Dezvoltarea gndirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

Dezvoltarea gndirii logice a elevilor prinrezolvarea problemelor PLANUL LUCRRII

INTRODUCERE

I.1. Dezvoltarea nvmntului primar n condiiile

modernizrii invmntului romnesc

I.2. Importana studierii matematicii n dezvoltarea

gndirii elevilor n ciclul primar

I.3. Actualitatea i motivarea temei

II. IPOTEZA I OBIECTIVELE LUCRRII II.1. Ipoteza lucrrii

II.2. Obiectivele lucrrii

III. METODE DE CERCETARE

III.1. Observaia

III.2. Convorbirea

III.3. Experimentul pedagogic III.4. Testul

III.5. Analiza lucrrilor elevilor

III.6. Evaluarea rezultatelor

IV. ASPECTE TEORETICE DE BAZ

IV.1. Gndirea proces de cunoatere

IV.2. Flexibilitatea gndirii

IV.3. Dezvoltarea gndirii logice la elevii din ciclul primar,

aspecte psihopedagogice

V. DESFURAREA CERCETRII

V.1. Conceptul de problem

V.2. Etapele rezolvrii problemelor

V.3. Valene formative ale activitii de rezolvare a

problemelor

V.4. Tipuri de probleme i metode de rezolvare

V.5. Aspecte metodice privind rezolvarea de probleme

V.6. Metode i procedee folosite n vederea cultivrii

flexibilitii gndirii elevilor prin rezolvarea

problemelor

VI.EVALUAREA I INTERPRETAREA

REZULTATELOR VII.CONCLUZII PROIECTE DE LECTII ANEXE BIBLIOGRAFIE I. IntroducereI.1. Dezvoltarea nvmntului primar n condiiile modernizrii nvmntului romnesc. Ciclul primar reprezint segmentul cel mai stabil al nvmntului. Totodat acesta este i cel mai vechi sub raport istoric, dispunnd de un corp didactic cu tradiii puternice i pozitive. I.2. Importana studierii matematicii n dezvoltarea gndirii elevilor n ciclul primar

Scopul esenial pe care l urmrete nvmntul matematic nu se reduce la latura informativ, ci prin predarea acestei discipline se realizeaz mai ales dezvoltarea raionamentului i a spiritului de receptivitate, a deprinderilor de gndire logic, de definire clar i precis a noiunilor de adaptare creatoare la cerinele

actuale.

I. La clasele I IV trebuie s punem bazele nsuirii ntregului sistem de cunotine matematice prin transmiterea noiunilor fundamentale ale acestei tiine, s dezvoltm gndirea (logic) cu operaiile i calitile eiII. IPOTEZA I OBIECTIVELE LUCRRIIII.1. Ipoteza lucrriiII. 2. Obiectivele lucrrii

Obiectivul principal n activitatea ce o desfsor l constituie largirea cercului de cunotine, dezvoltarea flexibilitii gndirii, a cretivitii, spre a-i face pe copii capabili s se orienteze cu uurin n cadrul situaiilor problematice, n rezolvarea problemelorIII. METODE DE CERCETAREIII.1. Observaia Aceast metod presupune consemnarea sistematic i riguroas, amnunit i clar a tuturor proceselor, reaciilor, formelor de conduit cuprinse n programul cercetrii, care privete un anumit aspect (exemplu: gndirea i calitile acesteia)III. 2. Convorbirea

Convorbirea pe care cadrul didactic o are cu elevul vizeaz cunoaterea lumii interne avnd loc de la exterior la interior, prin confruntarea datelor existente la dispoziia cadrului didactic cu relatrile pesonale ale copiluluiIII.3. Experimentul pedagogic

Aceast metod este o modalitate nou a nvrii avnd ca scop optimizarea procesului educaional i const n observarea fenomenelor ntr-o situaie anume creat de cercettor;III. 4. Testul, Analiza lucrrilor elevilor, Evaluarea rezultatelorV. DESFURAREA CERCETRII

VI. Conceptul de problem

nelegerea enunului probleme Analiza problemei i ntocmirea planului logic

Alegerea i efectuarea operaiilor corespunztoare

succesiunii din planul logiE. Activiti suplimentare dup rezolvarea problemei

Ea const n verificarea soluiei problemei, n gsirea i a altor metode de rezolvare i de alegere justificat a celei mai bune. Este etapa prin care se realizeaz i autocontrolul asupra felului n care s-a nsuit enunul problemei, asupra raionamentului realizat i a demersului de rezolvare parcurs.

Chiar dac rezolvarea unei probleme se face frontal sau prin activitate independent, este posibil ca n irul de raionamente, ca i n stabilirea algoritmului de rezolvare, precum i n efectuarea operaiilor indicate, s se strecoare erori care s conduc la alt soluie dect cea bun. n plus, prin utilizarea unor ci i metode diferite, se poate ajunge la soluii diferite sau la soluii ilogice (neconforme cu realitatea de genul vrsta tatlui este de...250 ani). Dup rezolvarea unei probleme, se recomand pentru a se scoate n eviden categoria din care face parte problema fixarea algoritmului ei de rezolvare, scrierea (transpunerea) datelor problemei i a relaiilor dintre ele ntr-un exerciiu sau, dup caz, n fragmente de exerciiu. Prin rezolvarea de probleme asemntoare, prin compunerea de probleme, cu aceleai date sau cu date schimbate, dar rezolvabile dup acelai exerciiu, nvtorul descoper cu elevii schema general de rezolvare a unei categorii de probleme. Este o cerin care nu duce la schematizare, la fixitatea sau rigiditatea gndirii, ci din contr, la cultivarea si educarea creativitii, la educarea sistematic a intelectului elevilor. Procesul de rezolvare a problemelor antreneaz n sistem elementele ajunse la automatizare, dar mai coreleaz elemente a cror aciune trebuie s rmn n permanen sub controlul contiinei. Abilitile matematice de care depinde rezolvarea problemelor sunt fie cu caracter general, adic intr n aciune la rezolvarea oricrei probleme (cum ar fi orientarea asupra datelor, punerea n legtur a acestora, diferenierea cunoscutelor de necunoscute), fie specifice i se aplic la probleme tipice, ori la detaliile aciunilor (procedee de calcul) i care, n acest caz au statut de deprinderi.

Sarcina principal a nvtorului cnd pune n faa elevilor o problem este s-i conduc pe acetia la o analiz profund a datelor, analiz care s le permit o serie de reformulri, care s i apropie de solutie. Necesitatea analizei riguroase a datelor este cu att mai mare n clasele mici, cu ct tim c elevul ntmpin dificulti n aceast direcie, n special datorit lipsei unei vederi de ansamblu (a perspectivei) asupra problemei- i contientizrii ntregului raionament de rezolvare a acesteia. Tendina elevului de a lega datele problemei n ordinea succesiv pe care i-o ofer enunul conduce la rezultate greite, ndeosebi cnd ordinea rezolvrii nu coincide cu ordinea datelor din enun.

Analiza profund a datelor problemei trebuie s-l conduc pe elev la desprinderea de concret, la transpunerea situaiei concrete pe care o prezint problema n relaii matematice. Renunarea la elementele concrete nlocuirea acestora cu expresii potrivite fac posibil schematizarea problemei- deci pasul necesar spre generalizare.

O alt sarcin a nvtorului este s-l ajute pe elev s cuprind imaginea de ansamblu a problemei. Elevul trebuie s treac de la fragmente la tot, de la relaii dintre perechi de date la ntregul film al rezolvrii, care este dinamic i mbin dup o logic riguroas fragmentele.

O problem este mai dificil cu ct ea difer mai mult de problemele rezolvate anterior, deci cu ct situaia noua cere o restructurare mai profund a experienei anterioare. Dat fiind faptul c posibilitile colarului mic de folosire a cunotinelor i de raportare a relaiilor vechi la cele noi sunt nc insuficient dezvoltate, aciunile principale ale nvtorului trebuie s fie orientate n aceast direcie. Deoarece elevul nu sesizeaz ansamblul problemei, nu prinde sau pierde ideea care l-ar duce la rezolvare, nu i d seama rapid n ce mod poate folosi rezultatele pariale, activitile pregtitoare i de rezolvare ale nvtorului trebuie s urmreasc nelegerea de catre elevi a specificului rezolvrii prin crearea unui mod simplu de rezolvare pentru problemele care, dei par diferite, au n esen aceeai structur.

V.3. Valene formative ale activitii de rezolvare a problemelor Procesul de nvare continu este esential att n viaa individual ct i n cea social. El a permis i permite omului s stabileasc toate treptele evoluiei sale i s ajung pe aceast nalt culme a progresului i civilizaiei umane. Orice nvare prezint o nou achiziie, o finalitate, adesea un complex de finaliti, enunate de obicei prin experiena catigat.

A pregti copilul pentru a-i nsui, n procesul invrii matematice, valori tiinifice i a se bucura astfel de fructele cunoaterii omeneti, n interesul lui i al semenilor si, nseamn a-l angaja la o activitate perseverent i rbdtoare de cunoatere.

n procesul nvrii, elevul ctig cunotine, ori astzi n mileniul III, cnd are loc aceast revoluie n toate domeniile de activitate, cnd are loc un adevrat asalt informaional, cnd ceea ce nvm s-ar putea sa nu mai fie valabil mine, se impune trecerea de la informare la formare, de la memorarea i reproducerea mecanic de date la dezvoltarea minii i a puterii de judecat. Se impune deci o nvare productiv creatoare prin care elevul s participe cu ntreaga sa personalitate, cu toate laturile i funciile sale: cognitiv, afectiv, volitiv. Activitatea elevilor n cadrul leciilor de matematic, pe msura capacitilor poteniale i n conformitate cu legile lor biologice, am ntreprins-o cu scopul de a forma indivizi cu personalitate creatoare, capabili i dornici s se autorealizeze.

Cercetrile ntreprinse de P.J.Galperin i J.Piaget, au pus n eviden faptul c formarea concepiilor are loc pe baza interiorizrii unor aciuni, adic pe baza trecerii de la aciuni externe cu obiectele, la aciuni interne ce se desfoar pe plan mintal cu ajutorul limbajului. Astfel gndirea ne apare ca un joc de operaii i nu o simpl asimilare de imagini i noiuni. A forma gndirea nseamn a forma operaii, iar a forma operatii nseamn a elabora sau constitui n aciuni i prin aciune.

