Cercetari Operationale Curs 2004

Ing. Radu BIG

CERCETĂRI OPERAŢIONALE

PENTRU FACULTĂŢI TEHNICE

NOTE DE CURS

Traducere şi adaptare după

FUNDAMENTALS OF MANAGEMENT SCIENCE 1988 FOURTH EDITION

EFRAIM TURBAN & JACK R. MEREDITH

ing. Radu BIG

CERCETĂRI OPERAŢIONALE

PENTRU

FACULTĂŢI TEHNICE

NOTE DE CURS

Traducere şi adaptare după

FUNDAMENTALS OF MANAGEMENT SCIENCE 1988 FOURTH EDITION

EFRAIM TURBAN & JACK R. MEREDITH

BAIA MARE, DECEMBRIE 2004

2

CUPRINSUL LUCRĂRII

1. Fundamentele cercetării operaţionale _________________________________________5 1.1. Introducere __________________________________________________________________ 5

1.1.1. Despre ce este vorba? _______________________________________________________________5 1.1.2. Factori de influenţă ai deciziei_________________________________________________________6 1.1.3. Definirea managementului ştiinţific ____________________________________________________6 1.1.4. Caracteristicile ştiinţei manageriale_____________________________________________________6 1.1.5. Instrumentele ştiinţei manageriale ______________________________________________________7 1.1.6. Dezvoltarea istorică _________________________________________________________________7 1.1.7. Extinderea utilizării şi limitări _________________________________________________________8

1.2. Managementul ştiinţific: caracteristici şi procese ___________________________________ 9 1.2.1. Procesul decizional ________________________________________________________________10 1.2.2. Procesul decizional şi rezolvarea problemelor____________________________________________10 1.2.3. Abordarea ştiinţifică _______________________________________________________________10 1.2.4. Punctul de vedere sistemic___________________________________________________________11

1.3. Procesul cercetării operaţionale ________________________________________________ 14 1.3.1. Problemele manageriale şi instrumentele cercetării operaţionale _____________________________14

2. Teoria deciziei____________________________________________________________16 2.1. Analiza deciziilor pe baza tabelelor de decizie _____________________________________ 16

2.1.1. Caracteristicile problemei investiţiilor__________________________________________________16 2.1.2. Utilizarea tabelelor de decizie ________________________________________________________16

2.2. Clasificarea situaţiilor de decizie________________________________________________ 17 2.2.1. Decizia în condiţii de certitudine ______________________________________________________19 2.2.2. Decizia în condiţii de risc ___________________________________________________________20 2.2.3. Arbori de decizie __________________________________________________________________23 2.2.4. Decizia în condiţii de incertitudine ____________________________________________________25

3. Utilităţi şi teoria jocurilor __________________________________________________28 3.1. Graficul utilităţilor ___________________________________________________________ 30 3.2. Utilizarea utilităţilor __________________________________________________________ 31 3.3. Teoria jocurilor ______________________________________________________________ 32

3.3.1. Natura problemelor de teorie a jocurilor ________________________________________________32 3.3.2. Metodologia teoriei jocurilor_________________________________________________________33 3.3.3. Rezolvarea jocurilor________________________________________________________________33

4. Previziunea ______________________________________________________________38 4.1. Studiul previziunii____________________________________________________________ 38

4.1.1. Utilizarea previziunii _______________________________________________________________38 4.1.2. Modele de previziune şi metode ______________________________________________________38 4.1.3. Factori care influenţează alegerea metodei de previziune ___________________________________39 4.1.4. Metode subiective de previzionare ____________________________________________________40 4.1.5. Metode de numărare _______________________________________________________________40 4.1.6. Metode pe baza seriilor de timp_______________________________________________________40 4.1.7. Metode cauzale ___________________________________________________________________45

4.2. Bazele programării lineare_____________________________________________________ 46 4.2.1. Natura problemelor de programare lineară ______________________________________________46 4.2.2. Formularea problemei ______________________________________________________________47 4.2.3. Formulare generală şi terminologie ____________________________________________________49 4.2.4. Rezolvarea problemelor lineare _______________________________________________________51 4.2.5. Metoda Simplex___________________________________________________________________54 4.2.6. Aplicaţii ale programării liniare_______________________________________________________64

3

4.3. Bazele programării matematice_________________________________________________ 67 4.3.1. Dualitatea________________________________________________________________________67 4.3.2. Formularea problemelor ____________________________________________________________68 4.3.3. Analiza senzitivităţii _______________________________________________________________72

4.4. Modele de planificare în reţea __________________________________________________ 75 4.4.1. Caracteristicile managementului proiectelor _____________________________________________75 4.4.2. Metoda PERT şi Metoda drumului critic________________________________________________76

4.5. Programarea dinamică________________________________________________________ 86 4.5.1. Natura programării dinamice _________________________________________________________86 4.5.2. Terminologie şi structură____________________________________________________________89 4.5.3. Aplicaţii ale programării dinamice ____________________________________________________90

4.6. Modele de stocuri ____________________________________________________________ 93 4.6.1. Modele de optimizare a stocurilor _____________________________________________________95 4.6.2. Sisteme de comandă pentru reaprovizionare _____________________________________________97

4.7. Linii de aşteptare_____________________________________________________________ 99 4.7.1. Situaţia de aşteptare ________________________________________________________________99 4.7.2. Metodologia analizei aşteptării ______________________________________________________101 4.7.3. Procesul de sosire ________________________________________________________________101 4.7.4. Procesul serviciilor _______________________________________________________________103 4.7.5. Linia de aşteptare_________________________________________________________________104 4.7.6. Modele de cozi şi modalităţi de soluţionare_____________________________________________105 4.7.7. Modelul de bază POISSON (M/M/1 FCFS/∞/∞) ________________________________________108 4.7.8. Analiza costurilor liniei de aşteptare __________________________________________________110

4.8. Simularea__________________________________________________________________ 112 4.8.1. Caracterizarea generală a simulării ___________________________________________________112 4.8.2. Metodologia simulării _____________________________________________________________114 4.8.3. Tipuri de simulări ________________________________________________________________115 4.8.4. Simularea discretă independentă de timp ______________________________________________118 4.8.5. Simularea discretă dependentă de timp ________________________________________________122

5. Sisteme de sprijin pentru decizie (DSS)_______________________________________123 5.1. Introducere şi definiţii _______________________________________________________ 123 5.2. Cadrul pentru sprijinirea deciziilor ____________________________________________ 123 5.3. Caracteristicile şi beneficiile DSS ______________________________________________ 124 5.4. Evoluţia Sistemelor de Susţinere a Deciziilor_____________________________________ 124 5.5. Structura Sistemelor de Susţinere a Deciziilor____________________________________ 125 5.6. Capabilităţile sistemului DSS__________________________________________________ 126

6. Sisteme expert___________________________________________________________127 6.1. Introducere şi concepte de bază________________________________________________ 127 6.2. Structura sistemelor expert ___________________________________________________ 127 6.3. Funcţionarea sistemului expert ________________________________________________ 128 6.4. Utilizarea sistemelor expert ___________________________________________________ 128

7. Bibliografie_____________________________________________________________129

4

1. FUNDAMENTELE CERCETĂRII OPERAŢIONALE 1.1. Introducere 1.1.1. Despre ce este vorba? Managementul = un proces utilizat pentru atingerea unor obiective, utilizând resurse

(materiale, umane, financiare, informaţii) Resursele = intrări Atingerea obiectivelor = ieşiri (rezultate) Succesul activităţii manageriale se măsoară prin raportul dintre rezultate şi resursele utilizate. Acest raport se numeşte “productivitate”. Funcţiile manageriale:

• Planificarea

• Organizarea

} ”directing” • Conducerea (decizia / comanda)

• Coordonarea

• Controlul Uzual

“MANAGEMENT = LUAREA DECIZIILOR”

Decizia: artă – învaţă în timp din analiză şi eroare Ştiinţă – inovaţiile în tehnologie reclamă şi inovaţie în management

5

1.1.2. Factori de influenţă ai deciziei Factorii care pot afecta procesul deciziei sunt cei definiţi în tabelul 1.

Tabelul 1. Factori de influenţă ai deciziei

Nr. FACTORUL DE INFLUENŢĂ TREND OBSERVAŢII

1 Tehnologia Creştere

2 Informaţiile / calculatoarele Creştere Mai multe alternative

3 Mărimea organizaţiei Creştere

4 Complexitatea structurii Creştere

5 Concurenţa Creştere

Cost mai mare al greşelilor / erorilor

6 Stabilitatea internaţională Descreştere

7 Consumul Creştere

8 Intervenţia guvernului Descreştere

Mai multă incertitudine în

ceea ce priveşte viitorul

Din punct de vedere al managementului ştiinţific procesul decizional constă în: 1. Analizarea fenomenelor care pot fii măsurate 2. Determinarea relaţiilor stabilite cantitativ 3. Determinarea relaţiei de tip cauză – efect poate fi testată experimental

Deciziile programate pot fii soluţionate rapid cu ajutorul instrumentelor ştiinţifice şi al calculatorului, managerii putând aloca o atenţie mai mare problemelor calitative ale conducerii, precum şi deciziilor tot mai complexe. 1.1.3. Definirea managementului ştiinţific Cercetarea operaţională = aplicarea metodelor, a tehnicilor şi a instrumentelor

ştiinţifice problemelor care presupun operarea cu sisteme şi pentru utilizarea acestora în controlul operaţiilor, cu optimizarea soluţiilor (problemelor)

Ştiinţa managementului = aplicarea metodelor ştiinţifice la studiul operaţiilor în organizaţii mari cu activităţi complexe

Ştiinţa managementului = aplicarea metodelor ştiinţifice la analiza şi rezolvarea problemelor de decizie managerială

1.1.4. Caracteristicile ştiinţei manageriale Caracteristicile principale ale ştiinţei manageriale sunt:

1. Focalizarea principală asupra luării deciziei

6

2. Aplicarea metodelor ştiinţifice la luarea deciziilor 3. Examinarea situaţiilor decizionale dintr-o perspectivă largă; aceasta este

aplicarea abordării sistemice 4. Utilizarea metodelor şi cunoştinţelor din mai multe discipline 5. Transpunerea în modele matematice formale 6. Utilizarea pe scară largă a calculatoarelor

1.1.5. Instrumentele ştiinţei manageriale Managementul ştiinţific operează cu instrumente care îi dau posibilitatea:

a. să analizeze problemele (diagnoza) b. să estimeze evoluţia viitoare a problemelor (prognoza) c. să sugereze cel mai bun tratament

Instrumente “standard” utilizate de către ştiinţa managerială:

• programarea liniară

• programarea în numere întregi

• programarea dinamică Instrumente “împrumutate” de către ştiinţa managerială:

• instrumente statistice

• modele econometrice, financiare, de marketing, organizaţionale Instrumente “speciale” utilizate de către ştiinţa managerială:

• arbori de decizie 1.1.6. Dezvoltarea istorică Apariţia managementului ca ştiinţă = odată cu Revoluţia Industrială Frederick TAYLOR = formulează primele concepte ale managementului ştiinţific (1880

– 1900) După 1940 = ştiinţa managementului După 1970 = penetrarea în domeniul social După 1980 = integrarea cu sistemele de management al informaţiei

7

Managementul contingenţial (totul depinde de situaţie)

Managementul sistemic (totul este interdependent)

Abordarea cantitativă (pune accent pe optimizări, indiferent de abordările precedente)

Abordarea behavioristă (cheia managementului eficient este înţelegerea oamenilor)

Teoria generală administrativă a lui Fayol (funcţiunile managerilor care asigură eficienţa conducerii)

Managementul ştiinţific al lui Taylor (căutarea celor mai bune variante de executare a operaţiilor)

1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

Fig. 1. EVOLUŢIA GÂNDIRII MANAGERIALE

1.1.7. Extinderea utilizării şi limitări Observaţii:

• Ştiinţa managementului nu se poate substituii managementului competitiv.

• Decizia de utilizare a unui instrument sau altul aparţine managerului. Avantajele ştiinţei managementului sunt:

1. Abordare sistematică şi logică a procesului decizional 2. Ajută comunicarea în interiorul organizaţiei prin consultarea cu experţi din diferite

domenii 3. Permite o analiză completă a unui număr mare de opţiuni alternative 4. Capabilă să evalueze situaţi care implică incertitudinea 5. Permit decidenţilor să aprecieze cât de multă informaţie este într-o problemă dată 6. Creşte eficacitatea deciziilor

8

7. Permite identificarea rapidă a soluţiilor optime 8. Permite examinări rapide şi ieftine pentru un număr mare de alternative 9. Permite experimentarea pe modele, aceasta eliminând costurile erorilor de

decizie în situaţii reale Dezavantajele ştiinţei managementului sunt:

1. Consumă timp 2. Lipsă de acceptare din partea decidenţilor 3. Aprecierea incertitudinilor este greu de obţinut 4. Evaluează decizia în termeni care uneori simplifică prea mult realitatea 5. Poate să fie scumpă în raport cu dimensiunea problemei 6. Studiile pot fii clasate din diferite motive

Exemple de utilizări: • Controlul stocurilor • Proiectarea amenajărilor • Stabilirea mix-ului de produs • Analiza portofoliului • Programare şi ordonanţare • Analiza fuzionare-creştere • Planificarea transporturilor • Proiectarea sistemelor

informaţionale

• Alocarea resurselor • Decizia de investire • Managementul proiectelor • Decizia “produs nou” • Forţele vânzării • Cercetarea de piaţă • Decizia de cercetare-

dezvoltare • Decizia de explorare

• Decizia de preţ • Decizia de licitare • Decizia controlului calităţii • Amplasarea echipamentelor • Decizia de distribuţie • Decizia asupra resurselor

umane • Analiza de credit • Eficienţa cercetării-dezvoltării

1.2. Managementul ştiinţific: caracteristici şi procese Caracteristicile managementului ştiinţific sunt:

1. Un interes principal în luarea deciziilor manageriale 2. Angajarea unei abordări ştiinţifice 3. Problemele şi deciziile sunt analizate din perspectivă sistemică 4. Este utilizat un cadru interdisciplinar 5. Se utilizează modele matematice 6. Se utilizează frecvent calculatoarele

Procesul managementului ştiinţific: angajează o abordare sistemică a procesului decizional Instrumentele utilizate: instrumentele standard ale cercetării operaţionale au fost create în principiu pentru a răspunde unor probleme manageriale reale.

9

1.2.1. Procesul decizional Decizia = rezultatul unui proces prin care se aleg, intre două sau mai multe

alternative, căile sau acţiunile necesare pentru atingerea obiectivelor

Proces decizional = procesul prin care se ajunge la luarea unei decizii 1.2.2. Procesul decizional şi rezolvarea problemelor Paşii necesari a fii parcurşi în cadrul procesului decizional sunt:

1. Definirea problemei 2. Căutarea alternativelor 3. Evaluarea alternativelor 4. Selectarea unei alternative

Notă: în cadrul cercetării operaţionale procesul decizional se va considera echivalent

cu rezolvarea problemelor (şi reciproc). 1.2.3. Abordarea ştiinţifică Abordarea ştiinţifică este un proces raţional care constă în parcurgerea următorilor paşi: Pas 1. Problema de analizat este definită şi condiţiile de observare sunt determinate Pas 2. Observaţiile sunt făcute în diferite condiţii pentru determinarea

comportamentului sistemului care conţine problema Pas 3. O ipoteză este elaborată pe baza observaţiilor făcute, pentru a descrie cum

interacţionează factorii implicaţi, sau care este soluţia optimă pentru problemă Pas 4. Testarea ipotezei şi experimentarea modelului Pas 5. Experimentul este executat şi măsurătorile sunt făcute şi înregistrate Pas 6. Rezultatul experimentului este analizat şi ipotezele sunt validate sau respinse

10

Notă: Cei şase paşi ai metodei ştiinţifice pot fii aplicaţi procesului decizional. Proces decizional Metoda ştiinţifică

DEFINIREA PROBLEMEI

CĂUTAREA ALTERNATIVELOR

EVALUAREA ALTERNATIVELOR

ALEGEREA ALTERNATIVEI OPTIME

DEFINIREA PROBLEMEI

OBSERVAŢII

IPOTEZE POSTULATE

EXPERIMENTE: PROIECTARE ŞI EXECUTARE

IPOTEZA ESTE ACCEPTATĂ / RESPINSĂ

Pas 1.

Pas 2.

Pas 3.

Pas 4. +

Pas 5.

Pas 6.

Fig. 2. Relaţia dintre abordarea ştiinţifică şi procesul decizional

1.2.4. Punctul de vedere sistemic A treia caracteristică a cercetărilor operaţionale este utilizarea teoriei şi analizei sistemelor. Sistem = o mulţime de indivizi, resurse, concepte şi proceduri care este nominalizată

să execute o anumită funcţiune, sau să servească unui scop Nivel (ierarhie) = reflectă faptul că toate sistemele sunt subsisteme, deci toate sistemele

sunt conţinute în sisteme mai largi Structura unui sistem Componentele sistemului sunt:

Intrări = elemente care intră în sistem Procese = elemente necesare transformării intrărilor în ieşiri Ieşiri = descriu produsele finite ori consecinţele parcurgerii sistemului Feedback = fluxul de informaţii către decident în legătură cu rezultatele sistemului Mediu = elementele exterioare sistemului

11

Mediul: Economic, piaţă, politic, material, legal, social

INTRĂRI

• Materii prime • Costuri • Resurse

IEŞIRI

• Performanţe • Consecinţe • Produse finite

PROCES • Proceduri • Programe • Instrumente • Activităţi • decizii

Decident

Fig. 3. Sistemul şi mediul

Limitele sistemului = separă sistemul de mediu Sisteme închise = sunt sisteme izolate faţă de mediu (nu au schimburi / influenţe cu

mediul) Sisteme deschise = sisteme care schimbă informaţii, materiale, energie cu mediul Abordarea sistemelor Cercetarea operaţională recunoaşte că o decizie luată într-un segment al organizaţiei poate avea un efect semnificativ nu numai asupra segmentului considerat, ci şi asupra operării altor segmente ale sistemului. O astfel de abordare este denumită ca punctul de vedere al sistemului, sau abordarea sistemului (studiul sistemelor). Eficacitatea şi eficienţa sistemelor Eficacitatea = măsoară gradul de atingere al obiectivelor = se măsoară prin performanţă Eficienţa = măsoară cât de bine au fost utilizate resursele

12

Metodologii utilizate:

• eficacitatea costurilor

= >Măsoară eficacitatea şi eficienţa sistemelor • analiza cost – beneficiu

• rata beneficiu – cost

• analiza sistemelor Modele Utilizarea modelelor = esenţa cercetărilor operaţionale Model = o reprezentare simplificată sau abstractă a realităţii Tipuri de modele:

• scalar = o replică fizică a sistemului, de obicei la o altă scară faţă de original

• analogic = nu arată “fizic” ca şi sistemul real dar se comportă ca originalul

• matematic = un model abstract care este prezentat cu ajutorul simbolurilor matematice; poate fii utilizat uşor la experimente şi prognoze

Avantajele utilizării modelelor matematice sunt:

a. pot oferi soluţii multiple (infinite) b. oferă o comprimare a timpului c. schimbarea variabilelor este mai simplă decât în sistemele reale d. costul erorilor este mai mic e. ajută la abordarea “riscului calculat” f. costul analizei pe model este mai mic decât pe un sistem real g. modelele ajută şi îmbunătăţesc învăţarea

13

1.3. Procesul cercetării operaţionale Procesul cercetării operaţionale este reprezentat în figura 4. Procesul se desfăşoară în şase paşi care vor fii detaliaţi pe parcurs.

Problemă reală

Pas 1 Definirea problemei

Pas 5 Validare, analiza

senzitivităţii, recomandări

Pas 4 Soluţia

modelului

Pas 3 Formularea şi

construirea modelului matematic

Pas 2 Clasificare şi

conceptualizare

Pas 6 Implementare

Soluţie aplicabilă?

