Curs 4 Risc&Rentab I - piete de capital

8/14/2019 Curs 4 Risc&Rentab I - piete de capital

1/15

PieedeCapitalNotedecurs

1

Capitolul 2. Riscul i rentabilitatea instrumentelor financiare

n ultimii ani, oportunitile de investire descriu o arie vast de instrumente

financiare, de la cele clasice: depozite bancare, aciuni, obligaiuni pn lainstrumente mai sofisticate, precum futures, options, swaps. n consecin, seimpune analiza raportului risc-rentabilitate asociat instrumentelor financiare, nurma creia un investitor poate lua o decizie de investire raional. n acest capitolvom analiza riscul i rentabilitatea unui activ financiar, decizia de alocare aactivelor, ct i relaia optim risc-rentabilitate a unui portofoliu de instrumentefinanciare pornind de la teoria dezvoltat de Harry Markowitz (1952).

2.1. Rentabilitateai riscul unui activ financiar

2.1.1 Randamentul istoric

Decizia de investire a unui investitor este direct influenat de rentabilitateainstrumentelor financiare. Aceast rentabilitate poate fi judecat prin prismaperformanei trecute (istorice) ale titlurilor i/sau a unor perfomane previzionate(anticipate pentru viitor).

S presupunem o aciune ce a fost cumprat la cursul P0, este vndut la unmoment viitor la cursul P1. Dac aciunea acord un dividend, D, pe parcursuldeinerii atunci randamentul pe perioada de deinere (RPD) se determin astfel:

.n relaia (2.1) termenul

reprezintrandamentul ctigului din capital,iar termenul

reprezintrandamentul dividendului. Dac notm VT = PT + D

i V0 = P0 unde VT reprezint valoarea viitoare a plasamentului, iar V0 valoarea

prezent, atunci RPD devine:

.Perioada de deinere (intervalul de la momentul 0 la momentul T) poate fi orict, deaceea pentru a putea compara randamentul unor aciuni ce au fost deinute pe


2/15


2

perioade diferite, trebuie s ajustm randamentele RPD, astfel nct intervalul detimp s fie acelai. Mai exact vom anualiza randamentele calculate pentru perioadede deinere diferite de un an folosind formula urmtoare:

.

unde R reprezintrandamentul anual al aciunii.

Exemplul 1: S presupunem c se cumpr o unitate de fond la fondul mutual F cuvaloarea de 200 u.m. Dac aceast unitate de fond este rscumprat peste 2 ani cu250 u.m., atunci:

250200

2000.25

10.25 1 0 . 1 1 8Exemplul 2: S presupunem c aciunea ABC a fost achiziionat la cursul de135 u.m. Dup 6 luni aceast aciune acord un dividend de 5 u.m., iar cursul su

pe pia este 140 u.m. Dac aciunea ABC va fi vndut dupa acordareadividendului atunci:

1 4 0 1 3 5 5135 0.074074

10.074074 . 10.1536n unele cazuri dorim s determinm performana medie a unui titlu pe o

perioad de timp din trecut. n acest sens, n practic se folosete att mediaaritmetic, , ct i media geometric, , a randamentelor istorice:

.

.

Exemplul 3:Valoarea de piat a unui titlu crete n primul an de la 50 u.m. la 100u.m., dup care scade din nou n anul doi la 50 u.m. Prin urmare, randamentulmediu anual este 25% conform mediei aritmetice, respectiv 0% conform mediei

geometrice.


3/15


3

Evoluia cursului, randamentul anual i randamentul mediu calculat princele dou metode sunt prezentate n tabelul alturat:

t Pt Rt

0 50 -

1 100 100 %2 50 -50 %

randamentul

mediu anual

media aritmetic 0.25media geometric 0

Observaie: Cele dou medii sunt egale doar n cazul n care toate randamentelesunt egale, n rest media aritmetic este mai mare dect cea geometric. Cu ctrandamentele sunt mai dispersate cu att media aritmetic este mai mare dect ceageometric. n timp ce randamentul mediu calculat dup media aritmetic ia nconsiderare evoluia randamentelor anuale, randamenul determinat dup media

geometricine cont doar de valoarea iniial (P0) i valoarea final (PT). Se poatearta c randamentul mediu determinat dup media geometric se reduce larandamentul anualizat al unui plasament de la 0 la n (adic este egal cu R):

.

