CENTRU DE EXCELEN POPESCU LUMINIA CLASA a V a CLS. I VIII NR. 6 TIMIOARA 23.10.2010 TEMA: METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR DE ARITMETICI.

PROF. SC. CU

METODA FALSEI IPOTEZE Metoda falsei ipoteze const n a face o ipotez ( presupunere ) oarecare nu n idea de a nimeri rspunsul, ci de a vedea din nepotrivirea cu enunul ce modificri trebuie s facem asupra ei. Metoda se numete a falsei ipoteze pentru c avem bnuiala ca nu este ipoteza conform adevrului. Problemele care se pot rezolva prin metoda falsei ipoteze sunt de doua tipuri: a) problem care se rezolv printr-o ipotez; b) problem care se rezolv prin dou sau mai multe ipoteze. Probleme propuse: 1) O echip de muncitori a instalat o reea de ap montnd 180 evi, unele lungi de 8m, altele de 6m. tiind c s-au instalat n total 1240 m de eav, aflai cte evi de fiecare lungime s-au folosit. 2) La un concurs se dau 30 de probleme . Pentru fiecare rspuns corect se acord 5 puncte, iar pentru fiecare rspuns greit se scad 3 puncte. Cte rspunsuri corecte a dat un elev care a obinut 118 puncte? 3) ntr-o gospodrie sunt 200 iepuri, gte i rae care au mpreun 680 picioare. tiind c numrul gtelor este egal cu numrul raelor, s se determine numrul gtelor, raelor i iepurilor din gospodrie. 4) Dac n fiecare banc se aaz 5 elevi, atunci 10 elevi nu au locori,iar dac se aaz cte 6 elevi n fiecare banc, atunci rmn 5 bnci libere. Cte bnci i ci elevi sunt? 5) ntr-o magazie se afl o cantitate de gru i un numr de saci . S-a calculeze c dac n fiecare sac s-ar pune cte 75 kg gru, atunci ar rmne 450 kg gru iar dac n fiecare sac s-ar pune cte 80 kg gru ar mai rmne 10 saci. Ce cantitate de gru i ci saci sunt? 6) Elevii unei clase au plantat pomi. Dac fiecare elev ar planta un pom, atunci s-ar planta cu 25 pomi mai puin dect era planificat, iar dac fiecare elev ar planta 2 pomi, atunci 4 elevi nu ar avea pomi de plantat. Ci elevi erau n clas i ci pomi aveau de plantat? 7) De ziua Olguei mama i cumpr bomboane pentru a le oferi colegilor de1

clas. Numrnd bomboanele ea constat: Dac mpart copiilor cte 5 bomboane, 2 copii vor rmne fr bomboane, dac le impart cte 4 bomboane, atunci rmn 17 bomboane. Cte bomboane sunt n pung?

II.

METODA COMPARAIEI Problemele care se rezolv folosind aceast metod se caracterizeaz prin faptul c se dau dou mrimi (care sunt comparate n acela mod) i legtura care exit ntre ele. Aceste mrimi sunt caracterizare prin cte dou valori fiecare i de fiecare dat se cunoate legtura dintre ele. Metoda const n a face ca una din cele dou mrimi s aibe aceeai valoare i astfel problema devine mai simpl, avnd o singur necunoscut. Din acest cauz se numete aducerea la acela termen de comparaie. Probleme propuse:

1) Dou grupuri de elevi au recoltat mere dintr-o livad, aceiai cantitate fiecare biat i aceeai cantitate fiecare fat (alta dect a unui biat). Se tie c cei 20 de biei i cele 16 fete din primul grup au recoltat 328 kg mere, iar cei 10 biei i cele 30 de fete au recoltat 340 kg. Aflai cte kg de mere a recoltat fiecare biat i fiecare fat. 2) La un magazin s-au vndut 320 kg. mere i 160 kg. pere, ncasnduse n total 8.000.000 lei. Dac 160 kg mere i 120 kg. pere cost 4.800.000 lei, aflai preul unui kg. de mere i cel al unui kg. de pere. 3) Un elev a cumprat 5 creioane i dou pixuri cu suma de 40.000 lei. Ct cost un creion i un pix, dac 10 creioane i 5 pixuri cost 95.000 lei? 4) 3 m de stof i 2 m de pnz cost 510.000 lei, iar 6 m de stof i 3 m de pnz cost 990.000 lei. Ct cost 4 m de stof i 7 m de pnz la un loc? 5) Pentru 3 pixuri, dou radiere i 4 caiete, un elev a pltit 107.000 lei. Dac ar fi cumprat un pix, 4 radiere i dou caiete ar fi pltit 69.000 lei. tiind c 3 pixuri, dou radiere i dou caiete cost 77.000 lei, s se afle preul fiecruia dintre cele 3 obiecte. 6) Pentru golirea unui bazin plin cu ap se pot utiliza 3 robinete. Dac primul robinet este deschis 2 ore, al doilea 3 ore i al treilea 6 ore, se evacueaz n total 220 hl de ap. Lsndu-se deschise 3 ore, 2 ore i

