8/8/2019 CURS 9-10 B

1/22

6. CALCULUL N SECIUNI NORMALE LASTAREA LIMIT DE REZISTENT

Momentele ncovoietoare Mx i My, care acioneaz ntr-o seciune transversal a unui element aparinndunei structuri spaiale, sunt n majoritatea cazurilor nsoite de o for axial de compresiune sau de ntindere N.Comportamentul seciunii n diferite stadii de lucru, cu precdere n cel de rupere, depinde n mod substanial de

interdependena ce exist ntre eforturile Mx, My i N. Aceast legtur este redat de suprafaa limit deinteraciune Mx - My - N (fig. 6.4), care devine o curb dac unul din cele trei eforturi secionale lipsete (fig. 6.5).

Cazurile reprezentative ale elementelor supuse la ncovoiere cu for axial de compresiune sunt cele alstlpilor sau diafragmelor, n timp ce cazurile reprezentative ale elementelor supuse la ncovoiere cu for axialde ntindere sunt cele ale tiranilor i pereilor rezervoarelor supraterane.

n mod convenional, perechea M - N poate fi nlocuit cu o for excentric N, plasat la distana e 0 =M/N fa de centrul de greutate al seciunii, distan denumit excentricitate (fig. 6.1). Avnd n vedere schemadin aceast figur, cazul ncovoierii cu for axial se mai numete i solicitare excentric (compresiune sauntindere excentric).

Atunci cnd n seciunile monosimetrice ale stlpilor exist momente ncovoietoare Mx i My dup celedou axe principale ale seciunii, se spune c solicitarea este de compresiune excentric oblic.

Fig. 6.1 ncovoierea cu for axial sau solicitarea excentric

Zona ntins a elementelor se armeaz cu o cantitate corespunztoare de armtur ntins Aa, deoarecebetonul nu este capabil s preia ntinderile produse de eforturile secionale induse de ncrcrile ce acioneaz pe

element. Pe lng armtura din zona ntins Aa se folosete i armtur n zona comprimat'aA (fig. 6.1c), avnd

n vedere o serie de motive, cum ar fi: posibila alternan a momentelor ncovoietoare, mrirea capacitii portantea zonei comprimate, ductilizarea seciunilor/elementelor n cazul aciunilor seismice etc. Dubla armare poate fi

nesimetric ( )'aa AA sau simetric ( )'aa AA = . De asemenea, armtura poate fi dispus i pe conturul seciunii,

nu numai n vecintatea fibrelor cu deformaii specifice extreme. Astfel de cazuri sunt cele ale stlpilor cuseciune dreptunghiular supui la compresiune excentric oblic (fig. 6.1d), ale elementelor cu seciune circular(fig. 6.1e) sau cu seciune inelar (fig. 6.1f).

Deoarece elementele structurale prezint imperfeciuni de execuie i pentru c seciunile transversale nusunt omogene, se produc modificri ale mrimii eforturilor secionale determinate n raport cu axele teoretice alestructurii. Aceste efecte se introduc n calcul prin intermediul unei excentriciti adiionale ea, aleas n aa felnct s conduc la creterea valorii momentului ncovoietor. Mrimea excentricitii adiionale n cazulelementelor comprimate este:

ea = h/30 dar minim 20 mm (6.1)unde h este dimensiunea seciunii paralel cu planul ncovoierii.

n cazul elementelor ntinse, rigiditatea acestora este redus i din acest motiv influena imperfeciunilor

de execuie i a neomogenitilor seciunii este nesemnificativ, de aceea excentricitatea adiional nu este luat nconsiderare (ea = 0).

128

8/8/2019 CURS 9-10 B

2/22

Elementele supuse la ncovoiere cu for axial de compresiune sufer i deformaii de ordinul II, caremresc valoarea eforturilor obinute din calculul static de ordinul I. Msura influenei efectelor de ordinul II este

coeficientul III M/M= . Influena efectelor de ordinul II se resimte n primul rnd asupra momentelor

ncovoietoare din stlpii cadrelor, dar i asupra momentelor ncovoietoare din rigle.Avnd n vedere cele de mai sus, n calculul elementelor supuse la ncovoiere cu for axial se ia n

considerarea valoarea corectat a momentului ncovoietor, dat de relaiile:

==+=

n t i n s ee l e m e n t ep e n t r u-NeM

c o m pe l e m e n t ep e n t r u-NeN )e( MM0 c

0 ca

*(6.2a,b)

unde excentricitatea de calcul este:

( )

n t i n se l e m e n t ep e n t r u-e

c o m pe l e m e n t ep e n t r u-eee

0

a0

0 c

+

= (6.3a, b)

Structurile antiseismice de tipul cadrelor i diafragmelor din beton armat prezint unele particulariti decalcul decurgnd din comportarea lor real la aciunea seismului. Din acest motiv, eforturile obinute din grupareaspecial de ncrcri se corecteaz conform Codului de proiectare pentru structuri n cadre din beton armat,respectiv Codului pentru proiectarea construciilor cu perei stucturali din beton armat.

6.1 STAREA DE DEFORMAIICedarea unei seciuni supuse la ncovoiere cu for axial este ilustrat de diagrama deformaiilor

specifice pe nlimea seciunii transversale, care trebuie s treac n mod obligatoriu prin unul din cele treipuncte A, B sau C reprezentate n figura 6.2 - regula celor trei pivoi. Din punct de vedere grafic, pivoiireprezint punctele definite prin deformaiile specifice limit ale betonului i armturii. Se disting trei domenii nfuncie de modul cum se poate produce cedarea seciunii.

