© 2014

Clasa a VI-a ♦ Matematică ♦ RăspunsuriSăptămâna 1Partea INr. item 1 2 3 4 5

Rez

ulta

te

a) 1, 3, 4, 6, 12

0, 3, 6, 12 3, 6, 9, 18 riglei;

drepte compas

b) 0, 4, 8, 12 0

0, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12,

15, 18

compasului; cercuri riglă şi echer

c) 0, 5 0, 4, 8, 12 {1, 2} echerului;

unghiuririglă, echer şi

compasPartea a II-a1. a) 1 | 1, 1 | 3, 1 | 8, 1 | 10, 1 | 11, 2 | 8, 2 | 10, 5 |10. b) 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35.

2. a) D6 = {1, 2, 3, 6}. Mulţimea divizorilor unui număr natural este finită. b) M5 = {0, 5, 10, 15, 20, ..., 5n, ... }. Mulţimea multiplilor unui număr natural este infinită. c) Da.3. a) Prin translaţia unui pătrăţel. b) Cu ajutorul compasului am desenat 4 semicercuri. c) Am desenat trei semicercuri.

Săptămâna 2Partea INr. item 1 2 3 4 5

Rez

ulta

te

a) 0, 10, 20, 100 18 F C, F, G patrulatere

b) 0, 2, 10, 18, 20, 100 19 + x A A, B,

respectiv D B, C, I

c) 0, 5, 10, 15, 20, 85 1 F E, H E, H

Partea a II-a1. a) 999, respectiv 102; b) 100 002.

2. a) Trebuie să avem 2 + 5 + x multiplu de 3, adică 7 + x = M3. Găsim x Î {2, 5, 8}, iar numerele căutate sunt 252, 255, 258. b) 9996. c) 105.

3. a) B = {, , , , }. b) C = {}.

c) D = {, }. d) E = Æ.

Săptămâna 3Partea INr. item 1 2 3 4 5

Rez

ulta

te

a) A 1 şi 16

0, respec-tiv 1 şi

numărul însuşi

B, D, E, G A, B, C, D, A', B', C', D'.

b) F 2, 4, 8, 16 doi H

AB, BC, CD, DA, A'B', B'C', C'D',

D'A', AA', BB', CC', DD'.

c) A falsă trei paralelipiped dreptunghic

ABCD, A'B'C'D', ABB'A', BCC'B', CDD'C', DAA'D'.

Partea a II-a1. a) Numărul prim trebuie să fie par; singurul număr care convine este 2. Celălalt termen al sumei este 2005. b) Numărul se scrie N = 10n + 1, adică N

n

=100 01... cifre . Pentru n = 3,

obţinem N = 1001 care se divide cu 11, 13 şi 7. Răspunsul este nu.2. a) A = {2, 3, 5, 7, 11, 13}; b) B = {41, 43, 47, 53, 59}; c) C = {77, 78, 80, 81; 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90}.

© 2014

3. a) Figura 1 → paralelipiped dreptunghic, figura 2 → cub.

b)

Săptămâna 4Partea INr. item 1 2 3 4 5

Rez

ulta

te

a) 22 · 32 2, 3, 6 23 · 32 · 72 concurente C

b) 3 · 37 divide 52 · 132 paralele E

c) 25 · 53 · 7 produsul 1 necoplanare [BC, A; [BC, D

Partea a II-a1. a) 56 2 73= ⋅ , 81 34= ; c.m.m.d.c. (56, 81) = 1, deci numerele 56 şi

81 sunt prime între ele. b) 12 2 33= ⋅ , deci 2x nu trebuie să fie divizibil cu 2 şi 3. Găsim x Î {3, 5, 9}.2. a) 21x trebuie să fie divizibil cu 2 şi cu 3. Deci x Î {0, 6}. b) 2007 = 3 2232 ⋅ . c) Avem 6 posibilităţi: 2007 = 1 · 2007; 2007 = 3 · 669; 2007 = 9 · 223; 2007 = 223 · 9; 2007 = 669 · 3; 2007 = 2007 · 1.3. a) Semiplanul [dB are în comun cu dreapta g semidreapta [AB. b)

A BC sau CA B.

c) Ax

BD.

d) Nu. Dacă AB + BC = AC, punctele A, B, C ar fi trebuit să fie coliniare.

Săptămâna 5Partea INr. item 1 2 3 4 5

Rez

ulta

te

a) 6, 12, 18, 24, 30 22 · 53 · 3 4 congruente 10

b) divide 180 6,5 mijlocul 5

c) 36 420 5,8 [AB] = [EF] 3

Partea a II-a1. a) Numărul căutat trebuie să fie multiplu de 2 3 5 73 2, , , adică multiplu de 2 3 5 7 25203 2⋅ ⋅ ⋅ = . Un multiplu de 2520 cuprins între 5000 şi 6000 este 5040. b) n c r= ⋅ +20 1 , 0 ≤ r < 20; n c r= ⋅ +18 2 , 0 ≤ r < 18;

n c r= ⋅ +15 3 , 0 ≤ r < 15. Rezultă n r c− = ⋅20 1 , n r c− = ⋅18 2, n r c− = ⋅15 3, deci n r− este cel mai mic multiplu comun al numerelor 20, 18 şi 15. Obţinem n r n r− = ⇒ = +180 180 . Impunând condiţia r ¹ 0, convine r = 1, deci n = 181.

