CSI EAMMS II Prof EM Craciun 11_Ianuarie_2011_ Ora 10

Universitatea OVIDIUS Constanţa Departamentul ID-IFR Facultatea Matematica-Informatica

ELEMENTE DE

ANALIZA MATEMATICA SI

MATEMATICI SPECIALE

Caiet de Studiu Individual

Specializarea IEDM Anul de studii I

Semestrul II

Titular disciplină: Prof. univ. dr. EDUARD-MARIUS CRACIUN

2010

Cuprins

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

ELEMENTE DE ANALIZA MATEMATICA SI MATEMATICI SPECIALE

CUPRINS

Unitate de

învăţare 1 2 3

4

5

6

Titlul INTRODUCERE FUNCŢII COMPLEXE DE O VARIABILĂ COMPLEXĂ 1.1 Definiţia numărului complex. Reprezentare algebrică 1.2 Funcţii complexe de o variabilă complexă 1.3 Serii de puteri. Serii Taylor Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 1 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 1 INTEGRALA CURBILINIE ÎN PLANUL COMPLEX 2.1 Teoremele lui Cauchy Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 2 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 2 REZIDUURI 3.1 Puncte singulare. Reziduuri. Teorema reziduurilor 3.2 Aplicaţii ale teoremei reziduurilor la calculul unor integrale Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 3 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 3 SERII DE NUMERE 4.1 Gradient. Divergenţă. Rotor Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 4 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 4 LIMITE DE FUNCŢII 5.1 Integrarea vectorilor 5.2 Teoreme integrale: Eauss, Stokes, Green Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 5 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 5 ECUAŢII DIFERENŢIALE ORDINARE

Pagina

5

8 8 9

11 13 13 14

16 16 18 18 18

20 20 21 23 23 24

26 27 28 28 29

31 31 33 34 34 35

37

Cuprins


7

8 9

10

11

12

6.1 Ecuaţii diferenţiale cu variabile separabile, omogene, Bernoulli, Ricatti Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 6 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 6 ECUAŢII DIFERENŢIALE LINIARE 7.1 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n 7.2 Sisteme de ecuaţii diferenţiale liniare Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 7 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 7 SERII FOURIER 8.1 Serii Fourier Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 8 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 8 FUNCŢII ŞI POLINOAME SPECIALE 9.1 Polinoamele Legendre, Cebâşev, Hermite, Laguerre 9.2 Funcţii Bessel şi Gamma Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 9 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 9 ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE 10.1 Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 10 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 10 ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR 11.1 Evenimente. Operaţii cu evenimente 11.2 Funcţia probabilitate Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 11 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 11 PROBABILITĂŢI CONDIŢIONATE 12.1 Probabilităţi condiţionate 12.2 Evenimente independente Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 12 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare

37 39 39 40

42 42 44 46 46 47

49 49 51 51 52

54 54

58 60

60 61

63 63 67 67 68

70 70 72 75 75 76

78 78 79 80 81

Cuprins


13

14

Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 12 SCHEME CLASICE DE PROBABILITATE 13.1 Schema lui Poisson 13.2 Schema bilei neîntoarse Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 13 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 13 VARIABILE ALEATOARE 14.1 Repartiţie. Valoare medie. Dispersie Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 14 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 14 BIBLIOGRAFIE

81

83 83 84 85 86 86

88 88 91 91 92

93

Observaţie: numărul unităţilor de învăţare este egal cu numărul şedinţelor de curs la forma de învăţământ zi (28 ore curs = 14 UI, 14 ore curs = 7 UI)

Introducere



INTRODUCERE

foto Stimate student, Numele meu este Eduard-Marius Craciun (n.1965), în prezent sunt profesor universitar, titular al Facultaţii de Matematica-Informatica din cadrul Universităţii „Ovidius” Constanţa. Sunt absolvent al Facultăţii de Matematica-Informatica a Universitatii din Bucureşti. Sunt autor a numeroase cărţi şi articole în domeniul matematicilor aplicate si al mecanicii publicate in prestigiose edituri din tara si din strainatate. Materialul este organizat în 14 unităţi de învăţare, fiecare din aceste unităţi conţinând o parte de prezentare teoretică a subiectului tratat, o parte de exerciţii (teste de autoevaluare), rezolvările acestora şi o lucrare de verificare finală. Testele de autoevaluare ajută la fixarea cunoştinţelor dobândite în fiecare unitate de învăţare şi permit evaluarea continuă a cursantului. Lucrările de verificare reprezintă o evaluare finală la sfârşitul fiecărei etape de învăţare, prin care se urmăreşte determinarea gradului de însuşire de către dumneavoastră a conceptelor, metodelor, tehnicilor etc. prezentate anterior. Răspunsurile pe care le formulaţi vor fi transmise prin e-mail la adresa [email protected] pentru a fi verificate şi comentate. Lucrarea pe care o redactaţii şi pe care o trimiteţi tutorelui trebuie să conţină pe prima pagină denumirea cursului „Elemente de analiza matematica si matematici speciale”, numele şi prenumele dumneavoastră şi adresa de e-mail pe care o aveţi. Pentru o justă identificare a lucrării este de dorit ca pe fiecare pagină să inseraţi numele şi prenumele dumneavoastră. Răspunsurile trebuie să fie clar formulate, în limita posibilităţilor fiind recomandabilă utilizarea unui procesator de texte. În medie răspunsurile ar trebui să se întindă pe o jumătate de pagină, putând exista formulări mai lungi sau mai scurte funcţie de subiectul tratat. Între două răspunsuri succesive este necesar a fi lăsat un spaţiu de 5-6 cm pentru eventuale comentarii din partea tutorelui. Ponderea acestor lucrări de evaluare în totalul notei de examen este de 50%, restul de 50% fiind constituit de examenul propriu-zis.

Succes !

mailto:[email protected]

Introducere


Spor la învăţat şi succes!

…

Integrala curbilinie in planul complex


Unitate de învăţare Nr. 1

FUNCŢII COMPLEXE DE O VARIABILĂ COMPLEXĂ

Cuprins

Pagina

Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 1 8

1.1 Definiţia numărului complex. Reprezentare algebrică……………....………………... 8

1.2 Funcţii complexe de o variabilă complexă………....…………………………………. 9

1.3 Serii de puteri. Serii Taylor ……………………………………………………..……. 11

Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 1………………………………………….... 13

Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 13

Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 1…………………………………………………….. 14



OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 1

Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 1 sunt:

Recapitularea noţiunilor si proprietatilor numerelor complexe din liceu Însuşirea aparatului de calcul din analiza complexa

1.1 Definiţia numărului complex. Reprezentare algebrică Definiţii

1. Definiţia numărului complex. Reprezentarea algebrică a unui număr complex.

Notăm cu R corpul numerelor reale şi considerăm mulţimea RR . Înzestrăm

această mulţime cu două operaţii adunarea şi înmulţirea definite prin

yxxyyyxxyxyx

yyxxyxyx

'',''',',

','',',

Se verifică cu uşurinţă, utilizând faptul că R este un corp comutativ că ,R,R

este corp comutativ. Un număr complex este prin definiţie un element al acestui corp, care se notează cu C. Precizăm în continuare doar elementele de efect nul faţă

de operaţii şi inversabile. Elementul zero este numărul complex 0,0 , elementul

unitate este numărul complex 0,1 , elementul opus numărului complex yxz ,

este elementul yxz , , iar inversul elementului 0, yxz se notează

prin z

1 şi este numărul complex

2222,

yx

y

yx

x. Dacă C21, zz , 02 z

atunci se pune 2

1

z

z în loc de

21

1

zz .

2. Conjugatul unui număr complex. Dacă z este numărul complex iyx , se

numeşte conjugatul lui z numărul complex iyx , care se notează cu z . Se

constată imediat că funcţia zz definită pe C cu valori în C posedă următoarele proprietăţi:

zzz C

212221 , zzzzzz C

222121 , zzzzzz C .



3. Modulul unui număr complex. Fie Cz . Se numeşte modulul lui z şi se

notează prin z , numărul real nenegativ 22 yx . Este evident că zz şi că

zzz . Următoarele inegalităţi sunt o consecinţă imediată a definiţiei

modulului:

zzzz

zImRe

Im

Re

Modulul posedă, de asemenea, următoarele proprietăţi:

a) 00 zz

b) 212121 , zzzzzz C

c) 212121 , zzzzzz C .

4. Argumentul unui număr complex. Fie Cz , 0z . Cum 1z

z, rezultă că

există un număr real (unic determinat) în intervalul , cu proprietatea

sincosz

z. Acest număr, , asociat în acest mod lui z se notează cu zarg ,

şi se numeşte argumentul numărului complex z.

Test de autoevaluare 1.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar.

Demonstraţi proprietăţile modulului unui număr complex. Răspunsul la test se găseşte la pagina 13 .

1.2 Funcţii complexe de o variabilă complexă Definiţii

şi exemple

1. Definiţie. Relaţia dintre derivabilitate şi K – diferenţiabilitate. Fie CA , '

0 AAz şi CAf : .

Funcţia f se numeşte derivabilă în z0 dacă funcţia C- zAr : definită prin

0

0

zz

zfzfzr

are limită în punctul z0. această limită, dacă există, se numeşte

derivata funcţiei f în z0 şi se notează prin 0' zf .

Exemple 1) Funcţia CC :f definită prin zzf este derivabilă în orice punct din C.



2) Funcţia CC 0:f definită prin z

zf1

este derivabilă în orice punct din

0C . Fie CA cu proprietatea că 'AA şi CAf : . Funcţia f se numeşte derivabilă pe A dacă este derivabilă în orice punct din A. Teoremă Fie A o submulţime din CAfC :, şi '

0 AAz . Funcţia f este derivabilă în

z0 dacă şi numai dacă f este C – diferenţiabilă în z0. Teoremă Fie CA , Az 0 şi CAf : . Funcţia f este derivabilă în z0 dacă şi numai

dacă f este R - diferenţiabilă în z0 şi 00

zz

f.

Observaţie Fie CA , Az 0 şi CAf : . Putând ivuf observăm că relaţia

00

zz

f este echivalentă cu relaţiile:

00

00

zx

vz

y

u

zy

vz

z

u

numite relaţiile Cauchy-Riemann. Aşadar o funcţie f , definită pe o mulţime A, din C, este derivabilă într-un punct z0 interior lui A, dacă şi numai dacă este R – diferenţiabilă în z0 şi u şi v satisfac relaţiile Cauchy-Riemann. Propoziţie Fie CA şi '

0 AAz . Dacă f şi g sunt funcţii complexe pe A, derivabile în z0,

atunci funcţiile gf , fg sunt funcţii derivabile în z0. Propoziţie Fie A1 şi A2 două submulţimi ale lui C şi '

110 AAz , 21: AAf , C2: Ag

astfel încât '201 Azfz . Dacă f este derivabilă în z0, g derivabilă z1, atunci

fg este derivabilă în z0 şi are loc relaţia

0'

0'

0' zfzfgzfg .



Teoremă Fie D un domeniu din C şi CDf : o funcţie derivabilă pe D. Atunci f este

constantă pe D dacă şi numai dacă 0' zfDz . Test de autoevaluare 1.2 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar.

Pentru Cz vom nota cu ze numărul complex yiye x sincos unde zx Re ,

zy Im . Funcţia CC :e definită prin zeze este derivabilă pe C şi ee ' . Răspunsul la test se găseşte la pagina 13.

1.3 Serii de puteri. Serii Taylor Definiţii Definiţie

Se numeşte seria de puteri o serie de forma (1)

0n

nn azc unde a, c0, c1,...,cn,...

sunt constante complexe, iar z este o variabilă complexă.

Pentru 0a , seria (1) devine

0n

nnzc (2).

Studiul seriei (1) poate fi redus la studiul seriei (2) prin substituţia az , de aceea ne vom ocupa de seria (2). Teorema lui Abel Pentru orice serie de puteri (2) există un număr 0R , cu următoarele proprietăţi: 1) dacă Rz , seria este absolut convergentă, 0R ;

2) dacă Rz , seria este divergentă.

Seria de puteri este uniform convergentă pe mulţimea Rzz 0,/ 0R .

Domeniul Rz se numeşte discul de convergenţă al serie de puteri, iar R raza de

convergenţă a acestei serii. Teorema (Cauchy-Hadamard)

Fie nn

ncsuplim

. Raza de convergenţă a seriei

0n

nnzc este

1R dacă 0

şi R dacă 0 . Teoremă O serie de puteri defineşte o funcţie olomorfă în interiorul discului de convergenţă

Rz . În acest domeniu, seria poate fi derivată şi integrată termen cu termen.

