Cum Rezolvam o Problema Matematica_nov

7/21/2019 Cum Rezolvam o Problema Matematica_nov

http://slidepdf.com/reader/full/cum-rezolvam-o-problema-matematicanov 1/50

1

CARE ESTE CALEA DE REZOLVARE A UNEI PROBLEMEMATEMATICE?

Procesul de gândire se declanşează ori de câte ori ne aflăm în faţa unei situaţii noi,nerezolvate prin mijloace învăţate, reflexe condiţionate sau deprinderi. Prin activitatea de rezolvare

a problemelor se oferă elevilor asemenea situaţii. Aceasta ocupă locul de cinste datorită procedeelor psihice pe care le solicită, incită, dezvoltă. Fiecare fază în stabilirea raţionamentului declanşează ostare iniţială de tensiune, apoi de incertitudine pentru ca descoperirea căii de rezolvare să genereze

bucurie, stare de concentrare.Există un grăunte de descoperire în stabilirea soluţiei oricărei probleme. Avem de rezolvat o

problemă considerată modestă, dar aceasta poate stârni curiozitatea dacă se rezolvă prin mijloace proprii; se poate simţi şi în acest caz încordarea dinaintea unei descoperiri, apoi bucuria triumfului.Astfel de experienţe la vârsta de mare receptivitate a elevilor de ciclul primar, pot genera, stimulaviitoarele activităţi intelectuale, pot amprenta pozitiv mintea precum şi comportamentul elevului.

Punctul de pornire este înţelegerea problemei condiţionată de interesul, de datoria de a stabili

soluţia. Înţelegerea poate fi ajutată de reprezentarea grafică, schematică a problemei, de transforma-rea, transpunerea în simboluri. Ea condiţionează construcţia planului de rezolvare cristalizat uneoricu ezitări, reluat din alt unghi alteori sau apărut ca o străfulgerare. Mai mult, înţelegerea reală este

precedată de o faza de încercare-eroare în care cunoştinţele acumulate anterior sunt reactivate,reorganizate în scopul descoperirii planului de rezolvare. Elevului trebuie să-i lăsăm impresia

propriei iniţiative, să-i sădim încrederea în forţele proprii.Atingerea scopului, aflarea necunoscutei nu înseamnă a pune punct activităţii; este momentul

în care elevul trebuie convins de veridicitatea rezultatului obţinut, trebuie să se evalueze schema derezolvare obţinută raportând-o la cele însuşite anterior, trebuie să se facă conexiuni la reţeaua deachiziţii dobândite.

Problemele care urmează, majoritatea cu rezolvări complete, sunt grupate în raport cudificultatea în rezolvare (de la probleme simple la cele complexe), ţinând cont de referinţele infor-maţionale (numere naturale, operaţii cu numere naturale, fracţii – clasa a IV-a, noţiuni de geometrie,unităţi de măsură) şi nu în ultimul rând în funcţie de cuvintele-semnal (adaugă – adunare, ia –

scădere , de… ori mai mult – înmulţire etc.), de semantica matematică. Dacă la unele problemeraţionamentul este sesizat datorită înşiruirii datelor în sensul direcţiei rezolvării, la altele pentru aajunge la soluţie este necesar să se stabilească o convenţie sau găsirea soluţiei este determinată deconstruirea mersului invers sensului de înşiruire a datelor. O categorie aparte este cea a problemelorîn care soluţia se stabileşte în urma analizei datelor, a relaţiilor dintre acestea fără putinţă de a fiîncadrate în scheme anume. Important este să sesizăm în fiecare caz caracteristicile problemeimatematice, procesul de gândire, grăuntele de descoperire, justificarea soluţiei şi comentareaacesteia, verificarea rezultatelor obţinute. Este posibilă o grupare a problemelor în funcţie de caleaaleasă spre rezolvare, dar această temă va fi prezentată într-un articol viitor.



2

CE TREBUIE SĂ ŞTIE UN ELEV ÎN SEMESTRUL I, CLASA A IV-A?

I. NUMERE NATURALE

clasamilioanelor

clasamiilor

clasaunităţilor

9 8 7 6 5 4 3 2 1

s z u s z u s z u

Numerele se scriu folosind cifrele (semnele):0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Scrierea şi citirea numerelor naturale respectă faptul că sistemul de numeraţie este:• zecimal (zece unităţi de un anumit ordin formează o unitate de ordin superior);• poziţional (valoarea numerică a unei cifre din scrierea unui număr depinde de poziţia ei în

scrierea ordinelor şi a claselor);• zero (0) indică faptul că anumite ordine au valoarea zero (sunt nule).

Axa numerelor

Dacă un număr natural are cifra unităţilor:• 0, 2, 4, 6 sau 8, atunci el este număr par (cu soţ );• 1, 3, 5, 7 sau 9, atunci el este număr impar ( fără soţ ).

Două numere naturale se compară astfel:• dacă numerele nu au acelaşi număr de cifre (numărul ordinelor diferă), atunci este mai

mare (respectiv mai mic) cel cu mai multe (respectiv mai puţine) cifre.

18 436 > 8 456; 4 587 < 48 568.

• dacă numerele au acelaşi număr de ordine, comparăm numerele care reprezintă ordinelede acelaşi fel, de la stânga la dreapta.

45 639 > 29 080; 3 865 > 3 754; 5 942 > 5 927.

Sensul citirii ordinelor

Sensul citirii numărului

Numele clasei

Numărul ordinului

Numele ordinului

0 50 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 000

576



3

II. ADUNAREA, SCĂDEREA, ÎNMULŢIREA, ÎMPĂRŢIREA

D : Î obţin C şi R proba: C ⋅⋅⋅⋅ Î + R = D, R < Î

a + 0 = 0 + a = a 1 ⋅ a = a ⋅ 1 = a a : 1 = a

a – a = 0 a ⋅ 0 = 0 ⋅ a = 0 a : a = 1a – 0 = a 0 : a = 0, a diferit de zero0 – 0 = 0 a : 0 este operaţie imposibilă

Împărţirea la 0 (zero) nu este posibilă.

ADUNAREA

a + b = c

proba prin adunare: b + a = c

proba prin scădere:c b a

c a b

− =

− =

termeni sumă

SCĂDEREA

a – b = c

proba prin adunare: c + b = a

proba prin scădere: a – c = b

diferenţă scăzătordescăzut

ÎNMULŢIREA

a ⋅⋅⋅⋅ b = c

proba prin înmulţire: b ⋅ a = c

proba prin împărţire::

:

c a b

c b a

=

=

factori produs

ÎMPĂRŢIREA

a : b = c

proba prin înmulţire: c ⋅ b = a

proba prin împărţire: a : c = b

câtîmpărţitordeîmpărţit

COMUTATIVITATEA

•••• la adunare:

a + b = b + a•••• la înmulţire:a ⋅⋅⋅⋅ b = b ⋅⋅⋅⋅ a

ASOCIATIVITATEA

•••• la adunare:

(a + b) + c = a + (b + c)•••• la înmulţire:(a ⋅⋅⋅⋅ b) ⋅⋅⋅⋅ c = a ⋅⋅⋅⋅ (b ⋅⋅⋅⋅ c)

DISTRIBUTIVITATEAÎNMULŢIRII FAŢĂ DE

ADUNARE ŞI SCĂDERE

a ⋅⋅⋅⋅ (b + c) = a ⋅ ⋅⋅ ⋅ b + a ⋅⋅⋅⋅ ca ⋅⋅⋅⋅ (b – c) = a ⋅ ⋅⋅ ⋅ b – a ⋅⋅⋅⋅ c



4

III. NOŢIUNI DE GEOMETRIE

Punct Linii curbe Dreaptăsemidreaptă

A deschise

× M

× închise segment de dreaptă

Linii frânte Poziţiile a două drepte

deschise

închiseconcurente perpendiculare paralele

Unghi

ascuţit drept obtuz

Triunghi

P = l 1 + l 2 + l 3

Cerc

Cub Prismă Piramidă Con Sferă Cilindru

muchie

vârf

a O ×

N M

Paralelogram

P = l 1 + l 2 + l 3 + l 4

Dreptunghi

P = 2( L + l )

Pătrat

P = 4l ; A = l ×××× l

Romb

P = 4l

Trapez

P = l 1 + l 2 + l 3 + l 4

Simetrie

axe de simetrie

O d i a m e t r u

rază



5

IV. UNITĂŢI DE MĂSURĂ

Unităţi de măsură pentru:a) lungime;

b) volum (capacitate);

c) masa corpurilor.

Măsurarea timpului

s min h ziua

secunda ( s ) 1 – – –minutul ( min ) 60 1 – –ora ( h ) 3 600 60 1 –

ziua 86 400 1 440 24 1

an deceniu secol mileniu

an 1 – – –deceniu 10 1 – –secol 100 10 1 –

mileniu 1 000 100 10 1

mm cm dm m dam hm km

⋅10 ⋅10 ⋅10 ⋅10 ⋅10 ⋅10

:10 :10 :10 :10 :10 :10

ml cl dl ℓℓℓℓ dal hl kl

⋅10 ⋅10 ⋅10 ⋅10 ⋅10 ⋅10

:10 :10 :10 :10 :10 :10

mg cg dg g dag hg kg

⋅10 ⋅10 ⋅10 ⋅10 ⋅10 ⋅10

:10 :10 :10 :10 :10 :10 q

⋅10

:10 t

⋅10

:10



6

CUM SE REZOLVĂ EXERCIŢIILE ŞI PROBLEMELE PROPUSEPENTRU ADUNAREA, SCĂDEREA, ÎNMULŢIREA ŞI ÎMPĂRŢIREA

NUMERELOR NATURALE?

Clasa a II-a (pag. 17-34)

1/p.17Calculează:a) (20 + 50) – 10 b) 10 + 30 – 20 c) 20 + 30 – 50 + 40

60 – 20 + 10 50 + (30 – 20) 90 – 20 – 30 + 1050 + 40 – 30 90 – 40 + 30 50 + 10 – 20 + 3020 + 20 – 10 80 – 20 + 40 100 – 80 – 10 + 40.

Rezolvare:

a) (20 + 50) – 10 = 60 b) 10 + 30 – 20 = 20 c) 20 + 30 – 50 + 40 = 4060 – 20 + 10 = 30 50 + (30 – 20) = 60 90 – 20 – 30 + 10 = 5050 + 40 – 30 = 60 90 – 40 + 30 = 80 50 + 10 – 20 + 30 = 7020 + 20 – 10 = 30 80 – 20 + 40 = 100 100 – 80 – 10 + 40 = 50

2/p.17Completează tabelele:

Rezolvare:

3/p.17Află numărul necunoscut:a) a + 20 = 50 b) 30 + b = 60

a – 20 = 70 50 – b = 30

a + 50 = 100 50 + b = 80a – 30 = 30 70 – b = 10.

