cnc7

Lector univ. dr. Cristina Nartea

1

Cursul 7

Spaii euclidiene.

Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate

Produs scalar. Spaii euclidiene. Definiii. Exemple.

Definiia1. Fie E un spaiu vectorial real. Se numete produs scalar pe E o aplicaie (x, y) : E E dac: 1) = , x, y E. 2) = + , x, y, z E. 3) = , x,y E, . 4) 0, x E i = 0 x = 0E .

Definiia 2. Se numete spaiu euclidian orice spaiu vectorial real nzestrat cu un produs scalar.

Proprieti: n orice spaiu euclidian (E,), au loc urmtoarele proprieti:

1) = + , x,y,z E. 2) = , x,y E, . 3) < x, 0E > = 0, x E.

Demonstraie.

1. (1) (2) (1)

, , , , , , .x y z y z x y x z x x y x z

2. (1) (3) (1)

, , , , .x y y x y x x y

3. (1) (3)

, , , 0 , 0.E Ex O O x O x x x x

Exemplul 1. Spaiul vectorilor liberi 3V nzestrat cu produsul scalar obinuit

, cos ,x y x y x y x y este spaiu euclidian.

Exemplul 2. Spaiul n nzestrat cu urmtorul produsul scalar formeaz spaiu euclidian

1 11

, , , , , , ,n

n n

i i n n

i

x y x y x x x y y y

.

Exemplul 3. Spaiul ,C a b al funciilor reale continue pe intervalul ,a b nzestrat cu urmtorul produs scalar formeaz spaiu euclidian


2

, ( ) ( ) , , , .b

a

f g f x g x dx f g C a b (1.1)

Teorema 1. (Cauchy-Buniakovski-Schwartz) Dac , ,E este un spaiu euclidian, atunci

2, , , , , .x y x x y y x y E (1.2)

Aplicaia 1. Fie 2V spaiu vectorial real, iar 1 2,x x x i 1 2,y y y doi vectori din acest

spaiu. S se arate ca aplicaia 2 2, : , 1 1 2 2,x y x y x y este produs scalar.

Soluie. Verificm axiomele produsului scalar

1) 1 1 2 2,x y x y x y , 1 1 2 2,y x y x y x . Deci = , x, y 2 .

2) 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2, ( , ),( , ) ( ) ( )x y z x y x y z z x y z x y z

1 1 1 1 2 2 2 2x z y z x z y z 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( )x z x z y z y z , , ,x z y z x, y, z 2 .

3) 1 2 1 2 1 2 1 2, = ( , ),( , ) ( , ),( , )x y x x y y x x y y

1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ,x y x y x y x y x y , x 2 , .

4) 2 21 2, + 0x x x x , x 2 i

2

2 2

1 2 1 2, 0 + 0 0 (0,0) 0x x x x x x x .

Norma. Spaii normate. Definiii. Exemple.

Definiia 3. Se numete norma unui vector oarecare din spaiul vectorial real V

aplicaia :V , care ndeplinete urmtoarele proprieti

1) 0,x x V i 0 0 ;Vx x

2) , , ;x x x V

3) , ,x y x y x y V (inegalitatea triunghiului).

Spaiul V pe care s-a definit o norm se numete spaiu vectorial normat. Propoziia 1. Fie E spaiu euclidian real. Atunci

,x x x (1.3)

este o norm i se numete norma euclidian.

Demonstraie. Verificm c ,x x x verific axiomele normei.

1) , 0;x x x 0 , 0 , 0 0 ;Ex x x x x x


3

2) 2 2, , , , , ;x x x x x x x x x E

3) 2

, , 2 , ,x y x y x y x x x y y y

22 2

2

CauchyBuniakovskiSchwartz

x x y y x y

, ,x y x y x y E .

Exemplul 4. n spaiul euclidian n , nzestrat cu produsul scalar

1 11

, , , , , , ,n

n n

i i n n

i

x y x y x x x y y y

,

norma revine la

2

1

n

i

i

x x

. (1.4)

Definiia 4. Fie E un spaiu euclidian. Atunci ,d x y x y este o distan (sau metric). Definiia 5. Fie E un spaiu euclidian, iar x, y E doi vectori nenuli. Definim unghiul dintre

cei doi vectori:

,cos , .x yx yx y

(1.5)

Aplicaia 2. Gsii norma vectorului 2(3,4)v n raport cu produsul scalar uzual (norma

euclidian).