2.1.2. Randamentul anticipatSpre deosebire de randamentul istoric a crui valoare este cert, fiind

calculat pe baza realizrilor (performanelor) trecute, randamentul anticipat esteun indicator subiectiv ce difer de la un investitor la altul n funcie de ateptrilefiecruia cu privire la evoluia viitoare a valorii (preului) instrumentului financiar.n consecin, randamentul viitor este considerat o variabil aleatoare cu o anumitdistribuie ce difer ntre investitori, iar randamentul anticipat (ateptat),E(Ri), reprezint media acestei distribuii:

.

unde, S este numrul de stri, pi - probabilitatea n starea i, Ri - randamentultitlului de valoare n starea i.

Exemplul 4: Un investitor, n funcie de evoluia viitoare ateptat a economiei,estimeaz un set de randamente posibile ale unei aciuni pe care o deine. Fiecrei


4/15


4

stri ale economiei (recesiune, stagnare, avnt economic) posibile cu o anumitprobabilitate (pi), i se asociaz un randament estimat, astfel:

Starea economiei pi (%) Ri (%)

recesiune 30 - 3

stagnare 50 2avnt 20 6

Conform acestei distribuii randamentul ateptat este: 3 0 . 3 2 0 . 5 6 0 . 2 1 . 3 %Exemplul 5: Un investitor, I, consider urmtoarea distribuie a randamentelorviitoare pentru aciunea Y:

Ri (%) -3 -1 2 3 4 6

pi (%) 5 10 20 30 25 10

Investitorul I, crede c randamentul aciuniiY va fi -3 % cu o probabilitate de 5%, -1 % cuo probabilitate de 10 % .a.m.d. Conformacestei distribuii avem ase randamente

posibile, dar ne intereseaz care este cea maiprobabil valoare. n consecin se folosetemedia distribuiei ca msur a randamentuluiateptat:

3 0 . 0 5 1 0 . 1 2 0 . 2 3 0.3 4 0.25 6 0.1 2.65 %Un randament ateptat de 2.65 %, NU reprezint un randament cert de

2.65 %, investitorul respectiv poate realiza efectiv un randament mai mic sau maimare dect aceast valoare. Cu alte cuvinte, el poate ctigan jur de 2.65 %.Cu ct randamentele posibile se abat mai mult fa de medie, cu att incertitudineainvestitorului asupra rezultatelor viitoare este mai mare. n finane, se asociaz

aceast incertitudine cu riscul instrumentului financiar.n ambele exemple de mai sus, s-a considerat o distribuie discret a

randamentelor viitoare. ntr-o alt abordare, se poate utiliza o distribuie continu,cel mai simplu caz, dar i cel mai ntlnit n literatura financiar, fiind cel aldistribuiei normale. Distribuia normal are urmtoarea funcie de densitate:

Histograma randamentelor

-3 -1 2 3 4 60

5

10

15

20

25

30


5/15


5

|, .

unde este media distribuiei, iar reprezint deviaia standard. Figura 2.1ilustreaz graficul acestei funcii de densitate pentru o medie de 0 i varian 1,

denumit n acest caz distribuia normal standard.

Conform proprietilor acestei funcii de densitate, dac o variabil aleatoare,z, urmeaz o distribuie normal standard, atunci z ia valori cuprinse n intervalul[-1.96; 1.96] cu o probabilitate de 95% i valori cuprinse n intervalul [-1.645; 1.645]cu o probabilitate de 90%. Vom scrie acest lucru astfel:

1.961.96 0.951.6451.645 0.9

Figura 2.1. Distribuia normal standard

O variabil aleatoare, x, normal distribuit de medie i deviaie standarddiferite de 0 respectiv 1, poate fi transformat ntr-o distribuie normal standard,z, astfel:

.

