CURS 1 1.5. Grupuri punctuale (clase de simetrie) Un loc important n caracterizarea cristalografic a unui cristal l ocup grupurile cristalografice grupurile punctuale, n cazul figurilor finite (formele exterioare ale cristalelor) i grupurile spaiale, n cazul figurilor infinite (structura reticular). Un cristal poate avea mai multe elemente de simetrie. Posibilitile de existen simultan a elementelor de simetrie sunt limitate numai la acelea compatibile cu simetria de reea. Totalitatea elementelor de simetrie ale unui cristal, constituie formula de simetrie a cristalului respectiv. Pentru deducerea posibilitilor de combinare a elementelor de simetrie ale unui cristal i, implicit, a formulei sale de simetrie, trebuie respectate urmtoarele reguli: 2 1. Axele de simetrie (n general A ) perpendiculare pe o ax de ordinul n formeaz ntre ele2.180o n

;

Planele de simetrie care se intersecteaz dup o ax de ordinul180o n

n formeaz ntre ele3.

Existena a dou elemente de simetrie simple din care cel puin unul este de ordin par implic existena celui de-al treilea element; se n n n n ntlnesc astfel 3 cazuri: Apar + P ApnC , sau Apar + C ApnC , saun P n + C ApnC ;

Existena a dou elemente de simetrie simple din care cel puin unul este impar exclude posibilitatea existenei celui de-al treilea element; A3 3 3 se deosebesc dou cazuri: A + P 3 sau A3 + C A3C. P 2 5. Existena unui plan (n general P ) care conine o ax de ordinul n implic existena a n plane (P2) la intersecia crora se afl axa de n 2 n 2 ordinul n ( A + P( P) A nP ). 2 6. Existena unui axe (n general A ) perpendiculare pe o ax de n 2 n 2 ordinul n implic existena a n axe perpendiculare ( A + A( ) A nA ). 3 4 6 7. Cu axele de simetrie principale unice (A , A , A ) se pot asocia, pe lng planele perpendiculare (P3, P4, P6) numai elemente de ordinul 2 (axe i/sau plane). Regulile de mai sus sunt variabile i se aplic i n cazul axelor de4.

inversiune. n acest caz ns se iau n consideraie elementele simple echivalente. Conform acestor reguli s-a demonstrat c n cazul cristalelor nu sunt posibile dect 32 formule de simetrie, care corespund la 32 grupuri punctuale (clase de simetrie). Un grup punctual cuprinde toate cristalele cu aceeai formul de simetrie. Deducerea grupurilor punctuale se face plecnd de la axele de simetrie simple crora li se adaug, pe rnd, celelalte elemente de simetrie: plan perpendicular, plane paralele, axe de ordinul doi perpendiculare, i ultimul caz, att plan perpendicular, ct i plane paralele. n cazul n care se iau n consideraie i axele de inversiune, se obin 7 tipuri de grupuri punctuale: - grupuri primitive, simbolizate n sistemul internaional prin X; - grupuri primitive de inversiune, simbolizate n sistemul internaional prin X ; X - grupuri centrate, simbolizate n sistemul internaional prin ; m - grupuri planare, simbolizate n sistemul internaional prin X m; - grupuri planare de inversiune, simbolizate n sistemul internaional prin X m; - grupuri axiale, simbolizate n sistemul internaional prin X 2; - grupuri plan axiale, simbolizate n sistemul internaional prin X m. m n sistemul internaional al grupurilor punctuale se menioneaz numai elementele care conduc la apariia simetriei, i anume planele sau axele. Astfel, o prism cu baza ptrat are formula de simetrie 4 2 ,2 A 2A 2A 4 C sau, iar n sistemul internaional mm . n prima poziie 4 2 ,2 P 2P 2P m se menioneaz axa principal (A4), corespunztor axei cristalografice Z, n poziia a doua sunt menionate cele dou axe de ordinul doi (2A2) corespunztoare axelor cristalografice X i Y, iar n poziia a treia axele de ordinul doi (2A2) diagonale (la 45). n mod convenional, cifra 3 din poziia a doua din simbolul internaional al unui grup punctual indic existena a patru axe de ordinul 3. n cazul n care cifra 3 ocup prima poziie, indic existena unei singure axe principale de ordinul 3. n paralel cu notaia internaional a grupurilor punctuale se mai folosete notaia Schnflies, utilizat mai ales n notarea formulelor grupurilor spaiale n cazul structurilor. Principalele tipuri de grupuri, n

