Curs Clasa a 10-A Fr Matematica de Postat Pe Portal

Colegiul Tehnic de Comunicaţii “Nicolae Vasilescu – Karpen” Bacău

CURS DE MATEMATICĂ

CLASA A X-A FRECVENŢĂ REDUSĂ

Profesor MĂGIRESCU CRISTINA

2013– 2014

Cristina Măgirescu - Curs de Matematică - Clasa a 10-a Fr

Cuprins

1. Numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1. Puteri 1.2. Radicali 1.3. Logaritmi

2. Funcţii. Ecuaţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1. Funcţia putere cu exponent natural 2.2. Funcţia radical 2.3. Funcţia exponenţială 2.4. Funcţia logaritmică 2.5. Ecuaţii iraţionale, exponenţiale, logaritmice 3. Probleme de numărare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.1. Permutări 3.2. Aranjamente 3.3. Combinări 4. Matematici financiare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.1. Elemente de calcul financiar: procente, dobânzi, TVA 4.2. Statistică 4.3. Calcul probabilistic 5. Vectori în plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.1. Reper cartezian în plan, coordonate, distanţa dintre 2 puncte 5.2. Coordonatele unui vector în plan, a sumei a 2 vectori , a produsului dintre un vector și un numă real 5.3. Ecuaţii ale dreptei în plan 5.4. Calcule de distanţe și arii

6. Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1


2

Cristina Măgirescu - Curs de Matematică - Clasa a 10-a Fr 1. NUMERE REALE 1.1. Puteri și radicali

Puteri cu exponent natural: an unde a∈|R, n∈|N; a0=1; a1=a;

an = orin de

a ... aa ⋅⋅⋅ ; a – baza puterii; n – exponentul puterii; (ab)n=anbn, ∀a,b∈|R, n∈|N*; (am)n=amn, ∀a∈|R, m,n∈|N*; am⋅an=am+n, ∀a∈|R, m,n∈|N*;

n

nn

ba

ba

=

, b≠0, ∀a,b∈|R, n∈|N*;

nmn

ma

aa −= , ∀a∈|R*, m,n∈|N*, m>n.

Puteri cu exponent întreg negativ: a-n= na1

unde a∈|R*, n∈|N; restul proprietăţilor se păstrează.

Puteri cu exponent raţional pozitiv: n mnm

aa = , a≥0, nm

∈ Q +;

qp

nm

qp

nm

aaa+

=⋅ , a≥0, nm

, qp

∈Q+;

( ) nm

nm

nm

baa b ⋅= , a,b≥0, nm

∈ Q +;

nm

nm

nm

b

aba

=

, a≥0, b>0, n

m∈ Q +;

( ) qp

nm

qp

nm

aa⋅

=

, a≥0, nm

, qp

∈ Q +;

qp

nm

qp

nm

a

a

a −= , a>0, n

m, q

p∈ Q +, n

m> q

p.

Puteri cu exponent raţional negativ n mnm

nm

aa

a 11==

−

, a>0, nm

∈ Q +;

restul proprietăţilor se păstrează. Puteri cu exponent real

a). Puteri cu exponent real pozitiv Fie a > 1. Se numeşte puterea x a lui a un număr real y care, pentru orice număr natural n , satisface inegalităţile :

,,,nn xx aya <≤ ,

unde numărul real x>0 are reprezentărie zecimale x′ şi x ′′ prin lipsă şi repectiv prin ados cu o eroare mai mică decât n−10 . Numărul y dat de definiţia precedentă se notează xa şi se citeşte a la puterea x. Fie 0 < a < 1 şi x un număr real pozitiv. Se numeşte puterea x a lui a un număr real y care, pentru orice număr natural n , satisface inegalităţile :

,,,nn xx aya ≤< .

Atenţie ! Oricare ar fi a > 0 şi x > 0 are loc xa > 0. 3

Cristina Măgirescu - Curs de Matematică - Clasa a 10-a Fr b). Puteri cu exponent real negativ

Dacă a > 0 şi x > 0 este un număr real negativ, atunci prin definiţie are loc: xx

aa −=

1.

Prin convenţie se scrie 10 =a .

1.2. Radicali Radicalul unui număr pozitiv Ecuaţia xn-a=0 (n∈|N, n≥2, a∈|R, a>0) are o singură rădăcină reală pozitivă;

Dacă a>0, n∈|N, n≥2 se numeşte radical de ordin n din a, numărul pozitiv a cărui putere a n-a este a; Notaţie x= n a ; Notaţie 2 a = a ; n 0 =0;

<−=>

==0 x,0 x0 , 0 x,

||2

x

xxx ;

Radicalul de ordin impar al unui număr negativ:

Ecuaţia xn-a=0 (n∈|N, n≥2, n impar, a∈|R, a<0) are o singură rădăcină reală negativă; Dacă a<0, n∈|N, n≥2, n impar, se numeşte radical de ordin n din a, numărul negativ a cărui putere a n-a este a; Notaţie x= n a = n a−− . Proprietăţile radicalilor: ∀ m, n, k∈N*, m, n, k≥2,

P1) nnn baa b ⋅= , ∀a,b≥0;

P2) n

nn

ba

ba

= , ∀ a≥0, b>0;

P3) mn m n aa = , ∀ a≥0; P4) ( n a )m = n ma ,∀ a≥0; P5) n ma = nk mka ,∀ a≥0; P6) n mn m aa = ,∀ a≥0.

Operaţii cu radicali:

1. scoaterea unui factor de sub semnul radical: se descompune numărul de sub radical în factori, se aplică proprietăţile 1, 3 şi 5; 2. introducerea unui factor sub semnul radical: se utilizează proprietăţile 1, 3 şi 5; 3. înmulţirea radicalilor de acelaşi ordin sau ordine diferite: se utilizează proprietatea 1 şi 5; * n

kn

knn aaaaaa ⋅⋅=⋅⋅⋅ . . .. . . 2121 , a1, a2, …, ak≥0;

* n m nmn mnn mmmn bababa ⋅=⋅=⋅ , a, b≥0; 4. împărţirea radicalilor de acelaşi ordin sau ordine diferite: se utilizează proprietăţile 2 şi 5;

* nn

n

ba

ba

= , ∀ a≥0, b>0;

* n mn

m

n m n

n m m

m

n

ba

b

aba

== , ∀ a≥0, b>0;

5. raţionalizarea numitorilor: * operaţia de eliminare a radicalilor de la numitorul fracţiilor;

* expresii conjugate: - expresii cu radicali care prin înmulţire dau o expresie fără radicali: ( )( ) bababa −=−+ , a, b≥0; ( )( ) baba baba ±=+± 3 233 233 .

