curs-algadts-1-1-6

7/18/2019 curs-algadts-1-1-6

http://slidepdf.com/reader/full/curs-algadts-1-1-6 1/8

Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială şi trigonometrie sferică

22 October 2013 Conferenţiar universitar Camelia Ciobanu 1

© Academia Navală "Mircea cel Bătrân" (ANMB). Orice formă de copiere, stocare, modificare şi/sau transmitere a acestui material fără acordul prealabil şi scris al ANMB este strict interzisă.

ttp://adl.anmb.ro

Forme biliniare

Timp mediu de studiu: 2 ore

Sarcini de învăţare: Prin parcurgerea acestei unităţi de studiu, studentul va fi capabil să:

Definească formele biliniare şi pătratice; Utilizeze formele pătrarice şi să le reducă pe acestea în studiul cuadricelor; Descrie metoda de reducere la forma canonică.

6. Forme biliniare. Forme pătratice. Reducerea formelor pătratice la

expresia canonică. Signatura formei pătratice

Într-unul din capitolele anterioare am introdus produsul scalar, care este o aplicaţiebiliniară hermitică pozitiv definită, prin urmare era absolut necesar introducerea acesteinoţiuni, mai ales că analiza matematică va cere determinarea punctelor critice, ori acestlucru se poate face foarte elegant folosind studiul formelor pătratice.

Structurarea capitolului este făcută pe patru subcapitole şi anume: forme biliniare,forme pătratice, reducerea formelor pătratice la expresia canonică şi signatura unei formepătratice reale.

Acest capitol urmăreşte cu precădere dezvoltarea deprinderilor de a aplica rezultatelelegate de transformari liniare, pe care le-au studiat anterior, şi sintetizarea noilor noţiuni înscopul utilizării acestora în cadrul capitolelor următoare.

6.1 Forme biliniare

Definiţia 6.1. Fien

V un K spaţiu vectorial. O aplicaţie K V V F nn : se numeşte formă

biliniară dacă este formă liniară în ambele variabile, adică: K V y x x y x F y x F y x x F n 212122112211 ,,,,,,,, ,

K V x y y y x F y x F y y x F n 212122112211 ,,,,,,,, .

Consecinţe 1) nV V V y x x F y F ,,00,,0 . Din definiţie pentru:

0,0

0

,,0

2

22221

y F

y x F y x F V

Analog pentru 0,0 21 .2) B B

t y B x B F M x y x F ,, . În adevăr:

ye F

ye F

ye F

x y B F M x y x B F y x F

n

B

t

B

t

B

,

,

,

,,,, 2

1

,

Bniii

Bi Bii

yee F ee F ee F

y B xe F M y Be F ye F

,,,

,,,

21

,

B Bt y B x B F M x y x F ,),( ,

7/18/2019 curs-algadts-1-1-6


Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială şi trigonometrie sferică Forme biliniare



unde:

nnnn

n

n

ee F ee F ee F

ee F ee F ee F

ee F ee F ee F

B x B F M

,,,

,,,

,,,

:,

21

22212

12111

.

Exemplu : Produsul scalar pe un spaţiu vectorial real.

Teorema 6.1. Fie neee B ,,, 21 o bază arbitrară în .n

V O formă biliniară

K V xV F nn : este complet determinată dacă se cunosc valorile sale:

n jiee F ij ji ,1,,,

Definiţia 6.2. 1). Forma biliniară se numeşte simetrică dacă nV y x x y F y x F ,,,, .

2) Forma biliniară se numeşte antisimetrică dacă nV y x x y F y x F ,,,, .

Exemplu: Produsul scalar pen

V - spaţiu vectorial real este o formă biliniară simetrică.

Teorema 6.2. 1). O formă biliniară este simetrică dacă şi numai dacă K nS B B F M ,, .

2) O formă biliniară este antisimetrică, dacă şi numai dacă K n A B B F M ,, oricare ar fi nV B .

Teorema 6.3. Fie o formă biliniară K V V F nn : dată în baza neee B ,,, 21 şi fie ''

2

'

1

' ,,, neee B o altă bază a lui .n

V Dacă ),( ' B B M este matricea de trecere de la B la

baza ' B , atunci:

''' ,,',, B B M B B F M B B M B B F M t .

Definiţia 6.3. Fie K V V F : o formă biliniară simetrică, mulţimea

KerF V y y x F V x :,0, se numeşte nucleul formei biliniare.

Teorema 6.4. Nucleul unei forme biliniare simetrice este un subspaţiu vectorial al lui V.

Demonstraţie. Fie

V z z y F

z x F KerF y x

,

0,

0,, .

Pentru orice 0,,,, z y F z x F K , adică

V z z y x F ,0, ,

deci KerF y x .

6.2 Forme pătratice

Definiţia 6.4. Aplicaţia K V P : definită prin egalitatea Vx),,( x x F x P în care

y x F , e o formă biliniară simetrică, se numeşte forma pătratică asociată formei biliniaresimetrice F , iar F se numeşte forma polară sau forma dedublată a lui P .