aceast notaie, sunt: - grupurile ciclice simbolizate prin litera C i - grupurile diedrice simbolizate prin litera D. Grupurile ciclice conin o singur ax de simetrie, de cele mai multe ori n poziie vertical (corespunztoare axei cristalografice Z), iar grupurile diedrice conin, pe lng axa principal, i axe de ordinul 2 perpendiculare pe aceasta[Macale, 1996]. Literele C sau D prezint anumii indici. Indicii situai n partea dreapt jos, corespund axei de simetrie principale. Grupurile coninnd axele de simetrie corespunztoare octaedrului (4 3 2) i tetraedrului (2 3) se simbolizeaz cu litera O i, respectiv T, iar grupurile cu axe de inversiune se noteaz cu litera S. Literele v, h i d simbolizeaz planele de simetrie: v - verticale, h orizontale i d diagonal. Simbolurile Schnflies conin numai elementele minime necesare deducerii formulei de simetrie, formule determinate pe baza regulilor de asociere a elementelor de simetrie. Astfel, de exemplu, grupul punctual C6h indic un grup ciclic coninnd o ax de simetrie de ordinul 6 (A6) i un plan orizontal, perpendicular pe el (P6), n consecin formula de A6 6 simetrie va fi 6 C , sau, n notaia internaional . De asemenea, un P m grup punctual notat D4h, indic un grup diedric. Pe axa principal (A4) exist un plan de simetrie perpendicular (P4). Lund n consideraie axele de ordinul 2 perpendiculare pe axa A4 (4A2, conform regulei 6) i centrul de simetrie (determinat de regula 3), formula de simetrie corespunztoare A 4 2A 2 2A,2 4 va fi 4 2 ,2 C sau, internaional mm [Macale, 1996]. P 2P 2P m 1.6. Sisteme cristalografice Se poate considera c orice cristal deriv dintr-un paralelipiped oarecare ale crui muchii sunt egale cu parametrii (perioadele) irurilor reticulare. Acest paralelipiped se poate raporta la un sistem de referin cu trei axe - X. Y i Z (axele Miller) sau cu patru axe X. Y, i Z (axele Bravais). Axele de referin, numite axe cristalografice, formeaz ntre ele unghiurile , i ; segmentele delimitate de paralelipiped pe aceste axe se noteaz cu a pentru X, b pentru Y, c pentru Z, (i d pentru ), a, b, c (i d) fiind parametrii paralelipipedului. Punnd anumite condiii unghiurilor , i , pe de o parte i parametrilor a b i c, pe de alt parte, rezult 7 paralelipipede particulare, numite paralelipipede elementare [Macale, 1989].

Formele derivate prin trunchiere, conform legii raporturilor raionale ale parametrilor, din acelai paralelipiped elementar constituie un sistem cristalografic. Exist astfel 7 sisteme cristalografice crora le corespund cele 32 grupuri punctuale. Forma unui cristal poate fi complet descris prin utilizarea indicilor lui Miller i notaia Hermann-Mauguin a grupelor de simetrie punctuale. n figura 28 sunt reprezentate sistemele de referin cu 3 i 4 axe (Miller i respectiv, Bravais).

Figura 28. Axele de referin Miller (a) i Bravais (b) [Macale, 1989]

CURS 2 Convenii i simboluri care caracterizeaz operaiile de simetrie n cazul cristalelor pot avea loc urmtoarele tipuri de rotaii: 2/n n care n = 1, 2, 3, 4 i 6, alte tipuri de rotaii sunt excluse. Ca urmare apar urmtoarele cazuri:Rotatie 2/1 2/2 Simbol pentru rotatie 1 2 Simbol pentru roto-inversie 1 (2 ) m 2/3 3 3 2/4 4 4 2/5 5 5 2/6 6 6

n zona gri s-a introdus i axa de rotaie de ordinul 5 cu toate c aceast operaie nu este compatibil cu periodicitatea reelei, ea putnd aprea n molecule sau n alte obiecte neperiodice.