4


1.3. Logaritmi

A. Semnificație și definiție Fie a>0 un număr realşi a≠1. Ecuaţia de forma 0, >= NNax

(1) are o soluţie unic determinată notată prin: Nx alo g= (2). Nalog se numeşte logaritmul numărului pozitiv N în baza a. Din (1) şi (2) se obţine Na Na =lo g , care ne arată că logaritmul unui număr real pozitiv este exponentul la care trebuie ridicată baza a pentru a obţine numărul dat. De exemplu, a calcula 32log2 ,înseamnă a găsi un număr real x aşa încât să avem x2 = 32. rezultă x = 5. a). Logaritmii în baza zece se mai numesc logaritmi zecimali. Se notează cu lg în loc de log10. b). Logaritmii în baza . .7 1 8 2,2=e se numesc logaritmi naturali şi se notează cu ln în loc de loge. B. Proprietăţile logaritmilor

1. Dacă A şi B sunt două numere positive, atunci are loc: BABA aaa l ol o g)(l o g +=⋅ .

Proprietatea se poate extinde pentru n numere pozitive nAAA . . . ,,, 21 şi avem : =⋅⋅⋅ ). . .(l o g 21 na AAA ⋅)(log 1Aa ⋅⋅ . . .)(l o g 2Aa )(log na A .

2. BABA

aaa l o gl o gl o g −=

.

3. Dacă A este un număr pozitiv şi m un număr real arbitrar, atunci are loc : BmA am

a l o gl o g = .

4. Dacă A este un număr pozitiv şi n ≥ 2 un număr natural, atunci are loc : An

A an

a l o g1l o g ⋅= .

Proprietatea 4 poate fi privită ca un caz particular al proprietăţii 3. C. Schimbarea bazei logaritmului aceluiaşi număr Dacă a şi b sunt două numere pozitivediferite de 1, iar A un număr pozitiv oarecare, are loc egalitatea:

bAA aba l o gl o gl o g ⋅= Numită formula de schimbare a bazei unui logaritm. Dacă în egalitatea de mai sus, A = a, atunci formula devine ;

abba

baab l o

1l o g1l o gl o g =⇒=⋅ .

D. Operaţia de logaritmare a unei expresii Operaţia de logaritmare are scopul de a transforma operaţii complicate de înmulţire, împărţire şi ridicare la putere în operaţii de adunare, scădere şi împărţire la numere naturae.

Să se logaritmeze expresia: E = 7 3 37 23 2

5 12 3 11 5 35

⋅⋅⋅⋅

Se logaritmează expresia într-o bază oarecare a :

=⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅⋅⋅

= )773 2(l o g)5 12 3 11 5(l o g7 3 37 23 2

5 12 3 11 5l o gl o g 3535

aaaa E =

=

++⋅−++ )7l o7 2l o g3 2( l o g21)5 1l o g2 3 1l o g1 5l o g 35

aaaaa

=

⋅+⋅+⋅−⋅+⋅+ )7l o

217 2l o g

213 2l o g

215 1l o g

312 3 1l o g

511 5l o g aaaaaa .

În general, dacă E este o expresie algebrică în care apar produse de puteri şi radicali, putem să-i asociem o expresie, notată logE , în care apar sume, diferenţe de logaritmi înmulţite cu anumite numere raţionale.

5


2. FUNCȚII ȘI ECUAȚII 2.1. Funcţia putere cu exponent natural f(x)=xn, f:|R→|R, n∈|N*;

monotonia: R p e ec r e s c as t r i c t f ( x ) i m p a r n

) [ 0 , p e ec r e s c as t r i c t f ( x ) p a r n 0 ,( - p e o a r ed e s c r es t r i c t f ( x ) p a r n

⇒∞⇒

∞⇒

;

paritate: o r d e f a t s i m e g r a f i c i m p a r a f ( x ) i m p a r n O Y d e f a t a s i m e t g r a f i c u p a r a , f ( x ) p a r n

⇒⇒

;

semn: 0)(i m p a r ,0

0)(p a r ,00)(2nN ,n 0 ,

<⇒<>⇒<

>⇒≥∈>

xfnxxfnx

xfx

.

2.2. Funcţia radical f(x)= n x , f:[0, ∞)→[0, ∞), n∈|N, n≥2; monotonia: f strict crescătoare pe [0, ∞); f(x)≥0 ∀x∈[0, ∞); funcţia este bijectivă; inversa ei este funcţia putere.

f(x)= n x , f:|R→|R, n∈|N, n≥2, n impar 2.3. Funcţia exponenţială Definiţie. Funcţia f:R→(0,+∞), f(x) = xa , unde a > 0, a ≠ 1 se numeşte funcţia exponenţială de bază a. Proprietăţi: 1). a). Dacă a >1, atunci pentru x > 0 avem xa >1 ar loc xa > 1, iar pentru x < 0 are loc xa < 1.

b). Dacă 0 <a <1, atunci pentru x > 0 avem xa <1, iar pentru x < 0 avem xa > 1. 2). Dacă x = 0. atunci oricare ar fi a > 0 are loc 10 =a 3). Pentru a > 1, funcţia exponenţială f:R→(0,+∞), f(x) = xa este strict crescătoare, iar pentru 0 < a < 1, funcţia este strict descrescătoare. 4). Funcţia exponenţială f:R→(0,+∞), f(x) = xa , a > 0, a ≠ 1 este bijectivă. 5). Funcţia exponenţială f:R→(0,+∞), f(x) = xa , a > 0, a ≠ 1 este inversabilă. Inversa funcţiei exponenţiale se numeşte funcţie logaritmică. Graficul funcţiei exponenţiale Graficul funcţiei exponenţiale se construieşte prin puncte. Exemplu:

Să se construiască graficul funcţiei f:R→(0,+∞), f(x) = xa , pentru

∈21,2a .

Se întocmeşte un tablou de valori pentru cele două cazuri :

x −∞ −3 −2 −1 0 1 2 3 +∞

f(x) 8

1 4

1 2

1 1 2 4 8

x −∞ −3 −2 −1 0 1 2 3 +∞

f(x) 27− 4− 2− 1 2

1 4 27

6

Cristina Măgirescu - Curs de Matematică - Clasa a 10-a Fr 2.4. Funcţia logaritmică Prin definiţie, se numeşte funcţie logaritmică funcţia xxff al o)() ,,0(: =+ ∞→R , unde a > 0, a ≠ 1. Proprietăţi :

1. 0)1( =f , ceea ce înseamnă că 01log =a . 2. Funcţia logaritmică este monotonă şi anume dacă a>1, funcţia este strictcrescătoare, iar dacă 0<a

<1, funcţia este strict descrescătoare. 3. Funcţia logaritmică este bijectivă. 4. Funcţia logaritmică este inversabilă. Inversafuncţiei ligaritmice în baza a este funcţia exponenţială

xaxff =→+ ∞ )(,),0(: R .