2. a) n c c c n c c= ⋅ + ≤ < = ⋅ ≤ <17 0 17 18 0 17, . , . Deci Numerele căutate sunt {216, 234, 252, 270, 288}. b) Ştim că:

a b a b

a ba b

, ,

,, ; .

( ) ⋅[ ] =

( ) =

⇒ [ ] = = ⋅ ⋅ ⋅

210

1210 210 2 3 5 7

Găsim a = 10, b = 21. c) 270 < N < 340; N este multiplu de 5; 6; 12; 15. C.m.m.m.c. [5; 6; 12; 15] = 60. Multiplul de 60 cuprins între 270 şi 340 este 300. Deci sunt 300 de participanţi.

3. a) Vezi figura.

d E A O B E'

3 3

3

22

−

−

−

D−C

Fx

− −

b) 2 situaţii. c) Vezi figura. d) [OC] º [OF] şi [OA] º [OB].

© 2014

Săptămâna 6

Partea INr. item 1 2 3 4 5

Rez

ulta

te

a) două semidrepte care au aceeaşi origine 5 42

ACD 70

b) vârful unghiului 7 396 nul 36

c) unghi alungit 6 432 M şi N 77

Partea a II-a1. i) Int COA; ii) Æ; iii) Int COB.2. n – 7 24; n – 7 42; n – 7 63, deci n – 7 = [24, 42, 63] = 504 şi n = 511.3. n = 100 ab + cd = 104 ab = 13 · 8 · ab , deci n 13.

Săptămâna 7

Partea I Nr. item 1 2 3 4 5

Rez

ulta

te

a) unghi ascuţit 1,25 2 40° 1

1500000

b) 180° 0,5 8 120 km

c) măsura mai mare de 90° 4 12 7 cm

Partea a II-a 1. a = 18, b = 24; 2. m(AOC) = 55º, m(COD) = 127º; m(BOD) = 162º.3. 7a = 8b, deci a 8, a = 8k, k ∈ ; 7 · 8k = 8b; b = 7k; (a, b) = k. Din (a, b) · [a, b] = a · b, obţinem k = 4; a = 32 b = 28.

Săptămâna 8

Partea I Nr. item 1 2 3 4 5

Rez

ulta

te

a) proporţie 6 4 62° 22' 9'' 2

b) extremilor 30 75 93° 7' 10'' 3

c) procentual 0 60 16° 7' 27'' 195'

Partea a II-a1. x = 4;2. a) 12 fete; b) numărul băieţilor reprezintă 150% din numărul fetelor; c) 12 = 80% din (18 – x), x = 3, trebuie să plece 3 băieţi.

3. m( A ) + m( B ) = 89º2′35′′; m( A ) – m( B ) = 53º25′33′′; m

m

A

B

( )( )

= 4 .

Săptămâna 9

Partea I Nr. item 1 2 3 4 5

Rez

ulta

te

a)

vârful comun, o latură comună, iar celelalte

două laturi situate de o parte şi de alta a dreptei ce conţine latura comună

59,4 15 37° 13' 83° 28'

b) împarte unghiul în două unghiuri congruente

45 20 135° 41° 44'

c) unghiuri suplementare 32 40 67° 30' 138° 16'

Partea a II-a 1. a = 25; b = 33,(3); c = 50.2. a) P1 = 25% din P2; b) A1 = 6,25% din A2.3. 90º – m(A) = 25% din (180º – m(A)) şi m(A) = 60º

© 2014

Săptămâna 10

Partea INr. item 1 2 3 4 5

Rez

ulta

te

a)

dacă una creşte (descreşte) de un anumit număr de ori,

cealaltă creşte (descreşte) de acelaşi număr de ori

adevărul 21 0 48°

b) laturile lor formează două perechi de semidrepte opuse

40 22 240 132°

c) congruente 280 3

1175 90°

Partea a II-a

1. a b c

8 12 21= = a = 8c a = 8k; c = 21k; k = 5 şi atunci a = 40,

c = 105, b = 60.2. m( BOF ) = 180º – m( DOF) = 50º, m(BOC) = 100º, m(AOB) = 80º.3. m(A′OC) = 38º; m(DOC) = 128º.

Săptămâna 11Partea INr. item 1 2 3 4 5

Rez

ulta

te

a) A 3 32

45º 74º

b) F 7b52

90º 290º

c) A a = 15, b = 6 2312

135º 270º

Partea a II-a1. a) 54; 36; b) 72; 60; 482. a) 1500; 1000; 600; b) 40% c) 8

15

2

.

3. a) 60º; b) 120º; c) m(COF) = 180º; d) 60 · 6 = 120 · 3 = 360.

Săptămâna 12

Partea INr. item 1 2 3 4 5

Rez

ulta

te a) A 120 25 dreptunghic 24 cmb) F 6 7 echilateral 36 mmc) A 25 12 isoscel 180 m

Partea a II-a1. a) 36º; 54º; b) 18; 27;2. a) 9; 12; 15; b) 6; 4; 3; c) 2 ore 24 minute.3. a) isoscel; b) 18 cm; c) 0,25 d) isoscel (obtuzunghic).