Exerciii Un poliedru reprezentat prin formula 222 are trei axe de simetrie de ordinul 2 perpendiculare una pe cealalat. Acest poliedru revine la forma iniial prin oricare din cele trei posibiliti de rotaie cu un unghi de 180 (= 2/2 = ).6 - un poliedru coninnd o ax de simetrie de ordinul 6 (A6) i un plan orizontal, m

perpendicular pe el (P6). Un poliedru reprezentat prin formula m m4

m - conine o axa principal de ordinul 4

(corespunztoare axei cristalografice Z), un plan orizontal perpendicular pe axa de ordinul 4, 2 axe de ordinul 2 perpendiculare pe axa de ordinul 4 i 2 axe de ordinul 2 diagonale.Roto-inversion Operaia de rotoinversiune genereaza inversia cristalului? Operaia de rotoinversiune genereaza apariia unui plan de simetrie n oglind? 1 (2 ) m 3 4 5 6

Inversia unui cristal este generat n mod automat de orice operaie de roto-inversiune de ordin impar. n legtur cu simetria n oglind (reflxia) dac o operaie de roto-inversiune de ordin 2 i 6 genereaz un plan n oglind care trebuie s fie urmtoarea operaie de rotoinversiune n tabel care s genereze un plan n oglind perpendicular pe axele de roto-inversiune?3.3.3. Lista a tuturor grupelor de simterie posibile care pot fi observate n cazul cristalelor

Prin combinarea operaiilor de simetrie apar grupurile punctuale. Toate combinaiile ale acestor operaii de simtrie care au loc n cristale sunt prezentate n tabelul.

Rotatie de ordinul n Roto-inversiune Axa de rotatie de ordinul n i plane de reflexie paralele cu axele de rotaie Axa de rotatie n i axe de rotaie de ordinul 2 perpendiculare pe aceasta Axa de rotatie de ordinul n i plan de simetrie de ordinul n perpendicular pe axa de rotaie de ordinul n Axa de rotoinversiune de ordinul n i plane paralele la axa de rotaie de ordinul n Axa de rotoinversiune de ordinul n i plane perpendiculare i paralele cu axa de rotoinversiune de ordinul n

1 1

2 (2 ) m

3 3

4 4

5 5

6 6

m

2mm

3m

4mm

5m

6mm

222

32

422

52

622

2/m

(3/m 6)

4/m

(5/m 10)

6/m

3m

42m

5m

6m2

mmm

4/mmm

6/mmm

Cele mai multe dintre grupurile din table se caracterizeaz prin prezena unei singure axe de rotaie de ordinul n (mai mare sau egal cu 2). Singurele excepii sunt cele ale grupurilor n care apare doar o operaie de simetrie (1, 1 and m) sau n care sunt prezente mai multe axe de simetrie de ordinul 2 (222 and mmm). Din tabelul de mai sus lipsete o categorie important de grupuri. Aceasta se refer la solidele platonice (cub, dodecaedru, icosaedru, octaedru, i tetraedru).

Solide platonice numite i solide regulate sau poliedre regulate sunt poliedre convexe cu fee echivalente compuse din poligoane regulate convexe.The Platonic solids were known to the ancient Greeks, and were described by Plato in his Timaeus ca. 350 BC. In this work, Plato equated the tetrahedron with the "element" fire, the cube with earth, the icosahedron with water, the octahedron with air, and the dodecahedron with the stuff of which the constellations and heavens were made (Cromwell 1997). Predating Plato, the neolithic people of Scotland developed the five solids a thousand years earlier. The stone models are kept in the Ashmolean Museum in Oxford (Atiyah and Sutcliffe 2003).

Toate aceste solide platonice au aceeai caracteristic adic toate przint cel puin 4 axe de rotaie de ordinul 3. n cub de exemplu acestea sunt localizate de-a lungul celor patru diagonale care unesc colurile opuse. Ca urmare se poate completa tabelul de mai sus cu urmtoarele grupuri. n spaiul gri se situeaz grupurile caracteristice simetriei de ordinul 5 care nu apar n cristalele convenionale.Familia cubic Familia icosaedric 23 235 m3 m35 432 43m m3m

Simbolurile din tabele se numesc simboluri internaionale sau simboluri Hermann Mauguin acestea nu sunt singurile simboluri utilizate n descrierea grupurilor punctuale. Cele mai uzuale simboluri utilizate n chimie pentru a descrie simetria moleculelor se numesc simboluri Schoenflies. Reguli referitoare la simbolurile care caracterizeaz grupurile punctuale