Dacă x ),0( +∞∈ avem xaxgxfgxfg xa

a ==== l o g)( l o g) )(()) (( şi dacă R∈y , atunci yaafygfygf y

ay ==== l o g)() )(()) (( .

Graficul funcţiei logaritmice Exemplu

Să se construiască graficul funcţiei f: (0,+∞)→R, f(x)= xalog , pentru

∈21,2a .

Se întocmeşte un tablou de valori pentu cele două cazuri :

x 0 8

1 4

1 2

1 1 2 8

+∞ f(x) | 3− 2− 1− 0 1 3

x

0 81

41

21

1 2 8

+∞ f(x) | 3 2 1 0 −1 −3

1).Graficele se găsesc la dreapta axei Oy ; 2).Trec prin punctul de coordonate (1, 0) ; 3).Graficul fiecărei funcţii este construit dintr-o singură ramură care ,,urcă’’ dacă baza a > 1 şi

,,coboară’’ dacă baza 0<a<1 4).Graficul se apropie din ce în ce mai mult de axa Oy pozitivă dacă 0<a<1 şi de axa Oy negativă

dacă a > 1. 5).Graficul funcţiei logaritmice este simetricul graficului funcţiei exponenţiale faţă de prima bisectoare.

f(x)=log1/2x f(x)=log2x

1 2 3 x

y

1 2 3 x

y

7

Cristina Măgirescu - Curs de Matematică - Clasa a 10-a Fr 2.5. Ecuaţii iraţionale, exponenţiale, logaritmice A. Ecuaţii iraţionale: ecuaţii care conţin necunoscuta sub semnul radical; rezolvarea constă în eliminarea radicalilor prin diferite transformări (ridicări la putere = cu ordinul

radicalului, înmulţire cu expresia conjugată), reducându-le la ecuaţii studiate; condiţii de existenţă numai pentru radicali de ordin par k xf2 )( : f(x)≥0 unde f(x) este o expresie în

funcţie de x; B. Ecuaţii exponenţiale

Se numeşte ecuaţie exponenţială, ecuaţia în care necunoscuta este exponent sau în care este exponentul este o expresie. În practică, atunci când avem de rezolvat o ecuaţie exponenţială, vom proceda astfel :

Pasul 1. se impun condiţii de existenţă exponenţilor şi bazei atunci când este cazul ; Pasul 2. se fac transformări echivalente folosind proprietăţie funcţiei exponenţiale până se obţin ecuaţii agebrice cunoscute ; Pasul 3. se verifică dacă valorile obţinute la pasul 2 aparţin domeniului ecuaţiei sau se fac veificări în ecuaţia dată iniţial.

a). Ecuaţii de tipul 0,1,0,)( >≠>= baaba xf . Pe baza injectivităţii funcţiei exponenţiale ecuaţia dată este echivalentă cu ecuaţia : bxf al o g)( = . În aceste ecuaţii b trebuie exprimat ca o putere a ui a(atunci când este posibil). Exemplu. Să se rezolve ecuaţia : 6 25 22

=−− xx . ⇒=−− 6 2 55 22 xx 064255 22422

=−−⇒=−−⇒=−− xxxxxx . Prin rezolvarea ecuaţiei de gradul doi se obţin soluţiile : S = −2,3. b). Ecuaţii de tipul 1,0,)()( ≠>= aaaa xgxf . Pe baza injectivităţii funcţiei exponenţiale ecuaţia dată este echivalentă cu ecuaţia algebrică )()( xgxf = , care se rezolvă cu metode cunoscute. Exemplu. Să se rezolve ecuaţia : 24 93

2 −−− = xxx . 24 93

2 −−− = xxx ⇒ 06)2(2433 22)2(242

=−⇒−=−−⇒= −−− xxxxxxxx . Prin rezolvarea ecuaţiei de gradul doi se obţin soluţiile : S = 0,6. c). Ecuaţii de tipul 1,0,1,0,)()( ≠>≠>= bbaaba xgxf . În acest caz se logaritmează ecuaţia convenabil întro anumită bază şi apoi se fac transformări pentru a obţine o ecaţie algebrică mai simplă.

Exemplu. Să se rezolve ecuaţia : 1232 += xx . Pe baza injectivităţii funcţiei logaritmice se obţine prin logaritmare în baza 10 ecuaţia echivalentă :

2l3l g23l g3l g)2l g3( l g3l g)12(2l g−

−=⇒−=−⇒+= xxxx .

8

Cristina Măgirescu - Curs de Matematică - Clasa a 10-a Fr d). Ecuaţii de tipul

R∈≠>=+⋅+ pnmaapanm a xfxf ,,,1,0,0)()(2 .

În acest caz se face substituţia 0,)( >= tta xf şi se formează o ecuaţie de gradul doi, de forma

02 +++ pn tm t , cu soluţiile căreia se revine la substituţia făcută. În final se verifică dacă valorile obţinute verifică condiţiile de existenţă ale ecuaţiei sau se verifică direct dacă egalitatea dată iniţia este adevărată. Exemplu. Să se rezolve ecuaţia : 2 724 =+ xx . Se observă o substituţie de forma 0,2 >= ttx

: 2 724 =+ xx ⇒ 02 72)2(2 7 22)2( 22 =−+⇒=+ xxxx . Ecuaţia de gradul doi ataşată 02 7 22 =−+ tt , are soluţiile 1 6,1 7−∈t . Revenind la substituţie, se acceptă numai t = 16. Se obţine 41 62 =⇒= xx . e). Ecuaţii de tipul

1,0,1,0,0)()( ≠>≠>=++ bbaacba xgxf .