Săptămâna 13

Partea INr. item 1 2 3 4 5

Rez

ulta

te

a) 512

7 240 DAC sau EAB 60º

b) 2360

1727

480 90º 120º

c) 15

7,(7) 480 6 720º

Partea a II-a

1. a) 1325

; b) 925

. 2. a) 67

; b) 37

; c) 37

; 3. a) (A); b) (F); c) (A); d) (A).

© 2014

Săptămâna 14Partea INr. item 1 2 3 4 5

Rez

ulta

te

a) 44 436

4 L.U.L U.L.U

b) 200 2,5 6 U.L.U L.U.Lc) 20 2 20 L.U.L L.U.L

Partea a II-a1. a) 60 km; b) 5,4 cm;2. a) 45 zile; b) 26 zile; c) 10 zile;3. a) L.U.L; b) L.U.L; c) U.L.U; d) (L.L.L);

Săptămâna 15Partea INr. item 1 2 3 4 5

Rez

ulta

te

a) 14

0,(3)0; 0,(18);

0,1(8); 32

; 105

;

două un-ghiuri sunt

drepteAB = AC

b) 252

3,44 0; 102

două un-ghiuri sunt

opuse la vârf

AM este bisectoarea BAC

c) 18

90,5 Æ B º C B º C

Partea a II-a

1. b) 5

6;

175

33;

2 a) x Î {1; 2; 4; 8} b) x Î {0; 1; 3; 2; 22; 5; 45; 11; 91; 68; 137; 275}3. a) (F); b) (A); c) (A); d) 4 reciproce dintre care 2 false.

Săptămâna 16Partea I

1. a) 1

20

3

25

2

15< < ; b) n∈{ }7 8, ; c) 12738

127391< şi 456789

4567881> ⇒

⇒ cea mai mare este 456789

456788.

2. a) 3000; b) 2; c) 23

66.

3. a) n∈{ }2 3; ; b) F;

c) 1440

3240

4

9

4

9

4

94 9 13 24 13 55 2 3 4

= =

+ = < < ⇒ ∈{ } ⇒

; ;

, , ,

a

aa a a a a

Fracţiile sunt: 8

18

12

27

16

36; ; .

4. a) ∆ ≡ ∆OBA OCD; b) BA CD[ ] ≡ [ ]; c) C B≡ .5. (a, 3); (b, 4); (c,2).

Partea a II-a1. a) 3 3

33

11

33 3

| abc a b c

ab bc ca a b c a b cab bc ca

⇒ + +( )+ + =

+ +( ) = + +

⇒ + +

33∈.

b) S

S

= + + + +

= + + + + =+ +

7

501

14

501

21

501

1169

501

7 14 21 1169

501

7 1 2 3

...

... ++ +( )

= ⋅ ⋅⋅

= ⋅ = ⋅ =

...

.

167

501

7 167 168

2 501

7 84

37 28 196

84

3

28

S

© 2014

2. a) A

A

= + + + + = + + + +

= ⋅

⋅

0 1 0 2 0 3 2 91

10

2

10

3

10

29

1029 30

2

1

, , , ... , ...

110

29 15

10

435

10

87

2

1

0 2 3

1

0 3 4

1

1 9 20

12

103

13

= ⋅ = =

=⋅

+⋅

+ +⋅

=⋅

+B, ,

...,

1104

11910

20

10

2 3

10

3 4

10

19 2010

1

2

1

3

1

3

1

4

⋅+ +

⋅

=⋅

+⋅

+ +⋅

= ⋅ − + −

...

...B ++ + −

= ⋅ −

= ⋅ =

...

.

1

19

1

20

101

2

1

2010

9

20

9

2B

b) B X

AA B X X B A

X X

− = ⇒ = − ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ −

⋅ = ⋅ − ⇒ ⋅ = −

1

2929 29 29 29

29 299

2

87

229

261 87

2⇒⇒ ⋅ = ⇒ =29

174

23X X .

3. b) ∆

∆[ ] ≡ [ ]

≡

[ ] ≡ [ ]

EAB

DAC

AB AC

A A

EA AD

1 2 (opuse la vârf) ⇒

LUL ∆ ≡ ∆ ⇒

⇒ [ ] ≡ [ ]EAB DAC

EB DC c)

∆

∆[ ] ≡ [ ][ ] ≡ [ ][ ] ≡ [ ]

EBC

DCB

EB DC

BC BC

EC BD

(se dă)

⇒ ∆ ≡ ∆LLL

EBC DCB

(demonstrat)

(sumă de segmente

congruente)

Săptămâna 17Partea I

1. a) 1

60; b) 998

3

500; c) n∈{ }1 2 4; ; .

2. a) 11

12; b) 2

5; c) 5.

3. a) x = 7; b) y = 9; c) 9

2.

