29

SPAŢII METRICE

Definiţia 1.1. Fie X o mulţime nevidă. O aplicaţie :d X X +× →� se numeşte distanţă (sau metrică) pe X dacă sunt satisfăcute următoarele axiome:

(a) ( ), 0d x y = dacă şi numai dacă x y= , ,x y X∀ ∈ ;

(b) ( ) ( ), ,d x y d y x= , ,x y X∀ ∈ ;

(c) ( ) ( ) ( ), , ,d x z d x y d y z≤ + , , ,x y z X∀ ∈ (numită inegalitatea

triunghiului). În acest caz, perechea ( ),X d se numeşte spaţiu metric.

Aşadar, oricărei perechi de puncte ,x y X∈ i se asociază un număr

real nenegativ ( ),d x y numit distanţa de la x la y .

Pe aceeaşi mulţime X pot fi definite mai multe distanţe, deci mai multe structuri de spaţiu metric.

Exemplu 1.1. Aplicaţia :d +× →� � � , ( ),d x y x y= − , ,x y∀ ∈�

este distanţă. Într-adevăr, (a) ( ), 0d x y = 0 0x y x y x y⇔ − = ⇔ − = ⇔ = ;

(b) ( ) ( ), ,d x y d y x= ( ) ( ), ,d x y x y y x d y x⇔ = − = − = ;

(c) ( ) ( ) ( ), , ,d x z d x y d y z≤ + ( ),d x z x z x y y z⇔ = − = − + − ≤

( ) ( ), ,x y y z d x y d y z≤ − + − = + .

Exemplul 1.2. Fie X o mulţime nevidă şi :d X X +× →� ,

( )1, ,

,0, ,

daca x yd x y

daca x y

≠=

=

este o distanţă pe X , iar ( ),X d este un spaţiu metric discret.

Într-adevăr, (a) prin definiţie ( ), 0d x y = x y⇔ = ;

(b) avem

( ) ( ), ,d x y d y x= ⇔ ( )1,

,0,

daca x y y xd x y

daca x y y x

≠ ⇔ ≠=

= ⇔ =( ),d y x= ;

(c) să prin abusurd că există 0 0 0, ,x y z X∈ astfel încât

( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0, , ,d x z d x y d y z> + . Cum d ia numai valorile 0 şi 1 , este

30

necesar ca ( ) ( )0 0 0 0, , 0d x y d y z= = şi ( )0 0, 1d x z = . De aici rezultă că

0 0 ,x y= 0 0y z= şi 0 0x z≠ , contradicţie. Prin urmare,

( ) ( ) ( ), , ,d x z d x y d y z≤ + , , ,x y z X∀ ∈ .

Exemplul 1.3. Considerăm spaţiul real n − dimensional,

( ){ }1 2 1 2, ,..., , ,...,nn nx x x x x x= ∈� � . Fie : n nd +× →� � � ,

( ) ( ) ( ) ( )22 2

1 1 2 2, ... n nd x y x y x y x y= − + − + + − , , nx y∀ ∈� ,

( )1 2, ,..., nx x x x= , ( )1 2, ,..., ny y y y= . Atunci d este distanţă pe n� , numită

distanţă euclidiană. ( ),n d� se numeşte spaţiul euclidian n� .

Propozitţa 1.1. Fie ( ),X d un spaţiu metric. Pentru orice

1 2, ,..., nx x x X∈ are loc următoarea inegalitate

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 1, , , ... ,n n nd x x d x x d x x d x x−≤ + + + ,

numită inegalitatea poligonului. Propoziţia 1.2. Fie ( ),X d un spaţiu metric. Pentru orice

, , ,x y z t X∈ are loc inegalitatea

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,d x y d z t d x z d y t− ≤ + ,

numită inegalitatea patrulaterului. Definiţia 1.2. Fie ( ),X d un spaţiu metric, a X∈ şi 0r > .

Următoarea mulţime

( ) ( ){ }, ,B a r x X d a x r= ∈ <

se numeşte bila deschisă cu centrul în a şi rază r . Mulţimea notată

( ) ( ){ }, ,B a r x X d a x r= ∈ ≤

se numeşte bila închisă cu centrul în a şi rază r , iar mulţimea notată ( ) ( ){ }, ,S a r x X d a x r= ∈ =

se numeşte sfera cu centrul în a şi rază r . Exemplul 2.1.4. În spaţiul metric al numerelor reale, X = � şi

( ),d x y x y= − , ,x y∀ ∈� , avem ( ) ( ), ,B a r a r a r= − + . Mai mult, orice

31

interval ( ),a b din � coincide cu o bilă deschisă din � şi anume,

( ), ,2 2

a b a ba b B

+ − =

.