Ecuaţia de gradul doi ataşată 02 7 22 =−+ tt , are soluţiile 1 6,1 7−∈t . Revenind la substituţie, se acceptă numai valoarea pozitivă t = 16. Se obţine 41 62 =⇒= xx . C. Ecuaţii logaritmice

Se numeşte ecuaţie logaritmică, ecuaţia în care necunoscuta este sub logaritm sau la baza logaritmului. În practică, vom proceda astfel :

Pasul 1. se impun condiţii de existenţă asupra bazei logaritmului şi a expresiilor de sub logaritm ; Pasul 2. se fac transformări echivalente folosind proprietăţiele funcţiei logaritmice şi a logaritmilor până se obţin ecuaţii agebrice cunoscute ; Pasul 3. se verifică dacă valorile obţinute la pasul 2 aparţin domeniului ecuaţiei sau se fac veificări în ecuaţia dată iniţial.

a). Ecuaţii de tipul ,1,0,)(l o g ≠>= aabxfa . Pe baza definiţiei logaritmului ecuaţia dată este echivalentă cu ecuaţia de forma baxf =)( . De aici se obţin soluţiile. b). Ecuaţii de tipul 1,0,1,0) ,(l o g)(l o g ≠>≠>= bbaaxgxf ba . Pe baza injectivităţii funcţiei logaritmice ecuaţia dată este echivalentă cu ecuaţia algebrică )()( xgxf = , care se rezolvă. c). Ecuaţii de tipul

R∈≠>=+⋅+ pnmaapxfnxfm aa ,,,1,0,0)(l o g)(l o g2În acest caz se face substituţia

R>= ttxfa ,)(l o g şi se formează o ecuaţie de gradul doi, de forma 02 +++ pn tm t , cu soluţiile căreia se revine la substituţia făcută. În final se verifică dacă valorile obţinute verifică condiţiile de existenţă ale ecuaţiei sau se verifică direct că egalitatea dată iniţial să fie adevărată.

9


3. PROBLEME DE NUMĂRĂRE

3.1. Permutări Fie E=1, 2, …,n o mulțime finită cu n elemente. Se numește permutare a mulțimii E orice funcție bijectivă f : E → E. Notăm permutarea în felul urmator

Notăm numarul de permutari Pn: Pn= n!=1.2.3…n

Condiție de existență (C.E.): n∈N. Convenție: 0!=1 ; 1!=1.

Pn=n(n-1)!=n(n-1)(n-2)! 3.2. Aranjamente Notăm cu An

k : sistemele ordonate cu k elemente, care se pot forma cu elementele unei mulțimi cu n elemente (n≥k), se numesc aranjamente de n elemente luate câte k. An

k=n!/(n-k)!=n(n-1)(n-2)…(n-k+1)=(n-k+1)Ank-1

C.E.: n, k∈N și n≥k Convenție: n=k ⇒ An

n = Pn 3.3. Combinări Notam cu Cn

k

Convenție: Cn0=Cn

n=1 C.E. n≥k.

Formula combinărilor complementare: Cn

k=Cnn-k

Cnk=Cn-1

k+Cn-1k-1

10


4. MATEMATICI FINANCIARE

4.1. Elemente de calcul financiar: procente, dobânzi, TVA A. Procente. Raport procentual. Determinara procentului dintr-un număr

Numim raport procentual un raport de forma p/100, p>=0. Numarul p se numjeste procent. Notatie: p% Pentru aflarea a p% dintr-un numar dat se efectueaza p/100 din numarul respectiv adica p/100

inmultit cu numarul dat. Exemplu: Un televizor costa 160$. Cu ocazia sarbatorilor de Craciun se acorda o reducere de 15%. Cat va

trebui platit pentru televizor? Raspuns: cumparatorul plateste cu 15/100 *160= 24$ mai putin. Deci, pentru un televizor se

plateste suma 160-24= 136 $. Determinarea unui numar cand se cunoaste un procent din el. Se cere sa se determine un numar s daca stim ca p% din s (adica p/100*s) este t, cu alte cuvinte

are loc egalitatea p/100*s=t, iar de aici s= (100*t)/p, reprezinta numarul determinat Exemplu: Un elev citeste 180 de pagini dintr-o carte, ceea ce reprezinta 60% din numarul total de pagini

ale cartii. Cate pagini are cartea? Raspuns: daca notam cu x numarul de pagini ale cartii, atunci din enunt (60/100)*x=180. De aici

x = 300. Deci cartea are 300 de pagini.

B. Dobanzi. Dobanda simpla Notiunea de baza a matematicilor financiare este dobanda. Dobanda este suma de bani care se

plateste de catre debitor creditorului pentru un împrumut banesc. Cea mai simpla investitie care sa aduca un venit este depunerea banilor la o banca sau la C.E.C.

pe o anumita perioada cu o anumita dobanda (care reprezinta o anumita suma de bani pe care deponentul o primeste dupa o perioada de timp). Aceasta este dobanda simpla.

Daca insa aceasta suma se adauga la cea initiala si pentru ea se calculeaza dobanda pentru o aceeasi perioada de timp, aceasta adaugandu-se la sfarsitul perioadei etc., atunci vorbim de o dobanda compusa.

Pentru cele doua tipuri de dobanzi distingem: dobanda platita, care este dobanda platita de banci sau C.E.C. deponentilor pentru sumele depuse si dobanda incasata, care este dobanda incasata de banci sau C.E.C. de la debitori pentru sumele imprumutate. Dobanda unitara este suma data de o unitate monetara pe timp de un an, este notata i. Dobanda data de 100 de unitati monetare pe timp de un an se numeste procent, notat p. Deci p=100i

Pentru S unitati monetare (u.m.) pe timp de un an se obtine dobanda: D=Si=Sp/100

Pentru S u.m. pe timp de t-ani dobanda, numita dobanda simpla este: D= S*i*t= (S*p*t)/100, unde S este suma depusa, t numarul de ani pe care s-a depus suma, iar p este procentul dobanziicare reprezinta suma care se plateste pentru suma depusa pe 100 de unitati monetare (u.m.) pentru o perioada de un an. S/100 este numarul de seturi de 100 continute de suma S, (S/100) *p este dobanda pe un an pentru suma depusa, iar D reprezinta dobanda pe n ani pentru suma S. De aici formula dobanzii p m luni este data de formula:

D=(S*p*m)/(100*12) Observatie. In finante, anul comercial are 360 zile si fiecare luna are 30 de zile. Dacă S’ este suma depusa initial pe perioada t cu dobanda unitara i atunci suma finala sau valoarea finala este:

St=S’+D=S’+S’it=S’(1+it) Exemplu: 1. La o banca un deponent pune suma de 100.000 lei cu un procent al dobanzii de 15%. Care este dobanda obtinuta dupa un an? Dar dupa trei ani? Raspuns: dupa un an dobanda este egala cu 100000*(15/100)=15000 lei, dupa trei ani valoarea acesteia este egala cu 3*15000=45000 lei. 11

Cristina Măgirescu - Curs de Matematică - Clasa a 10-a Fr 2. Sa se determine procentul dobanzii, daca o suma de 12000 u.m. aduce in sase ani o dobanda de 2.880 u.m.? Raspuns: aici S=12000 u.m., D=2880, t=6. Din formula dobanzii simple rezulta p= (100*D)/S*t=4, ceea ce inseamna ca procentul annual al dobanzii este de 4 %. C. Dobanda compusa

O suma de bani este plasata cu doband compusa (capitalizat ) daca , la sfsrsitul primei perioade, dobanda simpla a acestei perioade este adugata la suma pentru a produce la randul ei dobanda in perioada urmatoare: Fie S 0 suma initiala ; p procentul; i =100 p dobanda unitara ; t durata de plasament a sumei S 0 (numar întreg) i S t suma finala dupa t perioade, atunci:

Daca 1+i= u va fi un factor de fructificare gasit in tabele financiare pentru t=1,2,3,... pentru

diferite procente atunci suma finala va fi:

Dobanda compusa va fi pentru t- întreg: Suma initiala depusa va fi

12


D. Taxa pe valoarea adăugată

Taxa pe valoarea adaugata este o taxa care cuprinde toate fazele circuitului economic, respectiv productia, serviciile si distributia pâna la vânzarile catre consumatorii finali, inclusiv.

