Concursul Gazeta Matematic a ˘si Etapa ... · PDF fileConcursul Gazeta Matematic a ˘si Etapa...
1
Concursul Gazeta Matematic˘ as ¸i ViitoriOlimpici.ro Etapa final˘ a Cˆ ampulung Muscel, 15 august 2017 Clasa a VIII-a Problema 1. Prisma dreapt˘ a A 1 A 2 ...A n A 0 1 A 0 2 ...A 0 n , n ∈ N, n ≥ 3, are ca baz˘ a un poligon convex. S ¸tiind c˘ a A 1 A 0 2 ⊥ A 2 A 0 3 , A 2 A 0 3 ⊥ A 3 A 0 4 , ...,A n-1 A 0 n ⊥ A n A 0 1 , A n A 0 1 ⊥ A 1 A 0 2 , demonstrat ¸ic˘a: a) n = 3; b) prisma este regulat˘ a. ViitoriOlimpici.ro Problema 2. a) Pentru a, b, c ≥ 0 cu a + b + c = 3, aflat ¸i valoarea maxim˘a a expresiei a + ab + abc. b) Pentru a, b, c, d ≥ 0 cu a + b + c + d = 3, aflat ¸i valoarea maxim˘a a expresiei a + ab + abc + abcd. Problema 3. Care este num˘arul maxim de cai care se pot a¸ seza pe o tabl˘ a de ¸ sah astfel ˆ ıncˆ at fiecare cal s˘ a fie atacat de exact un alt cal aflat pe tabl˘ a? 1
Transcript of Concursul Gazeta Matematic a ˘si Etapa ... · PDF fileConcursul Gazeta Matematic a ˘si Etapa...
Concursul Gazeta Matematica si ViitoriOlimpici.roEtapa finala
Campulung Muscel, 15 august 2017
Clasa a VIII-a
Problema 1. Prisma dreapta A1A2 . . . AnA′1A′2 . . . A
′n, n ∈ N, n ≥ 3, are ca baza
un poligon convex. Stiind ca A1A′2 ⊥ A2A
′3, A2A
′3 ⊥ A3A
′4, . . . , An−1A
′n ⊥ AnA
′1,
AnA′1 ⊥ A1A
′2, demonstrati ca:
a) n = 3;b) prisma este regulata.
ViitoriOlimpici.ro
Problema 2. a) Pentru a, b, c ≥ 0 cu a + b + c = 3, aflati valoarea maxima aexpresiei a + ab + abc.b) Pentru a, b, c, d ≥ 0 cu a + b + c + d = 3, aflati valoarea maxima a expresieia + ab + abc + abcd.
Problema 3. Care este numarul maxim de cai care se pot aseza pe o tabla de sahastfel ıncat fiecare cal sa fie atacat de exact un alt cal aflat pe tabla?
1