O singur ax de ordinul 2,3,4 sau 6 ocup de regul prima poziie n simbolul unui grup punctual. Trei axe de rotaie de ordinal 2 perpendiculare un ape cealalt reprezint un caz particular. Dac n plus exist i alte operaii de simetrie perpendiculare cu axa de simetrie principal, ele ocup locul al doilea sau chiar al treilea daca este necesar. Dac dou tipuri de operaii de simetrie sunt paralele cu aceeai direcie ele se separ prin semnul /. 2/m de exemplu nseamn c exist o ax de rotaie de ordinal doi i un plan de reflexie parallel cu axa de rotaie de odinul 2. Pentru grupurile de simetrie ale poliedrelor platonice i derivai ai acestora nti se nscrie poliedrul ntr-un cub. Cele trei poziii ale simbolurilor reprezint direciile axelor de rotaie, a doua poziie este diagonalele care unesc vrfurile diametral opuse, iar n a treia poziie se menioneaz diagonalele feelor

Exercise 3.7 Show how the octahedron and the tetrahedron can be inscribed in a cube

Simbolurile de mai sus reprezint operaii ale grupurilor specifice. Cu alte cuvinte fiecare grup conine un numr finit de operaii i trebuie stabilite fiecare din operaiile care sunt reprezentative pentru grupul respectiv. Numrul de elemente coninute n grup se numete ordinul grupului.Tabelul 1. Poziia n formula grupurilor punctuale a elementelor de simetrie [Macale, 1996] Poziia n formul SINGONIA I II II TRICLINICA Se folosete doar un singur simbol care corespunde oricrei direcii din cristal MONOCLINICA O ax A2 sau normala la plan (P2), paralel cu Y ROMBICA Cte o ax A2 sau normale la P2 paralel cu X Y Z TETRAGONALA Axa principal de Axe A2 sau normale la plane (P2) HEXAGONALA simetrie, corespunde dup lui Z (A4, A3, A6) direciile axelor direciile cristalografice diagonale CUBICA Elementele de simetrie Axele de Elementele de corespunztoare axelor ordinul 3 simetrie diagonale cristalografice (3 A4, 3 (4 A3) (6 A2 i/sau 6 P2) Ai4 sau 3A2)

n funcie de tipul elementelor de simetrie prezente n cadrul unui cristal, toate cristalele se mpart n 32 de grupe distincte numite clase de simetrie. Sistemele cristalografice se clasific n funcie de criteriul simetriei caracteristice i n functie de combinaiile elementelor de simetrie n: Categoria inferioar care conine trei elemente i este reprezentat de: - sistemul triclinic, fr axe sau plane de simetrie; - sistemul monoclinic, cu o ax de simetrie de ordinul 2, un plan de simetrie, sau att cu o ax ct i cu plan de simetrie; - sistemul rombic, cu mai multe elemente de ordinul 2 axe sau plane. Categoria medie cuprinde trei sisteme cristalografice i este reprezentat de: - sistemul trigonal, cu o ax de simetrie principal unic A3 sau A3 ; i - sistemul tetragonal, cu o ax de simetrie principal unic - A4 sau Ai4 ; - sistemul hexagonal, cu o ax principal unic A6 sau Ai6 [Macale, 1996]. Categoria superioar cuprinde un singur sistem sistemul cubic caracterizat prin existena a patru axe de simetrie de ordinul 3 (4A3) [Macale, 1989]. n situaiile n care este posibil, alegerea axelor cristalografice se face dup axele de simetrie sau dup normalele la planele de simetrie. n cazul n care nu exist elemente de simetrie corespunztoare axe sau plane, situaie care se ntlnete de exemplu n cazul sistemelor triclinic i monoclinic, axele cristalografice se aleg dup muchiile paralelipipedului elementar (dup irurile reelei cristaline). indu-se cont doar de simetria cristalelor se obin doar ase relaii posibile ntre unghiuri i parametri, respectiv ase singonii. Cristalele aparinnd singoniilor triclinic, monoclinic, rombic, tetragonal i cubic se raporteaz la un sistem de referin cu trei axe cristalografice (axele Miller), iar cristalele aparinnd singoniei hexagonale la un sistem de referin cu patru axe (axele Bravais). Noiunea de singonie coincide cu noiunea de sistem cristalografic pentru toate sistemele, exceptnd cazul sistemelor trigonal i hexagonal care aparin unei singure singonii singonia hexagonal. Sistemul trigonal este considerat un sistem separat deoarece cristalele rezult prin

trunchierea unui paralelipiped particular romboedrul care se poate raporta i la un sistem de referin cu trei axe, (X, Y i Z), alese independent de elementele de simetrie, paralele cu muchiile romboedrului elementar[Macale, 1989]. Principalele sisteme cristalografice sunt: - sistemul triclinic; - sistemul monoclinic; - sistemul rombic; - sistemul tetragonal; - sistemul cubic; - sistemul trigonal; - sistemul hexagonal.