4. a) concurente; 90º; b) o singură perpendiculară; c) 0.5. a) dreptunghic; b) ∆ ≡ ∆BDM CEM ; c)d dB AM C AM; ; .( ) = ( )

Partea a II-a1. a) 100 1 100 2 100 3 100 100 100 200 0−( ) ⋅ −( ) ⋅ −( ) ⋅ ⋅ −( ) ⋅ ⋅ −( ) =... ... .

b) ab ba

a bab

a b

a bab ab

++

⋅ =

+( )+

⋅ = ⇒ ⋅ =

2

2

1452

111452 121 11452 12⇒ =ab .

2. 3

2 10 2 3

3

2 1

7

3090 14 7

90 14 7 2 45 7 3 5

a

b

a

ba b

a b a b+

= ( ) ⇒+

= ⇒ = + ⇒

− = ⇒ − = ⇒

,

: , 77 3 5 45

3 5

5 45

23

1007 2 23 8

b a

a x

a ax x

+ = ⇒

⇒+( )

+= ⇒ + = ⇒ =

,

,.

3. b) ∆

∆

[ ] ≡ [ ] ( )≡ °+

[ ] ≡ [ ] ( )

AMC

ANB

AM AN

MAC NAB

AB AC

ipoteza

ipoteza

(90complementar)

⇒LUL

A

B C

P

M N

⇒

∆ ≡ ∆ ⇒ [ ] ≡ [ ]AMC ANB MC NB

c) ∆

∆[ ] ≡ [ ]

≡

[ ] ≡ [ ]

MAB

NAC

AM AN

MAB NAC

AB AC

(ipoteză)

(diferenţă de ≡ ) ⇒ ∆ ≡ ∆LUL

MAB NAC

(ipoteză)

© 2014

d) ∆ ≡ ∆ ⇒ ≡

∆ ≡ ∆ ⇒ ≡

MAB NAC MBA NCA

AMC ANB ACM ABN

∆

∆≡

[ ] ≡ [ ]≡

MBC

NCB

MBC NCB

BC BC

MCB NBC

(sumă de ≡ ) ⇒ ∆ ≡ ∆

⇒ ≡

ULUMBC NCB

BMC CNB (diferenţă de ≡ )

Săptămâna 18Partea I

1. a) 1

3; b)

323

450; c) x = 1, 2.

2. a) 2

3; b) 400

11; c) A =

23

53

29

59; .

3. a) x y= =5 3127 254; ; b) z = 2381; c) x < z < y.

4. a) mediatoarea; b) la intersecţia mediatoarelor; c) P∆ =ABD 20cm .

5. a) centrul cercului înscris în triunghi; b) egal depărtat; c) 30º.Partea a II-a

1. a) 1

2

4

6

8

10

1994

1996

2000

5000

8

20

1

2

4

6

4

+ + + +

⋅ −

=

= +

...\

++ + +

⋅ −

= ≠8

10

1994

1996

2

5

2

50 1...

⇒ Propoziţia este falsă.

b)

9 5

3

2

15

5 9

113

2 1 2 3 20

15

44523

220 21

215

4

45

/ /

/

...x x

xx

−

−=

+ + + +( )

=⋅ ⋅

⇒ ⋅⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒

⇒ =

3

2

20 21

15

2

1528

210

4 7

3

x

x .

2. a) x x x

y

= + ( ) ⋅ ⇒ = +

⋅ ⇒ =

= +

⋅

0 2 0 0 2 92

10

2

909 2

3

9

3

90

90

1

, ,

11

33

90

90

113⇒ = ⋅ ⇒ =y y .

b) xyz

z z z

9

23 9 5 9 4⇒ +( ) ⇒ = . z - cifră

3. a) m m

m m

AOB COA x

x

x AOB COA

( ) = ( ) =

+ ° = °

= ° ⇒ ( ) = ( ) = °

2 130 360

2 230 115 .

b) [OD - bisectoare ⇒ ( ) = °

( ) = ( ) + ( ) =

= ° + ° = °

m

m m m

BOD

AOD AOB BOD

65

115 65 180 ⇒ [OD şi [OA sunt opuse.

c) [OE bisectoarea AOB AOE EOB⇒ ( ) = ( ) = ° ′m m 57 30

m =180 m 180 57 30 =122 30DOE AOE ( ) ° − ( ) = ° − ° ′ ° ′ .

Săptămâna 19

Partea I

1. a) 8; b) 1

23; c) 5

2.

2. a) x = 7; b) y = 15

26; c) 182

15.

3. a) 1; b) x = 1

7; c)

11

a= .

4. i) a) BE DC[ ] ≡ [ ] ; b) ∆ ≡ ∆AME AND . ii) PA PB PC PD[ ] ≡ [ ] ≡ [ ] ≡ [ ]

© 2014

5. a) m BAC( ) = °150 ; b) 60º; c) 45º.

Partea a II-a1.x

x

x

x

+ =+ +

+ +⋅ ⇒ + =

⋅13

92799

12299

4510

9100

223

26071

18299

2607

45

11/

:55 10

10

100

32

23

118299

2607

5223

118299

2607

1583

⋅ + +

⇒

⇒ + =⋅

+⇒ + =

⋅x

x

x

x⇒⇒ + = ⋅ ⋅

⇒ + = ⇒ =

x

x

x

xx

1 182

99

3

1582607

191

1

90

91

33 79

79

.

2. a)

A

A

= −

⋅ −

⋅ −

⋅ ⋅ −

= −

21

32

2

32

3

32

10

3

21

3

...

