Ceva Cu Inele
5
1.8.1. Inelul polinoamelor intr-o nedeterminata. Fie A un inel comutativ si unitar. Vom face o constructie a inelului de polinoame intr-o nedeterminata peste A, care la început nu foloseste scrierea obisnuita a polinoamelor cu ajutorul unei nedeterminate X. Peste inelul A se considera sirurile f = (a0, a1, a2, .), ai A a.i. toti termenii sai, in afara de un numar finit dintre ei, sunt nuli. Fie A' multimea tuturor sirurilor de acest tip. sirurile f = (a0, a1 , .) si g = (b0 , b1 , .) sunt egale daca si numai daca ai = bi, pentru orice i. Pentru A' se definesc doua operatii algebrice , adunarea si înmultirea, in raport cu care A' devine un inel comutativ si unitar. Fie f, g A', f = (a0, a1, a2, .) , g = (b0, b1, b2,.). Atunci adunarea se defineste astfel: f + g = (a0 + b0, a1 + b1, a2 + b2, .). Este evident ca f + g are numai un numar finit de termeni nenuli, deci f + g A . Sa verificam ca (A',+) este grup abelian . Într-adevar , daca f ,g, h A , f = (a0, a1, a2, .), g = (b0, b1, b2, .), h = (c0, c1, c2, .), atunci (f + g) + h = (a0 + b0, a1 + b1, a2 + b2, .) + + (c0, c1, c2, .) = [(a0 + b0) + c0, (a1 + b1) + c1, .] si f + (g + h) = (a0, a1, a2, .) + [(b0, b1, b2, .) + (c0, c1, c2,.)] = [a0 + (b0 + c0),a1 + (b1 + c1),.] . Cum adunarea în inelul A este asociativa , avem (ai + bi) + ci = ai + (bi + ci) , i = 1, 2, 3 ., de unde (f + g) + h = f + (g + h) . Analog se arata ca f + g = g + f. Daca 0 = (0, 0, 0, .) , atunci 0 + f = (0, 0, .) + (a0, a1, .) = (0 + a0, 0 + + a1, .) = (a0, a1, a2, .) = f = f + 0, deci 0 este element neutru pentru adunare. Daca f A', f = (a0, a1, a2, .), atunci -f = (- a0, - a1, - a2, .) este opusul lui f si f + (- f) = (- f) + f = 0 . Înmultirea pe A se defineste astfel: f g = (a0b0, a0b1 + a1b0, a0b2 + a1b1 + a2b1, .) = (c0, c1, .) , unde Ck= . Este clar ca f, g A'. Înmultirea pe A', astfel definita , este asociativa, comutativa si are element unitate. Sa aratam mai întâi asociativitatea . Fie f, g, h A' , unde f = (a0, a1, a2, .) , g = (b0, b1, b2, .) , h = (c0, c1, ,c2, .) si sa aratam ca (fg)h = f(gh). Fie fg = (d0, d1, d2,.). Atunci . De asemenea, fie (fg)h = (d0',d1',d2',.), unde d'm = Daca gh = (c0,c1,.), atunci :
description
hjgh
Transcript of Ceva Cu Inele
1.8.1.Inelul polinoamelor intr-o nedeterminata.Fie A un inel comutativ si unitar. Vom face o constructie a inelului de polinoame intr-o nedeterminata peste A, care la nceput nu foloseste scrierea obisnuita a polinoamelor cu ajutorul unei nedeterminate X.Peste inelul A se considera sirurilef = (a0, a1, a2, .), aiA a.i. toti termenii sai, in afara de un numar finit dintre ei, sunt nuli.Fie A' multimea tuturor sirurilor de acest tip. sirurile f = (a0, a1 , .) sig = (b0 , b1 , .) sunt egale daca si numai daca ai = bi, pentru orice i. Pentru A' se definesc doua operatii algebrice , adunarea si nmultirea, in raport cu care A' devine un