1.6.1. Sistemul triclinic Paralelipipedul elementar este o form pinacoidal (delimitat de trei feluri de fee paralele i egale dou cte dou) cu constantele cristalografice: abc 900 - are doar centru de simetrie - formula de simetrie este C sau 1 (n notaia internaional); axele cristalografice se aleg paralel cu trei muchii concurente ntr-un col, n aa fel nct a < b < c (figura 29). Conine dou grupuri punctuale: primitiv (asimetric) A1 i primitiv de inversiune (Ai1).

Figura 29. Poliedrul caracteristic sistemului triclinic [Macale, 1989]

Formele sistemului triclinic sunt acele forme care conin cel mai redus numr de elemente de simetrie. Ele au doar centru de simetrie din aceast cauz sistemul triclinic se mai numete asimetric. Formele simple ale sistemului triclinic sunt reprezentate de elemente din clasa holoedric (acea clas care conine formele cristalografice care se obin prin modificarea tuturor elementelor

geometrice coluri sau muchii de acelai fel) cum ar fi de exemplu pinacoizii triclinici (pinax = mas, tabl; eidos = figur, infiare) este o form simpl deschis centrat constituit din 2 fee echivalente, paralele simetrice n raport cu un centru de simetrie) cu diverse poziii: bazali, laterali, transversali, i din clasa asimetric de pedioni (de diverse poziii (pedionul (pedion = es, cmpie, plan) este o form simpl deschis constituit dintr-o singur fa care nu se mai repet n cristal)).

a) b) c) Figura 31. Pinacoizi: a) bazal; b) lateral; c) verticali [Popa, 1965]

Figura 32. Pedioni: a) bazal superior; b) bazal inferior; c) lateral [Popa, 1965]

Formele compuse ale sistemului triclinic sunt reprezentate de pinacoid bazal + pinacoid vertical + pinacoid lateral (figurile 33a, b, c).

a) b) c) Figura 33. a) Pinacoid bazal + vertical + lateral; b) Pinacoid bazal + vertical + lateral; c) macl polisintetic [Popa, 1965]

Exemple de minerale care cristalizeaz n sistemul triclinic: - distenul silicat de aluminiu (nezosilicat) Al2[SiO4]O - rodonitul - silicat de mangan (MnSiO3) - albit - silicat de aluminiu i sodiu (Na[Si3AlO8) - anortit - aluminosilicat de calciu (Ca[Si2Al2O8]) 1.6.2. Sistemul monoclinic Forma fundamental a acestui sistem este prisma monoclinic sau prisma rombic cu baza nclinat (clinorombic). Cristalele care aparin sistemului monoclinic prezint trei axe cristalografice neegale. Axele cristalografice X i Y sunt nclinate una fa de cealalt cu un unghi oblic, iar axele Z sunt perpendiculare pe axele X i Y. Axele cristalografice Y se mai numesc i axe orto. Axa X se numete clino (clinodiagonal) [Macale, 1996]. Constantele cristalografice caracteristice acestui sistem sunt: abc = = 90; > 90

a) b) c) Figura 34. a) suprafaa desfurat a unui sistem monoclinic, b) unitatea elementar i c) axele cristalografice ale sistemului monoclinic

Elementele geometrice caracteristice prismei monoclinice sunt: - 6 fee (2 bazale rombice de pinacoid + 4 laterale paralelograme de prism); - 12 muchii (8 bazale egale + 4 laterale egale); - 8 coluri (4 ascuite + 4 obtuze). Elementele de simetrie sunt: - o ax (A2) - 1 plan (P) - 1 centru (C); n consecin formula de simetrie este A2PC.

CURS 3

Formele simple ale sistemului monoclinic sunt: - pinacoizii bazali, laterali, - domele (din greac domos = acoperi) este acea form simpl deschis format din 2 fee echivalente care se ntretaie dup o muchie, fiind simetrice fa de un plan): vertical, oblic.

a) b) c) d) Figura 35. a) Pinacoid bazal, b) pinacoid lateral, c) dom vertical, d) dom oblic [Popa, 1965]

Prin modificri fcute asupra muchiilor i colurilor prismei monoclinice se obin diferite forme derivate simple i compuse. Principalele forme derivate simple sunt: - bipiramida monoclinic, - ortopinacoidul, - clinopinacoidul, - clinodomul, - hemiortodomul. Bipiramida monoclinic se obine prin nlocuirea muchiilor bazale ale prismei cu cte o fa triunghiular.