⋅ −

⋅ −

⋅ ⋅ −

⋅ ⋅ −

22

32

3

32

6

32

10

3... ... ⇒⇒

⇒ =

= −

⋅ +

⋅ −

⋅ +

⋅ ⋅

A

B

0

11

21

1

21

1

31

1

31

.

... −−

⋅ +

⋅ −

⋅ +

1

981

1

981

1

991

1

99

B

B

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

⇒ =

1

2

3

2

2

3

4

3

96

97

98

97

97

98

99

98

98

99

100

99

50

99

...

.

b) A

B= 0.

3. a) ∆ ≡ ∆ ⇒ [ ] ≡ [ ]MBC NCB BN CM

A

B C

M NP

)) ((

b) ∆ ≡ ∆ ⇒ ( ) ≡ ( )⇒ ∆ ⇒ [ ] ≡ [ ]

MBC NCB NBC MCB

PBC BP PC

m m

isoscel

c) ∆ ≡ ∆ ⇒ ≡APB APC BAP PAC

Săptămâna 20Partea I

1. a) 4

9; b) x = 5; c) 7.

2. a) 1

2

51

; b) 5

3; c) 155; 93; 62.

3. a) 72; b) n = 3

2, propoziţia este adevărată c) 6.

4. a) m B1 110( ) = °; b) m D1 130( ) = °; c) x = 80º.

5. a) m A2 75( ) = °; b) m C1 75( ) = °; c) m D2 75( ) = °.

Partea a II-a

1. a) F n

F

n n n n n n

n n n n n n= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅

⋅ + ⋅ + ⋅≥

=

+ +

+ + + +3 5 3 5 6 3 5

2 3 3 4 2 62

3

1 2

2 1 1 1 1,

nn n

n n

n

n

n

nn

⋅ + +( )⋅ + + ⋅( )

= ⋅⋅

= ≥−

5 3 5 6

2 3 2 3 4 3

5 34

2 17

5

22

2

2

2

2 2 1,

b) x = 2.

2. a) A

A A

B

= ⋅ + +

= + +( ) ⇒ = ⋅

= + + +

6 2 2 2

2 24 2 1 27 2

1 2 2

2002 2001 2000

2000 2000

2 .... .+ = −2 2 11999 2000

b) 81

1

81 27 2

23

2000

2000x

A

B xx=

+⇒ = ⋅ ⇒ = .

3. a) Se demonstrează că ∆ ≡ ∆MBN CBA şi ∆ ≡ ∆CQP CBA . b) ∆ ≡ ∆ ⇒ ≡ ( ) ⇒MBN CBA BMN BCA MN AC alterne interne .

c) ∆ ≡ ∆ ⇒ ≡ ( ) ⇒CQP CBA QPC BAC PQ AB alterne interne .

© 2014

Săptămâna 21Partea INr. item 1 2 3 4 5

Rez

ulta

te

a)13

6

17

28

43

20singură 20°

b)9

20,075

14

45suplementare 20°

c)1

141,2

55

36paralele 40°

Partea a II-a1. a) 12,5 + 5x = 45 − 3x (5p) 8x = 32,5 x = 4,0625

b) 53 4

5

10

236 0 4

1

92

53 4

5

1

− −

⋅ +

( )

⋅ =

− −

⋅

x

x

: ,

00

236 0 4 18

53 4

5

10

236 8

53 4

5

23

53 4

+

( ) =

− −

⋅ + =

− − =

−

: .

x

x

x ===

2

2x

(15p)

53 4

5

10

236 0 4

1

92

53 4

5

1

− −

⋅ +

( )

⋅ =

− −

⋅

x

x

: ,

00

236 0 4 18

53 4

5

10

236 8

53 4

5

23

53 4

+

( ) =

− −

⋅ + =

− − =

−

: .

x

x

x ===

2

2x

2. a) Suma dată de bunici reprezintă 1

6

3

4

1

8⋅ = din preţul taberei. (5p)

b) Fiul plăteşte:

3

4272 204

1

6204 34

272 204 34 34

⋅ =

⋅ =

− +( ) = lei.

(5p)

3. Realizarea figurii.

12

1

21

2

) )) )

) )

)A

B C

D

E

F

a) m m m

m m (alt. int.)

B B A

DE AB B D

1 2

1 1

( ) = ( ) = ( )⇒ ( ) = ( )

m m (coresp.)

A D

D D

( ) = ( )

⇒ ≡

2

1 2

(5p)

b) m m m

m m (alt. int.)

B B D

EF BD D E

1 2 1

1 1

( ) = ( ) = ( )⇒ ( ) = ( )

m m (coresp.)

B E

E E

2 2

1 2

( ) = ( )

⇒ ≡

(5p)

Sãptămâna 22Partea INr. item 1 2 3 4 5

Rez

ulta

te

a) {0; 2; 4} −3 A 64° 62°

b) {−5; −3; 0; 2; 4} 3 A 32° 119°

c) 0 5 0 11

23 18, ; ; ; ,( )

F 94° 121°

© 2014

Partea a II-a1. Punctul egal depărtat de A(−2) şi B(4) este M(1). Simetricele lor faţă de origine sunt: A′(2), B′(−4) şi M′(−1).