7/18/2019 curs-algadts-1-1-6





Exemplu: Forma pătratică corespunzătoare produsului scalar real este pătratul normei

euclidiene 2

, x x x .

Teorema 6.5. Dacă se cunoaşte forma pătratică x P atunci forma biliniară simetrică

y x F , este determinată prin:

V y x y P x P y x P y x F ,,2

1, .

Demonstraţie.

y x F x y F y x F

y y F x x F y y F x y F y x F x x F

y y F x x F y x y x F y P x P y x P

,,,21

,,,,,,2

1

,,,2

1

2

1

Consecinţe: Expresia formei pătratice asociată formei biliniare simetrice într -o bază V B se obţine

din expresia formei biliniare simetrice făcând y x astfel B B

t x B x B F M x x P , .Matricea şi rangul formei pătratice P coincid cu matricea şi rangul formei biliniare

simetrice F asociate lui P .

Definiţia 6.5. Fie K V V F : o formă biliniară simetrică. Vectorii V y x , se numesc

ortogonali în raport cu F , dacă 0, y x F .

Definiţia 6.6. Fie1

V un subspaţiu vectorial al K - spaţiu vectorial V şi o formă biliniară

simetrică K V V F : .

Mulţimea 11 :,0, V V x y x F V y se numeşte complementul ortogonal al lui1

V

în raport cu F .

Definiţia 6.7. Fie K V V F nn : o formă biliniară simetrică. O bază

neee B ,,, 21 al luin

V se numeşte ortogonală în raport cu forma F dacă

n jiee F ijij ji ,1,,, .

De aici rezultă că într -o bază ortogonală avem:

K n D B B F M

nn

,

000

000

000

, 22

11

.

Într-o astfel de bază avem:

n

i

iiii y x y x F 1

, ,

iar:

n

i

iii x x P 1

2 .

7/18/2019 curs-algadts-1-1-6





Aceste expresii se numesc respectiv expresia canonică asociată formei biliniare

simetrice F şi expresia canonică asociată formei pătratice P. Se spune în acest caz căforma biliniară simetrică, respectiv forma pătratică, au fost reduse la expresia canonică.

6.3 Reducerea formelor pătratice la expresia canonică

Teorema 6.6. (Metoda Jacobi) Fie RV P n : o formă pătratică şi B B F M , matricea

ei în baza neee B ,, 21 . Dacă toţi determinanţii:

B B F M n

,det,,,,,1

333231

232221

131211

3

2221

1211

21110

numiţi determinanţi minori principali ai matricei B B F M , sunt nenuli, atunci există o

bază ,,,,, '''

2

'

1

'

nn V Beee B în raport cu care expresia formei pătratice, devine:

n

i

i

i

i x x P 1

2'1 ,

în care

n

j

j je x x1

'' .

Teorema 6.7. Fien

E un spaţiu vectorial euclidian. Dacă R E P n : e o formă

pătratică, atunci există o bază ''

2

'

1

' ,,, neee B a luin

E în raport cu care expresia

canonică a formei este:

n

i

ii x x P 1

2' ,

în care sunt valorile proprii ale matricei formei B x B F M , , fiecare valoare proprie este

scr isă de atâtea ori cât este multiplicitatea sa, iar:

n

j

j je x x1

'' .

Demonstraţie. Deoarece RnS B B F M ,, ea admite numai valori proprii reale şi se

poate diagonaliza. Atunci baza căutată ''

2

'

1

' ,,, neee B este formată din vectorii proprii

ortonormaţi ai matricei formei. În această bază obţinem expresia canonică a formei.

6.4 Signatura unei forme pătratice reale

Definiţia 6.8. Fie o formă pătratică R E P n : dacă:

1. n E x x P ,0 , se numeşte pozitiv semidefinită;

2. n E x x P ,0 se numeşte pozitiv definită;

3. n E x x P ,0 se numeşte negativ definită;

4. n E x x P ,0 se numeşte negativ semidefinită.

7/18/2019 curs-algadts-1-1-6





Teorema 6.8.(Criteriul lui Sylvester). Dacă sunt îndeplinite condiţiile teor emei Jacobi

(8.6.), atunci forma pătratică este pozitiv definită dacă şi numai dacă nii ,1,0 şi

negativ definită dacă şi numai dacă nk k

k ,1,01 .

Exerciţii

1. Forme pătratice; 2. Se dă forma pătratică :h R3 R prin expresia analitică:

3213231

3

3

2

2

2

1 ,,,44564 x x x x x x x x x x xh R3

în baza canonică. a) Folosind metoda Jacobi, să se găsească expresia canonică şi signatura sa; b) Să se determine polara formei h şi expresia canonică a polarei;

c) Să se găsească o bază în raport cu care h are expresia canonică determinată la a). 3. Fie aplicaţia : g R3 R3R definită prin:

321321 ,,,,, y y y y x x x x R3,

23321331332211 22335, y x y x y x y x y x y x y x y x g

a) Să se arate că g este formă biliniară simetrică;

b) Să se determine matricea, determinantul şi rangul formei biliniare g în baza

canonică;

c) Să se determine subspaţiul nul al formei biliniare g ;

d) Să se determine matricea şi rangul formei biliniare g în baza:

0,0,1,0,1,1,1,2,1 3211 B ;

e) Să se găsească forma pătratică h corespunzătoare transformării g şi să se

stabilească expresia sa canonică;

f) Să se găsească expresia canonică a f ormei biliniare g .

