VECTORI I N PLAN
description
Transcript of VECTORI I N PLAN
![Page 1: VECTORI I N PLAN](https://reader030.fdocumente.com/reader030/viewer/2022033009/568147b3550346895db4f8b0/html5/thumbnails/1.jpg)
![Page 2: VECTORI I N PLAN](https://reader030.fdocumente.com/reader030/viewer/2022033009/568147b3550346895db4f8b0/html5/thumbnails/2.jpg)
Dacă un automobil se află în centrul unei intersecţii şi se deplasează cu viteza de 40 km/h pot şti unde se va afla după 5 minute?
Dar dacă ştiu direcţia şi sensul deplasării?
![Page 3: VECTORI I N PLAN](https://reader030.fdocumente.com/reader030/viewer/2022033009/568147b3550346895db4f8b0/html5/thumbnails/3.jpg)
Dacă Lassie şi Hector trag de răţoiul Duck în acest mod, unde se va afla acesta în cele din urmă?
Parcă am mai văzut pe undeva figura asta…
![Page 4: VECTORI I N PLAN](https://reader030.fdocumente.com/reader030/viewer/2022033009/568147b3550346895db4f8b0/html5/thumbnails/4.jpg)
- Cele două maşini sunt pornite, au accelerat, dar rămân pe loc…Ce-o mai fi şi asta, se întreabă Ionică. O fi ceva legat de vectorii
aceia opuşi?
![Page 5: VECTORI I N PLAN](https://reader030.fdocumente.com/reader030/viewer/2022033009/568147b3550346895db4f8b0/html5/thumbnails/5.jpg)
Pinguinul vrea să ajungă mai repede acasă, iar vântul îi bate din faţă. De ce înaintează aşa de greu?
Se compun vitezele, moşule!
![Page 6: VECTORI I N PLAN](https://reader030.fdocumente.com/reader030/viewer/2022033009/568147b3550346895db4f8b0/html5/thumbnails/6.jpg)
SEGMENT ORIENTAT. VECTOR LIBER
Definitia 2.1.1 Numim segment orientat orice pereche ordonata (A, B) Vom folosi notatia pentru acest segment,carui reprezentare grafica este data în fig. 1.Punctul A se va numi originea segmentului orientat iar B vârful sau extremitatea. Daca puntele A si B sunt diferite atunci acestea determina în mod unic odreapta care se numeste dreapta suport a segmentului orientat.Daca C = D atunci convenim sa numim segmentul orientat (C, D) = segment orientat nul. Este evident ca un segment orientat nul nu determina în mod unic o dreapta, ceea ce face ca în acest caz sa spunem ca orice dreapta care trece prin punctul C este o dreapta suport a segmentului
![Page 7: VECTORI I N PLAN](https://reader030.fdocumente.com/reader030/viewer/2022033009/568147b3550346895db4f8b0/html5/thumbnails/7.jpg)
O
Aa
VECTORI
Definiţie: Un vector este un segment de dreaptă orientat.
Caracteristicile unui vector:- dreapta suport ( ) sau direcţia vectorului;- punctul de aplicaţie (O);- sensul vectorului ( de la O câtre A );- valoarea numerică sau modulul vectorului dată de
lungimea segmentului exprimată în unităţi de măsură. Modulul vectorului se notează sau simplu
OAa
a
![Page 8: VECTORI I N PLAN](https://reader030.fdocumente.com/reader030/viewer/2022033009/568147b3550346895db4f8b0/html5/thumbnails/8.jpg)
EGALITATEA VECTORILOR
Doi vectori sunt consideraţi egali dacă au dreptele suport paralele, acelaşi sens şi module egale.
a
b
![Page 9: VECTORI I N PLAN](https://reader030.fdocumente.com/reader030/viewer/2022033009/568147b3550346895db4f8b0/html5/thumbnails/9.jpg)
Vectorii se pot compune folosind :
Metode geometrice Metoda analitică
![Page 10: VECTORI I N PLAN](https://reader030.fdocumente.com/reader030/viewer/2022033009/568147b3550346895db4f8b0/html5/thumbnails/10.jpg)
A) Metodele geometrice sunt :
Regula paralelogramului Regula triungiului Regula poligonului
![Page 11: VECTORI I N PLAN](https://reader030.fdocumente.com/reader030/viewer/2022033009/568147b3550346895db4f8b0/html5/thumbnails/11.jpg)
REGULA PARALELOGRAMULUI
Regula paralelogramului este cea mai cunoscută metodă de compunere a doi vectori concurenţi.