− − − − − − − − −

−4 −2 0−1 1 2 4

B' A M' M A' B

2. a) i) 5 > 2; ii) 2006 = 2006; iii) 0 < 13; iv) |a| > 0; v) |−a| < |a + 1|, " a Î b) x Î {−6; −5; −4; −3; −2; 2; 3; 4; 5; 6}.3. Realizarea figurii. a) m(ACB) = 60° DE || BC ⇒ m(CDE) = m(DCB) = 30° (alterne interne) m(BDR) = 131°. b) m(BFD) = m(BCA) = 60° (corespondente) ⇒ DF || AC.

Săptămâna 23Partea INr. item 1 2 3 4 5

Rez

ulta

te

a) −5 −23; −5; −4; 0; 2; 7; 10; 16 {−1; 1; 2} exteriorul 6

b) mic 16; 3; 1; 0; −2; −3; −5; −10 {−1; 0; 1} 5 12

c) falsă 21 9 0,5 4,8

Partea a II-a1. Pentru a < 0 avem: | | ; | |a a a a− = − − = −3 3 2 2 (6p) 3 2 2 5− + − + =a a a . (4p)2. a) Reprezentarea corectă a punctelor. (5p)

b) AABC =5 4

210

⋅ = u2. (4p)

c) Reprezentarea grafică a simetricelor. (2p) Simetricul lui A faţă de C are coordonatele (7, −3). (2p) Simetricul lui B faţă de axa ordonatelor are coordonatele (−1, −2) (2p)

3. a) Transcrierea figurii. (3p) Completarea figurii. (2p) b) Triunghiul MNC este dreptunghic isoscel, deci m(MNC) = 45°. (5p)

c) AABC = BM NC⋅ =2

25

2 cm2 . (5p)

d) Aria noului triunghi devine egală cu 12 cm2, deci se micşorează. (5p)

Săptămâna 24Partea INr. item 1 2 3 4 5

Rez

ulta

te

a) −22 10 −14 50° 4

b) 3996 −1 −1 70° 4

c) 10 0 0 105° 7

Partea a II-a

1. a = ⋅ =12 13

278; (4p); b = + + + =1 1 1 26...

de 26 ori (4p); a > b. (2p)

2. a) A = {4; −2}; (2p) B = {−2; −1; 0; 1; 2}; (2p) C = {1; 2; 3}; (2p) A È B = {−2; −1; 0; 1; 2; 4}; (2p) B Ç C = {1; 2}. (2p) b) A È B È C = {−2; −1; 0; 1; 2; 3; 4}; (2p) − 2 + (− 1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 7. (3p) AB AC

AC AB

BAB CAC

BAB CACBB CC

BAB

LUL=′ = ′

′ ≡ ′

⇒ ′ ≡ ′ ⇒

′ = ′′ ≡

AACC′

3. a) (8p)

© 2014

b) BB CC BG CG

AB AC

AG AG

ABG ACG BAG CAGLLL

′ = ′ ⇒ ===

⇒ ≡ ⇒ ≡ . (7p)

A

B C

G

C' B'

Săptămâna 25Partea INr. item 1 2 3 4 5

Rez

ulta

te

a) 0 −12 18 mediatoarea

b) 14 −9 102 două 5

c) −6 49 −84 o infinitate 3

Partea a II-a1. a) [− (9 − 4) − 8] − 9 + 10 = −13 − 9 + 10 = −12 (5p) b) − − − − = −1 1 1 1003

1003

... (5p)

2. a) |x − 1| = 2 Þ x − 1 = 2 Þ x = 3 (2p) sau x − 1 = −2 x = −1 (2p) A = {−1; 3} (1p) |x − 1| − 1 = 2 |x − 1| = 3 Þ x = 4 sau x = −2 (2p) |x − 1| − 1 = −2 |x − 1| = −1 (F) (2p) B = {−2; 4} (1p) b) A Ç B = Æ. (5p)3. a) OM ^ AB şi AC ^ AB OM êê AC (2p) ON ^ AC şi AB ^ AC ON êê AB (2p)

Þ m(MON) = m(BAC) = 90° (1p) b) AB mediatoarea (OM) (AM) º (AO) (2p)

A

B

C

M

N

O MAB º BAO (2p) AC mediatoarea (ON) (AO) º (AN) (2p) OAC º CAN (2p) (AM) º (AN) (1p) m(MAN) = 2 · 90° = 180° punctele M, A şi N sunt coliniare. (1p)

c) G centrul de greutate al DABC OG

AO= 1

3 (2p)

G′ centrul de greutate al DMON AG

AO

′= 1

3 (2p)

AG′ = G′G = GO. (1p)

Săptămâna 261. a) 22; b) +120; c) 320; d) –81; e) –120; f) 0.2. a) –56; b) –120.3. a) 12; b) 30; c) 1.4. Cazul I: m(<A) = 70º m(<B) = m(<C) = 55º; Cazul II: m(<B) = m(<C) = 70º m(<A) = 40º.5. ∆ABC isoscel, AD ^ BC [BD] º [DC] (1) A

B C

MN

D

∆ABC isoscel <B º <C (2) m(<BND) = m(<CMD) = 90º m(<BDN) = = m(<CDM) (3) Din (1), (2) şi (3) ∆BDN º ∆CDM (U.L.U.) [BN] º [CM] [AN] º [AM] ∆AMN isoscel.6. a) [AM] º [AN] ∆ANM isoscel

−

−−

−−

−)) A

B C

M N b) BN = AN + AB}[BN] º [MC] MC = AM + AC ∆MAB º ∆NAC (L.U.L.) [MB] º [NC] ∆ABC isoscel m(<ABC) = m(<ACB) } ∆AMN isoscel m(<AMN) = m(<ANM) <BAC º <NAM (opuse la vârf) <NMC º <MCB (alterne interne) MN êê BC.