Validare

Testare

Feedback

Fig. 4. Procesul cercetării operaţionale

1.3.1. Problemele manageriale şi instrumentele cercetării operaţionale Tipuri de probleme manageriale

• Situaţie competitivă

• Probleme de alocare

• Probleme de distribuţie

• Probleme de reţea

• Controlul stocurilor

• Problema liniilor de aşteptare

• Previziunea asupra comportamentului sistemului

• Alte probleme

• Probleme complexe

14

Instrumente ale cercetării operaţionale

• Tabele de decizie

• Arbori de decizie

• Teoria jocurilor

• Prognoza

• Programarea matematică

• Modele în reţea

• Prognoza dinamică

• Lanţuri Markov

• Modele de stocuri

• Linii de aşteptare

• Simularea

• Sisteme de decizie

• Sisteme expert

15

2. TEORIA DECIZIEI 2.1. Analiza deciziilor pe baza tabelelor de decizie 2.1.1. Caracteristicile problemei investiţiilor Decidentul trebuie să aleagă o variantă dintre câteva posibile. Se aşteaptă să-şi maximizeze profitul la sfârşitul perioadei. Dificultatea constă în gradul de incertitudine privind evoluţiile viitoare. Indiferent de decizie, decidentul îşi asumă un risc de a nu-şi realiza obiectivele. Întrebări care se pun:

• Ce grad de risc îmi asum?

• Cum relaţionez riscul de o alternativă disponibilă?

• Pot reduce riscul?

• Pot elimina riscul? Analiza cantitativă, Teoria Deciziei, încearcă să răspundă la aceste întrebări. 2.1.2. Utilizarea tabelelor de decizie Tabel de decizie = aranjarea variantelor de decizie a diferitelor date cantitative într-o

formă tabelară Obiectiv = posibilitatea analizei sistematice a problemei Elementele tabelului de decizie sunt:

• Alternativele acţiunii (variabilele de decizie)

• Stările naturii

• Probabilităţile stărilor naturii

• Plăţile (rezultatele) Evoluţiile alternative ale decidentului implică două sau mai multe opţiuni (strategii sau alternative). Una şi numai una dintre alternative va fii selectată. Notăm direcţiile alternative de acţiune = a1, a2, …, an (sau uneori d1, d2, …, dn) unde variabila n = 1, 2, …, ∞. Notă: tabelele de decizie se folosesc pentru un număr finit de variabile. Exemplu: Un investitor are trei alternative de plasare a banilor (vezi tabelul 2). Se presupune că acesta va alege una dintre cele trei alternative prezentate.

16

Tabelul 2. Opţiunile de investire 0,5 0,3 0,2 Stările naturii

Alternative Variabile de decizie

Creştere S1

StagnareS2

Inflaţie S3

a1 Bonuri de tezaur 12 6 3

a2 Acţiuni 15 3 -2

a3 Depozit la termen 6,5 6,5 6,5 Unde: p1 + p2 + … +pn = 1 (∑pi = 1) Structura generală a unui tabel de decizie:

• Direcţii alternative de acţiune (variante) = variabile de decizie independente

• Stările naturii = parametrii independenţi necontrolabili

• Probabilitatea stărilor naturii = parametrii independenţi, necontrolabili

• Plăţi = rezultatele aşteptate

Tabelul 3. Structura generală a unui tabel de decizie Stări ale naturii Direcţii

alternative de acţiune

p1

s1

p2

s2

… …

pm

sm

a1 o11 o12 … o1m

a2 o21 o22 … o2m

……… …

an on1 on2 … onm

Probabilităţi (necontrolabile)

pj

Rezultate (plăţi)

oij

(ai)

ne i

(ai)

2.2. Clasificarea situaţiilor de decizie Baza clasificării = ce ştie factorul de decizie (ce crede) Grade de cunoaştere:

• Certitudine = informaţie completă

• Risc = informaţie parţială

• Incertitudine = informaţie limitată

17

Parametrii controlabil

i
Plăţ

Decizia în condiţii de certitudine Presupunere = informaţia completă este disponibilă; decidentul ştie exact rezultatul

fiecărei direcţii de acţiune (situaţie determinată) Observaţie = se aplică pentru perioade scurte de timp

Creşterea cunoaşterii (cunoştinţelor)

Scăderea cunoaşterii

Cunoaştere completă

(Certitudine)

Ignoranţă (Incertitudine

Totală) RISC

Fig. 5. Zonele de luare a deciziilor

Observaţie = o singură stare a naturii se petrece la un moment dat (o coloană) = un singur rezultat se poate asocia la fiecare variantă de decizie Decizia în condiţii de risc Risc = există două sau mai multe plăţi (rezultate) posibile – situaţie probabilistică Ne asumăm posibilitatea ca şansa de a se produce o stare a naturii să fie cunoscută (situaţie de decizie în condiţii de risc) Decizia în condiţii de incertitudine Incertitudine = decidentul consideră că sunt posibile mai multe rezultate pentru fiecare

variantă; decidentul nu poate estima, sau nu poate şti, probabilitatea de a se manifesta o anumită stare a naturii

Procesul luării deciziilor Paşii necesari luării unei decizii sunt:

a. Stabilirea alternativelor (oportunităţilor) şi a posibilelor incertitudine referitoare la consecinţele anticipate

b. Alcătuirea tabelelor de decizie (sau a arborelui de decizie) c. Stabilirea probabilităţii de manifestare a diferitelor stări ale naturii d. Evaluarea rezultatelor în lumina criteriilor de alegere e. Evaluarea deciziei

18

2.2.1. Decizia în condiţii de certitudine Procedură: se compară toate variantele de plăţi (rezultate) şi se selectează alternativa

cu profitul cel mai mare, sau cu costul cel mai mic. Logica procedurii: nu se poate face altfel Cazuri practice: număr mic de alternative = metoda enumerării complete Număr mare de alternative (∞) = modele matematice de selecţie Metoda enumerării complete Enumerarea completă = examinarea fiecărei plăţi, compararea lor, eliminarea soluţiilor

inferioare Se continuă până la examinarea tuturor plăţilor Exemplu: O echipă de mecanici (3) au de făcut reparaţii curente la mai multe utilaje (A,

B, C), reparaţiile făcându-se una câte una. Bazat pe experienţa anterioară maistrul ştie exact durata reparaţiilor (în ore), în funcţie de calificarea fiecărui muncitor. Problema care se pune este minimizarea timpului de reparare pentru cele trei utilaje.

Tabel 4. Timpii de reparare

Utilaj Muncitor

A B C

1. Vasile 3 7 4

2. Eugen 4 6 6

3. Cornel 3 8 5

Soluţia problemei: tabel de decizie cu enumerarea tuturor variantelor

Tabel 5. Soluţia timpilor de reparare

Alternative Plata totală

(timp total de reparare)

a1 1-A 2-B 3-C 3+6+5 = 14

a2 1-A 2-C 3-B 3+6+8 = 17

a3 1-B 2-A 3-C 7+4+5 = 16

a4 1-B 2-C 3-A 7+6+3 = 16

a5 1-C 2-B 3-A 4+6+3 = 13 a6 1-C 2-A 3-B 4+4+8 = 16

19

Calcularea cu ajutorul modelelor matematice Există cazuri în care enumerarea completă nu dă rezultate:

• Cazuri cu număr infinit de alternative (posibil de rezolvat prin programare liniară)

• Cazuri cu număr finit, dar foarte mare, de alternative (probleme combinatorii) 2.2.2. Decizia în condiţii de risc Caracteristic = situaţia de decizie la care probabilitatea de producere a unei stări a

naturii este cunoscută sau poate fii estimată. Decidentul poate să evalueze gradul de risc al deciziei în termeni

probabilistici. Conceptul de probabilitate în luarea deciziei Probabilitatea = mijlocul prin care decidentul exprimă o judecată asupra unui eveniment

viitor posibil. Frecvenţa de producere a unui eveniment când situaţia se repetă de

mai multe ori în condiţii identice Probabilităţi obiective şi subiective Probabilităţi obiective = se bazează pe experienţa anterioară (situaţii anterioare) sau pe

experimente Caracteristici:

a. se bazează pe observaţia anterioară şi presupunerea că în viitor evenimentele se vor produce identic

b. procesele trebuie să fie stabile c. dacă un eşantion a fost analizat pentru determinarea comportamentului, el

trebuie să fie suficient de mare şi reprezentativ pentru întregul proces Probabilitate subiectivă = măsoară gradul de credibilitate că un eveniment viitor va avea

un rezultat dat Se bazează pe intuiţie Luarea deciziei în condiţii de risc A. Pe baza valorii aşteptate Metoda se bazează pe „valoarea aşteptată” ca un criteriu de alegere. Alternativa metodei este „pierderea oportunităţii” aşteptate. Se va evalua cea mai probabilă stare a naturii. Exemplu: Cum să investeşti în condiţii de inflaţie?

20

Un investitor are trei alternative de plasare a banilor (vezi tabelul 2). Se presupune că acesta va alege una dintre cele trei alternative prezentate.

Tabel 6. Soluţia problemei de investiţie 0,5 0,3 0,2 Probabilităţi Stările naturii


Creştere s1

Stagnare s2

Inflaţie s3

Valoare aşteptată %

a1 Bonuri de tezaur 12 6 3 8.4 a2 Acţiuni 15 3 -2 8.0

a3 Depozit la termen 6,5 6,5 6,5 6.5

maxim

Plata aşteptată = suma plăţilor posibile pentru fiecare stare, ţinând cont de probabilitatea

de manifestare E(a1) = 0.5 x 12 + 0.3 x 6 + 0.2 x 3 = 8.4 E(a2) = 0.5 x 15 + 0.3 x 3 + 0.2 x (-2) = 8.0 E(a3) = 0.5 x 6.5 + 0.3 x 6.5 + 0.2 x 6.5 = 6.5 Generalizare:

E(ai) = p1j

ijjop

Observaţie: area se face în bani, valoarea aşteptată este „valoarea aşteptată a banilor” (EMV = expected monetary value), sau valoarea monetară

Metodă = minimizarea dimeOportunitate pierdută = lativă rezultată din selectarea unei alternative

tivă care ar fii putut fii

plicăm criteriul pierderii oportunităţii la problema anterioară. Tabelul de decizie este

1oi1 + p2oi2 + ... + pioim = ∑=

m

Soluţia problemei este: max{E(ai)} = E(a1) = E*

dacă evalu

aşteptată B. Criteriul pierderii oportunităţii Se mai numeşte şi criteriul regretului

nsiuni regretelor anticipate pierdere recomparată cu cea mai bună alternaselectată.

Exemplu: a1 → pierdere de 3% faţă de a2 în starea s1 (tabelul 6) Aprezentat mai jos.

21

Tabel 6. Solu roblem e investiţie ţia p ei d

0,5 0,3 0,2 Probabilităţi Stările naturii


Cre re Stagnare In ie Regrete aşteptate % ştes1 s2

flaţs3

a1 Bonuri de tezaur 15-12=3 6,5-6=0,5 6,5-3=3,5 3x0,5+0,5x0,3+3,5x0,2=2,35

a2 Acţiuni 15-15=0 6,5-3=3,5 6,5-2=4,5 0x0,5+3,5x0,3+4,5x0,3=2,75

a3 Depozit la termen 15-6,5=8,5 6,5-6,5=0 6,5-6,5=0 8,5x0,5+0x0,3+0x0,2=4,25 C. Cea mai probabilă stare a naturii Se ia în considerare o singură stare a naturii 8cea mai probabilă) => varianta care

a estimată (plasament a1), fie se registrează o pierdere prin plasament în cazul inflaţiei (-2%).

a întrebarea Ce se întâmplă dacă?

.000USD.firma utilizează drept criteriu de analiză valoarea

tatea de pierdere este 1-p).

(1-p)(-15.000USD) resup ea de eşec:

.000USD) = 0 => p = 0.25 (probabilitatea critică) entru: p > 0.25 => EMV = > 0

asigură plata cea mai bună este selectată. În problema de decizie anterioară (tabelul 5) starea cea mai probabilă este „creşterea”, plasamentul în alternativa a2 (Acţiuni) fiind cel mai atractiv. Există posibilitatea unei decizii greşite, în acest caz fie se pierd 3puncte procentuale din dobândîn

Analiza senzitivităţii Răspunde lProblemă: Presupunem că firma noastră analizează o investiţie din care poate să câştige 45.000USD, sau să piardă 15aşteptată a banilor (investiţi). Probabilitatea de succes este p (probabiliValoarea aşteptată se calculează astfel: EMV = p(45.000USD) +P unem star EMV = 0 Avem: p(45.000USD) + (1-p)(-15P

22

2.2.3. Arbori de decizie O decizie nu poate fii privită (uneori) izolat, ci în evoluţie, ca o primă secvenţă a unor decizii interconectate, într-o perioadă mai mare de timp. Decidentul trebuie să ţină cont simultan de întreaga serie. Aceste situaţii se numesc procese de decizie secvenţiale sau multiperioadă. Arbore de decizie = o reprezentare grafică a tabelelor de decizie în forma unui arbore Un instrument care rezolvă problemele secvenţiale, multiperioadă Avantaje:

• oferă o prezentare grafică a problemei

• prelimină momentele când trebuie luate deciziile

• prezintă consecinţele posibile

• prezintă plăţile rezultate aşteptate

• rezultatul calculelor este prezentat direct pe arbore, simplificând analiza Alcătuirea unui arbore de decizie Probabilitatea

p1

A

Plată

Plată

Plată

Plată

Plată

Plată

s1

s2 p2

Alternativa a1 Punct aleator s3 p3

Punct de Ramură decizie Alternativa a2

Fig. 6. Arbore de decizie Punct de decizie: decidentul trebuie să aleagă o alternativă, o acţiune (o ramură) Punct aleator: un număr finit de stări ale naturii sunt aşteptate să se producă Construcţia unui arbore de decizie

a. Construirea unui arbore logic, incluzând punctele de decizie, punctele aleatoare, arcele emergente, în ordine cronologică

23

b. Se introduc probabilităţile stărilor naturii, formând arborele probabilităţilor c. Se adaugă plăţile condiţionate şi rezultă un arbore de decizie complet

Exemplu (problema investiţiei): Reluăm problema investiţiei din capitolul anterior. Aceasta este descrisă în tabelul 7.

Tabel 7. Soluţia problemei de investiţie 0,5 0,3 0,2 Probabilităţi Stările naturii


Creştere s1

Stagnare s2

Inflaţie s3

Valoare aşteptată %

a1 Bonuri de tezaur 12 6 3 8.4 a2 Acţiuni 15 3 -2 8.0

a3 Depozit la termen 6,5 6,5 6,5 6.5 Varianta a1 a fost determinată ca având cea mai mare valoare aşteptată. Această problemă tabelară este prezentată acum ca arbore de decizie. Arbore de evaluare Se consideră două tipuri de segmente:

• Punctele de decizie cu toate alternativele lor

• Puncte de şansă cu toate stările posibile ale naturi Pentru rezolvarea problemei se notează în dreapta arborelui de decizie, pe fiecare ramură plăţile considerate. Se rezolvă situaţiile „spre stânga”, segment cu segment, în ordine inversă desenării.

1. Segmentele punctelor de şansă: valoarea aşteptată a tuturor stărilor se calculează. EMV se scrie deasupra punctului de şansă. Aceasta se consideră plată pentru următoarea ramură a arborelui spre stânga.

2. segmentele punctelor de decizie: într-un punct de decizie se compară plăţile calculate pentru fiecare alternativă şi se selectează valoarea cea mai bună. Alternativele refuzate se marchează direct pe ramură.

24

Rezolvare Creştere p1=0.5

1

12

6

3

6.5

6.5

6.5

15

3

-2

EMV=8.4 Stagnare p2 = 0.3 1 Inflaţie p3 = 0.2 Bonuri a1 Creştere p1=0.5

EMV=8.0

Stagnare p2 = 0.3 2 Acţiuni a2 Inflaţie p3 = 0.2

Depozit a3 Creştere p1=0.5

Stagnare p2 = 0.3

3 EMV=6.5 Inflaţie p3 = 0.2

Fig. 7. Rezolvarea unui arbore de decizie Cazul perioadelor multiple Arbore de decizie complex – o succesiune de arbori de decizie simpli (arbor pentru o singură perioadă). 2.2.4. Decizia în condiţii de incertitudine Caracteristica situaţiei = decidentul recunoaşte diferite stări potenţiale ale naturii, dar nu

poate estima probabilităţile de manifestare. Exemplu: Hotelul Palm Tree doreşte să construiască o aripă nouă. Conducerea ia în calcul posibilitatea de a construi 30, 40 sau 50 de camere. Succesul deciziei depinde de reglementările locale şi de situaţia concurenţei din domeniu. Problema se analizează în 4 situaţii, luându-se în calcul termenul de recuperare anuală a investiţiei (în %). Problemă: câte camere să se construiască astfel încât să se maximizeze rata de

recuperare a investiţiei.

25

Tabelul următor descrie problema în cele 4 stări posibile. Tabel 8. Recuperarea anuală a investiţiei (%)

Stări ale naturii

Alternative

Legislaţie pozitivă şi competiţie

scăzută

s1

Legislaţie pozitivă şi competiţie puternică

s2

Fără legislaţie şi competiţie

scăzută .

s3

Fără legislaţie şi competiţie puternică

.

s4

a1 = 30 camere 10 5 4 -2

a2 = 40 camere 17 10 1 -10

a3 = 50 camere 24 15 -3 -20

Criterii de alegere

a. Criteriul probabilităţilor egale (Laplace) Principiu: Toate stările naturii se pot produce cu aceeaşi probabilitate Avem E(a1) = ¼ x10 + ¼ x5 + ¼ x4 - ¼ x2 = 17/4 E(a2) = ¼ x17 + ¼ x10 + ¼ x1 - ¼ x10 = 18/4* E(a3) = ¼ x24 + ¼ x15 - ¼ x3 - ¼ x20 = 16/4 Observaţie: Niciodată probabilităţile fenomenelor nu sunt egale. b. Criteriul pesimismului (maxim sau minim) Principiu: starea nefavorabilă a naturii se va petrece indiferent ce variantă vom alege. Selecţie: cea mai bună (variantă) dintre rele Exemplu: varianta a1 = - 2 c. Criteriul optimismului (maxim sau minim) Principiu: alternativa cu plata cea mai mare (nu ţine cont de risc) Exemplu: varianta a3 = 24 d. Criteriul optimismului ponderat (criteriul Hurwicz) Principiu: ţine cont de probabilitatea de a se produce starea optimistă / pesimistă a naturii. Notăm α = gradul de optimism, α = [0,1] Rezolvare: Calculăm valoarea ponderată (WV) a fiecărei variante şi alegem maximul (sau minimul). (WV)i = α [max oij] + (1- α)[min oij]

26

Considerând valorile din tabelul 8 avem (presupunem că α = 0.7; 70%): WV1 = 0.7x10 – 0.3x2 = 6.4 WV2 = 0.7x17 – 0.3x10 = 8.9 WV3 = 0.7x24 – 0.3x20 = 10.8* e. Criteriul regretelor Principiu: se determină costul oportunităţii, care ne indică dimensiunea pierderii dacă nu selectăm varianta optimă Pasul 1: realizăm tabelul regretelor

Tabel 9. Tabelul regretelor = Recuperarea anuală a investiţiei (%)

Stări ale naturii

Alternative

Legislaţie pozitivă şi competiţie

scăzută

s1

Legislaţie pozitivă şi competiţie puternică

s2

Fără legislaţie şi competiţie

scăzută

s3

Fără legislaţie şi competiţie puternică

s4

Cel mai mare regret

(cel mai rău)

a1 = 30 camere 24-10=14 15-5=10 4-4=0 -2+2=0 14

a2 = 40 camere 24-17=7 15-10=5 4-1=3 -2+10=8 8

a3 = 50 camere 24-24=0 15-15=0 4-+3=7 -2+20=18 18

min

Pasul 2: se alege varianta pentru care maximul regretelor înregistrează cea mai mică valoare (Minimax)

27

3. UTILITĂŢI ŞI TEORIA JOCURILOR Problemă: Paul şi prietena sa au planificat să participe la balul de absolvire al liceului. Ei au economisit 20$, taxa de participare. În ultimul minut, comitetul de organizare a modificat taxa la 30$, pentru a putea acoperi cheltuielile cu formaţia de muzică invitată la bal. Acest lucru le-a dat planurile peste cap. Unul dintre prieteni, aflând de problema lor, le propune un joc: să dea cu banul! Dacă iasă cap, cei doi îşi vor pierde economiile de 20$; dacă iasă pajură prietenul le va da 12$. La momentul propunerii Paul a râs şi a afirmat că nu este echitabil. Dar acum, Paul a câştigat – poate că nu a fost un joc chiar atât de prostesc, nu? Să analizăm problema utilizând metoda valorii aşteptate. Plata reprezintă banii rămaşi după joc.

