1

Cercuri tangente şi drepte izogonale

Un cerc care este tangent interior la cercul circumscris unui triunghi oarecare

,ABC intersectează latura [ ]BC în punctele D şi .E Arătaţi că: .BAD CAE

A

CB TE D

F G

SOLUŢIE (M.Miculiţa): Notând cu F şi G cel de al doilea punct de intersectie al cercului circumscris triunghiului ,ADE în mod respectiv cu laturile [ ]AB şi [ ];AC iar cu T punctul de

intersecţie al tangentei commune din ,A al celor două cercuri, cu dreapta suport a laturii

[ ],BC avem:

{ }

.{ }

AT AFG A AFG TACAFG ABC FG BC DF EG BAD CAE

AT ABC A ABC TAC

■

APLICAŢIE (Problema M2219 din KVANT, nr.2/2011; pag.27):

Două cercuri, care nu sunt congruente 1O şi 2O sunt tangente interior la cercul ,O în

punctele A si .B Cercurile 1O şi 2O sunt secante în punctele C şi ;D iar dreapta CD

intersectează cercul O în punctele E şi .F Notăm cu T de intersecţie al tangentelor

duse la cercul O în punctele E şi .F Arătaţi că dreapta AB trece prin punctul .T

O1

O

O2

A

B

C

D

F

E

T

2

SOLUŢIE (Mihai Miculiţa): Întrucât cercul 1O este tangent interior la cercul ,O

(circumscris triunghiului AEF ), ne găsim în ipotezele teoremei care face obiectul problemei anterioare; aşa că are loc şi concluzia sa, din care pe baza teoremei lui Steiner, obţinem că:

2

| | | | | |. (1)

| | . | | | |

EC ED AECAE DAF

FC FD AF

În mod analog, deducem că:

2| | | | | |

. (2)| | . | | | |

EC ED BE

FC FD BF

Din relaţiile (1) şi (2), rezultă că: | | | |

| | . | | | | . | || | | |

AE BEAE BF AF BE

AF BF patrulaterul

inscriptibil AFBE este un patrulater armonic; aşa că: diagonala sa AB este simediană în .BEF T AB ■