Rezolvare:Atenţie! Folosind formulele:

T1 + T2 = S D – S = RT1 = S – T2 D = S + RT2 = S – T1 S = D – R

avem:a) a + 20 = 50 b) 30 + b = 60

a = 50 – 20 b = 60 – 30a = 30 b = 30

a 40 30 10 50 70a+20

b 30 50 60 50 1090– b

a 40 30 10 50 70a+20 60 50 30 70 90

b 30 50 60 50 1090– b 60 40 30 50 80



7

Verificare: 30 + 20 = 50 Verificare: 30 + 30 = 60

a – 20 = 70 50 – b = 30a = 20 + 70 b = 50 – 30a = 90 b = 20

Verificare: 90 – 20 = 70 Verificare: 50 – 20 = 30

a + 50 = 100 50 + b = 80a = 100 – 50 b = 80 – 50a = 50 b = 30

Verificare: 50 + 50 = 100 Verificare: 50 + 30 = 80

a – 30 = 30 70 – b = 10a = 30 + 30 b = 70 – 10a = 60 b = 60

Verificare: 60 – 30 = 30 Verificare: 70 – 60 = 10

4/p.17Care este numărul necunoscut?a) a + (20 + 30) = 70 b) (80 – 10) – a = 40

(50 + 20) + b = 90 (90 – 70) – b = 0.

Rezolvare:Atenţie! Rezolvăm mai întâi parantezele, apoi aplicăm formulele anterior notate.a) a + (20 + 30) = 70 b) (80 – 10) – a = 40

a + 50 = 70 70 – a = 40a = 70 – 70 a = 70 – 40a = 0 a = 30

Verificare: 20 + (20 + 30) = 20 + 50 = 70 Verificare: (80 + 10) – 30 = 70 – 30 = 40

(50 + 20) + b = 90 (90 – 70) – b = 070 + b = 90 20 – b = 0b = 90 – 70 b = 20 – 0b = 20 b = 20

Verificare: (50 + 20) + 20 = 70 + 20 = 90 Verificare: (90 – 70) – 20 = 20 – 20 = 0

5/p.17Găseşte în locul▭ şi△ numere formate numai din zeci, astfel ca relaţiile să fie adevărate:

a) 36 – 26 +▭+△ = 100; b) 18 + 32 +▭ –△ = 90;c)△ +▭ + 25 + 45 = 100.

Rezolvare:Atenţie! Există mai multe soluţii.a) 36 – 26 +▭ +△ = 100 b) 18 + 32 +▭ – △ = 90

10 + 10 + 80 = 100 18 + 32 + 50 – 10 = 90 10 + 20 + 70 = 100



8

10 + 30 + 60 = 100 10 + 40 + 50 = 100 c) △ + ▭ + 25 + 45 = 100 10 + 50 + 40 = 100 10 + 20 + 25 + 45 = 100 10 + 60 + 30 = 100 20 + 10 + 25 + 45 = 100 10 + 70 + 20 = 100 10 + 80 + 10 = 100

1/p.18Calculează:a) 70 + 4 b) 80 + 7 c) 90 + 2 d) 94 = 90 + ?

3 + 10 6 + 90 4 + 80 83 = 3 + ?50 + 2 2 + 40 30 + 5 57 = 50 + ?50 + 6 4 + 20 1 + 90 75 = ? + 70.

Rezolvare:a) 70 + 4 = 74 b) 80 + 7 = 87 c) 90 + 2 = 92 d) 94 = 90 + 4

3 + 10 = 13 6 + 90 = 96 4 + 80 = 84 83 = 3 + 8050 + 2 = 52 2 + 40 = 42 30 + 5 = 35 57 = 50 + 750 + 6 = 56 4 + 20 = 24 1 + 90 = 91 75 = 5 + 70

2/p.18Calculează:4 0 + 5 0 + 8 0 + 1 0 + 9 0 + 7 0 +

5 3 4 1 7 7

2 0 + 3 0 + 8 7 – 8 7 – 9 3 – 9 3 –9 3 8 0 7 9 0 3

6 4 – 5 4 – 7 2 – 7 2 – 4 2 – 5 8 –6 0 4 2 7 0 4 0 8

Rezolvare:4 0 + 5 0 + 8 0 + 1 0 + 9 0 + 7 0 +

5 3 4 1 7 7

4 5 5 3 8 4 1 1 9 7 7 7

2 0 + 3 0 + 8 7 – 8 7 – 9 3 – 9 3 –9 3 8 0 7 9 0 3

2 9 3 3 = 7 8 0 = 3 9 0

6 4 – 5 4 – 7 2 – 7 2 – 4 2 – 5 8 –6 0 4 2 7 0 4 0 8= 4 5 0 7 0 = 2 = 2 5 0



9

3/p.18Completează, pe caiet, fiecare tabel:

Rezolvare:

4/p.18Completează cu semnele <, = sau > astfel încât egalităţile să fie adevărate:a) 20 + 4 22 – 2 b) 36 – 6 20 + 20 c) 67 – 60 10 + 9

7 + 50 87 – 7 30 + 7 63 – 3 30 + 30 67 – 7.

Rezolvare:Egalităţile devin adevărate folosind semnele <, = sau >, astfel:a) 20 + 4 > 22 – 2 b) 36 – 6 < 20 + 20 c) 67 – 60 < 10 + 9

24 > 20 30 < 40 7 = 197 + 50 < 87 – 7 30 + 7 < 63 – 3 30 + 30 = 67 – 7

57 < 80 37 < 60 60 = 60.

5/p.18Cu cât este mai mare suma numerelor 80 şi 9 decât diferenţa numerelor 64 şi 60?

Rezolvare:Problema poate fi rezolvată astfel:1) Suma numerelor 80 şi 9:

80 + 9 = 892) Diferenţa numerelor 64 şi 60:

64 – 60 = 43) Cu cât este mai mare suma decât diferenţa?

89 – 4 = 85Scrierea sub formă de exerciţiu a rezolvării problemei: (80 + 9) – (64 – 60) = 85.

Răspuns: 85

6/p.19Din ce număr trebuie să-l scădem pe 7 pentru a obţine suma numerelor 50 şi 2?

Rezolvare:Scriem problema sub forma unui exerciţiu, apoi rezolvăm:

x – 7 = 50 + 2 x – 7 = 52 (D = S + R) x = 7 + 52 x = 59

Răspuns: 59

Termen 20 50 4 9Termen 8 2 60 70Sumă

Termen 81 81 35 35Termen 1 80 5 30Diferenţă

Termen 20 50 4 9Termen 8 2 60 70Sumă 28 52 64 79

Termen 81 81 35 35Termen 1 80 5 30Diferenţă 80 1 30 5



10

7/p.19La o întrecere sportivă participă 40 de fete, 7 băieţi şi 2 profesori.Câte persoane participă la concursul sportiv?

Rezolvare:Câte persoane participă la concursul sportiv?

40 + 7 + 2 = 49 Răspuns: 49 de persoane

8/p.19Află diferenţa dintre cel mai mare număr de două cifre care are cifra unităţilor cea mai mică

diferită de zero şi numărul 90.

Rezolvare: Numărul de două cifre care are cifra unităţilor cea mai mică diferită de zero este 91.

Diferenţa numerelor este: 91 – 90 = 1. Răspuns: 1

9/p.19Calculează diferenţa dintre cel mai mic număr de două cifre care are cifra unităţilor cea mai

mare şi numărul 10.

Rezolvare:Cel mai mic număr de două cifre care are cifra unităţilor cea mai mare cifră este 19.Diferenţa numerelor este: 19 – 10 = 9.

Răspuns: 9

12/p.19Află suma numerelor a, b şi c, dacă: a = 8; b = a + 70; c = b – 70.

Rezolvare:b = a + 70 c = b – 70b = 8 + 70 c = 78 – 70b = 78 c = 8

Suma numerelor a, b şi c este:

a + b + c = 8 + 78 + 8 == 86 + 8 == 94

14/p.19Află valorile lui a, b, c şi d din egalităţile:

a = 50 + b; b = c – 20; c = 4 + d ; d + 6 = 26.

Rezolvare:Începem rezolvarea de la ultima relaţie:

d + 6 = 26 d = 26 – 6 d = 20c = 4 + d c = 4 + 20 c = 24



11

b = c – 20 b = 24 – 20 b = 4a = 50 + b a = 50 + 4 a = 54

5/p.20Într-o clasă sunt 25 de elevi. Dacă 3 fete şi 2 băieţi au plecat în curtea şcolii, în clasă au rămas

tot atâtea fete cât băieţi.Câţi băieţi au rămas în clasă?

Rezolvare:1) Câţi copii au plecat în curtea şcolii?

3 + 2 = 5 (copii)2) Câţi copii au rămas în clasă?

25 – 5 = 20 (copii), adică 10 fete şi 10 băieţi.Scrierea sub formă de exerciţiu a rezolvării problemei:

25 – (3 + 2) = 25 – 5 = 20, adică 10 băieţi şi tot atâtea fete.

Răspuns: 10 fete şi 10 băieţi.

8/p.20Un elev are 24 de timbre, altul 5 timbre, iar al treilea cu 8 timbre mai puţin ca primii doi, la un

loc.Câte timbre are al treilea elev?

Rezolvare:1) Câte timbre au primii doi elevi, la un loc?

24 + 5 = 29 (timbre)

2) Câte timbre are al treilea copil?29 – 8 = 21 (timbre).Scrierea sub formă de exerciţiu a rezolvării problemei: (24 + 5) – 8 = 21

Răspuns: 21 de timbre are al treilea elev.

7/p.22Înlocuieşte literele prin cifre corespunzătoare:

15 + 17 + 48 – 94 – a3 + 87 –

4a 0a 2b ab 4b 0b 55 57 28 44 84 77

Rezolvare:După înlocuirea literelor cu cifrele corespunzătoare avem următoare calcule scrise:1 5 + 1 7 + 4 8 + 9 4 – 3 0 + 8 7 –4 0 4 0 2 0 5 0 5 4 1 05 5 5 7 2 8 4 4 8 4 7 7

3/p.23Într-o cutie sunt 2 bile negre mici şi 17 bile albe, din care 3 sunt mici, iar celelalte mari.a) Câte bile albe mari sunt în cutie?

b) Câte bile mici sunt în cutie?c) Câte bile sunt în total în cutie?



12

Rezolvare:a) Câte bile albe mari sunt în cutie?

17 – 3 = 14 (bile mari, albe) b) Câte bile mici sunt în cutie?

2 + 3 = 5 (bile mici)c) Câte bile sunt în total în cutie?

2 + 17 = 19 (bile) Răspuns: a) 14 (bile mari, albe);

b) 5 (bile mici);c) 19 (bile).

Despre pasărea colibri/p.24 Pasărea colibri este cea mai mică din lume; 5 păsări abia cântăresc, împreună, 10 grame.Cât cântăreşte o pasăre colibri? Dar 10 păsări?

Rezolvare:

1) Cât cântăreşte o pasăre colibri?10 g

2 g 2 g 2 g 2 g 2 g

2) Cât cântăresc 10 păsări?2 g + 2 g + 2 g + 2 g + 2 g + 2 g + 2 g + 2 g + 2 g + 2 g = 20 g

sau10 păsări

5 păsări 5 păsări10 g + 10 g = 20 g

Răspuns: o pasăre → 2 g; 10 păsări → 20 g

10/p.29Înlocuieşte steluţele cu cifre potrivite:

*7 2* 45+ = ; *3 2* 37− = .

Rezolvare:După înlocuirea steluţelor cu cifre potrivite avem:

17 + 28 = 45; 63 – 26 = 37.

17/p.29Află cu cât este mai mare suma numerelor de două cifre identice mai mici decât 40, faţă de cel

mai mic număr format din zeci şi unităţi, cu cifra unităţilor 9.

Rezolvare: Numerele de două cifre identice mai mici decât 40 sunt:

11, 22, 33.Cel mai mic număr format din zeci şi unităţi, cu cifra unităţilor 9 este 19.

Suma numerelor este:11 + 22 + 33 = 66.



