3. CINEMATICA ROBOILOR INDUSTRIALI

Cinematica este partea care studiaz micarea mecanic a sistemelor materiale, fr a se ine seama de mase i de fore.n cinematic se folosesc ca noiuni fundamentale: spaiul i timpul. n mecanica clasic, spaiului i se atribuie nsuirile de a fi absolut, euclidian i tridimensional, iar timpului nsuirile de a fi scalar absolut, continuu, unidimensional, monoton cresctor i ireversibil.n mecanic materia poate fi ntlnit sub form de punct material, sisteme de puncte materiale, solid rigid i sisteme de solide rigide.Punctul material este un punct geometric avnd mas i reprezint corpul pentru care dimensiunile sunt neglijabile pentru rezolvarea problemei.Sistemul de puncte materiale este alctuit dintr-un numr finit sau infinit de puncte materiale i corespunde n natur unui sistem de corpuri ale crui dimensiuni pot fi neglijate la un moment dat. Dup cum distanele dintre punctele sistemului sunt sau nu dependente de timp sistemul de puncte materiale poate fi deformabil sau nedeformabil.Noiunea de micare este relativ. Micarea unui sistem material se raporteaz n general la un reper (sistem de referin) care este presupus, n mod convenional fix. Sistemul material se afl n micare sau n repaus fa de reperul de referin dac i modific sau nu poziia fa de acesta.Se numete micare absolut a unui sistem material, micarea n raport cu reperul fix, iar micarea relativ este micarea aceluiai sistem fa de un reper mobil. La un robot industrial sistemul fix va fi considerat batiul modulului de baz al acestuia, iar sistemele mobile vor fi considerate prile mobile ale modulelor de translaie, de rotaie sau de orientare.Prin poziia unui sistem material (punct, solid rigid, sistem de puncte, sistem de rigide) la un moment dat se nelege locul pe care acesta l ocup n spaiu la un moment considerat. Poziia unui sistem material se determin fa de un anumit sistem de referin cu ajutorul unor mrimi geometrice (unghiuri sau distane) independente ntre ele sau nu. Dac mrimile geometrice care caracterizeaz poziia unui sistem au toate valorile constante, se spune c poziia unui sistem au toate valorile constante, se spune c poziia ocupat de sistemul material n raport cu un anumit reper este fix sau c sistemul material respectiv se afl n repaus fa de acelai sistem de referin. Se spune c poziia ocupat de un sistem material este variabil fa de un reper sau c sistemul material respectiv se afl n micare fa de reperul considerat dac cel puin unul din parametrii geometrici care o caracterizeaz este variabil n funcie de timp.n cele ce urmeaz va fi abordat micarea punctului caracteristic, aparinnd minii mecanice a robotului industrial i a solidului rigid. Rezolvarea problemelor de proiectare i de conducere a roboilor industriali presupune determinarea poziiei lanurilor cinematice ale acestuia n raport cu un sistem de coordonate fix poziia absolut a lanurilor cinematice (elementelor) ct i poziia relativ relev coordonatele generalizate. n literatura de specialitate prima problem se numete direct, iar cea de-a doua problem invers a poziiei punctului unui robot industrial.

3.1. METODE VECTORIALE DE ANALIZ CINEMATIC A ROBOILOR INDUSTRIALI

3.1.1 PPOBLEMA DIRECT A POZIIEI PUNCTULUI CARACTERISTIC

Problema determinrii poziiei absolute a lanurilor cinematice atunci cnd se cunosc poziiile relative se rezolv prin diverse metode. Una dintre acestea este metoda bazat pe folosirea formulei rotirii solidului rigid. Metoda permite determinarea noii poziii a vectorului de poziie tiind poziia lui anterioar, axa de rotaie i unghiul de rotaie. Pentru acesta se folosete formula lui Rodrigue. (3.1) n care i sunt vectorii ataai de corp ce caracterizeaz poziia punctului nainte i dup rotaie; - vectorul unitar al axei de rotaie; - unghiul de rotaie. Aceast formul se poate pune sub o alt form, fcnd substituia : ; ; n care n acest caz se obine: Dac unghiul dintre ax i vectorul este egal cu , atunci formula capt forma: (3.2) Prin realizarea a dou rotaii finite a corpului rigid n jurul unei axe, determinat de vectorii unitari i unghiul de rotaie rezultant se calculeaz cu formula: n care: ; ; ; vectorul unitar al rotaiei rezultante.Se analizeaz cazul unui robot industrial cu 5 grade de libertate cu cuple cinematice de rotaie (figura 3.1).Poziia minii mecanice a robotului industrial n orice moment este determinat de orientarea axelor lanurilor cinematice i a cuplelor cinematice precum i de poziia acestora. n poziia considerat de zero pentru care coordonatele generalizate sunt egale cu zero, poziia vectorilor orientai pe axele lanurilor cinematice i a cuplelor cinematice se consider cunoscut. Pentru a deplasa robotul industrial din poziia de zero n poziia caracterizat de coordonatele generalizate se realizeaz rotaii succesive n articulaii cu unghiurile ncepnd de la lanul cinematic fix.Prima rotaie se realizeaz n articulaia A cu unghiul jurul vectorului . Pentru aceasta vectorii ; ; ; i modific poziia i se transform n vectorii ; ; ; . Aceti vectori vor fi determinai cu formula lui Rodrigue. n care:; ; sunt vectori unitari ai sistemului de coordonate cartezian.Avnd n vedere c vectorii sunt coliniari ntre ei i ortogonali cu vectorul , termenul care conine aceti trei vectori n ultima formul este egal cu zero. Formula devine: Vectorii ; ; rmn neschimbai.