Figura 37. Bipiramid monoclinic [Popa, 1965]

Ortopinacoidul - nlocuirea muchiilor laterale care se opun unghiurilor ascuite cu cte o fa. Deoarece feele sunt paralele ortodiagonalei forma care se obine se numete pinacoid. Clinopinacoidul - nlocuirea muchiilor laterale care se opun unghiurilor obtuze cu cte o fa dreptunghiular. Denumirea acestuia provine de la faptul c feele sunt paralele cu clinodiagonala (axa X).

Clinodomul - nlocuirea colurilor obtuze de la capetele ortodiagonalei cu cte o fa triunghiular. Hemiortodomul - modificri fcute pe colurile clinodiagonalei. Hemiortodomul este alctuit dintr-o fa sus i alta jos. Deoarece colurile nu sunt egale nu se obine un dom ntreg. Formele compuse derivate de la prisma monoclinic sunt: - prism vertical cu pinacoid lateral, - pinacoid bazal cu pinacoid lateral, - pinacoizi laterali + prism vertical.

a) b) c) Figura 36. a) Prism vertical cu pinacoid lateral; b) pinacoid bazal cu pinacoid lateral; c) pinacoizi laterali + prism vertical [Popa, 1965]

Cele mai importante minerale care cristalizeaz n sistemul monoclinic sunt: - realgarul - sulfura de arsen (AsS), - auripigmentul - sulfura de arsen (As2S3) - covelina - sulfura de cupru (CuS) - sulful - titanitul - nezosilicat de titaniu i calciu CaTiSiO5 - gipsul - sulfatul de calciu hidratat (CaSO4.2H2O) - muscovitul - hidroxoaluminosilicat de potasiu (KAl2[Si3AlO10]2(OH)2). 1.6.3. Sistemul rombic (ortorombic) Paralelipipedul elementar este o form pinacoidal, care satisface condiiile: abc = = = 900 A 2 A,2 A ,,2 2 Formula de simetrie este 2 ,2 ,,2 C = mm . m P P P Cele trei axe de ordinul doi (neechivalente) se situeaz pe direcia

axelor X, Y i Z astfel nct a < b < c (figura 38). Cele trei axe sunt perpendiculare ntre ele. Conine trei grupuri punctuale: 222, 2mm, 2 mm. m

Figura 38.Unitatea elementar i axele de simetrie caracteristice sistemului rombic [Macale, 1989]

Prin modificri fcute pe muchii i pe coluri, din forma fundamental a sistemului rombic se pot obine dou feluri de forme derivate. Modificrile fcute pe muchii conduc la urmtoarele forme derivate: - bipiramida rombic; - brachipinacoidul; - macropinacoidul; - brachidonul; - macrodomul. Bipiramida rombic - prin tierea muchiilor bazale i nlocuirea lor prin cte o fa sub form de triunghi isoscel. Ea prezint 8 fee triunghiuri isoscele, 12 muchi, dintre care 4 bazice mai scurte i 8 laterale mai lungi, 6 coluri: 4 bazice mai scurte i 2 mai lungi (figura 39).

Figura 39. Bipiramida rombic

Brachipinacoidul - prin tierea muchiilor laterale care se opun unghiurilor ascuite i prin nlocuirea lor prin cte o fa dreptunghiular. Denumirea de brachipinacoid provine de la faptul c feele merg paralel cu diagonala scurt a feei bazale. Macropinacoidul -prin tierea muchiilor laterale care se opun unghiurilor obtuze i prin nlocuirea lor prin cte o fa dreptunghiular.