Observaţie

Toate proprietăţile seriilor de puteri de forma

0n

nnzc se transpun imediat la seriile

de puteri de forma

0n

nn azc , deoarece substituţia az o aduce la forma



seriei precedente. Raza de convergenţă nu depinde de a, ci numai de şirul 0nnc al

coeficienţilor. Discul de convergenţă va avea centrul în punctul az . Teoremă Fie o funcţie olomorfă pe mulţimea deschisă CD . Pentru orice punct Dz 0 şi

orice disc deschis d, inclus în D, cu centrul az funcţia f se poate scrie sub

forma (3)

0

0n

nn zzazf , dz , unde (4) 0!

1zf

na n

n . Seria (3) conver-

ge uniform pe orice mulţime compactă inclusă în d. Definiţie Seria (3) se numeşte seria Taylor a funcţiei f în jurul punctului z0. O funcţie complexă care se poate dezvolta în serie de puteri în jurul oricărui punct al mulţimii deschise CD , se numeşte funcţie analitică pe D. Noţiunile de olomorfie şi analicitate coincid pentru funcţii cu valori complexe definite pe o mulţime deschisă din C. Considerăm o funcţie f definită pe un disc Rzzd 0 , olomorfă pe coroana

Rzz 00 şi neolomorfă pe disc. În aceste condiţii spunem că z0 este punct

singular izolat pentru funcţia f . Teoremă În condiţiile de mai sus, f se poate dezvolta într-o serie de forma (5)

n

nn zzczf 0 , dz unde (6)

rz

nnzz

dzzf

ic 1

02

1 , Zn şi Rr 0 .

Seria (5) converge uniform pe orice mulţime compactă inclusă în d. Definiţie Seria (5) se numeşte seria Laurent a funcţiei f în jurul punctului singular izolat z0.

Funcţia

0

01n

nn zzczf se numeşte partea olomorfă a functiei f şi

1

02n

nn zzczf se numeşte partea principală a funcţiei f .


Să se determine raza de convergenţă a seriei:

0

2

11

n

nn

zn

Răspunsul la test se găseşte la pagina 13.

În loc de rezumat

Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 1. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această



unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 1 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.

Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 1

Să se determine raza de convergenţă a seriei:

0

1,!2

n

n

naz

a

n .

Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare

Răspuns 1.1

00,000 22 zyxyxz

212211221121212121, zzzzzzzzzzzzzzzzzz C

.

22Re2

,

21

21

2

2

2

121

2

2

2

121

2

2

2

1

1221221121212121

zz

zzzzzzzzzzzz

zzzzzzzzzzzzzzzz

C

Răspuns 1.2 Deoarece funcţiile:

yeyx x cos,

yeyx x sin, sunt diferenţiabile, rezultă că funcţiile

zez

zez

Im

Re

,

sunt R – difereţiabile pe C şi deci că e este R – diferenţiabilă pe C. Dacă notăm cu

eu Re , ev Im atunci:

x

vye

y

u

y

vye

x

u

x

x

'sin

cos

,

şi deci relaţiile Cauchy-Riemann sunt îndeplinite în orice punct Cz . Din teoremă rezultă că e este derivabilă pe C. Din exerciţiul 2) rezultă:



000000000 sincos' zeeyieyez

x

yiz

x

eze zxx

pentru orice C0z . De aici rezultă că ee ' .

Răspuns 1.3

Notăm 1,1

1

2

n

nc

n

n .

en

cn

n

nn

n

11limlim .

Din teorema Cauchy-Hadamard e

R11

.

Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 1

1. Livovschi L. – “Matematici speciale - Exercitii si probleme” – Litografia

Universitatii Bucuresti, 1982 2. Lupu Gh., s.a. – “Matematici speciale – Culegere de probleme” Ed.

Universitatii Ovidius, Constanta, 1998 3. Olariu V., s.a. - “Analiza Matematica si matematici speciale”, Lit. IPB,

Bucuresti 1978 4. Rudner V. – “Probleme de matematici speciale”, Ed. Didactica si

Pedagogica, Bucuresti, 1970.




INTEGRALA CURBILINIE ÎN PLANUL COMPLEX

Cuprins

Pagina

Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 2…………………………………………………….. 16

2.1 Teoremele lui Cauchy………………………………………………………………… 16








Însuşirea noţiunilor din baza ale teoriei integralei in planul complex Aplicatii ale teoriei integralei in planul complex

2.1 Teoremele lui Cauchy

Lema lui Goursat Dacă cba ,, este un sistem de trei puncte din C, vom nota prin T, mulţimea

cbazz |C şi 0,, şi 1 , pe care o vom numi triunghi. Se poate verifica că reprezentarea geometrică a acestei mulţimi în plan este un triunghi. Vom nota prin T lanţul închis accbba ,,,,, . Propoziţie (Lema lui Goursat)

Fie T un triunghi şi f o funcţie derivabilă pe T. Atunci 0Tf .

Fie λ un lanţ închis de drumuri netede din C şi *Cz . Se numeşte

indexul lui λ în raport cu punctul z, numărul

dzi

1

2

1 şi se notează

prin zn .

Teoremă (Teorema de reprezentare integrală a lui Cauchy pentru funcţii derivabile pe un domeniu convex) Fie D un domeniu convex din C şi f o funcţie derivabilă pe D. Atunci pentru orice lanţ închis de drumuri netede din D, λ, are loc relaţia

d

z

f

izfznDz

2

1* .

Teoremă Fie G un deschis din C şi f o funcţie complexă pe G. Atunci f este olomorfă pe G dacă şi numai dacă f este derivabilă pe G. Corolar (Teorema lul Morera) Dacă f este o funcţie complexă continuă pe un deschis G astfel încât

T

f 0 , pentru orice triunghi GT , atunci f este olomorfă pe G.

Fie λ un drum închis din C şi *Cz . Numărul

dzi

1

2

1, se notează

cu zn şi se numeşte indexul drumului λ în raport cu punctul z.



Fie G un deschis din C şi λ un drum închis din G. Drumul λ se numeşte omolog cu zero în raport cu G dacă indexul său în raport cu orice punct din complementara lui G este zero. Teoremă (Teorema fundamentală a lui Cauchy) Fie G un deschis din C şi f o funcţie olomorfă pe G. Dacă λ este un drum

închis omolog cu zero în raport cu G, atunci 0f .

Teoremă (Teorema de reprezentare integrală a lui Cauchy) Dacă G este un deschis din C, λ un drum închis din G, omolog cu zero în raport cu G şi f o funcţie olomorfă pe G, atunci

d

z

f

izfznGz

2

1* .

Demonstraţie Fie *Gz şi CGzg : definită prin:

z. dacã, '

z dacã,

zf

z

zff

zg

Funcţia gz fiind olomorfă pe G, din teorema fundamentală a lui Cauchy,

rezultă 0zg , de aici rezultând

d

z

f

izfzn

2

1.


Să se calculeze dzz Re , unde λ este lanţul 1,,,1 ii .

Răspunsul la test se găseşte la pagina 18 .

În loc de rezumat

Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 2. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 2 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.




Să se calculeze dzz Re , unde λ este:

a) drumul definit prin

1,0 ,2

1

tett

i;

b) lanţul obţinut din drumul de la punctul a). Şi inversul lanţului de la punctul a).


Răspuns 2.1

Din faptul că 2

Rezz

z

, rezultă că

1

0

1

0

,1,1

12

11 1

2

11222

Re

idtiitttt

dtitittit

dzzz

dzzz

dzzz

dzzii


1. Branzanescu V. - “Matematici speciale – teorie, exemple, aplicatii”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1998

2. Bronson R. – “Theory and problems of differential equations, Schaum’s Outlines Mc Graw-Hill”, New York, 1993

3. Chirita S. – “Probleme de matematici superioare”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1989

4. Lupu Gh. s.a. – “Matematici speciale – Culegere de probleme” Ed. Universitatii Ovidius, Constanta, 1998

5. Rudner V. – “Probleme de matematici speciale”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1970.

Reziduuri



REZIDUURI

Cuprins

Pagina


3.1 Puncte singulare. Reziduuri. Teorema reziduurilor ………………………………….. 20

3.2 Aplicaţii ale teoremei reziduurilor la calculul unor integrale ………………………... 21




Reziduuri




Se urmăreşte în special dobândirea unor anumite deprinderi în aplicarea cunoştinţelor teoretice in aplicatiile practice.

Formarea unei gândiri logice şi ordonate aplicabile în teoria reziduurilor.

3.1 Puncte singulare. Reziduuri. Teorema reziduurilor Puncte singulare izolate. Reziduuri.

Fie f o funcţie olomorfă pe un deschis G şi a un punct din GC . Vom spune că a este un punct singular izolat pentru funcţia f dacă există 0r

astfel încât GaaDr . Fie f o funcţie olomorfă pe G şi a un punct singular izolat pentru funcţia f

şi r un număr real 0 astefl încât GaaDr .

Numărul aDr

fi2

1 nu depinde de alegerea lui r.

Acest număr se numeşte reziduul funcţiei f în punctul a şi se notează cu afz Re .

Observaţie În legătură cu partea principală a dezvoltării funcţiei f în serie Laurent, distingem: partea principală este zero, adică pentru orice 1n , 0nt ;

partea principală conţine un număr infinit de termeni nenuli, adică există Nm astfel încât 0mt şi pentru orice ,mn 0nt ; partea principală

conţine o infinitate de termeni nenuli. În primul caz a se numeşte punct singular izolat aparent, în cazul al doilea a se numeşte punct singular izoloat polar de ordinul m, sau simplu, pol de ordinul m, iar în ultimul caz, se numeşte punct singular izolat esenţial. Exemple 1) Punctul 1 este un punct singular izolat aparent pentru funcţia

C 1,0: Cf , definită prin z

zf1

.

2) Punctul 0 este un punct singular izolat polar de ordinul 1 pentru funcţia

C 0: Cf , definită prin z

zf1

.

3) Punctul 0 este punct singular izolat esenţial pentru funcţia

C 0: Cf , definită prin zezf1

.

Reziduuri


Propoziţie Fie G un deschis din GOf ,C şi a un punct singular izolat pentru f .

Punctul a este un pol de ordinul n dacă şi numai dacă există *Nn şi o funcţie olomorfă g pe aG diferită de zero în punctul a şi astfel încât

naz

zgzfGz

.

Corolar Fie G un deschis din GOf ,C şi a un punct singular izolat pentru f .

Punctul a este un punct singular polar dacă şi numai dacă az

zf

lim .

Propoziţie Dacă a este un pol de ordin n pentru GOf atunci

1

!1

1limRe

nn

azzfaz

nafz .

Corolar Dacă a este un pol de ordin 1 pentru GOf , atunci

zfazafzaz

limRe .


Calculaţi reziduurile funcţiei zsh

ezf

iaz

în punctele singulare .


3.2 Aplicaţii ale teoremei reziduurilor la calculul unor integrale

A. Calculul unor integrale de forma

2

0

sin,cos dR unde R este o

funcţie raţională. Se face substituţia iez care transformă integrala dată în:

1

1

2

1

'

1

2

1

z z

dz

zz

izzRi care se poate calcula folosind teorema

reziduurilor.

B. Calculul integralelor de forma

dxxR , unde xQ

xPxR este

raţională. Pentru ca integrala să fie convergentă presupunem că polinomul Q nu are rădăcini reale şi xgradPxgradQ 2

Reziduuri


dxxRdxxRr

rr

lim

Alegem r suficient de mare astfel încât în interiorul semicercului de ecu-aţie ozrzz Im,|: C să fie toţi polii funcţiei zR care se

găsesc în semiplanul 0y . Aplicăm teorema reziduurilor:

0Im

;Re2

kak

k

r

r

aRzidzzRdxxR .

Trecem la limită când r , integrala pe tinde la zero deoarece

0lim

zzRz

şi obţinem:

0Im

;Re2

kak

kaRzidxxR .

C. Calculul integralelor de forma

0

dxxR , xQ

xPxR funcţie

raţională. Integrala este convergentă dacă polinomul xQ nu are rădăcini

pozitive şi dacă 2 xgradPxgradQ . Observaţie: dacă xRxR , se poate proceda ca în exercitiul anterior. În caz contrar, putem aplica teorema reziduurilor folosind un contur ce mărgineşte un sector circular convenabil ales. D. Calculul integralelor de forma

dxxxFI cos1 ,

dxxxFI sin2 .

În ipoteza că I1 şi I2 sunt convergente vom calcula

dxexFiIII zi 21

aplicând teorema reziduurilor funcţiei ziezFzf pe un contur ase-mănător celui de la punctul I.


Fie z

zzf

1

sin1. Calculaţi 1;frez şi 0;frez .


În loc de rezumat

Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 3.

Reziduuri


Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 3 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.


Să se calculeze 0;frez , 1;frez dacă ze

zzzf

1

1

1

.