13

Cu cât este mai mare suma numerelor de două cifre identice faţă de numărul 19?66 – 19 = 47.

Răspuns: Suma este mai mare cu 47 decât 19.

20/p.29Ce număr obţinem dacă scădem numărul 14 din suma „vecinilor” numărului 21?

Rezolvare:Suma „vecinilor” numărului 21 este:

20 + 22 = 42Care este diferenţa dintre suma „vecinilor” şi numărul 14?

42 – 14 = 28. Răspuns: Diferenţa este 28.

Evaluare (1)/1/p.30Se poate spune că suma a trei numere consecutive este cel din mijloc adunat de trei ori? Dă

două exemple de astfel de numere.

Rezolvare:Atenţie! E bine să ştim! Suma a trei numere consecutive este cel din mijloc adunat de trei

ori. Exemplul 1:

11 + 12 + 13 = 12 + 12 + 12 = 36 Exemplul 2:

12 + 13 + 14 = 13 + 13 + 13 = 39 etc.

Evaluare (1)/2/p.30 Nina are un număr de ani. Peste 35 de ani vârsta ei va fi mai mică decât vârsta verişoarei care

va avea 40 de ani.Ce vârstă ar putea avea acum Nina?

Rezolvare:1) Ce vârstă avea verişoara Ninei înainte de a împlini 40 de ani?

40 ani – 35 ani = 5 ani2) Ce vârstă ar putea avea Nina?

1 an + 35 ani = 36 ani2 ani + 35 ani = 37 ani3 ani + 35 ani = 38 ani4 ani + 35 ani = 39 ani

Deci, Nina ar putea avea vârsta de 1 an sau 2 ani sau 3 ani sau 4 ani Răspuns: 1 an sau 2 ani sau 3 ani sau 4 ani

Evaluare (1)/3/p.30Fie a un număr. Îi adaug 13, apoi răsturnatul acestuia şi obţin un număr b mai mic decât 47.Cât poate fi a?



14

Rezolvare:

Atenţie! Răsturnatul unui număr este: ab ba→ Exemple: 13 → 31

23 → 32Observăm următoarele situaţii:

a + 13 + 31 < 470 + 13 + 31 < 471 + 13 + 31 < 472 + 13 + 31 < 473 + 13 + 31 = 47.

Deci, a poate fi 0, 1 sau 2.

Evaluare (1)/4/p.30Suma a două numere este cel mai mare număr par de două cifre identice, iar unul dintre

termeni este „vecinul” mai mic al lui 5 mărit cu 5.

Care este celălalt termen?

Rezolvare:Cel mai mare număr par de două cifre identice este 88.„Vecinii” numărului 5 sunt 4 şi 6 (4; 5; 6).„Vecinul” mai mic al lui 5 este 4.1) Care este suma dintre „vecinul” mai mic al lui 5 şi 5?

4 + 5 = 92) Care este celălalt termen?

x + 9 = 88

x = 88 – 9 x = 79

Răspuns: 79 este celălalt termen

Evaluare (1)/5/p.30Pentru construirea unei vile s-au folosit 23 de ferestre mari, cu 6 mai puţine ferestre mici şi

uşi al căror număr este egal cu cel mai mic număr de două cifre.Câte ferestre şi uşi s-au folosit?

Rezolvare:

1) Câte ferestre mici s-au folosit?23 – 6 = 17 (ferestre mici)

2) Cel mai mic număr de două cifre este 10. Deci, avem 10 uşi.3) Câte ferestre s-au folosit?

23 + 17 = 40 (ferestre)4) Câte ferestre şi uşi s-au folosit?

40 + 10 = 50 (ferestre şi uşi)Scrierea sub formă de exerciţiu a rezolvării problemei:

23 + (23 – 6) + 10 = 50 Răspuns: 50 (ferestre şi uşi)



15

Evaluare (1)/6/p.30Pe un vaporaş s-au urcat 16 copii, femei cu 4 mai multe decât suma vecinilor lui 19, iar

bărbaţi cu 5 mai puţini decât succesorul lui 9 mărit cu 4.Câte persoane sunt pe vaporaş dacă mai călătoresc şi 3 marinari?

Rezolvare:1) Care este suma vecinilor numărului 19? (18; 19; 20)

18 + 20 = 382) Câte femei au urcat pe vaporaş?

38 + 4 = 42 (femei)3) Cât este succesorul numărului 9, „mărit” cu 4? (8; 9; 10)

10 + 4 = 144) Câţi bărbaţi au urcat pe vaporaş?

14 – 5 = 9 (bărbaţi)5) Câte persoane sunt pe vaporaş?

16 + 42 + 9 + 3 = 58 + 9 + 3 == 67 + 3 == 70

Scrierea sub formă de exerciţiu a rezolvării problemei: 16 + (38 + 4) + (14 – 5) + 3 = 70 Răspuns: 70 (persoane).

Evaluare (5)/1/p.33Calculează:54 + 38 = ? 28 + 53 – 46 = ? 83 – 79 = ? 27 – 19 + 52 = ?38 + 44 = ? 17 + 55 – 31 = ? 93 – 67 = ? 54 – 44 + 82 = ?

Rezolvare:Rezultatele calculelor sunt:54 + 38 = 92 28 + 53 – 46 = 81 – 46 = 3538 + 44 = 82 17 + 55 – 31 = 72 – 31 = 41

83 – 79 = 4 27 – 19 + 52 = 8 + 52 = 6093 – 67 = 26 54 – 44 + 82 = 10 + 82 = 92

Evaluare (5)/2/p.33

Află termenul necunoscut:a + 36 = 52; 24 – b = 18; 45 + c = 82; 91 – d = 59.

Rezolvare:Atenţie! T1 + T2 = S D – S = R

T1 = S – T2 D = S + RT2 = S – T1 S = D – R

Folosind formulele de mai sus, obţinem:a + 36 = 52 24 – b = 18 45 + c = 82 91 – d = 59a = 52 – 36 b = 24 – 18 c = 82 – 45 d = 91 – 59

a = 16 b = 6 c = 37 d = 32Verificare: 16 + 36 = 52 24 – 6 = 18 45 + 37 = 82 91 – 32 = 89



16

Evaluare (5)/3/p.33Scrie numărul 16 ca sumă de două numere naturale pare, apoi ca sumă de două numere

naturale impare.

Rezolvare:16 = 16 + 0 16 = 1 + 15

sau 16 = 14 + 2 sau 16 = 3 + 13sau 16 = 12 + 4 sau 16 = 5 + 11sau 16 = 10 + 6 sau 16 = 7 + 11sau 16 = 8 + 8

Evaluare (5)/4/p.33La suma numerelor 37 şi 19, adaugă diferenţa numerelor 24 şi 9.

Rezolvare:1) Suma numerelor 37 şi 19 este:

37 + 19 = 562) Diferenţa numerelor 24 şi 9 este:

24 – 9 = 153) Adunarea sumei cu diferenţa:

56 + 5 = 71Scrierea sub formă de exerciţiu a rezolvării problemei: (37 + 19) + (24 – 9) = 56 + 15 = 71

Răspuns: 71

Evaluare (5)/5/p.33

„Măreşte” numărul 41 cu suma „vecinilor” numărului 12.

Rezolvare:1) Suma „vecinilor” numărului 12 este:

11 + 13 = 242) Numărul 41 mărit cu suma „vecinilor” este:

41 + 24 = 65Scrierea sub formă de exerciţiu a rezolvării problemei: 41 + (11 + 13) = 41 + 24 = 65

Răspuns: 65

Evaluare (5)/6/p.33Din ce număr scazi 16 pentru a obţine suma numerelor 26 şi 38?

Rezolvare:Care este suma numerelor 26 şi 38?

26 + 38 = 64Avem:

x – 16 = 26 + 38 x – 16 = 64 x = 64 + 16

x = 80 Verificare: 80 – 16 = 26 + 38 = 64. Răspuns: 80



17

Evaluare (5)/7/p.33Mirela citeşte o carte de 75 pagini în trei zile. În prima zi citeşte 25 de pagini, a doua zi cu 6

mai multe, iar a treia zi, restul.Câte pagini citeşte Mirela a treia zi?

Rezolvare:1) Câte pagini citeşte Mirela a doua zi?

25 + 6 = 31 (pagini)2) Câte pagini citeşte în primele două zile?

25 + 31 = 56 (pagini)3) Câte pagini citeşte Mirela a treia zi?

75 – 56 = 19 (pagini)Scrierea sub formă de exerciţiu a rezolvării problemei: 75 – [25 + (25 + 6)] = 19

Răspuns: 19 (pagini)

Evaluare (5)/8/p.33Monica ia 12 lei din banii ei şi îi dă lui Viorel. Acum, fiecare are câte 33 lei.Câţi lei avea fiecare la început?

Rezolvare:1) Câţi lei a avut Monica la început?

33 lei + 12 lei = 45 lei2) Câţi lei a avut Viorel la început?

33 lei – 12 lei = 21 lei Răspuns: Monica → 45 lei; Viorel → 21 lei

Curiozităţi despre lungimea balenelor/p.33 Se dau trei numere, a, b şi c. Ca să-l afli pe a, trebuie să faci diferenţa dintre diferenţa

numerelor 100 şi 40 şi suma numerelor 20 şi 30. Numărul b este dublul lui a, iar ca să-l afli pe c,trebuie să „măreşti” cu 3 suma primelor două numere.

Să se afle numerele, ştiind că reprezintă:• lungimea, în metri, pe care o poate atinge orca, numită şi „balena ucigaşă” (a);• lungimea, în metri, a caşalotului (b);• lungimea, în metri, a balenei albastre (c).

Rezolvare:1) Care este numărul a?

a = (100 – 40) – (20 + 30) = 60 – 50 = 102) Care este numărul b?

b = 10 + 10 = 203) Care este numărul c?

c = (10 + 20) + 3 = 30 + 3 = 33 Răspuns: orca (balena ucigaşă) → 10 m;

caşalotul → 20 m; balena albastră → 33 m.



18

Clasa a III-a (pag. 35-56)

2/p.35Se dau numerele: a = 1 233; b = 2 311; c = 3 211.Să se afle pe rând:

a)a

+b

+c; b)

a +

b –

c; c)

a +

c –

b; d)

c +

b –

a.

Rezolvare: Calcul scris:a) a + b + c = 1 2 3 3 +

= 1 233 + 2 311 + 3 211 = 2 3 1 1= 3 544 + 3 211 = 3 2 1 1= 6 755 6 7 5 5

b) a + b – c = 1 2 3 3 + 3 5 4 4 –= 1 233 + 2 311 – 3 211 = 2 3 1 1 3 2 1 1= 3 544 – 3 211 = 3 5 1 1 = 3 3 3

= 333

c) a + c – b = 1 2 3 3 + 4 4 4 4 –= 1 233 + 3 211 – 2 311 = 3 2 1 1 2 3 1 1= 1 444 – 2 311 = 4 4 4 4 2 1 3 3= 2 133

d) c + b – a = 3 2 1 1 + 5 5 2 2 –= 3 211 + 2 311 – 1 233 = 2 3 1 1 1 2 3 3= 5 522 – 1 233 = 5 5 2 2 4 2 3 3= 4 289

5/p.35La diferenţa numerelor 7 324 şi 5 212, adaugă diferenţa numerelor 8 744 şi 4 004 şi dublul

numărului 500.