Denumirea de macropinacoid provine de la faptul c feele sunt paralele cu diagonala cea mare a feei bazale.

a

b

Figura 40. a) pinacoid lateral; b) pinacoid bazal [Popa, 1965]

Modificrile fcute pe colurile prismei rombice conduc la obinerea a 2 feluri de forme derivate. Numrul acestora este datorat faptului c prisma rombic prezint 2 feluri de coluri. Prin nlocuirea colurilor cu cte o fa triunghiular se obin o pereche de fee cu form de acoperi de cas numit dom.

a

b

Figura 41. a) dom transversal; b) dom longitudinal [Popa, 1965]

Brachidomul este forma derivat simpl a sistemului rombic care se obine prin nlocuirea colurilor ascuite cu cte o fa triunghiular, iar macrodomul se obine prin nlocuirea colurilor obtuze cu cte o fa triunghiular. Cele mai des ntlnite forme compuse derivate de la sistemul rombic sunt: - pinacoid bazal + pinacoid lateral + prism + dom (figura 42a); - prism vertical + dipiramid (figura 42b); - brachidome (figura 42c); - dou piramide (figura 42d).

a) b) c) d) Figura 42. Forme compuse ale sistemului rombic: a) pinacoid bazal + pinacoid lateral + prism + dom; b) prim vertical + dipiramid; c) brachidome; d) dou piramide

Forma compus prezentat n figura 42a este caracteristic: - staurolitului (hidroxialuminosilicat de fier (Fe2Al9Si4O22(OH)2)), - cea din figura 42b topazului (fluoro(hidroxi)silicat de aluminiu

(A12[SiO4](OH,F)2)), - cea din figura 42c baritinei (BaSO4), - iar cea din figura 42d sulfului. 1.6.4. Sistemul tetragonal (ptratic) n sistemul izometric toate cele 3 axe de simetrie au aceeai lungime i sunt situate la acelai unghi unele fa de celelalte. n sistemul tetragonal exist aceeai relaie ntre unghiuri, dar variaz lungimea axelor verticale, permind acestora s fie mai scurte sau mai lungi fa de celelalte dou. Aceast ax vertical se noteaz cu litera c, ea avnd semnele + sau - n funcie de orientarea axelor [Macale, 1996]. Paralelipipedul elementar este prisma tetragonal, care satisface condiiile: a=bc = = = 900 A 4 2A 2 2A,2 4 Formula de simetrie este 4 2 ,2 C = mm . m P 2P 2P 4 Axa A - pe direcia lui c (axa Z), iar dou axe de ordinul doi echivalente (2A2 sau 2A2) pe direcia axelor a(x) i b(y). Exist aadar dou posibiliti (privind axele a i b) de aezare a cristalului, rezultnd dou specii (specia 1-a i specia 2-a) figura 43. Conine apte grupuri 4 4 punctuale: 4,4, , 4mm, 4 2 m, 4 2 2 i mm. m m

Figura 43. Speciile caracteristice sistemului tetragonal [Macale, 1989]

n cazul prismei tetragonale exist 3 forme deschise ale acesteia care se refer la: - prisma de ordinul 1; - prisma de ordinul 2; - prisma ditetragonal [Macale, 1996].

Prisma de ordinul 1 este o form avnd 4 fee care sunt paralele axelor c i fiecare fa se intersecteaz cu axele a i b la aceeai distan. Axele cristalografice unesc mijloacele muchiilor laterale. Prisma de ordinul doi este identic cu prisma de ordinul 1. Ea se obine prin rotirea prismei de ordinul 1 n jurul axei c astfel c feele n acest caz sunt paralele cu una dintre axele a fiind astfel perpendicular pe cealalt ax a. Al treilea tip de prism este prisma ditetragonal Ea se poate uor confunda cu forma care rezult prin combinarea prismei de ordinul nti cu prisma de ordinul 2, n special n cazul n care cele dou forme se dezvolt egal.

Figura 45. Prism ditetragonal

Prisma ditetragonal {210} este asemntoare cu formele prismelor care se combin. O alt form a sistemului tetragonal o reprezint dipiramida. Exist trei tipuri de dipiramide care corespund celor trei tipuri de prisme descrise anterior. Numele dipiramidei provine de la forma apropiat ale crui plane intersecteaz toate cele trei axe. Dipiramida ptratic sau tetragonal deriv de la prisma ptratic prin tierea muchiilor de la baza prismei sau a colurilor prismei i nlocuirea acestora prin cte o fa sub form de triunghi isoscel. Dipiramida ptratic de ordinul 1 se obine din prisma de ordinul 1 (figura 46a), iar din piramida ptratic de ordinul 2 deriv dipiramida ptratic de ordinul al doilea (figura 46b).

a) b) Figura 46. Dipiramid ptratic de tip 1 (a) i 2 (b)

Bisfenoidul este o form simpl derivat din prisma ptratic obinut prin suprimarea la prisma ptratic a 2 coluri sus, 2 jos alternativ i nlocuirea acestora cu 4 fee sub form de triunghiuri isoscele (figura 47). Bisfenoidul mai poate deriva i de la dipiramida ptratic prin suprimarea a 2 fee sus, 2 fee jos n mod alternativ (figura 47).