DOMENIUL 1 pivot AAcest domeniu este caracterizat de cedarea prin deformaii excesive a celei mai ntinse armturii Aa, n

care s-a atins deformaia specific ultim au . Efortul unitar n aceast armtur este aa R= . Dreapta A-A'reprezint ntinderea centric. Existena unui moment ncovoietor produce rotirea seciunii n jurul pivotului A.Subdomeniul 1a reprezint ntinderea centric sau cea excentric cu mic excentricitate. Seciunea este fisuratn ntregime, axa neutr fiind plasat n afara acesteia. Creterea momentului ncovoietor conduce lasubdomeniul 1b, care reprezint ntinderea excentric cu excentricitate mare, sau ncovoierea n cazulelementelor cu procente reduse de armare. Deoarece axa neutr este plasat n seciune, exist beton activ,comprimat, care eventual poate ajunge la limita capacitii portante numai n situaia limit cnd seciunea

deformat se suprapune peste liniaAB.DOMENIUL 2 pivot BAcest domeniu este caracterizat prin zdrobirea betonului comprimat 5,3( bu = 0/00) Seciunea se rotete

n jurul pivotului B pe msura reducerii excentricitii forei. Armtura Aa este ntins, efortul unitar a

depinznd de mrimea deformaiei specifice a. Avnd n vedere c de regul /ER aaapbu'

a = ,

nseamn c armtura 'aA a atins limita de curgere ( )a'a R= . Subdomeniul 2a reprezint ncovoierea cu/fr

for axial, adic ncovoierea pur i solicitrile excentrice cu excentricitate mare, denumite n continuare: cazulI de compresiune, respectiv ntinderea excentric cu mare excentricitate. Deformaia specific a armturii ntinseeste cuprins ntre au i ap i deci a = Ra. Reducerea intensitii forei axiale de ntindere produce rotireaseciunii n jurul pivotului B, spre subdomeniul 2b. Creterea intensitii forei axiale de compresiune conduceseciunea spre dreaptaB-B', care reprezint o situaie aparte: starea de balans. Aceast stare este caracterizat prinnceperea curgerii armturii ntinse ( a = Ra; ap = Ra/EP), n paralel cu zdrobirea betonului comprimat ( bc =

129

8/8/2019 CURS 9-10 B

3/22

Rc; bc = b lim = 3,50/00). Starea de balans reprezint situaia ideal de cedare a seciunii din beton armat.Subdomeniul 2b se atinge dup ce seciunea a depit dreapta de balans B-B'. Armtura Aa este nc ntins, darnu curge, deoarece 0 a < ap, respectiv a < Ra. Axa neutr este plasat n seciune i nlimea zoneicomprimate devine tot mai mare pe msura creterii intensitii forei axiale de compresiune. n subdomeniul 2ctoate armturile sunt comprimate, ns n armtura Aa efortul unitar de compresiune este a < Ra. Axa neutratinge, la limit, marginea inferioar a seciunii care devine comprimat n ntregime. Subdomeniile 2b i 2creprezint o parte a compresiunii excentrice cu excentricitate mic, denumit n continuare cazul II de

compresiune, care se extinde i n domeniul urmtor. ap = Ra / Ea au = 10 0/00 bc = 2,0 0/00 bu = 3,5 0/00

Fig. 6.2 Diagrama deformaiilor specifice sub efectul ncovoierii cu for axial

DOMENIUL 3 pivot CAxa neutr este plasat n afara seciunii, care este comprimat n ntregime. Pe msura creterii

intensitii forei axiale de compresiune, rotirea seciunii se produce n jurul pivotului C. Se produce zdrobirea betonului comprimat, ceea ce nseamn i cedarea seciunii. Armtura Aa este comprimat, iar deformaia

specific poate s fie mai mare sau mai mic dect ap = Ra / Ep, ceea ce nseamn a Ra. Armtura'aA

curge, aa cum s-a artat la descrierea domeniului 2.Poziia pivotului C se obine din asemnarea triunghiurilorOBOiDBC(fig. 6.2):

CDh

bcbubu =

, rezultnd:

h7

4hCDrespectiv,h

7

3h-1CD

bu

bc'

bu

bc =

==

=

Rotirea seciunii n jurul pivotului C atrage dup sine modificarea deformaiei specifice maxime lacompresiune a betonului b lim, care ncepe s scad, deprtndu-se de bu=3,50/00 i tinznd spre bc=20/00. Pemsura creterii deformaiei specifice din fibra inferioar, starea de deformaii devine tot mai uniform,apropiindu-se de cazul solicitrii centrice (dreapta DD) cnd deformaia specific maxim n momentul ruperiieste bc (pct.5.4.3.2, fig. 5.5). Rotirea seciunii se produce n jurul pivotului C, deoarece n dreptul acestui punctdeformaia specific este bc =20/00. Deformaia specific maxim b lim se determin prin interpolare liniar, nfuncie de deformaia specific din fibra mai puin comprimat bi i avnd n vedere rotirea seciunii n jurul

pivotului C.Relaia de calcul rezult din asemnare triunghiurilor din figura 6.3a i este:

( ) ( ) bibibibc

bubibcbilimb 75,05,3

0,2

5,30,2 =+=

+= 0/00

De asemenea, pe baza aceleai figuri se poate determina una din valorile b lim, bi sau x, cunoscnddou dintre ele. Pentru o determinare rapid a deformaiei specifice maxime b lim se poate folosi graficul dinfigura 6.3b.

130

8/8/2019 CURS 9-10 B

4/22

Fig. 6.3 Deformaia specific maxim b lim n fibra cea mai comprimat

6.2 INTERACIUNEA EFORTURILOR SECIONALE ASOCIATE SLR

Atunci cnd vectorul moment ncovoietor, ce nsoete fora axial, nu se suprapune peste o axprincipal a seciunii, elementul este supus unei solicitri excentrice oblice. n acest caz, combinaia de eforturi N,

Mx i My(acestea din urm fiind componentele momentului ncovoietor oblic )2y

2x MMM += , asociate strii

limit de rezisten, este ilustrat de suprafaa limit de interaciune (denumit pe scurt suprafa de interaciune),reprezentat n figura 6.4. Suprafaa de interaciune este reprezentarea grafic a relaiei ce se obine prineliminarea lui x (mrimea ce reprezint poziia axei neutre) din ecuaiile de echilibru static

=== 0M;0M;0N yx scrise pentru starea de eforturi unitare produs de ncrcrile exterioare.Aceast reprezentare grafic red variaia mrimii momentului ncovoietor oblic capabil i a orientrii sale nfuncie de fora axial. Pentru o seciune de beton armat, caracterizat prin dimensiunile sale i aria de armturcorespunztoare, precum i prin calitatea celor dou materiale, se poate trasa o singur suprafa de interaciune.

Lipsa unuia din cele trei eforturi poate conduce la:

compresiune excentric dreapt cu N 0, Mx 0 i My = 0, caz reprezentat de curba deinteraciune N - Mx;

compresiune excentric dreapt cu N 0, Mx = 0 i My 0, caz reprezentat de curba deinteraciune N - My;

ncovoiere oblic cu N = 0, Mx 0 i My 0, caz reprezentat de curba de interaciune Mx -My.