Rezolvarea problemelor pune la ncercare n cel mai nalt grad capacitile intelectuale ale elevilor, le solicit acestora toate disponibilitile psihice, n special inteligena, motiv pentru care n ciclul primar se acord o mare importan rezolvrii problemelor de matematic. Valoarea formativ a rezolvrii de probleme sporete, pentru c participarea i mobilizarea intelectual a elevilor la o astfel de activitate este superioar altor demersuri matematice, elevii fiind pui n situaia de a descoperi ei nii modalitile de rezolvare, de a formula ipoteze i de a le verifica, de a face asociaii de idei, corelaii inedite.

La elevi se formeaz priceperea de a analiza situaia dat de problem (valorile numerice, relaiile cunoscute) i a descoperi calea prin care s obin ceea ce se cere n problem. Aceasta duce la dezvoltarea gndirii, la formarea limbajului matematic, la educarea perspicacitii i a spiritului de iniiativ.

Dar nu numai procesele de cunoatere sunt mobilizate n rezolvarea unei probleme, ci ntreaga personalitate a celui ce rezolv problema n toate coordonatele ei raionale, afective, volitive. Nu se lucreaz n matematic numai cu mintea. Pasiunea matematic este motorul activitii. Un rol important al profesorului este s cluzeasc activitatea celui care nva n aa fel nct acesta s resimt farmecul, atracia, specifice acestei activiti. Nu numai s-l ajute s nteleag, ci s-l ajute s simt. Pentru nelegere, profesorul poate fi nlocuit de un text bun. Profesorul adevrat, neidentificabil cu un text, are i rolul cluzirii sentimentelor, a sentimentelor intrinseci, proprii n mod natural activitii matematice.

Apariia ideii n rezolvarea problemei este n esen un act de descoperire cu toate implicaiile lui psihice.

Nu ntotdeauna efortul fcut pentru a rezolva o problem este ncununat de succes. Se ntmpl de multe ori ca elevul s nu descopere modul de rezolvare, s nu poat rspunde la ntrebarea problemei; elevii trebuie educai n sensul de a nu ceda pn nu ajung s rezolve problema. Reluarea muncii i ducerea ei pn la capt constituie un bun exerciiu pentru educarea voinei, a drzeniei, a perseverenei.

Tehnica rezolvrii problemelor de aritmetic nu se poate obine dect printr-o munc susinut, bine organizat. Deseori, nceptorii n studiul aritmeticii nu se preocup s descopere ntr-o problem, n structura ei interioar, particularitatea esenial care o apropie de un grup de probleme ce se pot rezolva dup o aceeai schem.

Privitor la problemele propuse spre rezolvare elevilor, este necesar ca acestea s fie ordonate dup gradul lor de dificultate, s aib enunul clar i concis formulat, innd sema de nivelul intelectual al rezolvitorului i mai ales de gradul su de pregtire.

Prin coninutul lor, reflectnd aspecte ale activitii oamenilor, rezolvarea problemelor contribuie la aplicarea n practic a cunotinelor matematice dobndite.

Rezolvarea problemelor exercit o influen formativ asupra elevilor pe tot parcursul studierii matematicii. Cu ct naintm spre clasele mari, cu att mai mult acestea se refer la formarea unei gndiri profunde i perspicace, a exactitii i corectitudinii, a drzeniei, a spiritului de iniiativ, a independenei.

Rezolvarea problemelor constituie activitatea matematic cea mai bogat n valene formative, n ea concretizndu-se ntreaga experien dobndit de elev, att n studierea i cunoaterea numerelor ct i a calculului, acestea devenind elemente auxiliare n rezolvarea problemelor.

Bogatele valene formative al activitii de rezolvare a problemelor nu se valorific de la sine, n mod spontan. Lsat pe seama spontaneitii, eficiena formativ a rezolvrii problemelor este limitat i se poate dirija n direcii negative, dac se pot forma unele priceperi i deprinderi care frneaz dezvoltarea gndirii i a atitudinii independente a elevilor. De aceea este necesar o preocupare permanent din partea nvtorului pentru valorificarea valenelor formative ale activitii de rezolvare a problemelor i de sporire a eficienei formative a acestei activiti.

innd seama de cerinele psihologice i de noua viziune didactic am conceput n clasa I un panou sub denumirea de Problema ilustrat. Prin posibilitatea de a reprezenta n prim plan datele problemei ilustrate, procesul gndirii analitico-sintactice la elevi iese n eviden n forma simpl.

Astfel, elevului nu-i rmne dect s transforme rezultatele activitii intelectuale de pe plan senzorial n activitate operaional pe plan abstract, prin utilizarea algoritmilor dobndii prin intermediul unei scheme ceea ce reprezint raionamentul problemei.

Raionamentul problemei ca rezultat al abstractizrii i generalizrii n procesul de cunoatere este reprezentat printr-un model ideal simplu n cazul problemelor cu o singur operaie, evideniind legtura reciproc i mpletirea lor, n rezolvarea problemelor cu mai multe operaii, n diferite etape de studiu de-a lungul anilor de colarizare.

Pentru a demonstra posibilitatea de a reprezenta n aceeai imagine cele dou aciuni (concret i abstract) prin intermediul panoului Problema ilustrat, voi exemplifica prin cte o problem simpl i compus la clasele I i a III-a.

Exemplul 1: Clasa I

ntr-o pung sunt 3 pere i mere cu 2 mai multe dect pere.

Cte mere sunt n pung? (figura 1)

a ? b

3 3 +2

Figura 1

Exemplul 2: Clasa I

Acelai text dar cu ntrebarea schimbat. Cte fructe sunt n pung? (figura 2)

a ? b ? c

3 3+2 a + b

3+(3+2)=8

Figura 2

Exemplul 3: Clasa a III-a

La o cantin colar s-au adus cu primul transport 10 litri de lapte,

iar n cel de-al doilea transport de 2 ori mai mult.

Ci litri de lapte s-au adus n al doilea transport? (figura 3) 10 l 10 l 10 l

a ? b

10 a x 2

10 x 2= 20

Figura 3

Exemplul 4: Clasa a III-a

Acelai text, dar cu ntrebarea schimbat.

Ci litri de lapte s-au adus n total? (Figura 4)

10 l 10 l 10 l

a ? b ? c

10 a x 2 a + (ax2)

10 +(10 x 2)= 30

Figura 4

Dup ce elevii s-au familiarizat cu limbajul matematic specific operaiilor artitmetice ca urmare a nelegerii relatiei dintre date, text i ntrebare, prin intermediul aciunii, rezolvarea problemelor dobndete un caracter abstract. Elevii au simit cu att mai mult utilitatea calculului cu ct ei au formulat probleme pe baza unor calcule efectuate sau a unor relatii prezentate prin simboluri literale. Astfel, dup ce au rezolvat un gen de exerciii ca 13 + 4 sau 15 2 + 6, elevii au fost solicitai s compun o problem care s se rezolve prin acest calcul. Si mai mult a fost solicitat gndirea lor creatoare atunci cnd li s-a cerut s elaboreze probleme al cror principiu de rezolvare s fie relaiile indicate prin simboluri literale din formula dat: (a+b) sau (a+b+c).

Exemplu:

Ionel a cumprat 4 caiete, iar fratele su 5 caiete. Cte caiete au cumprat mpreun?

4+5=9 (caiete) cnd se ncadreaz n formula a+b

Aceeai problem complicat puin se ncadreaz n formula a+b-c Exemplu:

Ionel a cumprat 4 caiete, iar fratele su 5 caiete. Copiii au dat din toate caietele 3 unui coleg. Cte le-au mai rmas?

4+5-3=6 (caiete) (a+b-c)

De asemenea, nc din clasa I, elevii au nvat c dup rezolvarea problemei s extrag principiul ei de rezolvare ntr-o formul literal cu caracter general.

Exemplu:

ntr-o ldi erau 12 portocale, iar n alt ldi erau cu 3 portocale mai mult. Cte portocale erau n ambele ldie?

Dup rezolvarea ei obinuit se extrage 12 + (12 +3) = 27, care se ncadreaz n formula a + (a+b).

n cadrul problemelor cu mai multe operaii la clasele a III-a i a IV-a, schema devine mai complex i mai mobil n raport cu gradul de dificultate al problemelor.

Schema ca rezultat al unei nvri active uureaz procesul de rezolvare a unor probleme prin folosirea calculelor neefectuate anterior sub form de exerciii combinate.

Spre ilustrarea celor relatate voi exemplifica cte un caz de problem la clasele a III-a i a IV-a.

Exemplu: (la clasa a III-a)

ntr-o livad sunt 10 rnduri de pruni cu cte 135 de pomi pe rnd, 15 rnduri

de meri cu cte 100 de pomi pe rnd, iar restul pn la 4000 de pomi sunt cirei. Ci pomi de fiecare fel sunt n livad?

Schema a ? b ? c ? d

4000 135 x 10 15 x 100 a (b+c)

4000 (135 x 10 + 15 x 100) = 1150 (d)

Exemplu : (la clasa a IV-a)

ntr-un siloz al unei ferme erau 1536 tone cartofi. ntr-o zi s-au transporat 1/4 la pia, iar a doua zi 3/8 din toat cantitatea.

Cte tone de cartofi au rmas n siloz?

a ? b ? c ? d

1536 a : 4 a : 8 x 3 a b c

Rezolvarea sub form de exerciiu:

1536 (1536 : 4) (1536 : 8 x 3) = 576 (d)

Pentru calcularea produsului m-am folosit de exemplul:

ntr-o livad sunt 7 rnduri de meri i 9 rnduri de peri, n fiecare rnd existnd cte 8 pomi. Ci pomi sunt n livad?

Respectnd metodologia rezolvrii problemelor, elevii au observat c rezultatul poate fi scris (7 x 9) x 8 sau 7 x (9 x 8). Aceast egalitate, (7 x 9) x 8 = 7 x (9 x 8), arat c la nmulirea cu trei factori se poate proceda n dou moduri.