Prin urmare, n ipoteza unui randament normal distribuit, x, de medie ideviaie standard , se poate deduce c acesta se va afla n intervalul[ 1.96; + 1.96] cu o probabilitate de 95% respectiv n intervalul[ 1.645; + 1.645] cu o probabilitate de 90%, adic:

1 . 9 6 1 . 9 6 0.95


6/15


6

1 . 6 4 5 1 . 6 4 5 0.9Exemplul 6:Dac rentabilitatea aciunii ABC este normal distribuit cu unrandament ateptat (media distribuiei) de 12% i deviaie standard de 8%, atunci:

0.121.960.080.121.960.08 0.950.121.6450.080.121.6450.08 0.9adic randamentul va varia cu o probabilitate de 95% n intervalul [-3.68%; 27.68%]i cu o probabilitate de 90% n intervalul [-1.16%; 25.16%].

Testarea ipotezei distribuiei normale a randamentelor

Pentru a verifica n ce msur distribuia normal este adecvat pentruaproximarea distribuiei randamentelor unei aciuni se folosesc o serie de metode

(indicatori i teste statisice). Aici vom discuta doar patru dintre acestea:

Reprezentare grafic de tip cuantil-cuantil (Q-Q plot); Coeficientul de asimetrie (skewness); Coeficientul de aplatizare (kurtosis); Testul Jarque-Bera.

Reprezentarea grafic cuantilcuantil compar cuantila empiriccu cea teoretic. Dac randamentele provin dintr-o distribuie normal atunci ntreseria cuantilelor empirice i seria cuantilelor teoretice (ale distribuiei normale) va

exista o relaie liniar. Pentru a exemplifica s-au generat dou serii (vezi figura2.2): una cu o distribuie normal standard (notat cu seria 1), iar cealalt cu odistribuie exponenial de medie 1 (notat cu seria 2).

Figura 2.2. Reprezentare grafic cuantil-cuantil

a). seria1 (distribuie normal ) b). seria 2 (distribiuie exponenial)

-3 -2 -1 0 1 2 3-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Standard Normal Quantiles

QuantilesofInputS

ample

QQ Plot of Sample Data versus Standard Normal

-3 -2 -1 0 1 2 3-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

Standard Normal Quantiles

QuantilesofInputS

ample

QQ Plot of Sample Data versus Standard Normal


7/15


7

n ambele cazuri cuantilele teoretice aparin distribuiei normale standard i suntreprezentate pe axa Ox. Pe axa Oy sunt ordonate n cazul a) cuantilele calculatepentru seria 1 generat, iar n cazul b) cuantilele calculate pentru seria 2. Seobserv o dependena neliniar dintre cuantilele empirice i cele teoretice n cazulseriei 2, acest lucru indicnd faptul c aceast serie nu provine dintr-o distribuienormal (ceea ce este adevrat pentru c a fost generat dup o distribuieexponenial !).

Figura 2.3. Coeficientul de asimetrie

a)asimetrie la dreapta b). simetric c). asimetrie la stnga

n cazul n care o distribuie are o coad mai lung dect cealalt, se spune caacea distribuie este asimetric. Aceast disproporionalitate dintre coziledistribuiei este msurat prin coeficientul de asimetriecare are valoarea 0 dacdistribuia este simetric, o valoare pozitiv n cazul cozii din partea dreapt mailungi i o valoare negativ n caz contrar (vezi figura 2.3). Distribuia normal estesimetric i prin urmare coeficientul su de asimetrie este zero. n cazul n carecoeficientul de asimetrie al distribuiei empirice a randamentelor este semnificativdiferit de 0, distribuia acestora nu poate fi considerat normal.

Se poate arta c distribuia normal este o distribuie mezocurtic, adicare coeficientul de aplatizare de 3. Dac pentru o distribuie acest coeficient estemai mare de 3, distribuia este mai nalt dect cea normal (adic probabilitateavalorilor din jurul mediei este mai mare dect pentru distribuia normal) i are

cozile mai groase (adic probabilitatea valorilor extreme este mai mare dectpentru distribuia normal). n acest caz se spune c distribuia este leptocurtic.n caz contrar, distribuia este platicurtic i are un coeficient de aplatizare maimic de 3.


8/15


8

Figura 2.4. Coeficientul de aplatizare

Testul Jarque-Bera ia in considerare att coeficientul de asimetrie ct i celde aplatizare i verific n ce msur distribuia empiric poate fi aproximat cu odistribuie normal. Ipoteza nul a acestui test presupune c eantionul de dateprovine dintr-o distribuie normal, iar statistica testului se determin astfel:

.unde, N este numrul de observaii din eantion, s coeficientul de asimetrie i

k coeficientul de aplatizare. Statistica JB are o distribuie asimptotic 2

[2](Chi-ptrat cu dou grade de libertate).