Din punct de vedere al bugetului de stat taxa pe valoarea adaugata este un impozit indirect care se stabileste asupra operatiilor privind transferul proprietatii bunurilor si asupra prestarilor de servicii. Este o taxa unica ce se percepe în mod fractionat corespunzator valorii adaugate la fiecare stadiu al circuitului economic. Valoarea adaugata este echivalenta cu diferenta dintre vânzarile si cumpararile aferente aceluiasi stadiu al circuitului economic.

E. Profitul

Profitul (notat cu P) reprezinta diferenta dintre venituri (notat cu V, sau incasari) si cheltuieli (sau costul total notat CT)

Deci, P=V-CT Tot profitul il putem calcula ca diferenta intre valoarea productiei si costul total. In acest caz

P=p*Q-CT unde p este pretul unitary ( pretul unui produs), iar Q este productia ( exprimata prin numarul de bucati)

Daca P se calculeaza pe o bucata (unitate) de produs atunci vorbim de profit unitar, iar daca P se calculeaza pe toata productia, atunci spunem ca este vorba de profit total. Profitul astfel calculat il numim profit brut. Dacxa din acest profit se scade impozitul pe profit se obtine ceea ce se cheama proftul net. Prin profit normal (sau unitary) intelegm profitul care asigura agentului economic probabilitatea de a-si continua activitatea. Numim rata profitului, notat rp, raportul dintre profit (P) si costurile totale (CT). Deci, rp= P/CT*100 (%) 4.2. Statistică

Statistica matematica se ocupa de gruparea, analiza si interpretarea datelor referiotare la un anumit fenomen precum si cu unele previziuni privind producerea lui viitoare.

Populatia statistica este orice multime definite de obiecte de aceeasi natura. Elementele unei populatii se numesc unitati statistice sau indivizi. Numarul de elemente care constituie populatia se numeste volumul populatiei.

Caracteristica (sau variabila statistica) a populatiei trasatura comuna tuturor unitatilor (indivizilor) populatiei. Caracteristica poate fi cantitativa sau calitativa.

Caracteristicile cantitative pot fi discrete (sau discontinue) daca variabila statistica ia valor finite sau continue daca variabila poate lua orice valoare dintr-un interval finit sau infinit.

Numarul tuturor indivizilor unei populatii se numeste efectivul total al acelei populatii. Se numeste frecventa absoluta a unei valori x a caracteristicii, numarul de unitati ale populatiei

corespunzatoare acestei valori. Se numeste frecventa relativa a unei valori xi a caracteristicii raportul dintre frecventa absoluta

ni a valorii xi si efectivul total al populatiei.

13

Cristina Măgirescu - Curs de Matematică - Clasa a 10-a Fr Elemente Caracteristice ale unei Serii Statistice:

1. Media

Se numeste media caracteristicii x numarul: t oe f e c e s t e n u n d e,k

1ii

1 ∑∑

=

==n

xnx

k

iii

2. Mediana Mediana x~ este o valoare astfel incat jumatatea valorilor ix ale esantionului sunt mai mici sau egale

cu x~ si cealalta jumate a valorilor ix sunt mai mari sau egale cu x~ . 3. Modulul Prin modulul (sau dominanta) unei serii statistice se intelege valoarea caracteristicii corespunzatoare

cele mai mari frecvente daca valorile caracteristicii sunt discrete si valoarea centrala a clasei corespunzatoare celei mai mari frecvente dacă variabila este continuă.

4. Dispersia ( ) ( ) ( )

k

kk

nnnxxnxxnxxnv

+++−++−+−

=. . .

. . .

21

2222

211

Numarul v se numeste dispersia valorilor esantionului. Numarul σ=v se numeste abaterea mediei patratelor.

( )( )∑=

−=k

iii xxxfv

1

2

( ) ( ) ( )2

1 1

222 1 xxnn

xxxfvk

i

k

iiiii −=−= ∑ ∑

= =

Problema 1

Un profesor isi ia din catalogul unei clase mediile la matematica pe semestrul trecut in vederea unor prelucrari statistice. Acestea sunt: 6, 7, 7, 5, 9, 8, 4, 10, 7, 5, 6, 6, 7, 8, 4, 4, 6, 5, 8, 6, 7, 5, 6, 9, 7.

1) Sa se completeze un tabel care contine rubricile: Nota, Frecventa absoluta, Frecventa relativa, Frecventa Cumulata. Realizati reprezentarea in batoane si poligonul frecventelor.

2) Folosind datele din tabel precizati: a. Cati elevi au note mai mici decat 5? Indicati procentul lor. b. Cati elevi au note intre 5 si 7? Indicati procentul lor. c. Cati elevi au note intre 7 si 10? Indicati procentul lor. d. Reprezentati aceste date printr-o diagrama in forma unui disc, cu a), b), c) indicate prin

sectoare ale cercului. 3) Determinati media aritmetica, mediana, dispersia si abaterea mediei patratice.

1) 2) a. 3 elevi au note sub 5. Acestia reprezinta 12%. b. 10 elevi au note intre 5 si 7. Acestia reprezinta 40%. c. 12 elevi au note intre 7 si 10. Acestia reprezinta 48%.

Nota Frecvenţa absolută Frecvenţa relativă Frecvenţa Cumulată1 0 0 02 0 0 03 0 0 04 3 0.12 0.125 4 0.16 0.286 6 0.24 0.527 6 0.24 0.768 3 0.12 0.889 2 0.08 0.96

10 1 0.04 1

0

2

4

6

4 5 6 7 8 9 10

Elevi

01234567

4 5 6 7 8 9 10

Elevi

14


<5

5-7

7-10

3) Media aritmetica = (4*3+5*4+6*6+7*6+8*3+9*2+10)/25=6.48 Mediana = 7 Dispersia = 2.48 (calculate tabelar) Abaterea = 1.57 Problema 2

In cadrul laboratorului de matematica aplicata se considera aruncarea simultana a doua zaruri de cate doi elevi si se inregistreaza suma punctelor obtinute pe cele doua zaruri. Se arunca zarurile de 30 de ori. Completati un tabel care contine urmatoarele coloane: Suma obtinuta, Frecventa absoluta, Frecventa relativa, Frecventa cumulata crescatoare. Alcatuiti diagrama in batoane. Calculati media, dispersia si abaterea mediei patratica.

