Curs 1 Aeroacustca 2011

AEROACUSTICA_2011_1 Ş.l.dr.ing.mat. Alina Bogoi 1

Cap.

1Ecuaţii generale (recapitulare)

AEROACUSTCĂ


CAPITOLUL 1

Noţiuni introductiveEcuaţia generală de transportForma locală a ecuaţiei de transportParticularizări ale ecuaţiei de transport

Ecuaţia de transport a maseiEcuaţia de transport a impulsuluiEcuaţia de transport a energieiInegalitatea Clausius-Duhem

Clasificarea EDP.


1.1.1 Noţiuni de calcul vectorial1.1.2 Tensori de ordinul p1.1.3 Proprietăţi ale tensorilor de ordinul p

1

n

i i i ii

x x=

= =∑x e e

1 1 2,..., ...p pp k k k k kA T A A∈ ⇔ = ⊗ ⊗ ⊗e e e


Exemple: a) (mulţimea scalarilor daca A se caracterizează printr-o singură

valoare reală) b) (mulţimea vectorilor) – se caracterizează prin n-upluri de

numere reale.

c) (mulţimea matricelor )

0A∈ℑ ≡

1A V∈ℑ =

1 11 k kA T A A∈ ⇔ = e

2A∈ℑ

1 2 1 22 ,k k k kA A A∈ℑ ⇔ = ⊗e e

n n×


Tensori de ordinul p

Cazuri particulare

( )( )

( )

0 0

3 31 1

32 2

3

0 , ,

1 , ,

2 , ,

3 ,

i i

n n ij i j

ijk i j k

p a a a

p v

p M A

p A×

= → ℑ = ∈ ℑ =

= → ℑ = ∈ ℑ =

= → ℑ = ∈ ℑ = ⊗

= → ∈ ℑ = ⊗ ⊗

v v e

A A e e

A A e e e

1 1 22 ......., ........p pp i i i i i iA∈ℑ = ⊗ ⊗ ⊗A A e e e


Operatori

∇ = ei∂∂xii

∑ ,

( ) ( ) 1

1 1

...

... ...p

p p

k k

k k i k k ii

gradx

ϕϕ ϕ

∂= ∇ =

∂

( )1 1 1 1... , 1...

p pk k k k k k pdiv tr grad Tϕ ϕ ϕ ϕ− − +∇ = = = ⊗ ⊗ ∈e e

GRADIENTUL

DIVERGENŢA

ROTORUL

1 2 1 1 1 1 1 1... ... , 3... ...n p p pk k em j j m e j j k k p nrot Tϕ ϕ− − − − + −=∈ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ∈e e e e

1 1... ...p pk k k k pTϕ ϕ= ⊗ ⊗ ∈e e

( ) pkkkkkk Teegraddivpp∈⊗⊗==Δ

rr ...11 ,...ϕϕϕ

LAPLACE-ian


Derivata totală a unei mărimi oarecare

Derivata materială a unei funcţii scalare

Derivata materială a unei funcţii vectoriale

Derivata materială a vitezei

De e eDt t

∂= + ⋅∇∂

V

( )DDt t

∂= + ⋅∇

∂W W V W

( )2

2D VDt t

⎞⎛∂= +∇ + ∇× ×⎟⎜∂ ⎝ ⎠

V V V V


Teorema

de transport Reynolds

( )( )

( )( )

( )( )( )

,, ,

D t D t S t

td t d d t ddt t

ω ω σ∂

= + ⋅∂∫ ∫ ∫ S

B xB x B x v n

Dacă volumul de control este fix :

Fie tensorul

: ( ), , 2pt T p∈ ≤B x

0=Sv

( ) [ ) 30, 0,t D t∈ × ⊂ ×x


Teorema

Gauss (flux-divergenţă):

n

^n

A∂^n

^n

^n

( ) ( )

( )( )

( )( )

, ,

A t V t

A t V t

d d

t d t d

σ ω

σ ω

∂

∂

⋅ = ∇ ⋅

= ∇ ⋅

∫ ∫

∫ ∫

V n V

Ψ x n Ψ x

unde

se foloseşte normala exterioară:

( )( )

