Postulatele Mecanicii Cuanticeandreea.arusoaie/QC/QC3.pdf · 2021. 1. 4. · Postulatele Mecanicii...

Quantum Computing

Postulatele Mecanicii Cuantice

Andreea Arusoaie

October 19, 2020

1 / 26


2 / 26


Sunt patru postulate ce guverneaza mecanica cuantica:

I Postulatul 1: Definitia unui bit cuantic, sau a unui qubit. - Statica

I Postulatul 2: Cum se transforma qubitul (cum evolueaza). -Dinamica

I Postulatul 3: Efectul masurarii unui qubit. - Masurare

I Postulatul 4: Cum se combina qubitii ın sisteme de qubiti.

3 / 26

Postulatul 1

Enunt: Oricarei stari fizice posibile a unui sistem cuantic ıi corespundeun vector de lungime 1 din spatiul Hilbert si invers, oricarui vector dinspatiul Hilbert ıi corespunde o stare fizica posibila a sistemului.

- fiecarui sistem fizic ıi este asociat un spatiu Hilbert complex, numitspatiul starilor sistemului.

- sistemul este descris de un vector de stare, care este un vectornormat din spatiu.

4 / 26

Exemplu: Bitul cuantic

Consideram spatiul vectorial complex C2 ınzestrat cu un produs scalarcomplex. (adica un spatiu Hilbert complex de dimensiune 2)

Fie |0〉, |1〉 ∈ C2, |0〉 =

(10

), |1〉 =

(01

). Atunci starile |0〉 si |1〉

formeaza o baza.

Prin urmare, orice combinatie liniara de stari, sau orice superpozitie deforma

|ψ〉 := α|0〉+ β|1〉 (1)

apartine spatiului, unde α, β ∈ C.

Daca vectorul |ψ〉 este de norma 1, adica are loc

〈ψ|ψ〉 = 1⇒ |α|2 + |β|2 = 1,

vom numi starea |ψ〉 definita de (1), bit cuantic sau qubit.

5 / 26

Bitul cuantic

Observatii:

I baza {|0〉, |1〉} se numeste baza computationala, iar informatiile vorfi stocate de catre numerele complexe α si β: un singur qubit poatecodifica o cantitate infinita de informatie.

I pentru a putea extrage informatia ar trebui sa efectuam omasuratoare asupra qubitului;

I daca ne raportam la baza computationala, ın urma masuratorii vomobtine starea |0〉 cu probabilitatea p(0) = |α|2 sau starea |1〉 cuprobabilitatea p(1) = |β|2

6 / 26

Bitul cuantic

Observatie:

Definim starile |+〉 si |−〉 astfel

|+〉 =1√2

(11

)si |−〉 =

1√2

(1−1

).

I starile |±〉 pot fi scrise ca o combinatie liniara de elemente din bazacomputationala {|0〉, |1〉};

I starea |0〉 este o superpozitie de |+〉 si |−〉

|0〉 =1√2|+〉+

1√2|−〉.

7 / 26

Qubitul

Un qubit poate fi vizualizat si ca unvector unitate ın plan, ınsa, ın gen-eral, α si β sunt numere complexe.In plus, cum |α|2 + |β|2 = 1, putemparametriza amplitudinile qubitului

α = cosθ

2, β = e iϕ sin

θ

2,

obtinand

|ψ〉 = cosθ

2|0〉+ e iϕ sin

θ

2|1〉.

8 / 26

Reprezentarea pe sfera lui Bloch a unui qubit

• O stare a unui bit clasic ar trebui safie fie la “Polul Nord” sau fie la “PolulSud” al sferei.

• O stare a unui bit cuantic poate fireprezentata de orice punct de pesuprafata sferei.

Daca vom considera starea

|ψ〉 = α|0〉+ β|1〉

undeα = cos

θ

2,

β = e iφ sinθ

2,

atunci exista o corespondenta bijectiva ıntrequbitii de forma |ψ〉 si punctele de pe sferaunitate din R3, unde θ si ψ sunt coordonatelesferice ale unui punct.

Sfera lui Blochhttps://en.wikipedia.org/wiki/Qubit

9 / 26

Exemplu:

Modelul atomului de hidrogen (a se vedea [1] )

Un exemplu concret (dar nu usor de imple-mentat fizic) de implementarea a unui qubiteste prin considerarea starilor unui electroncare orbiteaza ın jurul unui nucleu (modelulatomului de hidrogen).