A compune vectorii a şi b înseamnă a găsi modulul şi orientarea vectorului rezultant c = a + b .
![Page 12: VECTORI I N PLAN](https://reader030.fdocumente.com/reader030/viewer/2022033009/568147b3550346895db4f8b0/html5/thumbnails/12.jpg)
a
b
a
b
Regula paralelogramului are următoarele etape :
1. Se translatează (se deplasează paralel cu ei înşişi ) vectorii a şi b până au origine comună
2. Se construieşte paralelogramul care are ca laturi cei doi vectori :- prin vârful lui a se duce paralelă la b- prin vârful lui b se duce paralelă la a
3. Se construieşte vectorul sumă c ( este diagonala paralelogramului dusă prin originea vectorilor )
c
![Page 13: VECTORI I N PLAN](https://reader030.fdocumente.com/reader030/viewer/2022033009/568147b3550346895db4f8b0/html5/thumbnails/13.jpg)
Vectorul sumă c are următoarele caracteristici:- originea comună cu originile celor doi vectori a
şi b ; - direcţia de-a lungul diagonalei paralelogramului;- sensul dat de săgeată;- modulul egal cu lungimea diagonalei
paralelogramului.
![Page 14: VECTORI I N PLAN](https://reader030.fdocumente.com/reader030/viewer/2022033009/568147b3550346895db4f8b0/html5/thumbnails/14.jpg)
Cei doi vectori au direcţii perpendiculare
În acest caz paralelogramul devine un dreptunghi şi putem calcula modulul c aplicând teorema lui Pitagora.
a
b
c² = a² + b²
Caz particular
ca
b
![Page 15: VECTORI I N PLAN](https://reader030.fdocumente.com/reader030/viewer/2022033009/568147b3550346895db4f8b0/html5/thumbnails/15.jpg)
COMPUNEREA (ADUNAREA) VECTORILOR
DEFINIŢIE: Operaţia de adunare a doi vectori, numită şi compunerea lor, are drept rezultat un vector numit suma lor.
REGULA PARALELOGRAMULUI
REGULA TRIUNGHIULUI
a
b
a
b
![Page 16: VECTORI I N PLAN](https://reader030.fdocumente.com/reader030/viewer/2022033009/568147b3550346895db4f8b0/html5/thumbnails/16.jpg)
Regula triunghiului este o metodă de compunere a doi vectori.
Regula triunghiului are următoarele etape:
1. Se translatează un vector ( b ) până când originea lui va fi în vârful celuilalt vector ( a )
2. Se uneşte originea primului vector a cu vârful lui b şi se obţine vectorul sumă c
REGULA TRIUNGHIULUI
a
b
a
b
c
![Page 17: VECTORI I N PLAN](https://reader030.fdocumente.com/reader030/viewer/2022033009/568147b3550346895db4f8b0/html5/thumbnails/17.jpg)
Cazuri particulare
a) Cei doi vectori au direcţii perpendiculare
Se poate calcula modulul c cu terema lui Pitagora
a
b
a
b
cc² = a² + b²
![Page 18: VECTORI I N PLAN](https://reader030.fdocumente.com/reader030/viewer/2022033009/568147b3550346895db4f8b0/html5/thumbnails/18.jpg)
b) Vectorii au aceeaşi orientare (aceeaşi direcţie şi acelaşi sens)
Modulul c este egal cu suma modulelor a şi b.
a b a b
c = a + b
c
![Page 19: VECTORI I N PLAN](https://reader030.fdocumente.com/reader030/viewer/2022033009/568147b3550346895db4f8b0/html5/thumbnails/19.jpg)
c) Vectorii au aceeași direcţie şi au sensuri opuse
Modulul c este egal cu diferenţa dintre modulele a şi b.
a ab
bc
c = a - b
![Page 20: VECTORI I N PLAN](https://reader030.fdocumente.com/reader030/viewer/2022033009/568147b3550346895db4f8b0/html5/thumbnails/20.jpg)
REGULA POLIGONULUI
Regula poligonului este folosită pentru a aduna 3 sau mai mulţi vectori.
