat x1 = x2;

(c) toti vectorii astfel ıncat x1x2 = 0;

(d) toti vectorii astfel ıncat x1 + x2 + · · ·+ xn = 0;

(e) toti vectorii astfel ıncat x1 = 0, x2 = 0;

(f) toti vectorii astfel ıncat x1 + x2 = 0.

11. Sa se precizeze care din submultimile de mai jos formeaza un spatiu vectorial si care nu.

(a) S1 = {(x1, x2, 0) : x1, x2 ∈ R} ;

(b) S2 = {(x1, x2, 1) : x1, x2 ∈ R} ;

(c) S3 = {(x1, x2, x3) : x1, x2, x3 ∈ Z} ;

(d) S4 = {(x1, x2, x1 + x2) : x1, x2 ∈ R} ;

(e) S5 = {(x1, x2, x3) : 2x1 + 3x2 = 0, x1, x2, x3 ∈ R} ;

(f) S6 = {(x1, x2, x3) : 2x1 + 3x2 = 1, x1, x2, x3 ∈ R} ;

(g) S7 = {(x1, x2, x3) : x1x2 = 0, x1, x2, x3 ∈ R} ;

(h) S8 = {(x1, x2, x3) : x1 + x2 + x3 > 0, x1, x2, x3 ∈ R} .

Rezolvare:

Trebuie sa verificam daca prin orice de combinatie liniara cu elemente din submultime,parasim sau nu submultimea. Fie, arbitrari, dar fixati, α, β ∈ R si x, y ∈ Si, i = 1, 8, si savedem daca αx+ βy ramane sau nu ın Si, i = 1, 8.

Se va obtine ca sunt subspatii vectoriale S1, S4 si S5.

12. Sa se arate ca multimea matricelor de forma[

a b−b a

]∈ M2 (R) este un subspatiu vecto-

rial al luiM2 (R) .

13. Sa se arate ca multimea matricelor de forma

a 2c 2bb a 2cc b a

∈ M3 (R) este un subspatiu

vectorial al luiM3 (R) .

14. Dintr-un spatiu vectorial se exclude un vector ~v. Multimea ramasa poate fi spatiu vectorial?

15. Care dintre urmatoarele submultimi sunt subspatii vectoriale ale luiM2 (R):

(a) S1 =

{[0 ab c

]∈M2 (R) : a, b, c ∈ R

};

(b) S2 =

{[1 ab c

]∈M2 (R) : a, b, c ∈ R

};

(c) S3 =

{[a bb c

]∈M2 (R) : a, b, c ∈ R

};

20

Lucia

n Mati

ciuc


(d) S4 =

{[a bc 0

]∈M2 (R) : a, b, c ∈ R, c = b− a

};

(e) S5 =

{[a 2a

3a b

]∈M2 (R) : a, b ∈ R

}?

Rezolvare:

Trebuie sa verificam ca daca prin orice de combinatie liniara cu elemente din submultime,parasim sau nu submultimea.

(a) Calculam, pentru α, β ∈ R si A,A′ ∈ S1,

αA+ βA′ = α

[0 ab c

]+ β

[0 a′

b′ c′

]=

[0 αa+ βa′

αb+ βb′ αc+ βc′

]∈ S1,

deci S1 ⊂M2 (R) este subspatiu vectorial al luiM2 (R).

(b) Calculam, pentru α, β ∈ R si A,A′ ∈ S2,

αA+ βA′ = α

[1 ab c

]+ β

[1 a′

b′ c′

]=

[2 αa+ βa′


]/∈ S2,

deoarece 2 6= 1, deci S2 ⊂M2 (R) nu este subspatiu vectorial al luiM2 (R).

(c) Calculam, pentru α, β ∈ R si A,A′ ∈ S3,

αA+ βA′ = α

[a bb c

]+ β

[a′ b′

b′ c′

]=

[αa+ βa′ αb+ βb′


]∈ S3,


(d) Calculam, pentru α, β ∈ R si A,A′ ∈ S4,

αA+ βA′ = α

[a bc 0

]+ β

[a′ b′

c′ 0

]=

[αa+ βa′ αb+ βb′

αc+ βc′ 0

]∈ S4,

deoarece, evident, αc+ βc′ = α (b− a) + β (b′ − a′) = (αb+ βb′)− (αa+ βa′), si deci S4 ⊂M2 (R) este subspatiu vectorial al luiM2 (R).

(e) Calculam, pentru α, β ∈ R si A,A′ ∈ S5,

αA+ βA′ = α

[a 2a

3a b

]+ β

[a′ 2a′

3a′ b′

]=

[αa+ βa′ 2 (αa+ βa′)

3 (αa+ βa′) αb+ βb′

]∈ S5,


16. Sa se arate ca urmatorii vectori sunt liniar dependenti si sa se afle relatia de dependenta:~v1 = (0, 1, 1), ~v2 = (1, 2, 3), ~v3 = (2,−1, 1) din R3.

Rezolvare:

Fie combinatia liniara

α1~v1 + α2~v2 + α3~v3 = ~0⇔ α1 (0, 1, 1) + α2 (1, 2, 3) + α3 (2,−1, 1) = ~0

⇔ (0, α1, α1) + (α2, 2α2, 3α2) + (2α3,−α3, α3) = (0, 0, 0)

ceea ce este echivalent cu sistemulα2 + 2α3 = 0

α1 + 2α2 − α3 = 0

α1 + 3α2 + α3 = 0.

21

Lucia

n Mati

ciuc


Calculam detA =

∣∣∣∣∣∣0 1 21 2 −11 3 1

∣∣∣∣∣∣ = 0 si rangA = 2, deci sistemul omogen este compatibil

dar nedeterminat. Rezolvand sistemul format cu primele doua ecuatii si primele doua ne-cunoscute obtinem solutia (5α3,−2α3, α3), α3 ∈ R. Luand, ın particular, α3 = 1 se obtinesolutia (5,−2, 1), deci are loc relatia de dependenta

5~v1 − 2~v2 + ~v3 = ~0,

ceea ce ınseamna ca vectorii dati sunt liniar dependenti.