- nmulim primul factor cu al doilea i rezultatul l nmulim cu al treilea;

- nmulim al doilea factor cu al treilea i rezultatul l nmulim cu primul.

Pentru imprirea prin cuprindere :Dintr-un bidon de 10 litri n cte sticle putem pune cte 2 litri?

Pe baza aciunii concrete am stabilit cu elevii c punem cte 2 litri n sticle pn se termin lichidul din bidon. Am constatat c sunt necesare 8 sticle numrul acesta ne arat cte grupe de cte 2 litri se pot forma din cei 16 litri aflai n bidon. Vom zice c 2 se cuprinde n 16 de 8 ori scriind 16 : 2 = 8.

Pentru mprirea n pri egale: ntr-un co sunt 16 mere. Ele se distribuie n mod egal la 2 copii. Cate mere va primi fiecare copil?

Tot prin aciune practic am observat c fiecare copil a primit cte 8 mere ceea ce arat c s-au luat de 2 ori cte 8 mere din cele 16 mere din co. Astfel spus, 2 se cuprinde n 16 de 8 ori.

Alt latur formativ a rezolvrii de probleme const n fatul c prin intermediul acestora elevii ajung s neleag cele mai simple corelaii dintre diferite mrimi care se ntlnesc des n via: vitez, timp, distan, cantitate, valoare. n acest sens gsim exemple n manualele de matematic.

Pentru a parcurge distana dintre dou orae un motociclist a strbtut o poriune din traseu mergnd cu o vitez de 50 km/or. Dup 3 ore de mers a constatat c mai sunt 35 km pn la destinaie.

Ce distan este ntre cele dou orae?

Se observ cu uurin cele trei mrimi- vitez, timp, distan c nu se poate rspunde la ntrebare dac nu sesiseaz legtura:

v x t= d ; d : v = t

Relaia pre valoare:

Un ran a recoltat din livada 950 kg de ciree i cu 326 kg mai puine viine. El a vndut fructele la pia cu 150 de lei kg de ciree i cu 200 lei kg de viine. Din banii obinui el a depus la banc 120.000 de lei, iar restul i-a mpit celor trei fii ai si n mod egal. Ci lei a primit fiecare fiu?

Relaia lungime lime perimetru:

Lungimea total a unui teren de form dreptunghiular este de 800 m. Limea este de 3 ori mai mic dect lungimea terenului. Ci metri are lungimea i ci metri are limea terenului?

Elevii o pot rezolva folosindu-se de relaia P = (L + l) x 2, problema fiind pentru clasa a III-a.

Rezolvndu-se problema se aprofundeaz, se consolideaz, se clarific cunotinele nsuite - exemplu la capitolul Fracii.

Trei frai au cules mpreun un co cu zmeur. Fratele cel mare a cules singur jumtate din co, iar cel mic un sfert din ct au cules mpreun ceilali doi. Cte cni de zmeur a cules fiecare dac pentru umplerea coului sunt necesare 40 de cni?

Consolidarea cunotinelor, priceperilor i deprinderilor nsuite despre unitile de msur:

Perimetrul unui dreptunghi este de 600 dam. Calculai dimensiunile sale dac:

- lungimea este cu 120 m mai mare dect limea;

- limea este de dou ori mai mic dect lungimea. Din exemplele date rezult c lecia de rezolvare a problemelor capata o nou orientare i noi valene formative ca urmare a sporirii caracterului formativ al procesului nvrii.

a) Judecata problemei ca aciune de nelegere a relaiilor dintre date, text i ntrebare concretizeaza prin schem ca rezultat al nvrii, prin descoperire, problematizare i algoritmizare, prin solicitarea funciilor de flexibilitate i creativitate a gndirii elevilor.

b) Rezolvarea problemei ca aciune operaional specific formrii i perfecionrii algoritmilor matematici avnd ca element de sprijin raionamentul problemei, ilustrat prin judeci pariale, prin elementele componente ale schemei.

Judecata problemei ca moment prioritar n predarea i rezolvarea problemelor matematice din aciune verbal dup sistemul tradiional capt caracter intuitiv, ceea ce ne d posibilitatea s verificm i s cunoatem gradul de funcionalitate al gndirii elevilor precum i ritmul calculului matematic n activitatea independent a elevilor.

Lecia prin noul concept, pe lng faptul c i sporete caracterul practic aplicativ, are i calitatea de a dirija atenia elevilor n direcii precise n funcie de sarcinile specifice ale fiecrui moment al leciei.

n rezolvarea unei probleme, n mod contient, elevul depune un efort, i mobilizeaz procesele psihice, n primul rnd gndirea. Deci una din valenele educative ale rezolvrii de probleme este dezvoltarea gndirii cu operaiile sale (analiza, sinteza, comparaia, abstractizarea, profunzimea i rapiditatea). Prin rezolvarea de probleme activitatea gndirii se manifest cu precdere si n acest proces de depire a obstacolelor cognitive, ea i mobilizeaz maximal resursele (informaii, capaciti) demonstrndu-i posibilitile de performan. n funcie de felul cum este organizat, orientat activitatea de rezolvare de probleme poate duce la dezvoltarea gndirii logice dar i la formarea unei gndiri rigide (ablon), lucru mai puin de dorit pentru cerintele actualului stadiu de dezvoltare a societii romneti.

Problemele colare necesitnd cunotine de matematic, de fizic, geometrie etc., aparin din punct de vedere psihologic problemelor simbolice. Aceasta pentru c elevii le rezolv acional, rezolvare ce implic n mod obligatoriu limbajul interior sau exterior. n manualul de matematic ntlnim probleme de acest gen.

Exemplu: clasa a IV-a

ntr-un lac cresc nuferi. Ei i dubleaz n fiecare zi mrimea (suprafaa ocupat). Dup 10 zile, jumtate de lac este plin. Dup cte zile se umple ntregul lac?

Analiznd modul n care elevii rezolv asemenea probleme, ies n eviden o serie de caracteristici ale gndirii. Cheia reuitei n rezolvarea problemelor este ordonarea i sistematizarea informaiilor de care dispune elevul, selecionarea lor, reinerea acelora care duc spre soluie i eliminarea critic a tot ce este inutil.

n manualele de matematic exist probleme care pun accent pe gndirea logic. n aceste cazuri procednd dup un sistem bine gndit, anticipnd diferitele variante de rezultate probabile, vom ajunge mai repede la soluie dect atunci cnd vom face ncercri la ntmplare.

Pentru exemplificare dm unele probleme de matematic pentru clasele I IV:

- pentru clasa I:

Punctajul nscris pe o int de tir arat astfel:

Cte puncte se pot obine din dou lovituri? (scrie 5 posibiliti)

- pentru clasa a II-a: ntr-o cutie sunt figuri geometrice decupate din carton, numai triunghiuri i cercuri. tiind c n cutie sunt 7 figuri n form de cerc, iar numrul figurilor roii este 6, care este cel mai mic numr de figuri geometrice ce pot fi n cutie? Dar cel mai mare?

- pentru clasa a III-a: Mihai, Gheorghi i Sandu trimit fiecare cte o scrisoare colegilor lor Viorel, Andrei, Cristian i Doru.

a) Aflati cte plicuri au folosit, efectund: dou adunri; trei adunri, o nmulire.

b) Verificai rezultatul formnd toate perechile expeditor- destinatar i numrndu-le, comparai numrul acestor perechi cu cel al plicurilor.

- pentru clasa a IV-a: Un melc cade ntr-o fntn adnc de 18 metri. El vrea s ias afar. Ziua se trte spre ieire cu 3 metri, iar noaptea alunec napoi cu 1 metru. A cta zi iese melcul afara?

Urmrind strategiile elaborate de elevi n rezolvarea problemelor am constatat c elevii nceptori elaboreaz strategii simple, la ntmplare, nu elaboreaz strategii strict logico- matematice.

n clasele I i a II-a elevul nu dispune nici de mijloace mintale eficiente, le lipsete experiena bogat care s le ofere idei n privina cutrii de soluii. Odat cu acumularea experienei colare, prin rezolvarea unor probleme similare crete capacitatea de a lucra mai sistematic. n acest caz, exerciiul, antrenamentul, joac un rol hotrtor. Psihologii afirm pe drept cuvnt c nu exist metode naturale care s apar spontan n rezolvarea problemelor. Elevul nva metodele de rezolvare a problemelor aa cum nva multe alte lucruri, iar practica ne arat c prin exerciii multilaterale i cu grade de dificultate diferite, el capat i capacitatea de a fi ct mai sistematic n rezolvarea de probleme. Rezolvarea de probleme duce la dezvoltarea caracterului critic al gndirii. ncepnd din primele clase dezvoltm la colarii mici nsuirile gndirii critice. Acum se pun bazele atitudinii critice fa de cunotinele nsuite, mai inti, apoi fa de faptele, aciunile, conduita celor din jur i apoi fa de cea proprie.

La colarii mici se disting dou forme:

- gndire critic legat de rezolvarea diferitelor probleme i sarcini colare;

- gndire critic legat de evaluarea i reglarea faptelor de conduit la alii i la sine nsui.

Desigur, prin rezolvarea de probleme, n procesul analizei, aprecierii i rezolvrii se evideniaz prima faz de gndire critic. Aici, se analizeaz critic probleme pentru a vedea datele acesteia, relaiile dintre acestea, se verific ideea emis, se confrunt cu modul de lucru al altor elevi, se apreciaz modul de lucru. Prin acestea se urmrete stabilirea gradului de corectitudine n efectuarea acestor sarcini colare.

Prin educarea acestei laturi a gndirii critice am folosit:

- probleme cu condiia insuficient pentru a putea determina necunoscuta prin care am urmrit dac sesizeaz lipsa unor date numerice necesare rezolvrii problemei n mod corect la nceput, pe parcursul ncercrilor greite sau nu sesizeaz deloc acest lucru efectund operaiile aritmetice cu datele existente (lucru ce nu duce la obinerea unor rspunsuri la cererea emis de problem).