Fig. 6.4 Interaciunea eforturilor secionale la starea limit de rezisten

Eforturile produse de ncrcrile exterioare determin un punct de coordonate N, Mx i My. Dac acestpunct se gsete n interiorul domeniului limitat de suprafaa de interaciune sau, la limit, chiar pe aceastsuprafa, atunci seciunea satisface starea limit de rezisten.

131

8/8/2019 CURS 9-10 B

5/22

La verificarea unei seciuni din beton armat se urmrete s se stabileasc dac punctul de coordonate N,Mx i My se gsete n interiorul domeniului delimitat de suprafaa de interaciune. Aceast verificare se poateface prin una din urmtoarele dou variante, n figura 6.5 prezentndu-se n acest sens compresiunea excentricdreapt:

verificarea la ncrcri gravitaionale, cnd exist o cretere proporional a eforturilor exterioare MiN, reprezentate prin punctul A, pn la atingerea curbei de interaciune n punctul B (fig.6.5a); aceasta nseamn

cap

cap

0N

M

N

Me == ; condiia de verificare este N Ncap pentru e0 = const;

verificarea la ncrcri orizontale, de genul aciunii seismice, cnd pentru o for axial constant existo cretere a momentului ncovoietor, din punctul A pn la atingerea curbei de interaciune n punctul B (fig.6.5b); condiia de verificare este M Mcappentru N=const.

Fig. 6.5 Curbe de interacine - modul de atingere a capacitii portante

La dimensionarea seciunii din beton armat se urmrete stabilirea unei arii de armtur pentru care curbade interaciune s se atearn peste punctul determinat de eforturile ce acioneaz n seciune.Pentru calculul la starea limit de rezisten exist dou metode i anume:

metoda general de calcul, care ia n considerare exprimarea explicit a condiiilor statice (ecuaiile

de echilibru static), geometrice (utilizarea ipotezei seciunilor plane) i fizice (curbele ale materialelor);suprafaa sau curba de interaciune nu prezint discontinuiti pe tot domeniul de for axial cuprins ntre +N i-N;

metoda simplificat de calcul, care implic introducerea unor aproximri n vederea rezolvrii numaicu ajutorul ecuaiilor de echilibru static; aceste simplificri se refer la o anumit configuraie a distribuieieforturilor unitare normale, funcie de sensul i mrimea forei axiale; suprafaa sau curba de interaciune poateprezenta discontinuiti de pant n punctele ce delimiteaz dou subdomenii adiacente de solicitare.

Este evident c, pentru o seciune dat, suprafeele sau curbele de interaciune date de cele dou metodenu coincid, ns diferenele care apar nu sunt semnificative pentru calculul practic.

6.3 INFLUENA ZVELTEEI LA ELEMENTELE COMPRIMATESensibilitatea la efectele de ordinul II este indicat de coeficientul de zveltee teoretic o = lf /i (lf -

lungimea de flambaj; i - raza de inerie, denumit i raz de giraie). Pentru stlpii cu seciune dreptunghiular,aceast sensibilitate este exprimat prin coeficientul de zveltee convenional = lf /h, unde h este laturaseciunii dup direcia de aciune a momentului ncovoietor, n ipoteza de ncrcare considerat. Pentru stlpii cuseciune circular sau inelar, coeficientul de zveltee convenional este = lf /d. Efectul zvelteei elementelorcomprimate este creterea momentelor ncovoietoare de ordinul I cu valoarea M, ajungndu-se la valoarea MII= M1 + M (fig. 6.6). ntre cele dou valori ale momentelor ncovoietoare se poate scrie relaia:

MII = MIunde coeficientul supraunitar arat msura n care cresc momentele ncovoietoare n urma deformaiilor de

ordinul II.La structurile formate din elemente liniare, se recomand ca soluiile constructive de ansamblu i

dimensiunile seciunilor barelor s fie astfel stabilite, nct majorarea momentelor ncovoietoare datorit132

8/8/2019 CURS 9-10 B

6/22

influenei zvelteii elementelor comprimate (efectele de ordinul II) s nu depeasc 50%. Dac aceast limitareeste respectat, considerarea influenei zvelteei const numai n majorarea momentelor ncovoietoare de calculdatorit efectelor de ordinul II, fr s fie necesar i o verificare la starea limit de pierderea stabilitii de form(pct. 5.4.5.1).

La elementele de suprafa cu perei subiri (diafragme, plci curbe subiri, turnuri tubulare etc), pentrucare nu se dispune de procedee de calcul de ordinul II temeinic fundamentate teoretic i experimental, se admiteca efectele de ordinul II s fie luate n considerare, n mod simplificat, prin coeficieni globali de reducere a

rezistenei de calcul a betonului (conform abordrii din rezistena materialelor).

Fig. 6.6 Creterea momentelor ncovoietoare datorit zvelteii elementelor comprimate

Modul de cedare al unui element depinde de caracteristicile seciunii (b; h; Rc; Ra; Aa;'

aA ), redate prin

curba de interaciune M - N, precum i de zvelteea elementului. Pentru stlpul consol din figura 6.7a, mrireaprogresiv a forei excentrice N pn la cedare conduce la creterea momentului ncovoietor n seciunea dencastrare, dup cele trei variante prezentate n figura 6.7b.

n cazul stlpilor scuri (nezveli), la care 10, efectele de ordinul II sunt neglijabile. Momentelencovoietoare cresc proporional cu fora axial, fenomen care este redat n figura 6.7b prin dreapta a. Cedareaelementului se produce n punctul , de intersecie al dreptei a cu curba de interaciune M-N, prin epuizarea

capacitii portante la o for axial egal cu acapN . Dimensionarea se face conform prevederilor ce urmeaz.

n cazul stlpilor zveli, la care 10 < 30, efectele de ordinul II nu pot fi neglijate. Momentul

ncovoietor crete mai repede dect fora axial, datorit efectelor de ordinul II, reprezentate prin M. Cu ctzvelteea elementului este mai mare, cu att curba b, care reprezint corelaia MII = f(N), se ndeprteaz dedreapta a. Cedarea elementului se produce n punctul , de intersecie al curbei b cu curba de interaciune M -

