Colegiul Naional Mircea cel Btrn

Constana

Concursul Naional de Matematic

N. N. Mihileanu

Ediia a XVIII-a, 26 mai 2017

Clasa a IX-a

Subiectul 1

Se consider irul ( ) 1nna , n care 121 == aa i 1,1

12 =

++ na

aan

nn . S se arate c 20172017 a

Gabriela Constantinescu

Subiectul 2

Fie * *: N Nf o funcie strict cresctoare cu proprietatea c ( )( ) 3f f n n= pentru orice *Nn . Determinai ( )2017f .

Ctlin Zrn

Subiectul 3

Fie ( ) ( )1 1,n nn nx y iruri de numere naturale cu proprietatea c irurile ( ) 1n n nx y + i ( ) 1n n nx y sunt progresii aritmetice. S se arate c cel puin unul din irurile ( ) ( )1 1,n nn nx y admite un subir constant.

Marius Cavachi

Subiectul 4

Fiind dai 111 vectori n plan de modul 1 i cu suma lor zero, s se arate c exist 55 de vectori a cror sum este un vector de lungime mai mic sau egal ca 1.

* * *

Not. Timp de lucru: 3 ore. Toate subiectele sunt obligatorii.

Fiecare problem are 7 puncte.