Tabel 10. Valoarea aşteptată a plăţii

0.5 0.5 Stările naturii

Alternative Cap Pajură

Plata aşteptată

(EMV)

Acceptare ofertă 0 32 16

Refuzare ofertă 20 20 20

max

Soluţie: pe baza EMV refuzul este soluţia optimă. Analiză: dacă se câştigă se obţin 32$, destui pentru plata taxei de intrare (20$) şi pentru o răcoritoare. Ceea ce este important în acest caz nu este situaţia monetară ci beneficiile (utilităţile) pe care cei doi tineri le pot dobândi (intrarea la bal). Există situaţii când valoare monetară nu este utilă:

• dacă nu se poate exprima monetar rezultatul

• dacă se pune problema unei pierderi iniţiale mari

• dacă nu există o relaţie liniară între cantitatea banilor şi valoarea lor Soluţie: aplicarea „utilităţilor” ca măsură a valorii rezultatului. Utilitatea personală a banilor oferă o perspectivă asupra riscului asumat de decident. Consideraţii:

• utilitatea se poate măsura într-o scară cardinală

• utilităţile pot fii adunate

28

Echivalenţa certitudinii Evaluarea subiectivă a riscului (un joc) este denumită Echivalenţa certitudinii (CE) decidentului pentru situaţia de risc dată. Tipuri de decidenţi:

• decidenţi EMV = echivalentul certitudinii este EMV

• decidenţi care îşi asumă riscuri = echivalentul certitudinii este mai mare decât EMV

• decidenţi averşi la risc = echivalentul certitudinii este mai mic decât EMV Prima de risc Se calculează ca diferenţă între valoarea aşteptată a banilor (EMV) şi echivalentul certitudinii (CE).

RP = EMV – CE Ex. (problema balului):

RP = $16 – $20 = -$4

Problema asigurărilor Trebuie să aflăm de ce oamenii fac asigurări, altfel spus, de ce sunt dispuşi să plătească bani pentru a evita riscul? Exemplu: Managerul unei fabrici trebuie să decidă referitor la o asigurare contra incendiilor, valoarea fabricii fiind de $2.000.000. Există probabilitatea 1:2.000 (0.0005) ca focul să distrugă fabrica în următoarele 12 luni. Prima anuală de asigurare este de $1.500. Întrebare: să asigurăm fabrica sau nu? Să analizăm problema prin prisma costului (EMV):

Tabel 11. Problema asigurării


Alternative Incendiu Fără incendiu

Costul aşteptat (EMV)

Asigurare $1.500 $1.500 $1.500

Fără asigurare $2.000.000 0 $1.000 min

Chiar daca există o şansă mică de incendiu şi costul poliţei de asigurare este mare, pe termen lung este de preferat să se plătească asigurarea; alternativa poate fii falimentul.

29

Să analizăm problema prin prisma utilităţii:

• considerăm că plata primei de asigurare de $1.500 reprezintă -1 utilităţi

• considerăm situaţia fără plăţi $0 = 0 utilităţi

• considerăm pierderea fabricii prin incendiu = -10.000 utilităţi Tabelul de evaluare devine:

Tabel 12. Tabelul utilităţilor pentru asigurare


Alternative Incendiu Fără incendiu

Utilităţi aşteptate

(EU)

Asigurare -1 -1 -1 min

Fără asigurare -10.000 0 - 5

Concluzie: Utilitatea aşteptată a asigurării este mai mare decât a situaţiei fără asigurare.

3.1. Graficul utilităţilor Utilizarea utilităţilor ca argument al deciziei este similară cu utilizarea banilor ca argument al deciziei. Problema principală este înlocuirea corectă a valorii banilor cu valoarea utilităţilor în fiecare situaţie posibilă. Problema se poate rezolva cu ajutorul curbei utilităţilor.

Aversiune la risc Utilităţi Asumare risc (sărac)

Aversiune la risc (bogat) Linia neutră Asumarea riscului

Fig. 8. Graficul utilităţilor – exemple Bani ($)

30

3.2. Utilizarea utilităţilor Considerăm că pentru o companie pot exista două situaţii descrise de cele patru obiective din tabelul 13.

Tabel 13. Situaţie cu rezultate multiple

Obiective

Alternative Profit Cota de piaţă Cifra de

afaceri Rezerva de lichiditate

a1 5% 18% 23 mil. 600.000

a2 3% 20% 30 mil. 300.000

Considerând profilul decidentului se înlocuiesc valorile obiectivelor firmei cu utilităţi. Avem astfel:

Tabel 14. Valorizarea utilităţilor

Obiective

Alternative Profit Cota de

piaţă Cifra de afaceri

Rezerva de lichiditate

Total utilităţi

a1 40 60 20 40 160

a2 25 80 28 30 163* Această abordare presupune că toate obiectivele firmei au aceeaşi pondere – aceeaşi greutate. În cele mai multe cazuri se acordă ponderi diferite obiectivelor (tab. 15).

Tabel 15. Valorizarea utilităţilor ponderate

Obiective

Alternative Profit Cota de

piaţă Cifra de afaceri

Rezerva de lichiditate

Pondere 2.0 1.2 0.4 0.8

Total utilităţi

ponderate

a1 40 60 20 40 192*

a2 25 80 28 30 181.2

(a1) 2.0 x 40 + 1.2 x 60 + 0.4 x 20 + 0.8 x 40 = 192.0* (a2) 2.0 x 25 + 1.2 x 80 + 0.4 x 28 + 0.8 x 30 = 181.2

31

3.3. Teoria jocurilor Problemă: In 1943, generalul Kenney, comandantul Forţelor Aliate Aeriene din Pacificul de Sud a fost pus în faţa unei probleme. Japonezii erau pe punctul de a reface armata lor din Noua Guinee cu trupe din Noua Britanie. Japonezii aveau de ales între rutele pe care să le folosească la transportul trupelor. Ei puteau să aleagă o rută nordică (vreme închisă) sau sudică faţă de insulă (Noua Britanie). În ambele cazuri drumul dura trei zile. Problema generalului american era să decidă asupra zonei în care va face supravegherea aeriană pentru a descoperi convoiul japonez. Japonezii doreau să se expună la minim faţă de pericolul bombardamentului american, americanii doreau să aibă cât mai multe zile la dispoziţie în care să bombardeze convoiul japonez. Zile posibile cu „expunere la bombardament” erau:

a. Americanii se concentrează în nord, iar japonezii aleg ruta nordică: japonezii sunt descoperiţi în a doua zi, deci rămân 2 zile de bombardament.

b. Americanii se concentrează în nord, iar japonezii aleg ruta sudică: situaţia se observa după o zi, deci rămân 2 zile de bombardament.

c. Americanii se concentrează în sud, iar japonezii aleg ruta nordică: din cauza ceţii convoiul este descoperit în a treia zii, deci rămâne 1 zi de bombardament.

d. Americanii se concentrează în sud, iar japonezii aleg ruta sudică: convoiul este descoperit imediat, deci rămân 3 zile de bombardament.

Întrebarea pentru ambele tabere este ce rută să aleagă? 3.3.1. Natura problemelor de teorie a jocurilor Decizia se ia în condiţii de conflict = competiţie Caracteristica: doi sau mai mulţi decidenţi sunt implicaţi în proces, consecinţele (plăţile)

fiecăruia depind de strategia adoptată de ceilalţi Obiectivul: fiecare decident urmăreşte să-şi maximizeze rezultatul propriu Utilizare în:

• Strategii de marketing

• Conflicte militare internaţionale

• Negocierea managementului muncii

• Fuzionări potenţiale

32

3.3.2. Metodologia teoriei jocurilor Observaţie: decidenţii sunt priviţi ca şi jucători; situaţia managerială este privită ca şi

un joc Strategie = un plan complet pentru selectarea cursului unei acţiuni, ţinând cont de

toate circumstanţele posibile Strategie optimă = cea mai bună dintre strategiile posibile Formă, presupuneri, clasificarea jocurilor Forma şi presupunerile:

• Numărul participanţilor

• Termen – decizii simultane

• Obiectivele conflictului – fiecare parte urmăreşte maximizarea rezultatelor proprii

• Repetabilitatea

• Plăţile (valoarea jocului = valoarea medie a plăţii/joc)

• Disponibilitatea informaţiei Prezentarea jocurilor se poate face:

• Tabelar

• Arbore Clasificarea jocurilor se poate face în:

• Jocuri cu sumă zero

• Jocuri cu sumă diferită de zero 3.3.3. Rezolvarea jocurilor Rezolvarea problemei ne dă răspunsuri la două întrebări:

• Ce strategie trebuie să adopte fiecare decident pentru maximizarea rezultatului propriu?

• Care va fi rezultatul (plata) pentru fiecare dintre decidenţi (jucători)? Două persoane, joc cu sumă zero – strategie pură Strategie pură = o soluţie prescrisă în care o alternativă este recomandată repetitiv

fiecărui partener indiferent de ce face celălalt partener.

33

Abordarea de tip „minimax”:

• Amândoi jucătorii determină cea mai defavorabilă alternativă posibilă.

• Se va selecta alternativa cu rezultatul cel mai bun dintre cele mai rele Exemplu (acţiunea militară descrisă anterior):

Tabel 16. Strategia pură Japonezi

Aliaţi b1 (ruta nordică)

b2

(ruta sudică)

Minimul rândului

(cel mai rău rezultat

pentru aliaţi)

a1 (concentrare în nord) 2 Maximum

a2 (concentrare în sud) 1 3 1

Maximul coloanei (cea mai rea pierdere

pentru japonezi) 3

Minimum

Paşii necesari pentru rezolvarea problemei: Aliaţi:

a. Se caută valorile „minime” în fiecare rând şi se notează în coloana din dreapta. b. Se selectează rândul cu valoarea „maximă” a minimurilor calculate la pasul a.

Japonezi:

a. Se caută „maximul” fiecărei coloane şi se notează în rândul de jos. b. Se alege coloana cu valoarea „minimă” a valorilor maxime calculate la pasul a.

34

Jocuri cu sumă zero – strategie mixtă Unele jocuri cu sumă zero nu sunt strategii pure. Modalitatea de stabilire dacă un joc este sau nu strategie pură este sa aplicăm abordarea pesimistă. Dacă „cea mai bună dintre variantele rele” este aceeaşi ca valoare şi semn pentru amândoi jucătorii (vezi tabelul 16) jocul este strategie pură. În orice alt caz jocul se va numi strategie mixtă. Exemplu (din activitatea de marketing): Două firme concurente trebuie să decidă relativ la investiţiile pe care trebuie să le facă în noua campanie de promovare. Compania A consideră două situaţii alternative:

a1 = promovare în toată media a2 = promovare numai prin ziare

Compania B consideră şi ea două alternative: b1 = organizează o baleiere a întregii pieţe b2 = organizează o vânzare mare

Observaţie: situaţia este cunoscută de ambele companii concurente. Situaţia evoluţiei vânzărilor este prezentată în tabelul 17 (creştere cotă pentru firma A).

Tabel 17. O problemă de marketing Firma B

Firma A b1

organizează o baleiere a întregii pieţe

b2

organizează o vânzare mare

a1 promovare în toată media 4 -1

a2 promovare numai prin ziare -2 1

Rezolvare prin abordare pesimistă.

Tabel 18. Strategia pură Firma B

Firma A b1 b2

Minimul rândului

a1 4 -1 -1 Maximum

a2 -2 1 -2

Maximul coloanei 4

Minimum

Obs: Maximum (dintre val. Minime) ≠ Minimum (dintre val. Maxime)

35

Rezolvare:

• se vor aplica strategii mixte

• se va păstra secretul maxim asupra planurilor

• mărimea profitului este determinată de perioada de timp cât este utilizată fiecare dintre alternative

Strategia mixtă presupune utilizarea alternativelor existente în anumite proporţii prestabilite.

Tabel 19. Strategie mixtă

Proporţie q 1 – q

Alegeri b1 b2

p a1 c11 = 4 c12 = -1

1 – p a2 c21 = -2 c22 = 1 Soluţie:

• se calculează cea mai bună proporţie pentru mix-ul de alternative

• se calculează valoarea jocului, care este valoarea (medie) aşteptată a câştigului sau a pierderii pentru jucătorul A

Soluţia analitică a problemei

Valoarea aşteptată (V1) a jucătorului A când jucătorul B joacă b1 este V1 = p(4) + (1-p)(-2)

Valoarea aşteptată (V2) a jucătorului A când jucătorul B joacă b2 este V2 = p(-1) + (1-p)(1)

Condiţia ca jucătorul A să fie independent de decizia jucătorului B este V1 = V2. Din această relaţie calculăm valoarea proporţiei p.

p(4) + (1-p)(-2) = p(-1) + (1-p)(1) 8p = 3 p = 3/8

Generalizare: p x c11 + (1-p) c21 = p x c12 + (1-p) c22

22211211

2122

cccccc

p+−−

−=

Rezolvarea se face similar pentru jucătorul B.

36

22211211 cccc +−−1222 ccq −

=

q = 2/8 Cu valorile obţinute pentru p şi q se calculează valoarea jocului.

V = p x c11 + (1-p) c21

Solu

Soluare 2 l

ă (Tabel 17):

Presupunem că firma B decide tot timpul alternativa b1

• aloarea jocului pentru firma A este V = 4 (alternativa a1) sau V = -2 (alternativa 2)

A

0 -1

p=1 p=0 Fig. 9. Strategia mixtă a jucătorului A

Avem: V1 = 4p – 2(1-p) = 6p -2 V2 = -2p + 1

V = 3/8 x 4 + 5/8 x (-2) = 2/8 = 1/4

ţia grafică a problemei ţia grafică se poate utiliza la rezolvarea jocurilor (problemelor) atunci când un jucător a ternative de decizie, iar celălalt jucător are 3 sau mai multe alternative de decizie.

Pentru problema anterioar

•

Vajoacă a1 A joacă a2

37

4 B/b 4 1

3 3 2 B/b2 2 1 1 0 -1-2 B/b2 B/b1 -2

½ 3/8

4. PREVIZIUNEA 4.1. Studiul previziunii Managerii şi activitatea lor decizională trebuie să fie capabilă să anticipeze viitorul sub diverse scenarii. Ei trebuie să fie capabil să previzioneze cerinţele clienţilor, tendinţele costurilor, dezvoltarea probabilă a unor noi tehnologii etc. Caracteristica principală a previziunii este că fenomenele anticipate se petrec în viitor. Calitatea deciziilor depinde de calitatea previziunii. 4.1.1. Utilizarea previziunii Cel mai des se utilizează prognoza asupra valorii pe baza datelor de intrare ale modelului. Tipuri de previziune:

• Pe termen scurt (maximum 1 an) – se utilizează modele deterministe

• Pe termen lung – se utilizează modele deterministe + modele probabilistice 4.1.2. Modele de previziune şi metode

Tabel. 20. Metode de previzionare

Opinia experţilor Compararea forţelor de vânzare Metoda Delphi

Metode de judecată (subiective)

Analogia istorică

Testarea de piaţă Supravegherea pieţei clienţilor Metode de numărare Supravegherea pieţei industriale

Media mobilă Ajustarea exponenţială Descompunerea seriilor de timp

Metode pe baza seriilor de timp

Filtrarea adaptivă

Regresia multiplă Metoda corelării Modele econometrice Indicatori de conducere

Metode cauzale

Modele „intrare - ieşire

38

4.1.3. Factori care influenţează alegerea metodei de previziune Alegerea unei metode de previzionare depinde de un complex de factori. Datele disponibile din perioada anterioară:

• Date complete pe perioadă cât mai lungă

• Dacă nu există date, uneori, un experiment poate genera informaţia cerută Banii şi timpul disponibil:

• Tendinţa este de utilizare a metodei care minimizează costul previziunii şi costul unei previziuni incorecte (costul deciziilor incorecte)

• Soluţie – utilizarea calculatorului Acurateţea solicitată: Cost ($)

Cost erori Cost total previziune

Optim

Cost total

minim Cost previziune

Mică Moderată Mare (metode simple) (metode complexe)

Fig. 10. Acurateţea previzionării

39

4.1.4. Metode subiective de previzionare Opinia experţilor Opinia experţilor se solicită pe baza grupurilor de lucru (panel) sau a comitetelor . Obs: opiniile pot fi influenţate de „lideri de opinie”. Metoda Delphi Această metodă elimină neajunsul interacţiunii directe a experţilor. Ea combină previziunile individuale ale experţilor.

• Experţii lucrează individual

• Opiniile experţilor se exprimă pe bază de chestionar

• Experţii primesc feedback-ul de la coordonator

• Se repetă paşii până se obţine consensul experţilor 4.1.5. Metode de numărare Aceste metode implică experimente şi observaţii, de obicei bazate pe eşantioane reprezentative pentru întreaga populaţie. Scopul este de a generaliza de la eşantion la întreaga populaţie. Un interes deosebit este atribuit cercetării de piaţă şi testării de piaţă. Cercetarea şi testarea de piaţă

• Se folosesc în general pentru produse şi servicii noi

• Pot da informaţii despre trend, despre comportamentul clienţilor, atitudini, opinii, intenţii

4.1.6. Metode pe baza seriilor de timp Medii mobile şi ajustarea exponenţială Aceste metode reprezintă cele mai simple două metode ale seriilor de timp. Aceste metode pot fi utilizate pentru previzionare directă, sau pot fi încorporate în procesul de descompunere al seriilor. Media mobilă Principiu: generează previziunea pe baza datelor din „n” perioade anterioare (trimestre,

semestre, ani).

40

Avem:

∑+−=

+ =t

ntiint DF

1

11

Unde: t = perioada curentă Ft+1 = previziunea cererii pentru perioada următoare Di = cererea în perioada i n = numărul perioadelor care vor fii incluse

Tabel 21. Situaţia vizitelor la spital

An Trimestru Numărul perioadei Numărul vizitelor

2001 1 1 3.500

2 2 8.000

3 3 5.500

4 4 10.000

2002 1 5 4.500

2 6 6.000

3 7 3.000

4 8 5.500

2003 1 9 5.000

2 10 9.500

3 11 7.500

4 12 15.000

2004 1 13 13.500

2 14 17.500 Cererea pentru trimestrul 3 al anului 2004, pe baza datelor din anul precedent se va calcula astfel:

∑+−=

+ =14

141441

114i

iDF

41

Avem:

∑=

=14

1141

15i

iDF

F15 = (D11 + D12 + D13 + D141) / 4 F15 = (7.500 + 15.000 + 13.500 + 17.500) / 4 F15 = 13.375

Ajustarea exponenţială Obs: ia în consideraţie şi evoluţia anterioară a parametrilor utilizaţi Ecuaţia utilizată pentru prognoză este:

Ft+1 = αDt + (1 – α)Ft

Unde: Ft = previziunea pentru cererea curentă Dt = cererea curentă α = constantă (ponderea perioadei anterioare în previziune)

Înlocuind previziunile din perioadele anterioare cu cererile obţinem:

Ft+1 = αDt + α(1 – α) Dt-1 + α(1 – α)2 Dt-2 + α(1 – α)3 Dt-3 + ... + α(1 – α)t-1 D1

Influenţele perioadelor anterioare scad exponenţial cu depărtarea de la momentul de referinţă. Descompunerea seriilor de timp Descompunerea seriilor de timp = separarea seriilor de timp după 4 componente

• Trend (T) – pune în evidenţă variaţiile pe termen lung şi foarte lung

• Variaţie sezonieră (S) – cauzată natural; influenţată de comportamentul uman

• Variaţie ciclică (C) – evidenţiază oscilaţiile pe termen lung (cicluri)

• Variaţie aleatoare (R) – nu poate fi programată; poate fi explicată numai după ce se produce

42

Valori

Trend

Ciclu

Variaţie sezonieră

Fig. 11. Componentele seriilor de timp Timp Procedeu de descompunere Seriile de timp sunt de forma:

Y = T x C x S x R

Unde: Y = variabila dependentă de timp

T = trendul C = variaţia ciclică S = variaţia sezonieră R = variaţia aleatoare

43

Etapele descompunerii seriilor de timp

Culegere date Ajustare pentru compatibilitate

Reprezintă grafic seriile de timp

Măsoară trendul şi ciclul (combinat)

Determină trendul

Determină variaţiile ciclice

Măsoară variaţia sezonieră şi variaţia aleatoare (combinat)

Calculează indicii sezonieri

Măsoară variaţiile aleatoare

Dezvoltă previziunea (extrapolează)

Pas 1

Pas 2

Pas 3

Pas 4

Pas 5 Pas 6 Pas 7 Pas 8 Pas 9

44

4.1.7. Metode cauzale În exemplele anterioare am văzut că cererea poate fii corelată cu timpul. Chiar dacă există o relaţie cerere / timp nu putem afirma că „timpul este cauza schimbării cererii”. Observaţii:

• Există factori care afectează cererea.