N, prin epuizarea capacitii portante la o for axial bcapN i nu prin pierderea stabilitii (flambaj). Fora

critic bcrN are numai o semnificaie teoretic, ea nu poate fi atins niciodat, deoareceb

cr

b

cap NN < . Este de

subliniat faptul c efectul zvelteei trebuie luat n considerare prin mrirea momentului ncovoietor cu cantitatea M = N i nu printr-un coeficient de flambaj care s afecteze fora axial de compresiune, conformabordrii din Rezistena materialelor. Dimensionarea se face la starea limit de rezisten, reunit cu starea limitde stabilitate, utiliznd un moment ncovoietor corectat n funcie de coeficientul , conform metodelorprezentate n continuare.

a) stlp consol b) diagrama de interaciune M-N

Fig. 6.7 Cedarea la compresiune excentric n funcie de zvelteea elementului

133

8/8/2019 CURS 9-10 B

7/22

n cazul stlpilor foarte zveli, la care >30, cedarea se produce prin pierderea stabilitii la o for

axial ccrN , nainte de a se atinge starea limit de rezisten. Aceast situaie este reprezentat de curba c. Dup

atingerea valorii ccrN , deformaiile cresc indefinit sub o for axial constant, ceea ce corespunde fenomenului

de flambaj. Curba de interaciune este atins n punctul , n urma deformaiilor excesive. Capacitatea portant

este dat de fora critic de pierdere a stabilitii, adic ccrc

cap NN = . Se recomand evitarea acestei situaii prin

adoptarea unor dimensiuni corespunztoare ale elementelor.Fora critic de pierdere a stabilitii se calculeaz cu relaia lui Euler:

2

f

2

crl

EIN

= (6.4)

Avnd n vedere faptul c efectele de ordinul II se accentueaz pe msur ce elementul se apropie destadiul de cedare (curba b), modulul de rigiditate trebuie s reflecte caracteristicile de deformaie din vecintatearuperii. Din acest motiv, modulul de rigiditate trebuie introdus n calcul cu mrimea corespunztoare stadiului decedare, pentru care se folosete relaia empiric prevzut n standardul romnesc:

( ))

bb

ld

t

conv IEM/M1

p115,0EIEI

+

+== (6.5)

EbIb este modulul de rigiditate al seciunii brute din beton;pt - procentul total de armare al seciunii din beton;Mld - momentul ncovoietor din ncrcrile de lung durat, care produc stlpului o deformat n acelaisens cu cea determinant pentru efectele de ordinul II;M - momentul ncovoietor total de ordinul I.Raportul Mld / Mdin relaia (6.5) introduce influena deformaiilor de curgere lent ale betonului asupra

efectelor de ordinul II, influen care const n mrirea deformaiilor de ordinul II.n cazurile curente, se poate lua preliminar (EI)conv 0,3 EbIbn cazul stlpilor zveli, la care fenomenul de flambaj nu intervine nainte de atingerea strii limit de

rezisten, fora critic dat de relaia lui Euler (6.4) reprezint numai un parametru pentru trasarea curbei b nvederea determinrii punctului , respectiv pentru calculul lui cu relaia (6.6).Figura 6.8 red corelaia realdintre Ncap i zvelteea elementelor comprimate din beton armat, comparativ cu corelaia teoretic dintre Ncr izvelteea dat de relaia lui Euler.

Coeficientul poate fi determinat cu relaia lui Perry - Timoshenko:

crN/N1

1

= (6.6)

i ea este riguros valabil numai dac diagramele de momente MI i Msunt afine, ceea ce pentru un stlp tipconsol se ntmpl dac ncrcarea orizontal este distribuit sinusoidal pe nlimea stlpului (fig. 6.9a).

Problema efectelor de ordinul II n structurile de rezisten reale este complicat i de sensibilitatea laaceste efecte n funcie de deplasrile laterale. Din acest punct de vedere, intervine problema structurilorcontravntuite i a elementelor de contravntuire, de care depinde posibilitatea deplasrilor laterale ale nodurilor

structurii.O structur se consider c este contravntuit dac este capabil s transmit la fundaie cel puin 90%

din toate ncrcrile orizontale i dac are asigurat stabilitatea. Contravntuirea unei structuri din beton armat sepoate realiza cu diafragme, adic perei din beton armat (fig. 6.9c) i mai rar cu elemente metalice diagonale.Cadrele din beton armat cu noduri rigide sunt considerate, n general, ca structuri contravntuite (fig. 6.9b).

Avnd n vedere cele de mai sus, rezult c pentru stlpii care fac parte dintr-o structur, formula luiPerry - Timoshenko devine aproximativ, ntruct lungimea de flambaj i pierde semnificaia fizic direct pecare o are n cazul unui stlp izolat. n aceste cazuri, nu se mai poate vorbi dect de valori convenionale stabiliteprin apreciere sau prin comparaie cu un calcul de ordinul II al structurii n ansamblu.

n funcie de valoarea coeficientului obinut din relaia (6.6), exist 3 metode de abordare a efectelor

de ordinul II.

134

8/8/2019 CURS 9-10 B

8/22

Metoda A este folosit atunci cnd 1,2 (relaia 6.6), caz n care se admite s se efectueze un calculstatic de ordinul I, din care rezult M I (notat n continuare M). Pentru luarea n considerare a efectelor zvelteei sefolosete relaia: M* = (M + eaN) (6.2a)

Lungimea de flambaj, necesar n relaia lui Euler (6.6), se apreciaz n funcie de natura legturilorstlpului la capete. Pentru modulul de rigiditate se ia n considerare o valoare constant n lungul elementului(EI)conv,dat de relaia (6.5).

STLPI:scuri zveli foarte zveli

CEDAREA STLPILOR:starea limit de rezisten flambaj

Fig. 6.8 Corelaia dintre capacitatea portant i zvelteea elementelorcomprimate din beton armat

Fig. 6.9 Tipuri de elemente i structuri

Metoda B este folosit atunci cnd 1,2 < 1,5 (relaia 6.6). Se cere s se efectueze un calcul static deordinul II, n care se admite s se considere n mod simplificat un modul de rigiditate constant n lungulelementelor (EI)conv, n conformitate cu relaia (6.5).