Iat cteva exemple: - pentru clasa I:

Intr-o livad sunt 23 de meri i 32 de peri. Ci cirei sunt n livad?

- pentru clasa a II-a:

Elevii clasei a II-a B au participat n 3 zile la strngerea recoltei. n prima zi au participat 161 de elevi, iar n a doua zi 234 de elevi.

Ci elevi au participat n a treia zi?

- pentru clasa a III-a:

Din 34 de metri de pnz se fac 6 cmi i 4 halate.

Ci metri de pnz se folosesc la un halat?

- pentru clasa a IV-a:

Pentru mprejmuirea unei grdini de zarzavat n form de dreptunghi, cu un gard format din 3 rnduri de srm s-au folosit 900 metri de srm.

Care este lungimea grdinii?

Dup ce elevii au sesizat c din probleme lipsesc date sau relaii fr de care nu se poate rezolva problema, le-am cerut s le completeze ei n funcie de datele cunoscute i de ntrebarea problemei.

ncepnd de la primele rezolvri de probleme am pus n faa lor sarcina de a rezolva probleme fr ntrebare, n care nu se formuleaz direct sau indirect cerina care decurge n mod logic din enunul ei.

n acest caz am urmrit dac elevii pot formula corect cerina problemei. Am observat c dac elevul sesizeaz relaia dintre datele problemei, va sesiza i cerina ce se ascunde n enunul ei. Punndu-i pe ei s formuleze cerina problemei, am

urmrit s dezvolt la ei capacitatea de a face o analiz critic a enunului problemei care condiioneaz rezolvarea corect a acesteia.

Spre exemplu urmtoarea problem din clasa a III-a:

La o cantin s-au adus struguri: 3 lzi a cte 30 kg i 6 lzi a cate 45 kg fiecare. Din acestea s-au consumat 290 kg.

a) punei ntrebarea i rezolvati corect problema;

Nr. de elevi Nr. de elevi care au rspuns

Corect pentru ambele punctepunctul a)punctul b)Nu au rspuns

159321

b) punei problema sub form de exerciiu.

O alt problem (de matematic) cu date redundante solicit din partea elevilor alegerea corect a dou date din trei. Datele de prisos creeaz posibilitatea de a stabili n mod greit raportul dintre datele problemei, o sintez greit. Am folosit acest gen de probleme cu scopul de a cultiva la elevi o gndire critic ce se exprim prin: sesizarea datelor numerice de prisos odat ce elevul se familiarizeaz cu coninutul problemei, prentmpinndu-i greelile cu aceste date, sau constatarea greelilor de calcul cu aceste date i eliminarea lor din problem pe calea ncercrilor nereuite de rezolvare a acestora.

La un aprozar s-au adus 268 kg de roii i ardei. n prima zi s-au vndut 127 kg de roii si cu 20 kg mai mult ardei.

Cte kg de ardei s-au vndut? ( pentru clasa a II-a).

Cea de a doua form a gndirii critice, legat de nsuirile de personalitate i conduit ale elevilor poate fi dezvoltat prin valorificarea la lecie a unor posibiliti de autoapreciere. Aceasta se realizeaz prin alegerea liber a problemelor de matematic n funcie de gradul lor de dificultate, dar i de posibilitile elevilor.

La multe lucrri de control s-au dat elevilor subiecte diferite ca grad de dificultate, fiecare subiect fiind evaluat cu un anumit calificativ. De exemplu, o astfel de evaluare a cunotinelor la clasa a III-a ( vezi anexa 3):

Prin acest mod de lucru, utilizat fie la sfritul unei uniti de nvare, sfritul unui semestru sau an colar, ne dam seama dac elevul confrunt nivelul su de aspiraie cu gradul de dificultate al problemelor pe care le alege, deci de autoapreciere corect, adic dac innd seama de posibilitile sale intelectuale alege problemele corespunztoare.

Acest mod de lucru permite evidenierea la elevi a particularitilor autoaprecierii care pot fi: autoapreciere critic, cnd elevul i cunoate performana colar, subaprecierea autocritic, cnd elevul manifest nencredere n forele proprii i supraapreciere necritic, cnd elevul este ncrezut. La ultimele dou cazuri, adic subaprecierea i supraaprecierea, elevii nu-i cunosc posibilitile lor n funcie de plusurile sau lacunele bagajului de cunotine. Acest lucru i mpiedic n reuita lor colar.

Prin aceasta rspundem la una din ntrebrile majore ale omului actual, problema mbuntirii propriului su mod de a gndi.

Pentru a dezvolta acest proces cognitiv, modalitatea cea mai uoar este de a transforma enunul problemelor compuse n enunul unor probleme simple, recent rezolvate.

Am folosit acest procedeu de lucru pas cu pas.

Exemplu la clasa I:

- pasul I- problema simpl

In parcul colii elevii au sdit 30 de lalele i 56 de panselue.

Cte flori au sdit n total?

- pasul al II-lea: problema simpl, dar cu grad sporit de dificultate

n parcul colii elevii au sdit 30 de lalele i cu 56 mai multe panselue.

Cte flori au sdit n total?

Prin discuiile purtate cu elevii, inand seama de experiena acumulat n rezolvarea problemelor anterioare am desprins concluzia c sunt dou probleme simple:

I. ,,n parcul colii elevii au sdit 30 de lalele i cu 56 mai multe panselue.

II. ,,n parcul colii elevii au sdit 30 de lalele ipanselue.

Lucrnd astfel am considerat s dezvolt gndirea elevilor respectnd totodat i regulile didactice elementare: trecerea de la cunoscut la necunoscut, de la simplu la complex, de la uor la greu.

Deci, rezolvarea de probleme dezvolt gndirea, o disciplineaz, i d un caracter riguros tiinific, o obinuiete s lucreze cu date. Toate acestea deschid calea de rezolvare a problemelor puse de via n faa fiecrui om.

Problemele de matematic pun la dispoziia elevului un limbaj care exprim cu precizie ideile cele mai abstracte, comunic informaii foarte complexe ntr-o manier clar i concis. Deci, problemele contribuie la dezvoltarea limbajului matematic.

Toate cele prezentate privesc n primul rnd pe elevii din clasele mici unde se pun bazele formrii trsturilor morale i de caracter ale omului, unde activitatea rezolvrii problemelor are un efect formativ mai evident.

Eficiena formativ a rezolvrii de probleme nu trebuie lsat pe seama spontaneitii deoarece ar fi limitat i ar avea un efect negativ n sensul c ar frustra dezvoltarea gndirii i atitudinii independente a elevilor.

nvtorul care pune temelia inteligenei copilului, trebuie s tie care este rolul problemelor i s le foloseasc ca atare.

n activitatea de la clas n-am cerut elevului s rezolve o problem, s dea rspunsul numeric, ceea ce ar subntelege rezolvarea, ci am urmrit ca el s ineleag sensul problemei, s fie n stare s explice legtura dintre date cu propriile lui cunotine i n ultim instan s o rezolve.

Am ajuns la concluzia c n faa noastr, a nvtorilor, trebuie s stea permanent n vedere rolul tridimensional al rezolvrii de probleme- instructiv- educativ- practic- nici una nu trebuie neglijat. M-am preocupat s gsesc ci i modaliti eficiente, momentul cel mai propice al leciei n care s intervin cu o sarcin care s ridice probleme i s-l mobilizeze pe elev la toate eforturile pentru a rezolva dup un efort propriu.

V.4. Tipuri de probleme i metode de rezolvare

Muli nva matematic din necesiti conjuncturale, n general, i mai ales n special pentru a face fa exigenei diferitelor examene. Puini sunt aceia care o fac din plcere, din pasiune.

Elevii i formeaz deprinderi de calcul oral sau scris, si nsuesc anumite tehnici de calcul, dar poezia matematicii plcerea de a descifra i de a reciti ca pe o poezie cu multiple i uneori ascunse sensuri despre via i univers, numai rezolvarea de probleme o realizeaz deplin.

n capitolul precedent am artat valoarea formativ a rezolvrii de probleme, dezvoltarea gandirii i a capacitii de utilizare a ei n situaii problematice, ins acestea, la care putem aduga nelegerea esenei matematicii, nu se pot realiza fr voin, perseveren, fermitate, tenacitate i pasiune.

Acestea se realizeaz numai prin miestria de care d dovad nvtorul, prin metodele i procedeele pe care le utilizeaz n rezolvarea de probleme, n trecerea unor obstacole pe care le ntmpin elevii n rezolvarea problemelor, prin tactul pedagogic de care d dovad pentru cultivarea ncrederii n forele proprii, a celorlalte caliti pozitive ale voinei i caracterului.

Primele probleme sunt acelea pe care i le pune zilnic copilul n coal, n familie, n timpul jocului i care sunt ilustrate cu exemple familiare lui. Pentru a-i face s vad nc din clasa I utilitatea activitii de rezolvare a problemelor, este necesar ca micii colari s neleag faptul c n viaa de toate zilele sunt situaii cnd trebuie gsit un rspuns la diferite ntrebri.

n aceast perioad de nceput, activitatea de a rezolva i compune probleme se face numai pe cale intuitiv. De aceea, primele probleme sunt necesar legate de introducerea lor sub form de joc i au un caracter de problema -aciune i li se asociaz un bogat material didactic ilustrativ.

Rezolvarea primelor probleme se realizeaz la un nivel concret, ca aciune de via (au mai venit...fetie, s-au spart..baloane, au plecat...rute, i-a dat...creioane colorate, au mncat...bomboane), ilustrate prin imagini sau chiar prin aciuni executate de copii (elevul vine la magazin, cumpr, pltete sau elevul este la coal i primete cri sau creioane). n aceast faz, activitatea de rezolvare a problemelor se afl foarte aproape de aceea de calcul. Dificultatea principal pe care o ntmpin copiii const n transcrierea aciunilor concrete n relaii matematice. n enunul unei probleme, formulat de nvtor sau de copil, nu se spune 3 fetie plus 2 fetie, ci se spune c erau 3 fetie i au mai venit 2 fetie, nu se spune 4 baloane - 2 baloane, ci c au fost 4 baloane i s-au spart 2 dintre ele.