inel comutativ si unitar.Fie f, gA', f = (a0, a1, a2, .) , g = (b0, b1, b2,.). Atunciadunarease defineste astfel:f + g = (a0 + b0, a1 + b1, a2 + b2, .).Este evident ca f + gare numai un numar finit de termeni nenuli, decif + gA . Sa verificam ca (A',+)este grup abelian .ntr-adevar, daca f ,g, hA , f = (a0, a1, a2, .), g = (b0, b1, b2, .),h = (c0, c1, c2, .),atunci (f + g) + h = (a0 + b0, a1 + b1, a2 + b2, .) ++ (c0, c1, c2, .) = [(a0 + b0) + c0, (a1 + b1) + c1, .] sif + (g + h) = (a0, a1, a2, .) + [(b0, b1, b2, .) + (c0, c1, c2,.)] = [a0 + (b0 + c0),a1 + (b1 + c1),.] .Cum adunarea n inelul A este asociativa , avem (ai + bi) + ci = ai + (bi + ci) , i = 1, 2, 3 ., de unde (f + g) + h = f + (g + h) . Analog se arata caf + g = g + f.Daca 0 = (0, 0, 0, .) , atunci 0 + f = (0, 0, .) + (a0, a1, .) = (0 + a0, 0 ++ a1, .) = (a0, a1, a2, .) = f = f + 0, deci 0 este element neutru pentru adunare. Daca fA', f = (a0, a1, a2, .), atunci -f = (- a0, - a1,- a2, .) este opusul lui f sif + (- f) = (- f) + f = 0 .nmultirea pe A se defineste astfel:fg = (a0b0, a0b1 + a1b0, a0b2 + a1b1 + a2b1, .) = (c0, c1, .) , unde Ck=.Este clar ca f, gA'. nmultirea pe A', astfel definita , este asociativa, comutativa si are element unitate. Sa aratammai nti asociativitatea .Fie f, g, hA' , unde f = (a0, a1, a2, .) , g = (b0, b1, b2, .) , h = (c0, c1, ,c2, .)si sa aratam ca (fg)h = f(gh).Fie fg = (d0, d1, d2,.). Atunci. De asemenea, fie(fg)h = (d0',d1',d2',.), unded'm =Daca gh = (c0,c1,.), atunci :si fie f(gh) = (l'0,l'1,l'2,.), unde :.Deci d'm = l'mpentru orice m. Deci (fg)h = f(gh) . Comutativitatea nmultirii rezulta din faptul ca nmultirea n inelul A este comutativa, iar n expresia produsului polinoamelor f si gtermenii factorilor intervin n mod simetric.Elementul unitate din A' este sirul (1, 0, 0, .). nmultirea pe A' este distributiva fata de adunare. ntr-adevar, cu notatiile de mai sus, rezulta :f(g + h) = (d0, d1,.) , undefg + fh = (d'0,d'1,.),undeCum operatia de nmultire pe A este distributiva fata de adunare rezultaf(g + h) = fg + fh. Evident are loc si relatia(f + g)h = fh + gh si afirmatia s-a demonstrat.Propozitia1.8.1.Daca A este un inel unitar comutativ, atunci multimea A' ( a sirurilor de elemente din A, care au numai un numar finit de termeni nenuli) mpreuna cu operatiile de adunare si nmultire definite mai sus este un inel comutativ si unitar.Elementele acestui inel se numescpolinoame peste Asaupolinoame cucoeficienti din A.Daca f = (a0, a1, .) este un polinom nenul (adica nu toti termenii ai sunt nuli ) si dacaneste cel mai mare numar natural cu proprietatea ca an0 , atuncinse numestegradul polinomului f. Pentru polinomul nul nu sedefineste gradul. Convenim sa consideram gradul sau ca fiind -n.Daca gradul (f) = n , atuncia0, a1, ., an se numesccoeficientii polinomului f.Fie aplicatia u: AA' definita prin u(a) = (a, 0, 0, .) . Aplicatia u este injectiva , deoarece , daca u(a) = u(b), atunci (a, 0, .) = (b, 0, .)a = b. De asemenea, u(a + b) = u(a) + u(b) si u(ab) = u(a)u(b) ,a, bA , deoarece , dupa definitie , este evident ca (a, 0, .) + (b, 0, .) = (a + b, 0, . ) si (a, 0, .)