Avem ( ) [ ], ,B a r a r a r= − + . Mai mult, orice interval [ ],a b din �

coincide cu o bilă închisă din � şi anume, [ ], ,2 2

a b a ba b B

+ − =

.

Exemplul 2.1.5. Dacă 3X = � cu metrica discretă

( )1,

, ,0,

daca x yd x y

daca x y

≠=

= atunci ( ) { },B a r a= , dacă 1r < şi ( ) 3,B a r = � ,

dacă 1r ≥ .

Exemplul 2.1.6. Dacă nX = � , ( )1 2, ,..., nna a a a= ∈� , 0r > cu

distanţa euclidiană, atunci bila

( ) ( ) ( )2 2

1 21

, , ,...,n

nn i i

iB a r b b b b a r

=

= ∈ Σ − ≤

� .

Dacă 2n = bilele sunt „discuri pline”, iar pentru 3n = , bilele sunt „sfere pline”.

§ 2.2 Şiruri în spaţii metrice.

Definiţia 2.1. Fie ( ),X d un spaţiu metric, x X∈ şi ( ) 1n nx

≥ un şir de

puncte din X . Spunem că şirul ( ) 1n nx

≥ este convergent la x dacă pentru

orice 0ε > există un rang ( )n ε ∈� astfel încât ( ),nd x x < ε , oricare ar fi

( )n n≥ ε .

Se notează lim nn

x x→∞

= sau dnx x→ sau simplu nx x→ .

Definiţia 2.2. Fie ( ),X d un spaţiu metric, x X∈ şi ( ) 1n nx

≥ un şir de

puncte din X . Spunem că şirul ( ) 1n nx

≥ este şir Cauchy dacă pentru orice

0ε > există un rang ( )n ε ∈� astfel încât ( ),m nd x x < ε , oricare ar fi

( ),m n n≥ ε .

Propoziţia 2.1. Fie ( ),X d un spaţiu metric şi ( ) 1n nx

≥, ( ) 1n n

y≥

două

şiruri de puncte din X astfel încât nx x→ şi ny y→ , ,x y X∈ .

Atunci ( ) ( )lim , ,n nn

d x y d x y→∞

= .

32

Demonstraţie. Fie 0ε > . Deoarece nx x→ , rezultă că există un

rang ( )1n ε ∈� astfel încât ( ),2nd x xε

< , pentru orice ( )1n n≥ ε . Iar din

faptul că ny y→ , rezultă că există un rang ( )2n ε ∈� astfel încât

( ),2nd y yε

< , pentru orice ( )2n n≥ ε .

Notăm cu ( ) ( ) ( ){ }1 2max ,n n nε = ε ε . Cu inegalitatea patrulaterului,

rezultă că ( ) ( ) ( ) ( )0 , , , ,2 2n n n nd x y d x y d x x d y yε ε

≤ − ≤ + < + = ε , pentru

orice ( )n n≥ ε , adică ( ) ( )lim , ,n nn

d x y d x y→∞

= .

Propoziţia 2.2. Într-un spaţiu metric ( ),X d limita unui şir

convergent este unică. Demonstraţie. Fie ( ) 1n n

x X≥

⊂ un şir convergent. Presupunem prin

absurd că există ,x y X∈ , x y≠ astfel încât dnx x→ şi d

nx y→ . Din

x y≠ rezultă că ( ), 0d x yε = > .

Cum dnx x→ , există un rang ( )1n ε ∈� asfel încât ( ),

2nd x xε

< ,

pentru orice ( )1n n≥ ε , iar din dnx y→ , există un rang ( )2n ε ∈� astfel

încât ( ),2nd x yε

< , pentru orice ( )2n n≥ ε .