Pe baza experienei pe care o au elevii nc din etapa precolar sau chiar din primele lecii de matematic n efectuarea operaiilor cu mulimi, ei reuesc, n general, cu uurin s traduc n operaii matematice aciunile cerute n enunul unei probleme.

Acum elevii sunt familiarizai cu termenul de problem, ntrebarea problemei, rezolvarea problemei, rezultatul problemei.

Introducerea n rezolvarea problemelor simple se face nc din perioada pregtitoare primelor operaii. nvtorul se folosete de probleme aciune care dup ce au fost puse n scen vor fi ilustrate cu un desen schematic.

Dei rezolvrile de probleme simple par uoare, nvtorul trebuie s aduc n atenia copiilor toate genurile de probleme care se rezolv printr-o singur operaie aritmetic. Care sunt n esen acest tipuri?

1. Probleme simple bazate pe adunare pot fi:

- de aflare a sumei a doi termeni;

- de aflare a unui numr mai mare cu un numr de uniti dect un numr dat;

- probleme de genul cu att mai mult.

2. Probleme bazate pe scdere pot fi:

- de aflare a restului;

- de aflare a unui numr care s aib un numr de uniti mai puine dect un numr dat;

- de aflare a unui termen atunci cnd se cunosc suma i un termen al sumei;

- probleme de genul cu att mai puin

3. Probleme simple bazate pe nmulire pot fi:

- de repetare de un numr de ori a unui numr dat;

- de aflare a produsului;

- de aflare a unui numr care s fie de un numr de ori mai mare dect un numr dat;

4. Probleme simple bazate pe mprire pot fi:

- de mprire a unui numr dat n pri egale;

- de mprire prin cuprindere a unui numr prin altul;

- de aflare a unui numr care s fie de un numr de ori mai mic dect un numr dat;

- de aflare a unei pri dintr-un ntreg;

- de aflare a raportului dintre dou numere.

n general, problemele simple sunt uor nelese i rezolvate de ctre elevi. Dificulti exist, cele mai frecvente fiind de genul: neglijarea ntrebrii, includerea rspunsului n enun, neglijarea unei date, confundarea operaiei ce trebuie efectuate .a. Pentru depasirea lor am avut n vedere:

- rezolvarea unui numr mare de probleme;

- analiza temeinic n rezolvarea fiecrei probleme;

- abordarea unei mai mari varieti de enunuri;

- prezentarea unor probleme cu date incomplete pe care elevii sa le completeze i apoi s le rezolve;

- prezentarea datelor unei probleme i elevii s pun ntrebarea i invers;

- prezentarea unor povestiri care nu sunt altceva dect aa-zise probleme latente;

- completarea unui text dat cu valori numerice conforme cu realitatea;

- rezolvarea unor probleme n care operaia nu apare la prima vedere;

- compunerea de probleme dup anumite date, dup scheme date, folosind inversarea datelor sau alte date;

- alctuirea de ctre copii a unor probleme, n mod liber, fr a fi limitate de existena datelor, de relaia dintre ele sau de rezolvarea lor printr-o anumit operaie.

De fapt, prin aceste procedee se urmrete propriu-zis nu o nvare a problemelor, ci formarea capacitilor de a domina varietatea lor care practic este infinit.

Rezolvarea de probleme simple este unul din primii pai orientai spre exersarea flexibilitii i fluenei gndirii. Prin rezolvare elevii ajung s opereze n mod real cu numere, s fac operaii de compunere i descompunere, s foloseasc strategii i modele mintale anticipative.

Rezolvarea problemelor compuse nu nseamn, n esen, rezolvarea succesiv a unor probleme simple. Nu rezolvarea problemelor simple la care se reduce problema compus constituie dificultatea principal ntr-o problem cu mai multe operaii, ci legtura dintre verigi, constituirea raionamentului. De aceea este necesar o perioad de tranziie de la rezolvarea problemelor simple ( cu o operaie) la rezolvarea problemelor compuse ( cu dou sau mai multe operaii).

n prima perioad se pornete de la rezolvarea unor probleme compuse alctuite din succesiunea a dou probleme simple.

Un exemplu relevant poate fi urmtoarea problem:

Victor i Dnu strng mpreun timbre. Victor a pus ntr-un plic 3 timbre iar Dnu 2 timbre. Cte timbre au mpreun cei doi copii?

( 3 timbre +2 timbre= 5 timbre)

Ionic aduce i el 4 timbre pe care le pune n plicul lor. Cte timbre au acum cei 3 copii? ( 5 timbre +4 timbre= 9 timbre).

Spunem problema n ntregime:

Victor i Dnu strng mpreun timbre. Victor a pus ntr-un plic 3 timbre i Dnu 2 timbre. Ionic aduce i el 4 timbre pe care le pune n acelai plic. Cte timbre au n total cei trei copii? 3 timbre........2 timbre.......4 timbre...........? timbre

Rezolvm problema i pe secvene (judeci separate):

1. Cte timbre au mpreun Victor i Dnu?

3 timbre + 2 timbre = 5 timbre

2. Cte timbre au n total cei trei copii?

5 timbre + 4 timbre = 9 timbre

Rezolvm problema i printr-o adunare a trei termeni:

3 timbre + 2 timbre + 4 timbre = 9 timbre

ceea ce n esen se exprim prin relaia a+b+c.

n cadrul acestei activiti elevii sesizeaz mersul raionamentului i nva s elaboreze tactica i strategia rezolvrii prin elaborarea planului de rezolvare a problemei.

Examinarea unei probleme compuse se face, de regul, prin metoda analitic sau sintetic. Cele dou metode se pot folosi simultan sau poate s predomine una sau alta, caz n care metoda care predomin i impune specificul asupra cilor care duc la gsirea soluiei. Att o metod ct i cealalt constau in descompunerea problemei date n probleme simple care, prin rezolvare succesiv duc la gsirea soluiei finale. Deosebirea dintre ele const, practic, n punctul de plecare al raionamentului. Prin metoda sintezei se pleac de la datele problemei spre gsirea soluiei ei, iar prin metoda analizei se pleac de la ntrebarea problemei spre datele ei i stabilirea relaiilor matematice ntre ele.

n practic, s-a demonstrat c metoda sintezei este mai accesibil, dar nu solicit prea mult gndirea elevilor. Mai mult, se constat c unii elevi pierd din vedere ntrebarea problemei i sunt tentai s calculeze valori de mrimi care nu sunt necesare n gsirea soluiei problemei. Metoda analizei pare mai dificil, dar solicit mai mult gndirea elevilor i, folosind-o, i ajut pe elevi s priveasc problema n totalitatea ei, s aib mereu n atenie ntrebarea problemei.

Odat cu analiza logic a problemei se formuleaz i planul de rezolvare. Planul trebuie scris de nvtor pe tabl i de elevi pe caietele lor, mai ales la rezolvarea primelor probleme, scopul fiind acela al formrii deprinderilor de a formula ntrebri i pentru alte rezolvri de probleme.

n clasa I, planul problemei se ntocmete de la nceput oral ( elevii neavnd suficiente cunotine i deprinderi de scriere), manier care se continu i n clasa a II-a, n unele situaii. Se recomand ca la clasa a II-a planul de rezolvare s se fac oral sau n scris n egal msur. n clasele a III-a i a IV-a, dup ntocmirea planului oral, elevii sunt capabili datorit deprinderilor de scriere deja formate, s treac la scrierea planului cu uurin, ndat ce problema a fost examinat. Forma n care poate fi scris planul este variat, dar cel mai eficient este sub forma ntrebrilor. S lum ca exemplu problema:

O ferm a contractat 392 de tone de gru, secar cu 72 tone mai puin, iar ovz de 32 de ori mai putin dect secar. Cte tone de cereale a contractat acea ferm?

Planul rezolvrii:

- cte tone de secar?

- cte tone de ovz?

- cte tone de cereale s-au contractat n total?

Rezolvare:

392 tone 72 tone = 320 tone (secar)

320 tone : 32 tone = 10 tone (ovz)

392 tone+ 320 tone + 10 tone = 722 tone (cereale)

Rspuns: 722 tone cereale.

Rezolvarea se scrie, de regul, prin intercalarea ntrebrilor din plan cu calculul asigurndu-se o estetic n pagin i o strns legtur ntre ceea ce a gndit elevul i ceea ce se calculeaz:

Astfel vom avea:

Cte tone de secar s-au contractat?

322 tone 72 tone = 320 tone (secar)

Cte tone de ovz s-au contractat?

320 tone : 32 tone = 10 tone (ovz)

Cte tone de cereale s-au contractat?

392 tone + 320 tone + 10 tone = 722 tone (cereale)

Rspuns: 722 tone cereale

Scriind n felul de mai sus, elevii sunt solicitai s rspund imediat, prin efectuarea operaiei fiecrei ntrebri din plan, evitndu-se astfel posibilele greeli i chiar confuzii de ntrebri i operaii.

O atenie deosebit trebuie s acorde nvtorul problemelor ce admit mai multe procedee de rezolvare. i aceasta pentru c prin rezolvarea lor se cultiv mobilitatea gndirii, creativitatea sa, se formeaz simul estetic al colarilor ( prin elegan, economicitatea i organizarea modului de rezolvare). Formarea priceperilor de a gsi noi procedee de rezolvare constituie o adevrat gimnastic de minii, educndu-se astfel atenia, spiritul de investigaie i perspicacitate al elevilor. De multe ori elevii nu sesizeaz de la nceput existena mai multor ci de rezolvare. Sarcina nvtorului este aceea ca prin miestria lui pedagogic, prin analiza ntreprins cu clasa, prin ntrebri ajuttoare, s-i determine pe elevi s gndeasc i alte modaliti de rezolvare. S exemplificm cu problema:

ntr-un bazin curge apa prin dou robinete. Prin primul robinet curg cte 174 litri de ap pe minut, iar prin al doilea robinet, cu 36 litri mai mult dect prin primul. Ci litri de ap se afl n bazin dup 3 minute de la deschiderea celor dou robinete?