In acest model al atomului, electronul poateexista ıntr-una din urmatoarele doua stari:starea de baza notata cu |0〉, sau starea ex-citata, notata cu |1〉.Prin bombardarea atomului cu fotoni avand o anumita energie, pe durataunui interval de timp, este posibil ca electronul sa treaca din starea |0〉 ınstarea |1〉. Procesul invers este de asemenea posibil.

Un alt lucru interesant este faptul ca prin reducerea timpului de expunerela jumatate, electronul, aflat initial ın starea |0〉, este trecut ın starea |+〉,aflata la “jumatatea distantei ” ıntre |0〉 si |1〉.

10 / 26

Bitul cuantic

Care este cantitatea de informatie reprezentata de un qubit?

I Cum α, β ∈ C, cu |α|2 + |β|2 = 1, pot lua o infinitate de valoricomplexe, s-ar parea ca un qubit reprezinta o cantitate de informatieinfinita.

FALS!

I Masura care intereseaza este cantitatea de informatie ce poate fiobservata.

I Prin masurarea qubitului obtin una din cele doua valori; mai mult,dupa masurare starea qubitului se schimba.

I Daca s-a masurat valoarea 0, starea qubitului dupa masurare va fi|0〉, iar daca s-a masurat valoarea 1, starea qubitului dupa masurareeste |1〉;

I Efectuand o singura masurare asupra unui qubit vom obtine unsingur bit de informatie despre starea qubitului.

I Determinarea exacta a starii se poate face numai daca s-ar puteaefectua o infinitate de masuratori asupra unei infinitati de qubiti,preparati identic.

11 / 26

Bitul cuantic

Care este cantitatea de informatie reprezentata de un qubit?

I Cum α, β ∈ C, cu |α|2 + |β|2 = 1, pot lua o infinitate de valoricomplexe, s-ar parea ca un qubit reprezinta o cantitate de informatieinfinita. FALS!

I Masura care intereseaza este cantitatea de informatie ce poate fiobservata.

I Prin masurarea qubitului obtin una din cele doua valori; mai mult,dupa masurare starea qubitului se schimba.

I Daca s-a masurat valoarea 0, starea qubitului dupa masurare va fi|0〉, iar daca s-a masurat valoarea 1, starea qubitului dupa masurareeste |1〉;

I Efectuand o singura masurare asupra unui qubit vom obtine unsingur bit de informatie despre starea qubitului.

I Determinarea exacta a starii se poate face numai daca s-ar puteaefectua o infinitate de masuratori asupra unei infinitati de qubiti,preparati identic.

11 / 26

Postulatul 2: Evolutia sistemelor cuantice

Enunt: Evolutia sistemelor cuantice este descrisa de transformari unitare.Altfel spus, starea |ψ〉 a sistemului la momentul t1 este legata de stareasistemului la momentul t2, notata |ψ′〉, printr-un operator unitar U cedepinde doar de t1 si t2.

|ψ′〉 = U|ψ〉

Observatii:

I U nu depinde de |ψ〉;I vom vedea mai tarziu ca daca U ar putea depide de |ψ〉, atunci

calculatoarele cuantice ar putea rezolva foarte usor problemeNP-complexe.

I U este unitar daca U†U = UU† = I .

Exemplu:

Fie |ψ〉 = α|0〉+ β|1〉, si U =

(0 11 0

). Determinati starea |ψ′〉.

12 / 26

Postulatul 2’

I O alta varianta, mai “rafinata” a postulatului 2, descrie evolutiasistemelor cuantice ın cazul ın care timpul este continuu.

Enunt: Evolutia ın timp a unui sistem cuantic este descrisa de ecuatialui Schrodinger

i~d |ψ〉dt

= H|ψ〉,

unde

I ~ - este o constanta din fizica, numita constanta lui Plank, a careivaloare este determinata experimental;

I H - este un operator Hermitic, numit Hamiltonianul sistemului.

I Rezolvand ecuatia diferentiala de mai sus se obtine

U(t1, t2) ≡ exp

[−iH(t2 − t1)

~

].

13 / 26

Postulatul 3: Masurabilitate

Enunt: Masuratorile cuantice sunt descrise de o colectie {Mn} deoperatori de masurare.