Fie ( ) ( ) ( ){ }1 2max ,n n nε > ε ε , avem

( ) ( ) ( ), , ,2 2n nd x y d x x d x yε ε

ε = ≤ + < + = ε ,

Contradicţie. Teorema 2.1. Într-un spaţiu metric ( ),X d orice şir convergent este

şir Caunchy. Demonstraţie. Presupunem că ( ) 1n n

x≥

este şir convergent la x X∈ .

Fie 0ε > . Atunci există ( )n ε ∈� astfel încât ( ),2nd x xε

< , pentru orice

( )n n≥ ε .

Pentru orice ( ),m n n≥ ε , avem

( ) ( ) ( ), , ,2 2m n m nd x x d x x d x xε ε

≤ + < + = ε ,

33

adică ( ) 1n nx

≥ este şir Cauchy.

� Teorema 2.2. Fie ( ),X d un spaţiu metric şi ( ) 1n n

x X≥

⊂ un şir

Cauchy care are un subşir ( )1nk n

x≥

convergent la x X∈ .

Atunci ( ) 1n nx

≥ este convergent la x .

Demonstraţie. Fie 0ε > . Cum ( ) 1n nx X

≥⊂ este şir Cauchy, rezultă că

există un rang ( )1n ε ∈� astfel încât ( ),2m nd x xε

< , pentru orice

( )1,m n n≥ ε .

Din faptul că n

dkx x→ , rezultă că există un rang ( )2n ε ∈� astfel

încât ( ),2nkd x xε

< , pentru orice ( )2n n≥ ε .

Fie acum ( ) ( ) ( ){ }1 2max ,n n nε = ε ε . Atunci pentru orice ( )n n≥ ε

avem ( ) ( ) ( ), , ,2 2n nn n k kd x x d x x d x xε ε

≤ + < + = ε .

Dacă ( )n n≥ ε , atunci ( )nk n n≥ ≥ ε . Deci ( ),nd x x < ε , pentru orice

( )n n≥ ε , adică dnx x→ .

Teorema 2.2.4. Într-un spaţiu metric ( ),X d orice subşir al unui şir

convergent este convergent. În plus, limita şirului este egală cu limita subşirului.

Demonstraţie. Fie ( ) 1n nx X

≥⊂ , d

nx x X→ ∈ şi ( )1nk n

d x≥

un

subşir al şirului ( ) 1n nx

≥.

Fie 0ε > . Cum dnx x→ , există un rang ( )n ε ∈� astfel încât

( ),nd x x < ε , pentru orice ( )n n≥ ε . Şirul de numere naturale ( ) 1n nk

≥ este

stric crescător şi nemărginit. De aceea, există ( )1n ε ∈� astfel încât

( )nk n≥ ε , pentru orice ( )1n n≥ ε .

Atunci avem că ( ),nkd x x < ε , pentru orice ( )1n n≥ ε , adică

n

dkx x→ .

34

Într-un spaţiu metric, orice şir Convergent este şir Cauchy. Reciproca nu este adevărată.

Exemplul 2.2.1. Fie spaţiul metric al numerelor raţionale ( ),d�

înzestrat cu distanţa :d +× →� � � , ( ),d x y x y= − , ,x y∀ ∈� .

În acest spaţiu, şirul 2

, 1n

nx n

n

= ≥ , este şir Cauchy, dar nu este

şir convergent.

Definiţia 2.2.3. Un spaţiu metric în care orice şir Cauchy este şir convergent se numeşte spaţiu metric complet. Spatiul metric al numerelor reale este complet. Orice şir Cauchy de numere reale reale este convergent.

§ 2.3 Spaţii metrice particulare.

Definiţia 3.1. Fie X un spaţiu vectorial peste corpul K ( K = � sau � ). O aplicaţie : X⋅ →� ( x x→ )se numeşte normă dacă au loc

următoarele proprietăţi: (a) 0,x x X≥ ∀ ∈ şi 0 0x x= ⇔ = ;

(b) ,x x x Xλ = λ ∀ ∈ ∀ λ ∈� ;

(c) ,x y x y x y X+ ≤ + ∀ ∈ (inegalitatea triunghiului).

Exemplul 3.1. Fie � un spaţiu vectorial peste corpul � , aplicaţia

,x x x= ∀ ∈� verifică axiomele unei norme.

Exemplul 3.2. Fie n

� un spaţiu vectorial peste corpul � , următoarele aplicaţii sunt norme pe n

� .