© 2014

Săptămâna 271. a) –4; b) 9; c) –4; d) –9; e) –1; f) 0; g) 16; h) 6; i) 12; j) 25; k) –28; l) 52.2. a) 0; b) 0; c) 1; d) –10; e) –146.3. a) –71; b) 28; c) –15; d) –559; e) 362; f) 714;4. a) [BM bisectoare <ABM º <MBC

)

A

B C

M

))

m(<MAB) = m(<ABM) = 36° ∆MAB isoscel b) m(<C) = 72°; m(<MBC) = 36° m(<BMC) = 72° BM = BC ∆BMC isoscel.

5. a) AM ^ BQ şi [BM] º [MQ]

)))))) )

−

−

)−)−

A

B C

QR

MN ⇒ ∆ABQ isoscel b) AN ^ RC şi [NC] º [NR] ⇒ ∆ACR isoscel c) ∆AMQ º ∆ANR (I.U.)6. a) P∆ABC = AB + BC + AC = 32 cm. b) ∆ABC isoscel m(<B) = m(<C) = 50° m(<A) = 80°. c) ∆ACD º ∆ABD (L.U.L.) AD ^ BC A

B CD

E

d) A ABCAD BC= ⋅ =

248 cm2

e) D mijlocul [BC]; DE êê AB

⇒ DE linie mijlocie

⇒ DEAB= =2

5 cm P∆DEC = 6 + 5 + 5 = 16 cm.

Săptămâna 281. a) –9; b) 8; c) 16; d) –1; e) 0; f) 1; g) –16; h) 25; i) 1; j) –125; k) –324; l) 169; m) –23; n) 7; o) 27; p) 1.

2. a) 35; b) (–4)6; c) (–2)15; d) (–5)10; e) –2007; f) (–11)2 = 121.3. a) 510 > 220 pentru că 220 = (22)10 = 410; b) –16 < 16; c) (23)4 < (32)4 84 < 94; d) –9 < –8.4. ∆ABC echilateral A

B CM

NP

[AM bisectoarea <A <CAM º <MAB [BN bisectoarea <B <CBN º <ABN [CP bisectoarea <C <ACP º <BCP ∆CAM º ∆BAM º ∆ABN º ∆CBN º º ∆BCP º ∆ACP (U.L.U.)

[MB] º [MC] º [CN] º [NA] º [AP] º [PB].5. a) [BP bisectoarea <B <ABP º <CBP A

B CN

P

))

∆ABP º ∆CBP (L.U.L.) BP ^ AC ⇒ P mijlocul lui [AC] b) P mijlocul lui [AC], PN êê AB ⇒ PN linie mijlocie N mijlocul lui [BC]

⇒ PNAB

NCBC

PCAC= = = ⇒

2 2 2, ,

∆PNC echilateral;

c) PNAB BC

PN BN NC= = ⇒ ≡ ≡2 2

[ ] [ ] [ ].

6. a) AM

AB

AN

ACMN BC

BM

AB

BM

AB

BP

BCMP AC

= = ⇒

= ⇒ = = ⇒

3

4

3

41

4

1

4

; ;

;

A

B C

N

P

M

b)

c) ∆ABC echilateral m(<A) = 60° şi [AM] º [AN] ∆AMN echilateral; d) m(<B) = 60° şi [BM] º [BP] ∆BMP echilateral.

Săptămâna 291. a) 1; b) –1; c) –48; d) –97; e) –1; f) –8; g) 9; h) 41; i) –1. j) 2; k) 0; l) 0.

© 2014

2. a) 65; b) 33; c) 33.3. a) –8; b) –1.4. a) ∆ABC echilateral }AM ^ BC M mijlocul [BC]

A

B CM

N PO

− − (( b) ∆ABC echilateral }CP ^ AB [CP bisectoare

AM ^ BC }∆OBC isoscel [OB] º [OC] (1) M mijlocul [BC] BN ^ AC }∆OAC isoscel [AO] º [OC] (2) N mijlocul [AC] CP ^ AB }∆AOB isoscel [AO] º [OB] (3) P mijlocul [AB] c) Din (1), (2) şi (3) [AO] º [OB] º [OC] (4) ∆ABC echilateral ∆ONC º ∆OMC º ∆BOM º ∆BOP º ∆POA º ∆AON [OM] º [ON] º [OP]

d) NM linie mijlocie NMAB=2

.

MP linie mijlocie PMAC=2

.

PN linie mijlocie PNBC=2

.