(b, 0, .) = (ab, 0, .) .Deciueste omomorfism injectiv. Acest fapt permite sa se identifice elementul aA cu imaginea sa prin u , adica polinomul (a, 0, .) din A'. Astfel,A se poate considera ca un subinel al lui A'. Notam prin X polinomul (0, 1, 0, .), care se numestenedeterminataX. Obtinem:
Pentru orice aA, avem ax= (0, 0, ., 0, a, 0, .). Fie acum un polinom de gradul n , f = (a0, a1, a2, ., an, 0, .) = (a0, 0, 0, .) + (0, a1, 0, .) + ..+ (0, 0, .an, 0, .) = a0(1, 0, .) + a1(0, 1, 0, .) + . + an(0, 0, ., 1, 0, .) =Daca an = 1 , spunem ca polinomul este unitar. Inelul A' obtinut se numesteinelul polinoamelor in nedeterminata X cu coeficienti in inelul A(saupeste inelul A) si se noteaza cu A[X]. Observam ca f are gradul 0 sau -daca si numai dacaf apartine inelului A. Din definitia sumei si produsului a doua polinoame , rezulta ca grad (f + g)max (grad(f),grad(g)) ;grad(fg)grad(f) + grad(g), pentruf, gA[x].Daca A este un domeniu de integritate , se poate nlocui a doua inegalitate printr-o egalitate.Propozitia1.8.2.Daca A este un domeniu de integritate, atunci inelul de polinoame A[x] este domeniu de integritate.Demonstratie:Fief, gA[x] ;Atunci :
A fiind domeniu de integritate, rezulta din am0 si bn0 ca ambn0, adica fg0. n particular , pentru un corp comutativ K, inelul polinoamelor de o nedeterminata cu coeficienti in K este un inel integru.Propozitia 1.8.3.Fie A un domeniu de integritate si A[x] inelul polinoamelor n nedeterminata X cu coeficienti in A. Atunci elementele inversabile ale inelului A[x] coincid cu elementele inversabile ale inelului A. deci, cu notatiile cunoscute, avem: u(A[x]) = =u(A).Demonstratie:Fie aA , inversabil in A , adica existabAa.i.ab = 1.Evident, aceasta relatie are loc si in A[x] , deoarece a si b sunt polinoame de gradul zero, deci a este inversabil in A[x] .Invers, fie f un polinom din A[x] inversabil. Atunci exista un polinomgA[x]a.i.fg = 1 si , deci, grad(f) + grad(g) = grad(1) = 0,adicaf, gA.DecifA si f este inversabil in A. n particular, pentru un corp comutativ K, polinoamele inversabile din K[x] sunt polinoame de gradul 0 si numai acesta.Daca A nu este domeniu de integritate, putem avea u(A[x])u(A). ntr-adevar , polinomul neconstant 1 + 2XZ[x] este inversabil, deoarece (1+2x)(1+2x) = 1.Exemple . ( Probleme )1.