Unii elevi pot rezolva problema efectund operaiile necesare n ordinea aciunilor cuprinse n enun ( din variate motive: neputina de a cuprinde i de a prelucra ntregul enun, insuficiena deprinderilor de rezolvare formate pn la acest moment).

Ali elevi, analiznd mai bine problema, renun la ordinea aciunilor cuprinse n enun i caut valorile ntre care pot stabili o relaie util, mai economicoas i mai simpl pentru rezolvarea problemei.

Cum organizm datele problemei?

174 l............cu 36 l mai putin.......? l..............3 minute

Iat i cele dou moduri alternative de rezolvare, cu schemele respective (figura 1 i figura 2).

1. 2.

174 l 36 l = 138 l 174 l 36 l = 138 l

174 l x 3 = 522 l 174 l + 138 l = 312 l

138 l x 3 = 414 l 312 l x 3 l = 936 l

522 l + 414 l = 936 l

174 l .........................cu 36 l mai puin............3 minute.............? l

-

X

X

+

(Schema la figura 1) 174 l .........................cu 36 l mai puin............3 minute.............? l

-

+

X

(Schema la figura 2) Modelul ofer elevului posibilitatea s vad unitar structura unei probleme, sesiznd organizarea intern a coninutului ei. Elaborarea modelului n forme i modaliti din cele mai variate cu cerculee, cu ptrate, cu triunghiuri, cu litere, cu cuvinte, cu prescurtri, cu ilustraii etc, este un instrument ajuttor n rezolvarea problemei. Prin alctuirea modelului, elevul parcurge o etap de gndire, ptrunde n procesul de rezolvare, probeaz c a neles structura logic a coninutului problemei, i exerseaz gndirea divergent, creatoare, precum i abilitile de compunere de probleme.

O categorie de probleme creia nvtorul trebuie s-i acorde o atenie deosebit este aceea n care datele sunt n relaii de cu att mai mare (mai mic) sau ,,de attea ori mai mare (mai mic). Pentru elevii din clasa a II-a i a III-a, n special, acestea au un caracter abstract i dac nu se face o analiz foarte atent a problemei ele pot fi luate ca valori numerice cunoscute. Dificultatea const mai ales n faptul c o mrime se ia de mai multe ori: a + (a + b), a + a x b, a a : b, a + (a +b) + (a + c) etc i dac elevul nu i-a nsuit noiunile respective le poate neglija.

n aceste cazuri,se recomand descompunerea problemei compuse n probleme simple i apoi recompunerea din acestea a problemei iniiale.

n analiza problemelor este bine s nu se foloseasc totdeauna datele concrete aa cum sunt ele prezentate , explicndu-le copiilor c acestea pot fi altele ntr-o alt problem sau situaie -problem.

Rezolvarea problemelor dup un plan de rezolvare necesit nu o dat i folosirea schemelor, desenelor, graficelor etc, iar pentru formarea unei gndiri sintetice, formule numerice sau literale. Dac atunci cnd se predau operaiile aritmetice se insist asupra notrii cu litere a termenilor i factorilor, dac operaiile aritmetice sunt scrise la modul general i se cere elevilor s rezolve i s compun probleme simple de aflare a unui termen, a unui factor, a sumei, diferenei, produsului, ctului, s mreasc i s micoreze o cantitate cu att sau de attea ori etc folosind formule literale, elevii nu vor mai ntmpina greuti mari n aciunile de schematizare i generalizare a unei probleme compuse prin exerciiu numeric sau formul literal.

La ntrebarea: cte probleme de matematic s se rezolve ntr-o lecie, rspunsul tehnicienilor i practicienilor este simplu. ntr-o or de matematic este posibil s se rezolve doar 2 -3 probleme la care s se insiste asupra raionamentului, asupra diferitelor ci posibile de rezolvare, asupra schemei, punerii n formula numeric i literal, compunerii unor formule analoage pornind de la exerciiu i formul, dect s se rezolve, n mod superficial, mai multe probleme, fr repetarea cerinelor sus- amintite.

Un rol deosebit n dezvoltarea flexibilitii gndirii l ocup rezolvarea problemelor -tip. Prin problem-tip nelegem acea construcie matematic a crei rezolvare se realizeaz pe baza unui anumit algoritm specific fiecrui tip. O asemenea problem se consider teoretic rezolvat n momentul n care i-am stabilit tipul i suntem n posesia algoritmului de rezolvare.

Nu trebuie s fim adepii unor abloane pentru c rezolvitorul s-ar putea transforma ntr-un robot, posesor al unor cartele pe care sunt imprimai algoritmi i sarcina lui ar fi doar s stabileasc tipul, s trag cartela corespunztoare, i s o adapteze datelor problemei. Un rezolvitor de probleme trebuie s fie, pe lng un bun specialist al obiectului, i un tip creator, novator, ntreprinztor caliti disjuncte cu ale robotului, n sensul clasic al cuvntului.

Problemele de matematic le putem clasifica astfel:

I. Probleme cu operaii relativ evidente n funcie de date i de relaiile dintre ele i necunoscut (sunt problemele cele mai des ntlnite n manualele din clasa I-IV); acestea sunt:

A. Probleme simple

B. Probleme compuse

Ca metode de rezolvare sunt, principal, dou - metoda sintetic i metoda analitic.

II. Probleme care se rezolv prin metoda figurativ. n acest categorie includem i probleme de aflare a dou numere cunoscnd suma i diferena lor, precum i pe cele de aflare a dou numere cunoscnd suma sau diferena i raportul lor.

III. Probleme de egalare a datelor (metoda reducerii la acelai termen de comparaie).

IV. Probleme de presupunere (metoda falsei ipoteze). V. Probleme gen rest din rest (metoda mersului invers). VI. Probleme de amestec i aliaje cu dou variante:

A. De categoria I.

B. De categoria a II-a. VII. Probleme de micare (bazate pe relaia s= v x t ), cu dou variante:

A. n acelai sens.B. n sensuri contrare.

VIII. Probleme cu mrimi proporionale cu dou variante:

A. mprirea unui numr n pri direct proporionale.

B. mprirea unui numr n pri invers proporionale.

IX. Probleme care, depinznd de alctuirea ntrebrii i de date, pot fi rezolvate i ncadrate n categoriile specificate mai sus, dar cu un coninut specific:

A. Probleme cu coninut geometric.B. Probleme cu coninut de fizic.C. Probleme asupra aciunii i muncii n comun.

X. Probleme nestandard (recreative, rebusistice, de perspicacitate, probleme joc, etc.)

Voi oferi modaliti de rezolvare a problemelor pentru cteva categorii de probleme grupate n raport cu metoda de rezolvare, fr a avea pretenia c sunt absolute.

1. Metoda figurativ Se folosete pentru a nelege coninutul problemei i a relaiilor dintre datele ei: grafice, figuri decupate, plane cu figuri simple sau mobile, tabl magnetic, scheme i figuri schematice, figuri geometrice, litere i combinaii de litere, diverse semne convenionale. Figurarea coninutului problemei se folosete pentru a exprima sub o form intuitiv i ct mai accesibil datele problemei i relaiile cantitative dintre ele.

Datorit particularitilor psihice ale copiilor de 6 ani ca: dezvoltarea concret a gndirii, rolul hotrtor al senzaiilor vizuale i chinestezice n declanarea unor procese de trecere de la gndirea concret, plasticitii simului nervos, metoda figurativ ocup un rol important fat de celelalte metode n rezolvarea problemelor la clasele I IV. Are o puternic eficien n ceea ce privete dezvoltarea gndirii matematice la colarii mici. n rezolvarea problemelor de matematic, reprezentarea grafic poate avea dou puncte de baz: s ilustreze rezolvarea clasic sau s constituie un mod aparte de rezolvare. Aceast ultim funcie i ajut pe elevi s-i reprezinte intuitiv nu numai condiiile iniiale, dar i soluia problemei, nlesnind de asemenea i stabilizarea legturilor dintre noiunile matematice i cele geometrice i contribuind la dezvoltarea gndirii funcionale a copiilor.

nc din clasa I, cnd se formuleaz i se rezolv probleme simple dup imagini sau cu cerine date, m-am preocupat ca s-i obinuiesc pe elevii mei de a concretiza relaiile dintre mrimi prin iruri de ptrele, dar de cele mai multe ori prin segmente de dreapt.

Am utilizat reprezentarea grafic pentru rezolvarea problemelor de la cele mai simple la cele mai complexe situaii:

- aflarea unui numr pe baza cunoaterii sumei sau diferenei dintre acestea i a unuia dintre numere;

- aflarea unui numr mai mare (mai mic) cu att sau de attea ori, dect un numr dat;

- aflarea a dou numere cunoscnd fie suma i diferena lor; suma i ctul lor; diferena i ctul lor;

- probleme de determinare: fie a sumei i a diferenei a dou produse, fie a ctului a dou produse.

Aceast metod se folosete nc din clasele I-II prin aa-zisul procedeu de figurare prin desen. Exemplu:

1. Marcela are 6 mere. Sora ei are cu 3 mere mai mult . Cte mere are sora ei?

Rezolvare:

Reprezentm printr-un desen numrul de mere pe care-l are Marcela (el reprezint valoric, 6). Expresia matematic cu att mai mult conduce la urmtorul raionament: n prelungirea segmentului ce reprezint numrul de mere al Marcelei, desenm arbitrar, punctat, un alt segment care indic surplusul de mere (+3), adic numrul de mere avute de sora ei. Graficul va arta astfel:

6 numrul de mere al Marcelei +3

numrul de mere al sorei ei

Deci, sora are 6 + 3 = 9(mere). n mod asemntor au fost rezolvate probleme utiliznd expresia matematic cu att mai puin.

2. Pe un loc noat 9 rae i cu 3 mai puin gte. Cte gte noat pe lac? 9 numrul raelor

-3 numrul gtelor

Deci, numrul gatelor care noat pe lac este: 9 3 = 6 (gte). Voi exemplifica cu cteva probleme care impun utilizarea metodei figurative n clasele a III-a i a IV-a.