Media = 7,033333333 Dispersia = 8,165567 Abaterea = 2,857545 Problema 3

La examenul de bacalaureat, cei 500 de elevi ai unui liceu au obtinut la proba de matematica rezultatele din tabelul alaturat. Sa se alcatuiasca histograma si poligonul frecventelor. Calculati media, dispersia si abaterea mediei patratica.

Suma Frecventa absoluta Frecventa relativa Frecventa Cumulata2 3 0,1 0,13 2 0,066666667 0,1666666674 1 0,033333333 0,25 2 0,066666667 0,2666666676 4 0,133333333 0,47 5 0,166666667 0,5666666678 3 0,1 0,6666666679 4 0,133333333 0,8

10 1 0,033333333 0,83333333311 4 0,133333333 0,96666666712 1 0,033333333 1

0

1

2

3

4

5

2 4 6 8 10 12

Suma

Nota Nota aprox Numar de elevi Media Dispersia Abaterea5-6 5,5 61 7,728 302,803024 1,1171466-7 6,5 34 7,728 51,2714567-8 7,5 186 7,728 9,6690248-9 8,5 168 7,728 100,1253129-10 9,5 51 7,728 160,139184

020406080

100120140160180200

5-6 6-7 7-8 8-9 9-10

Medii

020406080

100120140160180200

5-6 6-7 7-8 8-9 9-10

Medii

15

Cristina Măgirescu - Curs de Matematică - Clasa a 10-a Fr 4.3. Calcul probabilistic 1. Experienta. Proba. Eveniment Prin experienta, se intelege realizarea practica a unui complex de conditii corespunzator unui criteriu dat de cercetare a colectivitatilor statistice omogene. Realizarea o singura data a experientei, se numeste proba. EXEMPLU Se poate considera drept experienta, aruncarea unui zar perfect construit din punct de vedere geometric si omogen din punct de vedere fizic, caz in care, proba este reprezentata de aruncarea o singura data a zarului. Prin intermediul exemplului de mai sus se poate identifica notiunea de colectivitate statistica prin multimea punctelor care apar pe fetele zarului. Prin eveniment se intelege rezultatul unei probe. Evenimentele pot fi clasificate in trei mari categorii: evenimente sigure, evenimente imposibile si evenimente intamplatoare. Prin eveniment sigur, se intelege evenimentul care se produce in mod obligatoriu la efectuarea unei probe a unei experiente. Evenimentul imposibil este acela care nu se produce la efectuarea nici unei probe. Se numeste eveniment intamplator (aleator) un eveniment care poate fie sa se produca, fie sa nu se produca la efectuarea unei singure probe. EXEMPLE

1. Extragerea unei bile albe dintr-o urna care contine numai bile albe, este un eveniment sigur. 2. La aruncarea unui zar, evenimentul care consta in aparitia oricarei fete de la 1 la 6 constituie

evenimentul sigur. 3. Aparitia unui numar de 7 puncte la o proba a aruncarii unui zar este un eveniment imposibil. 4. Extragerea unei bile negre dintr-o urna care contine numai bile albe, este un eveniment imposibil. 5. Aparitia fetei 1 la aruncarea unui zar este un eveniment intamplator.

Evenimentele intamplatoare se supun unor legitati, numite legitati statistice. In acest sens, nu se poate prevedea daca intr-o singura aruncare a unui zar se obtine fata 1; daca insa se efectueaza un numar suficient de mare de aruncari se poate prevedea cu suficienta precizie numarul de aparitii ale acestei fete.Evenimentele intamplatoare pot fi compatibile si incompatibile. Doua evenimente se numesc incompatibile, daca realizarea unuia exclude realizarea celuilalt. EXEMPLE

1. Evenimentele: aparitia fetei 1 la aruncarea unui zar si respectiv aparitia fetei 2 la aruncarea unui zar, sunt incompatibile.

2. Evenimentele: aparitia fetei 1 la aruncarea unui zar si respectiv aparitia unei fete cu un numar impar de puncte la aruncarea unui zar, sunt compatibile

Evenimentele pot fi dependente sau independente. Doua evenimente se numesc independente daca realizarea unuia nu influenteaza probabilitatea realizarii celuilalt si dependente in caz contrar. EXEMPLE

1. Evenimentele: aparitia fetei 1 la aruncarea unui zar si respectiv aparitia fetei 2 la o alta aruncare a zarului, sunt independente.

2. Evenimentele: obtinerea unui numar de 7 puncte la aruncarea a doua zaruri si aparitia fetei 2 pe unul dintre doua zaruri, stiind ca acestea au suma punctelor de pe fetele de deasupra 7, sunt dependente.

2. Operatii cu evenimente Notatiile folosite sunt cele cunoscute din teoria multimilor. Multimile vor fi evenimentele aleatoare si vor fi notate cu: A, B, C,…. Fie Ω evenimentul sigur si Φ evenimentul imposibil. Acestea corespund multimii totale considerate si respectiv multimii vide. DEFINITIE Se spune ca evenimentul A implica evenimentul B, daca realizarea lui A, atrage dupa sine realizarea lui B. Notatia folosita este: BA⊂

16

Cristina Măgirescu - Curs de Matematică - Clasa a 10-a Fr OBSERVAȚII: a) Implicatia evenimentelor este echivalenta cu incluziunea multimilor.

b) Orice eveniment aleator, precum si evenimentul imposibil, implica evenimentul sigur: Ω⊂A , ΩΦ ⊂ .

DEFINIȚIE: Se spune ca un eveniment este contrar evenimentului A, daca realizarea sa consta in nerealizarea lui A. Notatia folosita este A . OBSERVATII a) Evenimentul contrar evenimentului A, este echivalent cu complementara lui A din teoria multimilor. b) Evenimentele A si A sunt contrarii, adica, daca se realizeaza A, atunci nu se realizeaza A si reciproc. DEFINITIE Reuniunea (sau adunarea) evenimentelor A si B este evenimentul S care consta in realizarea a cel putin unuia dintre evenimentele A sau B . Notatia este BAS ∪= . OBSERVATII: a) Daca evenimentele sunt reprezentate prin cercurile A și B din fig. 3 si 4, reuniunea lor este reprezentata prin interiorul hasurat al celor doua cercuri. Prin urmare, faptul ca un punct al evenimentului S se gaseste in regiunile hasurate constituie evenimentul BA∪ . In cazul prezentat in fig. nr. 4 evenimentele A si B sunt incompatibile, deoarece realizarea evenimentului A exclude realizarea evenimentului B si invers, pe cand evenimentele din fig. nr. 3 sunt compatibile, caci alegerea unui punct comun celor doua cercuri atrage dupa sine realizarea atat a evenimentului A , cat si a evenimentului B . b) Daca BA⊂ , atunci BBA =∪ . Geometric, acest lucru inseamna ca cercul A este interior lui B . c) Oricare ar fi evenimentul A , au loc relatiile :

AAA =∪ , AA =∪Φ ,

ΩΩ =∪A , Fig. nr. 4 ΩΦΩ =∪ .