respectiv 6 ore, se evacueaz 210 hl ap. Dac primul i al doilea robinet sunt deschise cte dou ore, iar al treilea 3 ore, se scurg 145 hl de ap. S se afle debitul fiecrui robinet. 7) 7 bile mari i 3 bile mici cntresc 44 de grame, iar 5 bile mari i 8 bile mici cntresc 49 de grame. Ct cntrete o bil mare? Ct cntrete o bil mic? 8) Suma dintre dublul unui numr i triplul unui alt numr este 370. Dac suma dintre primul numr multiplicat de 5 ori i al doilea numr multiplicat de 7 ori este 875, s se afle numerele. 9) Un caiet, 3 creioane i 5 reviste cost 64000 lei, iar 5 caiete, 4 creioane i 3 reviste cost 56000 lei. a. Ct cost la un loc un caiet, un creion i o revist? b. Ct cost la un loc un creion i 2 reviste? c. Ct cost fiecare obiect dac preul unei reviste ntrece cu 1000 de lei preul unui creion multiplicat de 5 ori? 10)Un ntreprinzator particular vinde scaune i mese. Pentru 3 mese i 4 scaune a ncasat 1431 mii lei, pentru 2 mese i 8 scaune a ncasat 1562 mii lei. Ct cost o mas? Ct cost un scaun? 11)3 stilouri i 4 cri cost mpreun 275 lei. Ct cost un stilou i o carte, stiind c o carte cost de doua ori mai mult decat un stilou.

III.

METODA FIGURATIV (GRAFIC) Metoda figurativ este o metod de rezolvare a probelmelor de aritmetic ce const n reprezentarea printr-un desen a mrimilor necunoscute i fixarea n acest desen a relaiilor dintre ele i mrimile date n problem. Probleme propuse: 1) Suma a dou numere naturale este 700, iar diferena lor este 140. Aflai numerele. 2) Maria are de cinci ori mai multe nuci dect Ana. Cte nuci are3

fiecare din ele, iind c dac Maria i d Anei 120 de nuci, atunci numrul nucilor Anei reprezint jumtate din numrul nucilor Mariei. 3) Fiica, tatl i bunica au impreun 90 de ani. Peste 2 ani tatl va avea de 8 ori vrsta fiicei, iar bunica de 2 ori vsta actual a tatlui. S se afle vrsta fiecruia n present. 4) Doi elevi aveau de rezolvat un anumit numr de probleme. Cnd unul dintre ei mai avea de rezolvat 3 probleme ca s termine, a rezolvat de 3 ori mai multe probleme dect cellat, care mai avea de rezolvat 15 probleme. Cte probleme avea de rezolvat fiecare elev? 5) Aflai 4 numere naturale, stiind c suma lor este 48, iar dac se adun numrul 3 la primul, se scade 3 din al doilea, se imparte al treilea la 3 i se inmulete al patrulea cu 3, se obin numere egale. 6) Cristina i Alina sunt colege de banc. Cristina i spune Alinei: Dmi dou creioane colorate de la tine ca s am de dou ori mai multe dect ai tu. Alina zice Cristinei: D-mi tu dou creione colorate de la tine ca s am si eu cte ai tu. Cte creioane are fiecare fetia?IV.

