Prezentare vectori
Transcript of Prezentare vectori
SEGMENT ORIENTAT. VECTOR LIBER
Definitia 2.1.1 Numim segment orientat orice pereche ordonata (A, B) Vom folosi notatia pentru acest segment,carui reprezentare grafica este data în fig. 1.Punctul A se va numi originea segmentului orientat iar B vârful sau extremitatea. Daca puntele A si B sunt diferite atunci acestea determina în mod unic odreapta care se numeste dreapta suport a segmentului orientat.Daca C = D atunci convenim sa numim segmentul orientat (C, D) = = = segment orientat nul. Este evident ca un segment orientat nul nu determina în mod unic o dreapta, ceea ce face ca în acest caz sa spunem ca orice dreapta care trece prin punctul C este o dreapta suport a segmentului
O
Aa
VECTORI
DeDefiniţiefiniţie: Un vector este un segment de dreaptă orientat.
Caracteristicile unui vectorCaracteristicile unui vector:- dreapta suport ( ) sau direcţia vectorului;- punctul de aplicaţie (O);- sensul vectorului ( de la O câtre A );- valoarea numerică sau modulul vectorului dată de
lungimea segmentului exprimată în unităţi de măsură. Modulul vectorului se notează sau simplu
OAa
a
EGALITATEA VECTORILOR
Doi vectori sunt consideraţi egali dacă au dreptele suport paralele, acelaşi sens şi module egale.
a
b
Vectorii se pot compune folosind :
Metode geometriceMetoda analitică
A) Metodele geometrice sunt :
Regula paralelogramului Regula triungiului Regula poligonului
REGULA PARALELOGRAMULUI Regula paralelogramului este cea mai
cunoscută metodă de compunere a doi vectori concurenţi.
A compune vectorii a şi b înseamnă a găsi modulul şi orientarea vectorului rezultant : c = a + b .
a
b
a
b
Regula paralelogramului are următoarele etape :1. Se translatează (se deplasează paralel cu ei înşişi ) vectorii
a şi b până au origine comună
2. Se construieşte paralelogramul care are ca laturi cei doi vectori :- prin vârful lui a se duce paralelă la b
- prin vârful lui b se duce paralelă la a3. Se construieşte vectorul sumă c ( este diagonala paralelogramului dusă
prin originea vectorilor )
c
Vectorul sumă c are următoarele caracteristici :
- originea comună cu originile celor doi vectori a şi b ;
- direcţia de-a lungul diagonalei paralelogramului;
- sensul dat de săgeată ;- modulul egal cu lungimea diagonalei
paralelogramului.
Caz particular Cei doi vectori au direcţii perpendiculare În acest caz paralelogramul devine un
dreptunghi şi putem calcula modulul c aplicând teorema lui Pitagora.
a
b
c² = a² + b²ca
b
COMPUNEREA (ADUNAREA) VECTORILOR
DEFINIŢIE: Operaţia de adunare a doi vectori, numită şi compunerea lor, are drept rezultat un vectorun vector numit suma lor.
REGULA PARALELOGRAMULUI
REGULA TRIUNGHIULUI
a
b
a
b
REGULA TRIUNGHIULUI Regula triunghiului este o metodă de compunere a doi vectori.
Regula triunghiului are următoarele etape:1. Se translatează un vector ( b ) până când originea lui va fi în
vârful celuilalt vector ( a )2. Se uneşte originea primului vector a cu vârful lui b şi se obţine
vectorul sumă c
a
b
a
b
c
Cazuri particularea) Cei doi vectori au direcţii perpendiculare Se poate calcula modulul c cu terema lui
Pitagora
a
b
a
b
cc² = a² + b²
b) Vectorii au aceeaşi orientare (aceeaşi direcţie şi acelaşi sens)
Modulul c este egal cu suma modulelor a şi b.
a b a b
c = a + b
c
c) Vectorii au aceeşi direcţie şi au sensuri opuse
Modulul c este egal cu diferenţa dintre modulele a şi b.