• Variabilele independente pot fi corelate Metoda de corelare = modele regresive Regresia liniară simplă Ecuaţia liniară a prognozei este:

bXaY x +='

Unde:

Y x = valoare prognozată'

ţia cu axa Y

X = valoarea variabilei în perioada anterioară

egresie multiplă = ecuaţie cu două sau mai multe variabile

bs: uneori variabilele folosite în prognoză sunt interdependente (ex. Vânzările pot fi

odelele econometrice ţin cont de aceste interdependenţe formulând o serie de ecuaţii

a = intersec b = panta Regresia liniară multiplă R

2211'

21XbXbaY xx ++=

Modele econometrice O

funcţie de venitul personal, respectiv venitul personal este funcţie de vânzări). Mregresive.

45

Modele de tip „intrare – ieşire” (input – output) Cererile intersectoriale (în industrie) sunt analizate pentru a determina efectul net al fiecărei industrii pentru toate celelalte industrii combinate. O prognoză a cererii totale pentru fiecare industrie şi apoi pentru toate combinate este calculată într-o singură soluţie globală. Modelul este utilizat pentru a studia schimbările aşteptate ale cererii provocate de schimbările în alte industrii. Obs: complexitatea modelelor cauzale precum şi timpul şi datele necesare construcţiei

matematice sunt impedimente în utilizarea lor.

4.2. Bazele programării lineare 4.2.1. Natura problemelor de programare lineară Problemele care se pot rezolva cu ajutorul programării liniare sunt, în general, din categoria problemelor de alocare. Dintre acestea întâlnim mai des:

• Problema sortimentului optim

• Probleme de dozare Problema sortimentului optim În aceste cazuri există două sau mai multe produse (numite uneori candidaţi sau activităţi) pentru care trebuie stabilit mix-ul optim. Problemă:

• Ce produse se vor fabrica?

• Ce cantităţi se vor fabrica?

• Cum să aloci resursele (capacităţile) limitate? Probleme de dozare În cazul acestor probleme se urmăreşte determinarea celui mai bun amestec posibil de realizat cu ingredientele disponibile la un moment dat – amestecul cu costul minim. Aşteptare: utilizarea resurselor minime pentru a realiza un produs dat

46

4.2.2. Formularea problemei Modelul de programare liniară Componentele modelelor de cercetare operaţională sunt:

• Variabilele de decizie (controlabile)

• Parametri mediului (necontrolabili)

• Rezultatul (dependent de variabile şi de parametri)

Variabilele de

decizie

Restricţiile problemei

Funcţia obiectiv

a problemei

Fig. 12. Modelul programării liniare Exemplu 1: Firma Sekido produce două modele de televizoare color (modelul A şi modelul B). Obiectivul companiei este să „facă bani” (profit) – maximizarea profitului. Profitul care poate fii realizat este de 300$ pentru modelul A şi 250$ pentru modelul B. Deci, cu cât se produce şi se vinde mai mult cu atât profitul firmei este mai mare. Din păcate există anumite limitări:

• Există disponibile numai 40 ore-om / zi în departamentul producţie (restricţie de muncă). Pentru fabricarea modelului A sunt necesare 2 ore iar pentru modelul B este necesară 1 oră.

• Există utilaje disponibile numai pentru 45 ore-maşină / zi (restricţie de capacitate). Pentru modelul A este necesară 1 oră-maşină iar pentru modelul B sunt necesare 3 ore-maşină.

• Nu se pot vinde mai mult de 12 bucăţi din modelul A / zi (restricţie de piaţă) Problemă: să se determine câte bucăţi din fiecare model de TV color să producă firma Sekido pe zi, astfel încât profitul să fie maxim.

47

Rezolvare: Variabilele de decizie x1 = cantitatea A/zi x2 = cantitatea B/zi Funcţia obiectiv:

Profit produs A ... 300 x1

Profit produs B ... 250 x2=> Z = 300 x1 + 250 x2

Restricţiile problemei:

Modelul A Modelul B Timp total 1 2 x1 + 1 x2 ≤ 40 2 1 x1 + 3 x2 ≤ 45 3 1 x1 + 0 x2 ≤ 12 4 Nonnegativitate

x1 ≥ 0 Nonnegativitate

X2 ≥ 0

Recapitulare:

[max] Z = 300 x1 + 250 x2

2 x1 + 1 x2 ≤ 40 1 x1 + 3 x2 ≤ 45 1 x1 + 0 x2 ≤ 12 1x1 + 0 x2 ≥ 0 0x1 + 1 x2 ≥ 0

Exemplu 2: In prepararea vopselei Sungold se ţine cont de faptul că aceasta trebuie să aibă un grad de strălucire de 300 grade şi un nivel al nuanţei de 250 grade. Aceste caracteristici sunt determinate de doi componenţi: Alpha şi Beta. Cei doi componenţi contribuie egal la strălucire. Nuanţa este dată numai de Alpha, 1g component dă 3 grade de nuanţă. Costurile sunt 45 cenţi/g pentru Alpha şi 12 cenţi/g pentru Beta. Obiectivul este minimizarea costurilor de fabricaţie. În aceste condiţii să se determine cantităţile de componenţi Alpha şi Beta necesare. Rezolvare: Variabilele de decizie x1 = cantitatea Alpha x2 = cantitatea Beta

48

Funcţia obiectiv: Cost component Alpha ... 45 x1

Cost component Beta ... 12 x2=> Z = 45 x1 + 12 x2

Restricţiile problemei:

Component Alpha Component Beta Cerinţă 1 x1 + x2 ≥ 300 2 3 x1 + 0 x2 ≥ 250 3 Nonnegativitate

x1 ≥ 0 Nonnegativitate

X2 ≥ 0

Recapitulare: [min] Z = 45 x1 + 12 x2

x1 + x2 ≥ 300 3x1 + 0x2 ≥ 250

1x1 + 0 x2 ≥ 0 0x1 + 1 x2 ≥ 0

4.2.3. Formulare generală şi terminologie Formularea unei probleme de programare liniară Componentele problemei (elementele)

• Variabilele de decizie = necunoscute a căror valoare se caută

• Funcţia obiectiv = o expresie matematică dată ca o funcţie liniară care exprimă relaţia dintre variabilele de decizie şi obiectivul considerat (funcţia obiectiv este o măsură a atingerii scopurilor)

• Optimizarea = maximizare sau minimizare

• Coeficienţi de profit sau cost = arată creşterea / scăderea funcţiei obiectiv la modificarea variabilelor cu o unitate

• Restricţii = exprimă limitările resurselor sau specificaţiile reţetelor

• Coeficienţi de intrare / ieşire = exprimă rata de utilizare a resurselor

• Capacităţi = exprimă limitele resurselor (max sau min)

• Nonnegativitatea = nu există valori negative ale cantităţilor fizice

49

Exemplu: Găsiţi variabilele x1 şi x2 care vor minimiza funcţia obiectiv descrisă mai jos

Z = 45 x1 + 12 x2

Unde x1 şi x2 sunt variabilele de decizie; 45 şi 12 sunt coeficienţi de cost; Constrângerile sunt

x1 + x2 ≥ 300 3x1 + 0x2 ≥ 250

Condiţiile de nonnegativitate fiind x1 ≥ 0, respectiv x2 ≥ 0 Generalizare Fie aij – coeficienţi cj – coeficienţi de cost bi – capacităţi xj – variabile de decizie Să se găsească un vector (x1, x2, ..., xn) care minimizează sau maximizează funcţia obiectiv liniară F(x), unde

F(x) = c1 x1 + c2 x2 + ... + cj xj + ... + cn xn

Având restricţiile a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn ≤ b1

a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn ≤ b2

................................................. ai1 x1 + ai2 x2 + ... + ain xn ≤ bi

................................................. am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn ≤ bm

Coeficienţi de intrare ieşire

Capacităţi (cerinţe)

Şi condiţiile de nonnegativitate xj ≥ 0 Avantaje:

• Se pot rezolva probleme cu un număr infinit de soluţii fezabile

• Oferă soluţia optimă în manieră eficientă

• Oferă informaţii suplimentare despre valoarea resurselor alocate

50

Limitări ale programării liniare:

• Certitudinea – se presupune că toate datele sunt certe

• Funcţie obiectiv liniară – se presupune liniaritatea funcţiei obiectiv

• Restricţii exprimate liniar – se presupune liniaritatea restricţiilor

• Nonnegativitate – toate variabilele de decizie au valori nonnegative

• Aditivitatea – eficienţa performanţelor reunite rezultă din eficienţa rezultatelor individuale

• Divizibilitatea – variabile continue (se măsoară) – variabilele discontinue (se numără) – se presupune că toate variabilele sunt continue şi pot lua valori fracţionale

• Independenţa – independenţa totală a coeficienţilor este asumată

• Proporţionalitatea – cantitatea de resurse utilizate şi valoare rezultată a funcţiei obiectiv vor fi proporţionale cu valorile variabilelor de decizie

4.2.4. Rezolvarea problemelor lineare Soluţia unei probleme de programare liniară = un set de variabile de decizie, fiecare având câte o valoare. Obs: soluţiile care satisfac toate constrângerile se numesc soluţii fezabile.

O serie de soluţii fezabile = spaţiul soluţiilor fezabile (aria) Sarcina majoră în programarea liniară = formularea problemei Metode de rezolvare:

• Clasice = metoda grafică; algoritmul SIMPLEX

• Moderne = algoritmul elipsoid; algoritmul Karmarkar Rezolvarea problemelor prin metoda grafică Utilizarea metodei:

• Ilustrarea caracteristicilor problemelor de PL

• Ajută la explicarea metodei SIMPLEX

• Rezolvarea problemelor simple (2 variabile şi câteva restricţii)

51

Exemplu (vezi problema televizoarelor): [max] Z = 300 x1 + 250 x2

2 x1 + 1 x2 ≤ 40 1 x1 + 3 x2 ≤ 45 1 x1 + 0 x2 ≤ 12 1x1 + 0 x2 ≥ 0 0x1 + 1 x2 ≥ 0

Analiza grafică (paşi necesari):

• Stabilirea ariei fezabile

• Căutarea soluţiei optime Stabilirea ariei fezabile – prin transpunerea grafică a tuturor constrângerilor Pasul 1 2 x1 + 1 x2 ≤ 40 => 2 x1 + 1 x2 = 40 x1 = 0, x2 = 40; x2 = 0, x1 = 20 Pasul 2 1 x1 + 3 x2 ≤ 45 => 1 x1 + 3 x2 = 45 x1 = 0, x2 = 15; x2 = 0, x1 = 45 Pasul 3 1 x1 + 0 x2 ≤ 12 => 1 x1 + 0 x2 = 12 (dreapta paralelă cu O x2) Pasul 4 din condiţiile de nonnegativitate rezultă că aria fezabilă este în cadranul I Pasul 5 transpunem grafic toate restricţiile de mai sus

52

x2

50 40 A 30 20 C G 10 F

x1 = 12

2x1 + x2 = 40

x1 + 3x2 = 45

G

A

F

0 10 E 20 B 30 40 D 50

x1

Fig. 12. Soluţia grafică a programării liniare Din analiza graficului de mai sus rezultă că aria fezabilă a problemei este patrulaterul OCGE. Identificarea soluţiei optime

• Tabelar

• Grafic Soluţia tabelară Pentru soluţionarea problemei întocmim un tabel cu valorile funcţiei obiectiv luate în colţurile poligonului care reprezintă aria de fezabilitate.

53

Tabel 22. Soluţia tabelară a problemei

Punct x1 x2 Z = 300 x1 + 250 x2

O 0 0 0 + 0 = 0 C 0 15 300 x 0 + 250 x 15 = 3750 E 12 0 300 x 12 + 250 x 0 = 3600 G 12 11 300 x 12 + 250 x 11 = 6350

Soluţia grafică Pentru soluţionarea problemei trasăm dreptele de „izoprofit”. Se translatează dreapta până în colţul extrem al ariei de fezabilitate. x2

50 40 A 30 20 C G 10 F 0 10 E 20 B 30 40 D 50

x1 = 12

2x1 + x2 = 40

x1 + 3x2 = 45

G

A

F

Fig. 13. Soluţia grafică a programării liniare x1

4.2.5. Metoda Simplex Metoda SIMPLEX este un algoritm iterativ folosit pentru rezolvarea eficientă a problemelor complexe de programare liniară.

54

Explicaţia grafică a procesului SIMPLEX Obs: Soluţia grafică a problemelor de programare liniară trebuieşte căutată în colţurile ariei de fezabilitate. În metoda SIMPLEX se porneşte, de obicei, din origine şi se deplasează zona de căutare spre colţul adiacent care măreşte cel mai tare valoarea funcţiei obiectiv. De aici procedeul se repetă spre următorul colţ adiacent, mai bun decât primul. Procedeul se repetă până când nu se mai poate obţine nici o îmbunătăţire. Pentru exemplificare reluăm problema din figura 12. x2

40 15

0 12 E 20 B 45 D x1

x1 = 12, s3 = 0

2x1 + x2 = 40, s1 = 0

x1 + 3x2 = 45, s2 = 0

G(12,11)

A

F(15,10)

C

H(12,16)

Soluţia optimă: x1 = 12 x2 = 11 Z = 6350

I (0,∞)

Fig. 14. Problema mix-ului de producţie Căutarea începe în origine (O) şi se mută spre colţul C (valoarea în C este Z = 3750, iar în E este 3600). Din colţul C ne mutăm în colţul G, punctul de optim.

55

Procesul SIMPLEX Procesul SIMPLEX implică şase paşi. Aceştia sunt: Pasul 1 Standardizarea problemei într-un tabel de programare liniară Pasul 2 Generarea soluţiei iniţiale (de bază) Pasul 3 Testarea soluţiei – soluţie optimă – procesul se opreşte (pasul 6) – soluţia nu este optimă – se îmbunătăţeşte soluţia Pasul 4 Identificarea unei variabile care părăseşte soluţia de bază şi una care intră

în soluţia de bază Pasul 5 Se generează soluţia îmbunătăţită

– soluţie optimă – procesul se opreşte (pasul 6) – soluţia nu este optimă – se îmbunătăţeşte soluţia (se repetă paşii 4 şi 5)

Pasul 6 Se verifică dacă există soluţii multiple

Start

Standardizarea problemei

Generarea soluţiei iniţiale

Soluţie optimă?

Se verifică dacă există soluţii

multiple

Stop

DA

Identific variabila de ieşire

Identific variabila de intrare

Generarea soluţiei îmbunătăţite

NU

Fig. 15. Prezentarea schematică a metodei SIMPLEX

56

Exemplu de rezolvare a unei probleme prin metoda SIMPLEX Fie problema de mai jos (vezi problema televizoarelor):

[max] Z = 300 x1 + 250 x2

2 x1 + 1 x2 ≤ 40 1 x1 + 3 x2 ≤ 45 1 x1 + 0 x2 ≤ 12 1x1 + 0 x2 ≥ 0 0x1 + 1 x2 ≥ 0

Pasul 1 Standardizarea problemei Transformăm inecuaţiile problemei în ecuaţii

2 x1 + 1 x2 ≤ 40 = > 2 x1 + 1 x2 + s1 = 40 unde s1 = rezerva de timp de lucru; s1 ≥ 0. Avem: în origine (O) x1 = 0; x2 = 0; = > s1 = 40 Variabile artificiale Presupunem inecuaţia

x1 + x2 ≥ 300 = > x1 + x2 – s2 = 300 Avem: în origine (O) x1 = 0; x2 = 0; = > s2 = -300 imposibil – introducem variabile artificiale x1 + x2 – s2 + a2 = 300 Avem: în origine (O) x1 = 0; x2 = 0; s2 = 0; = > a2 = 300 Presupunem o restricţie definită ca egalitate de forma 3 x1 + 1 x2 = 10 Avem: în origine (O) x1 = 0; x2 = 0; = > 0 = 10 imposibil – introducem variabile artificiale 3 x1 + 1 x2 + a3 = 10 Avem: în origine (O) x1 = 0; x2 = 0; = > a3 = 10 Cu aceste considerente făcute se poate trece la rezolvarea problemei. Avem 3 restricţii de tipul „≤”, deci vom introduce trei variabile „lipsa”. Rescriem problema sub formă tabelară.

57

Tabel 23. Problema rescrisă

Funcţia obiectiv [max] Z = 300 x1 + 250 x2 + 0 s1 + 0 s2 + 0 s3

Cu restricţiile 1 2 x1 + 1 x2 + 1 s1 + 0 s2 + 0 s3 = 40

2 1 x1 + 3 x2 + 0 s1 + 1 s2 + 0 s3 = 45

3 1 x1 + 0 x2 + 0 s1 + 0 s2 + 1 s3 = 12

Obs: Există 3 ecuaţii care definesc restricţiile

Există o familie de funcţii izoprofit Rezolvăm constrângerile: există 5 variabile necunoscute x1, x2, s1, s2, s3 şi trei ecuaţii! Rezolvare: 2 variabile se consideră 0; se rezolvă sistemul. Cazuri: sistem „m x m” = > soluţia de bază; variabile de bază; Sistem cu mai mult se m variabile = > soluţii „nonbază” Se verifică fezabilitatea soluţiei. Exemplu: soluţie de bază fezabilă (problema de mix)

Tabel 24. Cele 10 soluţii de bază posibile ale problemei de mix

Variabile în soluţie № x1 x2 s1 s2 s3

Intersecţie Fezabilitate

1 0 0 40 45 12 O DA

2 0 40 0 -75 12 A NU

3 0 15 25 0 12 C DA

4 0 ∞ -∞ -∞ 0 I NU

5 20 0 0 25 -8 B NU

6 45 0 -50 0 -33 D NU

7 12 0 16 33 0 E DA

8 15 10 0 0 -3 F NU

9 12 16 0 -15 0 H NU

10 12 11 5 0 0 G DA

58

Punctele fezabile sunt

Tabel 25. Punctele cu soluţii fezabile

Variabile în soluţie Punct x1 x2 s1 s2 s3

0 0 40 45 12 O

0 15 25 0 12 C

G 12 0 16 33 0

E 12 11 5 0 0

Pasul 2 Generarea soluţiei iniţiale Obs: există 5 variabile şi 3 ecuaţii => 2 variabile nonbază Avem ecuaţiile: 2 x1 + 1 x2 + s1 = 40 1 x1 + 3 x2 + s2 = 45 1 x1 + s3 = 12 Fie: x1, x2 – variabile nonbază (x1 = 0, x2 =0) s1, s2, s3 – variabile de bază (s1 = 40, s2 = 45, s3 = 12) Funcţia obiectiv: Z = 300 x1 + 250 x2 + 0 s1 + 0 s2 + 0 s3 =

= 300 x 0 + 250 x 0 + 0 x 40 + 0 x 45 + 0 x 12 = 0

Obţinerea unei soluţii iniţiale simple este scopul demarării procesului SIMPLEX. Prin iterare se vor căuta celelalte soluţii, menţinând formatul simplificat (metoda Gauss-Jordan). In fiecare pas al iteraţiei se va adăuga un set de ecuaţii în care va apărea doar câte o variabilă de bază diferită, într-o ecuaţie.

59

Tabel 26. Tabel de explicaţii

Lista variab. de bază

Coef. Funcţiei obiectiv

Cantitate în

soluţie Variabile de

decizie Variabile lipsă

(surplus) Rată

Bază Profit unitar Cantitate x1 x2 s1 s2 s3

Cant./var.

s1 0 40 2 1 0 0 40/2=20

s2 0 45 1 3 0 0 45/1=45Rând

de bază

s3 0 12 1 0 0 0 12/1=12

Rândul cj (coef. Funcţiei obiectiv) 300 250 0 0 0

Rândul zj (coeficient nou: pierdere unitară) 0 0 0 0 0

Rândul cj - zj (evaluatorul) 300 250 0 0 0

Rândul zj (coeficient nou: pierdere unitară) – arată valoarea cu care se reduce profitul când o unitate a variabilelor, din fiecare coloană, este trecută în bază. Regulă: fiecare valoare din acest rând se găseşte multiplicând elementele din coloana

Profit unitar cu elementele corespondente din corpul principal (variabilă cu variabilă) şi adunând rezultatul (x2 este 0(1) + 0(3) + 0(0) = 0).