METODA MERSULUI INVERS Metoda mersului invers este flosit n probleme n care elementul necunoscut apare n faza de nceput a irului de calcule; operaiile se efectueaz n sens invers aciunii problemei. Aceast metod const n faptul c enunul unei probleme trebuie urmrit de la sfrit spre nceput. Analiznd operaiile fcute n problem i cele pe care le facem noi n rezolvarea problemei, constatm c de fiecare dat, pentru fiecare etap, facem operaia invers celei fcute n problem. Deci, nu numai mersul este invers, ci i operaiile pe care le facem pentru rezolvare sunt operaiile inverse celor din problem. Verificarea (proba) se face aplicnd asupra rezultatului obinut operaiile indicate n problem. Probleme propuse: 1) Determinai valoarea numrului natural x, tiind c: a. {[( x 49 ) : 4 + 2 ] 4 + 12 } : 4 = 125. b. 150=25 { 3878 8 [ 884 4 ( 70 + 15 x)]}.

2) M-am gndit la un numr. l impart la 7, calculului obinut i adun 4, suma gasit o nmulesc cu 8, iar din produsul obinut scad 12, obinnd 60. La ce numr m-am gandit? 3) Aflai un numr natural a, tiind c dac-l adunm cu 2, rezultatul obinut l nmulim cu 5, din noul rezultat scdem 30, noul rezultat se mparte la 15, obinndu-se 2. 4) O persoana are o sum. cheltuiete 155 lei. Dubleaz 200 lei. Dup ce dubleaza constat c i-a mai rmas 50 avut-o aceast persoan? Dup ce dubleaz acest sum apoi suma ramas i mai cheltuiete noua sum i cheltuiete 250 lei lei. Care este suma iniial pe care a

5) Mama las celor trei biei un anumit numr de bomboane i i roag s le impart n mod egal. Vine primul biat i ia o treime din numrul bomboanelor i pleac. Venind al doialea biat, creznd c el a sosit primul, ia o treime din numrul bomboanelor pe care le-a gsit i pleac. Nu peste mult timp vine al treilea biat i, creznd c el este primul, ia o treime din numrul bomboanelor. Cte bomboane a lasat mama i cte bomboane a luat fiecare biat, dac au mai rmas 8 bomboane? 6) Dintr-un co cu mere se ia jumatate din numrul lor i nc un mr; apoi doua treimi din numrul merelor rmase i nc 2 mere, apoi trei sferturi din noul rest i nc 3 mere. Dup ce se mai ia jumtate din numrul merelor rmase i nc 5 mere, se constat c au mai rmas n co 4 mere. Cte mere au fost n co i cte mere s-au luat de fiecare dat? 7) Pe o banchiz plutesc n deriv mai muli pinguini. Prsesc banchiza prima dat pinguinii imperiali, o treime din toi pinguinii. i urmeaz ali 8 pinguini. Apoi jumtate din cei rmai, nc 5, dou treimi din cei rmai i inc doi i rmn pe banchiz 7 pinguini. Ci pinguini au fost la nceput pe banchiz? Cti pinguni imperiali au fost? 8) Un glume, pe o pune a ntlnit o turm de mgari. Li s-a adresat astfel: Bun ziua, o sut de mgari!. Un mgar i-a rspuns Noi de mult nu mai suntem o sut, dar, dac am fii inc o dat atia i nc o jumtate i o ptrime ct suntem acum, iar tu ai fii ntre noi conductorul mgarilor, atunci am fii chiar o sut . Cti mgari erau pe pune?

5

9) Un bijutier a vndut luni jumtate din pietrele sale preioase i nc 4 buci. Mari a vndut jumatate din pietrele rmase i nc 2 bucai. Miercuri a vndut 5 buci, iar joi cu 2 buci mai puin dect jumtatea pietrelor rmase. Astfel, pentru vineri i-au mai rmas doar 8 buci. Cte pietre preioase erau luni dimineaa?V. PRINCIPIUL CUTIEI (PRINCIPIUL LUI DIRICHLET) Principiul cutiei este o metod de rezolvare a unor probleme folosind un raionament de tipul urmtor: Dac n dou cutii se gsesc trei obiecte (sau mai multe), atunci exist o cutiecare conine cel puin dou obiecte, sau Fiind dat n csue i n+1 obiecte, atunci cel puin o csu conine dou obiecte.