[MN] º [MP] º [PN] ∆MNP echilateral.5. BD = 4 BC = 8 cm P∆ABC = 3BC = 24 cm.6. ∆ABC echilateral

A

B CM

N a) AM ^ BC [MC] º [MB]} [NC] º [MC]} N mijlocul [AC] m(<C) = 60º ∆NMC echilateral. b) [MN] º [NC] }[MN] º [AN] ∆AMN isoscel Dar [NC] º [NA] c) M mijlocul [BC]}MN linie mijlocie MN êê AB. N mijlocul [AC]

Săptămâna 301. a) 6; b) 10; c) 1; d) 0.2. x = –33; y = 3; x : y = –11; x · y = –99.3. a) x = –100 : (–4) = 25; b) 10ax + 3bx – 4xc = (–8) · 25 = –200.

4. a b c d a b c d

a

b

2 3 4 6 2 3 4 6

360

1524

2 24 48

3 24

= = = = + + ++ + +

= ° = °

= ⋅ ° = °

= ⋅ ° =

772

4 24 96

6 24 144

°

= ⋅ ° = °

= ⋅ ° = °

c

d

5. P∆ABD = 24 cm BD = 8 cm } PABCD = 8 · 2 + 10 · 2 = 36 cm P∆BCD = 28 cm BC = 10 cm

6. m(<B) = 56°; m(<A) = 56 106

2

+ = 81°

m(<D) = 360° – (56 + 106 + 81) m(<D) = 117°.

Săptămâna 31Partea INr. item 1 2 3 4 5

Rez

ulta

te

a) −1 −2 1 echilateral 80

b) –2 1 0 egale 125º

c) –2; –1 –2007 \ {3} 90º 26º14′30′′

Partea a II-a1. a) (F); b) (A);

2. a) –3; b) Æ; c) x

y

z

− − − −− − − −

8 4 4 2 1

1 2 1 1 2

1 1 2 4 4

.

3. a) 15º; b) 30º, 75º, 75º; c) 15º; d) 16 cm.

© 2014

Săptămâna 32Partea INr. item 1 2 3 4 5

Rez

ulta

te

a) 1 Æ paralelogram 45º 8

b) –41 x = 0 sau y = 0 42u2 135º isoscel

c) 7 x = 0 şi y = 0 7u 4 cm2 echilateral

Partea a II-a1. a) –4 şi –12; b) 1338 şi 3345. 2. a) –2; b) –2007; c) –4; –2 şi 0.3. a) 72 cm; b) DMA º EFA (corespondente); suma bazelor este

24 cm. c) MCD º CMF pentru că sunt dreptunghice cu o catetă 8 cm şi ipotenuza de 16 cm (I.C); d) Dacă AAMD = s, avem AEAF = 9s, AEBF = 3s, AABCD = 4s.

Săptămâna 33Partea INr. item 1 2 3 4 5

Rez

ulta

te

a) 115300 5,(1) 5 60º romb

b) 99 5 6 32 cm 60 cm2

c) 540 9 2007 120º 0,5

Partea a II-a1. a) 14; b) 59. 2. a) Suma celor două numere va fi divizibilă cu 13 şi se obţine 110(b + c) 13; b) Dacă a = d atunci 10bc 13. Dacă bc 13 b + c ≠ 13; c) Dacă 1 ≤ a ≤ 9 atunci 2 ≤ d ≤ 8; 16 ≤ a + b + c + d ≤ 30.3. a) m(A) = 135º, m(B) = 45º ; c) 135º; d) 112º30′.

Săptămâna 34Partea INr. item 1 2 3 4 5

Rez

ulta

te

a) 1 1 sau –1 20 59º 45º

b) 0 y < 0 12 isoscel 90º

c) 11 · 101 –4 20 120º 112º30′

Partea a II-a1. a) 4214; b) 0.

2. a) x Ï ; b) –4 sau –5; c) a

b

5 25 1

1 1 9

− −− −

.

3. a) ∆ABP º ∆BCM º ∆ACN (L.U.L); b) Fie H – ortocentrul triunghiului ABC. Avem ∆HBM º ∆HCN º ∆HAP (L.U.L);

Săptămâna 35Partea INr. item 1 2 3 4 5

Rez

ulta

te

a) 12 40 0,05 30º 2,5

b) 18 120 1,6 25 2,5

c) 150 4500 10 1,5 7,5

Partea a II-a1. a) 10; b) 511.2. a) 371000;

b) a b a a a b a b− = − ≥ ≤ − + + = =2 20 0 0 0, , , ;

c) x = 7.3. a) m(B) = m(C) = 72º; b) 108º; c) 108º; d) FAB º ABE (alt. int.) şi AFB º EBC (corespondente)

© 2014

Săptămâna 36Partea INr. item 1 2 3 4 5

Rez

ulta

te

a) 1,(7) 8 0, –2, 3 90º 135º

b) 5 0 –3 12 cm 21,6

c) –2008 ±5 Æ 1,5 la intersecţia diagonalelor

Partea a II-a1. a) 6n · 10 Î M10; b) 20.2. a) 62,5; b) 7; c) 13.3. a) 30 cm; b) 96 cm2; c) 29 cm; d) 34 cm.