Etapele sunt:1. Se translatează vectorul b cu originea în
vârful vectorului a, apoi se translatează vectorul c cu originea în vârful vectorului b şi mai departe
2. Vectorul sumă s uneşte originea primului vector cu vârful ultimului vector
![Page 21: VECTORI I N PLAN](https://reader030.fdocumente.com/reader030/viewer/2022033009/568147b3550346895db4f8b0/html5/thumbnails/21.jpg)
aa
b b
c c
s
![Page 22: VECTORI I N PLAN](https://reader030.fdocumente.com/reader030/viewer/2022033009/568147b3550346895db4f8b0/html5/thumbnails/22.jpg)
1a 2a
3a
12a 23a
s
REGULA POLIGONULUI
231312321 aaaaaaas
CONCLUZIE: ADUNAREA VECTORILOR ARE PROPRIETĂŢILE DE COMUTATIVITATE ŞIASOCIATIVITATE
![Page 23: VECTORI I N PLAN](https://reader030.fdocumente.com/reader030/viewer/2022033009/568147b3550346895db4f8b0/html5/thumbnails/23.jpg)
SCĂDEREA VECTORILOR
a
b
bac
a
b
abd
cd
Observaţie: scăderea vectorilor nu este comutativă
![Page 24: VECTORI I N PLAN](https://reader030.fdocumente.com/reader030/viewer/2022033009/568147b3550346895db4f8b0/html5/thumbnails/24.jpg)
ÎNMULŢIREA UNUI VECTOR CU UN SCALAR
0;k akb ;
aO
O
aO
O
b
ab
0;k akb ;
ab
b
Prin înmulţirea unui vector cu un scalar se obţine tot un vector ce are:- Aceeaşi direcţie cu direcţia vectorului iniţial;- Acelaşi sens cu sensul vectorului iniţial dacă scalarul este pozitiv; sens contrar sensului vectorului iniţial dacă scalarul este negativ;- Modulul egal cu produsul dintre modulul vectorului iniţial şi scalar.
![Page 25: VECTORI I N PLAN](https://reader030.fdocumente.com/reader030/viewer/2022033009/568147b3550346895db4f8b0/html5/thumbnails/25.jpg)
w
a
a
aw
;waa
7a unităţi wa
7
VERSORUL UNUI VECTOR
Versorul (vectorul unitar) al unui vector a
are direcţia şi sensul vectorului a
, iar modulul egal cu unitatea.
![Page 26: VECTORI I N PLAN](https://reader030.fdocumente.com/reader030/viewer/2022033009/568147b3550346895db4f8b0/html5/thumbnails/26.jpg)
VALOAREA NUMERICĂ A SUMEI DE DOI VECTORI
a
bbac
20cos ccccc o
bbabbaaababa
22 cos2 bababbabbaaa
222 cos2 babac
![Page 27: VECTORI I N PLAN](https://reader030.fdocumente.com/reader030/viewer/2022033009/568147b3550346895db4f8b0/html5/thumbnails/27.jpg)
CAZURI PARTICULARE
b
1. Vectori paraleli şi de acelaşi sens:
bababac 22 20
a
c
![Page 28: VECTORI I N PLAN](https://reader030.fdocumente.com/reader030/viewer/2022033009/568147b3550346895db4f8b0/html5/thumbnails/28.jpg)
a
b
bad
VALOAREA NUMERICĂ A DIFERENŢEI DE DOI VECTORI
bad
20cos ddddd o
bbabbaaababa
22 cos2 bababbabbaaa
222 cos2 babad