Rezolvare:Calcul scris:

1) Diferenţa numerelor 7 324 şi 5 212 este: 7 3 2 4 – 8 7 4 4 –7 324 – 5 212 = 2 113 5 2 1 1 4 0 0 4

2) Diferenţa numerelor 8 744 şi 4 004 este: 2 1 1 3 4 7 4 0

8 744 – 4 004 = 4 7403) Dublul numărului 500 este: 5 0 0 ×

500 + 500 = 1 000 24) Suma celor două diferenţe şi dublul 1 0 0 0numărului 500 este:

2 113 + 4 740 + 1 000 = 7 853 2 1 1 3 +Scrierea sub formă de exerciţiu a rezolvării problemei: 4 7 4 0

(7 324 – 5 212) + (8 744 – 4 004) + (500 + 500) = 1 0 0 0= 2 113 + 4 740 + 1 000 = 7 8 5 3= 6 853 + 1 000 =

= 7 853 Răspuns: 7 853



19

3/p.36Află suma numerelor a, b şi c care îndeplinesc următoarele condiţii:a) fiecare număr este format din patru cifre;

b) numărul a este format din numere pare consecutive;c) numărul b este format din numere impare consecutive;d) numărul c reprezintă diferenţa dintre a şi b.

Rezolvare: Numărul a = 2 468. Numărul b = 1 357. Numărul c = 2 468 – 1 357 = 1 111.Care suma numerelor a, b şi c?

2 468 + 1 357 + 1 111 = 4 936.

4/p.36

Află numărul abcd , ştiind că:a) a este cel mai mare număr par;

b) b este cu 3 mai mic decât a;c) c reprezintă cel mai mare număr impar;d) d este diferenţa dintre c şi b.

Află diferenţa dintre abcd şi cel mai mic număr de patru cifre distincte cu cifra unităţilor 9.

Rezolvare:Cel mai mare număr par de o cifră este 8, deci a = 8.b = 8 – 3

b = 5Cel mai mare număr impar de o cifră este 9, deci c = 9.d = 9 – 5d = 4

Deci, numărul căutat abcd = 8 594.Cel ai mic număr par de patru cifre distincte cu cifra unităţilor 9 este 1 029.

Diferenţa dintre abcd şi numărul 1 029 este:8 594 – 1 029 = 7 565.

5/p.36

Scrie numere de forma 9 4a b , unde suma cifrelor a şi b este egală cu 11.Calculează diferenţa dintre cel mai mare număr găsit şi cel mai mic.

Rezolvare:

Numerele de forma 9 4a b , unde suma cifrelor a şi b este egală cu 11 sunt: 2 994, 9 924, 3 984,8 934, 4 974, 7 944, 5 964, 6 954.

Cel mai mare număr dintre cele enumerate este 9 924, iar cel mai mic este 2 994.Care este diferenţa numerelor 9 924 şi 2 994?

9 924 – 2 994 = 6 930.



20

8/p.36Suma a trei numere este 7 887. Primii doi termeni au suma 4 533, iar ultimii doi termeni au

suma 4 878.Care sunt numerele?

Rezolvare:I + II + III = 7 887I + II = 4 533

II + III = 4 8781) Care este al III-lea număr?

I II III4 533

+ + = 7 887

4 533 + III = 7 887III = 7 887 – 4 533III = 3 354

2) Care este primul număr?I II III4 878

+ + = 7 887

I + 4 878 = 7 887I = 7 887 – 4 878I = 3 009

3) Care este al II-lea număr?I + II = 4 533 sau II + III = 4 8783 009 + II = 4 533 II + 3 354 = 4 878II = 4 533 – 3 009 II = 4 878 – 3 354

II = 1 524 II = 1 524Atenţie! Problema se poate rezolva şi în alt mod, explicat în materialul anterior.

15/p.38

Găseşte soluţiile corecte pentru: 3 432 5 45 8 557a+ > .

Rezolvare:

3 432 5 45 8 557a+ >

Avem: a ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

3 432 + 5 145 = 8 577 > 8 5573 432 + 5 245 = 8 677 > 8 5573 432 + 5 345 = 8 777 > 8 5573 432 + 5 445 = 8 877 > 8 5573 432 + 5 545 = 8 977 > 8 5573 432 + 5 645 = 9 077 > 8 5573 432 + 5 745 = 9 177 > 8 5573 432 + 5 845 = 9 277 > 8 5573 432 + 5 945 = 9 377 > 8 557



21

24/p.39La un magazin s-au adus, spre vânzare, 9 000 kg de fructe.Din întreaga cantitate s-au vândut 3 924 kg de pere, cu 1 198 kg de prune mai puţin şi o canti-

tate de mere cu 4 487 kg mai mică decât cantităţile de prune şi pere vândute, împreună.Ce cantitate de fructe a rămas nevândută?

Rezolvare:1) Câte kilograme de prune s-au vândut?

3 924 kg – 1 198 kg = 2 726 kg2) Câte kilograme de pere şi prune s-au vândut?

3 924 kg + 2 726 kg = 6 650 kg3) Câte kilograme de mere s-au vândut?

6 650 kg – 4 487 kg = 2 163 kg4) Câte kilograme de fructe s-au vândut?

3 924 kg + 2 726 kg + 2 163 kg = 8 813 kg5) Ce cantitate de fructe a rămas nevândută?

9 000 kg – 8 813 kg = 187 kgScrierea sub formă de exerciţiu a rezolvării problemei:

9 000 – [3 924 + (3 924 – 1 198) + (3 924 + 2 726 – 4 487)] = 187 Răspuns: 187 kg

30/p.39O fermă a trimis spre vânzare 2 256 ouă de curcă, cu 1 389 mai puţine ouă de gâscă, iar ouă

de găină cât cele de curcă şi gâscă la un loc. Formulează întrebarea şi rezolvă problema.

Rezolvare:Întrebarea problemei poate fi:Câte ouă a trimis ferma spre vânzare, în total?1) Câte ouă de gâscă a trimis ferma spre vânzare?

2 256 – 1 389 = 867 (ouă de gâscă)2) Câte ouă de găină a trimis ferma spre vânzare?

2 256 + 867 = 3 123 (ouă de găină)3) Câte ouă a trimis ferma spre vânzare, în total?

2 256 + 867 + 3 123 = 3 246 (ouă)

Scrierea sub formă de exerciţiu a rezolvării problemei: 2 256 + (2 256 – 1 389) + (2 256 + 867) = 6 246 Răspuns: 6 246 (ouă)

Evaluare (2)/1/p.40Află numărul necunoscut: 453 – x = 261; x + 453 = 621; x – 453 = 621.

Rezolvare:453 – x = 261 x + 453 = 621 x – 453 = 621

x = 453 – 261 x = 624 – 453 x = 621 + 453

x = 192 x = 168 x = 1 074Verificare: 453 – 192 = 261 168 + 453 = 621 1 074 – 453 = 621



22

Evaluare (2)/2/p.40Află suma, apoi diferenţa numerelor: 5 634 şi 3 289; 6 093 şi 3 789.

Rezolvare:5 634 + 3 289 = 8 923 6 093 + 3 789 = 9 8825 634 – 3 289 = 2 345 6 093 – 3 789 = 2 304

Evaluare (2)/3/p.40Se dau numerele: 214, 428, 856, 1 712.Descoperă regula, apoi află următoarele două numere.

Rezolvare:Se observă că în acest şir numărul care urmează este dublul celui din faţa lui.

214 × 2 = 428428 × 2 = 856

856 × 2 = 1 712Aşadar, avem: 1 712 × 2 = 3 424 sau 1 712 + 1 712 = 3 424.

Evaluare (2)/4/p.40Ionel citeşte într-o zi 25 de pagini, a doua zi cu 9 mai puţine, iar a treia zi cu 5 mai multe

decât în a doua zi. Cartea are 79 de pagini.Câte pagini i-au rămas de citit lui Ionel?

Rezolvare:1) Câte pagini citeşte Ionel a doua zi?

25 – 9 = 16 (pagini)2) Câte pagini citeşte Ionel a treia zi?16 + 5 = 21 (pagini)

3) Câte pagini a citit Ionel în cele trei zile?25 + 16 + 21 = 62 (pagini)

Scrierea sub formă de exerciţiu a rezolvării problemei: 79 – [(25 + (25 – 9) + (16 + 5)] = 17 Răspuns: 17 (pagini)

Problemă cu vrăbii şi… crengi/p.40Mărul din livadă are 7 crengi cu câte 17 crenguţe fiecare.

Cele 96 de vrăbii s-au aşezat câte 4 pe fiecare crenguţă.Câte crenguţe au rămas libere?

Rezolvare:1) Câte crenguţe sunt în livadă?

17 × 7 = 119 (crenguţe)2) Câte crenguţe au ocupat cele 96 de vrăbii?

96 : 4 = 24 (crenguţe)3) Câte crenguţe au rămas libere?

119 – 24 = 95 (crenguţe)

Scrierea sub formă de exerciţiu a rezolvării problemei: [(17 × 7) – (96 : 4) = 95 Răspuns: 95 de crenguţe.



23

10/p.43Află-l pe x din egalitatea:

x + 10 + x + 10 + x = x + x + x + x + x.

Rezolvare: x + 10 + x + 10 + x = x + x + x + x + x

Scădem şi din membrul drept, şi din membrul stâng 3 ⋅ x, adică acelaşi număr, şi obţinem:10 + 10 = 2 ⋅ x 2 ⋅ x = 20

x = 20 : 2 x = 10

14/p.43Trei prieteni vor să cumpere un cadou de 53 lei. Primul are 9 lei, al doilea are triplul primului,

iar al treilea cu 3 lei mai mult decât primul copil.De câţi lei mai au nevoie pentru a cumpăra cadoul?

Rezolvare:1) Câţi lei are al doilea prieten?

9 lei × 3 = 27 lei sau 9 lei + 9 lei + 9 lei = 27 lei2) Câţi lei are al treilea prieten?

9 lei + 3 lei = 12 lei3) Câţi lei au cei trei prieteni împreună?

9 lei + 27 lei + 12 lei = 48 lei

4) De câţi lei mai au nevoie pentru a cumpăra cadoul?53 lei – 48 lei = 5 leiScrierea sub formă de exerciţiu a rezolvării problemei: 53 – [9 + (9 × 3) + (9 + 3)] = 48

Răspuns: 48 lei

1/p.44Determină valoarea literelor din fiecare egalitate:

: ; : ; : xy y y ab b c xx x xx= = = .

Rezolvare:

: xy y y= :ab b c= : xx x xx=

25 : 5 = 5 12 : 2 = 6 11 : 1 = 1136 : 6 = 6 15 : 5 = 3

2/p.44Determină pe n din egalitatea: m : m + x ⋅ 0 + n – m : m = 756.

Rezolvare:m : m + x ⋅ 0 + n – m : m = 756

Avem: 1 + 0 + n – 1 = 756n = 756



24

4/p.44Dacă m × n = 27, iar n × p = 12, calculează:

a) n × (m + p); b) n × (m – p).

Rezolvare:a) m × n = 27 Adunăm cele două relaţii:

n × p = 12m × n + n × p = 27 + 12 (n factor comun)n × (m + p) = 39

b) m × n = 27 Scădem cele două relaţii:n × p = 12m × n – n × p = 27 – 12 (n factor comun)n × (m – p) = 15

10/p.45

Află rezultatul pentru:a) (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) + (2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18) +

+ (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19); b) (2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18) + (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19) –

– (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10).