(a) ( )21 2

1, , ,...,

nn

i ni

x x x x x x=

= Σ ∀ = ∈� (norma euclidiană);

(b) ( )1 21

, , ,...,n

ni n

ix x x x x x

== Σ ∀ = ∈� ;

35

(c) ( )1 21max , , ,..., n

i ni n

x x x x x x≤ ≤

= ∀ = ∈� .

Exemplul 3.3. Fie [ ] [ ]{ }0 , : : , ,X C a b f f a b f continua= = →� un

spaţiu vectorial peste corpul � , următoarele aplicaţii sunt norme pe X .

(a) ( )

1 2

2 ,b

a

f f x dx f X = ∀ ∈ ∫ ;

(b) [ ]

( ),

sup ,x a b

f f x f X∈

= ∀ ∈ .

Definiţia 3.2. Perechea ( ),X ⋅ formată dintr-un spaţiu vectorial X şi

o normă pe X se numeşte spaţiu vectorial normat. Propoziţia 3.1. Fie spatiu vectorial normat ( ),X ⋅ şi :d X X× →� ,

( ),d x y x y= − , ,x y X∀ ∈ .

Atunci d este o distanţă pe X . Demonstraţie. Într-adevăr, (a) ( ), 0, ,d x y x y x y X= − ≥ ∀ ∈ şi

( ), 0d x y x y= − = 0 0x y x y x y⇔ − = ⇔ − = ⇔ = .

(b). Din proprietatea a doua a norme avem

( ) ( ),d x y x y y x= − = − − ( )1 ,y x d y x= − − = .

(c). În final, folosind inegalitatea triunghiului avem

( ),d x y x y= − = ( ) ( ) ( ) ( ), ,x z z y x z z y d x z d z y− + − ≤ − + − = + .

Observaţia 3.1. Orice spatiu vectorial normat devine un spaţiu metric în care distanţa este definită cu ajutorul normei.

Observaţia 3.2. Nu orice spaţiu metric este spaţiu normat, deoarece în

definiţia spaţiului metric nu se cere ca mulţimea X să fie spaţiu vectorial peste corpul K . Astfel, dacă ( ),X d este spaţiu metric şi X nu aste spaţiu

vectorial, atunci X nu poate fi spaţiu vectorial normat. Propoziţia 3.2. Fie ( ),X ⋅ un spaţiu vectorial normat şi fie şirurile

convergente ( ) 1n nx X

≥⊂ şi ( ) 1n n

y X≥

⊂ . Atunci şirurile ( ) 1n nx

≥λ şi

( ) 1n n nx y

≥+ sunt convergente şi

lim limn nn n

x x→∞ →∞

λ = λ , K∀ λ∈ ,

36

( )lim lim limn n n nn n n

x y x y→∞ →∞ →∞

+ = + .

Demonstraţie. Fie lim nn

x x→∞

= şi lim nn

y y→∞

= . Atunci pentru orice

0ε > , există un rang ( )n ε ∈� astfel încât 2nx xε

− < , pentru orice

( )n n> ε .

Din aceste inegalităţi avem:

( ) ( ) ( ) ( )n n n nx y x y x x y y+ − + = − + − ≤

( ),2 2n nx x y y n nε ε

≤ − + − < + = ε ∀ > ε ,

rezultă că şirul ( ) 1n n nx y

≥+ este convergent şi ( )lim n n

nx y x y

→∞+ = + .

Analog se demonstrează că şirul ( ) 1n nx

≥λ este convergent şi

lim nn

x x→∞

λ = λ .

Definiţia 3.3. Un spaţiu vectorial normat în care orice şir Cauchy este convergent se numeşte spaţiu Banach.

O categorie de spaţii normate sunt spaţiile prehilbertiene (acele spaţii

normate în acre norma este definită cu ajutorul produsului scalar). Definiţia 3.4. Fie X un spaţiu vectorial peste corpul K ( K = � sau

� ). O aplicaţie , : X X K⋅ ⋅ × → (( ), ,x y x y→ )se numeşte produs scalar

dacă au loc următoarele proprietăţi: (a) , 0,x x x X≥ ∀ ∈ şi , 0 0x x x= ⇔ = ;

(b) , , ,x y x y x y X= ∀ ∈ ;

(c) 1 2 1 2 1 2, , , 0, , ,x x y x y x y x x y X+ = + ≥ ∀ ∈ ;

(d) , , , ,x y x y x y X Kλ = λ ∀ ∈ ∀ λ ∈ .