Acesti operatori actioneaza asupra spatiului starilor. Indexul n reprezintaindexul observabilei. Vom nota cu M multimea observabilelor.

Daca starea sistemului este |ψ〉, atunci, dupa masurare, probabilitatea saapara indexul m este data de

p(n) = 〈ψ|M†nMn|ψ〉.

In plus, starea sistemului dupa masurare va fi

|ψn〉 =Mn|ψ〉√〈ψ|M†

nMn|ψ〉

14 / 26

Postulatul 3: Masurabilitate

Operatorii de masurare satisfac ecuatia de completitudine∑n∈M

M†nMn = I .

In plus, ecuatia de completitudine implica si ca suma probabilitatilor este1, adica: ∑

n∈M

p(n) =∑n∈M

〈ψ|M†nMn|ψ〉 = 〈ψ|I |ψ〉 = 1.

15 / 26

Masurarea qubitului ın baza computationala

Masurarea unui qubit are doua rezultate descrise de doi operatori,M0,M1 definiti de

M0 = |0〉〈0|

M1 = |1〉〈1|

I Operatorii M0,M1 sunt Hermitieni (verificati!), iar

M20 = M0, M

21 = M1.

I Are loc relatia de completitudine I = M†0M0 + M†

1M1 = M0 + M1.

16 / 26

Masurarea qubitului ın baza computationalaDaca presupunem ca starea de masurat este |ψ〉 = α|0〉+ β|1〉.I Probabilitatea sa obtinem dupa masurare 0 este

p(0) = 〈ψ|M†0M0|ψ〉 = 〈ψ|M0|ψ〉 = |α|2.

Analog, se obtine ca p(1) = |β|2.

I Starea sistemului dupa masurare este

|ψ0〉 =M0|ψ〉√〈ψ|M0|ψ〉

=M0|ψ〉|α|

=α

|α||0〉,

|ψ1〉 =M1|ψ〉√〈ψ|M1|ψ〉

=M1|ψ〉|β|

=β

|β||1〉,

I Regula lui Born:

Daca avem starea cuantica |ψ〉, iar {|ϕ1〉, |ϕ2〉, . . . , |ϕn〉} o bazaortonormala, atunci putem masura |ψ〉 ın raport cu aceasta baza.Probabilitatea sa masuram starea |ϕi 〉 este data de formula:

P(|ϕ〉) = |〈ϕi |ψ〉|2.

17 / 26

Postulatul 3: Masurarabilitate - alta abordare

Cantitatile observabile sunt descrise de operatori liniari A, care suntHermitieni.

Operatorul A admite descompunere spectrala

A =∑n

λn|un〉〈un|,

unde

I λn sunt valori proprii reale, care sunt valorile posibile aleobservabilelor;

I |un〉 sunt vectorii proprii asociati valorilor proprii λn care verificarelatia

A|un〉 = λn|un〉

{|un〉} formeaza o baza ın spatiul Hilbert.

18 / 26

Postulatul 3: Masurarabilitate - alta abordare

I Probabilitatea sa obtinem rezultatul λn din masurarea starii |ψ〉 este

p(λn) = 〈ψ|(|un〉〈un|)|ψ〉 = |〈un|ψ〉|2,

iar〈ψ|A|ψ〉 = Tr [|ψ〉〈ψ|A].

19 / 26

Produsul Tensorial

Fie H1,H2 doua spatii Hilbert de dimensiune n, respectiv m. Atunci,produsul tensorial H1 ⊗H2 este un spatiu Hilbert, mai mare, dedimensiune m · n.

Daca |ψ1〉 ∈ H1 si |ψ2〉 ∈ H2, atunci produsul tensorial un vectorψ1〉 ⊗ |ψ2〉 din H1 ⊗H2.Produsul tensorial este caracterizat deurmatoarele proprietati:

• Pentru orice c ∈ C, |ψ1〉 ∈ H1 si |ψ2〉 ∈ H2, avem

c(|ψ1〉 ⊗ |ψ2〉) = (cψ1〉)⊗ |ψ2〉 = ψ1〉 ⊗ (c |ψ2〉);

• Pentru orice |ψ1〉, |ϕ1〉 ∈ H1 si |ψ2〉 ∈ H2, are loc

(|ψ1〉+ |ϕ1〉)⊗ |ψ2〉 = |ψ1〉 ⊗ |ψ2〉+ |ϕ1〉 ⊗ |ψ2〉;

• Pentru orice |ψ1〉 ∈ H1 si |ψ2〉, |ϕ2〉 ∈ H2, are loc

|ψ1〉 ⊗ (|ψ2〉+ |ϕ2〉) = |ψ1〉 ⊗ |ψ2〉+ |ψ1〉 ⊗ |ϕ2〉.