Figura 2.5. Distribuia asimptotic a testului Jarque-Bera (2[2])


9/15


9

Conform distribuiei 2 [2], valoarea critic a testului Jarque-Bera pentru un gradde semnificaie statistic de 5% este 5.99, iar pentru 1% este de 9.21. Cu altecuvinte, dac statistica JB calculat pentru o serie de radamente este mai mare de9.21 respingem ipoteza nul.

Este distribuia normal cea mai bun aproximare a distribuieirandamentelor ?

Pe scurt, rspunsul este: de obicei NU. Chiar dac, n urma aplicrii testuluiJarque-Bera sau a oricrui alt test de acest gen, reiese c putem aproximadistribuia empiric a randamentelor printr-o distribuie normal, nu nseamn caceast aproximare este cea mai bun. De fapt, se poate observa c randamenteleau o distribuie leptocurtic i prin urmare, o distribuie Student-T sau GED(generalized error distribution) ar fi mai adecvat.

Exemplul 7:S considerm randamentele lunare ale SIF1, SIF2, SIF3, SIF4 pe perioada 30 noiembrie 1999 3 martie 2008. Coeficientul de asimetrie,coeficientul de aplatizare i rezultatul testului Jarque-Bera pentru aceste serii detimp sunt raportate n tabelul 2.1.

Pentru SIF3 coeficientul de asimetrie i coeficientul de aplatizare suntsemnificativ diferite de valorile corespunztoare ale unei distribuii normale(0, respectiv 1) i n consecin statistica JB de 22.5194 depeste cu mult pragulcritic de 5.99 pentru un nivel de semnificaie statistic de 5%. Deci respingem ipotezanul pentru SIF3. Pentru celelalte SIF-uri considerate aici nu respingem ipotezanul, dei observai c pentru SIF1 i mai ales SIF4 statistica JB este apropiat de

pragul critic.

Tabelul 2.1. Testarea ipotezei distribuiei normale pentru

randamentele SIF1, SIF2, SIF3i SIF4

Indicator SIF1 SIF2 SIF3 SIF4

Coef. de asimetrie 0.1986 0.2787 0.3988 0.4502

Coef. de aplatizare 3.9764 3.3759 5.1961 3.6552

Testul

Jarque-Bera

Statistica JB 4.5829 1.8645 22.5194 5.1150

p-value 0.0670 0.4054 0.0025 0.0555H0* 0 0 1 0

*dac H0 = 1 respingem ipoteza nul; dac H0 = 0 NU respingem ipoteza nul, pentru un grad desemnificaie statistic de 5%.

Faptul c pentru toate seriile de timp din acest exemplu coeficientul deaplatizare este mai mare de 3, sugereaz utilizarea unei distribuii leptocurtice.


10/15


10

ntr-adevr, dac folosim o distribuie pentru care probabilitatea valorilor din jurulmediei s fie mai mare dect pentru cea normal, obinem o aproximare adistribuiei randamentelor mai bun, chiar i pentru seriile de timp unde nu amrespins ipoteza distribuiei normale (SIF1, SIF2, SIF4).

Figura 2.6. Comparaie ntre aproximarea distribuiei randamentelorcu o distribuie normali o distribuie Student-T

a). SIF1 b). SIF2

c).SIF3 d). SIF4

n figura 6 s-a reprezentat grafic aproximarea distribuiei randamentelor prindistribuia normal (linia roie ntrerupt) i prin distribuia Student-T (linia

neagr continu)1

. Aceasta din urm, aproximeaz mai bine vrful distribuiilorrandamentelor.

1Parametriidistribuiilor(media,variana igradeledelibertate)aufostestimaiprinmaximizareafuncieide

verosimilitate(likelihoodfunction)

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Data

Density

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Data

Density

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Data

Densit

y

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Data

Density


11/15


11

Factorii determinani ai randamentului anticipat (cerut)

n funcie de anticiprile sale un investitor stabilete un anumit nivel derentabilitate ateptat pentru fiecare oportunitate de investire. Pentru cainvestitorul s fie interesat de o anumit oportunitate, trebuie ca randamentul

ateptat al acesteia s depeasc un anumit plafon (randament cerut), cencorporeaz o serie de factori precum: randamentul real fr risc, rata inflaieianticipat, i o prim de risc.

