CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ ”SPERANȚE” EDIȚIA A XII-A, 7 MAI 2016

Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 3 ore

CLASA A V-A

SUBIECTUL 1

a) Determinați cifrele a și b cu proprietatea: 7𝑎 + 4𝑏 = 3𝑎2𝑏 .

b) Simplificați fracția: 20152−10132

20162−10142 .

SUBIECTUL 2

Aflați numerele naturale 𝑎𝑏 și 𝑎𝑐 știind că 𝑐 ∙ 𝑎𝑏 − 𝑏 ∙ 𝑎𝑐 = 10 și suma

cifrelor numărului 𝑎𝑏 ∙ 𝑎𝑐 este egală cu unul dintre numerele 𝑎𝑏 sau 𝑎𝑐 .

SUBIECTUL 3

Se dă șirul de numere naturale: 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4,… unde

𝑎1 = 3

𝑎2 = 9 ∙ 10

𝑎3 = 27 ∙ 28 ∙ 29

𝑎4 = 81 ∙ 82 ∙ 83 ∙ 84

...

a) Aflați termenul 𝑎10.

b) Aflați ultima cifră a sumei primilor 2016 termeni ai șirului.

SUBIECTUL 4

a) Aflați numerele naturale x, y, z, t dacă 2016

41= 𝑥 +

1

𝑦+1

𝑧+1𝑡

.

b) Să se arate că numărul 𝐴 = 11𝑛+3 ∙ 5𝑛 + 5𝑛+4 ∙ 11𝑛 + 72 ∙ 5𝑛 ∙ 11𝑛 +

11𝑛+1 ∙ 5𝑛 se divide cu 2016 pentru orice n număr natural.

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ ”SPERANȚE” EDIȚIA A XII-A, 7 MAI 2016

Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 3 ore

CLASA A VI-A

SUBIECTUL 1

Fie a un număr rațional pozitiv. Dacă 10𝑎

11 și

17𝑎

18 sunt numere

naturale, arătați că a este un număr natural.

SUBIECTUL 2

Determinați numerele raționale pozitive x, y, z, t știind că

𝑥2 + 𝑦2 + 3𝑧2 + 31𝑡2 = 2016, x și y sunt direct proporționale cu 9 și 12, z și t

sunt invers proporționale cu 6 și 15 iar 𝑦 =4

5 z .

SUBIECTUL 3

În ∆𝐴𝐵𝐶 se dă: 𝐵𝐶 = 2𝐴𝐵, 𝑚 𝐴𝐶𝐵 = 300, 𝐶𝐶′ este bisectoarea

unghiului 𝐴𝐶𝐵 (C’ ϵ (AB)) ,𝐴𝐷 ⊥ 𝐶𝐶 ′ 𝐷𝜖𝐶𝐶 ′ și 𝐴𝐷 = 4𝑐𝑚. Să se calculeze

lungimea segmentului 𝐶𝐶′).

SUBIECTUL 4

Fie ∆𝐴𝐵𝐶 ascuțitunghic și neechilateral la care construim de aceeași

parte a dreptei 𝐵𝐶 triunghiurile echilaterale 𝐴𝐵𝑀, 𝐵𝐶𝑁 și 𝐴𝐶𝑃 astfel încât

M și C de o parte și de alta a dreptei AB iar P și B de o parte și de alta a

dreptei AC. Demonstrați că:

a) 𝐴𝑀) ≡ 𝑁𝑃);

b) 𝑀𝑁) ≡ 𝐴𝑃).

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ ”SPERANȚE” EDIȚIA A XII-A, 7 MAI 2016

Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 3 ore

CLASA A VII-A

SUBIECTUL 1

Determinați perechile 𝑎, 𝑏) de numere naturale pentru care numărul 2𝑎−𝑏

2+𝑎𝑏 este natural nenul.

SUBIECTUL 2

Avem scrise numerele naturale 1; 2; 3; ... . Eliminăm din acest șir o

parte dintre numere după următorul procedeu: sărim primul număr și

tăiem pe următoarele două, sărim următoarele trei numere și tăiem pe

următoarele patru și continuăm în același mod sărind următoarele cinci

numere și tăind pe următoarele șase și așa mai departe.

Justificați dacă 2016 este tăiat sau nu.

SUBIECTUL 3

Fie dreptunghiul ABCD și 𝐴𝑃 ⊥ 𝐵𝐷 𝑃 ∈ 𝐵𝐷 , 𝐴𝑃 ∩ 𝐷𝐶 = 𝑁 ,

𝐴𝑃 ∩ 𝐵𝐶 = 𝑀 . Să se arate că 𝑁𝐶

𝐶𝐷∙𝑀𝑃

𝑀𝐶∙𝐵𝐷

𝐵𝐴= 1.

SUBIECTUL 4

Pătratul ABCD cu 𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐷 = 𝐸 , 𝐺 ∈ 𝐷𝐶 și 𝐵𝐺 ∩ 𝐴𝐶 = 𝐹 . Dacă

𝐶𝐺 = 2 2𝑐𝑚 și 𝐸𝐹 = 2𝑐𝑚, calculați:

a) 𝐴∆𝐴𝐷𝐸 ;

b) 𝐴∆𝐵𝐸𝐹 ;

c) 𝐴𝐷𝐸𝐹𝐺 .

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ ”SPERANȚE” EDIȚIA A XII-A, 7 MAI 2016

Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 3 ore

CLASA A VIII-A

SUBIECTUL 1

Determinaținumerele iraționale r pentru care p = r2 – 2r – 3 și q = r3 –

5r – 6 sunt raționale.

SUBIECTUL 2

Se consideră expresiile P(x) = 7x4 – 28x + 23, Q(x) = – 2x4 + 64x – 94,

definite pentru orice x număr real.

a) Să se afle cea mai mică valoare a lui P(x).

b) să se afle cea mai mare valoare a lui Q(x).

c) Să se rezolve în ℝ ecuația: 7x4 – 28x + 2y4 – 64y + 117 = 0.

SUBIECTUL 3

Să se arate că dacă într-un paralelipiped dreptunghic diagonala d este

cel mult egală cu unitatea, atunci aria totală S a acestui paralelipiped este

cel mult egală cu două unități pătratice. Când aria este egală cu 2?

SUBIECTUL 4

Piramida VABCD are baza ABCD un trapez isoscel cu proprietatea că

lungimea uneia dintre laturile neparalele este egală cu media aritmetică a

bazelor trapezului. Înălțimea piramidei are piciorul în mijlocul segmentului

determinat de mijloacele bazelor trapezului și are lungimea de 4 cm. Dacă

înălțimea trapezului este de 6 cm, demonstrați că raportul numerelor ce

reprezintă aria laterală și volumul piramidei este 5

4 .