Fig. 3.1A doua rotaie se realizeaz n cupla B cu unghiul n jurul vectorului . Ca urmare i schimb direcia vectorii ; ; care devin ; ; deoarece: nlocuind n aceast formul expresia lui se obine: Poziia axelor cuplelor C i D prin aceast deplasare nu se schimb.A treia rotaie se realizeaz n articulaia C cu unghiul n jurul vectorului , coliniar cu vectorul ; prin aceasta se modific poziia vectorilor ataai lanurilor cinematice 4 i 5. Trebuie avut n vedere c cele dou rotiri cu unghiurile i n jurul unor axe paralele sunt echivalente cu o singur rotaie cu unghiul i de aceea se poate scrie:

A doua rotaie se realizeaz n jurul axei cuplei D, paralel cu axele cuplelor B i C. n acest caz se poate determina noua poziie a axei cuplei E, caracterizat de vectorul :

A cincea rotaie se realizeaz n cupla E cu unghiul n jurul vectorului ; pentru aceasta se determin poziia vectorului ataat acestui lan cinematic. Dup determinarea vectorilor care caracterizeaz poziia axelor cuplelor i lanurilor cinematice se poate stabili poziia absolut a punctului minii mecanice: n care este lungimea lanului cinematic.Vectorii exprimai cu formulele de mai sus determin complet poziia absolut a robotului industrial n spaiu.

3.1.2. PROBLEMA INVERS A POZIIEI PUNCTULUI CARACTERISTICProblema invers a poziiei punctului caracteristic const n determinarea parametrilor variabili ai robotului industrial i coordonatele generalizate cnd se cunoate poziia minii mecanice .Rezultatele rezolvrii acestei probleme se folosesc att pentru comanda roboilor industriali ct i pentru proiectarea acestora, pentru determinarea caracteristicilor sistemelor de acionare, a deplasrilor n cuplele cinematice necesare n cazul calculului elementelor constructive, ce intr n configuraia lanurilor cinematice.Problema invers a poziiei unui robot industrial cu 5 grade de libertate de rotaie (figura 3.1). Se consider c axele cuplelor cinematice B,C i D sunt paralele. Pentru aflarea soluiei se va adopta acelai sistem de coordonate ca cel din figura 3.1. De batiu este ataat sistemul fix de coordonate . De lanul cinematic 1 este ataat sistemul de coordonate ; orientarea axei este pe direcia axei de rotaie a cuplei A, iar cea a axei paralel cu axa de rotaie a cuplei B. De lanul cinematic 2 este ataat sistemul de coordonate ; orientarea axei este n lungul axei de rotaie a cuplei B, iar a axei n lungul lanului cinematic 2. n mod analog se ataeaz sistemele de coordonate i corespunztor elementelor 3 i 4. De elementul 5 este ataat sistemul de coordonate , axa este orientat n lungul axei de rotaie a cuplei E.Se cunosc: - coordonatele punctului M care aparine obiectului manipulat (adic minii mecanice) - - proieciile vectorilor unitari ai sistemului de coordonate fix care determin orientarea obiectului manipulat i a minii mecanice,; ; - lungimea elementelor: , , , , .Trebuie determinate coordonatele generalizate , , , , ce caracterizeaz poziia relativ a elementelor robotului industrial. Problema va fi rezolvat prin metoda vectorial.Pentru schema din figura 3.1 se poate scrie: (3.3)Vectorii , i au urmtoarele proiecii pe axele sistemului de coordonate fix:; ; Vectorii i coincid ca direcie cu axa , deoarece vectorul unitar al axei este cunoscut (se cunosc proieciile sale), acetia pot fi determinai ca fiind egali cu:; Unghiurile de comand , , pot fi folosite pentru deplasarea obiectului prins n mna mecanic sau pentru cazul cnd acesta este nencrcat (punctul M), n spaiul de lucru al robotului industrial.S determinm aceste unghiuri:; (3.4)Se va transcrie scalar ecuaia (3.4) pe baza vectorilor unitari ai sistemului fix de coordonate , , : (3.5)Din ecuaiile (3.3) i (3.4) se obin n mod analog: (3.6)Cu ecuaiile (3.6)se pot determina coordonatele punctului D n sistemul fix de coordonate. Din expresiile (3.6 se pot determina si unghiurile , , . Ridicnd la ptrat i adunnd ecuaiile 2 i 3 din sistemul (3.5) se obine:de unde rezult: (3.7)Din primele dou ecuaii ale sistemului (3.5) se obine: sau (3.8)S presupunem c unghiul este cuprins n limitele . n acest caz, ecuaia (3.8) are urmtoarea soluie unic n funcie de valorile lui i : dac , dac , dac , (3.9) dac , dac , dac , Ecuaia (3.7) are dou soluii:Ambele soluii sunt posibile (figura 3.2, a i b) deoarece fiecruia din cele dou valori ale unghiului i corespunde un unghi determinat .