Sa mentionam, vezi Teorema 50, ca rangul matricei formata cu vectorii pusi pe coloanaeste exact numarul de vectori coloana liniari independenti. In cazul nostru numarul devectori linar independenti este 2.

17. Sa se studieze dependenta liniara a urmatorilor vectori: ~v1 = (1,−1, 2), ~v2 = (−1, 3,−2),~v3 = (5,−11, 10) .

Rezolvare:


α~v1 + β~v2 + γ~v3 = ~0⇔ α (1,−1, 2) + β (−1, 3,−2) + γ (5,−11, 10) = (0, 0, 0)

= (α,−α, 2α) + (−β, 3β,−2β) + (5γ,−11γ, 10γ) = (0, 0, 0)⇔

⇔

α− β + 5γ = 0

−α+ 3β − 11γ = 0

2α− 2β + 10γ = 0


∣∣∣∣∣∣1 −1 5−1 3 −11

2 −2 −10

∣∣∣∣∣∣ = 0, prin urmare rangA <

3, iar∣∣∣∣ 1 −1−1 3

∣∣∣∣ = 2 6= 0, deci rangul rangA = 2. Sistemul de mai sus are doua necunos-

cute principale, α si β, si o necunoscuta secundara γ si este deci compatibil nedeterminat(admite o infinitate de solutii) cu solutia α = −2γ, β = 3γ, γ ∈ R. In acest caz vectorii datisunt liniar dependenti si are loc relatia

(−2γ) · ~v1 + 3γ · ~v2 + γ · ~v3 = ~0, ∀γ ∈ R

In particular pentru γ = 1 obtin relatia de dependenta −2~v1 + 3~v2 + ~v3 = ~0.

18. Sa se studieze dependenta liniara a urmatorilor vectori:

(a) ~v1 = (1, 2,−1, 1,−2) , ~v2 = (1, 3, 2,−1,−1) , ~v3 = (0, 1, 4, 2, 0), ~v4 = (2, 4,−3,−2,−3) dinR5;

(b) ~v1 = (1,−1, 2) , ~v2 = (1, 0, 3) , ~v3 = (2, 1, 1) din R3;

(c) p1 (x) = 2x2 + x+ 3, p2 (x) = x2 + 5x− 3, p3 (x) = 3x2 − x+ 7 din P2 (x) ;

(d) A1 =

[2 −13 1

], A2 =

[0 2−1 1

], A3 =

[5 12 −1

]dinM2 (R) .

Rezolvare:

22

Lucia

n Mati

ciuc


(a) Fie combinatia liniara

α1~v1 + α2~v2 + α3~v3 + α4~v4 = ~0

⇔ α1 (1, 2,−1, 1,−2) + α2 (1, 3, 2,−1,−1) + α3 (0, 1, 4, 2, 0) + α4 (2, 4,−3,−2,−3) = ~0

ceea ce este echivalent cu sistemul

α1 + α2 + 2α4 = 0

2α1 + 3α2 + α3 + 4α4 = 0

−α1 + 2α2 + 4α3 − 3α4 = 0

α1 − α2 + 2α3 − 2α4 = 0

−2α1 − α2 − 3α4 = 0.

Determinam rangA = 3 si deci sistemul omogen este compatibil dar nedeterminat. Re-zolvand sistemul format cu primele trei ecuatii si primele trei necunoscute obtinem solutia(−α4,−α4, α4, α4), α4 ∈ R. Luand, ın particular, α4 = −1 se obtine solutia (1, 1,−1,−1),deci are loc relatia de dependenta

~v1 + ~v2 − ~v3 − ~v4 = ~0,


(b) Fie combinatia liniara

α1~v1 + α2~v2 + α3~v3 = ~0⇔ α1 (1,−1, 2) + α2 (1, 0, 3) + α3 (2, 1, 1) = ~0

ceea ce este echivalent cu sistemulα1 + α2 + 2α3 = 0

−α1 + α3 = 0

2α1 + 3α2 + α3 = 0.

Determinam rangA = 3 si deci sistemul omogen este compatibil si unic determinat, decisolutia banala este unica, adica (α1, α2, α3) = (0, 0, 0) ceea ce ınseamna ca vectorii dati suntliniar independenti.

(c) Fie combinatia liniara

α1p1 (x)+α2p2 (x)+α3p3 (x) = 0⇔ (2α1 + α2 + 3α3)x2+(α1 + 5α2 − α3)x+(3α1 − 3α2 + 7α3) = 0

ceea ce este echivalent cu sistemul2α1 + α2 + 3α3 = 0

α1 + 5α2 − α3 = 0

3α1 − 3α2 + 7α3 = 0.

Calculam detA =

∣∣∣∣∣∣2 1 31 5 −13 −3 7

∣∣∣∣∣∣ = 0 si rangA = 2, deci sistemul omogen este compati-

bil dar nedeterminat. Rezolvand sistemul format cu primele doua ecuatii si primele douanecunoscute obtinem solutia

(− 16

9 α3,59α3, α3

), α3 ∈ R. Luand, ın particular, α3 = −9 se

obtine solutia (16,−5,−9), deci are loc relatia de dependenta

16p1 (x)− 5p2 (x)− 9p3 (x) = 0,

23

Lucia

n Mati

ciuc



(d) Fie combinatia liniara

α1A1 + α2A2 + α3A3 = 0⇔ α1

[2 −13 1

]+ α2

[0 2−1 1

]+ α3

[5 12 −1

]= 0

ceea ce este echivalent cu sistemul

2α1 + 5α3 = 0

−α1 + 2α2 + α3 = 0

3α1 − α2 + 2α3 = 0

α1 + α2 − α3 = 0.

Determinam rangA = 3 si deci sistemul omogen este compatibil si unic determinat, decisolutia banala este unica, adica (α1, α2, α3) = (0, 0, 0) ceea ce ınseamna ca vectorii dati suntliniar independenti.

19. Sa se studieze dupa valorile parametruluim ∈ R dependenta liniara a sistemului de vectori{~v1 = (1, 2, 3) , ~v2 = (4, 5, 6) , ~v3 = (7, 8,m)} .