Rândul cj - zj (evaluatorul) – arată impactul net în valoarea funcţiei obiectiv al fiecărei unităţi din coloana variabilelor de bază. Pasul 3 Testul optimităţii Regulă: pentru oricare valoare optimă (probleme de maximizare) este suficient ca toţi

coeficienţii rândului cj - zj să fie nonpozitivi (zero sau negativi). Pasul 4 Identificarea variabilelor de intrare şi ieşire Variabila de intrare: se inspectează rândul cj - zj şi se identifică cel mai mare coeficient pozitiv (în exemplu coloana pivot x1) Variabila de ieşire: prima variabilă redusă la zero dacă x1 creşte de la zero; variabila cu rata cea mai mică (pozitivă) (12 – rândul pivot s3). Pasul 5 Generarea soluţiei îmbunătăţite Soluţia se îmbunătăţeşte prin introducerea variabilei de intrare în bază şi înlocuind variabila de ieşire. Aceasta se face rând cu rând în tabelul vechi, formându-se în acest proces un rând nou.

60

a. se transformă rândul variabilei de ieşire b. se transformă celelalte rânduri ale variabilei de bază c. se transformă rândurile cj, zj, cj – zj

Regulă: Împarte elementele din corpul principal şi Cantitate din rândurile de ieşire cu elementul pivot.

Tabel 27. Prima soluţie îmbunătăţită



Cantitate în



(surplus) Rată


Cant./var.

s1 0 16 0 1 1 0 -2 16/1=16

s2 0 33 0 3 0 1 -1 33/3=11Rând

de bază

x1 300 12 1 0 0 0 12/0=∞


Rândul zj (coeficient nou: pierdere unitară) 300 0 0 0 300

Rândul cj - zj (evaluatorul) 0 250 0 0 -300

Table 28. Transformare Rând I şi Rând II Cantitate x1 x2 s1 s2 s3

Rând transformat III 12 1 0 0 0 1 Rând de transformare I 40 2 1 1 0 0 Minus: 2 x Rând III -24 -2 0 0 0 -2

Rezultat: Noul rând I 16 0 1 1 0 -2

Rând de transformare II 45 1 3 0 1 0 Minus: 1 x Rând III -12 -1 0 0 0 -1

Rezultat: Noul rând II 33 0 3 0 1 -1 Transformarea rândului cj – neschimbat

61

Transformarea rândului zj

x1 0 x (0) + 0 x (0) + 300 x (1) = 300 x2 0 x (1) + 0 x (3) + 300 x (0) = 0 s1 0 x (1) + 0 x (0) + 300 x (0) = 0 s2 0 x (0) + 0 x (1) + 300 x (0) = 0 s3 0 x (-2) + 0 x (-1) + 300 x (1) = 300

Se calculează valoarea funcţiei obiectiv: Z = 12 x (300) + 16 x (0) + 33 x (0) = 3600$

Pasul 3 (repetare) Testul optimităţii: coeficientul coloanei x2 în rândul cj - zj este

pozitiv (250) => soluţia găsită nu este optimă. Pasul 4 (repetare) Identificarea variabilelor de intrare şi ieşire Variabila de intrare: se inspectează rândul cj - zj şi se identifică cel mai mare coeficient pozitiv (x2 => 250) Variabila de ieşire: variabila cu rata cea mai mică (pozitivă) (12 – rândul pivot s2). Schimbăm s2 cu x2. Pasul 5 (repetare) Generarea soluţiei îmbunătăţite

Tabel 29. Prima soluţie îmbunătăţită



Cantitate în



(surplus) Rată


Cant./var.

s1 0 5 0 0 -1/3 -5/3

x2 250 11 0 0 1/3 -1/3 Rând

de bază

x1 300 12 0 0 0 1


Rândul zj (coeficient nou: pierdere unitară) 300 250 0 250/3 650/3

Rândul cj - zj (evaluatorul) 0 0 0 -250/3 -650/3

62

Table 30. Transformare Rând I Cantitate x1 x2 s1 s2 s3

Rând nou II 11 0 1 0 1/3 -1/3 Rând de transformare I 16 0 1 1 0 -2 Minus: 1 x Rând III -11 0 -1 0 -1/3 1/3

Rezultat: Noul rând I 5 0 0 1 -1/3 -5/3 Pasul 3 (repetare) Testul optimităţii: nu există valori pentru rândul cj - zj pozitive

=> soluţia găsită este optimă Interpretare: Valorile soluţiilor sunt R(3) x1 = 12 R(2) x2 = 11 R(1) x3 = 5 Se calculează valoarea funcţiei obiectiv:

Z = 12 x (300) + 11 x (250) + 0 x (5) = 6350$ Căutarea soluţiilor multiple: Obs: Există soluţie multiplă dacă una dintre variabilele nonbază are coeficientul în

rândul cj - zj zero. În tabel valorile sunt -250/3, respectiv -650/3 => nu există soluţie multiplă. Notă: în practică se utilizează programe de calculator pentru rezolvarea problemelor

complexe. Vezi Programul Microsoft Office – Excel; funcţia SOLVER.

63

4.2.6. Aplicaţii ale programării liniare Rafinarea ţiţeiului Firma CAM OIL deţine două unităţi de producţie (I şi II), în care produce, utilizând 4 sortimente de ţiţei, următoarele produse de extracţie:

• gazolină

• lichid de calorifer

• benzină de avion

• ulei pentru lubrefiere Schema de producţie este redată în figura 16.

Ţiţei 1

Ţiţei 2

Ţiţei 3

Ţiţei 4

Gazolină Lichid de calorifer Benzină de avion Ulei pentru lubrefiere

Unitate de procesare I

Unitate de procesare II

Fig. 16. Schema de rafinare a ţiţeiului Resursele de materie primă utilizate de către firma CAM OIL sunt

• ţiţei 1 ........................... 200.000barili / săptămână




64

Coeficienţii de extracţie realizaţi de către instalaţiile companiei sunt prezentaţi în tabelul 31.

Tabel 31. Coeficienţi de extracţie

Ţiţei Gazolină Lichid de calorifer

Ulei pentru lubrefiere

Benzină de avion Pierdere

1 0,5 0,3 0 0,1 0,1

2 0,4 0,2 0 0,2 0,2

3 0,6 0,2 0 0,1 0,1

Unitatea I

4 0,5 0,1 0 0,2 0,2

Unitatea II 4 0,4 0,1 0,3 0,1 0,1

Capacitatea de absorbţie a pieţei este:

• Gazolină ............................. 250.000 barili / săptămână

• Lichid de calorifer ................. 120.000 barili / săptămână

• Benzină de avion.................... 30.000 barili / săptămână

• Ulei pentru lubrefiere ............ 100.000 barili / săptămână

Profitul obţinut la vânzare este prezentat în tabelul 32.

Tabel 32. Profitul obţinut la rafinarea ţiţeiului

Unitatea I Materia primă Profit Unitatea II Ţiţei 1 15 ¢ / baril -

Ţiţei 2 20 ¢ / baril -

Ţiţei 3 11 ¢ / baril -

Ţiţei 4 20 ¢ / baril 30 ¢ / baril Obiectivul urmărit de firma CAM OIL este maximizarea profitului obţinut în urma procesului de rafinare a ţiţeiului. Problemă: Ce cantitate săptămânală din fiecare sortiment de ţiţei să se proceseze în cele două unităţi de producţie pentru maximizarea obiectivului (maximizarea profitului).

65

Formularea problemei 1. Definirea variabilelor de decizie

x1 = cantitatea de ţiţei de tipul 1 care va fi procesată (barili / săptămână) în unitatea I




x5 = cantitatea de ţiţei de tipul 4 care va fi procesată (barili / săptămână) în unitatea II

2. Definirea funcţiei obiectiv (optimizare = maximizare)

[max] Z = 15 x1 + 20 x2 + 11 x3 + 20 x4 + 30 x5

3. Ecuaţiile restricţiilor Restricţii de materie primă

x1 ≤ 200.000 barili x2 ≤ 150.000 barili x3 ≤ 200.000 barili x4 + x5 ≤ 250.000 barili Restricţii tehnologice şi de piaţă

0.5 x1 + 0.4 x2 + 0.6 x3 + 0.5 x4 + 0.4 x5 ≤ 250.000 barili 0.3 x1 + 0.2 x2 + 0.2 x3 + 0.1 x4 + 0.1 x5 ≤ 120.000 barili 0.3 x5 ≤ 30.000 barili 0.1 x1 + 0.2 x2 + 0.1 x3 + 0.2 x4 + 0.1 x5 ≤ 100.000 barili

Rezolvare: pe calculator Soluţie: x1 = 150.000 barili Profitul obţinut prin prelucrare: x2 = 150.000 barili 11.250.000 ¢ / săptămână x3 = 0 112.500 $ / săptămână x4 = 150.000 barili x5 = 100.000 barili

66

4.3. Bazele programării matematice Reluăm problema producţiei de televizoare de două tipuri, A şi B (firma SEKIDO). Soluţia obţinută prin programare liniară este: 12 buc. TV tip A şi 11 buc. TV tip B. Întrebări care se pun:

a. Pot fi utilizate resurse adiţionale (manoperă, timp maşină etc.)? Dacă da, câte? b. Dacă se schimbă furnizorii ce se întâmplă? c. Este posibil să se crească potenţialul pieţei de la 12 la 13, 14 sau mai mult? Cât

costă promovarea? d. Care este cel mai bun plan de producţie dacă se schimbă variabilele de intrare? e. Cât afectează restricţia producţiei rezultatele?

4.3.1. Dualitatea Obs: orice problemă de programare liniară de maximizare are o problemă asociată de

minimizare Problema originală = problemă primală Problema complementară = problemă duală Importanţa problemei duale:

• Problema duală are o importantă interpretare economică

• Unele teorii utilizate pentru scurtarea eficientă a calculelor (către metoda SIMPLEX) se bazează pe conceptul dualităţii

• În unele cazuri ajută la depăşirea limitelor în calculare

• Unele proceduri de testare a soluţiilor optime se bazează pe dualitate Obs.: Problema duală şi problema primală sunt aceleaşi dar transformate matematic Soluţia uneia o generează pe cealaltă

67

Proprietăţi:

• Dacă problema primală este de [max] – problema duală este de [min]

• Există o soluţie duală optimă numai şi numai dacă există o soluţie primală optimă

• Valoarea funcţiei obiectiv a soluţiei optime este aceeaşi

• Problema duală a problemei duale este problema primală

• Soluţia problemei duale poate fi obţinută din soluţia problemei primale 4.3.2. Formularea problemelor Reluăm problema mix-ului de producţie. Problema primală este cea definită anterior (formă restrânsă):

[max] Z = 300 x1 + 250 x2

2 x1 + 1 x2 ≤ 40 1 x1 + 3 x2 ≤ 45 1 x1 + 0 x2 ≤ 12 1x1 + 0 x2 ≥ 0 0x1 + 1 x2 ≥ 0

Scrierea problemei duale Obiective: problema primală [max] => problemă duală [min] Variabilele de decizie: pentru fiecare restricţie din problema primală există o variabilă în problema duală (ex. u1, u2, u3). Funcţia obiectiv:

Coeficienţi = valorile restricţiilor din primal Variabile = una pentru fiecare restricţie

Avem: [min] W = 40 u1 + 45 u2 + 12 u3

Restricţii: Pentru fiecare variabilă de decizie din primal corespunde o restricţie în dual. Coeficienţii funcţiei obiectiv => membrul drept în restricţii Coeficienţii restricţiilor => coloanele se transformă în rânduri 2 1 2 1 1 1 3 1 3 0 1 0

68

Avem: 2 u1 + u2 + u3 ≥ 300 u1 + 3 u2 + u3 ≥ 250 Standardizarea problemei primale Problema primală conţine numai inegalităţi de tipul „≤” la restricţii. Dacă există şi inegalităţi de tipul „≥” acestea se vor transforma. Exemplu:

[min] Y = 3 x1 + 4 x2 – 2 x3

x1 + 2 x2 – 3 x3 ≥ 40 3x1 + 5 x2 + x3 ≤ 50 0 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 30 Pasul 1. Dacă funcţia obiectiv este de tipul [min] convertirea la [max] se va face prin

înmulţire cu „-1”. Avem: [max] Z = - 3 x1 - 4 x2 + 2 x3

Pasul 2. Înmulţim toate restricţiile de tipul „≥” cu „-1” => restricţii de tipul ≤ Avem: - x1 - 2 x2 + 3 x3 ≤ - 40 Pasul 3. Împărţim egalităţile (=) în două inegalităţi de tipul „≥”, respectiv „≤”. Avem: 0 x1 + 3 x2 + 2 x3 ≤ 30 0 x1 + 3 x2 + 2 x3 ≥ 30 / x (-1) 0 x1 – 3 x2 – 2 x3 ≤ 30

69

Concluzie: problema originală poate fi scrisă astfel

Tabel 33. Problema primală standardizată

Problema primală standardizată Problema duală

[max] Z = - 3 x1 - 4 x2 + 2 x3 [min] W = - 40 u1 + 50 u2 + 30 u3 – 30 u4

- x1 - 2 x2 + 3 x3 ≤ - 40 - 1 u1 + 3 u2 + 0 u3 + 0 u4 ≥ - 3

3x1 + 5 x2 + x3 ≤ 50 - 2 u1 + 5 u2 + 3 u3 – 3 u4 ≥ - 4

0 x1 + 3 x2 + 2 x3 ≤ 30 3 u1 + u2 + 2 u3 – 2 u4 ≥ 2

0 x1 – 3 x2 – 2 x3 ≤ 30

Relaţia primal – dual (problema televizoarelor) [max] Z = 300 x1 + 250 x2 [min] W = 40 u1 + 45 u2 + 12 u3

Restricţii:

2 x1 + 1 x2 ≤ 40 1 x1 + 3 x2 ≤ 45 2 u1 + 1 u2 + 1 u3 ≥ 300 1 x1 + 0 x2 ≤ 12 1 u1 + 3 u2 + 0 u3 ≥ 250

Rezolvarea problemei duale Problema duală odată formulată se rezolvă ca orice problemă de programare liniară (tabelar, grafic, metoda SIMPLEX, cu ajutorul calculatorului etc.) Obs.: rezolvarea optimă a problemei primale oferă şi soluţia optimă a problemei duale. Rezolvarea fără metoda SIMPLEX Obs: Poate fi utilă atunci când se utilizează metoda grafică de rezolvare. Pas 1. Se rezolvă problema (grafic pentru două variabile) Se calculează valoarea funcţiei obiectiv (Zoriginal) pentru fiecare variabilă duală

70

Pas 2. Se majorează membrul drept al restricţiei cu o unitate. Pas. 3 Se rezolvă problema cu noile constrângeri şi se calculează valoarea funcţiei

obiectiv (Znou) Pas 4. Valoarea problemei duale este Znou - Zoriginal

Interpretarea economică a problemei duale Scopul variabilelor duale:

• ui = preţuri umbră; valoare marginală; costul oportunităţii Avem: Valoarea totală a manoperei = u1 [USD/oră] x 40 [ore] = 40 u1 [USD] Valoarea totală a timpului maşină = u2 [USD/oră] x 45 [ore] = 45 u2 [USD] Valoarea totală a pieţei = u3 [USD/buc.] x 12 [buc] = 12 u3 [USD] Unde valoarea totală a resurselor este:

W = 40 u1 + 45 u2 + 12 u3

Obiectiv de optimizare = minimizarea consumului de resurse. Deci funcţia obiectiv duală este: [min] W = 40 u1 + 45 u2 + 12 u3

Utilizare: pentru decizii manageriale

• profitabilitatea cumpărării de resurse adiţionale

• evaluarea optimizării Soluţia problemei duale indică schimbarea valorii funcţiei obiectiv dacă o unitate de resursă specifică este adăugată.

71

4.3.3. Analiza senzitivităţii Programarea liniară se bazează pe previziuni deterministe (fără risc sau incertitudine). Important: ce se întâmplă cu soluţia optimă dacă se modifică parametri de intrare ai

modelului de programare liniară? Răspuns: analiza de senzitivitate Metoda aproximărilor succesive Se schimbă datele => o nouă problemă => se rezolvă problema nouă => se obţine o nouă soluţie – se compară cu soluţia iniţială

- se repetă pentru fiecare schimbare - dezavantaj = metodă foarte lentă

Metoda analitică Avantaj: nu necesită rezolvări multiple Ex.: rata maximă a schimbărilor este dată direct de metoda analitică Arată efectele asupra soluţiei optime cauzate de fiecare dintre următoarele modificări aduse datelor de intrare:

- schimbarea coeficienţilor în funcţia obiectiv - schimbări în membrul drept al restricţiilor (cantitative) - schimbări ale coeficienţilor de intrare / ieşire ai restricţiilor - adăugarea sau ştergerea unei restricţii

Schimbarea coeficienţilor funcţiei obiectiv Schimbarea coeficienţilor – decizii de evaluare a preţului produselor Întrebări:

- când o scădere a preţului/profitului produsului (de obicei în soluţia optimă) justifică întreruperea producţiei sale?

- Cât de mare este creşterea preţului/profitului unui produs (de obicei în soluţie neoptimă) astfel încât să justifice producţia sa?

72

Explicaţie grafică (problema mix-ului de producţie) [max] Z = 300 x1 + 250 x2

2 x1 + 1 x2 ≤ 40 1 x1 + 3 x2 ≤ 45 1 x1 + 0 x2 ≤ 12

x2

50 40 A 30 20 C G 10 F 0 10 E 20 B 30 40 D 50 Fig. 17. Soluţia grafică a programării liniare x1

x1 = 12

2x1 + x2 = 40

x1 + 3x2 = 45

G

A

F

M

M

L

K

Soluţia optimă este G (12, 11).

Schimbarea coeficienţilor are ca efect modificarea dreptei de izoprofit NMLK ⇒

Soluţia optimă se mută din punctul G(12, 11) în punctul C(0,15). Schimbări posibile: coeficienţii lui x1, coeficienţii lui x2, raportul coeficienţilor x1/ x2. Se stabilesc limitele coeficienţilor.

73

Modificarea capacităţii (schimbarea cantităţilor în restricţii) Obs.: membrul drept al restricţiilor exprimă capacităţi, limitări ale resurselor sau cerinţe

explicite. Modificarea lor poate să nu afecteze soluţia optimă. Pot schimba compoziţia bazei sau pot afecta numai valoarea funcţiei obiectiv.

Reprezentare grafică = schimbarea oricărei valori bi => deplasarea restricţiei cu ea

însăşi Exemplu:

[max] Z = 3 x1 + 4 x2 cu restricţiile

x2

10 8 5 4 3 2 0 1 2 3 4 D E 5 F

G A

B

C

1

2

3

Soluţia optimă: C Deplasăm dr. 2 => Soluţia optimă G Deplasăm dr. 3 => nu se modifică soluţia optimă

3 x1 + 5 x2 ≤ 15 2 x1 + x2 ≤ 8 0 x1 + x2 ≤ 2

Fig. 18. Schimbarea cntităţilor în restricţii x1

Problemă majoră: cât putem modifica restricţiile?

74

Modificarea coeficienţilor de intrare / ieşire Modificarea membrului stâng => modificarea pantei restricţiilor (2 variabile) => mişcare paralelă (rată constantă) Aria soluţiei fezabile se schimbă Adăugarea sau eliminarea constrângerilor Adăugarea unei restricţii:

• Poate fi redundantă

• Poate micşora aria fezabilă

• Poate micşora aria fezabilă astfel încât soluţia optimă devine nefezabilă Eliminarea unei restricţii:

• Fără modificări

• Cu modificări

4.4. Modele de planificare în reţea 4.4.1. Caracteristicile managementului proiectelor Proiectele au:

• Caracter nerepetitiv

• Proiect = efort unic Managementul proiectelor:

• Au durată determinată (săptămâni, luni, ani). Incertitudinile sunt durata şi costul

• Activitatea este complexă: necesită interconectare disciplinară, interconectare a resurselor umane (interne / externe)

• Întârzierile pot costa foarte mult

• Activităţile sunt secvenţiale: unele nu pot începe decât după terminarea altora

• Proiectele au caracter unic

75

4.4.2. Metoda PERT şi Metoda drumului critic Metodele şi tehnicile manageriale cele mai des utilizate pentru administrarea proiectelor: PERT = Program Evaluation Review Technique CPM = Critical Path Method Definiţii utilizate: Activitate: un efort care reclamă resurse şi ocupă o durată determinată de timp Eveniment: o realizare specifică la un moment identificabil în timp; reper; punct de

verificare; nu are o durată de realizare; este o stare; Proiect: o sumă/colecţie de activităţi şi evenimente cu un început şi un sfârşit

definite Reţea: un set logic şi cronologic de activităţi şi evenimente Activitate critică: o activitate care chiar şi uşor întârziată va afecta programul de realizare

al întregului proiect Drum: o serie de activităţi adiacente ce conduc de la o activitate la alta Drum critic: secvenţa de activităţi critice care formează un drum continuu între start şi

final Diferenţe şi asemănări între metodele PERT şi CPM Modalitatea de estimare a duratei activităţilor: PERT: 3 estimări sunt utilizate pentru a afla durata de execuţie a proiectelor pe

baza probabilităţii de distribuţie a timpilor de realizare Instrument probabilistic CPM: face o singură estimare Instrument determinist Modalitatea de estimare a costurilor de realizare a proiectelor: CPM: permite o estimare explicită a costului adiţional al estimării timpului PERT: instrument de planificare şi control al timpului

76

Scopul metodelor PERT şi CPM Obs.: Proiectele reclamă activităţi complexe şi greu de monitorizat. Managementul

aplicat este managementul prin excepţie – se vor controla activităţile critice (5%).