Probleme propuse: 1) ntr-o clas sunt 40 de elevi. Exist oare o lun a anului, n care cel puin 4 elevi si srbtoresc ziua de natere? 2) Se consider 7 numere natural. Demonstrai c printre numerele naturale date cel puin dou dau acelai rest la mprirea cu 6. 3) n 500 de cutii se afl mere. Se tie c n fiecare cutie se afl cel mult 240 mere. S se demonstreze c exist cel puin 3 cutii ce conin acelai numar de mere. 4) S se demonstreze c dintre n+1 numere naturale diferite mai mici ca 2n, pot fi extrase 3 numere, astfel nct un numr este egal cu suma celorlalte dou. 5) Demonstrai c din 5 numere naturale oarecare exista cel putin dou care dau acelai rest la imparirea cu 4. 6) ntr-un grup sunt 17 prieteni . Numele i prenumele lor incep numai cu literele A,B,C,D. Demonstrai c exist cel puin doi copii ale cror iniiale coincid. 7) Demonstrai c oricum am alege 5 numere naturale i le ridicm la puterea a 4-a, printre numerele obinute gsim ntotdeauna cel putin dou care au aceeai ultim cifr. 8) ntr-o coala sunt 25 de clase. n fiecare clas sunt cel puin 30 de elevi si cel mult 35 de elevi. Aratai c exist cel puin 5 clase cu acelai numr de elevi. 9) ntr-un scule se afla 100 bile avnd una din culorile tricolorului.

a) Demonstrai c din 4 bile scoase la ntmplare exist cel putin dou de aceeai culoare. b) Care este numarul minim de bile ce trebuie extrase pentru a fi siguri c avem cel putin 5 de aceeai culoare?

VI. REZOLVAREA PROBLEMELOR CU AJUTORUL ECUAIILOR Pentru a rezolva o problem cu ajutorul ecuaiilor se parcurg urmtoarele etape: 1. Alegerea necunoscutei(necunoscutelor). 2. Obinerea ecuaiei. 3. Rezolvarea ecuaiei. 4. Verificarea i interpretarea rezultatului(rezultatelor).

Probleme propuse: 1) Pentru rezolvarea problemelor primite la concursul Traian Lalescu, orice elev din clasa a V-a are dreptul s discute timp de 1 minut, o singur dat, cu fiecare din ceilali concureni. Discuia are loc la catedr unde sunt doar dou locuri. tiind c fiecare concurent a beneficiat de acest drept, iar timpul regulamentar de lucru a fost 2 ore, aflai numrul maxim de concuteni la clasa a Va. 2) Suma unor numere naturale consecutive este 90. Aflai numerele. Cte soluii sunt? 3) Dac ntr-o clas s-ar aseza cte doi elevi n fiecare banc ar rmne 4 elevi n picioare, iar dac s-ar aeza cte 4 elevi n banc ar rmne 6 bnci libere complet i una ocupat cu 2 elevi. a. Ci elevi i cte banci sunt? b. Dac s-ar aeza cte 3 n banc cte banci ar rmne libere? 4) Un arab pe un cal i un beduin pe o camil s-au neles s se ntlneasc plecnd unul spre celalalt din dou oaze apropiate. O furtun de nisip i mpiedic s observe momentul ntlnirii, trecnd unul pe lng cellalt. Fiecare i urmeaz drumul, arabul ajungnd dup un sfert de or la oaza spre care se ndrepta, iar beduinul dup 60 de minute. a. n cte minute parcurge fiecare distana dintre cele dou oaze? b. Cmila merge cu 30 km/h. Care este distana dintre cele dou oaze? 5) O florrie s-a aprovizionat cu 496 flori de trei soiuri: unele au cte7

patru petale, altele 6 i respectiv 9 petale. Cte flori sunt din fiecare soi, dac n total ele au 2002 petale. 6) La o petrecere 8 persoane au servit de pe un platou cte un mar i cte patru prune. S se afle cte mere i cte prune erau pe platou tiind c la nceput numrul prunelor erau de cinci ori mai mare ca al merelor, iar la final numrul prunelor era de apte ori mai mare dect cel al merelor. 7) Ci elevi sunt ntr-o clas i cte caiete au primit n total, dac ar mai trebuii 20 de caiete ca s primeasc fiecare elev cte 4 caiete, iar dac se dau 3 caiete la fieare elev mai rmn 5 caiete.