DEFINITIE Intersectia (sau produsul) evenimentelor A si B este evenimentul P care consta in realizarea simultana a evenimentelor A si B . Notatia este : BAP ∩= . Prin introducerea notiunii reuniune si intersectie, unele notiuni din teoria probabilitatilor pot fi formulate in mod mai precis. Astfel, pentru evenimentele opuse se pot formula in acest moment urmatoarele DEFINITII: I) evenimentele A si A se numesc opuse daca au loc relatiile EAA =∪ si Φ=∩ AA II) Evenimentele A si B sunt incompatibile daca: Φ=∩ BA . In caz contrar ( Φ≠∩ BA ), evenimentele se numesc compatibile. Daca intr-o operatie de masa care are loc in conditii identice, un eveniment A se produce in medie de m ori, adica la m din n unitati elementare ale colectivitatii studiate, probabilitatea evenimentului A este

( )nmAP = ( )1 .

Fig. nr. 1

Ω A

B

Ω

Fig. nr. 2

A

Fig. nr. 3

A B

A B

A

17

Cristina Măgirescu - Curs de Matematică - Clasa a 10-a Fr In aceasta relatie, n reprezinta numarul cazurilor egal posibile, pe cand m reprezinta numarul cazurilor favorabile; ea sintetizeaza definitia clasica a notiunii de probabilitate: se numeste probabilitatea unui eveniment A si se noteaza cu ( )AP , raportul dintre numarul m de rezultate favorabile producerii lui A si numarul total n de rezultate posibile ale experientei, in conditia ca toate rezultatele sa fie egal posibile. Pe baza acestei definitii se vede imediat ca probabilitatea de aparitie – la o singura aruncare – a uneia

din fetele unui zar omogen si perfect construit este 61

, sau probabilitatea de aparitie a uneia din fetele

monedei este 21

etc.

Deoarece nm≤ rezulta ca probabilitatea oricarui eveniment intamplator A satisface dubla inegalitate: ( ) 1AP0 ≤≤ . Cu cat ( )AP este mai apropiat de 1, cu atat evenimentul A are loc mai des. Daca ( ) 0AP = , evenimentul sau nu are loc niciodata, sau are loc foarte rar, asa ca practic il consideram imposibil. Daca

( ) 1AP = , evenimentul are loc totdeauna, deci este un eveniment sigur. Din definitia clasica a probabilitatii ( )1 , rezulta urmatoarele: PROPRIETATI 1. Probabilitatea evenimentului sigur este 1, intrucat in acest caz nm= ; 2. Probabilitatea evenimentului imposibil este 0 , intrucat in acest caz 0m= ; 3. Probabilitatea unui eveniment intamplator este cuprinsa intre 0 si 1, intrucat in acest caz 1m0 << . Se considera evenimentele 1A , 2A , …, nA apartinand unui acelasi camp Ω , incompatibile doua cate doua, adica: ∅=∩ ji AA , ( ) ji ≠∀ , n, . . . ,2,1j,i ∈ . Atunci :

( )n21 A. . .AAP ∪∪∪ = ( ) ( ) ( )n21 AP. . .APAP ++ Conform definitiei, doua evenimente A si A sunt contrare sau complementare, daca:

EAA =∪ si Φ=∩ AA . Doua sau mai multe evenimente se numesc independente daca probabilitatea efectuarii unuia dintre ele nu este influentata de faptul ca celelalte evenimente s-au produs sau nu. EXEMPLE: a) Daca dintr-un lot continand atat piese standard cat si piese rebut se extrage cate o piesa care revine la lot dupa fiecare extractie, evenimentele care constau in extragerea unei piese standard la fiecare extractie sunt independente. b) Daca se arunca o moneda de doua ori, probabilitatea aparitiei stemei (evenimentul A) in a doua aruncare nu depinde de faptul ca in prima aruncare s-a produs sau nu aparitia valorii (evenimentul B ). Doua sau mai multe evenimente se numesc dependente daca probabilitatea unuia dintre ele este influentata de evenimentele anterioare (depunde de faptul ca evenimentele anterioare s-au produs sau nu). Fie 1A si 2A doua evenimente dependente. Se va determina in continuare probabilitatea producerii simultane a acestor evenimente, adica ( )21 AAP ∩ .

( )n

mAAP 121 =∩ .

( ) ( ) ( )2A121 APAPAAP1

⋅=∩ , relatie care constituie regula de inmultire a probabilitatilor a doua

evenimente dependente. ( ) ( )( )1

212A AP

AAPAP1

∩= .

In mod analog, probabilitatea evenimentului 1A conditionata de 2A este : ( ) ( )( )2

211A AP

AAPAP2

∩= .

DEFINITIE Daca ( ) ( ) ( )2121 APAPAAP ⋅=∩ , se va spune, ca evenimentele A si B sunt independente intre ele. Se vede ca doua evenimente sunt independente daca probabilitatea unuia dintre ele nu depinde de faptul ca celalalt eveniment s-a produs sau nu. Daca, de pilda, se arunca o moneda de doua ori este clar ca probabilitatea aparitiei stemei (evenimentul A) in prima aruncare nu depinde de faptul ca in a doua aruncare are sau nu loc evenimentul B (aparitia valorii); si invers, probabilitatea lui B nu depinde de faptul ca s-a produs sau nu evenimentul A .

18


5. VECTORI ÎN PLAN 5.1. Reper cartezian în plan, coordonate, distanţa dintre 2 puncte 5.2. Coordonatele unui vector în plan, a sumei a 2 vectori , a produsului dintre un vector și

un număr real Un reper cartezian în plan este definit de o pereche ordonată formată din două axe

perpendiculare, având aceeaşi origine. Punctul O se numeşte originea reperului. Axa Ox se numeşte axa absciselor, iar axa Oy, se numeşte axa ordonatelor. Notația uzuală pentru

un reper cartezian este xOy sau (O, i, j), unde i şi j sunt versorii (vectorii unitate) pentru axele Ox, respectiv Oy.