Rezolvare:


α (1, 2, 3) + β (4, 5, 6) + γ (7, 8,m) = ~0⇔

α+ 4β + 7γ = 0

2α+ 5β + 8γ = 0

3α+ 6β +mγ = 0


∣∣∣∣∣∣1 4 72 5 83 6 m

∣∣∣∣∣∣ = m− 9. Daca m 6= 9 obtinem

rangul rangA = 3 deci sistemul de mai sus este compatibil unic determinat cu solutiabanala ca unica solutie α = β = γ = 0. In acest caz vectorii dati sunt liniar independenti.

Daca m = 9 atunci rangA < 3 si∣∣∣∣ 1 4

2 5

∣∣∣∣ = −3 6= 0 deci rangA = 2, adica sistemul de

mai sus are doua necunoscute principale α si β, si o necunoscuta secundara γ si este decicompatibil nedeterminat cu solutia α = γ, β = −2γ, γ ∈ R. Atunci are loc relatia

γ · ~v1 − 2γ · ~v2 + γ · ~v3 = ~0, ∀γ ∈ R.

In particular pentru γ = 1 obtin relatia de dependenta

~v1 − 2~v2 + ~v3 = ~0.

20. Sa se arate ca urmatorii vectori sunt liniar dependenti si sa se afle relatia de dependenta:

(a) ~v1 = (1, 1, 1) , ~v2 = (1,−1, 1) , ~v3 = (−1, 3,−1) din R3;

(b) ~v1 = (1, 2, 5) , ~v2 = (5, 3, 1) , ~v3 = (−15,−2, 21) din R3;

(c) p1 (x) = x2 + 5, p2 (x) = x2 − 4x+ 3, p3 (x) = x2 + 16x+ 13 din P2 (x) ;

(d) A1 =

[1 2 30 1 1

], A2 =

[2 1 52 0 4

], A3 =

[−3 6 −5−8 5 −11

]dinM2,3 (R) .

24

Lucia

n Mati

ciuc


21. Sa se arate ca urmatorii vectori sunt liniar independenti:

(a) ~v1 = (5, 3, 1) , ~v2 = (1, 1, 1) , ~v3 = (1, 4, 2) din R3;

(b) p1 (x) = x2 − 4x+ 3, p2 (x) = 5x− 4, p3 (x) = x2 + x+ 1 din P2 (x) ;

(d) E11 =

[1 00 0

], E1

2 =

[0 10 0

], E2

1 =

[0 01 0

], E2

2 =

[0 00 1

]dinM2 (R) .

22. Sa se afle numarul maxim de vectori liniar independenti din sistemul S = {~v1, ~v2, ~v3, ~v4},unde ~v1 = (1,−1, 1) , ~v2 = (2,−1, 3) , ~v3 = (1, 3, 5), ~v4 = (3, 1, 7) .

Rezolvare:

Conform Teoremei 50 rangul matricei formata cu vectorii pusi pe coloana este exact numarul

de vectori coloana liniari independenti. In cazul nostru rangul matriceiA =

1 2 1 3−1 −1 3 1

1 3 5 7

este 2, deci numarul maxim de vectori liniar independenti din S este 2.

Sa se gaseasca, ın plus, relatia de dependenta dintre primii trei vectori.

23. Sa se afle numarul maxim de vectori liniar independenti din sistemul S = {~v1, ~v2, ~v3, ~v4},unde ~v1 = (2, 1,−1) , ~v2 = (1, 2, 1) , ~v3 = (3, 0,−3), ~v4 = (1, 1, 0) .

Rezolvare:

Conform Teoremei 50 rangul matricei formata cu vectorii pusi pe coloana este exact numarul

de vectori coloana liniari independenti. In cazul nostru rangul matriceiA =

2 1 3 11 2 0 1−1 1 −3 0

este 2, deci numarul maxim de vectori liniar independenti din S este 2.

Sa se gaseasca, ın plus, relatia de dependenta dintre primii trei vectori.

24. In R4 se considera vectorii ~v1 = (1, 0, 2,−1), ~v2 = (3, 1,−1, 0) si ~v3 = (2,−2, 3, 1). Sa seprecizeze care este subspatiul vectorial generat de ~v1, ~v2 si ~v3.

Rezolvare:

Conform Teoremei 50 rangul matricei formata cu vectorii pusi pe coloana este exact numarulde vectori coloana liniari independenti. Iar dimensiunea subspatiului generat de vectoriidati este egala cu numarul maxim de vectori liniar independenti ai sistemului dat. In

cazul nostru rangul matricei A =

1 3 20 1 −22 −1 3−1 0 1

este 3, deci numarul maxim de vectori

liniar independenti dintre cei dati este 3. Prin urmare dimensiunea subspatiului generat decei trei vectori este 3.

25. In R4 se considera vectorii ~v1 = (2,−1, 3, 5) , ~v2 = (1, 3,−2, 4) . Sa se arate ca ~v1, ~v2 sunt liniarindependenti si sa se precizeze care este subspatiul vectorial generat de ~v1 si ~v2. Vectorul~v = (−1, 11,−12, 2) apartine acestui subspatiu?

Rezolvare:

Conform Teoremei 50 rangul matricei formata cu vectorii pusi pe coloana este exact numarulde vectori coloana liniari independenti. Iar dimensiunea subspatiului generat de vectorii

25

Lucia

n Mati

ciuc


dati este egala cu numarul maxim de vectori liniar independenti ai sistemului dat. In ca-

zul nostru rangul matricei A =

2 1−1 3

3 −25 4

este 2, deci numarul maxim de vectori liniar

independenti dintre cei dati este 2. Prin urmare dimensiunea subspatiului generat de ceitrei vectori este 2. Subspatiul generat de vectorii ~v1si ~v2 este, prin definitie,

{α~v1 + β~v2 : α, β ∈ R} = {α (2,−1, 3, 5) + β (1, 3,−2, 4) : α, β ∈ R}

= {(2α+ β,−α+ 3β, 3α+−2β, 5α+ 4β) : α, β ∈ R} .