3. Ast- var Dan i George au vndut mpreun Centrului de Achiziii a Fructelor din Deleni 166 Kg de viine. Cte kg a vndut fiecare, dac Dan a vndut cu 6 Kg mai mult dect George? Varianta I

Considerm c Dan a vndut tot attea kg de viine ca i George. De ce? Pentru c, dac suma ar fi format din dou pri la fel de mari, am mpri-o n dou i am putea determina cantitatea fiecruia. Ca urmare, trebuie s dm deoparte cele 6 Kg, cu ct a vndut mai mult primul copil, atunci, n cantitatea total, care se va micora tot cu 6 Kg, vor fi dou pri, fiecare egal cu cantitatea vndut de George, adic:

II 166 - 6 I 6

Deci: Care este suma a dou pri, fiecare egal cu cantitatea vndut de George? (care este dublul cantitii vndute de al doilea copil?)

166 6 = 160 (kg)

Cte kg de viine a vndut al doilea copil?

160 : 2 = 80 (kg)

Cte kg a vndut primul copil?

80 + 6 = 86 (Kg)

Varianta a II-a Dac am mai aduga la cantitatea vndut de al doilea copil nc 6 kg, am obine o cantitate la fel de mare ca a primului, iar n sum ar fi dou asemenea cantiti, adic:

II 6

I 6 166+6 Care este suma a doua prti, fiecare egal cu cantitatea vndut de Dan? (care este dublul cantitii vndute de primul copil)

166 + 6 = 172 (kg)

Care este cantitatea vndut de primul copil?

172 : 2 = 86 (kg)

Care este cantitatea vndut de al doilea copil?

86 6 = 80 (kg)

4. Suma a dou numere consecutive este 41. S se determinte cele dou numere.

Vom reprezenta printr-un segment numrul mai mic. Atunci cele dou numere le putem reprezenta astfel:

I primul numar

41 II 1 al doilea numar Suma numerelor fiind 41 rezult c numrul mai mic este: (41 - 1) : 2 = 20

Numrul mai mare va fi:

20 + 1 = 21

Dup ce s-a explicat noiunea de numr consecutiv s-a trecut la schematizarea datelor i a relaiilor dintre ele. Conform reprezentrii au determinat cele dou numere consecutive.

5. Aflai cte pagini a citit fiecare dintre cei doi copii, tiind c Mitru a citit de 3 ori mai mult dect George, iar mpreun au citit 84 de pagini?

Soluie:

Grafic, se poate reprezenta numrul de pagini citite de fiecare copil astfel:

George a citit

84p Mitru a citit n cele 84 de pagini sunt 4 pri, fiecare egala cu numrul de pagini pe care le-a citit George.

Cte pagini a citit George?

84 : 4 = 21 (pagini)

Cte pagini a citit Mitru?

21 x 3 = 63 (pagini)

6. Suma a trei numere este de 19. Primul este cu 14 mai mic dect al doilea i cu 5 mai mare dect triplul celui de-al treilea. S se afle numerele.

Rezolvare:

Din enun rezult c al treilea numr este cel mai mic, iar al doilea este cel mai mare.

Grafic:

III

I III III III 5 II

514 Pentru a organiza suma n pri egale, trebuie s micorm primul numr cu 5, iar pe al doilea cu 19, adic 5 + 14.

Cte pri, fiecare egal cu al treilea numr pot fi?

1 + 3 + 3 = 7 (pri egale)

Care este suma ce poate fi organizat n asemenea pri?

199 5 5 14 = 175

Care este numrul al treilea?

175 : 7 = 25

Care este primul numr?

25 x 3 + 5 = 80

Care este al doilea numr?

80 + 14 = 94 sau

25 x 3 + 5 + 14 = 94 7. Suma a trei numere naturale este 1522. Dac din fiecare numr se scade acelai numr, se obin 101, 1008 i 107. Care sunt cele trei numere?

Notm numerele iniiale cu I i II i respectiv cu III.

Grafic numerele se pot reprezenta astfel:

I nr. sczut 101 II 107 1522 III 1008

Care este suma resturilor (a diferenelor)? 101 + 107 + 1008 = 1216

Care este triplul numrului care se scade?

I = 101 + 306 : 3 = 203

II = 107 + 306 : 3 = 209

III = 1008 + 306 : 3 = 1.110

8. Diferena a dou numere naturale este 7. mprind cele dou numere, se obine ctul 1 i un rest. Aflai restul.

Rezolvarea 1 Grafic

Notm cele dou numere cu I i respectiv cu II. I

II 7

Comparnd cele dou reprezentri, se observ c II se cuprinde n I o dat i mai

rmne un rest, care este tocmai diferena 7. Rezolvarea 2

Dac a = b + 7a

a = 1 x b + r, comparnd cele dou egaliti, rezult r = 7.

9. ntr-o magazie era de 5 ori mai mult fin dect n alta. Dac din prima magazie se scoate o cantitate de 1000 kg, iar n cea de-a doua se mai depoziteaz nc 480 kg, atunci cantitile din cele dou magazii devin egale. Care sunt cantitile iniiale?

Rezolvare

Notm cantitile din fiecare magazie cu I i, respectiv, cu II. Grafic, modificrile sunt:

II 480

I 1000 Ne fixm nti pn unde este segmentul ce reprezint cantitatea mrit din a doua magazie. Delimitm, printr-o linie punctat vertical, aceast cantitate i pe segmentul ce reprezint prima cantitate.

Rezult c pn la sfarit acest segment reprezint tocmai 1000 kg, ceea ce s-a

scos. Dar 1480, adic 1000 + 480, reprezint 4 pri, fiecare egal cu cantitatea din a doua magazie.

Cte kg erau iniial n a doua magazie?

1480 : 4 = 370 (kg)

Dar n prima?

370 x 5 = 1850 (kg) sau 370 + 480 +1000 = 1850 kg

n clasa a IV-a ntlnim probleme care ne ofer posibilitatea formrii reprezentrilor spaiale privind fixarea punctelor de reper, localizarea corect a dimensiunilor mrimii ntlnite n problemele de micare.

Elementul nou care apare n problemele de micare este viteza ca mrime orientativ, a crei reprezentare grafic se face printr-o sgeat care indic direcia, mrimea i sensul vitezei. n rezolvarea unora dintre ele se aplic cu succes metoda grafic.

Exemplu:

Un bicilist, avnd viteza de 24 km/h, pleac din oraul A. Dup 3 ore, pleac tot din A, n aceeai direcie un motociclist avnd viteza de 42 km/h. n ct timp l va ajunge motociclistul pe biciclist? La ce distan de ora?

A [-----------72 km-------] B I

0h 24km/h 3h --- ----------------- ------------------------------------------- 3h 42 km/h

----------- --------------------------------------------------------- Avansul biciclistului (distana parcurs n 3 ore) este AB = 24 km x 3 = 72 km.

Motociclistul ctig n fiecare or 42 km -24 km = 18 km.

Pentru a ctiga cei 72 km, motociclistul merge un timp de 72 km: 28 km/h = =4h, acesta fiind i timpul dup care l-a ajuns pe biciclist, iar distana de la oraul A este, la ntlnire, AI = 42 km x 4 = 168 (km). Pentru rezolvarea problemelor de micare n care deplasarea se face n sensuri opuse se poate utiliza urmtoarea problem:

Un pieton, care parcurge 5 km pe or pleac din oraul A spre oraul B. n acelai moment, un biciclist pleac din oraul B spre A, cu viteza de 22 km pe or. ntre orae este o distan de 81 km. Dup ct timp se ntlnete pietonul cu bicilistul? La ce distan de oraul B se ntlnesc?

[-------------------------------81 km--------]

A I B 5 km/h 22 km/h

------- ------ ----------------------------- 0 h 0 h

n fiecare or, distana dintre pieton i biciclist se micoreaz cu 5 km + 22 km = =27 km. Pentru ca ei s se ntlneasc, trebuie s treac attea ore de cte ori se cuprind 27 km n 81 km, adic 81 km: 27 km/h = 3 h.

Eficienta metodei figurative n rezolvarea problemelor de micare este condiionat de o corect reprezentare a datelor i relaiilor dintre ele. O bun reprezentare a datelor asigur justa apreciere a realitii i uureaz desfurarea rainamentului n scopul rezolvrii.

Problemele geometrice ncep i ele, de obicei, cu construirea figurilor geometrice att pentru formarea reprezentrilor spaiale, ct i pentru deprinderea i nelegerea procedeului de rezolvare. ncepnd cu problemele din clasa a III-a, am indicat elevilor s foloseasc i raportul aritmetic al acestor dimensiuni.

Exemplu:

Perimetrul unui dreptunghi este 984 m. Aflai limea dreptunghiului tiind c ea este:

a) cu 246 m mai mic dect lungimea;

b) de 3 ori mai mic dect lungimea.

Reprezentarea grafic a datelor problemei:

246 m

A --------- B l L ------- 246 m l L ------- 246 m 246 m D --------- C Metoda figurativ este indicat n rezolvarea problemelor cu fracii ntruct le ofer posibilitatea nelegerii relaiilor ce exist ntre diferite pri ale aceluiai ntreg, aflarea unei fracii dintr-un ntreg etc. Exemplu:

La un atelier de confecii erau buci de stof. Numrul metrilor din prima bucat este egal cu 2/3 din numrul metrilor din bucata a doua. Din bucata a doua s-au confecionat 8 rochii i au rmas 5 m. Din bucata mai mic nu au ajuns 2 m ca s se confecioneze tot attea rochii. Ci metri de stof au fost necesari pentru o rochie i ci metri de stof au fost n fiecare bucat?

Rezolvare:

Din enun rezult c bucata a doua (II) poate fi mprit n 3 pri la fel de mari (treimi). Prima bucat reprezint 2 treimi din a doua, astfel: II 5m I 2 m

Din desen, rezult c diferena dintre cele dou buci este de 7 m, pentru c la aceeai lucrare, primei buci i mai trebuie 2 m, iar celeilalte i mai raman 5 m, cei 7 m reprezint o treime din a doua bucat.

Ci metri are a doua bucat?

3 x 7 = 21 (m)

Dar prima?