Metoda C este folosit atunci cnd > 1,5 (relaia 6.6). Se cere s se efectueze un calcul static deordinul II aprofundat, innd seama i de variaia modulului de rigiditate EI n lungul elementului. Se ia nconsiderare att neliniaritatea geometric, adic efectele de ordinul II, ct i neliniaritatea fizic, adicvariabilitatea modulului de elasticitate Eb cu gradul de solicitare al betonului (pct. 2.3.4; fig. 2.29). Un astfel de

calcul nu se poate efectua dect cu ajutorul unor programe de calcul adecvate.n privina coeficientului ,practica proiectrii a relevat urmtoarele constatri:

la cldiri n cadre etajat rigidizate sau nu, prin diafragme, =1,05...1,20, 1,2;

la hale industriale parter prefabricate, cu riglele de acoperi concepute ca articulate pe stlpi,lungimile de flambaj rezult mai mari, astfel nct se poate ajunge la 1,2 1,5; datorit cerinelorde ductilizare pentru stlpii participani la structurile antiseismice, la care este posibil s apar deformaiipostelastice semnificative, se poate ajunge la o mrire a seciunilor stlpilor, astfel c multe cazuri rmnn domeniul 1,2;

n cazul dimensionrii cu > 1,5 se obin consumuri exagerate de armtur; n acest

domeniu efectele de ordinul II depind de ipotezele de calcul admise,nct sigurana este mai greu decontrolat prin calcule obinuite.

135

8/8/2019 CURS 9-10 B

9/22

6.4 METODA GENERAL DE CALCUL

Distribuia i mrimea eforturilor unitare n beton i armtur, n calculul la starea limit de rezisten nseciuni normale, se stabilesc pe baza acceptrii urmtoarelor ipoteze:

seciunile plane nainte de deformare rmn plane i dup deformare;

compatibilitatea deformaiilor specifice ale bet. i armturii (armtura nu lunec n raport cu betonul); se neglijeaz contribuia betonului la preluarea eforturilor de ntindere;

diagrama bb se ia conform figurii 5.5; deformaia specific maxim admis n fibra extrem cea mai comprimat b lim,n stadiul de rupere

a seciunii se ia dup cum urmeaz: b lim = bu, n cazul solicitrilor cu axa neutr n seciune, x r < h ceea ce reprezint domeniul 2din figura 6.2; b lim = bc, n cazul convenional al compresiunii centrice, corespunztor dreptei DD dinfigura 6.2; n cazurile intermediare, cnd axa neutr este n afara seciunii (xr > h i bi - compresiune, ceeace reprezint domeniul 3 din figura 6.2), b lim se obine prin interpolare liniar ntre valorile bc i bu,n conformitate cu posibilitile oferite de figura 6.3a,b;

diagrama aa se ia conform figurii 5.6; deformaia specific maxim a armturii au se limiteaz la:

50 0/00 n cazul verificrilor n gruparea special de ncrcri; 10 0/00 n celelalte cazuri.

Seciunea transversal ajunge la starea limit de rezisten sub combinaia eforturilor produse dencrcrile exterioare, pentru care se atinge deformaia limit b lim n fibra cea mai comprimat a seciunii i/sau au n armtura cea mai ntins.

Diagrama deformaiilor specifice din figura 6.2 conduce pentru diagrama eforturilor unitare normale lasituaiile prezentate mai jos.

Seciunea este ntins n ntregime, cu axa neutr n afara seciunii (fig. 6.10), corespunztor

solicitrii centrice sau excentrice cu excentricitate mic. Cedarea seciunii se produce prin deformaii excesive,adic prin atingerea deformaiei specifice ultime au n armtura inferioar, cea mai ntins, Aa, ceea ce nseamn

a = Ra. Deformaia specific n armtura superioar'aA poate avea orice valoare n intervalul (0... au], ceea

ce nseamn 0

8/8/2019 CURS 9-10 B

10/22

elementelor ncovoiate cu procente reduse de armare. Acest tip de diagram reprezint subdomeniul 1b,corespunztor pivotuluiA.

Fig. 6.11 Seciune ntins excentric, cu axa neutr n seciune

Seciunea este ncovoiat sau ntins/comprimat excentric cu axa neutr n seciune (fig. 6.12).Cedarea seciunii se produce prin zdrobirea betonului comprimat ( b= bu=3,50/00; b=Rc) armtura inferioarAa fiind ntins (armtura Aa devine comprimat cu a < Ra, numai dac xr h0).

Fig. 6.12 Seciune ncovoiat, ntins/comprimat excentric, cu axa neutr n seciune

n cazul ncovoierii, ntinderii excentrice cu excentricitate mare i al cazului I de compresiune, deformaia

specific a armturii este auaap , ceea ce nseamn a = Ra. Acest mod de cedare reflect stadiul III de

rupere al elementelor din beton armat, simplu armate, supuse la ncovoiere (pct. 4.2.1.1). Deformaia specific n

armtura superioar 'aA depete valoarea ap, ceea ce nseamn c s-a atins limita de curgere ( a = Ra). Acest

tip de diagram reprezint domeniul 2, corespunztor pivotuluiB.

Seciunea este comprimat n ntregime, cu axa neutr n afara seciunii (fig. 6.13),corespunztor solicitrii centrice sau excentrice, cazul II de compresiune. Cedarea seciunii se produce

prin zdrobirea betonului comprimat cbbulimbbclimbb R;; =

8/8/2019 CURS 9-10 B

11/22

Metoda general de calcul necesit cunoaterea dimensiunilor seciunii din beton, calitatea celor doumateriale, dispunerea armturilor i implic parcurgerea urmtoarelor etape:

pe baza eforturilor care acioneaz asupra seciunii, presupunnd un anumit mod de cedare, sealege una din cele patru diagrame de deformaii specifice din figurile 6.10...6.13;

se presupune o valoare pentru poziiaxra axei neutre, n concordan cu diagrama aleas;

n funcie de poziia axei neutre i deformaia specific care determin cedarea seciunii, a = au i/sau b = b lim, se calculeaz celelalte deformaii specifice respectnd ipoteza seciunilor plane;

se calculeaz eforturile unitare n toate armturile a'a

'aaaa E,E == i aaiai E= i

apoi forele interioare 'a'

a

'

aaaa AN,AN == , i aiaiai AN = ;

se stabilete tipul de diagram a ef. unit. n bet. compr. pe baza deform. specifice b i

eventual bi :

dac axa neutr este n seciune i b 20/00 se alege o diagram de tip parabol cu valoareamaxim a efortului unitar b Rc (fig. 6.14a); dac axa neutr este n seciune i 20/00 < b 3,50/00 se alege o diagram de tip dreptunghi-parabol, cu valoarea maxim a efortului unitar b = Rc, poriunea dreptunghiular extinzndu-sepn la nivelul la care deformaia specific este bc=20/00 (fig. 6.14b); dac A.N. este situat n afara seciunii, se alege o diagram de tip dreptunghi-parabol, cu val.max. a efortului unitar b = Rc; poriunea dreptunghiular se extinde pn n dreptul pivotului C(fig.6.2); efortul unitar de compr. din fibra inferioar bi depinde de deformaia specific bi (fig.6.14c)

se calculeaz rezultanta compresiunilor n beton Nbdup cum urmeaz: n cazul seciunilor monosimetrice, calculul rezultantei eforturilor unitare de compresiune nbeton, precum i poziia acesteia fa de axa neutr, se face cu relaiile generale de mai jos:

- pentru axa neutr situat n seciune:

==x

0 b

x

0yby

Nbybyb

N

ydyb

y;dybN(6.7a); (6.8a)

- pentru axa neutr situat n afara seciunii:

==

h

hx b

h

hxyby

NbybybN

ydyb

y;dybN(6.7b); (6.8b)

n cazul seciunilor dreptunghiulare, mrimea rezultantei compresiunilor n beton i poziiaacesteia se pot determina mai rapid, lund n considerare un efort unitar mediu bm, uniformdistribuit pe nlimea zonei comprimate; calculul se efectueaz dup cum urmeaz:

- pentru axa neutr situat n seciune (fig. 6.15a):

( )cbmb RbxbxN == , acionnd la distana xd = (6.9a)- pentru axa neutr situat n afara seciunii (fig. 6.15b):

( )cbmb RbhbhN == acionnd cu excentricitatea eb (6.9b)deste msurat fa de fibra cea mai compr. a sec., iar excentricitatea eb, fa de centrul de greut. al sec. pentru seciuni T cu axa neutr n plac, se folosete procedura prevzut pentru seciunile

dreptunghiulare, prin nlocuirea limii b cu limea activ a plcii bp; pentru seciuni T cu axa neutr n inim, calculul rezultantei compresiunilor n beton se face pebaza procedeului indicat n figura 6.16;

138

8/8/2019 CURS 9-10 B

12/22

Fig. 6.14 Rezultanta compresiunilor n beton

a) axa neutr n seciune b) axa neutr n afara seciuniiFig. 6.15 Rezultanta compresiunilor n beton pentru seciunea dreptunghiular

Fig. 6.16 Rezultanta compresiunilor n beton pentru seciuni T

cu fora axial N i cu rezultantele interioare ai'aa N,N,N i bN se verific satisfacerea

ecuaiei de proiecii N = 0; dac aceast condiie este satisfcut, atunci tipul de diagram de eforturiunitare (fig.6.10...6.13) i poziia axei neutre sunt corect alese;

momentul ncovoietor capabil al seciunii se obine din ecuaia de momente M=0, scris nraport cu o ax oarecare (de regul, se poate folosi: axa neutr, dreapta care trece prin punctul de aplicaie

a lui'

aab N,N,N sau axa care trece prin centrul de greutate al seciunii de beton); expresia momentuluincovoietor capabil poate fi pus sub forma general:

Mcap=[N]{z}

139

8/8/2019 CURS 9-10 B

13/22

[N] este matricea ir a forei axiale i a tuturor rezultantelor interioare, fiecare cu semnul corespunztorn funcie de un sens convenional, adoptat ca pozitiv;

{z} - matricea vector a braelor de prghie a tuturor forelor ce intervin n matricea [N].Seciunea satisface starea limit de rezisten, dac:

M* Mcapcu M* definit de relaia (6.2).

Deoarece metoda general implic cunoaterea ariei de armtur, ea nu poate fi folosit ca metod direct

de dimensionare. Utilizarea metodei generale pentru dimensionarea armturilor se poate face numai prin: ncercri succesive de verificare, printr-un calcul manual (ceea ce nu este raional) sau printr-

un calcul automat; utilizarea unor tabele sau diagrame construite pe baza acestei metode, aa cum sunt tabelele

din anexele 15, 17, 18, 19 i 20; modul de lucru cu aceste anexe este prezentat la punctele 6.7.1, 6.7.3 i6.7.4.

6.5 METODA SIMPLIFICAT DE CALCUL

Metoda simplificat are n vedere adoptarea unor diagrame de eforturi unitare normale, astfel nctcondiiile de echilibru static singure s fie suficiente pentru rezolvarea calculului. Aceste diagrame de eforturi

unitare se bazeaz pe: nlocuirea diagramei reale de distribuie a eforturilor unitare de compresiune n beton (fig. 6.17c) cu odiagram dreptunghiular (fig. 6.17d) la care nlimea zonei comprimate este x = 0,8x r; aceast nlocuirereprezint o bun aproximare atunci cnd zona comprimat are form dreptunghiular i cnd cedarea seproduce prin zdrobirea betonului comprimat ( bc = bu); erorile care se introduc n alte cazuri (cedareaprin armtura ntins: a = au; seciuni T etc.) ofer totui o precizie satisfctoare pentru necesitileproiectrii curente; corelaia cu starea de deformaii specifice, deci depinznd de poziia real a axei neutre.

Fig. 6.17 Distribuia eforturilor unitare de compresiune

6.5.1 Situaii limit de cedare a seciunii

Avnd n vedere distribuia deformaiilor specifice pe nlimea seciunii, se pot defini trei situaii limit

pentru seciunea dublu armat, fr armturi intermediare (fig.6.18).