Vectorul ~v = (−1, 11,−12, 2) apartine acestui subspatiu daca exista scalarii α, β ∈ R astfelıncat ~v = α~v1 + β~v2 sau echivalent

(−1, 11,−12, 2) = (2α+ β,−α+ 3β, 3α− 2β, 5α+ 4β)

ceea ce revine la rezolvarea sistemului

2α+ β = −1

−α+ 3β = 11

3α− 2β = −12

5α+ 4β = 2

Studiem compatibilitatea acestui sistem: matriceaA are rangul 2 iar A =

2 1 −1−1 3 11

3 −2 −125 4 2

are rangul tot 2 (ambii determinati de ordinul al treilea

∣∣∣∣∣∣2 1 −1−1 3 11

3 −2 −12

∣∣∣∣∣∣ si

∣∣∣∣∣∣2 1 −1−1 3 11

5 4 2

∣∣∣∣∣∣sunt nuli). Prin urmare, rangA = rang A = 2 deci sistemul este compatibil. Solutia este dataprin rezolvarea sistemului format cu primele doua ecuatii (cele principale) si primele douanecunoscute (cele principale). Obtinem α = −2 si β = 3.

Deci avem ~v = −2~v1 + 3~v2, adica ~v apartine subspatiului generat de cei doi vectori.

26. In spatiul P3 (x) se considera vectorii p1 (x) = x3 + 2x− 1, p2 (x) = 2x2 + 1, p3 (x) = x3− x.Sa se arate ca p1 (x), p2 (x) si p3 (x) sunt liniar independenti si sa se precizeze care estesubspatiul vectorial generat de p1 (x) , p2 (x) si p3 (x). Vectorul p (x) = 2x2 + 3x apartineacestui subspatiu? Dar p (x) = x+ 1 ?

Rezolvare:

Se verifica mai ıntai ca vectorii dati sunt liniari independenti (se pleaca de la o combinatieliniara egala cu zero, i.e. αp1 (x) + βp2 (x) + γp3 (x) = 0, si trebuie sa aratam ca α = β =γ = 0).

Subspatiul generat de vectorii polinoame date este, prin definitie,

{αp1 (x) + βp2 (x) + γp3 (x) : α, β, γ ∈ R} = {αp1 (x) + βp2 (x) + γp3 (x) : α, β, γ ∈ R}

={

(α+ γ)x3 + 2βx2 + (2α− γ)x+ (−α+ β) : α, β, γ ∈ R}.

Vectorul p (x) = 2x2 + 3x apartine acestui subspatiu daca exista scalarii α, β, γ ∈ R astfelıncat p (x) = αp1 (x) + βp2 (x) + γp3 (x) sau echivalent

2x2 + 3x = (α+ γ)x3 + 2βx2 + (2α− γ)x+ (−α+ β)

26

Lucia

n Mati

ciuc



α+ γ = 0

2β = 2

2α− γ = 3

−α+ β = 0

Studiem compatibilitatea acestui sistem: matricea sistemului este A =

1 0 10 2 02 0 −1−1 1 0

are rangul 3 (avem

∣∣∣∣∣∣1 0 10 2 02 0 −1

∣∣∣∣∣∣ = −6 6= 0) iar A =

1 0 1 00 2 0 22 0 −1 3−1 1 0 0

are rangul tot 3

(determinantul matricei A este este nul). Prin urmare, rangA = rang A = 3 deci sistemuleste compatibil. Solutia este data prin rezolvarea sistemului format cu primele trei ecuatii(cele principale) si primele trei necunoscute (cele principale). Obtinem α = 1, β = 1 siγ = −1.

Deci avem p (x) = p1 (x) + p2 (x) − p3 (x) adica p (x) apartine subspatiului generat de celetrei polinoame.

Prin abordare similara se va demonstra ca x + 1 nu apartine subspatiului generat. Intr-adevar, p (x) = x + 1 apartine acestui subspatiu daca exista scalarii α, β, γ ∈ R astfel ıncatp (x) = αp1 (x) + βp2 (x) + γp3 (x) sau echivalent

x+ 1 = (α+ γ)x3 + 2βx2 + (2α− γ)x+ (−α+ β)


α+ γ = 0

2β = 0

2α− γ = 1

−α+ β = 1


1 0 10 2 02 0 −1−1 1 0

are rangul 3 iar A =

1 0 1 00 2 0 02 0 −1 1−1 1 0 1

are rangul 4 (determinantul matricei A nu este

nul). Prin urmare, rangA 6= rang A deci sistemul este incompatibil. Deci p (x) nu apartinesubspatiului generat de cele trei polinoame.

27. In R4 se considera vectorii ~v1 = (1, 4,−5, 2) , ~v2 = (1, 2, 3, 1) . Sa se arate ca ~v1, ~v2 sunt liniarindependenti si sa se precizeze care este subspatiul vectorial generat de ~v1 si ~v2. Vectorul~v = (2, 14,−34, 7) apartine acestui subspatiu?

27

Lucia

n Mati

ciuc


28. In R4 se considera subspatiul V ={

(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x1 + x2 + x3 + x4 = 0}. Sa se afle

un sistem de generatori al lui V .

29. Sa se arate ca daca vectorii ~v1, ..., ~vn ∈ V sunt liniar independenti atunci si vectorii

~w1 = ~v1

~w2 = ~v1 + ~v2

...

~wn = ~v1 + ~v2 + · · ·+ ~vn

sunt liniar independenti.

30. Sa se determine λ astfel ıncat vectorii ~v1 = (λ, 0, 1), ~v2 = (0, λ,−1), ~v3 = (−1, 1, λ) din R3 saformeze o baza ın R3.

Rezolvare:

Intr-un spatiu de dimensiune n, daca avem n vectori liniar independenti, atunci acestiaformeaza o baza.

In particular, ın spatiul R3, care este de dimensiune 3, daca avem trei vectori liniar independentiatunci acestia formeaza o baza.