Randamentul real fr risc depinde de doi factori: preferina pentruconsumul actual, respectiv oportunitile de investire din economie. Preferinapentru consumul actual difer de la un individ la altul. Unii renun la o parte dinconsumul actual n favoarea consumului viitor, cu alte cuvinte i amn consumulpentru viitor, realiznd astzi economii. Alii n schimb, doresc s consume maimult n prezent, apelnd la economiile celorlali atunci cnd venitul lor esteinsuficient. Dac n general, preferina pentru consumul actual este mare atunciun individ va cere s fie recompensat cu un pre (rat de dobnd) mai mare pentrufiecare unitate de consum la care renun pentru a finana consumul altuia.

ntre oportunitile de investire dintr-o economie i rata de cretereeconomic pe termen lung exist o strns conexiune. ntr-o economie aflat nexpansiune cresc oportunitile de investire ct i interesul investitorilor n acestea.Randamentul cerut de investitori va include rata de cretere economic anticipatla care mai adaugi ali factori ce urmeaz a fi discutai. Spre exemplu, dac rata

de cretere economic anticipat este de 5%, atunci investitorii vor cere unrandament de cel puin 5% pentru a finana activitatea firmelor din economiarespectiv.

Ajustnd rentabilitate real fr risc cu rata anticipat a inflaiei(conform relaiei lui Fisher) se determin randamentul nominal fr risc. Laacesta din urm, pentru a determina rentabilitatea cerut de investitor se maiadaugi oprim de risc. Prima este cerut pentru a acoperi urmtoarele riscuri:

Riscul dat de domeniul de activitate. Este evident faptul c fiecare sector deactivitate are o serie de factori de risc specifici. n consecin, un investitor

dup ce identific aceti factori de risc va percepe o prim de risc diferitpentru fiecare sector.

Riscul de finanare. Acest risc apare atunci cnd o firm obine resursesuplimentare prin emisiunea de obligaiuni, deoarece dobnzile ieventualele rate sunt pltite creditorilor din rezultatele financiare ale firmeinainte de plata dividendelor. Cu ct gradul de ndatorare al firmei este mai


12/15


12

mare cu att prima pentru riscul de finanare perceput de investitorii naciuni va fi mai mare.

Riscul de lichiditate. Cu ct aciunea poate fi transformat mai repede nnumerar cu att prima pentru riscul de lichiditate va fi mai mic. n cazul ncare ac

iunea este cotat

la burs

n categoria celor mai lichide titluri, prima

pentru riscul de lichiditate cerut de un investitor ar putea fi chiar zero. Riscul valutar. Acest risc este specific investiiilor n active denominate n

moned strini este determinat de volatilitatea cursului de schimb. Spreexemplu, s considerm un investitor romn care cumpr 100 aciuni aleunei firme germane la preul de 1 euro, cnd cursul de schimb EUR/RON erade 3.8. Dac dup o lun cursul aciunilor devine 1.3 euro, iar cursul valutar3.3, nseamn c randamentul aciunii n euro este de 30% ( (1.3/1-1)*100),iar randamentul plasamentului su transformat n lei este doar de 12.9%((1.3*3.3/3.8-1)*100).

Riscul de ar ncorporeaz modificrile majore ce pot aprea n mediuleconomic i politic al unei ri. Acest risc poate fi intlnit i sub denumirea derisc politic.

2.1.3. Riscul instrumentelor financiareAa cum s-a indicat mai sus, riscul unui instrument financiar se refer

la volatilitatea randamentelor acestuia i la incertitudinea asupra

rezultatelor viitoare creat de aceast volatilitate.Pentru a cuantifica riscul se pot utiliza urmtorii indicatori statistici: Variana (2); Deviaia standard (); Coeficientul de variaie (CV); Semivariana (semiVar).

Primii doi indicatori sunt cei mai utilizai n literaturi se calculeaz astfel:

.

.unde, s reprezint numrul de stri (folosim aceast formul pentru distribuiidiscrete precum cele din exemplele 4 i 5 din acest capitol), iar n este numrul de


13/15


13

observaii din seria de randamente considerat (utilizm aceast formul dac sefolosete o serie de randamente istorice).