Scopul metodelor PERT şi CPM: identificarea activităţilor critice. Metodele PERT şi CPM oferă informaţii despre:

• Care activităţi ale unui proiect sunt critice

• Care activităţi ale unui proiect sunt noncritice

• Valoarea abaterilor fiecărei activităţi noncritice (valoarea rezervelor de timp) Avantajele metodelor PERT şi CPM

• Planificare detaliată

• Angajamente şi comunicaţii

• Monitorizare şi control eficient

• Identificarea ariei problemelor potenţiale

• Asigură utilizarea optimă a resurselor

• Oferă posibilitatea replanificării

• Oferă posibilitatea administrării contractelor

• Înţelegerea metodelor este uşoară

• Metodele se adaptează la rezolvarea pe computer

• Se pot folosi ca instrumente de decizie

• Utilizează probabilitatea de realizare (PERT)

• Utilizare pentru evaluarea cost – timp (CPM) Procedura de utilizare a metodelor PERT şi CPM:

• Formularea problemei

• Găsirea soluţiei problemei

• Analiza şi aplicarea soluţiei

77

Formularea problemei: valorile de intrare de bază ale metodelor PERT şi CPM

FORMULAREA

SOLUŢIA

ANALIZARE ŞI

APLICARE

{ Pas 1: Analizarea proiectului Pas 2: Eşalonarea activităţilor Pas 3: Estimarea duratei activităţilor şi a

costurilor

{ Pas 4: Construcţia reţelei Pas 5: Analiza evenimentelor Pas 6: Analiza activităţilor

{ Pas 7: Monitorizare şi control Pas 8: Utilizarea resurselor

Pas 1: Analizarea proiectului Obs.: se întocmeşte lista activităţilor şi se stabileşte ordinea acestora Problemă: Firma ABC trebuie să organizeze oxigenarea apei unui lac.

Tabel 34. Analiza proiectului

Activitatea Descrierea activităţii Durata [săptămâni]

Activităţi precedente

A Organizare administrativă 3 - B Angajare personal 4 A C Aprovizionare cu materiale 4 A D Transport materiale 2 C E Organizarea echipei de măsurare 4 A F Planificarea măsurătorilor 6 C G Asamblare echipamente 3 B, D H Evaluarea planului de acţiune 1 E I Oxigenarea apei 12 G, J J Măsurare şi evaluare 2 I, H

78

Pas 2: Eşalonarea activităţilor Acest pas cuprinde: definirea conţinutului activităţilor => eşalonarea este determinată Pas 3: Estimarea duratei activităţilor şi a costurilor aferente Se determină timpul necesar (durata estimată) pentru fiecare activitate te. Observaţie: CPM – duratele sunt determinate (certe) PERT – se fac trei (3) estimări cu un procedeu de mediere Observaţie: Se presupune că există suficiente resurse Rezolvarea problemelor PERT şi CPM Rezolvarea problemelor se poate face manual (probleme simple) sau cu ajutorul calculatorului (probleme complexe). Rezolvarea manuală: se construieşte reţeaua aferentă problemei Reţea: Orientată pe evenimente Orientată pe activităţi Pas 4: Construcţia reţelei Reţeaua este o reprezentare grafică a informaţiilor cuprinse în tabelul de definire a problemei (tabel 34). Elementele reţelei: Activitate = săgeată Eveniment = cerc

1 2

Administrare organizare

Precede activitatea

Succede activitatea

A

Exemplu: activitatea A din tabelul 34 Notarea punctelor (nodurilor / evenimentelor) este arbitrară. Construcţia reţelei începe cu activităţile care nu sunt precedate de alte activităţi. Toate activităţile care necesită aceeaşi activitate precedentă pornesc din acelaşi nod.

79

1 2

3

4

5

A

C

B

E

Fig. 19. Elementele reţelei – construcţie

Se continuă până când se figurează toate activităţile şi evenimentele.

1 2

3

4

5

A

C

B

E

6 7 8

F

G

H

I J

D

Fig. 20. Reţea asociată unei probleme – oxigenarea apei

Pas: 5 Analiza evenimentelor Obs.: se utilizează mai ales în metoda PERT. Metode de analiză: - enumerare completă - analitică Proceduri:

a. timp estimat de intrare în reţea b. calcularea timpilor „cel mai devreme” şi cel mai târziu” c. căutarea toleranţelor evenimentelor şi identificarea evenimentelor critice d. căutarea toleranţelor activităţilor şi identificarea activităţilor critice e. căutarea drumului critic

a. Estimarea timpului de intrare în reţea Duratele activităţilor (te) se înscriu în diagramă.

80

1 2

3

4

5

A 3

C 4

B 4

E 4

6 7 8

F 6

G 3

H 1

I12 J 2

D 2

Fig. 21. Reţea asociată unei probleme – duratele înscrise

b. Calcularea timpilor „cel mai devreme” şi cel mai târziu” TE – data cea mai devreme posibilă (imediat după ce toate evenimentele

precedente s-au încheiat) TL – data cea mai târzie posibilă (ultima dată la care se poate produce evenimentul

fără a produce pagube) Data cea mai devreme de realizare a proiectului este data cea mai devreme a ultimului eveniment.

1 2

3

4

5

A 3

C 4

B 4

E 4

6 7 8

F 6

G 3

H 1

I12 J 2

D 2TE=0 TL=0

TE=3 TL=3

TE=7 TL=24

TE=9 TL=10

TE=7 TL=7

TE=13 TL=13

TE=25 TL=25

TE=27 TL=27

Fig. 21. Reţea asociată unei probleme – timpii estimaţi pentru evenimente Metodologie: TE – se înscrie pentru toate evenimentele de la stânga TL – se înscrie pentru toate evenimentele de la dreapta

81

c. Determinarea abaterilor evenimentelor (marjelor de timp) şi identificarea evenimentelor critice. Abatere = diferenţa (TL – TE) Avem: TL – TE = 0 => activitate critică TL – TE > 0 => activitate cu marje de timp d. Determinarea abaterilor activităţilor şi identificarea activităţilor critice Obs.: se determină cât poate întârzia o activitate fără să afecteze proiectul Abaterea activităţii = – – te (durata activităţii)

TL pentru eveniment la sfârşitul activităţii

TE pentru eveniment la începutul activităţii

TF = timp disponibil pentru operaţie

Tabel 35. Centralizarea timpilor

Activitatea TL (sfârşit) - TE (început) - te = Marja de timp

A 3 0 3 0

B 10 3 4 3

C 7 3 4 0

D 10 7 2 1

E 24 3 4 17

F 13 7 6 0

G 13 9 3 1

H 25 7 1 17

I 25 13 12 0

J 27 25 2 0

Dacă TL =TE ultimul eveniment => activitate critică (fără rezervă de timp) Dacă TL ≠TE ultimul eveniment => activităţile cu marjă minimă sunt critice e. Găsirea drumului critic Caracteristici: pot exista mai multe drumuri critice în reţea. Drum critic = cel mai lung drum (în timp) din reţea

82

1 2

3

4

5

A 3

C 4

B 4

E 4

6 7 8

F 6

G 3

H 1

I12 J 2

D 2TE=0 TL=0

TE=3 TL=3

TE=7 TL=24

TE=9 TL=10

TE=7 TL=7

TE=13 TL=13

TE=25 TL=25

TE=27 TL=27

Fig. 22. Determinarea drumului critic în reţea Pas 6: Analiza activităţilor Fie: ES = data de început cea mai devreme EF = data de sfârşit cea mai devreme Atunci: EF = ES + teFie: LF = data de sfârşit cea mai târzie LS = data de început cea mai târzie Atunci: LS = LF – te

Reprezentare grafică: a. b.

1 2 ES

LS LF

EF

1 2 (LS,LF)

(ES,EF)

c. d.

TE TL

Ev1 TF

TE TL

Ev2 TF

Act. 1 - 2 ES EF TF FF LS LF

Pas 7: Monitorizare şi control (vezi exemplul oxigenării apei lacului – pas 1) Presupunem că activitatea 1 (organizare administrativă) va dura cu 1 săptămână mai mult decât s-a prevăzut (4 săpt. În loc de 3 săpt.)

83

Pentru evenimentul 2 avem: TE = 4 TL = 3 } S = TL – TE = 4 – 3 = -1 => proiectul va fii întârziat cu 1 săpt.

Soluţie: se transferă resurse de la activităţile cu marjă de timp pentru a elimina întârzierea.

Alte soluţii:

• relaxarea prescripţiilor tehnice şi a cerinţelor de calitate

• modificarea scopului proiectului reducând obiectivele

• schimbarea succesiunii activităţilor

• utilizarea de resurse adiţionale

• startarea activităţilor când activităţile precedente sunt în curs de finalizare Pas 8: Utilizarea resurselor Metodele PERT / CPM se limitează la planificarea timpului de execuţie al unui proiect. În acest caz nu se cunoaşte în permanenţă disponibilul de resurse al proiectului. Obs.: modul de abordare al resurselor poate afecta drumul critic şi data de finalizare.

1

3

2

4

3

2

1

5

2

4

5

Fig. 23. Exemplu de proiect

Analizăm activităţile în tabelul următor.

Tabel 36. Calculul marjei de timp Activitatea Start cel mai

devreme Start cel mai

târziu Marjă Angajaţi

necesari

1 – 2 0 0 0 2

1 – 3 0 4 4 2

1 – 4 0 4 4 3

2 – 3 2 2 0 2

3 – 5 7 7 0 1

4 – 5 1 5 4 2

84

Rezolvarea problemei cu ajutorul graficului cu bare (Gant)

2 2 2 2 2 2 2 1 1

2 2 2

3 2 2 2 2

7 6 6 4 4 2 2 1 1

t Fig. 24. Start la data cea mai devreme

Obs.: Personalul nu este echilibrat utilizat pe parcursul proiectului. Încărcarea variază

între 1 şi 7 persoane/săptămână Soluţie: prin încercări succesive se echilibrează distribuţia personalului în proiect.

2 2 2 2 2 2 2 1 1

2 2 2

3 2 2 2 2

4 4 4 2 5 4 4 3 3

t

Total

Total

Fig. 25. Echilibrarea resurselor în proiect

85

4.5. Programarea dinamică 4.5.1. Natura programării dinamice Caracteristicile programării dinamice Segmentarea = divizarea problemei principale în 2 probleme mai mici şi

rezolvarea acestora Segmentarea deciziei = o secvenţă de decizii interconectate Abordarea inversă (rollback) = problema cea mai apropiată de obiectiv se rezolvă

prima Probleme rezolvabile prin programare dinamică:

• Probleme care pot sa fie segmentate

• Probleme compuse dintr-o serie de probleme mai mici Problema diligenţelor O persoană trebuie să facă deplasarea de la San Francisco la New York cu diligenţa. Transportul presupune ca în anumite puncte să se schimbe caii (pentru odihna acestora). În diagrama de mai jos sunt precizate punctele de schimb şi zilele de drum dintre acestea. Problema care se pune este să se afle ruta care asigură numărul minim de zile transport.

1

2 4

3

5

2

3

5

4

1

6 6

7

8

9

10

11

San Francisco

New York

6

9

7

6

5

2

6

2

5

8

Stadiul 4 Stadiul 3 Stadiul 2 Stadiul 1

Fig. 26. Problema diligenţelor

86

Vom analiza pe rând rutele posibile pentru transport.

Tabel 37. Rutele posibile

Ruta Durata [zile] 1 – 2 – 4 – 7 – 11 19 1 – 2 – 4 – 8 – 11 18 1 – 2 – 5 – 8 – 11 15 optim 1 – 2 – 5 – 9 – 11 17 1 – 3 – 5 – 8 – 11 19 1 – 3 – 5 – 9 – 11 18 1 – 3 – 6 – 9 – 11 19

1 – 3 – 6 – 10 – 11 19 Rezolvare prin programare dinamică Segmentarea: indiferent de rută sunt patru (4) staţii fixe => 4 probleme mai mici (ce rută

se alege la fiecare staţie) Rezolvare: prin analiză inversă Faza 1: fiind la New York scopul problemei este atins. Imediat înainte de New

York trebuie să fim în punctul 7, 8, 9 sau 10. Aceste puncte sunt stările fazei 1.

Obs. Nu există decât o singură cale de a ajunge la punctul 11 Analiza este de tip „dacă – atunci”

Tabel 38. Analiza fazei 1

Stare Ruta alternativă Zile de călătorie Cea mai bună rută [zile]

7 7 – 11 6 6

8 8 – 11 2 2

9 9 – 11 5 5

10 10 – 11 8 8

87

Faza 2: punctele de schimb sunt 4, 5 sau 6. Aceste puncte sunt stările fazei 2.


Stare Ruta alternativă

Distanţă de faza 1

Cea mai bună distanţă a fazei 1

Distanţa totală

Cea mai bună rută

4 4 – 7 4 – 8

6 9

6 2

12 11

11

5 5 – 8 5 – 9

7 6

2 5

9 11

9

6 6 – 9 6 – 10

5 2

5 8

10 10

10 10

Faza 3: punctele de schimb sunt 2 sau 3. Aceste puncte sunt stările fazei 3.




Cea mai bună distanţă de la faza 2 la final

Distanţa totală

Cea mai bună rută

2 2 – 4 2 – 5

2 1

11 9

13 10

10

3 3 – 5 3 – 6

4 6

9 10

13 16

13

Faza 4: punctul final (originea deplasării)




Cea mai bună distanţă de la faza 3 la final

Distanţa totală

Cea mai bună rută

1 1 – 2 1 – 3

5 3

10 13

15 16

15

88

4.5.2. Terminologie şi structură Terminologie Fazele: subprobleme ale problemei principale Puncte specifice de decizie în calea rezolvării Stările: variante posibile ale fiecărei faze Obs.: Procesul de decizie în programarea dinamică este văzut ca un proces de

mutare dintr-o fază în alta. Recompensa: variabila dependentă Recompensă imediată – aferentă deplasării între 2 faze Recompensă totală – suma dintre recompensa imediată şi optimul anterior Recompensă optimă totală – cea mai bună variantă dintre recompensele totale Relaţie recurentă: funcţia care face legătura între recompensa imediată, recompensa totală şi recompensa optimă totală. Politica: un plan determinat pentru a alege varianta de acţiune. Ideea de bază: principiul optimalităţii. Structura programării dinamice Analizăm pentru început o fază intermediară.

Problema de decizie Ruta cea mai scurtă

pentru faza 2

Decizia d3

Recompensa r3

Intrare s3

Starea 2 sau 3

s2 Ieşire

Starea 4, 5 sau 6

(distanţa la faza 2)

Fig. 27. Analiza fazei intermediare

89

Structura problemei de transport cu diligenţa este redată mai jos.

San Francisco Faza 4 Faza 3 Faza 2 Faza 1 New

York

d4 d3 d2 d1

r4 r3 r2 r1

S4 S3 S2 S1 S0

Fig. 28. Structura problemei de programare dinamică

Modelul problemelor de programare dinamică Obs.: Există probleme foarte diverse; există familii de probleme rezolvabile prin

programare dinamică. Modele de probleme:

• Procese de alocare

• Procese multiperioadă

• Procese în reţea

• Procese de producţie multiplă

• Procese de control de tip feedback

• Procese de decizie Markov 4.5.3. Aplicaţii ale programării dinamice Procese de alocare Problemă: alocarea resurselor între potenţialii beneficiari Exemplu de investiţie: Firma ABC SRL trebuie să aloce 4.000.000USD pentru dezvoltarea a 3 fabrici din reţeaua sa. Alocarea se va face astfel – 0, 1, 2, 3 sau 4 milioane USD pentru o fabrică. Se ştie prognoza veniturilor anuale (premiu) pentru sumele investite în fiecare dintre fabrici.

Tabel 42. Venituri anuale ale fabricilor

Venit anual = premiu [mil. USD] Alocare [mil. USD] Fabrica A Fabrica B Fabrica C

0 0 0 0

1 0.2 0.3 0.4

2 0.5 0.6 0.9

3 1.5 1.2 1.1

4 1.4 1.5 1.6

90

Se cere: să se stabilească sumele optime care să fie alocate pentru dezvoltarea fiecărei fabrici, astfel încât să se maximizeze veniturile anuale (premiile).

Formularea problemei: de tip „rollback”. Fazele problemei sunt investiţiile în unităţile A, B sau C. Stările posibile: valorile sumelor alocate 0, 1, 2, 3 sau 4 milioane USD Soluţia problemei Faza 1: investiţie în fabrica A


Decizie d1: cât de mult aloc pt. unitatea A, pe stări Suma s1 disponibilă

pentru unit. A 0 1 2 3 4 Recompensa

optimă

0 0 0

1 0 0.2 0.2

2 0 0.2 0.5 0.5

3 0 0.2 0.5 1.5 1.5

4 0 0.2 0.5 1.5 1.4 1.5

Faza 2: partajăm sumele alocate între fabricile A şi B Disponibil pentru A şi B este s2 ; decizia d2 este de alocare pentru fabrica 2 s2 - d2 = s1


Decizie d2: cât de mult aloc pt. unitatea B; diferenţa se alocă pentru unitatea A

Suma s2 disponibilă

pentru A şi B 0 1 2 3 4

Recompensa optimă

0 0 0

1 0+0.2=0.2 0.3+0=0.3 0.3

2 0+0.5=0.5 0.3+0.2=0.5 0.6+0=0.6 0.6

3 0+1.5=1.5 0.3+0.5=0.8 0.6+0.2=0.8 1.2+0=1.2 1.5

4 0+1.4=1.4 0.3+1.5=1.8 0.6+0.5=1.1 1.2+0.2=1.4 1.5+0=1.5 1.8 Starea s2 = 0 => fără alocare => 0 profit s2 = 1 => 1 → B; 0 → A => 0.3 + 0 = 0.3 1 → B mai bun 0 → B; 1 → A => 0 + 0.2 = 0.2

91

Starea s2 = 3

Tabel 45. Analiza fazei 2 – detalii

d2 alocat la B Rămas pt. A Profit imediat Optim din faza 1 Profit total 0 3 0 1.5 1.5

1 2 0.3 0.5 0.8

2 1 0.6 0.2 0.8

3 0 1.2 0 1.2

Faza 3: decizia de alocare pentru unitatea C Luăm în calcul starea s3 = 4 (investiţia este optimă pentru A şi B)


Alternative Profit pt. C

Profit din alocarea cea mai bună dintre A şi B

Profit total optim

d3 = 4 pt. C; 0 pt. A&B 1.6 0 1.6

d3=3 pt. C; 1 pt. A&B 1.1 0.3 (1 pt. B) 1.4

d3=2 pt. C; 2 pt. A&B 0.9 0.6 (2 pt. B) 1.5

d3=1 pt. C; 3 pt. A&B 0.4 1.5 (3 pt. A) 1.9 d3=0 pt. C; 4 pt. A&B 0 1.8 (1 pt. B, 3 pt. A) 1.8

Soluţia problemei: C = 1, B = 0, A = 3; Obs.: pentru orice valoare s, profitul optim este calculat în analiză Analiza de senzitivitate poate fi făcută uşor Se poate identifica o a doua soluţie bună

92

4.6. Modele de stocuri Pentru ca un proces de producţie să se poată desfăşura fără întreruperi cauzate de lipsa materiilor prime, a materialelor, a carburanţilor, a materialelor auxiliare, etc. trebuie ca în orice moment să putem dispune de cantităţi suficiente din aceste bunuri, cantităţi care să poată fi introduse rapid în fabricaţie. Acest lucru este imperativ necesar pentru siguranţa şi ritmicitatea producţiei, însă împovărează organizaţia cu costuri suplimentare, nedorite, dar imposibil de evitat. Cantitatea de bunuri formată şi utilizată în fabricaţie poartă denumirea de stoc material. Existenţa stocurilor este contradictorie prin însăşi natura avantajelor şi a dezavantajelor pe care le are operarea cu ele. Avantaje utilizării stocurilor sunt:

• Protejarea fluxurilor – se poate evita întreruperea fluxului de fabricaţie • Economii la aprovizionare – costurile aprovizionării scad la cantităţi mari

În acelaşi timp utilizarea stocurilor prezintă dezavantaje importante:

• Imobilizează capitaluri – cantitatea mai mare de aprovizionat înseamnă alocare suplimentară de resurse financiare

• Implică cheltuieli mari – depozitarea şi conservarea bunurilor este costisitoare

• Expunere la uzură morală – la bunurile cu evoluţie dinamică pe perioada stocării se poate constata “îmbătrânirea” acestora

Cantitate

S = volumul stocat S/2 = semi-stoc Ta = ciclul de

aprovizionare

S

S/2 Ta Timp

Fig. 29. Elementele de bază ale unui Stoc – reprezentare grafică

93

Tipuri de stocuri În timpul fabricaţiei utilizăm diferite forme / tipuri de stocuri. Acestea le putem clasifica după conţinut sau după destinaţie. După conţinut stocurile pot fi:

• Stocuri de materii prime, materiale şi componente

• Stocuri de producţie neterminată

• Stocuri de produse finite După destinaţie stocurile pot fi:

• Stocuri curente

• Stocuri de siguranţă Tehnici în managementul stocurilor

Din cauza existenţei lor controversate stocurile au atras atenţia teoreticienilor managementului. S-a încercat în timp elaborarea unor metode care să conducă la determinarea cât mai exactă a stocurilor de materii care să fie depozitate astfel încât gestionarea lor să afecteze cât mai puţin lichiditatea unităţilor economice. Cele mai uzuale tehnici în managementul stocurilor sunt:

1. Metoda Pareto de stabilire a strategiilor de optimizare a stocurilor

2. Modele de optimizare a stocurilor

3. Sisteme de comandare pentru reconstituirea stocurilor consumate

METODA PARETO

Dintre strategiile administrative de abordare a problemei stocurilor metoda “ABC” este cea mai răspândită. Potrivit metodei “ABC” bunurile stocate se împart în trei categorii:

• A = articole puţine numeric (20%) dar cu pondere mare valorică (80%) – cea mai mare atenţie în gestionare

• B = articole cu participare moderată numeric (30%) şi valoric (10%) – atenţie moderată în gestionare

• C = articole cu cea mai mare participare numerică (50%) şi cu cea mai mică pondere valorică (10%) – atenţie scăzută în gestionare

94

În diagrama următoare (fig. 30) se poate vedea curba PARETO cu aplicaţie la managementul stocurilor.