Conform Teoremei 50 rangul matricei formata cu vectorii pusi pe coloana este exact numarulde vectori coloana liniari independenti (iar dimensiunea subspatiului generat de cei treivectori este egala cu numarul maxim de vectori liniar independenti ai sistemului dat). In

cazul nostru rangul matricei A =

λ 0 −10 λ 11 −1 λ

depinde de λ. Astfel detA = λ3 + 2λ =

λ(λ2 + 2

), deci daca λ = 0 , atunci rangul este 2 si deci numarul maxim de vectori li-

niar independenti dintre cei dati este 2 (deci cei trei vectori nu sunt liniar independenti,deci nu pot forma o baza). Daca λ ∈ R� {0}, atunci rangul este 3, prin urmare numarulmaxim de vectori liniar independenti dintre cei dati este 3, deci cei trei vectori sunt liniarindependenti si deoarece numarul de vectori liniar independenti coincide cu dimensiuneaspatiului, vectorii dati formeaza o baza ın R3.

31. Sa se determine λ astfel ıncat vectorii ~v1 = (1, λ, 0), ~v2 = (λ, 1, 1), ~v3 = (1, 0, λ) din R3 saformeze o baza ın R3.

32. Se dau vectorii ~v1 = (1, 2,−3,−1), ~v2 = (0,−1, 1, 2), ~v3 = (−2, 0, 1, 3) si ~v4 = (−1, 1, 1, 2) dinR4. Sa se arate ca acestia formeaza o baza ın R4. Sa se determine coordonatele vectorului~v = (−2, 2,−3, 1) ın aceasta noua baza.

Rezolvare:

In spatiul R4, care este de dimensiune 4, daca avem patru vectori liniar independenti atunciacestia formeaza o baza.

Rangul matricei A este 4 deoarece

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 −2 −12 −1 0 1−3 1 1 1−1 2 3 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 16 6= 0, deci numarul ma-

xim de vectori liniar independenti dintre cei dati este 4, adica cei patru vectori sunt liniarindependenti si deci pot forma o baza ın R4.

28

Lucia

n Mati

ciuc


A scrie coordonatele vectorului ~v = (−2, 2,−3, 1) ın noua baza ın seamna a gasi scalariiα, β, γ, δ ∈ R astfel ıncat ~v = α~v1 + β~v2 + γ~v3 + δ~v4 sau echivalent

(−2, 2,−3, 1) = (α− 2γ − δ, 2α− β + δ,−3α+ β + γ + δ,−α+ 2β + 3γ + 2δ)


α− 2γ − δ = −2

2α− β + δ = 2

−3α+ β + γ + δ = −3

−α+ 2β + 3γ + 2δ = 1.

Studiem compatibilitatea acestui sistem: matriceaA are rangul 4 iar A =

1 0 −2 −1 −22 −1 0 1 2−3 1 1 1 −3−1 2 3 2 1

are rangul tot 4, prin urmare, rangA = rang A = 4 deci sistemul este compatibil unic de-terminat. Solutia este data folosind regula lui Cramer. Obtinem α = 1, β = −1, γ = 2 siδ = −1.

Deci avem ~v = ~v1 − ~v2 + 2~v3 − ~v4 adica coordonatele lui ~v ın noua baza sunt 1,−1, 2,−1.

33. Sa se determine coordonatele vectorului ~v = (10, 8, 5, 1) ∈ R4 ın baza B = {~v1, ~v2, ~v3, ~v4},unde ~v1 = (1, 0, 0, 0), ~v2 = (1, 1, 0, 0), ~v3 = (1, 1, 1, 0), ~v2 = (1, 1, 1, 1) .

34. Sa se determine coordonatele urmatorilor vectori din spatiulP3 (x) ın bazaB ={

1, x, x2, x3}

:

(a) p1 (x) = 4x3 − x2 + 5x+ 4, (b) p2 (x) = 2x− 1, (c) p3 (x) = (x+ 1)3.

35. Sa se determine o baza a spatiului vectorialMm,n (R) .

Rezolvare:

In mod evident, orice matrice dinMm,n (R) se scrie ıntr-un mod unic, cu ajutorul matricelorEij , i = 1,m, j = 1, n care au 1 la intersectia liniei i cu coloana j si ın rest zerouri, decimultimea matricelor

{Eij}i=1,m,j=1,n

formeaza un sistem de generatori pentru orice matrice

dinMm,n (R) . Se poate arata usor ca multimea{Eij}i=1,m,j=1,n

este si liniar independenta.

36. Fie subspatiul vectorial al matricelor de forma[

a b−b a

]∈ M2 (R), a, b ∈ R. Sa se deter-

mine o baza a acestui subspatiu.

37. Fie subspatiul vectorial al matricelor de forma

a 2c 2bb a 2cc b a

∈ M3 (R), a, b, c ∈ R. Sa se

determine o baza a acestui subspatiu.

38. Sa se determine coordonatele urmatorilor vectori din spatiulM2 (R) ın baza canonica a luiM2 (R) :

(a) A1 =

[−5 2

1 3

], (b) A2 =

[4 0−2 7

].

29

Lucia

n Mati

ciuc


39. Se dau vectorii ~a = 2~e1 − ~e2, ~b = ~e1 + 3~e2 dintr-un spatiu vectorial cu baza {~e1, ~e2}. Sa searate ca {~a,~b} formeaza o noua baza si sa se afle coordonatele ın aceasta baza ale vectorului~c = 3~e1 − ~e2.

40. Se dau vectorii ~a = (1, 1, 1),~b = (1, 1, 2), ~c = (1, 2, 3) din R3. Sa se arate ca {~a,~b,~c} formeazao noua baza si sa se afle coordonatele ın aceasta baza ale vectorilor ~u = (5,−1, 3) si ~v =(2, 3,−1) .

41. Se da vectorul ~a = 3~e1 + 2~e2 dintr-un spatiu vectorial cu baza {~e1, ~e2}. Sa se determinecoordonatele vectorului ~a ın baza {~f1, ~f2} stiind ca trecerea de la o baza la alta este realizatade relatiile ~f1 = 3~e1 + 4~e2 si ~f2 = ~e1 + ~e2.