Figura 47. Bisfenoidul [Popa, 1965]

Formele compuse ale sistemului ptratic sunt: - prism specia 1 cu dipiramid specia 1 (situaie ntlnit n cazul zirconului figura 48 [Zhang, 2004]);

Figura 48. Prism specia 1 + dipiramid specia 1 (zircon)[Popa, 1965]

- prism specia 2 cu dipiramid specia 1 (situaie ntlnit n cazul zirconului figura 49);

Figura 49. Prism specia 2 + dipiramid specia 1 (zircon) [Popa, 1965]

- prism specia 1 i 2 cu dipiramid specia 1 i a 2 a (situaie ntlnit n cazul casiteritului (dioxidul de staniu (SnO2)) figura 50);

Figura 50. Prism specia 1 i specia a 2 a + dipiramid specia 1 i specia 2 (casiterit) [Maldener, 2001]

- pinacoid bazal cu prism specia 1 i 2 i dipiramid specia 1 (n cazul vezuvianului (silicat natural hidratat de calciu si aluminiu) figura 51).

Figura 51. Pinacoid bazal + prism specia 1 i specia 2 + dipiramid specia 1 (vezuvian)[Popa, 1965]

1.6.5. Sistemul cubic Paralelipipedul elementar este cubul care respect urmtoarele condiii: a=b=c = = = 900 Este sistemul cu simetria cea mai ridicat (izometric).

a) b) c) Figura 52. a) suprafaa desfurat a unui sistem cubic, b) unitatea elementar i c) axele cristalografice ale sistemului cubic

Elementele geometrice, de simetrie i formula de simetrie ale cubului sunt: - elemente geometrice: 6 fee (ptrate egale) 12 muchii egale 8 coluri egale - elemente de simetrie: 13 axe (3A4 + 4A3 + 6A2) 9 plane (3 + 6P) 1 centru - formula de simetrie 3A44A36A236PC [Macale, 1996]. Planele principale i secundare de simetrie ale cubului sunt

prezentate n figura 53 (a i b).

a) b) Figura 53. a) plane principale de simetrie la cub; b) plane secundare de simetrie la cub [Popa, 1965]

Formele derivate simple i compuse ale cubului se obin prin modificri aduse diferitelor elemente geometrice. Formele simple sunt formate din acelai fel de fee, iar cele compuse din fee diferite. Modificrile pot fi fcute att colurilor, ct i muchiilor. Modificrile fcute colurilor cubului conduc la obinerea de: - octaedru, - octaedru piramidat (triakisoctaedru), - trigondodecaedru i - hexakisoactaedrul [Macale, 1996]. Octaedrul se obine prin nlocuirea celor 8 colurile ale unui cub cu cte o fa sub forma unui triunghi echilateral. Octaedrul are 8 fee egale, triunghiuri echilaterale, 6 coluri i 12 muchii egale. Magnetitul i fluorita cristalizeaz sub form octaedric (figura 54a).

a) b) c) Figura 54. a) octaedru; b) octaedru piramidal; c) trapezoedru

Triakisoctaedrul (octaedrul piramidal) (figura 54b) rezult prin nlocuirea colurilor cubului cu 3 fee triunghiulare. Are forma unui octaedru pe ale crui fee se afl cte o piramid cu trei fee egale, triunghiuri isoscele. n acest caz numrul feelor este 24. Muchiile triakisoctaedrului sunt de dou tipuri: 12 mai lungi caracteristice

octaedrului i 24 mai scurte ale piramidelor. La fel ca i muchiile i colurile sunt de dou tipuri: 6 caracteristice octaedrului i 8 ale piramidelor (figura 54b). Trapezoedrul se obine prin tierea colurilor cubului i nlocuirea acestora cu 3 fee trapezoidale. El prezint 24 de fee sub form de trapez (figura 54c). Prin nlocuirea celor 8 coluri ale unui cub cu cte 6 fee de forma unor triunghiuri scalene (oarecare) se obine hexakisoctaedrul (figura 55a). Hesakis-octaedrul are 48 de fee. Sub form de hexakisoctaedru cristalizeaz diamantul.