Răspuns 3.1 Evident f are poli de ordin 1 în punctele zk pentru care 0kzsh .

ikzzsh kk 0 , Zk .

Avem:

akkak

zz

iaz

k eikch

e

zsh

ezfrez

k

1'

;

.

Punctul z este punct neizolat kzk , .

Răspuns 3.2 Evident punctul 1z este pol simplu şi

1sin111, 1

z

zfzfrez z .

Pentru reziduul relativ la punctul singular esenţial 0z este necesară o dezvoltare în serie Laurent în jurul acestui punct

...

!5

1

!3

1

!1

11...1sin1

1

15

5

3

332

zzzzzz

zzzf ,

10 z

Astfel: 0sin...!5!3!1

0,53

1

cfrez .

Reziduuri



1. Barbu L, Craciun E.M.- “Elemente de analiza matematica si matematici speciale”,Ed. Ex-Ponto, Constanta, 2004

2. Livovschi L. – “Matematici speciale - Exercitii si probleme” – Litografia Universitatii Bucuresti, 1982


4. Sabac Gh. – “Matematici speciale”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1981.

Câmpuri scalare şi vectoriale



CÂMPURI SCALARE ŞI VECTORIALE

Cuprins

Pagina


4.1 Gradient. Divergenţă. Rotor ……………………………………………………..….... 26








Se urmăreşte în special dobândirea unor anumite deprinderi în aplicarea cunoştinţelor teoretice in aplicatiile practice.

Formarea unei gândiri logice şi ordonate aplicabile în analiza şi rezolvarea oricărei aplicaţii de teoria campurilor ce apare în practică sau la disciplinele ce vor urma (Mecanica, Rezistenta, etc.)

4.1 Gradient. Divergenţă. Rotor

Definiţii şi exemple

Câmp scalar: Dacă fiecărui punct zyx ,, aparţinând unei reginuni R din

spaţiul 3R îi corespunde un număr sau un scalar zyx ,, , atunci se numeşte funcţie scalară de poziţie. Spunem astfel că pe R s-a definit un câmp scalar . Exemplu: Temperatura în orice loc de pe suprafaţa Pământului la un moment de timp defineşte un câmp scalar. Un câmp scalar care este independent de timp se numeşte câmp scalar staţionar. Câmp vectorial: Dacă fiecărui punct zyx ,, aparţinând unei regiuni R din

spaţiul 3R îi corespunde un vector zyx ,,v , atunci v se numeşte câmp vectorial de poziţie. Spunem astfel că pe R s-a definit un câmp vectorial. Exemplu: Viteza v în orice punct al unui fluid în curgerea sa la un moment de timp. Operatorul diferenţial Nabla, notat este definit

zyxzyx

kjikji

Vom introduce trei funcţii întâlnite în aplicaţiile practice sub denumirea de gradient, divergenţă şi rotor. Gradientul: Fie zyx ,, un câmp scalar diferenţial într-o regiun R a

spaţiului 3R . Definim gradientul lui şi scriem grad sau astfel:

kjikjizyxzyx

Observaţie: defineşte un câmp vectorial. Componenta gradientului în direcţia unui versor a este dată de a



şi reprezintă derivata direcţională a lui în direcţia a. Divergenţa: Fie kjiv 321,, vvvzyx definit şi diferenţiabil în orice

punct zyx ,, dintr-o regiune R a spaţiului 3R . Atunci, divergenţa lui v, notată . v sau div v este definită astfel:

z

v

y

v

x

vvvv

zyx321

321

kjikjiv .

Observaţie: vv Rotorul: Dacă zyx ,,v este un câmp vectorial diferenţiabil, atunci rotorul sau rotaţia lui v , notat v , sau vrot este definit astfel:

kji

kji

kjikjiv

y

v

x

v

x

v

z

v

z

v

y

v

vvvzyx

vvvzyx

123123

321

321

Observaţie: În dezvoltarea determinantului, operatorii zyx

,, trebuie

să preceadă vectorii 321 ,, vvv .

Dacă a şi b sunt funcţii vectoriale diferenţiabile, iar şi ψ sunt funcţii

scalare diferenţiabile de poziţia zyx ,, atunci :

1. gradgradgrad

2. baba divdivdiv

3. baba rotrotrot

4. aaa

5. aaa

6. baab ba

7. babaabab ba

8. baabbaab ba xx

9. 2

2

2

2

2

22

zyx

,

unde 2

2

2

2

2

22

zyx

se numeşte operatorul lui Laplace.

se consideră ca admite derivate parţiale de ordinul doi continue.



Test de autoevaluare 4.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Fie 4232 zyx . Determinaţi grad div Răspunsul la test se găseşte la pagina 28.

În loc de rezumat



Demonstraţi că fdiv grad .


Răspuns 4.1

kji

kji

32343422

423423423

846

222

zyxyzxzyx

zyxz

zyxy

zyxx

Atunci:

.24412

846

846

2234342

32343422

3334422

zyxzxzxy

zyxz

yzxy

zyxx

zyxyzxzyxx

kjikz

jy

i 3






3. Demidovici D.P. – “Problems in Mathematical Analysis”, Mir Publishers, Moskow, 1976


5. Spiegal M.R. .- “Vector analysis and an introduction to tensor analysis”, Schaum’s Outline Series, McGraw Hill,1959.

Integrare vectorială



INTEGRARE VECTORIALĂ

Cuprins

Pagina


5.1 Integrarea vectorilor…………………………………………………………………... 31

5.2 Teoreme integrale: Gauss, Stokes, Green…………………………………………...... 33

Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 5…………………………………………... 34







Însuşirea noţiunilor de bază ale teoriei integralelor vectoriale Aplicarea calculului integralelor la discipline ce vor fi studiate

5.1 Integrarea vectorilor

Fie kjiR nRnRnRn 321 un vector depinzând de o singură

variabilă scalară n, unde nRnRnR 321 ,, sunt continue pe un interval

considerat. Atunci:

dnnRdnnRdnnRdnn 321 kjiR

se numeşte integrabilă nedefinită a lui nR .

Dacă există un vector nS astfel încât ndn

dn SR , atunci

cSSR ndnndn

dn

unde c este un vector constant arbitrar independent de n. Integrala definită între limitele an şi bn poate fi scrisă în acest caz

abndnndn

ddnn

b

a

b

a

b

a

SScSSR

Integrale curbilinii Fie kjir nznynxn vectorul de poziţie al punctului zyx ,, şi considerăm o curbă C unind punctele P1 şi P2. Presupunem că C se compune dintr-un număr finit de curbe, pe fiecare dintre acestea nr având derivata continuă. Fie kjiAA 321,, AAAzyx o funcţie vectorială continuă de-a

lungul lui C. Atunci integrala componentei tangenţiale a lui A de-a lungul lui C de la P1 la P2,

2

1

321

P

P CC

dzAdyAdxAdd rArA



este un exemplu de integrală curbilinie. Teoremă Dacă A într-o regiune R a spaţiului, definită orin 21 axa ,

21 byb , 21 czc unde yzx, este o funcţie cu derivatele continue în R atunci

1. rA dP

P

2

1

este independentă de curba C din R ce uneşte punctele P1 şi P2.

2. 0c

drA , pe orice curbă închisă C în R.

Integrale de suprafaţă Considerăm S o suprafaţă şi n – versorul normalei într-un punct al suprafeţei S. Fie ds elementul diferenţial de suprafaţă căruia îi asociem vectorul Sd de modul Sd , având direcţia şi sensul lui n. Atunci ndSd S . Integrala

S

dSdS

ASA

este un exemplu de integrală de suprafaţă. Alte exemple de integrale de suprafaţă sunt

SS

dxdSd S A nS S

,, .

Integrala de volum Considerăm suprafaţa S care mărgineşte volumul V. Atunci

V

dV A şi V

dV

sunt exemple de integrale de volum.

Test de autoevaluare 5.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Dacă jiF 23 yxy , calculaţi:

rF d , unde C este curba din planul xOy de exuaţie 22xy din punctul

0,0 în punctul 2,1 . Răspunsul la test se găseşte la pagina 34.



5.2 Teoreme integrale: Eauss. Stokes, Green

Teorema divergenţei sau teorema lui Gauss Dacă V este volumul mărginit de suprafaţa închisă S şi A o funcţie vectorială cu derivate continue, atunci:

S SV

ddSndV SA A A ,

unde n este vectorul normalei exterioare pozitive la S Teorema lui Stokes Dacă S este o suprafaţă mărginită de o curbă simplă închisă şi dacă A are derivate continue

S AS nArASS

dddC

.

Teorema lui Green în plan Dacă R este o regiune închisă de o curbă simplă închisă C şi dacă MM şi N sunt funcţii continue cu derivate continue în R atunci

dxdyy

M

x

NNdyMdx

C R

,

Teoreme integrale

1. SV

dSdV 2

2. SV

ddV S 22

3. SSV

ddSdV ASAn A

4. S SC

ddSd SAnr

5. Fie ψ o funcţie scalară sau vectorială, iar simbolul reprezentând înmulţirea cu scalari, produsul scalar sau produsul vectorial, atunci:

SSV

ddSdV Sn

S SC

ddSd S nr .

Test de autoevaluare 5.2 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Verificaţi teorema lui Green în plan pentru

C

dyxdxyxyI 22 , unde C este frontiera domeniului mărginit de

curbele xy şi 2xy .




În loc de rezumat



Demonstraţi că: a) aa a

b) Calculaţi S

dS nF , unde kjiF yzyxz 24 , iar S este suprafaţa

cubului: 1,0,1,0,1,0 zzyyxx .


Răspuns 5.1 Fie jir yx . Atunci:

CCC

dyydxxydydxyxyd 22 33 jijirF

Metoda 1: Fie tx . Eucaţiile parametrice ale curbei C sunt 22, tytx . Punctele

0,0 şi 2,1 corespund lui 0t şi 1t , respectiv. Atunci:

C

dttttdtdtttdL1

0

1

0

532222

6

71662223rF

Metoda 2: Înlocuim 22xy , pentru x de la 0 la 1. Atunci:

C

dxxxxdxdxxxdL1

0

1

0

533222

6

71662223 rF

Răspuns 5.2

xy şi 2xy se intersectează în 0,0 şi 1,1 . Pe curba 2xy avem



1

0

1

0

43242

20

1932 dxxxdxxxdxxxx

Pe drapta xy de la 0,0 şi 1,1 avem

1

0

1

0

222 13 dxxdxxdxxxx .

Deci 20

11

20

19I

1

0

1

0

1

0

342

22

20

12

2

2

2

dxxxdxyxydxdyyx

dxdyyxdxdyyxyy

xxy

M

x

N

x

x

x

x

RR R





4. Lupu Gh., s.a. – “Matematici speciale – Culegere de probleme” Ed. Universitatii Ovidius, Constanta, 1998


6. Spiegal M.R.- “Vector analysis and an introduction to tensor analysis”, Schaum’s Outline Series, McGraw Hill,1959.

Ecuaţii diferenţiale ordinare



ECUAŢII DIFERENŢIALE ORDINARE

Cuprins

Pagina


6.1 Ecuaţii diferenţiale cu variabile separabile, omogene, Bernoulli, Ricatti…………….. 37








Se urmăreşte în special dobândirea unor anumite deprinderi în aplicarea ecuatiilor diferentiale in aplicatiile practice.

Formarea unei gândiri logice şi ordonate aplicabile în ecuatii şi rezolvarea oricărei aplicaţii de ecuatii diferentiale ce apare în practică sau la disciplinele ce vor urma.

6.1 Ecuţii diferenţiale cu variabile separabile, omogene, Bernoulli, Ricatti

Definiţii Definiţie O ecuaţie de forma (1) 0',, yyxF , 3',, RDyyx , unde xyy este o funcţie necunoscută, se numeşte ecuaţie diferenţială de ordinul întâi. Funcţia xyy , definită şi derivabilă pe intervalul I, astfel încât

Dxxx ',, , Ix , care satisface 0',, xxxF , Ix se numeşte soluţie a ecuaţiei (1). Soluţia generală a ecuaţiei (1) poate fi scrisă sub una din formele:

Cxgy , (explicită), 0,, Cyx (implicită). A integra ecuaţia (1) cu condiţia iniţială 00 yxy înseamnă a rezolva

problema lui Cauchy pentru ecuaţia (1). 1. Ecuaţii diferenţiale de ordinul înţâi, cu variabile separabile Sunt ecuaţii de forma ygxfy ' , f şi g funcţii continue pe domeniile

lor de definiţie, 0yg . Se separă variabilele: dxxfyg

dy (ecuaţii cu

variabile separate) şi soluţia generală este cdxxfyg

dy . Dacă

pentru 0yy avem 0yg atunci funcţia 0yy este o soluţie a ecuaţiei

şi se numeşte solutie singulară. Ecuaţiile cu variabile separabile pot fi date şi sub forma 011 dyyYxXdxyYxX , 11,,, YXYX funcţii continue pe domeniile

lor de definiţie, 01 yYxX . Se împarte cu yYxX1 şi se ajunge la

forma precedentă. Dacă a este o rădăcină a ecuaţiei 01 xX şi b a

ecuaţiei 01 yY , ax , by , sunt solutii singulare. 2. Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi omogene

yxQ

yxPy

,

,' sau 0,, dyyxQdxyxP , unde P şi Q sunt funcţii

omogene de acelaşi grad. Cu schimbarea de funcţie xuxy , obţinem o ecuaţie diferenţială cu variabile separabile.