Fig. 6.18 Situaii limit ale seciunii normale

140

8/8/2019 CURS 9-10 B

14/22

Situaia limitacorespunde cedrii simultane a celor dou materiale: aua = (deformaii excesive) i

bub = (zdrobirea betonului comprimat), cnd seciunea deformat unete pivoii A i B (vezi i figura 6.2).Poziia real a axei neutre rezult din relaia:

00

aubu

buar h26,0hx =+

= (6.10)

Acest caz este reprezentat de punctulAde pe curba limit de interaciune, n zona ntinderii excentrice cu

mare excentricitate (fig. 6.19).Situaia limit b reprezint cazul n care armtura Aa atinge limita de curgere )/ER( aaapa ==

simultan cu cedarea betonului comprimat ( bc = bu), caz n care seciunea deformat este aezat peste liniaBB

(vezi i figura 6.2). Acest caz este reprezentat de punctul de balans B de pe curba limit de interaciune ireprezint soluia optim de armare pentru ncovoiere i cazul I de compresiune excentric. Acest punctdelimiteaz cele dou cazuri ale compresiunii excentrice. Poziia real a axei neutre este dat de relaia:

0

aabu

bu0

apbu

bub

r hE/R

hx+

=+

= (6.11)

n diagrama simplificat de eforturi unitare (fig. 6.17d), poziia axei neutre este dat de relaia:

0aabu

bub

rb hE/R8,0x8,0x +

== (6.12)iar valoarea relativ a poziiei axei neutre este:

aabu

bu

0

bb

E/R8,0

h

x

+

== (6.12a)

n tabelul 6.1 se dau valorile b, care rezult din relaia (6.12a). Valorile sunt rotunjite i iau nconsiderare faptul c, pentru betoane de calitate superioar sau pentru cazul betonului cu agregate uoare, buscade fa de 3,50/00.

Situaia limitceste un caz particular cnd efortul unitar n armtura 'aA este nul ( )0'a = . Acest cazreprezint punctul Cde pe curba limit de interaciune, delimitnd ntinderea excentric cu mare excentricitate de

cea cu mic excentricitate. nlimea real a zonei comprimate este:'c

r ax = (6.13) Tabelul 6.1

Valorile b

Tipul debeton

Tipul dearmtur

Clasa de beton Bc35 > Bc35

Beton obinuitOB37 0,60 0,55

PC52; PC60; STNB 0,55 0,50Beton cu agregate

uoareOB37 0,55 -

PC52; PC60; STNB 0,50 -

6.5.2 Cazuri de solicitare la ncovoiere cu for axial

n funcie de natura forei axiale (compresiune sau ntindere) i poziia axei neutre n raport cu valorile

limit bra

r x,x icrx , tabelul 6.2 prezint cazurile de solicitare ale seciunii i modurile de rupere pe care se

bazeaz stabilirea relaiilor de calcul n metoda simplificat.Se constat c exist trei moduri majore de cedare a seciunii:

cedarea armturii Aa cnd seciunea este complet fisurat - MOD-ul A;

zdrobirea betonului comprimat i curgerea armturii Aa- MOD-ul B;

zdrobirea betonului comprimat i curgerea armturii'aA , n timp ce armtura Aa poate fi ntins ( a comprimat:limbb

ntins,cedeaz1:aua =

comprimat:ap

'

a MOD B

INUND. EXC.CU EXC.MARE INCOV.(N O) COMPR.CAZUL I

a

rr xx b

rr xx

comprimat, cedeaz2:bulimb =

ntins,curge:

apaau

comprimat:

ap

'

a

0rbr hxx

8/8/2019 CURS 9-10 B

16/22

0r hx >comprimat, cedeaz2:

bulimb000 /2

8/8/2019 CURS 9-10 B

17/22

Fig. 6.20 Determinarea deformaiilor specifice n armturi

Din figura 6.19 se constat c mrirea forei axiale peste valoarea corespunztoare punctului D 0 (carecorespunde la xr = h0) conduce la o variaie cvasi-liniar a curbei de interaciune, ceea ce presupune o legturliniar ntre fora axial i efortul unitar de compresiune. Pe de alt parte, x r este direct proporional cu fora

axial. Pe baza celor de mai sus, se accept o variaie liniar pentru efortul unitar de compresiune a, conformrelaiei:

aa b)R(a += (6.20)

unde0

r

0 h

x8,0

h

x==

Coeficienii a i b se determin din urmtoarele condiii:

pentru = 0,8, adic xr = h0, efortul unitar este a = 0;

pentru = 1, adic xr= 1,25h0, se accept c a ap, deci a = RaSistemul de ecuaii care permite determinarea coeficienilor a i b este:

(a 0,8 + b) = 0(a 1,0 + b) = 1,0

Rezolvarea sistemului de mai sus conduce la a = 5, respectiv b = - 4, astfel nct efortul unitar decompresiune n armtura Aa este dat de relaia:

( ) aaa RR45 = (6.21)Aceast relaie este valabil pentru xr > h0 (sau 1,25x > h0), care se pune sub forma:

> 0,8 (6.22)

6.5.3.2 Efortul unitar n armtura 'aA

Atunci cnd seciune se afl n MOD-ul A de cedare, se accept c ntotdeauna efortul unitar de ntindere

este a'a R=

n cazul MOD-ului B de cedare, armtura 'aA este comprimat n permanen, deoarece xxc

rr > (fig.6.18), deformaia specific fiind:

x25,1

ax25,1

x

ax '

bu

r

'

rbu

'

a

=

= (6.23)

Avnd n vedere expresia lui bu dat de relaia (6.12a) se obine:

ap

b

b'

'a

8,0x25,1

ax25,1

= (6.23a)

Armtura comprimat

'

aA curge ( a'

a R= atunci cnd ap'

a . Relaia (6.23a) permite determinareacorelaiei dintre a' ix pentru care armtura 'aA curge, punnd condiia:

144

8/8/2019 CURS 9-10 B

18/22

apap

b

b'

8,0x25,1

ax25,1

(6.24)

Din relaia (6.24) rezult c armtura 'aA curge atunci cnd:

'

b

b a8,02

8,0x

(6.24a)

care conduce la urmtoarele valori concrete: x 1,2 a pentru b = 0,60, x 1,47 a pentru b=0,55, respectiv x 2 a pentru b = 0,50.

STAS 10107/0-90 prevede, n mod acoperitor, c armtura comprimat curge atunci cnd x 2a.

Efortul unitar n armtura comprimat 'aA se ia n considerare dup cum urmeaz:

a'

a R= dac 'a2x ;

a'

a R= (fig. 6.20b); ap =Ra/Ea are urmtoarele valori: 1,000/00 -pentru OB37, 1,430/00 - pentru

PC52, respectiv 1,670/00 - pentru PC60.

6.5.3.3 Efortul unitar n armtura intermediarAai

Atunci cnd seciunea este fisurat n ntregime se accept c efortul unitar n armtura Aai estentotdeauna ai = Ra (ntindere).