Variana msoar abaterea ptratic medie fa de medie. Conform moduluide calcul, randamentele sunt ridicate la ptrat, ceea ce nseamn c unitatea de

msur n acest caz este procent la ptrat ! Din acest motiv se calculeaz radicalulvarianei, adicdeviaia standard, care este mai uor de interpretat, unitatea demsur fiind procentul. Cu ct variana (deviaia standard) este mai mare cu attintervalul de variaie al randamentelor viitoare este mai mare, cu alte cuvintecrete probabilitatea randamentelor din cozile distribuiei.

Exemplul 8: n exemplul 6 s-a presupus c o aciune (ABC) are unrandament anticipat de 12% i o deviaie standard de 8%. Prin aproximareadistribuiei randamentelor cu o distribuie normal, s-a artat c intervalul devariaie al randamentelor viitoare este [-3.68%; 27.68% ] cu o probabilitate de 95%.

Figura 2.7. Intervale de variaie a randamentelor normal distribuite

de medie 12% i deviaie standard 8% respectiv 12%

Dac n loc de 8% deviaia standard este de 10%, atunci intervalul de variaiepentru o probabilitate de 95% devine [ -7.6%; 31.6%], iar pentru o deviaie standardde 12 % intervalul crete i mai mult ajungnd la [-11.52%; 35,52%]. Aceste intervale

de variaie ale randamentelor viitoare pentru o distribuie normal sunt ilustrate nfigura 2.7.

n concluzie, pe msur ce crete abaterea fa de medie a randamentelor,msurat prin varian (deviaie standard), crete i incertitudinea cu privire larandamentele viitoare (ele se pot ndeprta foarte mult fa de randamentulanticipat). O varian (deviaie standard) mai mare nseamn un risc mai mare.


14/15


14

Coeficientul de variaie se dovedete a fi o msur a riscului superioarvarianei (deviaiei standard) n cazul unei diferene semnificative dintrerandamentele ateptate. Coeficientul de variaie se calculeaz dup formula:

.

Din modul de calcul deducem c acest indicator msoar riscul pe unitatea derandament anticipat. Spre exemplu, s presupunem dou aciuni X i Y al cror risccalculat prin deviaia standard este de 2.8% respectiv 4.5%. Judecnd riscul celordou aciuni prin prisma deviaiei standard spunem c Y este mai riscant dect X.Dac, randamentul ateptat pentru X este 7% i pentru Y de 15%, atunciraionamentul anterior este neltor, ntruct riscul pe unitatea de randament estede 0.3 pentru Yi de 0.4 pentru X (deci X este mai riscant).

Un investitor ar putea s fie interesat doar de volatilitatea randamenteloraflate sub medie (downside risk). n acest sens se calculeazsemivariana dupformula:

.unde ; .Exemplul 9: Se consider urmtorul scenariu (distribuie discret ) pentrurandamentul viitor al unei aciuni:

Ri (%) -11 -9 -7 -5 -3 -1 0 2 4 6 8Pi (%) 1 2 4 7 10 12 14 17 15 11 7

Randamentul anticipat este:

1 1 0 . 0 1 9 0 . 0 2 7 0 . 0 4 5 0 . 0 7 3 0 . 1 1 0 . 1 2 0 0 . 1 4 2 0 . 1 7 4 0.15 6 0.11 8 0.07 0.82 %

-11 -9 -7 -5 -3 -1 0 2 4 6 80

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Randamente

Probabilitati

Histograma randamentelor


15/15


15

Variana este:

110.82 0.01 90.82 0.02 70.82 0.04 50.82 0.07 30.82 0 . 1 10.82 0.12 00.82 0.14 20.82 0.17 40.82 0.15 60.820.11 80.82 0.0718.4076

Deviaia standard este:

18.4076 4.2904 %Coeficientul de variaie este:

4.29040.82 5.2322Semivariana este:

110.82 0.01 90.82 0.02 70.82 0.04 50.82 0.07 30.82 0 . 1 10.82 0.12 00.82 0.1410.0938

Curs 4 Risc&Rentab I - piete de capital

Documents

Transcript of Curs 4 Risc&Rentab I - piete de capital