3. Ecuaţii care se reduc la ecuaţii omogene

Fie ecuaţia

222

111'cybxa

cybxafy (2) R212121 ,,,,, ccbbaa .

a) Dacă 022

21 cc , ecuaţia (2)΄ este o ecuaţie omogenă.

b) Dacă 022

21 cc şi 0

22

11 ba

ba, atunci notăm cu 00 , yx soluţia

sistemului

0

0

222

111

cybxa

cybxa şi facem schimbarea de variabilă şi de

funcţie vyyuxx 00 , , ecuaţia (2) se reduce la o ecuaţie omogenă.

c) Dacă 022

21 cc şi 0 , schimbarea de funcţie zybxa 11 , reduce

ecuaţia (2) la o ecuaţie cu variabile separabile. 4. Ecuaţii care provin din diferenţiale totale. Factor integrat. Fie ecuaţia: 0,, dyyxQdxyxP (3), P şi Q continue pe domeniul

3RD .

a) Dacă este verificată condiţia x

Q

y

P

spunem că ecuaţia (3) provine

dintr-o diferenţială totală. Soluţia sa generală este cyxv , , unde

x

x

y

y

dttxQdtytPyxv0 0

,,, 0 .

b) Dacă x

Q

y

P

, dar există un factor integrant yxm , astfel încât

expresia mQdymPdx este diferenţiala totală a unei funcţii, atunci integrarea ecuaţiei (2) se reduce la problema rezolvată la punctul a). Factorul integrant se determină uşor în următoarele 2 cazuri:

- dacă xhy

P

x

Q

Q

1

, atunci xmm şi dxxhm

dm ;

- dacă ygy

P

x

Q

P

1

, atunci ymm şi dyygm

dm .

5. Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul întâi O ecuaţie de forma xQyxPy ' , P şi Q continue pe un interval

Rba, se numeşte ecuaţie liniară de ordinul întâi. Soluţia generelă este:

dxexQcey

dxxPdxxP

.



6. Ecuaţia lui Bernoulli O ecuaţie de ordinul întâi, de forma

yxQyxPy' , 1,0-R

P şi Q funcţii continue pe acelaşi interval, se numeşte ecuaţia lui Bernoulli. Această ecuaţie se reduce la o ecuaţie liniară cu ajutorul substituţiei

1yz . 7. Ecuaţia lui Ricatti O ecuaţie diferenţială de forma 0' 2 xRyxQyxPy (4), P, Q, R funcţii continue pe un acelaşi interval se numeşte ecuatia lui Ricatti. Dacă xy1 este o soluţie particulară a ecuaţiei (4), atunci schimbarea de funcţie

zyy

11 , xzz transformă ecuaţia (4) într-o ecuaţie liniară.

Test de autoevaluare 6.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Rezolvaţi problema Cauchy:

xyx

yxyy

2

2

' ; 10 y .


În loc de rezumat



Rezolvaţi problema Cauchy:

xy

xxy

211'

2

2

, 01 y .


Răspuns 6.1

011

0112211

2222

dyy

ydx

x

xdyxydxyx

xy



Cyxdyy

ydx

x

x1ln1ln

1

2

1

2 2222

.

Din condiţia iniţială obţinem 2ln02ln CC . Soluţia problemei

Cauchy va fi 1

212ln1ln1ln

2222

yxyx .





4. Flondor P. – “Lectii de analiza matematica si exercitii rezolvate”, Ed. All, Bucuresti, 1998


6. Lupu Gh. s.a. – “Matematici speciale – Culegere de probleme” Ed. Universitatii Ovidius, Constanta, 1998.

Ecuaţii diferenţiale liniare



ECUAŢII DIFERENŢIALE LINIARE

Cuprins

Pagina


7.1 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n……………………………………………….. 42

7.2 Sisteme de ecuaţii diferenţiale liniare……………………………………………….... 44








Însuşirea noţiunilor de bază ale teoriei ecuatiilor diferenţiale liniare Aplicarea ecuatiilor diferenţiale liniare la probleme ce apar în

practică

7.1 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n

Definiţii Fie ecuaţia liniară de ordinul n : fyayayanyL nn

nn '... 11

1 unde bafaa n ,,,...,1 C .

Dacă 0f ecuaţia se numeşte liniară şi omogenă, în caz contrar se numeşte liniară neomogenă. Definiţie

Numim sistem fundamental de soluţii, o bază a spaţiului vectorial Ker L. Dacă nyy ,...,1 este un sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia 0yL

atunci soluţia ei generală este : (metoda superpoziţiei) R nnn ccycycy ,...,,... 111 .

Teoremă

Dacă pyy este o soluţie a ecuaţiei fyL , atunci soluţia generală a

acestei ecuaţii este

n

iiip ycyy

1

, unde niyi ,...,1, este un sistem fun-

damental de soluţii pentru ecuaţia liniară omogenă 0yL . Pentru determinarea unei soluţii yp a ecuaţiei fyL , se foloseşte, “metoda variaţiei constantelor”, presupunând cunoscut un sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia omogenă.

Se caută

n

iiip xyxcxy

1

0 , funcţiile nici ,1, determinându-se din

sistemul

n

i

nii

n

iii xyxcxyxc

1

2'

1

' 0,...,0 .

n

i

nii xfxyxc

1

1' al cărui determinant (numit wronskianul ecuaţiei)

este:



0

..........

..........................

..........

..........

,...,,

111

''1

1

1

xyxy

xyxy

xyxy

yyxw

nn

n

n

n

n

Definiţie Dacă Rnaa ,...,1 , ecuaţia fyL se numeşte ecuaţie diferenţială liniară

cu coeficienţi constanţi. Ecuaţia 0... 1

11

nn

nn arararrg se numeşte ecuaţia

caracteristică ataşată ecuaţiei 0yL . 1) Dacă ecuaţia caracteristică 0rg are rădăcini reale şi distincte

nrr ,...,1 , atunci un sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia liniară cu

coeficienţi 0yL este xri

iexy , ni ,...,1 .

2) Dacă ecuaţia 0rg are şi rădăcini complexe, de exemplu ibar şi

ibar , atunci fiecărei perechi de rădăcini complexe conjugate îi corespund soluţiile liniar independente :

bxey ax cos1 , bxey ax sin2 . 3) Dacă printre rădăcinile ecuaţiei 0rg , există şi rădăcini reale

multiple, de exemplu 1rr , cu multiplicitate p, atunci ei îi corespund p soluţii liniar independente:

xrpp

xrxr exyxeyey 111 121 ,...,, .

4) Dacă ecuaţia 0rg are printre soluţiile ei şi rădăcini complexe

ibar , ibar cu ordinul de multiplicitate p, atunci lor le corespund 2p soluţii liniar independente :

.sin,...,sin,sin

cos,...,cos,cos1

221

121

bxexybxxeybxey

bxexybxxeybxeyaxp

pax

pax

p

axpp

axax

În anumite cazuri, după forma membrului doi al ecuaţiei fyL , yp poate fi determinat prin metoda coeficienţilor nedeterminaţi. Dacă: 1) xpexf m

ax ; pm polinom de grad m în x, atunci

xQexy max

p , dacă 0ag , sau xQxexy mpax

p , dacă

0...' 1 agagag p şi mp Qag ,0 fiind polinom de grad m în

x, cu coeficienţi nedeterminaţi, coeficienţii determinându-se prin



identificare, din fyL p .

2) bxpexf max cos sau bxxpexf m

ax sin , pm polinom de grad m.

atunci bxxRbxxQexy mmax

p sincos dacă 0 biag sau

bxxRbxxQexxy mmaxp

p sincos dacă

0...' 1 biagbiagbiag p , mm

p RQbiag ,,0 fiind

polinoame de gradul m în x, cu coeficienţi nedeterminaţi, coeficienţii lor obţinându-se prin identificarea din fyL p .

Test de autoevaluare 7.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Determinaţi soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale:

04"34 yyy . Răspunsul la test se găseşte la pagina 39 .

7.2 Sisteme de ecuaţii diferenţiale liniare

Definiţii Considerăm sistemul de ecuaţii difereniale liniare 0...11' ninii yayay ,

ni ,1 , baaik ,C care se mai poate scrie sub forma 0' AYYYL

unde

ny

y

Y

.

.

.1

, nikaA 1 .

Definiţie O bază a lui Ker L se numeşte sistem fundamental de solutii. Teoremă Dacă nYY ,...,1 este un sistem fundamental de soluţii, atunci soluţia generală

a sistemului omogen este

R nnn ccYcYcY ,...,,... 111

Teoremă

Dacă yp este o soluţie a sistemului de ecuaţii BAYY ' ,

nb

b

B

.

.

.1

,



babi ,C , ni ,1 atunci soluţia generală a cestui sistem de ecuaţii este

n

iiip YcYY

1

, nYY ,...,1 fiind un sistem fundamental de soluţii pentru

0' AYY . Soluţia yp poate fi obţinută prin metoda variaţiei constantelor. În cazul

sistemului de ecuaţii cu coeficienţi constanţi 0' AYYYL , nikaA 1 ,

Rika dacă ecuaţia caracteristică 0

...

........................................

...

...

21

22221

11211

raaa

araa

aara

r

nnnn

n

n

are : 1) n rădăcini reale şi distincte nrr ,...,1 , lor le corespund n soluţii

xr

ni

i

iieY

.

.

.1

, ni ,1 , care formează un sistem fundamental de soluţii.

2) 1rr rădăcină reală cu multiplicitate 1p , atunci partea din soluţia

generală corespunzătoare ei, are în general forma:

xrn

xr

eQ

eQ

1

1

.........1

, nQQ ,...,1 fiind

polinoame de grad cel mult 1p , având coeficienţi funcţii liniare şi

omogene de p constante oarecare pcc ,...,1 .

3) Cazul rădăcinilor complexe ale ecuaţiei caracteristice se tratează în mod analog. Pentru determinarea soluţiilor pY ale sistemelor neomogene cu

coeficienţi constanţi, se poate folosi metoda variaţiei constantelor, sau în cazurile în care matricea B are o formă particulară

bxxpexbxpexb iax

iiax

i cossau , se pot găsi soluţii particulare

prin metoda coeficienţilor nedeterminaţi.

Test de autoevaluare 7.2 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Rezolvaţi sistemul de ecuaţii diferenţiale liniare neomogene:

tgtxxx

txxx

21'2

21'1

2

sin52.


În loc de rezumat

Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 7.



Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 7 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.


Rezolvaţi sistemul de ecuaţii diferenţiale liniare neomogene:

22'2

21'1

22

cos454

xxx

texxx t

.


Raspuns 7.1 Ecuaţia caracteristică 043 24 rr are rădăcinile 221 rr , ir 4,3 .

Solutia generală a ecuaţiei va fi:

xcxcxececxy xx sincos 432

22

1 , R4321 ,,, cccc .

Răspuns 7.2 Rezolvăm mai întâi sistemul neomogen:

21'2

21'1

2

52

xxx

xxx.

Ecuaţia caracteristică 021

52

are rădăcinile i1 , i2 . De-

terminăm un vector propriu corespunzător valorii proprii i1 ,

2

1v .

Avem

02

052

21

21

i

i 21 2 i .

Putem alege

1

2iv . Dar

t

tti

t

ttitit

ieit

sin

cossin2

cos

sincos2

1

2sincos

1

2

Obţinem soluţia generală a sistemului omogen



t

tt

t

ttctx

sin

cossin2

cos

sincos210

Pentru determinarea unei soluţii particulare a sistemului neomogen aplicăm metoda variaţiei constantelor. Căutăm soluţia particulară de forma:

t

tttc

t

tttctxp sin

cossin2

cos

sincos221

unde funcţiile 21 , cc verifică sistemul:

ttgtcttct

ttctttctt

sin cos

sin cossin2 sincos2'2

'1

'2

'1

.sin24

ln4

2coscos2

24ln

22

2sinsin2cos2

cos

2cos2sin2sin

2

21

2'1

tt

tgt

ttc

ttg

tttttc

tttttc

Soluţia generală a sistemului neomogen va fi txtxtx p 0 .