42. Se dau vectorii ~a = ~e1 +~e2,~b = 2~e1 −~e2 +~e3 si ~c = ~e2 −~e3 dintr-un spatiu vectorial cu baza{~e1, ~e2, ~e3}. Sa se arate ca {~a,~b,~c} formeaza o noua baza si sa se afle coordonatele ın aceastabaza ale vectorului ~d = ~e1 + 8~e2 − 5~e3.

43. Sa se determine dimensiunea si o baza a subspatiului vectorial generat de vectorii:

(a) ~v1 = (1, 2,−1, 3), ~v2 = (2, 0,−1, 4), ~v3 = (0, 4,−1, 2) din R4;

(b) ~v1 = (−1, 0, 2,−3, 4), ~v2 = (2, 1,−3, 0,−1), ~v3 = (1, 3, 1, 1, 2), ~v4 = (1, 5, 3, 5, 1) din R5.

Rezolvare:

Dimensiunea subspatiului generat de vectorii dati este egala cu numarul maxim de vectoriliniar independenti ai sistemului dat.

(a) Rangul matricei A =

1 2 02 0 4−1 −1 −1

3 4 2


independenti dintre cei dati este 2. Prin urmare dimensiunea subspatiului generat de ceitrei vectori este 2 iar o baza este data, de exemplu, de {~v1, ~v2} .

(b) Rangul matricei A =

−1 2 1 1

0 1 3 52 −3 1 3−3 0 1 5

4 −1 2 1


independenti dintre cei dati este 3. Prin urmare dimensiunea subspatiului generat de ceipatru vectori este 3 iar o baza este data, de exemplu, de {~v1, ~v2, ~v3} .

44. Sa se determine dimensiunea si o baza a subspatiului vectorial generat de vectorii ~v1 =(2, 1, 3, 1), ~v2 = (1, 2, 0, 1), ~v3 = (−1, 1,−3, 0) din R4.

45. Se da vectorul ~a = (3,−1, 0) ın baza {~e1, ~e2, ~e3}. Sa se determine coordonatele vectorului~a ın baza {~f1, ~f2, ~f3} stiind ca trecerea de la o baza la alta este realizata de relatiile ~f1 =

2~e1 − ~e2 + 3~e3 , ~f2 = ~e1 + ~e3 si ~f3 = −~e2 + 2~e3.

46. Un spatiu vectorial are baza {~e1, ~e2, ~e3, ~e4}. Sa se afle matricea de trecere de la baza data labaza {~e3, ~e4, ~e1, ~e2} .

Rezolvare:

30

Lucia

n Mati

ciuc


Pentru a scrie matricea de trecere de la baza {~e1, ~e2, ~e3, ~e4} la baza {~e3, ~e4, ~e1, ~e2}, trebuie sascriem vectorii bazei noi descompusi ın functie de vectorii bazei vechi. Avem

~e3 = (0, 0, 1, 0)

~e4 = (0, 0, 0, 1)

~e1 = (1, 0, 0, 0)

~e2 = (0, 1, 0, 0)

Acum matricea de trecere de la o baza la alta se scrie punand coordonatele de mai sus pecoloana. Obtinem

S =

0 0 1 00 0 0 11 0 0 00 1 0 0

.

47. In spatiul P2 (x) sa se arate ca B ={p1 (x) = x2 + x+ 1, p2 (x) = x2 − x, p3 (x) = x− 1

}formeaza o baza. Sa se afle matricea de trecere de la baza canonica

{1, x, x2

}la baza B. Sa

se afle coordonatele polinomului x2 + 5 ın baza B.

Rezolvare:

Dimensiunea lui P2 (x) este 3, deci cele trei polinoame date formeaza o baza ın P2 (x) dacasi numai daca sunt liniar independete. Consideram

α(x2 + x+ 1

)+ β

(x2 − x

)+ γ (x− 1) = 0

ceea ce se reduce la sistemul α+ β = 0

α− β + γ = 0

α− γ = 0

care are matricea cu determinantul

∣∣∣∣∣∣1 1 01 −1 11 0 −1

∣∣∣∣∣∣ = 3 6= 0, deci admite solutie unica (doar

solutia banala). Deci vectorii dati sunt liniar independenti, adica formeaza o baza ın P2 (x).

Pentru a scrie matricea de trecere de la baza canonica{

1, x, x2}1 la baza B, trebuie sa

scriem vectorii bazei B descompusi ın functie de vectorii bazei canonice. Avemp1 (x) = x2 + x+ 1 = (1, 1, 1)

p2 (x) = x2 − x = (1,−1, 0)

p3 (x) = x− 1 = (0, 1,−1)

Acum matricea de trecere de la o baza la alta se scrie punand coordonatele de mai sus pecoloana. Obtinem

S =

1 1 01 −1 11 0 −1

.1De fapt, din cauza scrierii polinoamelor sub forma canonica, vom folosi descompunerea ın baza

{x2, x, 1

}.

31

Lucia

n Mati

ciuc


Pentru a gasi coordonatele altui vector ın raport cu aceasta noua baza avem doua metode.

Prima metoda este cea prezentata deja: vectorul p (x) = x2 + 5 se scrie sub forma p (x) =αp1 (x) + βp2 (x) + γp3 (x) sau echivalent

x2 + 5 = (α+ β)x2 + (α− β + γ)x+ (α− γ)

ceea ce revine la rezolvarea sistemuluiα+ β = 1

α− β + γ = 0

α− γ = 5


1 1 01 −1 11 0 −1

are

rangul 3 iar A =

1 1 0 11 −1 1 01 0 −1 5

are rangul tot 3. Prin urmare, rangA = rang A = 3

deci sistemul este compatibil. Solutia este data de regula lui Cramer: α = 2, β = −1 siγ = −3.

Deci avem p (x) = 2p1 (x)− p2 (x)− 3p3 (x).

A doua metoda ınseamna a folosi formula

Y = S−1 ·X,

unde X este matricea coloana a coordonatelor lui p (x) ın vechea baza (cea canonica) iar Yeste matricea coloana a coordonatelor lui p (x) ın noua baza B. Prin urmare

Y =

1 1 01 −1 11 0 −1

−1 105

=

1 1 12 −1 −11 1 −2

105

=1

3

6−3−9

=

2−1−3

,

adica coordonatele lui p (x) = x2 + 5 ın noua baza sunt

2−1−3

, deci p (x) = 2p1 (x) −

p2 (x)− 3p3 (x) .