&nbs 444o1417e p;Sa se arate ca in inelul Q[x, y],polinomul x + yeste ireductibil.Solutie.Este clar ca x + yeste nenul si neinversabil . Daca ar fi reductibil s-ar descompune astfel:x + y = (a + a x + a y)(b + b x + b y) = a b + (a b + a b )x ++ (a b + a b )y + (a b + a b )xy + a b x + a b y . De aici obtinem a b = 0, a b = 1 ,a b = 1, a b + a b = 0 de unde a = b = 0. Apoi, din a a(a b + a b ) = 0 se obtine caa + a = 0 , contradictie .2.Sa se arate ca in inelul C[X, Y] , polinomul X (Y + 1) + X Y+ X Y ++ XY + Yeste ireductibil, n2 ,nN .Solutie .Polinomul poate fi considerat in nedeterminata X cu coeficienti in Q[Y] deci, in inelul Q[X][Y]. Atunci, pentru valoarea particulara y = p, p - prim , n inelul factorial Q[Y] sunt ndeplinite conditiile din criteriul lui Eisenstein . Deci, polinomul X (Y+1) +X Y +X Y +XY +Y este ireductibil in inelul Q[X][Y] = Q[X,Y] .3.Sa se arate ca polinomulf = 3X + 4X - 6X + 7X + 21este ireductibil inZ[X] .Solutie .Polinomul f este primitiv. Aplicam criteriul reductiei pentru p = 2. Avemf = X +X +1Z [X]si aratam ca feste ireductibil in Z [X]. Deoarece f(0) = (1) = 10 , rezulta ca f nu are factori de gradul nti in descompunere. Fie acum X +X +1= =(aX + bX + c)(mX + nx + pX + q). Prin identificarea coeficientilor se ajunge laam = 1, an + mb = 0, ap + bn + cm = 0, aq + bp + cn = 1, cq = 1. De aici, avema = m = c = q = 1 si deci, b + n = 0, p + bn = 1, bp + n = 1, b + p = 0, de unde, prin calcul simplu ajungem la a = 1, contradictie. In concluzie, f este ireductibil in Z [X]. Din criteriul reductiei rezulta f ireductibil in Z[X].1.8.2.Inelul polinoamelor de mai multe nedeterminate.Fie A un inel. Atunci inelul polinoamelor in nedeterminatele X1, X2, ., Xn cu coeficienti n inelul A se defineste inductiv astfel : daca A[X1] este inelul polinoamelor in nedeterminata X , cu coeficienti in inelul A1,A[X1, X2] este inelul polinoamelor in nedeterminata X2 cu coeficienti in inelul A[X1] si, in general :A[X1, X2, ., Xn] este inelul polinoamelor in nedeterminata Xn cu coeficienti in inelul A[X1, X2, ., Xn-1] . Pe A[X1] l-am construit deja si in mod recurent:A[X1,X2]=A[X1]A[X2]A[X1,X2,X3]=A[X1,X2]A[X3] ;.............A[X1,X2,.Xn]= A[X1,X2,.,Xn-1]A[Xn].Daca f este un polinom in inelul A[X1,X2,.,Xn] , atunci el este polinom in nedeterminata Xn cu coeficienti in inelul A[X1,X2,.,Xn-1] si , deci,A[X1,X2,.,Xn-1], pentru oricei = 0, 1, ., hn . Din aproape in aproape , f se scrie ca o suma finita de forma:
n careA se numesc coeficientii polinomului f,sunt numere nenaturale . Un polinom din A[X1, X2, . Xn] de formaaX1X2X3 . Xn, a0 , se numestemonom.Definitia 1.8.4.Se numeste gradul monomului aX1X2X3.Xn, a0 in raport cu ansamblul nedeterminatelor X1,X2,X3,., Xn,suma i1 + i2 + . + in.Definitia 1.8.5Se numeste gradul polinomului fA[X1,X2,.Xn] in raport cu ansamblul nedeterminatelor X1,.,Xncel mai mare dintre gradele monoamelor sale n raport cu ansamblul nedeterminatelor. Ca si n inelul polinoamelor ntr-o nedeterminata , si aici avem:Propozitia 1.8.6.Fie A un inel si f, gA[X1, X2, . Xn] . Atunci:(1)grad (f + g)max(grad(f), grad(g)) ;(2)grad (fg)grad(f) + grad(g) ;(3)daca, in plus, A este domeniu de integritate , atunci la punctul (2) vom avea egalitate ; mai mult, U(A[X1, X2, . Xn]) = U(A).