Rezolvare:Calculăm folosind metoda grupării termenilor 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 .(asociativitate)Avem: 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 5 = 55.

Atunci când avem un şir de numere naturale la rând: S = n ⋅ (n + 1) : 2, n fiind ultimul termenal şirului.Avem n = 10, n + 1 = 11.Deci, 10 ⋅ 11 : 2 = 110 : 2 = 55.

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 = ?Îl dăm pe 2 factor comun şi obţinem din nou o sumă de termeni înşiraţi la rând.

Avem: 2 ⋅ (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 2 ⋅ 45 = 90

Folosind metoda grupării termenilor, avem:1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = n ⋅ n = 20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 100.

Metoda a II-a: Notăm cu n numărul termenilor sumei:

n = (19 + 1) : 2 = 10 termeni.

Avem: n ⋅ n = 10 ⋅ 10 = 100.



25

a) (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) + (2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18) ++ (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19) = 55 + 90 + 100 = 145 + 100 + 245;

b) (2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18) + (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19) – – (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) = 90 + 100 – 55 = 190 – 55 = 135.

15/p.46Să se determine numărul x din egalităţile:a) (1 + 2 – 3 + 4 – 5 + 6) ⋅ x = 5; b) (2 x – x – x) ⋅ x = 0.

Rezolvare:a) (1 + 2 – 3 + 4 – 5 + 6) ⋅ x = 5 b) (2 x – x – x) ⋅ x = 0Avem: 5 ⋅ x = 5 0 ⋅ x = 0

x = 5 : 5 x = 0 x = 1

16/p.46Mă gândesc la un număr. Îl „măresc“ de două ori. Rezultatul obţinut îl împart la 2 şi obţin 7.Care este numărul la care m-am gândit?

Rezolvare:Scrierea sub formă de exerciţi a problemei este:

(2 ⋅ x) : 2 = 7Folosim metoda mersului invers:

2 ⋅ x = 2 ⋅ 72 ⋅ x = 14

x = 14 : 2 x = 7

Răspuns: 7

17/p.46Determină numărul x, ştiind că:a) (4 + x) : 5 = 20; b) (6 + x) × 6 = 36; c) (7 – x) × 7 = 49.

Rezolvare:a) (4 + x) : 5 = 20 b) (6 + x) × 6 = 36 c) (7 – x) × 7 = 49

x + 4 = 20 × 5 6 + x = 36 : 6 7 – x = 49 : 7 x + 4 = 100 6 + x = 6 7 – x = 7 x = 100 – 4 x = 6 – 6 x = 7 – 7 x = 96 x = 0 x = 0

Verificare: (4 + 96) : 5 = (6 + 0) × 6 = 6 × 6 = 36 (7 – 0) × 7 = 7 × 7 = 49= 100 : 5 = 20 = 20

19/p.46Determină numărul x, ştiind că:

a) ( x + 1) × 7 = 56; b) (5 – x) × 8 = 32; c) (4 + x) × 5 = 20.



26

Rezolvare:a) ( x + 1) × 7 = 56 b) (5 – x) × 8 = 32 c) (4 + x) × 5 = 20

x + 1 = 56 : 7 5 – x = 32 : 8 4 + x = 20 : 5 x + 1 = 8 5 – x = 4 4 + x = 4 x = 8 – 1 x = 5 – 4 x = 4 – 4 x = 7 x = 1 x = 0

Verificare: (7 + 1) × 7 = 8 × 7 = 56 (5 – 1) × 8 = 4 × 8 = 32 (4 + 0) × 5 = 4 × 5 = 20

22/p.47Calculează şi precizează dacă propoziţiile sunt adevărate (A) sau false (F).a) 5 × 3 = 3 × 5 b) 45 + 23 = 2 × 3 × 5 + 38

1 × 2 × 3 × 4 = 2 × 12 3 × 6 – 8 = 2 × 5 9 × 9 – 9 = 8 × 9 2 × 9 – 1 × 9 + 3 = 6 × 2 6 × 8 + 8 = 7 × 8 8 = 4 × 7 + 4 4 × 4 × 4 – 64 = 100 – 10 4 × 10 – 2 × 10 + 3 × 10 = 5 × 10

Rezolvare:a) 5 × 3 = 3 × 5 A b) 45 + 23 = 2 × 3 × 5 + 38 A

15 = 15 68 = 681 × 2 × 3 × 4 = 2 × 12 A 3 × 6 – 8 = 2 × 5 A

24 = 24 10 = 109 × 9 – 9 = 8 × 9 A 2 × 9 – 1 × 9 + 3 = 6 × 2 A

72 = 72 18 – 9 + 3 = 1212 = 12

6 × 8 + 8 = 7 × 8 A 8 = 4 × 7 + 4 F56 = 56 8 = 28 + 48 = 32

4 × 4 × 4 – 64 = 100 – 10 F 4 × 10 – 2 × 10 + 3 × 10 = 5 × 10 A0 = 90 40 – 20 + 30 = 50

20 + 30 = 5050 = 50

32/p.48Mă gândesc la un număr. Îl înjumătăţesc, apoi îl „măresc“ de 9 ori şi rezultatul îl „micşorez“

de 6 ori, obţinând astfel 6.

La ce număr m-am gândit?

Rezolvare: Notăm numărul cu x.Scrierea sub formă de exerciţiu a problemei este: ( x : 2 × 9) : 6 = 6Folosim metoda mersului invers:

x : 2 × 9 = 6 × 6 x : 2 × 9 = 36 x : 2 = 36 : 9 x : 2 = 4 x = 4 × 2 x = 8



27

37/p.48Completează „căsuţele“ cu semnele potrivite (+, –, ×, :):6 7 13 = 29; (20 10) 3 = 30;5 6 4 7 = 2; (42 6) 2 = 50.

Rezolvare:6 × 7 – 13 = 42 – 13 = 29 (20 – 10) × 3 = 10 × 3 = 30

5 × 6 – 4 × 7 = 30 – 28 = 2 (42 + 6) + 2 = 48 + 2 = 50

9/p.49Într-un sac cu orez sunt 3 pungi a câte 2 kg fiecare.Ce cantitate se află în 5 saci?

Rezolvare:1) Câte kilograme de orez sunt într-un sac?

2 kg × 3 = 6 kg2) Ce cantitate se află în 5 saci?

6 kg × 5 = 30 kgScrierea sub formă de exerciţiu a rezolvării problemei: (2 × 3) × 5 = 30

Răspuns: 30 kg

Evaluare (1)/1/p.50Adaugă la sfertul produsului numerelor 12 şi 3 dublul diferenţei numerelor 47 şi 2.

Rezolvare:

1) Produsul numerelor 12 şi 3 este:12 × 3 = 36

2) Sfertul produsului este:36 : 4 = 9

3) Diferenţa numerelor 47 şi 2 este:47 – 2 = 45

4) Dublul diferenţei este:45 × 2 = 90

5) Suma dintre sfertul produsului şi dublul diferenţei este:

9 + 90 = 90Scrierea sub formă de exerciţiu a rezolvării problemei: {(12 × 3 : 4) + [(47 – 2) × 2]} = 90 Răspuns: 90

Evaluare (1)/2/p.50Câtul a două numere este 8. Împărţitorul este de 6 ori mai mic decât 36.Află deîmpărţitul.

Rezolvare:1) Care este împărţitorul?

36 : 6 = 6



28

2) Care este deîmpărţitul?a : 6 = 8a = 6 × 8a = 48

Scrierea sub formă de exerciţiu a rezolvării problemei: [a : (36 : 6)] = 8 Răspuns: 48

Evaluare (1)/3/p.50Află numerele necunoscute:54 : a = 6 (44 – 26) : c = 3 b : 8 = 9 d × (100 – 91) = 81

Rezolvare:54 : a = 6 (44 – 26) : c = 3 b : 8 = 9 d × (100 – 91) = 81a = 54 : 6 18 : c = 3 b = 9 × 8 d × 9 = 81a = 9 c = 18 : 3 b = 72 d = 81 : 9

c = 6 d = 9Verificare: 54 : 9 = 6 (44 – 26) : 6 = 18 : 6 = 3 72 : 8 = 9 9 × (100 – 91) = 9 × 9 = 81

Evaluare (1)/4/p.50Răzvan are 6 ani. Anul trecut vârsta lui era de 5 ori mai mică decât a mamei.Câţi ani are mama lui Răzvan?

Rezolvare:1) Care era vârsta lui Răzvan anul trecut?

6 ani – 1 an = 5 ani

2) Câţi ani are mama lui Răzvan?5 ani × 5 = 25 ani

Scrierea sub formă de exerciţiu a rezolvării problemei: (5 – 1) × 5 = 25 Răspuns: 25 ani

Evaluare (1)/5/p.50Se dau numerele: a = 40; b = un sfert din a, iar c = dublul lui b.Calculează a : b × c; c : b × a.

Rezolvare:1) Cât este numărul b?40 : 4 = 10

2) Cât este numărul c?10 × 2 = 20

Înlocuim şi calculăm:a : b × c = 40 : 10 × 20 =

= 4 × 20 == 80

c : b × a = 20 : 10 × 40 =

= 2 × 40 == 80



29

Evaluare (1)/6/p.50La ce număr trebuie adunat sfertul lui 36 pentru a obţine dublul numărului 50 ?

Rezolvare: Notăm numărul cu x.1) Care este sfertul lui 36?

36 : 4 = 92) Scriem sub formă de exerciţiu:

x + (36 : 4) = 50 × 2 x + 9 = 100 x = 100 – 9 x = 91

Răspuns: 91

Evaluare (4)/1/p.51

Se dau relaţiile:a + b + c + d + e = 50; a = 4; b = 3a; c = a + b; d = jumătate din c; e = ?

Rezolvare:1) Cât este numărul b?

3 × 4 = 122) Cât este numărul c?

4 + 12 = 163) Cât este numărul d ?

16 : 2 = 8

4) Cât este a + b + c + d ?4 + 12 + 16 + 8 = 40

5) Cât este numărul e?50 – 40 = 10

Scrierea sub formă de exerciţiu a rezolvării problemei: 50 – [4 + (3 × 4) + (4 + 12) + (16 : 2)] = 10

Răspuns: e = 10

Evaluare (4)/2/p.51

În două lădiţe se aflau 46 kg de mere. După ce din prima ladă se iau 11 kg, în a doua ladă vorfi de 4 ori mai multe kg decât în prima ladă.

Câte kilograme de mere au fost în fiecare ladă?

Rezolvare:Reprezentăm grafic problema:

I 7 kg 11 kg

II 7 kg 7 kg 7 kg 7 kg 46 kg



30

Avem: 5 × p + 11 = 465 × p = 46 – 115 × p = 35

p = 35 : 5 p = 7 kg

1) Câte kilograme de mere sunt în prima ladă?7 kg + 11 kg = 18 kg2) Câte kilograme de mere sunt în a doua ladă?

7 kg × 4 = 28 kgVerificare: 18 kg + 28 kg = 46 kg

18 kg – 11 kg = 4 × 7 kg Răspuns: I → 18 kg; II → 28 kg.

Evaluare (4)/3/p.51Mama are 32 ani. Corina, fiica sa, este mai mică decât mama de 4 ori, iar fratele ei este de

două ori mai mic decât Corina.Câţi ani vor avea împreună peste 5 ani?

Rezolvare:1) Ce vârstă are Corina?

32 ani : 4 = 8 ani2) Ce vârstă are fratele Corinei?