Valoare stoc

100

90

80

70

60

50

0 10 20 30 40 50 100 Nomenclatorul articolelor stocate

Fig. 30. Curba PARETO

4.6.1. Modele de optimizare a stocurilor În funcţie de natura cererii se pot stabili trei modele de optimizare a stocurilor de materii:

• Stocuri deterministe asociate unei cereri constante

• Stocuri deterministe asociate unei cereri variabile

• Stocuri probabilistice

95

Cantitate

S S/2

Ta Ta Timp

Fig. 31. Stoc cu cerere constantă

Cantitate

Ta Ta

Timp

Fig. 32. Stoc cu cerere variabilă Costul stocării Ceea ce ne interesează în primul rând este costul aferent stocării (C). Acesta se compune din două părţi: Costul aprovizionării (C1) şi costul stocării (C2).

C = C1 + C2

96

Cost

C = N x K / S + S/2 x P x ε Cheltuială totală Unde: N = necesarul anual K = costul unei reaprovizionări S = volumul stocat P = perioada stocării

ε = costul specific stocării C1

S1 S

Fig. 33. Cheltuielile cu stocul

Calculând derivata funcţiei C şi anulând-o se poate determina valoarea stocului pentru care costul este minim.

0=∂∂

SC => Soptim =

εPNK2

4.6.2. Sisteme de comandă pentru reaprovizionare Problema fundamentală în gestionarea stocurilor este refacerea acestora pe măsură ce ele se consumă. În acest caz, având stabilit volumul stocului optim (S), trebuie să stabilim momentul lansării comenzii de reaprovizionare. După nivelul punctului de comandă (NPC) avem două sisteme:

• Sistem cu nivel fix al punctului de comandă

• Sistem cu nivel variabil al punctului de comandă

97

Cantitate

S NPC NPC S/2

Stoc de siguranţă Ta Tc Ta Tc Timp

Fig. 34. Nivelul punctului de comandă pentru un stoc cu cerere constantă

Cantitate

NPC1 NPC2 NPC3

Tc Tc Tc Ta Ta Timp

Fig. 35. Determinarea NPC pentru un stoc cu cerere variabilă

98

4.7. Linii de aşteptare 4.7.1. Situaţia de aşteptare Problema tipică în prestarea serviciilor este dimensionarea optimă a nivelului (capacităţii) de furnizare a serviciilor, atunci când există fluctuaţii clare ale cererii. Pe de altă parte există posibilitatea de a avea modificări neprevizionate în structura cererii, sau pot să apară cerinţe speciale punctuale. În aceste situaţii este greu să faci faţă cererilor cu o oferta promptă, mai ales în perioadele de vârf. Situaţii practice:

• Accesul la reţelele de telecomunicaţii

• Capacitatea secţiei „URGENŢE” la spital

• Numărul de piste de aterizare / decolare la un aeroport

• Numărul de lifturi într-o clădire

• Numărul de semafoare pe o şosea şi frecvenţa schimbărilor

• Dimensiunea unui restaurant

• Numărul de angajaţi într-un depozit, într-o tipografie, numărul de asistente medicale

• Planificarea lucrărilor într-un sistem de calcul mare Structura unui sistem de aşteptare Părţile componente ale sistemului sunt:

• Clienţii şi sursa lor

• Procesul de sosire

• Spaţiul de prestare a serviciilor şi procesul serviciilor

• Coada – ori de câte ori un client sosit găseşte spaţiile de prestare a serviciilor ocupate

Sursă Ieşire

Populaţie

Zona de aşteptare Spaţiu de prestare servicii xxxxxxxxxx Linie de aşteptare Servicii

Fig. 36. Sistemul liniei de aşteptare

99

Problema managerială Decizie asupra nivelului corect al serviciilor:

a. Dacă există o singură staţie de servire clienţi – decizia se referă la viteza de prestare a serviciilor adăugând personal, echipament....

b. Dacă pot fi adăugate staţii noi de servire clienţi – care este numărul optim de staţii de servire?

Consideraţii asupra costului Obiectiv: minimizarea costurilor Costuri: - ale livrării serviciului - al aşteptării (cost pentru client) Costul aşteptării: Costul facilităţilor

- construcţii - operare - întreţinere - alte costuri

Costul pentru client - pierdere prin timp

neutilizat - pierdere de clienţi

Fig. 37. Costul total al serviciilor

Cost$

Cost Minim

Nivel optim Nivel servicii

Cost servicii

Cost aşteptare

Cost total

Obiective manageriale:

• Minimizarea costurilor

• Atingerea unui nivel prestabilit al prestării serviciilor

100

4.7.2. Metodologia analizei aşteptării Obs.: analiza aşteptării este un instrument descriptiv de analiză Obiectiv major: prognoza asupra comportamentului sistemului reflectată în caracteristicile

operaţionale sau măsurătorile asupra performanţei. Etapele procesului sunt:

a. stabilirea indicatorilor de performanţă (sau caracteristicile operaţionale)

• timp de aşteptare per client

• număr mediu de clienţi la coadă

• utilizarea facilităţilor (spaţiilor) b. calcularea indicatorilor de performanţă (variabile rezultat)

• formule sau tabele (pentru probleme care respectă distribuţia statistică)

• simularea c. realizarea analizei

• se evaluează un număr mic de alternative 4.7.3. Procesul de sosire Descrierea sosirii Surse de „clienţi”: - finite - infinite (nelimitate) Obs.: dacă nu se specifică altfel, teoria liniilor de aşteptare lucrează cu polulaţii infinite Sosirea poate fi: - în serie - individuală (este implicită, dacă nu se specifică altfel) Planificarea serviciilor este: - programată - neprogramată

101

Măsurarea cantitativă a sosirilor Uzual se măsoară: - valoarea medie a ratei sosirilor - valoarea medie a timpului dintre două sosiri Rata sosirilor şi durata dintre sosiri Reprezentarea grafică a procesului sosirilor este prezentat în figura 38.

t

Sosire Sosiri Sosire Sosiri Sosire

7:51 7:337:13 7:11 7:03 7:00 7:53 8:00

Durata între sosiri

Durata între sosiri

Fig. 38. Procesul sosirilor

Rata medie a sosirilor (λ) Ex.: se face un studiu pentru 100 de ore Se determina numărul sosirilor şi se calculează ponderea pentru fiecare interval.

- 5 ore = 0 sosiri (0%) - 6 ore = 1 sosire (1%) - ...................

Se reprezintă grafic sub formă de histogramă

Frecvenţa sosirilor

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Fig. 39. Distribuţia frecvenţei sosirilor (exemplu)

Se determină coeficientul λ cu datele obţinute în timpul studiului.

102

Timpul mediu între două sosiri (1/ λ) Se procedează ca şi în cazul anterior dar se măsoară intervalul de timp între sosiri. Se reprezintă grafic ca o curbă exponenţială (negativă)

Timpul mediu între sosiri

02468

101214161820

0 10 20 30 40 50Minute

60

Fig. 40. Timpul între sosiri

4.7.4. Procesul serviciilor Există câteva variante de aranjare a facilităţilor pentru prestarea serviciilor.

1. Facilitate unică 2. Facilitate multiplă, paralelă, identică

3. Facilitate multiplă, paralelă, diferită Expres

Normal

4. Aranjare serială

103

5. Aranjare combinată Descrierea timpului servire Timp de servire: - constant - fluctuant => timp mediu de servire => rata medie de servire Rata medie a serviciului = µ Durata medie a serviciului = 1/ µ 4.7.5. Linia de aşteptare Caracteristicile liniei de aşteptare depind de regulile şi legile stabilite (disciplina cozii). Disciplina cozii - determină maniera în care clienţii sunt selectaţi pentru a fi serviţi Sistemul de priorităţi - prioritatea se oferă clientului selectat Sistemul de urgenţe - stabileşte procedura care se aplică în cazuri extreme Exemple practice de sisteme de priorităţi: - Primul venit = primul servit - Ultimul venit = primul servit Organizarea cozii: - un set de activităţi practice care fac să funcţioneze sistemul de aşteptare

104

Comportamentul într-o coadă • Evitarea cozii (eschivare)

• Aşezare la coadă şi părăsirea cozii (abandonare)

• Deplasare de la o coadă la alta

• Combinarea sau divizarea (cozi cu lungime dată)

• Aşteptare ciclică (revenire imediat după servire) 4.7.6. Modele de cozi şi modalităţi de soluţionare Modele de cozi Mărimile care definesc o coadă sunt de şase tipuri:

Tabel 47. Notaţii uzate pentru definirea cozii

Nr. Mărime de definire Valoare Notaţie utilizată Poisson M Erlang, parametrul k Ek Constant D Normal N Uniform U

1 Procesul de sosire

Scop şi variaţie cunoscute G Exponenţial M Erlang, parametrul k Ek Constant D Normal N Uniform U

2 Procesul de servire

Scop şi variaţie cunoscute G 3 Numărul de operatori 1 sau mai mulţi K

Primul venit – Primul servit FCFS 4 Disciplina cozii Fără priorităţi PRI Fără limită ∞ 5 Lungimea maximă a cozii Limită finită n infinit ∞ 6 Numărul de beneficiari din

grupul ţintă finit n Cu mărimile din tabelul anterior se codifică tipurile de cozi întâlnite în practică.

105

Tabel 48. Tipuri de cozi

Nr. Etichetă descriptivă Comentarii 1 M/M/1 FCFS/∞/∞ Standard single server model 2 M/M/K FCFS/∞/∞ Standard multiserver model 3 M/Ek/1 FCFS/∞/∞ Single Erlang service model 4 M/G/1 FCFS/∞/∞ Service time distribution unknown 5 M/M/1 PRI/∞/∞ Priority service 6 M/M/K PRI/∞/∞ Multiserver priority service 7 M/M/1 FCFS/n/∞ Finite queue, single server 8 M/M/K FCFS/n/∞ Finite queue, multi server 9 M/M/1 FCFS/∞/n Limite source, single server

10 M/M/K FCFS/∞/n Limite source, multiserver Modalitatea de rezolvare

• Abordarea analitică = măsurarea performanţelor se face cu ajutorul formulelor de calcul (dezavantaj – unele probleme sunt foarte complexe)

• Simulare = acolo unde nu se poate aplica metoda analitică se face o simulare a sistemului

Obs.: În ambele situaţii se recomandă utilizarea calculatorului Fluxul informaţiilor în modelul liniilor de aşteptare O soluţie trebuie să calculeze:

• Rata medie a sosirilor λ

• Rata medie a serviciilor µ

• Numărul prestatorilor k Pentru definirea sistemului vom utiliza cele trei mărimi (λ, µ, k) şi von defini modelele de aşteptare.

106

INTRĂRI IEŞIRI

λ

µ k

W = timpul mediu de aşteptare în sistem Wq = timpul mediu de aşteptare la coadă L = numărul mediu de clienţi în sistem Lq = numărul mediu de clienţi la coadă P(0) = probabilitatea ca sistemul să fie liber P(w) = probabilitatea ca sistemul să fie ocupat P{T>t} = probabilitatea aşteptării mai lungi ca “T” P{N} = probabilitatea de a avea exact “N” clienţi P{N>n} = probabilitatea de a întâlni mai mulţi clienţi

decât “n” în sistem P{N<n} = probabilitatea de a întâlni mai puţini clienţi

decât “n” în sistem

Modele de

aşteptare

Fig. 41. Elementele unui sistem de aşteptare Sistem de aşteptare determinist Cazuri posibile: - rata de sosire = rata de servire (Clienţii sosesc câte unul la fiecare 10 minute,

la un unic prestator, unde serviciul este livrat în timp de 10 minute. Prestatorul va lucra continuu – utilizare 100% - nu va exista linie de aşteptare)

- rata de sosire < rata de servire (Clienţii sosesc în ritm de 6 pe ora – la interval

de 10 minute – iar serviciul prestat durează 12 minute. Un client nu poate să fie servit în fiecare oră, o linie de aşteptare se formează – cu rata de 1 pe oră. Linia de aşteptare va creşte continuu, exploziv.)

- rata de sosire > rata de servire (Clienţii sosesc în ritm de 6 pe ora – la interval

de 10 minute – serviciul este prestat pentru 8 clienţi pe ora. În acest caz serviciul este utilizat doar în proporţie de 6/8, adică 75%. Nu se va forma niciodată o linie de aşteptare)

107

4.7.7. Modelul de bază POISSON (M/M/1 FCFS/∞/∞) Modelul cel mai cunoscut al liniilor de aşteptare este modelul Poisson – exponenţial, prestator unic (single server). Acest model prezintă următoarele caracteristici: Rata sosirilor: sosirile sunt aleatoare, dar respectă distribuţia Poisson. Rata medie a

sosirilor este descrisă de operatorul λ.

Obs.: Legea distribuţiei de probabilitate Poisson este !

)(neaaf

an −

=

Timpul prestării: se presupune că respectă o distribuţie exponenţială negativă. Rata

medie a serviciului este descrisă de operatorul µ. Timpul mediu de servire este descris de operatorul 1/µ.

Pentru a descrie un astfel de sistem presupunem că:

• sursa de clienţi este infinită

• disciplina cozii presupune utilizarea metodei Primul venit = Primul servit

• rata ρ = λ/ µ este subunitară (reprezintă rata de utilizare a sistemului)

• sistemul este în echilibru (măsurătorile pe care le efectuăm nu sunt influenţate de timp)

• există spaţiu nelimitat de aşteptare Măsurarea performanţelor Sistemele liniilor de aşteptare sunt evaluate de către unul, sau mai mulţi, indicatori de performanţă pe care îi vom analiza în continuare. Indicatorii depind numai de cele două variabile date λ şi µ. Timpul mediu de aşteptare, W = timpul mediu petrecut de un client în sistem – aşteptând la coadă şi fiind servit.

)1(11ρµλµ −

=−

=W

Timpul mediu de aşteptare la coadă, Wq = timpul mediu de aşteptare pentru client înainte de a fi servit.

)1()( ρµρ

λµµλ

−=

−=qW

108

Numărul mediu de clienţi din sistem, L

ρρ

λµλ

−=

−=

1L

Numărul mediu de clienţi la coadă, Lq

ρρ

λµµλ

−=

−=

1)(

22

qL

Probabilitatea ca spaţiul să fie gol, P(0) = probabilitatea ca nici un client să nu fie în sistem

ρµλ

−=−= 11)0(P

Probabilitatea ca sistemul să fie ocupat, Pw

ρµλ==−= )0(1 PPW

Probabilitatea de a fi în sistem (aşteptând sau fiind servit) pe o durată mai mare decât „t” unităţi de timp,

{ }t

tT eP )( µλ−> =

Unde: e = 2,718 (baza logaritmilor naturali) t = timpul specificat T = timpul în sistem Probabilitatea de a aştepta (înainte de a fi servit) o perioadă de timp T’, mai mare decât un timp estimat t’

{ }')(

''t

tT eP µλρ −−> ⋅=

Probabilitatea de a găsi N clienţi în sistem, P(N)

)1()( ρρ −= NNP

109

Probabilitatea ca numărul clienţilor din sistem, N, să fie mai mare ca un număr dat, n

{ }1+

> = nnNP ρ

Obs.:

{ } { )1(1 −>< }−= nNnN PP

Relaţiile următoare sunt foarte importante pentru a determina indicatorii care descriu o linie de aşteptare. L = λ W Lq = λ Wq

W = Wq + 1/ µ Utilizări manageriale:

I. Pentru efectuarea analizei de cost II. Determinarea nivelului serviciilor

• Proiectarea spaţiului unui fast-food astfel încât clienţii să nu aştepte mai mult de două minute la coadă (Wq ≤ 2minute)

• Organizarea unei companii de telefoane astfel încât numărul clienţilor fără serviciu telefonic mai mult de două zile să fie sub 3% (P{T>2zile} = 0.03)

• O bancă doreşte ca numărul de clienţi aflaţi în spaţiul ei depăşind 10 persoane să nu fie mai mult de 5% din timpul de lucru (P{N>10} = 0.05)

• Serviciul de informaţii municipale să fie ocupat cel puţin 60% (Pw ≥ 0.60) 4.7.8. Analiza costurilor liniei de aşteptare Costul unei linii de aşteptare include costul facilităţilor, precum şi costul aşteptării.