Pentru fiecare punct M din plan, vectorul OM se descompune în mod unic după direcțiile axelor de coordonate: OM=OM1+OM2. Vectorii OM1 şi OM2 se numesc componentele vectorului OM. De asemenea, vectorul OM se descompune în mod unic după vectorii necoliniari i şi j.

Rezultă că există numerele reale x, y e R, unic determinate, cu proprietatea că OM = x · i + y ∙·j (1) Numerele reale x, y care verifică egalitatea se numesc coordonatele vectorului OM în reperul cartezian (O, i, j).

Numerele x şi y reprezintă și coordonatele punctului M în sistemul de coordonate xOy. Numărul real x se numeşte abscisa, iar numărul y se numeşte ordonata punctului M, şi se foloseşte scrierea M(x, y). Pentru punctele M de pe axa Ox se scrie M(x, 0), pentru punctele N de pe axa Oy se scrie N(0, y), iar pentru origine se scrie O(0, 0).

Fie v un vector în planul P raportat la reperul cartezian, având ca reprezentant segmentul orientat AB, unde A(x1, y1) şi B(x2, y2).

Distanța dintre două puncte

Din egalitatea AB = OB - OA se obține că: AB = (x2i + y2j)-(x1i + y1j) = (x2-x1)i + (y2-y1)j.

Numerele x2 – x1 şi y2 – y1 reprezintă coordonatele vectorului v în reperul cartezian (O, i, j ) şi se scrie: v(x2-x1,y2-y1).

Coordonatele unei sume vectoriale și a produsului dintre un vector și un număr real

Fie v1 (a1, b2) şi v2 (a2, b2) doi vectori.

Rezultă că v1= a1i +b1j, v2 =a2i +b2j şi suma lor este: v1 + v2 = (a1+a2)i+(b1+b2)j.

Aşadar, vectorul sumă v1+v2 are coordonatele (a1+a2, b1+b2), adică se adună componentele celor 2 vectori.

Dacă α e R, atunci:

αAB = α(x2-x1)i + α(y2-y1)j (2) , iar coordonatele vectorului αAB sunt

α (x2-x1) şi α (y2-y1).

M1 i

j

O

M2

O

B

A

X1 X2

Y1

P

x

y

Y2

19


5.3. Ecuaţii ale dreptei în plan

Considerăm punctele distincte , cu .

Panta dreptei ce trece prin punctele este : .

Ecuaţia dreptei ce trece prin punctul şi are panta este : .

Dacă punctele sunt situate pe axele de coordonate adica dacă , , cu

, atunci ecuaţia dreptei are forma , numită ecuaţia dreptei prin tăieturi.

Ecuaţia carteziană generală a unei drepte : .

Panta dreptei date în formă generală este , dacă .

Dacă , atunci dreapta este verticală, deci nu are pantă.

Observaţii: Punctul aparţine dreptei (se află pe dreapta) , dacă coordonatele

sale verifică ecuaţia dreptei, adică dacă .

Punctul de intersecţie a două drepte se obţine rezolvând sistemul format din ecuaţiile dreptelor.

Două drepte , coincid dacă şi numai dacă au coeficienţii

proporţionali, adcă : .

20


5.4. Calcule de distanţe și arii

Distanţa de la un punct la o dreaptă

Distanţa de la punctul la dreapta de ecuaţie este dată de formula

Aria unui triunghi Def: Prin aria unui triunghi înţelegem aria suprafeţei din interiorul triunghiului. Formule de calcul pentru aria unui triunghi

1. Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul unei laturi a triunghiului cu înălţimea corespunzătoare ei .

ABC 2 2 2A a b ca h b h c h⋅ ⋅ ⋅

= = =

2.

sin sin sin2 2 2ABC

a c B a b C b c AA ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

3. Formula lui Heron

( )( ) ) ( )

2ABCa b cA p p a p b p c unde p semiperimetru+ +

= − − − = .

4. Aria triunghiului echilateral 2 34ABC

lA = .

ha

a

hc

chb

b

A

B CD

21


6. TESTE DE EVALUARE

TEST 1 1. Pentru ce valori ale lui x au loc radicalii?

a) ; b) c)

2 .Calculaţi: a) ( )[ ] =−⋅+−⋅+ 133621 0 88247 21 5

b)

c)

TEST 2 1. Să se raţionalizeze numitorii

;23

1);632

1);25

3)3 +++−

cba

2.Rezolvati ecuatiile: a) 572 =+x b) 229 +=− xx 3. Să se determine Rx ∈ , pentru care este definit logaritmul: ( )2

2 21 5l o g xxx −++

TEST 3

1. Să se calculeze : a) 1l o g5l o g1 2l o g 666 −+ b) ( )1l gl o g2l o g2 8 8l o g 21 21 2 +− 2.Să se rezolve următoarele ecuaţii:

a) 1)12(l o g5 =+x

b) 1)52(l o g)2(l o g 55 =−−+ xx

c) 03l o g4l o g 22

2 =+− xx

TEST 4

1. Calculaţi : a) ( ) ( )8 2 32 3 22 2

+−+ ,

b) ( )2 332 3 2 4

72 2 4

6 4 8 2:8 36 2 8

⋅ ⋅

.

2. Calculaţi : 2 2 2 23 4 5 16log log log ... log2 3 4 15

+ + + + .

3. Determinaţi x ∈R pentru care este definit ( )24log 6x x x− − − .

4.Să se rezolve următoarele ecuaţii:

a) ( ) )32(l o g1l o g 72

7 +=++ xxx

b) 2 01l o g3l o g 32

3 =+− xx

22


TEST 5 1) (5p) Se consideră în reperul cartezian xOy, punctele:A( -1,3), B(2, 1), C(3, 6). Să se găsească :

a) Ecuaţia dreptei AB. b) Ecuaţia paralelei, prin C la AB. c) Ecuaţia mediatoarei segmentului : [ A B ]. d) Lungimea medianei din C e) Ecuaţia înălţimii din C.

2) (2p) Se dau, în reperul cartezian xOy, punctele :A( - 2, -5), B( -1, -2), C( 0, 1). Demonstraţi, (indiferent de metodă) că punctele sunt coliniare. 3) (2p) Fie punctele: A(-2 , 2),B( 1,3), C(-1, 2). Sa se determine: a) Determinati perimetrul triunghiului ABC; b) Lungimea medianei din B. c) Coordonatele centrului de greutate al triunghiului ABC, G(x,y) unde

3CBA xxx

x++

= ,3

CBA yyyy

++= ,

d) Determinati ecuatia dreptei AB. e) Coordonatele simetricului punctului B, in raport cu punctul A.

23

Curs Clasa a 10-A Fr Matematica de Postat Pe Portal

Documents

Transcript of Curs Clasa a 10-A Fr Matematica de Postat Pe Portal