48. In spatiul P3 (x) sa se afle matricea de trecere de la baza{

1, x, x2, x3}

la baza{1, (x− 2) , (x− 2)

2, (x− 2)

3}.

49. In R3 se considera bazele

B = {~v1 = (1,−1, 1) , ~v2 = (2, 0, 1) , ~v3 = (1,−2, 0)} siB′ = {~w1 = (2, 1, 2) , ~w2 = (−1,−2,−1) , ~w3 = (0, 1, 1)} .

Sa se determine legatura dintre cele doua baze si sa se determine coordonatele vectorului ~vfata de baza B′ stiind ca are coordonatele (1, 1, 0) fata de baza B.

Rezolvare:

32

Lucia

n Mati

ciuc


Pentru a scrie matricea de trecere de la baza B la baza B′, trebuie sa scriem vectorii bazeiB′ descompusi ın functie de vectorii B. Avem

~w1 = a~v1 + b~v2 + c~v3

~w2 = a′~v1 + b′~v2 + c′~v3

~w3 = a′′~v1 + b′′~v2 + c′′~v3

Rescriind acest sistem si rezolvand-ul obtinem~w1 = ~v1 + ~v2 − ~v3

~w2 = −~v2 + ~v3

~w3 = ~v1 − ~v3.

Matricea de trecere de la o baza la alta se scrie punand coordonatele de mai sus pe coloana.Obtinem

S =

1 0 11 −1 0−1 1 −1

.Exista si o metoda alternativa de a gasi matricea de schimbare de baze, cand nici unadintre cele doua baze nu sunt cele canonice. Avand ın vedere ca este usor de citit matriceade trecere de la baza canonica, fie

BcS1−−→ B si Bc

S2−−→ B′,

unde S1 si S2 sunt:

S1 =

1 2 1−1 0 −2

1 1 0

si S2 =

2 −1 01 −2 12 −1 1

.Fiind ambele baze, avem ca S1 si S2 sunt nesingulare si deci

BS−11−−→ Bc si Bc

S2−−→ B′.

Acum putem scrie direct matricea S de schimbare de baza de la B la B′ :

BS−11 S2−−−−→ Bc,

deci

S = S−11 S2 =

1 2 1−1 0 −2

1 1 0

−1 2 −1 01 −2 12 −1 1

=1

3

−2 −1 42 1 −11 −1 −2

2 −1 01 −2 12 −1 1

=

1

3

3 0 33 −3 0−3 3 −3

=

1 0 11 −1 0−1 1 −1

.Pentru a gasi coordonatele lui ~v ın baza B′ stiind ca are coordonatele (1, 1, 0) ın baza B,folosim formula

Y = S−1 ·X,

33

Lucia

n Mati

ciuc


unde X este matricea coloana a coordonatelor lui ~v ın baza initiala B iar Y este matriceacoloana a coordonatelor lui ~v ın noua baza B′. Prin urmare

Y =

1 0 11 −1 0−1 1 −1

−1 110

=

1 1 11 0 10 −1 −1

110

=

21−1

,

adica coordonatele lui ~v ın noua baza B′ sunt

21−1

, deci ~v = 2~w1 + ~w2 − ~w3.

50. In R3 se considera baza B = {~v1, ~v2, ~v3} si multimea

B′ = {~w1 = ~v1 + ~v2 − ~v3, ~w2 = 2~v1 + 3~v2, ~w3 = 3~v1 + 7~v2 + 6~v3} .

Sa se arate ca multimea B′ formeaza o baza si sa se determine coordonatele vectorului~w = 2~v1 − 7~v3 ın baza noua B′.

Rezolvare:

Se poate arata ca vectorii ~w1, ~w2, ~w3 sunt liniar independenti, folosind liniara independentaa vectorilor ~v1, ~v2, ~v3. Apoi ~w1, ~w2, ~w3 formeaza o baza deoarece sunt trei vectori liniarindependenti ıntr-un spatiu de dimensiune 3.

O metoda mai usoara consta ın a citi matricea de trecere de la B la B′. Aceasta este

S =

1 2 31 3 7−1 0 6

.Deoarece matricea de trecere de la baza B la noua multime B′ este nesingulara (detS 6=0), deducem, conform teoriei, ca multimea care s-a obtinut este tot o baza.

Pentru a gasi coordonatele lui ~w ın baza B′ stiind ca are coordonatele (2, 0,−7) ın baza B,folosim formula

Y = S−1 ·X.

Prin urmare

Y =

1 2 31 3 7−1 0 6

−1 20−7

=

18 −12 5−13 9 −4

3 −2 1

20−7

=

12−1

,

adica coordonatele lui ~w ın noua baza B′ sunt

12−1

, deci ~w = ~w1 + 2~w2 − ~w3.

51. Fie subspatiul S = {(x1, x2, x3, x4) : x1 + 2x2 + x4 = 0, x1, x2, x3, x4 ∈ R} ⊂ R4. Sa se gaseascao baza ın acest subspatiu si sa se precizeze dimensiunea subspatiului.

Rezolvare:

Avem evident ca S = {(x1, x2, x3,−x1 − 2x2) : x1, x2, x3 ∈ R} . Consideram acum vecto-rii din S, obtinuti pentru diverse valori particulare ale variabilelor x1, x2, x3 ∈ R. Ast-fel obtinem B = {~v1 = (1, 0, 0,−1) , ~v2 = (0, 1, 0,−2) , ~v3 = (0, 0, 1, 0)}. Acestia sunt liniarindependenti deoarece matricea formata cu coordonatele lor scrise pe coloana este A =

34

Lucia

n Mati

ciuc


1 0 00 1 00 0 1−1 −2 0

care are rangul 3. In plus se obtine imediat ca orice vector din S se poate

scrie ca o combinatie liniara de vectori din S, deoarece

S 3 ~v = (v1, v2, v3,−v1 − 2v2) = v1 (1, 0, 0,−1) + v2 (0, 1, 0,−2) + v3 (0, 0, 1, 0) .