21 / 26

Produsul Tensorial

Daca A,B sunt operatori liniari pe H1, respectiv pe H2, atunci A⊗ Beste un operator liniar peste H1 ⊗H2 definit prin

(A⊗ B)(|ψ1〉 ⊗ |ψ2〉) ≡ A|ψ1〉 ⊗ B|ψ2〉. (2)

Daca presupunem ca {|bi 〉}i=1,n este o baza ortonormala pentru H1, iar{|cj〉}j=1,m este o baza ortonormala pentru H2, atunci

{|bi 〉 ⊗ |cj〉}i=1,n,j=1,m

este o baza ortonormala pentru spatiul H1 ⊗H2.

Astfel, putem extinde liniar (2) peste toate elementele spatiului H1 ⊗H2:

(A⊗ B)

∑i,j

λij |bi 〉 ⊗ |ci 〉

≡∑i,j

λijA|bi 〉 ⊗ B|cj〉.

22 / 26

Produs Tensorial - reprezentarea matriceala

Daca avem A o matrice de tipul m × n si B o matrice de tip p × q,atunci A⊗ B este o matrice de tip m · p × n · q

A⊗B =

A11B11 . . . A11B1q . . . . . . A1nB11 . . . A1nB1q

......

......

......

......

A11Bp1 . . . A11Bpq . . . . . . A1nBp1 . . . A1nBpq

......

......

......

......

Am1B11 . . . Am1B1q . . . . . . AmnB11 . . . AmnB1q

......

......

......

......

Am1Bp1 . . . Am1Bpq . . . . . . AmnBp1 . . . AmnBpq

23 / 26

Produs Tensorial

Notatie: Uneori vom omite simbolul ⊗ din expresii si vom scrie

|ψ〉 ⊗ |ϕ〉 ←→|ψϕ〉

Exemplu:

Fie |ψ1〉, |ψ2〉 ∈ C2, cu

|ψ1〉 = α1|0〉+ α2|1〉, |ψ2〉 = β1|0〉+ β2|1〉, α1, α2, β1, β2 ∈ C.

Atunci reprezentarea matriceala a lui

|ψ1ψ2〉not= (α1|0〉+ α2|1〉)⊗ (β1|0〉+ β2|1〉)

este (α1

α2

)⊗(β1β2

)=

α1β1α1β2α2β1α2β2

24 / 26

Postulatul 4

Enunt: Spatiul starilor unui sistem fizic compus este produsul tensorial alspatiilor starilor componente.

Spre exemplu, daca am n sisteme independente, iar sistemului i se gasesteın starea |ψi 〉, atunci starea sistemului compus se postuleaza ca fiind

|ψsistem〉 = |ψ1〉 ⊗ |ψ2〉 ⊗ |ψ3〉 ⊗ . . .⊗ |ψn〉

Exemplu:

Fie |ψ1〉, |ψ2〉 ∈ C2, |ψ1〉 = α1|0〉+ α2|1〉, |ψ2〉 = β1|0〉+ β2|1〉.Atunci

|ψ1ψ2〉 = α1β1|0〉 ⊗ |0〉+ α1β2|0〉 ⊗ |2〉+ α2β1|1〉 ⊗ |0〉+ α2β2|1〉 ⊗ |1〉= α1β1|00〉+ α1β2|01〉+ α2β1|10〉+ α2β2|11〉.

25 / 26

Referinte

1 E. Rieffel, An introduction to Quantum Computing for Non-Psysicists,ACM Computing Surveys, Vol 32, 2000.

2. M.A. Nielsen and I.L. Chuang, Quantum Computation and QuantumInformation,

26 / 26

Postulatele Mecanicii Cuanticeandreea.arusoaie/QC/QC3.pdf · 2021. 1. 4. · Postulatele Mecanicii...

Documents

Transcript of Postulatele Mecanicii Cuanticeandreea.arusoaie/QC/QC3.pdf · 2021. 1. 4. · Postulatele Mecanicii...