Exemplul 3.4. Fie [ ] [ ]{ }0 , : : , ,X C a b f f a b f continua= = →� un

spaţiu vectorial peste � , aplicaţia ( ) ( ), , ,b

a

f g f x g x dx f g X= ∀ ∈∫ este

un produs scalar pe X .

37

Dacă [ ] [ ]{ }0 1,1 : : 1,1 ,X C f f f continua= − = − →� , ( ) 2f x x= şi

( )g x x= , atunci 1

2

1

, 0f g x xdx−

= ⋅ =∫ .

Exemplul 3.5. Fie nX = � un spaţiu vectorial peste � , aplicaţia

1, , ,

nn

i ii

x y x y x y=

= Σ ∀ ∈� , ( )1 2, ,..., nx x x x= , ( )1 2, ,..., ny y y y= este un

produs scalar pe X . În continuare vom lucra cu spaţii vectoriale reale. A doua axiomă a

produsului scalar devine în acest caz: , , ,x y y x x y X= ∀ ∈ (produsul

scalar este simetric). Din proprietăţile (c) şi (d) ale produsului scalar deducem că acesta

este liniar în prima componentă:

1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2, , , 0, , , , ,x x y x y x y x x y Xα + α = α + α ≥ ∀ ∈ ∀α α ∈�

şi în general:

1 1, ,

n n

i i i ii i

x y x y= =Σ α = Σ α .

Din simetrie deducem şi liniaritatea în raport cu al doilea argument:

1 1 1 1, , , ,

n n n n

j j j j j j j jj j j j

x y y x y x x y= = = =Σ β = Σ β = Σ β = Σ β .

Din cele două proprietăţi deducem:

1 1 1 1, , , , ,

n n n n

i i j j i j i j i j i ji j i j

x y x y x y X= = = =Σ α Σ β = Σ Σ α β ∀ ∈ ∀ α β ∈� .

Propoziţia 3.3. Fie X un spaţiu vectorial peste corpul � pe care s-a

definit un produs scalar, notat ,⋅ ⋅ . Atunci pentru orice ,x y X∈ are loc

inegalitatea:

, , ,x y x x y y≤

(inegalitatea lui Cauchy – Buniakovski - Schwartz). Demonstraţie. Fie ,x y X∈ şi λ ∈� , avem:

20 , , 2 , ,x y x y x x x y y y≤ λ − λ − = λ − λ + .

Cum avem o funcţie de gradul doi în λ , deducem:

0 , , ,x y x x y y∆ ≤ ⇔ ≤ ⋅ .

38

� Observaţia 3.3. În cazul în care nX = � , cu produsul scalar definit

mai sus, inegalitatea lui Schwartz devine:

2 2

1 1 1

n n n

i i i ii i i

x y x y= = =Σ ≤ Σ ⋅ Σ ,

inegalitate cunoscută din liceu.

Vom arăta în continuare că pe un spaţiu vectorial X pe care avem un produs scalar se poate defini o normă astfel:

Propoziţia 3.4. Fie X un spaţiu vectorial pe care s-a definit un

produs scalar, ,⋅ ⋅ . Atunci aplicaţia : , ,X x x x⋅ → =� , x X∀ ∈ este

normă pe X .

Demonstraţie. (a) , 0,x x x x X= ≥ ∀ ∈ şi , 0x x x= =

, 0x x⇔ = 0x⇔ = .

(b) 2, , , , ,x x x x x x x x x X Kλ = λ λ = λ = λ = λ ∀ ∈ ∀ λ ∈ .

(c) Dacă ,x y X∈ atunci 2 2 2

, 2 ,x y x y x y x x y y+ = + + = + + ≤

( )22 2

2x y x y x y≤ + + ⋅ = + .

În final avem că x y x y+ ≤ + .

Definiţia 3.5. Un spaţiu vectorial pe care s-a definit un produs scalar

se numeşte spaţiu prehilbertian. Observaţia 3.4. Conform propoziţiei 3.4. orice spaţiu prehilbertian

este spaţiu vectorial normat. Definiţia 3.4. Un spaţiu prehilbertian, în care orice şir Cauchy este

convergent, se numeşte spaţiu Hilbert.