Fig. 3.2Pentru determinarea unghiului din prima ecuaie a sistemului (3.5) se obine : (3.10)Din a treia ecuaie a sistemului (3.5) se obine : (3.11)nlocuind n relaia (3.10) expresia lui , din relaia (3.11) se va gsi: (3.12)Termenul se noteaz cu k. Pentru , , iar pentru i , . Folosind relaiile (3.10) i (3.11) se poate determina unghiul cunoscndu-se valorile lui , . Pentru acestea, folosindu-se ecuaia (3.12), se calculeaz cele dou valori ale unghiului i innd seama de expresia (3.10) ca fiind o restricie impus, se va verifica, care din cele dou valori este real. La aceasta se adaug restricia: deoarece pentru , valorile lui i sunt egale cu zero i determinarea coordonatei generalizate cu formula (3.8) nu mai este posibil. n acest caz, valoarea lui se poate determina numai pe baza analizei direciei vectorilor unitari i .Unghiurile i se determin cu ajutorul proieciilor vectorilor unitari ai sistemului de coordonate .Proiecia vectorului unitar , corespunztor axei este: (3.13)Proiecia vectorului unitar al axei este: (3.14)Deoarece se cunosc proieciile vectorilor unitari ale tuturor axelor de coordonate din sistemul , se poate scrie: (3.15)Folosind proprietile produselor vectoriale i scalare se obine: (3.16) (3.17) (3.18) (3.19)Pentru determinarea semnului dinaintea radicalului din expresia (3.17) se analizeaz direcia . Dac vectorii i coincid ca direcie ( adic au direciile pe axa fix de coordonate de acelai semn) atunci radicalul din expresia (3.17) va avea semnul plus, iar daco vectorii i au direcii opuse, semnul va fi minus. Semnul din fata radicalului din expresia (3.19) se determin n mod analog prin compararea direciei vectorilor i .Produsul vectorial are proieciile:Produsul vectorial are proieciile:Cu ajutorul relaiilor (3.16) si (3.17) se determin valorile lui , iar cu relaiile (3.18) i (3.19) valoarea lui .Coordonatele generalizate , , se folosesc, de regul, pentru orientarea obiectului manipulat. Folosind matricea de transformare se determin proieciile vectorilor unitari ai axelor i (din figura 3.3 se observ c aceste axe coincid): (3.20)n care .

Fig. 3.3Din relaia (3.20) se observ c poziia axelor i este determinat doar de coordonata generalizat de orientare i prin urmare nu poate fi aleatoare.Pentru schema cinematic structural a robotului industrial prezentat n figura 3.1, dispunerea axei , trebuie s ndeplineasc condiia: proiecia vectorului care este produsul vectorial al vectorilor unitari i pe axa trebuie s fie zero.S scriem ecuaia lui sub forma dezvoltat: (3.21)

Expresia: 3.22)este condiia orientrii corecte a axei , a obiectului manipulat i a minii mecanice.Din relaia (3.22) se obine: (3.23)nlocuind (3.13) n (3.23) rezult: (3.24) (3.25)Astfel pentru aflarea proieciei vectorului unitar este necesar ca i s ndeplineasc condiia (3.25).