Soluie. 2 23 4 25 5.v

Aplicaia 3. Fie V spaiul vectorial al polinoamelor cu produsul scalar 1

0

, ( ) ( )f g f t g t dt .

Fie ( ) 2f t t i 2( ) 2 3g t t t . Gsii

i) ,f g ;

ii) f .

Soluie.


4

i) 1 1

2

0 0

, ( ) ( ) ( 2) ( 2 3)f g f t g t dt t t t dt =1

3

0

14 2

( 7 6) 7 6

4 20

t tt t dt t

37

4 .

ii) 1 1

2

0 0

19, ( ) ( ) ( 2) ( 2)

3f f f f t f t dt t t dt

19

3f .

Ortogonalitate. Baze ortogonale.

Definiia 6. ntr-un spaiu euclidian E, doi vectori oarecare x, y E se numesc ortogonali

dac =0 . Pentru ortogonalitate folosim notaia x y .

Teorema 2. Orice sistem finit de vectori nenuli 1 2, , , px x x dintr-un spaiu euclidian E,

ortogonali doi cte doi, este liniar independent.

Definiia 7. O baz 1 2, , , ne e e a unui spaiu euclidian E se numete ortogonal dac i je e pentru

orice i j . Dac n plus 1, 1,ie i n , baza se numete ortonormat.

n concluzie, o baz este ortonormat dac i numai dac

0

, .1

i j ij

pentru i je e

pentru i j

Aplicaia 4. Normalizai vectorul 2,1, 1u din 3 .

Soluie. 2 2 22 1 ( 1) 6u . Vectorul normalizat este 1 2 1 1

, ,6 6 6

uu

.

Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt

Teorema 3. n orice spaiu euclidian E finit dimensional exist o baz ortonormat.

Demonstraie. Fie 1 2, , , nB e e e o baz a lui E.

I. Se construiete baza 1 2, , , nF f f f ortogonal.

1 1f e

2 2 21 1f e f . Se alege 21 astfel nct 1 2, 0f f .


5

1 21 2 1 2 21 1 1 21

1 1

,, 0 , , 0

,

f ef f f e f f

f f

.

3 3 31 1 32 2f e f f . Se aleg 31 i 32 astfel nct 1 3, 0f f i 2 3, 0f f .

1 3 1 3 31 1 1 32 1 2, 0 , , , 0f f f e f f f f . Dar 1 2, 0f f

1 331

1 1

,

,

f e

f f

2 3 2 3 31 2 1 32 2 2, 0 , , , 0f f f e f f f f . Dar 2 1, 0f f

2 3322 2

,

,

f e

f f

.

Pentru un element oarecare if avem 1 1 2 2 , 1 1i i i i ik k i i if e f f f f i

impunem condiiile , 0 1, 1i kf f k i , iar de aici rezult ,

,

k iik

k k

f e

f f

.

II. Se normeaz baza F i se obine baza ortonormat 1,

' 'i i nB e .

1 1

1

1'e f

f

2 2

2

1'e f

f

1

'i ii

e ff

1

'n nn

e ff

Demonstrm acum c aceti vectori au norma 1. 1 1

' 1, 1, .i i ii i

e f f i nf f


6

Aplicaia 5. Folosind procedeul Gram-Schmidt s se ortonormeze baza B a spaiului euclidian 3

1 2 31,1,1 , 0,1,1 , 0,0,1B e e e .

Soluie.

I. Se construiete baza 1 2 3, ,F f f f ortogonal.

1 1 1,1,1f e

1 22 2 11 1

, 20,1,1 1,1,1

, 3

f ef e f

f f

2 2 2 2 1 10,1,1 , , , ,

3 3 3 3 3 3

.