Rezolvări: 1. A se vedea paragraful 6.2 pagina 2.2. a) Matricea formei pătratice în baza canonică este:

522

260

204

; Bh M

Determinanţii principali sunt:

80;det,24

60

04,4,1 3210 Bh M

7/18/2019 curs-algadts-1-1-6





Deci 2

32

2

110

3

6

1

4

1 y y y yh

Cum hii 3,1,0 este pozitiv definită.

b) Forma pătratică h şi polara sa : g : g R3 R3 R au aceeaşi matrice. Deci:

33231332223111 5222624, y x y x y x y x y x y x y x y x g

iar expresia sa canonică este:

'

3

'

3

'

2

'

2

'

1

'

110

3

6

1

4

1, y x y x y x y x g

c) O bază 321 ,,' B în care h are expresia canonică de la a) se determină

luând vectorii de forma:

3332321313

2221212

1111

ececec

ecec

ec

Pentru a determina1

, punem condiţia 1, 11 e g , rezultă4

111 c adică

0,0,4

11

.

Determinarea vectorului 2 se face din condiţiile 0, 12 e g şi 1, 22 e g . Astfel:

16

04

1,,1,

0,,0,

22

21

2222212122

1222111112

c

c

ee g cee g ce g

ee g cee g ce g

Deci 021 c şi

0,6

1,0

6

1222c .

Vectorul 3 se determină din condiţiile:

10

3

10

1

20

3

1522

026

024

1,

0,

0,

33

32

31

333231

3332

3331

33

23

13

c

c

c

ccc

cc

cc

e g

e g

e g

De unde

10

3,

10

1,

20

33

.

Prin urmare, în baza h B ,,,' 321 şi g au expresiile canonice determinate la

punctele a) şi b).

7/18/2019 curs-algadts-1-1-6





3. a) Verificăm liniaritatea în prima variabilă analog, vericându-se liniaritatea în adoua variabilă de unde rezultă că g este biliniară.

Fie: ',, x x y R3 şi , R y x x g ,':

y x g y x g

y x y x y x y x y x y x y x

y x y x y x y x y x y x y x

y x x y x x y x x y x x

y x x y x x y x x

,',

22335

22335

2233

5

2

'

33

'

21

'

33

'

13

'

32

'

21

'

1

23321331332211

2

'

333

'

221

'

333

'

11

3'332

'221

'11

deci g este liniară în primul argument;

b) în baza 1,0,0,0,1,0,0,0,1 321 eee B avem

.5,,2,

,3,,2,,1,,0,

,3,,0,,1,

3323

13322212

312111

ee g ee g

ee g ee g ee g ee g

ee g ee g ee g

Deci matricea asociată va fi:

0;det,

523

210

301

;

B B g M B B g M

Deci 2; B B g M rang g rang ;

c) Notăm cu Ng subspaţiul nul al transformării g ,

y Ng R3 x y x g ,0, R3.

Deoarece x R3 anulează pe g , în particular,

0,,0,,0, 321 ye g ye g ye g , unde

1,0,0,0,1,0,0,0,1 321 eee . Rezultă sistemul liniar omogen:

0523

02

03

321

32

31

y y y

y y

y y

a cărui matrice ataşată are rangul doi.

Luând 21, y y necunoscute principale şi ,3 y R, obţinem 2,3 21 y y . Deci:

1,2,3 Ng R

d) În noua bază avem 2,,2,,4, 312111 g g g

7/18/2019 curs-algadts-1-1-6





1,,1,,2,

1,,0,,2,

332313

322212

g g g

g g g

112102

224

; 11 B B g M

2;0;det 1111 B B g rangM g rang B B g M

Schimbarea de bază duce pe de altă parte şi la ecuaţia:

1111 ,;,; B B M B B g M B B M B B g M t .

Cum

001

011

121

;

001

012

111

; 11 B B M B B M t şi

112

102

224

356

010

112

001

011

121

001

012

111

523

210

301

001

011

121

; 11 B B g M

e) Forma pătratică :h R3 R are aceeaşi matrice cu g şi anume:

523

210

301

; Bh M

Ecuaţia caracteristică:

0

523

210

301

0;det 3

I Bh M

are rădăcinile 0,2,7 321 , iar expresia canonică a transformării h este:

2'

2

2'

1 27 x x xh

unde '

2

'

1, x x sunt coordonatele lui x în baza corespunzătoare expresiei canonice;

f) Se deduce de la punctul e)

'

2

'

2

'

1

'

1 27, y x y x y x g .

curs-algadts-1-1-6

Documents

Transcript of curs-algadts-1-1-6