8 ani : 2 = 4 ani3) Câţi ani va avea mama peste 5 ani?

32 ani + 5 ani = 37 ani

4) Câţi ani va avea Corina peste 5 ani?8 ani + 5 ani = 13 ani

5) Câţi ani va avea fratele Corinei peste 5 ani?4 ani + 5 ani = 9 ani

6) Câţi ani vor avea împreună peste 5 ani?27 ani + 13 ani + 9 ani = 59 ani

Scrierea sub formă de exerciţiu a rezolvării problemei: [(32 + 5) + (32 : 4 + 5) + (8 : 2 + 5)] = 59

Răspuns: 59 ani

Evaluare (4)/4/p.51Suma a trei numere este 70. Dacă din fiecare se scade acelaşi număr, se obţin: 24, 13,

respectiv 9.Care sunt numerele?


I p = 8

II70

24

p = 8

p = 8 II

13

9



31

Avem: 3 × p + 24 + 13 + 9 = 703 × p = 70 – (24 + 13 + 9)3 × p = 70 – 463 × p = 24

p = 24 : 3

p = 81) Care este primul număr?8 + 24 = 32

2) Care este al doilea număr?8 + 13 = 21

3) Care este al treilea număr?8 + 9 = 17

Verificare: 32 + 21 + 17 = 7032 – 24 = 821 – 13 = 8

17 – 9 = 8 Răspuns: I = 32; II = 21; III = 17.

Evaluare/1/p.56„Măreşte“ cu 17 produsul numerelor 5 şi 7, „măreşte“ rezultatul de 10 ori, „micşorează-l“ cu

513, apoi „măreşte-l“ de 100 de ori.Cu cât este mai mare numărul obţinut decât 400?

Rezolvare:1) Produsul numerelor 5 şi 7 este:

5 × 7 = 352) Produsul „mărit” cu 17 este:

35 + 17 = 523) Rezultatul „mărit” de 10 ori este:

50 × 10 = 5204) Noul rezultat „micşorat” cu 513 este:

520 – 513 = 75) Noul rezultat „mărit” de 100 de ori este:

7 × 100 = 700Avem:

{[(5 × 7 + 17) × 10] – 513} × 100 == {[(35 + 17) × 10] – 513} × 100 == [(52 × 10) – 513] × 100 == (520 – 513) × 100 == 7 × 100 == 700



32

Evaluare/2/p.56La un magazin s-au adus câte 10 saci cu făină şi cu mălai.Dacă un sac cu mălai cântăreşte cu 18 kg mai mult decât unul cu făină, care are 36 kg, ce

cantitate de marfă s-a adus la magazin?

Rezolvare:1) Cât cântăreşte un sac cu mălai?

36 kg + 18 kg = 54 kg2) Cât cântăresc 10 saci cu mălai?

54 kg × 10 = 540 kg3) Cât cântăresc 10 saci cu făină?

36 kg × 10 = 360 kg4) Ce cantitate de marfă s-a adus la magazin?

540 kg + 360 kg = 900 kgScrierea sub formă de exerciţiu a rezolvării problemei: [(36 + 18) × 10 + 36 × 10] = 900

Răspuns: 900 kg

Evaluare/3/p.56Mă gândesc la un număr. Îl micşorez cu 150, apoi îl măresc cu 180, după care micşorez de 10

ori rezultatul şi obţin 98.La ce număr m-am gândit?

Rezolvare: Notăm numărul cu x.Avem: ( x – 150 + 180) : 10 = 98

Folosim metoda mersului invers: x – 150 + 180 = 98 × 10 x – 150 + 180 = 980 x – 150 = 980 – 180 x – 150 = 800 x = 800 + 150 x = 950

Răspuns: 950

Evaluare/4/p.56Avem cel mai mare număr par scris cu o cifră. El se înmulţeşte cu numărul cu 1 mai mare

decât el. La acest produs se adaugă suma numerelor mai mari decât 11, dar mai mici decât 17.Ce număr ai obţinut?

Rezolvare:Cel mai mare număr par scris cu o cifră este 8.

Numărul cu 1 mai mare decât el este 8 + 1 = 9.Suma numerelor mai mari decât 11, dar mai mici decât 17 este:

12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 28 + 28 + 14 = 56 + 14 = 70



33

Avem:8 × 9 + 70 =

= 72 + 70 == 142

Răspuns: 142

Evaluare/5/p.56Află înşesitul numărului a, ştiind că: 50 : 5 × a – 175 = 5 × 5.

Rezolvare:Avem: 50 : 5 × a – 175 = 5 × 5

50 : 5 × a = 175 + 2550 : 5 × a = 20010 × a = 200a = 200 : 10

a = 20 Răspuns: 20

Evaluare/6/p.56Jumătatea sfertului unui număr este 76.Află acel număr.


Care este numărul? x : 4 : 2 = 76 x : 4 = 76 × 2 x : 4 = 152 x = 152 × 4 x = 607

Răspuns: 608

Evaluare/7/p.56Se dau numerele:

a = 2 × 8 + 7 × 3 + 72 : 8;b = 42 : 7 – 15 : 5 – 10 : 5c = 64 : 8 + 45 : 9 – 6

Să se calculeze:a + 4b + 2c; 3a + 5b – c.

Rezolvare:a = 2 × 8 + 7 × 3 + 72 : 8 b = 42 : 7 – 15 : 5 – 10 : 5 c = 64 : 8 + 45 : 9 – 6a = 16 + 21 + 9 b = 6 – 3 – 2 c = 8 + 5 – 6

a = 37 + 9 b = 3 – 2 c = 13 – 6a = 46 b = 1 c = 7

76 76 76 76 76 76 76 76



34

Avem: a + 4b + 2c = 3a + 5b – c == 46 + 4 × 1 + 2 × 7 = = 3 × 46 + 5 × 1 – 7 == 46 + 4 + 14 = = 138 + 5 – 7 == 50 + 14 = = 143 – 7 == 64 = 136

„Tensiunea“ ţiparului-electric/p.56Cu câţi volţi îşi poate electrocuta ţiparul-electric prada, ştiind că, „micşorând“ numărul

volţilor cu 85, obţinem suma numerelor 145 şi 155?

Rezolvare: Notăm numărul volţilor cu x.Avem:

x – 85 = 145 + 155 x – 85 = 300 x = 300 + 85 x = 385 (volţi)

Răspuns: 385 (volţi)



35

Clasa a IV-a (pag/p. 9-28)

2/p.29Reconstituie operaţiile, înlocuind literele:654+ 2 x3+ xx2+ x10+ 4 xx+

xxx

x71 4

xx 2

xx

x1 x

869 68 x 798 3 x3 x45765 876

Rezolvare:6 5 4 + 2 1 3 + 3 1 2 + 3 2 2 + 3 3 2 + 3 4 2 +2 1 5 4 7 1 4 8 6 sau 4 7 6 sau 4 6 6 sau 4 5 68 6 9 6 8 4 7 9 8 7 9 8 7 9 8 7 9 8

3 8 2 + 3 7 2 + 3 6 2 + 3 5 2 + 2 1 0 + 2 1 0 +4 1 6 sau 4 2 6 sau 4 3 6 sau 4 4 6 2 1 2 sau 2 2 27 9 8 7 9 8 7 9 8 7 9 8 3 4 3 3 3 3

7 6 5 7 6 5

2 1 0 + 2 1 0 + 4 2 0 + 4 2 0 + 4 2 0 + 4 2 0 +2 4 2 sau 2 3 2 1 1 1 sau 2 1 2 sau 2 1 4 sau 3 1 13 1 3 3 2 3 3 4 5 2 4 4 2 4 2 1 4 57 6 5 7 6 5 8 7 6 8 7 6 8 7 6 8 7 6

6/p.30Să se reconstituie adunările:

666 xxx yyy+ = ; 666 xyz yxz + = ;

666 xyx yxy+ = ; 666 xyy yxx+ = .

Rezolvare:

666 xxx yyy+ = 666 xyz yxz + =

111 + 555 = 666 153 + 513 = 666222 + 444 = 666

666 xyx yxy+ = 666 xyy yxx+ =

515 + 151 = 666 244 + 422 = 666

7/p.30Ce număr trebuie adunat la suma numerelor 247 şi 131 pentru a obţine 799?

Rezolvare:Scrierea sub formă de exerciţi a rezolvării problemei este:

x + (247 + 131) = 799 x + 378 = 799 x = 799 – 378

x = 421Verificare: 421 + (247 + 131) = 421 + 378 = 799



36

8/p.30Ce numere putem aduna cu numărul 32 pentru a obţine numere mai mari decât 50 şi mai mici

decât 60?

Rezolvare:a) x + 32 = 51; x = 51 – 32; x = 19

b) x + 32 = 52; x = 52 – 32; x = 20c) x + 32 = 53; x = 53 – 32; x = 21d) x + 32 = 54; x = 54 – 32; x = 22e) x + 32 = 55; x = 55 – 32; x = 23f) x + 32 = 56; x = 56 – 32; x = 24g) x + 32 = 57; x = 57 – 32; x = 25h) x + 32 = 58; x = 58 – 32; x = 26i) x + 32 = 59; x = 59 – 32; x = 27

Răspuns: x ∈ {19, 20, 21, 22, …, 27}.

9/p.30Calculează suma a + b, ştiind că a este dublul lui b, iar b este cu 11 mai mare decât 121.

Rezolvare:1) Cât este b?

121 + 11 = 1322) Cât este a?

132 + 132 = 264Scrierea sub formă de exerciţiu a rezolvării problemei: 121 + (11 + 121) + 11 = 264

Răspuns: 264

1/p.31Să se afle suma a 3 numere, ştiind că primul număr este 102, al doilea este cu 414 mai mare,

iar al treilea este triplul primului număr.

Rezolvare:1) Care este al doilea număr?

102 + 414 = 5162) Care este al treilea număr?

102 + 102 + 102 = 306 sau 102 × 3 = 3063) Care este suma celor trei numere?

102 + 516 + 306 = 924Scrierea sub formă de exerciţiu a rezolvării problemei:

102 + (102 + 414) + (102 + 102 + 102) = 924 Răspuns: 924

6/p.31Află suma numerelor cuprinse în intervalul 100 şi 600 care au atât la unităţi, cât şi la zeci cifra 8.

Rezolvare:Suma numerelor este: 188 + 288 + 388 + 488 + 588 = 1 940



37

12/p.32Adună numărul 264 cu predecesorul şi cu succesorul lui.Ce număr ai obţinut?

Rezolvare:Predecesorul numărului 264 este 263.Succesorul numărului 264 este 265.Care este suma?

264 + (263 + 265) == 264 + 528 == 792

13/p.32Însumează numărul 172 cu „vecinii“ săi.

Rezolvare:„Vecinii” numărului 172 sunt 171 şi 173.Care este suma?

172 + (171 + 173) == 172 + 344 == 516

18/p.32Lăţimea unui teren de formă dreptunghiulară este de 183 m, iar lungimea este cu 171 m mai

mare.

Cât este perimetrul?

Rezolvare:1) Care este lungimea dreptunghiului?