TC = CF + CW

Obs.: Costul poate fi exprimat ca şi cost/unitate de timp sau cost/client. Costul aşteptării Fie: C indus de un client care aşteaptă o unitate de timp. Avem: Cw = W x λ x C = L x C Costul serviciului este:

CF = Cfix + Cvar

Avem: TC = Cfix + Cvar + L x C

110

Aplicaţii manageriale Problemă: Firma „All American Aviation” este specializată în servicii de întreţinere a avioanelor pentru compania Plain City. În prezent lucrează în atelier 400 de angajaţi (mecanici de întreţinere). În atelier există o „magazie de scule” care gestionează uneltele specializate. Ritmul de servire este de 12 comenzi pe oră. Ritmul de sosire al muncitorilor la magazie este de unul la şase minute. Din cauza timpului mare de aşteptare la magazie, managerul atelierului îşi pune problema să mai angajeze o persoană pentru a reduce timpul de aşteptare la jumătate. El însă nu este sigur că această reducere justifică suficient costul suplimentar cu un nou loc de muncă. Întrebare: este decizia de angajare a unui nou gestionar corectă? Rezolvare: Obs.: vom utiliza măsurarea timpului în ore. Mărimile caracteristice liniei de aşteptare sunt: µ = 12 (comenzi / oră) λ = 10 (clienţi / oră) 1. Utilizarea magaziei

ρ = λ / µ = 10 / 12 = 0.833

2. Timpul mediu de aşteptate în sistem

angajatoreW /5.01012

11=

−=

−=

λµ

3. Timpul mediu de aşteptare la coadă

angajatoreWq /417.0)1012(12

10)(

=−

=−

=λµµ

λ

4. Numărul mediu de angajaţi în magazie

angajatiL 51012

10=

−=

−=

λµλ

5. Numărul mediu de angajaţi la coadă

angajatiLq 17.4833.01

833.01

22

=−

=−

=ρ

ρ

6. Probabilitatea ca administratorul magaziei să fie liber

167.0833.011)0( =−=−= ρP

111

7. Probabilitatea de a găsi magazia ocupată

833.0== ρWP

8. Probabilitatea de a aştepta mai mult de 30 minute în sistem

{ } 368.012/1)1210( === −> e

eP tT

9. Probabilitatea de a găsi 4 angajaţi în sistem

0814.0)833.01(833.0 4)4( =−=P

10. probabilitatea de a găsi mai mult de 3 angajaţi în sistem

{ } 488.0833.0 43 ==>NP

4.8. Simularea 4.8.1. Caracterizarea generală a simulării Problemă: - evaluarea unei linii de aşteptare - linia de aşteptare nu respectă distribuţia Poisson Soluţie: - colectare date care să descrie comportamentul liniei de aşteptare

(înregistrarea sosirii clienţilor; înregistrarea serviciilor solicitate) Exemplu: - se alege un lot de 10 clienţi - se observă că aceştia aşteaptă 7/10 minute - se observă că angajaţii sunt ocupaţi 41/50 minute Concluzie: - se face o descriere aproximativă a liniei de aşteptare Obs.: simularea nu se rezumă la probleme de tipul liniilor de aşteptare Domenii care apelează la simulare:

• Aplicaţii militare

• Jocuri de tip MONOPOLY

• Modele de sistematizare urbană

• Organizarea întreprinderilor

• Jocuri de afaceri pentru training

• Zborul către planete

• Modele de uzine (amplasare) şi depozite

112

• Modelarea echipelor de reparaţii

• Modele econometrice pentru economia naţională

• Modele de reţele de trafic auto

• Modele de aşteptare pe aeroporturi

• Simularea poluării

• Modelarea evoluţiei vremii

• Modele financiare Aplicabilitatea metodei simulării:

• Domenii diverse

• Flexibilitate mare Simularea A simula: - o presupunere privind evoluţia şi caracteristicile unei situaţii reale (general) A simula: - o tehnică de conducere a experimentelor cu ajutorul calculatorului pe un

model de sistem managerial într-o perioadă de timp Caracteristicile principale ale simulării Modelele: - reprezintă realitatea Simularea: - imită realitatea - este o tehnică de conducere a experimentelor Obs.: - se utilizează numai dacă problemele sunt foarte complexe şi nu pot fi

tratate pe modele analitice

• Nu se pot formula matematic

• Formularea problemei = soluţie economică Avantaje şi dezavantaje Avantajele utilizării simulării:

• Oferă capacitate de preliminare

• Utilizează elemente simple agregate

• Este o metodă descriptivă – oferă răspunsuri cu risc mai mic, diminuează costurile

• Serveşte drept interfaţă cu managerul

• Modelul este construit din perspectiva managerului

113

• Prezintă o problemă tipică

• Poate prezenta probleme variate

• Managerul poate experimenta evoluţia diferitelor variabile

• Simularea prezintă complexitatea reală a problemelor

• Simularea „comprimă timpul”

• Simularea implică utilizarea de resurse mici Dezavantajele utilizării simulării:

• Simularea nu poate garanta o soluţie optimă

• Simularea este uneori un proces lent şi scump

• Rezultatele simulării nu sunt transferabile altei probleme

• Simularea este uneori aşa de simplu de aplicat încât soluţiile analitice care pot fi optimizate sunt uitate

4.8.2. Metodologia simulării

Problemă reală

Definirea problemei

Realizarea modelului

Testarea şi validarea modelului

Proiectarea experimentelor simulate

Conducerea experimentelor

Evaluarea rezultatelor

Implementarea rezultatelor

Simularea: - implică realizarea unui

model al unui sistem real - realizarea de experi-

mente repetitive. Etapele procesului simulării sunt descrise în diagrama alăturată. Fig. 42. Procesul simulării

114

4.8.3. Tipuri de simulări Simularea probabilistică:

• Cu distribuţie continuă

• Cu distribuţie discretă Tehnică de simulare: metoda Monte Carlo Simulare deterministică:

• Simulare dependentă de timp

• Simulare independentă de timp Simulare vizuală

Programare euristică

Jocuri de afaceri (business games)

Simularea sistemelor mari Metoda de simulare Monte Carlo Metoda Monte Carlo presupune luarea de probe prin sondaj din distribuţia posibilă care reprezintă procesele reale. Metoda Monte Carlo va genera (într-o linie de aşteptare) sosiri simulate şi timp de prestare a serviciilor simulat dintr-o distribuţie dată, utilizând eşantionarea prin sondaj. Obs.: Metoda Monte Carlo este un mecanism utilizat în procesele de simulare

probabilistică. Termeni utilizaţi:

• Distribuţie uniformă = fiecare valoare are aceeaşi probabilitate de a fi realizată

Exemplu:

Tabel 49. Exemplu de distribuţie uniformă

Cerere Probabilitate 5 0.25

6 0.25

7 0.25

8 0.25

115

Probabilitate

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

5 6 7 8

Fig. 43. Distribuţie uniformă reprezentată grafic

• Număr aleator = număr luate la întâmplare dintr-o populaţie uniform distribuită

Construirea unei distribuţii

cumulative

Selectarea unui număr aleator

Proiectarea unei observaţii corespondente aleatoare a

variabilei

Desemnarea unui rang al numerelor aleatoare pentru a descrie distribuţia cumulativă

Pas 1

Pas 2

Pas 3

Pas 4

Procesul Monte Carlo Obs.: Procesul Monte

Carlo presupune parcurgerea paşilor prezentaţi în diagrama alăturată.

Fig. 44. Procesul Monte Carlo Exemplu: Presupunem că pe baza datelor istorice se poate exprima timpul de prestare servicii prin distribuţia din tabelul 50.

116

Tabel 50. Distribuţie probabilistică

Durata serviciului Probabilitate 3 0.156

4 0.287

5 0.362

6 0.195 Pasul 1. Construirea unei distribuţii cumulative

Se adaugă probabilităţile istorice la probabilitatea analitică anterioară.

Tabel 51. Exemplu de distribuţie cumulativă

Cerere Probabilitate 3 0.156

4 (0.156 + 0.287) 0.443

5 (0.443 + 0.362) 0.805

6 (0.805 + 0.195) 1.000 Pasul 3. Selectarea unui număr aleator

Ex.: 7823 (extras dintr-un tabel de numere aleatoare) Probabilitatea este exprimată cu trei cifre după virgulă => 782 Probabilitatea ia valori între 0 şi 1 => 0.782 Pasul 4. Proiectarea unei observaţii corespondente aleatoare a variabilei

a. Se localizează NA = 0.782 pe ordonată b. Se trasează o orizontală spre probabilitatea cumulativă => punctul k c. Se trasează o verticală până la intersecţia cu abcisa d. Se citeşte valoarea timpului de servire (5 în cazul nostru)

117

0.156

0.443

0.805

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

3 4 5 6 Timp servicii

Probabilitate cumulativa

0.782 k

118

Fig. 45. Graficul probabilităţii cumulative Experimentare simulată Lista următoare cuprinde opt paşi implicaţi în experimentarea simulată (inclusiv metoda Monte Carlo).

1. Descrierea sistemului şi obţinerea unei distribuţii a elementelor probabilistice importante. Acest pas presupune o cunoaştere detaliată a sistemului.

2. Definirea indicatorilor de performanţă ai sistemului. 3. Construirea distribuţiei probabilistice cumulative 4. Stabilirea numerelor reprezentative în corespondenţă cu distribuţia cumulativă. 5. Alegerea unui eşantion reprezentativ. 6. Măsurarea performanţelor şi a variaţiei lor. 7. Se repetă paşii 5 şi 6 până la stabilizarea sistemului. 8. Se repetă paşii 5 – 7 pentru diferite politici manageriale.

4.8.4. Simularea discretă independentă de timp Exemplu: O staţie de benzină care vinde combustibil pentru bărci cu motor. Cererea este sezonieră. Aprovizionarea se face 1 dată pe săptămână, cu o cantitate fixă de combustibil. Probabilitatea cererii este descrisă în tabelul următor.

Tabel 52. Probabilitatea cererii

Cerere săptămânală (galoane)

Probabilitate

2.000 0.12

3.000 0.23

4.000 0.48

5.000 0.17 Situaţie financiară:

• Staţia de benzină pierde 12 cenţi pentru fiecare cerere neonorată.

• Fiecare galon returnat la distribuitor înseamnă un cost de 5 cenţi.

• Fiecare galon de benzină vândut aduce un profit de 10 cenţi. Situaţia pieţei:

• La data analizei benzinăria vinde 3.500 galoane de benzină pe săptămână.

• Capacitatea pieţei este de 5.500 de galoane de benzină pe săptămână. Întrebare: care este cantitatea optimă de benzină care să fie comandată săptămânal? Rezolvare Vom calcula profitul pentru comenzile existente (3.500 galoane/săptămână) şi pentru alte cantităţi. Parcurgem pentru fiecare cantitate cei opt paşi menţionaţi anterior. Construim diagrama sarcinilor sub formă de schemă bloc. Pasul 1 Descrierea sistemului şi determinarea probabilităţii de distribuţie

119

START

Date iniţiale l1 = 3.800

Săptămâna 1

Generare număr aleator

Găsirea cererii săptămânale

Cerere satisfăcută? l1 > D

Intrare informaţie şi majorare stoc

U = 0 S = D l2 = l1 -S

DA

NU

Intrare informaţie şi scădere stoc

U = D - l1S = l1l2 = 0 B = 0

Iniţializare stoc săptămânal

l1 = 3.500

Calcul profit 0.2S – 0.12U – 0.05B

Cap. depozit? l2+3500≥5500

Retur exces B=l2+3500-5500 l1 = 5.500

Calcul stoc iniţial l1 = l2 + 3.500

NU DA

Alte valori pt. Stabilizare? STOP

DA NU Legendă S = vănzări carburant U = cerere neonorată (lipsă stoc) B = cantitate retur (stoc excedentar)

120

Fig. 46. Diagrama fluxului pentru realizarea stocului de carburant Pasul 2 Decizie privind indicatorii de performanţă (profitul mediu zilnic)

Profit = 10¢ x (Vânzări = S) - 12¢ x (Cerere neonorată = U) - 5¢ x (Cantitate retur = B)

Pasul 3 Calculul probabilităţilor cumulate Tabel 53. Probabilităţi cumulate

Cerere săptămânală Probabilitate Probabilitate

cumulată Nr. Reprezentativ

Rangul 2.000 0.12 0.12 01 – 12

3.000 0.23 0.35 13 – 35

4.000 0.48 0.83 36 – 83

5.000 0.17 1.00 84 – 100 Pasul 4 Atribuirea rangului numărului reprezentativ Obs.: vezi coloana a patra din tabelul 53 Pasul 5 Generarea numerelor aleatoare şi calculul indicatorilor de performanţă Exemplu pentru 10 simulări (săptămâni).

Tabel 54. Simularea a 10 săptămâni de operare

Săpt. Număr aleator

Stoc iniţial

Cerere simulată

Vânzări Stoc la sf. Săptăm.

Cerere neonorată

Retur Profit pe săptăm.

Profit mediu

Ib=Ie+3500 D S Ie=Ib-S U=D-Ib B

1 32 3800 3000 3000 800 300 300

2 08 4300 2000 2000 2300 200 250

3 46 5500 4000 4000 1500 300 385 295

4 92 5000 5000 5000 0 500 346

5 69 3500 4000 3500 0 500 290 335

6 71 3500 4000 3500 0 500 290 327

7 29 3500 3000 3000 500 300 323

8 46 4000 4000 4000 0 400 333

9 80 3500 4000 3500 0 500 290 328

10 14 3500 3000 3000 500 300 325 Total 40100 36000 34500 5600 1500 300 3255 -

Media săpt. 4010 3600 3450 560 150 30 325 325 Pasul 6 Calcularea indicatorilor de performanţă – profit mediu săptămânal

Pasul 7 Stabilizarea procesului

Pasul 8 Stabilirea celei mai bune politici

121

4.8.5. Simularea discretă dependentă de timp Exemplu: linia de aşteptare la biroul de informare pentru turişti Serviciu

Tabel 55. Descriere serviciu

Durata serviciului (minute)

Probabilitatea

3 15.6

4 28.7

5 36.2

6 19.5 Sosire clienţi

Tabel 56. Descriere sosire

Timp între două sosiri (minute)

Probabilitatea

3 20.2

4 23.6

5 31.2

6 18.4

7 6.6 Să cere să se calculeze:

• timpul mediu de aşteptare / turist

• % de timp cât angajaţii sunt ocupaţi

• numărul mediu de turişti în centru

• probabilitatea de a avea 2 turişti în centru Metodă de analiză: Se simulează 10 sosiri ale clienţilor.

122

5. SISTEME DE SPRIJIN PENTRU DECIZIE (DSS)

5.1. Introducere şi definiţii Sisteme de decizie managerială (DSS ) = sisteme interactive care ajută decidenţii utilizând date şi modele. Caracteristicile DSS

• Includ date şi modele

• Sunt proiectate să asiste managerii în procesul de decizie cu sarcini semistructurate sau nestructurate

• Sistemele susţin şi nu înlocuiesc deciziile manageriale

• Obiectivul DSS este să îmbunătăţească eficacitatea deciziilor, nu eficienţa cu care sunt luate deciziile

5.2. Cadrul pentru sprijinirea deciziilor Procesul de decizie poate fi:

• Structurat (programat) = există soluţii standard

• Nestructurat (neprogramat) = nu există soluţii standard Fazele procesului de decizie sunt:

1. Informarea 2. Proiectarea 3. Alegerea

Tipuri de probleme:

• Problemă structurată = toate fazele sunt structurate

• Problemă nestructurată = nici o fază nu este structurată

• Problemă semistructurată = unele faze sunt structurate Categorii de activităţi manageriale

• Planificarea strategică

• Controlul managerial

• Controlul operaţional

123

124

Tabel 57. Cadrul de decizie Tip de control

de decizie

Control Control Planificare ă

Suport necesar Tip operaţional managerial strategic

Structurată Conturi de încasat Ordine de intrare

Analiza bugetului Prognoze pe termen scurt Rapoarte personal Analiza „producţie sau achiziţie”

Mng. Financiar Amplasare depozite Sistem de distribuţie

Cercetări operaţionale şi modele cantitative

Semi-structurată

Planificarea producţiei Controlul stocurilor

Evaluare credite Pregătire bugete Plan uzină Planificare proiect Sistem recompense Proiectare

Construcţie uzină nouă Achiziţii Plan produs nou Plan compensaţii Asigurarea calităţii

DSS ES

Nestructurată Selectare copertă pentru Magazin Cumpărare soft Aprobare credit

Negociere Recrutare personal Cumpărare hard Lobby

Plan cercetare Dezvoltare de tehnologii noi Planificare socială şi a responsabilităţii

DSS ES

5.3. Caracteristicile şi beneficiile DSS Principalele caracteristici şi beneficii ale sistemelor de sprijin ale deciziei sunt:

• Capacitatea de a sprijini soluţionarea problemelor complexe • Răspuns rapid la situaţii neaşteptate • Capacitatea de a încerca rapid şi obiectiv câteva strategii în configuraţii diferite • Noi cunoştinţe • Facilitează comunicarea • Control managerial îmbunătăţit şi performant • Realizează economii • Asigură decizii obiective • Îmbunătăţeşte eficacitatea managerială • Oferă sprijin pentru individ şi/sau grup • Posibilitate de reprezentare grafică • Sprijin extensiv

5.4. Evoluţia Sistemelor de Susţinere a Deciziilor Tabelul 58. Comparaţie

Cercetări Operaţionale Sistemelor de Susţinere a Deciziilor • Impact major în probleme structurate • Avantaj în generarea de soluţii

optimizate • Oferă managerilor recomandări şi

metodologii pentru probleme complexe

• Impact major în probleme suficient structurate

• Avantaj în extinderea capabilităţii managerilor în procesul de decizie pentru eficacitate

• Creează un set de instrumente de sprijin sub controlul managerilor

125

5.5. Structura Sistemelor de Susţinere a Deciziilor Componentele de bază ale sistemelor DSS sunt:

• Baza de date şi managementul ei

• Modelul de bază şi managementul lui

• Echipamentul de calcul (hard)

• Interfaţa utilizator – sistem

Baza de date

Software Model de bază Management baza de date

• Regăsire informaţie • Întrebări • Creare şi generare

Sistem de management al modelului de bază• Manipulare • Întreţinere • Actualizare • Creare • Generare

Hardware

Fig. 47. Un model conceptual DSS

MONITOR PLOTTER IMPRIMANTĂ

MANAGER

Model de

baza pentru Suport Decizie

Model strategic

Model operaţional

Model statistic

Cercetări operaţionale

Model financiar

Blocuri pentru realizare model

Surse externe

Finanţe

Marketing

Personal

Producţie

E X T R A G E R E

Baza de

date pentru Suport Decizie

126

5.6. Capabilităţile sistemului DSS Sistemul de Susţinere a Deciziei are următoarele capabilităţi:

• Actualizare, manevrare bază de date, baza de modele, rapoarte

• Creare de rapoarte ah-hoc

• Calcule matematice

• Realizare de rapoarte, scrisori

• Exceptarea semnalelor

• Construcţia de modele matematice simple

• Analiză financiară

• Analiză pe modele matematice

• Conduce optimizarea

• Permite simularea Avantaj principal: - analiza de senzitivitate - căutarea obiectivelor Din punct de vedere constructiv: - Instrumente DSS - Generator de modele DSS

DSS pentru o aplicaţie specifică

127

6. SISTEME EXPERT

6.1. Introducere şi concepte de bază Un Sistem Expert reprezintă un pachet de cunoştinţe umane stocate într-un computer Conceptele cu care operează un sistem expert sunt:

• Experienţa / expertiza • Expertul • Transferul de expertiză • Raţionamentul • Regulile • Capacitatea de explicare

6.2. Structura sistemelor expert Părţile componente de bază ale unui sistem expert sunt: - mediul de dezvoltare - mediul de consultare

Mediul de consultare Mediul de dezvoltare

Fig. 48. Structura unui sistem expert

Utilizator

Interfaţă utilizator

Explicaţii

Acţiuni recomandate

Interfaţă numerică: interpretare Desene, concluzii planificare îmbunătăţire

Tablă (loc de muncă) Plan Agendă Soluţii Probleme Descriere

Îmbunătăţirea capacităţii de raţionare

Expert

Inginer

Bază de cunoştinţe Fapte: ce se cunoaşte despre domeniul

problemei? Reguli: referinţe logice (între efecte şi cauze)

6.3. Funcţionarea sistemului expert Etapele principale în funcţionarea unui sistem expert sunt:

• Dezvoltarea sistemului

• Consultarea sistemului

• Îmbunătăţirea sistemului

6.4. Utilizarea sistemelor expert Utilizarea sistemelor expert contribuie la:

• Reducerea costurilor

• Îmbunătăţirea rezultatelor

• Îmbunătăţirea calităţii

• Reducerea pierderilor de timp

• Atragerea de expertize din domenii diverse

• Flexibilitate

• Operaţii automatizate

• Echipament ieftin

• Operaţii în medii periculoase

• Încredere

• Timp de răspuns redus

• Lucrează cu informaţii incomplete

• Beneficii educaţionale

• Rezolvarea problemelor complexe

128

7. BIBLIOGRAFIE [1] DUMITRESCU, M., NICULESCU, C.,

Teoria deciziei şi cercetare operaţională, Editura Niculescu, Bucureşti, 2001

[2] KAUFMANN, A., LABORDERE, H.

Metode si modele ale cercetării operaţionale, Editura Ştiinţifică, Bucureşti, 1975

[3] STĂNCIOIU, I., MILITARU, Gh.

Management – Elemente fundamentale, Editura TEORA, Bucureşti, 1998

[4] STĂNCIOIU, I. Cercetări operaţionale pentru optimizarea deciziilor economice, Editura Economică, Bucureşti, 2004

[5] TURBAN, E., MEREDITH, J.

Fundamentals on management science, Editura Business Publications Inc., USA, 1988

129

Cercetari Operationale Curs 2004

Documents

Transcript of Cercetari Operationale Curs 2004