REPREZENTAREA UNIFICATĂ A COMPUTERILOR CUANTICI ȘI TRADIȚIONALI ÎN

SPAȚIUL HILBERT DISCRET

Natalia Gubceac –masterand, Facultatea de Fizică și Inginerie, Catedra Fizică Teoretică, USMViorel Enachi, cond. știintific, conf. univ., Catedra Fizică Teoretică, USM

Computerul tradiţional (clasic) a fost conceput de Alan Turing în anul 1936, întroducând

conceptul de mașină Turing virtuală. Mai tîrziu Newmann a înlocuit operatiile mașinii Turing cu

porțile logice. O poartă logică este un circuit electronic care implementează, în calculatoarele

clasice, o operaţie logică care transformă o stare de n-biţi de la intrare, într-o ieșire de m-biţi.

Operaţia logică este numită Booleană dacă acţionează doar asupra valorilor logice 0 și 1. Altfel

spus, funcţia Booleeană este o aplicaţie între valorile logice de intrare şi cele de ieşire:

numită şi tabelul adevărurilor. Dacă n și m se știe, atunci există tabele de

adevăr. Tabele de adevăr pot fi clasificate din punct de vedere informaţional ca fiind ireversibile (

) şi reversibile ( ) respectând univocitatea. Respectiv, computerele pot fi ireversibile sau

reversibile. Cele ireversibile sunt computerele tradiţionale, iar computerele cuantice pot fi nu numai

reversibile cât și ireversibile. Matematic, orice computer cuantic este descris de matrice unitare în

spatiul Hilbert discret.

Ideea este de a demonstra reprezentarea unificată a computerilor tradiționali și cuantici în

spațiul Hilbert discret [1]. În acest scop vom reprezenta bitul sau prin matrice în subspaţiul real

Hilbert - bidimensional: , , unde reprezintă transpunerea. Luînd în

considerație notațiile lui Dirac, biții 0 și 1 pot fi reprezentaţi ca vectori Bra şi Ket :

, și , . În caz general, atât vectorul Ket cât și vectorul

Bra compus din n biți, se va reprezenta prin matrice în spaţiul dimensional. La fel se definește şi

produsul diadic între vectorul Ket dimensional şi vectorul Bra dimensional:

, care este o matrice ( ). Deoarece întreg computerul este un dispozitiv

digital descris de o funcție logică Booleană data, atunci el poate fi privit din punct de vedere

matematic, ca o transformare determinată din sistemul de ecuații

, care poate fi numită ecuația diadică a computerului. Soluția ecuației diadice a computerului, sau

matricea este: , și , ,

sunt biţii de intrare şi respectiv de ieșire exprimaţi prin

produsul direct. Suma se efectuiează după toate valorile lui , iar este matrice de dimensiunea

. Numarul total de matrice posibile este -un numar foarte mare. Cu ajutorul matricii

pot fi obţinute reprezentările matriceale pentru orice dispozitive digitale și algoritmi. Matricea

poate servi ca reprezentare matriceală a computerului ireversibil tradițional, daca . În cazul

când , matricea reprezintă computerul tradiţional reversibil şi parţial pe cel cuantic

reversibil, cu condiţia că matricea să fie obligatoriu unitară. Reţeaua alcatuită din aceste matrice

unitare şi alte matrice unitare specifice, reprezintă computerul cuantic reprezentat prin matricea

unitara . Intrările, în computerele cuantice reversibile, pot fi qubiţii de superpoziţie simultană

, a şi b fiind numere complexe care satisfac condiţia de normare

, dacă și sau și , atunci se revine la conceptul de bit. Conceptul de

reprezentare matricială a computerilor tradiţionali şi cuantici poate fi utilizat la proiectarea

arhitecturii reţelei echivalente computerelor, reprezentând prin matrice elementele reţelelor fizice,

cum ar fi firele fizice, ramificările, copierea, porţile logice, etc. Un dispozitiv digital ireversibil sau

reversibil și cuantic poate fi reprezentat ca produs de matrice . Însă același dispozitiv poate fi

reprezentat direct prin matricea care descrie tabelul de adevăruri pentru numarul de biți la intrare

și ieșire definit. Asta ar însemna că funcțiile Booleene respective alcătuiesc un grup reprezentat prin

matricele . De exemplu în Fig. 1 este reprezentată arhitectura sumatorului integral pe doi biți,

elementele căruia sunt reprezentate prin matrice . Din tabelele de adevăruri se obține

reprezentarile: semisumator (Half Adder)- : ( ); OR- ( ). În final se obține

altă

matrice -matricea sumatorului integral (

).

În mod analog se obține matricea , unitară

deja, pentru semisumatorul pe 2 qubiți

(Fig.2) alcătuit din 2 elemente convențional

numite Control- NOT (al doilea element din

fig.2.) și Control-Control-NOT (primul element din fig.2.).

În final putem spune că computerile tradiționale și cele cuantice pot fi reprezentate prin matrice.

1.Viorel Enachi. MATRIX REPRESENTATION OF TRADITIONAL AND QUANTUM COMPUTING IN 2n –DIMENSIONAL HILBERT VECTOR SPACE- Hn. International scientific conference dedicated to the 65 Anniversary of the Moldova State University,Chisinau, September 21-22 , 2011. “The Impact of research and development on the Innovation Capacity” vol 2, Natural and Exact Scinces, CEP USM, Chisinau, 2011, pp. 86-90.

Fig.1 Sumator integral ireversibil pe 2 biți și matricea corespunzatoare

Fig.2.Semisumator cuantic(reversibil) pe 2-qubiți reprezentat prin matricea unitară .