a ab
bc
c = a - b
REGULA POLIGONULUI Regula poligonului este folosită pentru a
aduna 3 sau mai mulţi vectori.Etapele sunt :1. Se translatează vectorul b cu originea în
vârful vectorului a , apoi se translatează vectorul c cu originea în vârful vectorului b şi mai departe
2. Vectorul sumă s uneşte originea primului vector cu vârful ultimului vector
aa
b b
c c
s
1a 2a
3a
12a 23a
s
REGULA POLIGONULUI
231312321 aaaaaaas
CONCLUZIE: ADUNAREA VECTORILOR ARE PROPRIETĂŢILE DE COMUTATIVITATE ŞIASOCIATIVITATE
SCĂDEREA VECTORILOR
a
b
bac
a
b
abd
cd
Observaţie: scăderea vectorilor nu este comutativă
B) Metoda analitică Metoda anlitică este folosită pentru a aduna
doi sau mai mulţi vectori.Etapele metodei sunt :1. Se alege un sistem de două axe de
coordonate xoy2. Se proiectează vectorii pe axe şi se
calculează componentele lor (folosind funcţiile trigonometrice )
3. Se calculează componentele vectorului sumă de pe cele două axe (sumă algebrică).
Proiecţiile din sensul pozitiv al axei se iau cu semnul “+”,celălalte se iau cu semnul “-”.
4. Se calculează modulul vectorului rezultant cu relaţia : R =
R² + R²
F1
F2
y
x
F1y
F1x
F2X
F2y
α
β
RX = F2X – F1X
y
xRX
RY = F1Y – F2Y
RY
R = R²X + R²Y
R
ÎNMULŢIREA UNUI VECTOR CU UN SCALAR
0;k akb ;
aO
O
aO
O
b
ab
0;k akb ;
ab
b
Prin înmulţirea unui vector cu un scalar se obţine tot un vector ce are:- Aceeaşi direcţie cu direcţia vectorului iniţial;- Acelaşi sens cu sensul vectorului iniţial dacă scalarul este pozitiv; sens contrar sensului vectorului iniţial dacă scalarul este negativ;- Modulul egal cu produsul dintre modulul vectorului iniţial şi scalar.
PRODUSUL SCALAR A DOI VECTORI
Produsul scalar a doi vectori este un scalar egal cu produsul modulelor celor doi vectori prin cosinusul unghiului dintre ei.
a
b
cosabbap
Observaţie:
Produsul scalar pentru doi vectori perpendiculari este nul.Produsul scalar pentru doi vectori perpendiculari este nul.
Produsul scalar prezintă proprietatea de comutativitate:
cosababba
PRODUSUL VECTORIAL A DOI VECTORI
a
bbac
Rezultatul produsului vectorial a doi vectori este tot un vector ce are caracteristicile:-Direcţia perpendiculară pe planul determinat de cei doi vectori;- Sensul dat de regula burghiului: “ se pune burghiul perpendicular pe planul determinat de cei doi vectori şi de roteşte pentru a suprapune primul vector peste cel de al doilea pe drumul cel mai scurt. Sensul de înaintare al burghiului este şi sensul vectorului produs vectorial”;- Modulul vectorului produs vectorial este egal cu produsul modulelor celor doi vectori prin sinusul unghiului dintre ei.
sinabc
Observaţie:
Produsul vectorial pentru doi vectori coliniari este nul.Produsul vectorial pentru doi vectori coliniari este nul.
Produsul vectorial a doi vectori nu are proprietate de comutativitate.
abba
w
a
a
aw
;waa
7a unităţi wa
7
VERSORUL UNUI VECTOR
Versorul (vectorul unitar) al unui vector a
are direcţia şi sensul vectorului a
, iar modulul egal cu unitatea.
VALOAREA NUMERICĂ A SUMEI DE DOI VECTORI
a
bbac
20cos ccccc o
bbabbaaababa
22 cos2 bababbabbaaa
222 cos2 babac
CAZURI PARTICULARE
a
b
c
1. Vectori paraleli şi de acelaşi sens:
bababac 22 20
a
b
bad
VALOAREA NUMERICĂ A DIFERENŢEI DE DOI VECTORI
bad
20cos ddddd o
bbabbaaababa
22 cos2 bababbabbaaa
222 cos2 babad
COMPONENTA ŞI PROIECŢIA UNUI VECTOR PE O AXĂ
O x
A B
v
xv
M
ABAMx ll cos cosvv ixx
vv
Ox axa pe v i vectorulucomponenta reprezintă -v
xşi este un vector
-vxşi este un număr real
reprezintă proiecţia vectorului v
pe axa Ox
O xAB
a
xa
M
ABAMAMx lll cos cos cosaa
ili ABxx
aa
Ox axa pe a i vectorulucomponenta reprezintă -a
xşi este un vector
-a xşi este un număr real
reprezintă proiecţia vectorului a
pe axa Ox