183 m + 171 m = 354 m2) Care este perimetrul dreptunghiului?Atenţie! Pentru a calcula perimetrul dreptunghiului folosim una dintre formulele de mai jos:

P = L + l + L + l sau P = 2 ⋅ L + 2 ⋅ l sau P = 2 ⋅ ( L + l ) P = 354 + 183 + 354 + 183 P = 2 ⋅ 354 + 2 ⋅ 183 P = 2 ⋅ (354 + 183) P = 537 + 354 + 183 P = 708 + 366 P = 2 ⋅ 537 P = 831 + 183 P = 1 074 m P = 1 074 m P = 1 074 m

21/p.33Înlocuieşte steluţele cu cifrele potrivite:

a) *27 + 2*6 = *13 b) *6* + 5*4 = *32

c)

*84 +

276

*60

d)

*7* +

63*

*10



38

Rezolvare:Înlocuind steluţele cu cifrele potrivite, obţinem:a) 127 + 286 = 313 b) 168 + 564 = 732

sau 227 + 286 = 513c) 1 8 4 + d) 1 7 1 + 2 7 2 +

2 7 6 6 3 9 sau 6 3 8

4 6 0 8 1 0 9 1 0Găseşte şi alte soluţii în fiecare caz!

24/p.33În luna mai, vizitatorii epavei din Costineşti, Evanghelia, au fost în număr de 246, în luna

iunie cu 177 mai mulţi, iar în luna iulie cu 388 mai mulţi decât în iunie.Câţi vizitatori au fost la epava Evanghelia în luna iulie?

Rezolvare:1) Câţi vizitatori au fost în luna iunie?

246 + 177 = 423 (vizitatori)2) Câţi vizitatori au fost în luna iulie?

423 + 189 = 612 (vizitatori)Scrierea sub formă de exerciţiu a rezolvării problemei: (246 + 177) + 189 = 612

Răspuns: 612

27/p.34Calculează: m + n – p = ? (a – b) + c = ?ştiind că: m = 279; n = m + 89 ştiind că: a = 984; b = triplul numărului 222;

p = 149. c = 177.

Rezolvare:Avem: m + n – p = ? (a – b) + c = ?

n = m + 89 b = 222 + 222 + 222n = 279 + 89 b = 666n = 368 (984 – 666) + 177 = 318 + 177 = 495m + n – p = 279 + 368 – 149 == 647 – 149 = 498

34/p.34Găseşte:a) suma dintre cel mai mic număr natural de cinci cifre diferite şi cel mai mare număr natural

de patru cifre; b) diferenţa dintre cel mai mare număr natural de şase cifre identice şi cel mai mic număr

natural de şase cifre diferite;c) diferenţa dintre cel mai mare număr natural de şase cifre diferite şi cel mai mic număr

natural de patru cifre diferite;d) suma dintre cel mai mic număr natural de patru cifre şi cel mai mic număr natural de cinci

cifre diferite.

Rezultatele obţinute aşază-le în ordine crescătoare, apoi descrescătoare.



39

Rezolvare:a) Cel mai mic număr natural de cinci cifre diferite este 10 234.

Cel mai mare număr natural de patru cifre este 9 999.Care este suma?

10 234 + 9 999 = 20 233 b) Cel mai mare număr natural de şase cifre identice este 666 666.

Cel mai mic număr natural de şase cifre diferite este 102 345.Care este diferenţa?

666 666 – 102 345 = 504 321c) Cel mai mare număr natural de şase cifre diferite este 987 654.

Cel mai mic număr natural de patru cifre diferite este 1 023.Care este diferenţa?

987 654 – 1 023 = 986 631d) Cel mai mic număr natural de patru cifre este 1 000.

Cel mai mic număr natural de cinci cifre diferite este 10 234.

Care este suma?1 000 + 10 234 = 10 334Ordinea crescătoare a numerelor este: 10 334; 20 233; 504 321; 986 631.

37/p.35La circ a fost un număr de bărbaţi egal cu cel mai mic număr natural de 5 cifre identice.

Numărul de femei a fost mai mic decât al bărbaţilor cu cel mai mic număr natural de 4 cifre, iarnumărul de copii a fost egal cu cel mai mic număr de 5 cifre diferite.

Află câte persoane au fost la circ.

Rezolvare:Cel mai mic număr natural de 5 cifre identice este 11 111.Cel mai mic număr natural de 4 cifre este 1 000.Cel mai mic număr natural de 5 cifre diferite este 10 234.1) Care este numărul de femei participante la circ?

11 111 – 1 000 = 10 1112) Câte persoane au fost la circ?

11 111 + 10 111 + 10 234 = 31 456Scrierea sub formă de exerciţiu a rezolvării problemei: 11 111 + (11 111 – 1 000) + 10 234 =

31 456

Răspuns: 31 456

38/p.35La diferenţa dintre cel mai mare număr natural de patru cifre diferite şi cel mai mic număr

natural de 4 cifre diferite adăugă suma dintre cel mai mare număr natural de 5 cifre identice şi celmai mare număr de 5 cifre pare identice.

Rezolvare:Cel mai mare număr natural de patru cifre diferite este 9 876.Cel mai mic număr natural de 4 cifre diferite este 1 023.

Cel mai mare număr natural de 5 cifre identice 99 999.Cel mai mare număr de 5 cifre pare identice este 88 888.



40

1) Care este diferenţa?9 876 – 1 023 = 8 853

2) Care este suma?99 999 + 88 888 = 188 887

3) Cât obţinem adunând diferenţa şi este suma?8 853 + 188 887 = 197 740

43/p.36

Află cel mai mare număr de trei cifre care este suma a trei termeni de forma: a aa aaa+ + .Scade din numărul descoperit pe 249.

Rezolvare:Pentru a afla cel mai mare număr de trei cifre dăm lui a valoarea 8.

Aşadar, avem: a aa aaa+ + = 8 + 88 + 888 = 984şi 984 – 249 = 635.

45/p.36Prefixul telefonului lui Cătălin este un număr care îndeplineşte simultan condiţiile:a) este un număr de trei cifre nenule, având suma cifrelor 14, cu cifra sutelor suma cifrei

zecilor şi unităţilor care sunt cifre consecutive.Scade din numărul descoperit numărul 555.

Rezolvare:

Fie numărul de trei cifre abc , unde a = b + c, a + b + c = 14, c = b + 1. Numărul care îndeplineşte condiţiile date este 734.Care este diferenţa?

734 – 555 = 179

50/p.37Dacă: 2a + b = 850 şi a + b = 650, atunci a = ? şi b = ?

Rezolvare:Din relaţia a + b = 650 avem b = 650 – a. Înlocuim în prima relaţia 2a + (650 – a) = 850,

a + 650 = 850, a – 850 – 650, a = 200.Acum putem calcula b = 650 – 200, b = 450.

11/p.38Un număr este 179, al doilea este triplul primului număr, iar al treilea jumătate din suma

primelor două numere.Calculează suma numerelor.

Rezolvare:1) Care este al doilea număr?

179 × 3 = 5372) Care este suma primelor două numere?

179 + 537 = 716



41

3) Care este al treilea număr?716 : 2 = 358

4) Care este suma numerelor?179 + 537 + 358 = 1 074

Scrierea sub formă de exerciţiu a rezolvării problemei: 179 + (179 × 3) + {[179 × 3]} = 1 075

Răspuns: 1 075

Despre cea mai grea ţestoasă din lume/p.38Dacă „micşorăm” numărul kilogramelor ei de două ori, apoi cu încă 200, din rezultat

calculând două treimi, iar din noul rezultat patru zecimi, obţinem cu 10 mai puţin decât jumătatealui 100.

Câte kilograme poate avea broasca ţestoasă-gigant?

Rezolvare:

Problema se rezolvă prin metoda mersului invers.Avem: 50 – 10 = 4040 : 4 × 10 = 100100 : 2 × 3 = 150150 + 200 = 350350 × 2 = 700

Răspuns: 700 kg

17/p.39Dacă a × b = 490 şi a × c = 350, calculează:

a) a × (b + c) : 7; b) a × (b – c) : 10.

Rezolvare:a) a × b = 490 (1) şi a × c = 350 (2). Adunăm relaţia (1) cu relaţia (2):

a × b + a × c = 840. Avem: a × (b + c) = 840. Acum a × (b + c) : 7 devine 840 : 7 = 120. b) a × b = 490 (1) şi a × c = 350 (2). Scădem relaţiile (1) şi (2):

a × b – a × c = 490 – 350a × (b – c) = 140. Acum avem: a × (b – c) : 10 = 140 : 10 = 14.

20/p.39Un număr natural x împărţit la 6 dă un cât cu 840 mai mic decât x.Determină valoarea lui x.

Rezolvare: x : 6 = x – 840.Reprezentăm grafic problema:

Avem: 5 × p = 840, p = 840 : 5, p = 168.Deci, numărul căutat este 168 × 6 = 1 008.

p p p p p p

p 840



42

23/p.39Se dau numerele: a = 47 × 6; b = 505 – 429; c = 72 : 9.Calculează: a + b; b × c; a + b + c; b × c – a.

Rezolvare:a = 47 × 6; a = 282b = 505 – 429; b = 76c = 72 : 9; c = 8a + b = 282 + 76 = 358b × c = 76 × 8 = 608a + b + c = 282 + 76 + 8 = 366b × c – a = 76 × 8 – 282 = 608 – 282 = 326

10/p.41Află a, b şi c, ştiind că: a + b + c = 7 224, a + b = 5 546 şi b + c = 4 785.

Rezolvare:a + b + c = 7 224a + b = 5 546b + c = 4 785

1) Cât este c?7 224 – 5 546 = 1 678

2) Cât este a?7 224 – 4 785 = 2 439

3) Cât este b?

5 546 – 2 439 = 3 107 sau 4 785 – 1 678 = 3 107Atenţie! Problema se rezolvă şi în alt mod; încearcă, dar dacă nu reuşeşti, caută anteriorrezolvarea problemelor asemănătoare.

Răspuns: a = 2 439; b = 3 107; c = 1 678

21/p.42Află suma numerelor x, y şi z dacă:

x = 5 × y; y = z : 3; z = 756 : 3.

Rezolvare:

z = 756 : 3; z = 252 y = z : 3; y = 252 : 3; y = 84 x = 5 × y; x = 5 × 84; x = 420

Răspuns: x = 420; y = 84; z = 252

28/p.43Dacă împărţim diferenţa numerelor 528 şi 179 la suma dintre 7 şi un număr necunoscut a,

obţinem câtul 7 şi restul 6.Află numărul a.Rezolvare:Diferenţa numerelor 528 şi 179 este: 528 – 179 = 349.



43

Avem:349 : (7 + a) = 7, restul 6 Î = (D – r) : C7 + a = (349 – 6) : 77 + a = 343 : 77 + a = 49 T2 = S – T1 a = 49 – 7a = 42

29/p.43Un număr este adunat la şeptimea numărului 7 028, apoi micşorat cu 4. Rezultatul este

împărţit la 100 şi se obţine penultimul număr impar de două cifre.Află numărul.

Rezolvare:Care este şeptimea numărului 7 028?

7 028 : 7 = 1 004 Notăm rezultatul cu a.Penultimul număr impar de două cifre este 97.Avem:

a : 100 = 97a = 97 × 100a = 9 700

Notăm cu x numărul căutat.( x + 1 004) – 4 = 9 700

x + 1 004 – 4 = 9 700

x + 1 000 = 9 700 x = 9 700 – 1 000 x = 8 700

Răspuns: 8 700

Coada jderului de copac/p.43Dacă scădem din acelaşi număr numerele 5, 7 şi 9, suma diferenţelor va fi cu 22 mai mică

decât jumătatea lui 200.Care este numărul, ştiind că reprezintă, în centimetri, lungimea cozii jderului de copac?Ştiind că lungimea corpului jderului, fără coadă, fireşte, este un număr cu 47 cm mai mic

decât un metru, află cu cât este mai lungă sau mai scurtă coada jderului decât corpul său.