1. Bronson R. – “Theory and problems of differential equations,

Schaum’s Outlines Mc Graw-Hill”, New York, 1993 2. Chirita S. – “Probleme de matematici superioare”, Ed. Didactica si

Pedagogica, Bucuresti 1989 3. Demidovici D.P. – “Problems in Mathematical Analysis”, Mir

Publishers, Moskow, 1976 4. Flondor P. – “Lectii de analiza matematica si exercitii rezolvate”,

Ed. All, Bucuresti, 1998 5. Livovschi L. – “Matematici speciale - Exercitii si probleme” –

Litografia Universitatii Bucuresti, 1982 6. Lupu Gh. s.a. – “Matematici speciale – Culegere de probleme” Ed.

Universitatii Ovidius, Constanta, 1998.

Serii Fourier



SERII FOURIER

Cuprins

Pagina


8.1 Serii Fourier…………………………………………………….…………………….. 49




Serii Fourier




Însuşirea noţiunilor de bază ale seriilor Fourier Aplicarea notiunilor de serii Fourier la rezolvarea problemelor

ce apar în practică

8.1 Serii Fourier

Definiţii Unei funcţii tf , integrabilă pe intervalul T, i se asociază prin intermediul coeficienţilor Fourier:

T

k dttktfT

a cos2

,

T

k dttktfT

b sin2

seria Fourier:

1

0 sincos2 k

kk tkbtkaa

, T

2 pulsaţia.

Fie ts suma acestei serii; termenii săi fiind funcţii periodice de perioadă

1 , kk

TTk , ts este periodică de perioadă T.

Prin dezvoltarea funcţiei tf în serie Fourier pe T, înţelegem

dezvoltarea funcţiei periodice tf * de perioadă T care coincide cu tf

pe T, . Definiţie Funcţia f satisface condiţiile lui Dirichlet pe intervalul T, dacă:

i f este mărginită pe T, ; ii f are un număr finit de discon-

tinuităţi de speţa întâi; iii intervalul T, poate fi împărţit într-un număr finit de subintervale pe care f este monotonă. Teorema lui Dirichlet: Dacă tf satisface pe T, condiţiile lui Dirichlet, seria Fourier

acosiată funcţiei tf converge în fiecare punct Tt ,0 la

002

100 tftf .

( Dacă t0 este punct de continuitate atunci 00 tfts ).

Dacă f este funcţie pară, xfxf , lT 2 şi llT ,,

Serii Fourier


atunci 0nb şi seria Fourier a lui f este:

1

0 cos2 n

n l

xna

a,

1

0

cos2

dxl

xnxf

lan .

Dacă xfxf ( f este impară ) atunci 0na şi seria Fourier

asociată lui f are forma :

1

sinn

n l

xnb ,

1

0

sin2

dxl

xnxf

lbn .

Formula lui Parseval: Dacă R Tf ,: este funcţia de pătrat integrabilă atunci

1

22202

2

1

4

1

kkk

T

baa

dfT

unde kk baa ,,0 sunt coeficienţi Fourier ai funcţiei f .

Forma complexă a seriei Fourier: Fie f o funcţie periodică, de perioadă 2l. Dacă f este integrabilă pe intervalul ll, atunci îi putem asocia seria Fourier sub forma complexă:

k

xl

ik

kec , unde

1

1

,2

1Zkdxexf

lc l

xik

k .

Dacă

k

xl

ik

kecxf , atunci numerele l

kak

se numesc numere de

undă ale funcţiei f , mulţimea lor se numeşte spectru, iar coeficienţii kc se

numesc aplitudini complexe.

Test de autoevaluare 8.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Dezvoltaţi în serie Fourier funcţia periodică

lt

lt

tt

tf

2,2

1

21,0

10,1

Definită pe intervalul l2,0 , de perioadă lT 2 .

Serii Fourier


Răspunsul la test se găseşte la pagina .

În loc de rezumat



Dezvoltaţi în serie Fourier pe 2,0 , ttfcos45

1

, de perioadă 2 .


Răspuns 8.1

lT 2 , l

, 0 . Deoarece f verifică pe intervalul l2,0 condiţiile

lui Dirichlet şi este continuă lt 2,0 avem din teorema lui Dirichlet:

1

0 1,0,sincos2 k

kk tl

tkb

l

tka

atf .

1

0

0

4

1

2

1

2dttl

l

a ,

1

0

cos1

dttl

ktll

ak

1,sin1 1

0

kdttl

ktl

lbk .

1

022

1111

k

li

k

ldtetl

liba

k

l

tik

kk .

Obţinem

12,12

12

2,0

22nk

n

l

nk

ak

0 122

sin1

12

12cos2

4

1

n n n

tl

n

n

tl

nltf .

Serii Fourier




2. Olariu V., s.a. - “Analiza Matematica si matematici speciale”, Lit. IPB, Bucuresti 1978


4. Smirnov V.I. – “Curs de matematici superioare” vol. I – V, Ed. Tehnica, Bucuresti 1953

5. Sabac Gh.– “Matematici speciale”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1981.

Funcţii şi polinoame speciale



FUNCŢII ŞI POLINOAME SPECIALE

Cuprins

Pagina


9.1 Polinoamele lui Legendre, Cebâşev, Hermite, Laguerre ……….……………………. 54

9.2 Funcţii Bessel, Gamma……….……………………………….……………………… 58








Se urmăreşte în special dobândirea unor anumite deprinderi în aplicarea cunoştinţelor teoretice în aplicaţiile practice.

Formarea unei gândiri logice şi ordonate aplicabile în aşi rezolvarea oricărei aplicatii ce apare în practică sau la disciplinele ce vor urma (Mecanica, Rezistenta, etc.).

9.1 Polinoamele Legendre, Cebâşev, Hermite, Laguerre

Definiţii Polinoamele lul Legendre În teoria potenţialului se întâlneşte funcţia R 1,11,0:g , definită prin

221

1,

rrxxrg

(1)

Dezvoltând funcţia g în serie de puteri ale lui r pentru 1r , obţinem: 1,1,1,0,,

0

xrrxPxrgn

nn (2)

unde

N

kx

kn

kncxP kn

nkk

kkn

kn ,

2!

122...5311 2

2/0

. (3)

Definiţie Polinoamele nP definite prin (3) se numesc polinoamele lul Legendre, iar

funcţia g definită prin (1), a cărei dezvoltare în serie (2) are coeficienţii xPn , se numeşte funcţia generatoare a polinoamelor Legendre.

Teoremă Polinoamele lui Legendre mai pot fi exprimate prin formula lui Olinde-Rodrigues:

nn

n

nn xdx

d

nxP 1

2!

1 2

(4)

Teoremă Între polinoamele lui Legendre există relaţia de recurenţă:

...3,2,1,0121 11 nxnPxxPnxPn nnn (5)

Teoremă



Polinomul lui Legendre N nPn , , este soluţie a ecuaţiei diferenţiale

01'2"12 ynnxyyx (6)

Teoremă Polinoamele lui Legendre formează un sistem de funcţii ortogonale pe intervalul 1,1 . Mai mult,

nkn

nkdxxPxP nk

,12

2

,01

1

. (7)

Polinomul Cebâşev

Din formula lui Moivre N ninin n ,sincossincos , rezultă imediat:

2/0

222 sincos1cosnk

kknkn

k cn .

Definiţie Polinoamele Tn, definite prin

N nxnxTn ,arccoscos (8)

Teoremă Polinoamele lui Cebâşev au următoarele proprietăţi:

1) admit funcţia generatorare 221

1,

x

xx , adică

n

nn xTx

0

, , 1 ;

2) există relaţia de recurenţă

02 11 xTxxTxT nnn , ,...3,2,1n ;

3) polinomul Tn este soluţie a ecuaţiei diferenţiale

0""1 22 ynxyyx , *Nn ; 4) există relaţiile



1

12

0,

0,2

,0

1

1

nk

nk

nk

dxxTxTx

nk

.

Observăm că polinoamele lui Cebâşev formează un sistem ortogonal cu ponderea p, pe intervalul 1,1 , unde

1,1,1

12

xx

xp .

Polinoamele lui Hermite Să considerăm funcţia CRC : , definită prin

222 2, xxx eeex (9) Această funcţie este olomorfă pe C, în raport cu , R x , deci admite dezvoltarea în serie Taylor

!

,0 n

xHxn

nn

, (10)

unde xHn este derivata de ordinul n în punctul 0 a funcţiei (9),

adică:

22 xn

nx

n edx

dexH , N x (11)

Definiţie Polinoamele nH definite prin (11) se numesc polinoamele lui Hermite, iar

funcţia φ se numeşte funcţia generatoare a polinoamelor lui Hermite. Teoremă Polinoamele lui Hermite au următoarele proprietăţi: 1) verifică relaţia de recurenţă:

022 11 xnHxxHxH nnn , ,...3,2,1n ;

2) nH este o soluţie a ecuaţiei diferenţiale

02'2" nyxyy ;

3) au loc relaţiile:



nkn

nkdxxHxHe

nnkx

,2!

,02

.

Polinoamele lui Laguerre O altă clasă de polinoame se poate obţine pornind de la funcţia

CRC : , definită prin:

1

1

1,

x

ex (12)

Prin dezvoltare în serie Taylor în jurul originii se obţine:

0

,n

nn xLx , cu coeficienţii

nk

kkn

kn k

xcxL

0 !1 (13)

Definiţie Polinoamele Ln definite prin (13) se numesc polinoamele lui Laguerre, iar funcţia ψ, cu valorile date de (12), se numeşte funcţia generatoare a acestor polinoame. Teoremă Polinoamele lui Laguerre au următoarele proprietăţi:

1) xnn

nx

n exdx

de

nxL

!

1, N n ;

2) există relaţia de recurenţă:

0121 11 xnLxLxnLn nnn , *N n ;

3) polinomul Ln este soluţie a ecuaţiei diferenţiale

0'1" nyyxxy ; 4) au loc relaţiile

nk

nkdxxLxLe nk

x

,1

,0

0

.




Pornind de la dezvoltarea

0

1

1n

t

xt

nn t

etxL să se deducă relaţia de mai

jos:

1,0121 11 nxnLxLxnxLn nnn .


9.2 Funcţii Bessel, Gamma

Definiţii Definiţie Ecuaţia diferenţială

0'" 222 yvxxyyx , (1)

unde v este un parametru cu valori reale sau complexe, se numeşte ecuaţia lui Bessel, iar solutiile acestei ecuaţii se numesc funcţii Bessel sau funcţii cilindrice. Teoremă Funcţia Jv definită prin

0

2

21!

1

p

pvp

v

x

pvpxJ (2)

în care, pentru 0v , ,0arg vo , are următoarele prorpietăţi :

1) pentru N nv , Jv este o funcţie întreagă ; 2) pentru Nv , Jv este olomorfă pe TD C , unde T este o semidreaptă cu originea în 0. În ambele cazuri, funcţia Jv este soluţie a ecuaţiei Bessel (1), pe domeniul său de olomorfie. Teoremă Cu convenţia ,0arg vo , dacă Nv , atunci soluţia generală a

ecuaţiei lui Bessel pe domeniul TD C , este:

vv BJAJy ,

unde Jv şi J-v sunt funcţii definite prin (2), iar A şi B sunt constante complexe arbitrare. Observaţie Funcţiile Jv şi J-v sunt liniar dependente dacă şi numai dacă Nv .



Teoremă Funcţia

vvv JvJv

Y

cossin

1, Nv ,

are următoarele proprietăţi:

1) xxYxJ

xYxJxYxJW

vv

vvvv

2

, '' , N v ;

2) cu restricţia NR \v , xYxY vnv

n lim , N v , anume:

nv

vvvn v

xJ

v

xJxY

11

(4)

3) nY este solutie a ecuaţiei lui Bessel pentru nv , N n .

defini. Definiţie Funcţiile Jv şi J-v, definite pentru 0v şi pentru şi pentru orice v cu

,0arg vo prin (2), se numesc funcţiile lui Bessel de prima speţă şi

de ordinul v, respectiv v . Funcţia vY definită prin (3) pentru Nv şi prin (4) pentru N nv se

numeşte funcţia lui Bessel de speţa a doua şi de ordinul v. Teoremă

vJ şi vY fiind funcţiile definite anterior, soluţia generală a ecuaţiei lui

Bessel (1) se poate scrie sub forma vv BYAJy , cu A şi B constante

complexe arbitrare. Teoremă

Funcţiile lui Bessel vJ , pentru

2

1nv , Nn , pot fi exprimate prin

funcţii elementare

x

xBx

xA

xxJ nnv sin

1cos

12,

unde An şi Bn sunt polinoame de grad cel mult n.