Axa neutr este plasat n seciune cnd xr h0 (1,25x h0 sau 0,8), iar deformaia specific seobine din relaia (fig. 6.20a):

( ) ( ) ( )

=

=

=

0i

bu

i

bur

ri

buai

h/h8,0

x25,1

x25,1h

x

xh

i avnd n vedere c ai = aiEa, precum i expresia lui bu din relaia (6.12a), se obine:( )

aa

b

0ibai RR

8,0

h/h8,0

= (6.26)

Semnul pozitiv (+) se ia n considerare pentru armturile plasate sub axa neutr, iar semnul negativ (-)pentru cele plasate deasupra axei neutre.

Se consider c seciunea este comprimat n ntregime atunci cnd x r > h0 (l,25x>h0 sau >0,8), iardeformaia specific i efortul unitar n armtura Aai se determin cu relaiile (fig. 6.20b):

a

sr

irbcai

sr

irbcai E

wx

hxrespectiv,

wx

hx

=

=

Acceptnd ipoteza simplificatoare a liniaritii dintre ai i (luat n considerare la punctul 6.5.3.1pentru MOD-ul C de cedare) se ajunge n final la relaia de mai jos, care este prevzut n standard STAS

10107/0-90: ( ) a0

i

b

bai R15,272,21

h

h5

8,0

+

= (compresiune) (6.27)

6.5.4 Relaii generale de calcul pentru seciunile monosimetrice

Calculul la starea limit de rezisten la ncovoiere cu for axial, nseamn verificarea seciunii saudimensionarea acesteia.

n cazul seciunilor monosimetriee, la care planul de ncovoiere este situat n axul de simetrie, se dispunede dou ecuaii de echilibru static:

ecuaia de proiecie dup axa longitudinal a barei ( N = 0);

145

8/8/2019 CURS 9-10 B

19/22

ecuaia de momente n raport cu o ax oarecare ( M = 0); de preferin, se aleg anumite axe n funciede oportunitile pe care acestea le ofer.Verificarea seciunii const n determinarea capacitii portante (M cap sau Ncap) n funcie de efortul

secional cunoscut (N sau M). n mod curent se urmrete determinarea momentului ncovoietor capabil Mcap nfuncie de fora axial N. Ecuaia de proiecii este folosit pentru determinarea poziiei axei neutre, iar ecuaia demomente, pentru determinarea capacitii portante Mcap. Seciunea satisface condiia de rezisten dac M* Mcap,momentul ncovoietor M fiind corectat cu efectul excentricitii adiionale ea i cu cel al deformaiilor de ordinul

II, conform relaiei (6.2a,b).n cazul ntinderii excentrice cu excentricitate mic se urmrete determinarea forei axiale capabile N cap

pentru o excentricitate dat. Verificarea seciunii const n satisfacerea condiiei N Ncap .Proiectarea seciunii se poate face numai pentru anumite forme particulare de seciuni transversale

(dreptunghiular, T, circular, inelar) i const de regul, n determinarea ariei de armtur. n general, se poateaprecia c exist dou necunoscute: poziia axei neutre i aria de armtur (sau procentul de armare). Sistemul deecuaii, format din N = 0 i M = 0, permite rezolvarea acestei probleme, prin utilizarea unor tabele, diagramesau relaii specifice.

6.5.4.1 ntindere excentric cu excentricitate mic (MOD-ul A de solicitare al seciunii)

Seciunea este fisurat n ntregime i n toate armturile efortul unitar este Ra;din acest motiv, armturilese pot grupa n dou arii echivalente, plasate deasupra i dedesubtul axei perpendiculare pe planul de ncovoiere(fig. 6.21).

a) distribuia real a armturilor b) concentrarea armturilor c) diagrama de eforturi

Fig. 6.21 Seciune ntins excentric cu excentricitate mic

n acest caz se scrie cte o ecuaie de momente n raport cu axa ce trece prin centrul de greutate al fiecreiarmturi echivalente:

0hN-)a-N(xM aa'

G =+ (6.28)

0hN)x-N(h-M a'

aG0 =+ (6.29)rezultnd:

G0

a'a

2cap'G

aa

1cap xh

hNM

Nrespectiv,ax

MhN

N

+

=

= + N'aha (6.28a; 6.29a)Se alege Ncap = min (Ncap1, Ncap2).

6.5.4.2. ncovoiere, cazul I de compresiune i ntindere excentric cu excentricitate mare (MOD-ulB de solicitare al seciunii)

Pentru ca seciunea s cedeze prin curgerea armturii ntinse, urmat de zdrobirea betonului comprimat,trebuie respectat condiia:

b

0h

x= (6.30)

Nesatisfacerea condiiei (6.30) nseamn: pentru elementele ncovoiate: intrarea n domeniul betonului supraarmat, la care armtura ntins nucurge ( a < Ra) n momentul zdrobirii betonului comprimat;

146

8/8/2019 CURS 9-10 B

20/22

8/8/2019 CURS 9-10 B

21/22

- din relaia (6.22) dac > 0,8- n armtura Aai:

ai - din relaia (6.26) dac 0,8- din relaia (6.27b) dac > 0,8

i se introduc cu valoare pozitiv pentru ntindere.

Momentul ncovoietor capabil al unei seciuni armate numai cu armturile A a i'aA , pentru cazul II de

compresiune, poate fi obinut pe baza acceptrii curbei limit de interaciune ca fiind o dreapt (fig. 6.23), ipotezsuficient de exact pentru calculele practice.Relaia de calcul, stabilit pe baza asemnrii triunghiurilor ENN1 i ENbB este:

bc0

c0bcap

NN

NNMM

= (6.38)

a

'

aacb0c R)A(ARAN ++= este efortul capabil pentru cazul convenional al compresiunii centrice;

Mb i Nb sunt obinute din relaiile (6.32) i (6.33a), pentru x = xb = bh0 i ai = 0.Important este faptul c acest procedeu este acoperitor, deoarece punctul N 1, determinat de eforturile N i

Mcap se afl n interiorul curbei de interaciune reale (fig. 6.23).Pentru MOD-urile B i Cde solicitare, seciunea satisface starea limit de rezisten dac:

M* Mcapunde M* se determin cu relaia (6.2).

Fig. 6.23 Cazul II de compresiune - curba de interaciune simplificat

148

8/8/2019 CURS 9-10 B

22/22

149