DeciB este un sistem de generatori pentru S dar si un sistem liniar independent de vectori,deci B constitue o baza pentru S. Prin urmare, dimensiunea lui S este 3.

52. Fie subspatiul S =

{[a b 0−b c a+ c

]: a, b, c ∈ R

}⊂ M2,3 (R) . Sa se gaseasca o baza B1

ın acest subspatiu si sa se precizeze dimensiunea subspatiului. Sa se arate ca

B2 =

{F1 =

[2 1 0−1 1 3

], F2 =

[0 −1 01 1 1

], F3 =

[0 1 0−1 2 2

]}formeaza o baza ın spatiul S.

Rezolvare:

Consideram matrice din S obtinute pentru diverse valori particulare ale variabilelor a, b, c ∈R. Obtinem multimea

B1 =

{E1 =

[1 0 00 0 1

], E2 =

[0 1 0−1 0 0

], E3 =

[0 0 00 1 1

]}.

Se poate arata ca acestia sunt liniar independenti si se obtine imediat ca orice matrice din Sse poate scrie ca o combinatie liniara de vectori din S, deoarece

S 3 A =

[a b 0−b c a+ c

]= a

[1 0 00 0 1

]+ b

[0 1 0−1 0 0

]+ c

[0 0 00 1 1

].

DeciB1 este un sistem de generatori pentru S dar si un sistem liniar independent de vectori,deci B1 constitue o baza pentru S. Prin urmare, dimensiunea lui S este 3.

Acum, ın mod analog, se poate arata ca vectorii din B2 sunt liniar independenti. Acum,spatiul S fiind de dimensiune 3, rezulta imediat ca multimea B2 formata cu 3 vectori liniarindependenti este si sistem de generatori, deci B2 formeaza o baza ın S.

Pentru a gasi coordonatele unei matrice oarecare din S ın raport cu baza B2, trebuie saplecam de la ecuatia

A =

[a b 0−b c a+ c

]= α

[2 1 0−1 1 3

]+ β

[0 −1 01 1 1

]+ γ

[0 1 0−1 2 2

]⇔[

2α α 0−α α 3α

]+

[0 −β 0β β β

]+

[0 γ 0−γ 2γ 2γ

]=

[a b 0−b c a+ c

],

unde A ∈ S, ceea ce este echivalent cu sistemul

2α = a

α− β + γ = b

0 = 0

−α+ β − γ = −b

α+ β + 2γ = c

3α+ β + 2γ = a+ c

⇔

2α = a

α− β + γ = b

α+ β + 2γ = c

⇒ α =a

2, β =

1

6(a− 4b+ 2c) , γ =

1

3(b+ c− a) .

35

Lucia

n Mati

ciuc


Deci S 3 A =a

2B1 +

1

6(a− 4b+ 2c)B2 +

1

3(b+ c− a)B3, adica coordonatele matricei A ın

baza B1 sunt (a, b, c) iar ın baza B2 sunt(a

2,

1

6(a− 4b+ 2c) ,

1

3(b+ c− a)

).

53. Sa se determine dimensiunea si sa se indice o baza a spatiului solutiilor urmatorului sistemliniar si omogen:

x1 + x2 + x3 + x4 + 2x5 = 0

x1 − x2 + 2x3 + x4 + x5 = 0

x1 + 5x2 − x3 + x4 + 4x5 = 0.

Rezolvare:

Trebuie sa rezolvam sistemul omogen. Matricea sistemului are rangul 2, deci sistemul sereduce la x1 + x2 = −α− β − 2γ

x1 − x2 = −2α− β − γ

unde x3 = α, x4 = β, x5 = γ. Acesta are solutia x1 = 12 (−3α− 2β − 2γ) si x2 = 1

2 (α− γ),deci solutia sistemui initial este multimea

S ={(1

2(−3α− 2β − 2γ) ,

1

2(α− γ) , α, β, γ

), α, β, γ ∈ R

}. (11)

O metoda alternativa de a rezolva sistemul este si metoda lui Gauss. Astfel obtinem 1 1 1 1 21 −1 2 1 11 5 −1 1 4

∼ 1 1 1 1 2

0 −2 1 0 −10 4 −2 0 2

=

1 1 1 1 20 −2 1 0 −10 0 0 0 0

iar sistemul triunghiular obtinut se rezolva usor si are solutia data tot de multimea (11).

O baza pentru multimea solutiilor S se poate obtine dand diverse valori particulare varia-bilelor α, β, γ ∈ R. Deducem, de exemplu, baza

B = {~v1 = (−3, 1, 2, 0, 0) , ~v2 = (−1, 0, 0, 1, 0) , ~v3 = (−3,−1, 0, 0, 2)} ,

si deci S are dimensiunea 3.

54. Sa se determine dimensiunea si sa se indice o baza a spatiului solutiilor urmatoarelor sis-teme liniare si omogene:

(a)

x1 + x2 − x3 = 0

3x1 − 2x2 + 2x3 = 0

6x1 + x2 − x3 = 0

; (b)

x1 − 2x2 + x3 + x4 = 0

x1 − 2x2 + x3 − x4 = 0

x1 − 2x2 + x3 + 5x4 = 0

;

(c)

x1 + 2x2 − x3 + x5 = 0

x1 + 3x2 − 2x3 + 8x4 − 3x5 = 0

x1 + 4x2 − 2x3 + 7x4 − 4x5 = 0

x1 + x2 + 2x5 = 0.

Rezolvare:

36

Lucia

n Mati

ciuc


(a) S1 = {(0, α, α) : α ∈ R}, dimensiunea lui S1 este 1;

(b) S2 = {(2α− β, α, β, 0) : α, β ∈ R}, dimensiunea lui S2 este 2;

(c) S3 ={(−α− 3β, α+ β, 5α− 3

2β, α, β)

: α, β ∈ R}

, dimensiunea lui S3 este 2.

37

Lucia

n Mati

ciuc

CURS III – V

Documents

Transcript of CURS III – V