1 3 2 33 3 1 2

1 1 2 2

, ,

, ,

f e f ef e f f

f f f f

=

1

1 2 1 130,0,1 1,1,1 , ,23 3 3 3

3

1 1 1 1 2 1 1

0,0,1 , , , ,3 3 3 2 3 3 3

1 1 2 1 1 1 1 1, , , , 0, ,

3 3 3 3 6 6 2 2

.

II. Se normeaz baza F i se obine baza ortonormat 1,

' 'i i nB e .

1 1

1

1 1 1 1' , ,

3 3 3e f

f

;

2 2

2

1 2 1 1' , ,

6 6 6e f

f

;

31 1 1

' 0, ,2 2

i

i

e ff

.

Baza ortonormat este 1 1 1 2 1 1 1 1

' , , , , , , 0, ,3 3 3 6 6 6 2 2

B

.

Definiia 8. Fie v i w doi vectori nenuli. Se numete proiecia lui v pe w 2

,w

v wpr v w

w

.

Aplicaia 6. Gsii proiecia lui v pe w dac 1, 1,2v i 0,1,1w din 3 .


7

Soluie. wpr v 2, 1 1 1

0,1,1 0, ,2 2 2

v ww

w

.

Aplicaii.

1. Gsii cosinusul unghiului dintre vectorii 1, 3,2u i 2,1,5v din 3 .

2. S se ortogonalizeze baza

1 2 31,0,2 , 2,1,1 , 0,1,1B e e e . 3. Folosind procedeul Gram-Schmidt s se ortonormeze baza

a) 1 2 31,1,1 , 1,1, 1 , 1, 1, 1B e e e .

b) 1 2 31,0,2 , 1, 1, 1 , 2,1,0B e e e .

4. S se verifice dac 1 2 31,1,1 , 1,1, 3 , 5, 4, 1S u u u este baz ortogonal. S se determine coordonatele lui (3,4, 2)x n aceast baz.

5. S se calculeze distana i unghiul dintre vectorii 1,2, 3,0 , 2,4, 3,1u v .

Tem

1. S se calculeze produsul scalar i normele vectorilor

a) 2,1 , 6,7x y .

b) 1,2,1 , 3, 6,2x y .

c) 3,1,2,5 , 3,0,7,1x y .

2. Folosind procedeul Gram-Schmidt s se ortonormeze baza

a) 1 2 31, 2,2 , 1,0, 1 , 5, 3, 7B e e e .

b) 1 2 31,0,1 , 0,1, 1 , 1,1,1B e e e .


8

Diagonalizarea unei matrice

Definiia 1. Spunem c matricea nA M K are forma diagonal dac A este de forma

1

2

0 0

0 0,

0 0 n

d

dA

d

unde 1 2, , , nd d d K i se noteaz 1 2, , , nA diag d d d .

Definiia 2. Dou matrice , nA B M K se numesc asemenea dac exist o matrice

nC M K inversabil astfel nct 1B C A C .

Definiia 3. Spunem c nA M K este diagonalizabil dac exist o matrice diagonal D

asemenea cu A.

Teorema 1. Vectorii proprii corespunztori la valori proprii distincte sunt liniar independenti.

Definiia 4. Spunem c aplicaia liniar T L V este diagonalizabil dac n V exist o baz

relativ la care matricea lui T este o matrice diagonal.

Observaie. Dac aplicaia liniar T are n valori proprii distincte, atunci exist o baz n care

matricea sa are o form diagonal i pe diagonala principal se gsesc valorile proprii.

Teorema 2. Dac aplicaia liniar T are i vectori proprii liniar independeni, atunci exist o baz

n care matricea asociat lui T are forma diagonal.

Cazul particular al matricelor simetrice

Definiia 5. O matrice nA M se numete simetric dac TA A .

Teorema 3. 1) Orice matrice real i simetric are toate valorile proprii reale.

2) Vectorii proprii ai unei matrice reale i simetrice care corespund la valori proprii distincte sunt

ortogonali ntre ei.

Teorema 4. Orice matrice ptratic real i simetric este diagonalizabil.


9

Exemplu. S se diagonalizeze matricea

7 2 0

2 6 2

0 2 5

A

.

cnc7

Documents

Transcript of cnc7