1

2

,

,

t

t

∈ℑ

∈ℑ

V x

Ψ x


2. Ecuaţia generală de transport


Forma integrală

( )( )

( )( )

( )( )

, , ,D t D t D t

d t d S t d t ddt φρφ ω ρ ω σ

∂

= +∫ ∫ ∫x x Ψ x n

( ) [ ) 30, 0,t D t∈ × ⊂ ×x ( ), , pS tφφ ∈ℑx ( ) 1, pt +∈ℑΨ x

Variaţia în interiorul volumului de control D(t) a unei mărimi în raport cu timpul se datorează:

I –

producerii/distrugerii mărimii în interiorul domeniului considerat;II – intrării/ieşirii mărimii prin

suprafaţa

domeniului considerat.


Forma integrală

( )( )

( )( )

( )( )

, , ,D t D t D t

d t d S t d t ddt φρφ ω ρ ω σ

∂

= +∫ ∫ ∫x x Ψ x n

( )( )

( )( )

( )( )( )

,, ,

D t D t D t

td t d d t ddt t

ρφρφ ω ω ρφ σ

∂

∂ ⎡ ⎤⎣ ⎦= + ⋅∂∫ ∫ ∫x

x x V n

( )( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

, ,

, ,

D t D t

D t D t

t d t d

t d t d

ρφ σ ρφ ω

σ ω

∂

∂

⋅ = ∇ ⋅ ⎡ ⎤⎣ ⎦

= ∇ ⋅

∫ ∫

∫ ∫

x V n x V

Ψ x n Ψ x

Aplicând teorema lui Reynolds şi formula flux-divergenţă :


( )( )

( )( ) ( ){ }

( )

,, , ,

D t D t

tt d S t t d

t φ

ρφρ φ ω ρ ω

⎧ ⎫∂ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎣ ⎦ + ∇ ⋅ ⎡ ⎤ = +∇ ⋅⎨ ⎬⎣ ⎦∂⎪ ⎪⎩ ⎭∫ ∫

xV x x Ψ x

Forma locală a ecuaţiei generale de transport:

( ) ( ){ {

IVIIIIII

St φ

ρφρφ ρ

∂+ ∇ ⋅ = + ∇ ⋅

∂V Ψ

14243123

Ι

– variaţia în raport cu timpul şi pe unitatea de volum a marimii ;II –

termen convectiv (flux convectiv) – transportul la scară macro prin frontieră a mărimii datorat fluxului de masă este vizibil fizic; se produce prin intermediul vitezei de amestec sau vitezei medii .III –

producerea/distrugerea mărimii în interiorul domeniului considerat, pe unitatea de timp;IV –

termen

datorat

conducţiei

sau

difuziei

(flux conductiv). Conducţia

este specifică

solidelor

iar

difuzia

este specifică

gazelor. Fenomenul

de transport prin

frontieră

se desfăşoară

la nivel

molecular

cu

ajutorul

vitezei

de difuzie.

Forma locală


Ecuaţia generală de transport sub formă locală

( ) ( ) ( )St φ φ

ρφρφ ρ φ

∂+∇ ⋅ = +∇ ⋅ Γ ∇

∂V

Forma generală

a fluxului difuziv:

( ) ( ){ {

IVIIIIII

St φ

ρφρφ ρ

∂+ ∇ ⋅ = + ∇ ⋅

∂V Ψ

14243123

φ φ=Γ ∇Ψ

( ) ( )ii i i

V St x x xφ φ

ρφ φρφ ρ∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂

+ = + Γ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Pe

componente:


Ecuaţia conservării masei totale (ecuaţia de continuitate).Forma locală.

( ) 0tρ ρ∂+∇⋅ =

∂V

Ecuatia

de conservare

de masa

se obtine

din ecuatia

generala

de transport daca:( ) ( )

{ {IVIIIII

I

St φ

ρφρφ ρ

∂+∇⋅ = +∇⋅

∂V Ψ

14243123

100

Sφ

φ ==

=Ψ


Pe componente:

( ) 0tρ ρ∂+∇⋅ =

∂V

Aplicand formula derivatei totale


Cazuri speciale

Curgerea compresibilă stationară

and ρ

= constant

Curgere incompresibilă:


Ecuaţia conservării masei totale (ecuaţia de continuitate).Forma locală.