Test de autoevaluare 9.2 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Să se integrze ecuaţia:

0'" 222 yvbxxyyx . Răspunsul la test se găseşte la pagina 60.

În loc de rezumat



Să se integreze ecuaţia:

04

1'1" yypxy


Răspuns 9.1 Relaţia dată în enunţ se înmulţeşte cu t1 şi se derivează cu privire la t

0 0

11

111

n n

t

xt

nn

nn t

e

t

xtxnLttxL .

După aranjarea convenabilă a termenilor extragem din identitatea

0 0

12 0211n n

nn

nn txnLtttxLxt

coeficientul lui tn. Răspuns 9.2

bxBJbxAJxy vv . Cu schimbarea de variabilă tbx se

obţine ecuaţia lui Bessel 0'" 222 yvttyyt a cărei soluţie generală

este tBYtAJty vv .

Ecuaţii cu derivate parţiale



ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE

Cuprins

Pagina

Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 10…………………………………………………… 63

10.1 Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi…………………………………………. 63

Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 10………………………………………….. 67


Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 10…………………………………………………… 68





Însuşirea noţiunilor de bază ale teoriei ecuatiilor cu derivate partiale Aplicarea problemelor de ecuaţii cu derivate partiale în practică.

10.1 Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi

Definiţii i) Sisteme de ecuaţii diferenţiale sub formă simetrică Se consideră sistemul de ecuaţii diferenţiale:

yxfy ,' , 1,: nf R R (1)

Definiţie Printr-o integrală primă a sistemului de mai sus se întelege o relaţie de forma cyyx n ,...,, 1 care nu este trivială şi care este identic satisfăcută

dacă nyy ,...,1 sunt înlocuite cu o soluţie a sistemului, constanta c putând să

se modifice odată cu soluţia. Dându-se integrale prime ale sistemului (1), funcţional independente

nnn

n

cyyx

cyyx

,...,,

.............................

,...,,

1

111

şi rezolvând în raport cu nyy ,...,1 , se obţine soluţia generală a sistemului

(1):

nnn

n

ccxy

ccxy

,...,,

.............................

,...,,

1

111

Definiţie

Dacă sistemul de ecuaţii diferenţiale este scris sub forma

nn

n

n xxX

dx

xxX

dx

,...,...

,... 111

1 (2)

spunem că este scris sub formă simetrică.



Observaţie Rezolvarea sistemului (2) se reduce la determinarea a 1n integrale prime funcţional independente. Determinarea integralelor prime se face prin metoda combinaţiilor integrabile. Vom obţine o combinaţie

integrabilă dacă vom găsi n funcţii ni xx ,...,1 , ki ,1 astfel încât

01

n

iii X , iar 0

1

n

jjjdx este diferenţiala totală a funcţiei

nxxG ,...,1 . Atunci o integrală primă este cxxG n ,...,1 .

ii) Ecuaţii cu derivate de ordinul întâi liniare şi omogene Ecuaţia cu derivate parţiale de ordinul întâi

0,...,...,..., 11

11

nnnn x

uxxX

x

uxxX (3)

unde R:iX , nR , 1CiX , ni ,1 şi

n

ini xxX

11

2 0,..., ,

nxx ,...,1 se numeşte ecuaţie diferenţială parţială de ordinul întâi

liniară si omogenă. Definiţie Sistemul:

nn

n

n xxX

dx

xxX

dx

,...,...

,..., 111

1 (4)

se numeşte sistemul carcateristic al ecuaţiei (3). Teoremă

Dacă inii cxx ,..., , 1,1 ni , 1Ci sunt 1n integrale prime

funcţional independente ale sistemului (4), atunci 11,..., nu , unde

111

1 , nR C este soluţia generală a ecuaţiei (3), funcţia fiind o funcţie arbitrară, derivabilă. Rezolvarea problemei Cauchy

110

111

1 ,...,,,...,,0...

nnnn

n xxxxxux

uX

x

uX

se face astfel: fie inii cxx ,..., , 1,1 ni , 1n integrale prime

funcţional independente ale sistemului (4), şi 1 o vecinătate a punctului

011 ,,..., nn xxx astfel încât sistemul inni cxxx

011 ,,..., , 1,1 ni să



adimtă soluţie unică 11,..., nxx , deci astfel încât niii ccx ,..., ,

1,1 ni . Atunci solutia problemei Cauchy este:

xxxxu nnn 111111 ,...,,...,,..., , nxxx ,...,1 .

iii) Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi cvasiliniare Definiţie O ecuaţie cu derivate parţiale de forma:

uxXx

uuxX

x

uuxX

x

uuxX n

nn ,,...,, 1

22

11

, (5)

unde 11 CiX , 1

1 nR , 1,1 ni şi

1

1

2 0,n

ii uxX se numeşte

ecuaţie cvasiliniară. Am notat nxxx ,...,1 .

Definiţie

Sistemul

uxX

du

uxX

dx

uxX

dx

nn

n

,,...

, 11

1

(6)

se numeşte sistemul caracteristic al ecuaţiei (5).

Dacă ii cux , , ni ,1 , sunt n integrale prime funcţional independente

ale sistemului (6) atunci soluţia generală a ecuaţiei (5) este 0,,...,,1 uxux n , unde R : , nR , 1C este o

funcţie arbitrară. Observaţie Soluţia generală a ecuaţiei (5) este definită implicit. Problema lui Cauchy pentru ecuaţia (5) se formulează şi se rezolvă analog ca în cazul ecuaţiei (3). iv) Ecuatii cu derivate parţiale de ordinul întâi neliniare Fie ecuaţia neliniară

0,,,,

y

u

x

uuyxf . (7)

Notăm qy

up

x

u

, .



Definiţie Printr-o integrală completă a ecuaţiei (7) se întelge o familie de soluţii ce depinde de doi parametrii reali bayxyxu ,,,, . Se ataşează ecuaţiei (7) următorul sistem de ecuaţii diferenţiale, numit sistem caracteristic al ecuaţiei:

qUY

dq

pUX

dp

QqPp

du

Q

dy

P

dx

(8)

unde p

fP

, q

fQ

, x

fX

, y

fY

, u

fU

.

Fie aqpuyxg ,,,, o integrală primă a sistemului (8). Dacă sistemul

algebric

aqpuyxg

qpuyxf

,,,,

0,,,, este rezolvabil în p şi q şi se notează cu

auyxFp ,,, , auyxGq ,,, soluţia lui, atunci soluţia generală a

ecuaţiei 0,,,,,, dudyauyxGdxauyxF se scrie sub forma

0,,,, bauyxV şi furnizează integrala completă a ecuaţiei (7). Dacă din 0,,,, bauyxV se poate explicita bayxu ,,, şi este

derivabilă, atunci determinănd din sistemul de ecuaţii

0,,,

a

bayx,

0

,,,

b

bayx pe yxaa , , yxbb , , se obţine

yxbyxayxu ,,,,, , care este integrala singulară a ecuaţiei (7).

Dacă ba

, nu se anulează identic, atunci se anulează determinantul

funcţional 0

,

,

yxD

baD, ceea ce însemnă că între a şi b există o relaţie

funcţională ab . Mulţimea de soluţii aayxu ,,, se numeşte integrala generală a ecuaţiei (7). Problema lui Cauchy se formulează astfel: să se determine suprafeţele integrale ale ecuaţiei (7) care trec printr-o curbă definită de ecuaţia (9)

tx , ty , tu , ,t . Dacă integrala generală a ecuaţiei (7) este aayxu ,,, atunci rezolvarea problemei Cauchy revine la a determina funcţia astfel încât suprafaţa aayxu ,,, să treacă prin curba (9). Înlocuind pe x, y, u obţinem:



0,,,,, aatttaat

Soluţia problemei Cauchy se obţine eliminând parametrul a din ecuaţiile:

0

0'

t

aa .

Test de autoevaluare 10.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Determinaţi soluţia generală a următoarei ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi cvasiliniare.

uy

utgu

x

ux 22 cossin

.


În loc de rezumat



Determinaţi soluţia generală a următoarei ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi cvasiliniare.

222 uyxauy

uy

x

ux

.


Răspuns 10.1 Sistemul caracteristic al ecuaţiei este:

u

du

tgu

dy

x

dx22 cossin

.

u

du

x

dx22 cossin

. Aceasta este o ecuaţie cu variabile separate. Integrăm şi

obţinem 1ctguctgx .



2232 cos2

1

cos

sin

cosc

uydu

u

udy

u

du

tgu

dy .

Soluţia generală 0cos2

1,

2

uyctgxtguF , F funcţie arbitrară

derivabilă.






5. Lupu Gh., s.a. – “Matematici speciale – Culegere de probleme” Ed. Universitatii Ovidius, Constanta, 1998


Elemente de teoria probabilităţilor



ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR

Cuprins

Pagina


11.1 Evenimente. Operaţii cu evenimente…………………………………………..……. 70

11.2 Funcţia probabilitate…………………………………………..……………….……. 72








Însuşirea noţiunilor de bază ale teoriei probabilităţilor Rezolvarea problemelor de teoria probabilitatilor ce apar in practica.

11.1 Evenimente. Operaţii cu evenimente


Teoria probabilităţilor are drept conţinut intuitiv principal fenomenele întâmplătoare ce se pot repeta, în condiţii identice, de un mare număr de ori, cel puţin în principiu. Aşadar calculul probabilităţilor studiază fenomene (sau experienţe) întâmplătoare ( sau aleatoare ) care nu conduc întotdeauna la acelaşi rezultat, atunci când sunt studiate în condiţii determinate. În cazul unui fenomen (experiment) aleator F vom realiza o modelare matematică a acestuia cu ajutorul următoarelor trei elemente: universul probelor Ω (- sau încă probelor, o multime finită), mulţimea tuturor evenimentelor legate de fenomenul aleator PF toate submulţimile

lui şi o funcţie ,0: PP care ascociază fiecărui eveniment

PA probabilitatea sa AP . Analizăm pe rând cele trei elemente. Definiţie Mulţimea Ω a tuturor rezultatelor posibile, incompatibile două câte două, care pot avea loc în cazul unei probe a unui experiment aleatoriu se numeşte universul probelor (sau spaţiul probelor). Prin rezultate incompatibile înţelegem acele rezultate care nu se pot obţine simultan în nici o probă. Exemplu La aruncarea simultană a două zaruri avem:

.6,6,5,6,4,6,3,6,2,6,1,6,6,5,5,5

,4,5,3,5,2,5,1,5,6,4,5,4,4,4,3,4,2,4,1,4,6,3,5,3,4,3,3,3

,2,3,1,3,6,2,5,2,4,2,3,2,2,2,1,2,6,1,5,1,4,13,1,2,1,1,1

Definiţie Fie Ω un univers. Se numeşte eveniment orice submulţime a lui Ω. Pentru Ω dată am desenat prin P toate submulţimile lui Ω. Dacă n , atunci

nP 2 (vezi elemente de combinatorică). Deosebim trei feluri de



evenimente : sigur, imposibil şi aleator. Evenimentul sigur este cel care se realizează cu certitudine în fiecare probă a experimentului considerat. Acesta este Ω. Evenimentul imposibil nu se realizează în nici o probă a experimentului. Acesta este . Evenimentul aleator se poate realiza sau nu într-o probă a experimentului considerat. Exemplu La aruncarea zarului 6,5,4,3,2,1 , numărul de evenimente legate de

acest fenomen aleator este egal cu 6426 . Iată câteva evenimente:

5,3,11 A care se pot enunţa: “se obţine un număr impar de puncte”,

3,2,12 A care înseamnă: “se obtine un număr de puncte cel mult egal cu 3”. Negaţia. Definiţie Dacă A este un eveniment, atunci A (citim: non A) este evenimentul care se realizează dacă şi numai dacă nu se realizează A. Dacă PA , atunci APACAA . De exemplu la aruncarea zarului dacă 3,2,1A (care înseamnă că A se realizează dacă la o probă apare una din feţele cu 1,2 sau 3 puncte), atunci

6,5,4A (care se realizează dacă nu se realizează A, adică într-o probă apare una din feţele care conţin 4,5 sau 6 puncte). Reuniunea. Definiţie Fie A, B două evenimente. Se numeşte reuniunea evenimentelor A, B eveni-mentul notat BA (citim: A sau B) care se realizează dacă şi numai dacă se realizează cel puţin unul din evenimentele A, B. Intersecţia. Definiţie Fie A, B două evenimente. Se numeşte intersecţia evenimentelor A, B evenimentul notat BA (citim: A şi B) care se realizează dacă şi numai dacă se realizează simultan A şi B. Exemplu La aruncarea zarului fie evenimentele: 4,3,2,1A , 6,4,2B . Atunci

4,2BA şi se realizează dacă la aruncarea zarului apare faţa cu două puncte sau faţa cu patru puncte. Evenimente incompatibile. Definiţie Două evenimente A, B se numesc incompatibile dacă şi numai dacă

BA .