Rezolvare: Notăm cu x lungimea cozii jderului de copac.Avem:

x – 5 = a (1) x – 7 = b (2) Adunăm relaţiile (1), (2) şi (3) şi obţinem: x – 9 = c (3)3 ⋅ x – 21 = 783 ⋅ x = 78 + 213 ⋅ x = 99



44

x = 99 : 3 x = 33 cm

Lungimea corpului jderului, fără coadă este:1 m – 47 cm = 100 cm – 47 cm = 53 cm.

Cu cât este mai scurtă coada jderului decât corpul său? (lungimea cozii jderului)53 cm – 33 cm = 20 cm

Broasca ţestoasă mică şi broasca ţestoasă mare/p.43Broasca ţestoasă poate trăi un secol şi jumătate.Broasca ţestoasă mică a împlinit, în urmă cu 36 de luni, 3 decenii, iar broasca ţestoasă mare

va împlini, peste 36 de luni, 13 decenii.Cât mai are de trăit fiecare?

Rezolvare:1) Cât mai are de trăit broasca ţestoasă mică?

150 ani – 33 ani = 117 ani2) Cât mai are de trăit broasca ţestoasă mare?

13 decenii = 130 ani; 130 ani – 3 ani = 127 ani150 ani – 127 ani = 23 ani

Răspuns: 117 ani (broasca ţestoasă mică); 23 ani (broasca ţestoasă mare)

Evaluare (3)/1/p.45

Rezolvă: {[(6 × 9 – 14) + 8 × 3] : 4 + 9} × 10 – [(3 + 27) – 30].

Rezolvare:{[(6 × 9 – 14) + 8 × 3] : 4 + 9} × 10 – [(3 + 27) – 30] == {[54 – 14) + 24] : 4 + 9} × 10 – (30 – 30) == [(40 + 24) : 4 + 9] × 10 – 0 == (64 : 4 + 9) × 10 – 0 == (16 + 9) × 10 – 10 == 25 × 10 – 0 == 250 – 0 == 250

3 decenii 36 luni Cât mai are de trăit?

3 ani 30 ani

1 secol şi 50 de ani = 150 ani

127 ani 36 luni Cât mai are de trăit? 3 ani

130 ani

1 secol şi 50 de ani = 150 ani



45

Evaluare (3)/2/p.45Află valoarea lui a din egalitatea de mai jos:

834 – [(6 × 4 + 6 × 6) : a] + 324 = 1 146.

Rezolvare:

834 – [(6 × 4 + 6 × 6) : a] + 324 = 1 146 (T1 = S – T2)834 – [(6 × 4 + 6 × 6) : a] = 1 146 – 324 834 – [(24 + 36) : a] = 822 (S = D – R)(24 + 36) : a = 834 – 82260 : a = 12 (Î = D : C)a = 60 : 12a = 5

Evaluare (3)/3/p.45

În trei livezi sunt 1 120 de pomi. În ultimele două livezi sunt 800 de pomi, iar în a doua dedouă ori mai mulţi decât în primul.Câţi pomi sunt în fiecare livadă?

Rezolvare:1) Câţi pomi sunt în prima livadă?

1 120 – 800 = 320 (pomi)2) Câţi pomi sunt în a doua livadă?

320 × 2 = 640 (pomi)3) Câţi pomi sunt în a treia livadă?

1 120 – 320 – 640 = 160 (pomi)Scrierea sub formă de exerciţiu a rezolvării problemei:

[1 120 – (1 120 – 800) – (320 × 2)] = 160 Răspuns: 160 pomi

Evaluare (3)/4/p.45Suma a trei numere naturale a, b şi c este 411 după ce la fiecare dintre ele s-a adăugat cel mai

mare număr natural de două cifre.Află numerele, ştiind că suma a + b este 239, iar diferenţa a – b este 9.

Rezolvare:Cel mai mare număr natural de două cifre este 99.

Modul I:Reprezentăm grafic problema:

Ştim că: a + b = 239 Adunăm celea – b = 9 două relaţii

2 ⋅ a / = 248

T1 T2 S

a

b

c

99

411 99

9 p = 16

73

p = 16

99



46

a = 248 : 2a = 124

Înlocuind pe a în relaţia: a + b = 239, avem:124 + b = 239b = 239 – 124b = 115

Avem:a + b + c = 411:124 + 115 + c = 411239 + c = 411c = 411 – 239c = 172

Modul II:Reprezentăm grafic problema:

99 + 99 + 9 + 2 ⋅ p = 239207 + 2 ⋅ p = 2392 ⋅ p = 239 – 2072 ⋅ p = 32

p = 32 : 2 p = 16

Cât este numărul a?99 + 16 + 9 = 124Cât este numărul b?

99 + 16 = 115Cât este numărul c?

411 – 239 = 172 Răspuns: a = 124; b = 115; c = 172

Evaluare (3)/5/p.45La un magazin s-a adus o cantitate de portocale de trei ori mai mare decât cea de banane.

După ce s-au vândut 1 800 kg de portocale şi 500 kg de banane, cantităţile rămase sunt egale.Câte kilograme de portocale şi cate kilograme de banane s-au adus la magazin?


Avem: 2 ⋅ p = 1 800 – 500

2 ⋅ p = 1 300 p = 650 kg (cantitatea de banane)

a

b

99 239 99 9 p = 16

p = 16

150 500 P

1 800

150 500 B

p p



47

Câte kilograme de portocale s-au adus la magazin?650 kg × 3 = 1 950

Răspuns: 650 kg banane; 1 950 kg portocale

Evaluare (3)/6/p.45Mă gândesc la un număr, îi adaug dublu lui, „micşorez“ rezultatul de 4 ori, ceea ce obţin îl

adun cu 231, rezultatul îl micşorez cu 100 şi am 140.La ce număr m-am gândit?Scrie rezolvarea sub forma unui exerciţiu.

Rezolvare: Notăm cu x numărul la care mă gândesc.Folosind metoda mersului invers, avem:

[( x + 2 ⋅ x) : 4 + 213] – 100 = 140[( x + 2 ⋅ x) : 4 + 213] = 140 + 100

(3 ⋅ x : 4 + 213) = 2403 ⋅ x : 4 = 240 – 2313 ⋅ x : 4 = 93 ⋅ x : = 9 ⋅ 43 ⋅ x = 36

x = 36 : 3 x = 12

Cega şi nisetrul/p.45O cegă şi un nisetru pot trăi, la un loc, cu 33 de ani mai puţin decât o zecime dintr-un mileniu.

Cât pot trăi 3 cegi şi 5 nisetri la un loc, ştiind că o cegă şi 9 nisetri pot trăi, la un loc, cu 73 deani mai puţin decât o jumătate de mileniu?

Rezolvare:O zecime dintr-un mileniu reprezintă 1 000 ani : 10 × 1 = 100 ani.Câţi ani trăiesc o cegă şi un nisetru?

100 ani – 33 ani = 67 aniCâţi ani trăiesc o cegă şi 9 nisetri?

500 ani – 73 ani = 427 ani

Notăm: cegă = c; nisetru = n. Avem:1 ⋅ c + 9 ⋅ n = 427 ani1 ⋅ c + 1 ⋅ n + 8 ⋅ n = 427 ani

67 ani + 8 ⋅ n = 427 ani8 ⋅ n = 427 ani – 67 ani8 ⋅ n = 360 anin = 360 ani : 8n = 45 ani

Ştim că c + n = 67 ani.c + 45 ani = 67 ani

n = 67 ani – 45 anic = 22 ani



48

Câţi ani trăiesc 3 cegi şi 5 nisetri?3 ⋅ 22 ani + 5 ⋅ 45 ani == 66 ani + 225 ani == 291 ani1 ⋅ n + 8 ⋅ n = 427 ani

Răspuns: 427 ani

Evaluare (5)/1/p.46

„Micşorează“ încincitul numărului 68 cu câtul numerelor 460 şi 5.

Rezolvare:Încincitul numărului 68 este: 68 × 5 = 340.Câtul numerelor 460 şi 5 este: 460 : 5 = 92.Cât este încincitul „micşorat” cu câtul?

340 – 92 = 258

Scrierea sub formă de exerciţiu a rezolvării problemei: [(68 × 5) – (460 : 5) = 258

Evaluare (5)/2/p.46

Când Maria avea 9 ani, fratele ei avea 4 ani. Acum au, împreună, 45 de ani.Câţi ani are fiecare?


Observăm că între cei doi copii există o diferenţă de 9 ani – 4 ani = 5 ani.

Avem:2 ⋅ p + 5 ani = 45 ani

2 ⋅ p = 45 ani – 5 ani2 ⋅ p = 40 ani p = 40 ani : 2 p = 20 ani (vârsta fratelui)

Câţi ani are Maria?20 ani + 5 ani = 25 ani

Răspuns: Maria are 25 ani; fratele ei are 20 ani

Evaluare (5)/3/p.46

Suma a două numere naturale este 280. Câtul dintre primul număr şi al doilea este 2, iar restul 10.

Care sunt cele două numere?

5 ani 9 ani

4 ani M F

5 ani

45 ani p

M

F

p



49


Avem:3 ⋅ p + 10 = 2803 ⋅ p = 280 + 103 ⋅ p = 270

p = 270 : 3 p = 90 (al II-lea număr)

Care este primul număr?2 ⋅ 90 + 10 = 190

Răspuns: I = 190; II = 90Verificare: 190 + 90 = 280

190 : 90 = 2, rest 10

Evaluare (5)/4/p.46

La un magazin de jucării s-au adus 940 de păpuşi, iar maşinuţe de 2 ori mai puţine. Dinfiecare categorie s-a vândut a cincea parte.

Câte jucării de fiecare fel au rămas în magazin?

Rezolvare:1) Câte maşinuţe s-au adus la magazin?

940 : 2 = 470 (maşinuţe)2) Câte păpuşi s-au vândut?

940 : 5 × 1 = 188 (păpuşi)3) Câte maşinuţe s-au vândut?

470 : 5 × 1 = 94 (maşinuţe)4) Câte păpuşi au rămas nevândute?

940 – 188 = 762 (păpuşi)5) Câte maşinuţe au rămas nevândute?

470 – 94 = 376 (maşinuţe)

Răspuns: 762 de păpuşi; 376 de maşinuţe

Evaluare (5)/5/p.46

Se dau numerele a, b, c, d şi e, astfel încât:• a este de şase ori mai mare decât b;• b este cu 8 mai mare decât c;• c este cu 30 mai mic decât d ;• d este de 3 ori mai mare decât e;• suma dintre d şi e este 112?

p p 10

p 280

I

II




Avem:4 ⋅ p = 112

p = 112 : 4 p = 28 (numărul e)

1) Care este numărul d ?28 ⋅ 3 = 84

2) Care este numărul c?84 – 30 = 54

3) Care este numărul b?54 + 6 = 60

4) Care este numărul a?60 ⋅ 6 = 360

Răspuns: a = 360; b = 60; c = 54; d = 84; e = 28

p = 28

p = 28 112 d

e

p = 28 p = 28 c

30 b

6 a 60 60 60 60 60 60

Cum Rezolvam o Problema Matematica_nov

Documents

Transcript of Cum Rezolvam o Problema Matematica_nov