( ) 0tρ ρ∂+∇⋅ =

∂V

Ecuatia generală de transport împreună cu ecuaţia

de conservare

de masa

conduce la:

( ) ( ){ {

IVIIIIII

St φ

ρφρφ ρ

∂+∇⋅ = +∇⋅

∂V Ψ

14243123

d Sdt φφρ ρ= +∇ ⋅Ψ


Ecuatia

de conservare

de impuls

se obţine

din ecuaţia

generală

de

transport dacă:

Ecuaţia

de transport a impulsului sau

ecuaţia

Navier-Stokes

( ) ( ){ {

IVIIIIII

St φ

ρφρφ ρ

∂+∇ ⋅ = +∇ ⋅

∂V Ψ

14243123

( )

( )

( )

3

,

,

,

t

kgS tsm

t

φ

φ =

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦=

V x

f x

Ψ T x

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

,, ,

,, ,

d tt t

dtt

t tt

ρ ρ

ρρ ρ

= +∇

∂ ⎡ ⎤⎣ ⎦ +∇ ⊗ = +∇∂

V xf x T x

V xV V f x T x

Tensor CAUCHY


⎩⎨⎧

≠=

=jiji

ij if 0 if 1

δ

Tensorului lui Cauchy.Relaţii constitutive.

p=− +T I τreprezintă partea elastică,

partea disipativă sau vâscoasă.

ij ij ijT pδ τ=− +( ) 2divλ μ= +τ V I D

Tensor vitezelor de deformatie

Tensor vâscos

( )

1 12 2

1 1 12 2 2

1 12 2

ij j i i j

u u v u wx y x z x

v u v v wD u ux y y z y

w u w v wx z y z x

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟= ∂ +∂ = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

( )

1 102 2

1 1 102 2 2

1 1 02 2

ij j i i j

u v u wy x z x

v u v wS u ux y z y

w u w vx z y z

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟= ∂ − ∂ = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Fie:Tensor spin ( de rotaţie)


Tensorului lui Cauchy.Relaţii constitutive.

p=− +T I τreprezintă partea elastică,

partea disipativă sau vâscoasă.

ij ij ijT pδ τ=− +( ) 2divλ μ= +τ V I D

Relaţia Stokes:

Tensor vâscos

3 2 0λ μ+ =

( )2 23

divμ μ= − +τ V I D


Folosind proprietăţile operatorilor se obţine ecuaţia Navier -Stokes

( ) ( )

( )3

,( )

3

d pdt

tp

t

μρ ρ μ

ρ μρ ρ μ

= −∇ + + ∇ ∇ ⋅ + Δ

∂ ⎡ ⎤⎣ ⎦ +∇ ⊗ = −∇ + + ∇ ∇ ⋅ + Δ∂

V f V V

V xV V f V V

Fluid nevascos

Ecuatia

se reduce laecuatia

lui

Euler

pdtd

∇−= FV ρρ

Fluid incompresibil:

d pdt

ρ ρ μ= −∇ + ΔV F V


Folosind

proprietatile

operatorilor

avem

setul

de 4 ecuatii

cu 4 necunoscute(u,v,w,p) care poate

fi

rezolvat

numeric:

Fluid incompresibil:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

0

1

1

1

u v wx y z

u u u u p u u uu v wt x y z x x y z

v v v v p v v vu v wt x y z y x y z

w w w w p w w wu v wt x y z z x y z

μρ ρ

μρ ρ

μρ ρ

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = − + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = − + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = − + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠


În concluzie ecuaţiile de transport pentru:

( ) 0tρ ρ∂+ ∇ ⋅ =

∂V

( ) ( ),

( )3

tp

tρ μρ ρ μ

∂ ⎡ ⎤⎣ ⎦ + ∇ ⊗ = −∇ + + ∇ ∇ ⋅ + Δ∂

V xV V f V V

(masa unui amestec de gaze)

(impuls)

Curs 1 Aeroacustca 2011

Documents

Transcript of Curs 1 Aeroacustca 2011