Cu alte cuvinte două evenimente sunt incompatibile dacă nu se pot realiza simultan în nici o probă legată de fenomenul aleator considerat. Exemplu La aruncarea zarului evenimentele 3,2,1A , 6,5,4A sunt incompa-tibile deoarece BA . Evenimente elementare. Definiţie Fie Ω un univers finit n ,...,, 21 . Evenimentele n ,...,, 21 se

numesc evenimente elementare. Exemplu La aruncarea zarului 6,5,4,3,2,1 , iar evenimentele elementare sunt:

6,5,4,3,2,1 . Deoarece orice eveniment legat de o experienţă cu un număr finit de cazuri posibile poate fi interpretat ca o submulţime a muţimii Ω, avem următoarea dualitate de limbaj:

Limbajul evenimentelor Limbajul mulţimilor

- Eveniment - Eveniment sigur - Eveniment imposibil - A implică B - A sau B - A şi B - non A (evenimentul contrar

lui A) - A, B incompatibile - Eveniment elementar

- Submulţime a lui Ω - Mulţimea ( totală) Ω - Mulţimea vidă, - BA - BA

- A - BA

- sau , cu .

Test de autoevaluare 11.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. O urnă conţine trei bile numerotate 1, 2, 3. se extrag succesiv două bile din urnă. Să se determine universul probeleor Ω în cazul: - cu repunerea primei bile extrase în urnă înainte de a două extragere. Răspunsul la test se găseşte la pagina 75 .

11.2 Funcţia probabilitate


Matematicianul rus Kolmogorov a creat un fundament axiomatic pentru conceptul de probabilitate care se bazează pe o mulţime Ω de evenimente elementare şi un sistem PB . Evenimentele sistemului B, adică submulţimile lui Ω se numesc evenimente (aleatoare). În plus B verifică



proprietăţile: 1) dacă BAAA n ,...,...,, 21 , atunci BAU i

i

1;

2) dacă BA , atunci BCA ; 3) B . Sistemul B care verifică cele trei axiome se numeşte corp borelian. Cazul pe care îl analizăm noi este mai simplu, în sensul că Ω este o mulţime finită, iar PB . Definiţie Fie Ω un univers. Aplicaţia RPP : se numeşte probabilitate pe P dacă au loc axiomele : 1) PAAP ,0 (Probabilitatea oricărui eveniment este un număr pozitiv). 2) 1P (Probabilitatea evenimentului sigur este egală cu unu)

3) BPAPBAP , dacă BA (Probabilitatea reuniunii a două evenimente incompatibile este egală cu suma proprietăţilor lor). Observaţii 1) Toate evenimentele vor avea probabilităţi de la 0, evenimentul imposibil,

aproape de zero, evenimente puţin probabile, egale cu 2

1, corespund

evenimentelor cu şanse egale, aproape de 1, când vorbim de evenimente foarte probabile şi până la 1, care corespunde evenimentului sigur. 2) Pe un corp borelian PB dat se pot defini mai multe probabilităţi. Chiar dacă Ω este finită se poate defini probabilitatea:

n

AnAPPP ,0: , ,

aceasta fiind de fapt definiţia clasică a probabilităţii, ca raportul între numărul de cazuri favorabile realizării evenimentului A şi numărul de cazuri posibile n . Legat de acelaşi fenomen considerăm un alt mod în care universul probelor formează o mulţime ' , relaţia între cele două universuri ', fiind dată de o funcţie ': f . Considerăm F un fenomen aleator. Modelarea matematică a acestuia este caracterizată de cele trei elemente descrise mai sus: universul probelor (Ω), mulţimea tuturor evenimentelor P şi de probabilitatea P asociată mulţimii evenimentelor. Definiţie Fie F un fenomen aleator. Tripletul PP ,, se numeşte câmp de probabilitate asociat fenomenului F.



Exemplu La aruncarea monedei bsbsPbs ,,,,,, , iar

,0: PP , unde 1,,2

1,0 bsPbPsPP .

Din definiţia probabilităţii şi proprietăţile operaţiilor cu mulţimi se deduc reguli de calcul ale probabilităţii unor evenimente. Teoremă Dacă PBA, , atunci ABPBPABP . Corolar 1) 0P ;

2) AAPAP ,1 ;

3) ABAPBPAPBAP , ;

4) dacă BA , atunci BPAP ;

5) AAP ,10 . Evenimente elementare echiprobabile. Definiţie Fie n ,...,, 21 . Evenimentele elementare n ,...,, 21 se

numesc echiprobabile dacă au aceeaşi probabilitate nPPP ...21 .

Teoremă Dacă Ω este un univers format din n evenimente elementare echiprobabile, iar A este un eveniment format din reuniunea a k evenimente elementare, atunci

n

An

n

kAP

Reformulăm rezultatul sub forma: “probabilitatea unui eveniment asociat unui experiment având cazuri elementare echiprobabile este raportul dintre numărul de cazuri favorabile realizării evenimentului şi numărul total de cazuri posibile”. De exemplu în cazul aruncării zarului universul 6,5,4,3,2,1 . Presupunând că zarul este ideal (adică omogen şi cu laturile de aceeaşi

lungime) avem : 6

16...1 PP . Probabilitatea de apariţie a feţei 4

sau 5 este egală cu 3

1

6

25,454 PP ceea ce înseamnă că in



medie 3

1 din numărul de aruncări vor avea ca rezultat pe 4 sau 5.

De multe ori probabilitatea evenimentului A se exprimă şi în procente :

%100n

kAP .

Test de autoevaluare 11.2 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Într-o clasă de 30 de elevi, 20 sunt pasionaţi de matematică, 15 de limbi straine, iar 8 sunt pasionaţi şi de matematică şi de limbi străine. Dacă se alege la întâmplare un elev din această clasă, care este probabilitatea ca el să fie pasionat de matematică, dar nu de limbi straine? Răspunsul la test se găseşte la pagina 75 .

În loc de rezumat



O urnă conţine trei bile numerotate 1, 2, 3. se extrag succesiv două bile din urnă. Să se determine universul probeleor Ω în cazul:

- fără repunerea primei bile extrase în urnă inainte de a doua extragere.


Răspuns 11.1 Avem:

3,3,2,3,1,3,3,2,2,2,1,2,3,1,2,1,1,1 . Răspuns 11.2

3

2

30

20AP ,

2

1

30

15BP ,

15

4

30

8BAP .

10

9

15

4

2

1

3

2 BAPAPBAP .




1. Ganga M.- “Matematica. Manual pentru clasa a X–a” – Editura Mathpress, 2005.







Probabilităţi condiţionate



PROBABILITĂŢI CONDIŢIONATE

Cuprins

Pagina


12.1 Probabilităţi condiţionate………………………………………………………….… 78









Formarea unei gândiri logice şi ordonate aplicabile în analiza şi rezolvarea oricărei aplicaţii de probabilitati conditionate ce apare în practică sau la disciplinele ce vor urma (Mecanica, Rezistenta, etc.).

12.1 Probabilităţi condiţionate

Pentru un fenomen aleator F dorim să calculăm probabilitatea unui eveniment A a cărui realizare depinde de realizarea unui alt eveniment B. Dacă realizarea acestuia din urmă a avut loc, atunci această informaţie va modifica probabilitatea de realizare a evenimentului A. Vom nota această nouă probabilitate prin APB (citim: probabilitatea evenimentului A condiţionată de evenimentul B). Fie un eveniment B cu 0BP .

Se numeşte probabilitatea evenimentului A condiţinată de evenimentul B,

numărul BP

BAPAPBAP B

| .

Dacă 0AP putem defini şi probabilitatea lui B condiţionată de A,

BP

BAPBPABP A

| , de unde obţinem formulele:

BPAPAPBPBAP AB .

Probabilitatea ABP | are următoarea interpretare: este probabilitatea evenimentului A presupunând că s-a realizat evenimentul B. Din compa-rarea probabilităţilor AP şi BAP | se poate vedea dacă realizarea lui B influenţează sau nu realizarea evenimentului A. Definiţie

Două evenimente A1 şi A2 sunt independente dacă

2121 APAPAAP .

În acest caz, dacă 021 AAP , avem 121 | APAAP şi

212 | APAAP ; şi reciproc, dacă 121 | APAAP , atunci evenimentele

A1 şi A2 sunt independente.

Evenimentele nkkA ,1 sunt independente dacă:



ss kkkk APAPAAP ......

11 , pentru orice indici nkk s ...1 1 .

Formule pentru calcularea unor probabilitaţi

a) Probabilitatea unei reuniuni de evenimente

.1...1

1

11

k

n

k

n

kjikji

n

k kjkjkk

n

k

AP

AAAPAAPAPAP

(1)

Pentru 2k , formula (1) se reduce la proprietatea ( f ) a probabilităţii.

Dacă evenimentele nkkA ,1 sunt incompatibile 2 câte 2, atunci formula se

reduce la axioma (c) generalizată, iar dacă evenimentele sunt independente, formula (1) devine :

.1...1

1

11

j

n

j

n

kjikji

n

k kjkjkk

n

k

AP

APAPAPAPAPAPAP

b) Probabiltatea unei intersecţii de evenimente

Dacă 01

k

n

kAP , atunci:

....|...|| 1212131211

nnk

n

kAAAAPAAAPAAPAPAP (2)

Dacă evenimentele nkkA ,1 sunt independente, atunci formula (2) devine:

k

n

kk

n

kAPAP

11

.

c) Formula probabilităţii totale Dacă nkkA ,1 este un sistem complet de evenimente jkk AAA , ,

oricare jk , njk ,1, şi

k

n

kA

1 , iar B este un eveniment oarecare,

atunci are loc formula probabilităţii totale:

nn ABPAPABPAPABPAPBP |...|| 2211 .

d) Formula lui Bayes



Dacă nkkA ,1 este un sistem complet de evenimente şi B un eveniment

oarecare, atunci are loc formula lui Bayes ( formula ipotezelor):

n

kkk

jjj

ABPAP

ABPAPBAP

1

|

|| , nj ,1 .


Se aruncă 2 zaruri. Care este probabilatea ca suma feţelor să fie 6, ştiind că suma acestor feţe a dat un număr cu soţ?


În loc de Rezumat



O urnă conţine 4 bile albe şi 6 bile negre. Se scoate o bilă care se pune deoparte, apoi se extrage incă o bila din urnă. Necunoscând culoarea primei bile extrase, care este probabilitatea ca a doua bilă sa fie albă? Dar să neagră?


Răspuns 12.1 a) Să considerăm evenimentele: A prima bilă este albă

B a doua bilă este albă.

Avem de calculat : ABP | şi ABP | . Dacă s-a realizat evenimentul A,

atunci in urnă au rămas 3 bile albe şi 6 negre, deci:



3

1

9

3| ABP ,

3

2

9

6| ABP .

b) Avem de calculat: BAP şi vom folosi definiţia probabilităţii condi-

ţionate astfel: 15

2

10

1

3

1| APABPBAP , unde

10

4AP .









Scheme clasice de probabilitate



SCHEME CLASICE DE PROBABILITATE

Cuprins

Pagina


13.1 Schema lui Poisson………………………………………………………………….. 82

13.2 Schema bilei neîntoarese…………………………………………………………….. 84









Formarea unei gândiri logice şi ordonate aplicabile în analiza şi rezolvarea oricărei aplicaţii ce apare în practică sau la disciplinele ce vor urma (Mecanica, Rezistenta, etc.).

13.1 Schema lui Poisson

Schema lui Poisson sau schema binomială generalizată Teoremă Fie nAAA ,...,, 21 evenimente independente cu ii pAP , ii pq 1 ,

ni ,1 . Probabilitatea de a se realiza k din cele n evenimente (şi să nu se

realizeze kn ) este coeficientul lui kX din polinomul

nn qXpqXpqXp ...2211 .

Corolar (Schema lui Bernoulli). Dacă evenimentele independente nAAA ,...,, 21 au aceeaşi probabilitate

ppi , nipqqi ,1,1 , atunci probabilitatea de a se realiza k din

cele n evenimente, notată kPn , este coeficientul lui kX din polinomul

nqpX , adică: knkknn qpCkP .

Demonstraţie Fie

kiii AAA ,...,,21

, k evenimente care se realizeaza din cele n şi nk ii AA ,...,

1

celelalte kn evenimente care nu se realizează. Realizarea evenimentului

nkk iiiii AAAAA ......121

conduce la

realizarea evenimentului acărui probabilitate ni se cere. Prin urmare evenimentul cerut A este

nkk iiiii AAAAAA ......

121 ,

unde reuniunea se face după toate submulţimile kiii ,...,, 21 ale mulţimii

n,...,2,1 . Găsim uşor că

nkk iiiii qqpppAP ......121

.

Suma din membrul drept fiind egală cu coeficientul lui kX din polinomul

nn qXpqXpqXp ...2211 .



Observaţie Ceea ce caracterizează schema lui Bernoulli sunt următoarele elemente: 1) Orice probă are exact doua rezultate posibile (succes sau insucces) care sunt mutual exclusive. 2) Este fixat un număr n de probe. 3) Orice rezultat dintr-o probă este independent de oricare rezultat din orice altă probă. 4) Probabilitatea succesului în fiecare probă este constantă.

Test de autoevaluare 13.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Se consideră urnele naU 4,31 , naU 3,22 , naU 4,43 . Din fiecare urnă se

extrage câte o bilă. Care este probabilitatea ca toate bilele să fie albe? Răspunsul la test se găseşte la pagina 85.

13.2 Schema bilei neîntoarse

Pentru a doua situaţie cadrul este oferit de o urnă care conţine N bile dintre care a sunt albe, iar b sunt bile roşii. Deci baN . Se extrag n bile Nn fără a repune bila în urnă. Fie k numărul de bile albe obţinute în

cele n extrageri ak . Numărul de bile roşii extrase în cele n probe este

bknkn . Pentru calculul probabilităţii evenimentului de a se obţine k bile albe şi kn bile roşii în urma celor n extrageri aplicăm definiţia probabilităţii (cănd cazurile sunt echiprobabile) ca raportul dintre numărul cazurilor favorabile şi numărul cazurilor posibile. Numărul cazurilor posibile este egal cu numărul de modalităţi de a alege n bile din cele N. Acesta este n

NC .

Pentru a obţine numărul cazurilor favorabile să observăm că cele k bile albe le obţinem din cele a în k

aC , iar celelalte kn bile roşii se pot

extrage din b bile roşii în knbC . Conform regulii produsului din

combinatorică, numărul tuturor posibilităţilor de a extrage k bile albe şi kn bile roşii este kn

bka CC . Deci probabilitatea cerută este:

n

ba

knb

ka

n C

CCkP

Schema 1. O urnă conţine N bile, N1 de culoarea kNC ,...,1 de culoarea Ck. Se extrag

din această urnă succesiv n bile. Probabilitatea de a extrage n1 bile de culoarea knC ,...,1 bile de culoarea Ck este egală cu:

1) extragerea este cu repunerea bilei (cu remiză - legea multinominală)

knk

nn

n

pppnnn

n...

!!...!

!21

2121

, unde N

Np i

i , Nnnnnn k ,...21 .



2) extragerea este fără repunerea bilei extrase înapoi în urnă (fără remiză – legea polihipergeometrică)

nN

nN

nN

nN

C

CCC k

k...2

2

1

1 , Nnnnnn k ,...21 .

Schema 2. O urnă conţine n bile, dintre care r sunt roşii. Se extrag bile până când se obţine o bilă roşie. Probabilitatea ca aceasta să se întâmple la a 1k - a extragere este egală cu:

1) extragere cu remiză (legea geometrică): kpp 1 , unde n

rp ;

2) extragere fără remiză:

in

r

kn

r k

i1

1

0, rnk ,...,1,0 .


Dintr-o urnă in care sunt aşezate toate numerele intregi de la 1 la 90 se extrag 6 numere. Care este probilitatea ca să iasă 4 din numerele: 6, 12, 28, 35, 82, 44?


În loc de rezumat



Într-o cutie cutie sunt 4 pachete a câte 20 de cartonaşe. În primul pachet este un cartonaş rupt, in al doilea sunt 2 cartonaşe rupte, in al treilea sunt 3 cartonaşe rupte, iar in al patrulea sunt 4 cartonaşe rupte. Din fiecare pachet se ia câte un cartonaş. Care este probabilatea să iasă 3 cartonaşe bune şi unul rupt?




Răspuns 13.1 Se consideră evenimentele independente: 1A “bila extrasă din 1U este

albă”, 2A “bila extrasă din 2U este albă”, 3A “bila extrasă din 3U este

albă”. Suntem în cadrul schemei lui Poisson pentru 3n şi ak 3 ,

bk 1 , ck 2 . Avem 7

31 AP ,

5

22 AP ,

2

13 AP .

Considerăm polinomul

2

1

2

1

5

3

5

2

7

4

7

3XXX .

Probabilitatea cerută este coeficientului lui 3X din polinom, care este egal cu

35

3

2

1

5

2

7

3 .

Răspuns 13.2 Se aplică schema bilei întoarse ( hipergeometrică) pentru : a=6 ( avem nu-mere favorabile), 84b (restul de numerelor) şi 90 baN (câte numere avem avem la dispoziţie). Observăm că 6n , din care 4 şi

2 , deci: 690

284

462;4C

CCP

.







6. Smirnov V.I. – “Curs de matematici superioare” vol. I – V, Ed. Tehnica, Bucuresti 1953.

Variabile aleatoare



VARIABILE ALEATOARE

Cuprins

Pagina


14.1 Repartiţie. Valoare medie. Dispersie ………………………………….…………… 88




Variabile aleatoare





14.1 Repartiţie. Valoare medie. Dispersie

Definiţii Definiţie Fie PP ,, un câmp de probabilitate. Se numeşte variabilă aleatoare relativă la probabilitatea P, orice aplicaţie

R:X O variabilă aleatoare este o funcţie ale cărei valori depind de şansă. Definiţie O variabilă aleatoare se numeşte discretă dacă are o multime finită sau numărabilă de valori. O variabilă aleatoare se numeşte continuă dacă are ca multime de valori un interval mărginit al dreptei reale. Schematic vom reprezenta variabila aleatoare X sub forma unui tabel cu două linii (în prima linie sunt trecute valorile variabilei X, iar în a doua linie

probabilităţile corespunzătoare fiecărei valori)

n

n

ppp

xxxX

...

...:

21

21 , unde

ii xXPp , ni ,1 , 0ip , 1...21 nppp .

Funcţia 1,0: RF , xXPxF se numeşte funcţia de repartiţie asociată variabilei aleatoare X. Fie F un fenomen aleator şi PP ,, un câmp de probabilitate asociat lui F, iar X, Y două variabile aleatoare relative la P. Definiţie Spunem că variabilele aleatoare X, Y sunt egale şi scriem YX dacă YX , .

Definiţie Două variabile aleatoare sunt independente dacă evenimentele ixX şi

Variabile aleatoare


iyY sunt independente ni ,1 , mj ,1 .

Fie variabila aleatoare

n

n

ppp

xxxX

...

...

21

21 , 1...21 nppp .

Teoremă

1) Suma dintre o constantă a şi variabila aleatoare X este variabila notată Xa , având repartiţia:

n

n

ppp

xaxaxaXa

...

...:

21

21 , 1...21 nppp .

2) Produsul dintre o constantă a şi variabila aleatoare X este variabila notată aX, având repartiţia:

n

n

ppp

axaxaxaX

...

...:

21

21 , 1...21 nppp .

Teoremă

1) Suma dintre variabila aleatoare X şi variabila aleatoare Y este variabila aleatoare notată YX , având repartiţia:

nmijm

mnjim

ppppp

yxyxyxyxyxYX

.........

.........:

11211

12111 ,

n

i

m

jijp

1 1

1, unde iiij yYxXPp , mjni ,1,,1 .

2) Produsul dintre variabila aleatoare X şi variabila aleatoare Y este variabila aleatoare XY, având repartiţia:

nmijm

mnjim

ppppp

yxyxyxyxyxXY

.........

.........:

11211

12111 ,

n

i

m

jijp

1 1

1, unde iiij yYxXPp , mjni ,1,,1 .

2) Câtul dintre variabila aleatoare X şi variabila aleatoare Y este variabila

aleatoare notată Y

X, având repartiţia:

nmijm

m

n

j

i

m

pppppy

x

y

x

y

x

y

x

y

x

Y

X

.........

.........:

11211

1

21

1

1

1

,

Variabile aleatoare


n

i

m

jijp

1 1

1, unde iiij yYxXPp , 0,,1,,1 jymjni ,

mj ,1 . Valoare medie Fie variabila aleatoare X de repatiţie:

n

n

ppp

xxxX

...

...:

21

21 , 1ip .

Definiţie Se numeşte valoare medie (sau speranţă matematică) a variabilei aleatoare X, numărul real XM (sau XS sau încă X ) egal cu:

n

iiinn pxpxpxpxXM

12211 ... .

Teoremă ( Proprietăţi ale valorilor medii) 1) Pentru kX o constantă, kkM . Valoarea medie a unei constante este egala cu acea constantă. 2) kXMkXM

XkMkXM Valoarea medie a sumei (produsului) dintre o variabilă aleatoare şi o constantă este egală cu suma (produsul) dintre constantă şi valoarea medie a variabilei. 3) nn xxxXMxxx ,...,,max,...,,min 2121

Valoarea medie este cuprinsă intre cea mai mică şi cea mai mare dintre valorile posibile ale variabilei aleatoare. 4) kk XMXMXMXXXM ...... 2121 .

Valoarea medie a unei sume finite de variabile aleatoare este egală cu suma valorilor medii ale variabileleor aleatoare. 5) Fie X, Y variabile aleatoare independente. YMXMXYM Valoarea medie a produsului a două variabile aleatoare independente este egală cu produsul valorilor medii ale celor două variabile.

Variabile aleatoare


Definiţie Se numeşte varianţa (sau dispersia) variabilei aleatoare X numărul pozitiv XV (sau uneori notat XD2 ) egal cu

2222 XMXMXMXDXV , unde XM .


Să se calculeze media şi dispersia unei variabile aleatoare X care urmează o repartiţie binominala de parametrii n şi p.


În loc de rezumat



Variabilele şi au repatiţiile:

10

3

10

1

10

5

10

11111

şi respectiv

10

3

10

1

10

5

10

11111

Se cere:

a) Să se afle mediile şi dispersiile variabilelor şi ; b) Să se calculeze covariaţia şi coeficientul de corelaţie ştiind că

2,0M ; c) Să se afle dispersia variabilei aleatoare .


Răspuns 14.1 Putem evita calculul direct, care este greoi, astfel: experienţei de rang k i ataşăm variabila aleatoare Xk care poate lua valoarea 1 sau 0, după cum în

această experienţă s-a realizat sau nu evenimentul A:

pq

X k

10, nk ,1 .

Variabilele Xk sunt independente deoarece corespund la experienţe indepen-

dente, iar nXXXX ...21 . Atunci:

Variabile aleatoare


nXMXMXMXM ...21 şi din independenţa variabilelor Xk,

nXDXDXDXD 22

21

22 ... .

Se observă uşor că:

ppqXM k 10 , pqppXMXMXD 2222 , deci

npXM , npqXD 2 .







6. Smirnov V.I. – “Curs de matematici superioare” vol. I – V, Ed. Tehnica, Bucuresti 1953.

Bibliografie

…

BIBLIOGRAFIE

1. Arnold V.I. – “Ecuatii diferentiale ordinare”, Ed. Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti, 1978

2. Barbu L, Craciun E.M.- “Elemente de analiza matematica si matematici speciale”,Ed. Ex-Ponto, Constanta, 2004






8. Ganga M.- “Matematica. Manual pentru clasa a X–a” – Editura Mathpress, 2005 9. Livovschi L. – “Matematici speciale - Exercitii si probleme” – Litografia Universitatii

Bucuresti, 1982 10. Lupu Gh. s.a. – “Matematici speciale – Culegere de probleme” Ed. Universitatii Ovidius,

Constanta, 1998 11. Olariu V., s.a. - “Analiza Matematica si matematici speciale”, Lit. IPB, Bucuresti 1978 12. Rudner V. – “Probleme de matematici speciale”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti,

1970. 13. Smirnov V.I. – “Curs de matematici superioare” vol. I – V, Ed. Tehnica, Bucuresti 1953 14. Sabac Gh. – “Matematici speciale”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1981 15. Spiegel M. R.– “Vector Analysis and an introduction to Tensor Analysis”, Schaum's

Outline Series, Schaum Publishing Co., New York 1969.

...

CSI EAMMS II Prof EM Craciun 11_Ianuarie_2011_ Ora 10

Documents

Transcript of CSI EAMMS II Prof EM Craciun 11_Ianuarie_2011_ Ora 10