21 : 3 x 2 = 14 (m) sau 21 5 -2 = 14 (m)

Verificare:

Ct reprezint 2/3 din 21 m? 21 : 3 x 2 = 14. Care este diferena dintre cele dou buci? 21 14 = 7 (m)

Partea a doua a problemei : ci metri se folosesc pentru 8 rochii?

21 5 = 16 (m)

Ci metri s-au folosit pentru a doua rochie?

16 : 8 = 2 (m)

Reprezentarea grafic constituie un mijloc eficient de nsuire contient i activ a cunotinelor, de dezvoltare a gndirii elevului, al spiritului de investigaie i al independenei.

Metoda figurativ prin forme apropiate de realitate, fr a fi o reproducere fotografic a acesteia i apoi figurarea coninutului problemelor prin elemente din ce n ce mai schematizate constituie premise ce fac aceast metod deosebit de util n desfurarea raionamentului i deprinderii cii de rezolvare a unei probleme.

Numrul mare de probleme ce se pot rezolva prin aceast metod i multiplele posibiliti de schematizare a rspunsului acestora conduc treptat la necesitatea introducerii simbolurilor, treapt superioar n formarea gndirii, n dezvoltarea operaiei de abstractizare a acesteia.2. Metoda comparaiei

Specificul acestei metode const n faptul c se folosete mai ales n problemele n care dou mrimi necunoscute sunt legate prin dou relaii clar precizate, determinarea fiecreia implicnd eliminarea celeilalte mrimi prin nlocuire sau reducere (scdere).

a) n problemele care se rezolv prin eliminarea unei mrimi, nlocuind-o, poate fi dat raportul dintre valorile unitare (exemplul 1), nlocuirea se face prin grupe de valori unitare (exemplul 2) sau poate fi dat diferena dintre valorile unitare (exemplul 3).

Exemplul 1

Pentru 8 stilouri i 5 penare s-au pltit 2900 lei. Ct cost un stilou i ct cost un penar, dac un stilou cost ct 3 penare?

Rezolvare:

Considerm c se cumpr numai penare. Dac un stilou cost ct 3 penare, atunci cu banii de pe 8 stilouri se pot lua 24 de penare, pentru c 8 x 3 = 24. Dar cu suma total cte penare se pot cumpra? 24 + 5 = 29. Ci lei cost un penar? 29000 : 29 = 1000 lei. Ci lei cost un stilou? 1000 x 3 = 3000 lei.

Exemplul 2 (reducerea la unitate, mrimi direct proporionale)

Din 45 litri de lapte se obin 5 litri de smntn. Din ci litri de lapte se obin 12 litri de smntn?

Rezolvare:

Pentru a afla din ci litri de lapte se obin 12 litri de smntn, trebuie s aflam din ci litri de lapte se obine un singur litru de smntn.

De aceea metoda se numete reducere la unitate (reducere la 1)

Deoarece problema contine 3 elemente cunoscute si unul necunoscut, doua cate doua, de acelasi fel, metoda se mai numeste regula de trei simpla.

Daca pentru obinerea a 5 litri de smntn trebuie 45l de lapte, pentru obinerea unui singur litru de smntn trebuie o cantitate de lapte de 5 ori mai mic dect 45, cci 1 este mai mic dect 5 de 5 ori; 45 : 5 = 9 (litri de lapte). Dac pentru obinerea unui litru de smntn trebuie 9 litri de lapte, atunci pentru obtinerea a 12 litri de smntn vor fi necesari de 12 ori mai muli litri dect 9, pentru c i 12 este mai mare dect 1 de 12 ori.

Sunt necesari 108 litri, cci 12 x 9 = 108.

Judecata i rezolvarea se poate scrie i astfel:

pentru 5 litri de smntn trebuie 45 (litri lapte)

pentru 1 litru de smntn ct trebuie 45: 5 = 9 (litri lapte)pentru 12 litri smntn ct trebuie 12 x 9 = 108 (litri lapte ) Mai observm un lucru: atunci cnd am micorat valoarea unei mrimi de un numr de ori i valoarea celeilalte mrimi cu care este n relaie s-a micorat de acelai numr de ori i invers.

(n clasele urmtoare elevii vor nva c asemenea mrimi se numesc mrimi direct proporionale.)

Exemplul 3

Cu banii pe care i are, Ionela poate cumpra, de ziua mamei sale, 3 trandafiri sau 5 lalele. tiind c un trandafir este mai scump cu 60 de lei dect o lalea, aflai ci lei are Ionela.

Rezolvare:

Din enun rezult c preul pentru 3 trandafiri este egal cu preul pentru 5 lalele.

Ne imaginm faptul c Ionela a cumprat 3 trandafiri, dar se rzgndete. i cere vnztoarei ca n loc de cei 3 trandafiri s i dea 3 lalele. Dar trebuie s primeasc i bani napoi, pentru c un trandafir este mai scump dect o lalea cu 60 lei, iar 3 lalele sunt mai ieftine cu 180 lei dect 3 trandafiri, deoarece 3 x 60 = 180.

Va primi napoi 18 lei, banii pentru 2 lalele, pentru c ea putea lua, conform enunului, cu aceeai sum, 5 lalele, iar 5 3 = 2. Deci, dou lalele cost 180 lei, iar o lalea cost 90 lei, deoarece 180 : 2 = 90, iar un trandafir cost 150 lei, cci 90 + +60= 150.

Ci lei avea Ionela?

5 x 90 = 450 sau

3 x 150 = 450

c) Comparaia prin reducere (scdere) se folosete n problemele n care enunul cuprinde relaii referitoare la mrimile date n dou situaii distincte. Dup scrierea datelor, unele sub altele, conform situaiilor din enun, trebuie s comparm datele privitoare la o mrime n cele dou situaii. De aceea metoda se mai numete aducerea la acelai termen de comparaie sau egalarea datelor.

Exemplul 4

Pentru a se completa numrul de rechizite, la o grup dintr-o grdini, s-au cumprat o dat 5 creioane, 3 gume i 6 rigle, pltindu-se 3810 lei. Alt dat s-au cumprat, cu aceleai preuri unitare, 3 creioane, 5 gume i 4 rigle, care au costat 2.870 lei. A treia oar s-au cumprat 8 creioane, 8 gume i 5 rigle, pltindu-se 4.180 lei.

Aflai preul unitar al fiecrui obiect cumprat. Rezolvare (comparaie prin scdere, 3 mrimi)

Se pot scrie pe scurt astfel:

5 creioane 3 gume 6 rigle 3.810 lei

3 creioane 5 gume 4 rigle 2.870 leiAdunm relatiile membru cu membru

8 creioane 8 gume 10 rigle 6.680 lei

Scriem cea de-a treia relaie i o scdem din cea obinut

8 creioane 8 gume 5 rigle 4.180 lei

/ / 5rigle 2.500 lei Ct cost o rigl? 2.500 : 5 = 500 lei

Lum alte dou relaii n care nlocuim numrul de rigle prin preurile lor.

3 creioane 5 gume 870 lei ,cci 2.870 500 x 4 = 870

8 creioane 8 gume 1680 lei,cci 6.680 500 x 10 = 1680

Amplificm cele dou egaliti, termen cu termen, cu 8 i, respectiv, cu 3, obinnd:

24 creioane 40 gume 6.960 lei

24 creioane 24 gume 5.040 lei

Scdem membru cu membru

/ 16 gume 1920 lei

Dac 3 creioane i 5 gume cost 870 lei, atunci 3 creioane cost 270 lei, cci 870 120 x 5 = 270.

Ct cost 1 creion? 270 : 3 = 90 (lei)

Metoda aducerii la aceli termen de comparaie implic elemente din metoda reducerii la unitate, care se poate sintetiza prin regula: pentru a ti valoarea mai multor uniti, trebuie s determinm valoarea unei singure uniti (pri) i invers. n ambele situaii, fie c sunt mrimi direct proporionale (vezi exemplul 2), fie c sunt mrimi invers proporionale, enunul cuprinde trei elemente cunoscute i unul necunoscut, dou cte dou de acelai fel. Cu ajutorul celor trei elemente cunoscute se afl cel de-al patrulea. De aceea metoda se mai numete regula de trei ( simpl sau compus).

Exemplul 5

10 muncitori termin o lucrare n 6 zile. n cte zile vor termina lucrarea 12 muncitori?

Rezolvare: (mrimi invers proporionale: mrirea unei valori de un numr de ori determin micorarea celeilalte valori de acelai numr de ori i invers. Se spune c numrul de muncitori i timpul necesar pentru terminarea aceleiai lucrri sunt mrimi invers proporionale).

Pentru a determina timpul necesar efecturii lucrrii pentru 12 muncitori, trebuie s se determine timpul necesar pentru un singur muncitor. (De aceea spunem reducere la unitate). Dac 10 muncitori termin lucrarea n 6 zile, un singur muncitor (1 este mai mic decat 10 de zece ori ) termina lucrarea intr-un timp de 10 ori mai mare dect 6, adic 10 x 6 = 60. Dac unui muncitor i trebuie 60 de zile, pentru 12 muncitori este necesar un timp de 12 ori mai mic dect 60, pentru c 12 este mai mare dect 1 de 12 ori, adic 60 : 12 = 5 (zile).

Judecata i rezolvarea se pot scrie i astfel:

10 muncitori termin lucrarea n 6 zile, atunci

1 muncitor termin lucrarea ntr-un timp de 10 ori mai mare, adic

10 = 60 (zile)

12 muncitori termin lucrarea ntr-un timp de 12 ori mai mic dect 60, adic

60 : 12 = 5 (zile).3. Metoda ipotezelor Metoda ipotezelor are la baz o presupunere, o ipotez. Ea solicit introducerea unor date ipotetice i confruntarea situaiei obinute astfel cu situaia real. ntmpltor ele pot coincide. n multe cazuri ele nu coincid, dar concluziile deduse din aceast confruntare ne coordoneaz cutrile. De aceea metoda se numete metoda falsei ipoteze, denumire care s-a fixat prin uz, dar, pentru a se respecta topica limbii romne, ar trebui s fie numit metoda ipotezei (ipotezelor) false sau metoda ipotezelor.

Exemple:

1. Un ran are psri de curte i oi. Aceste animale au la un loc 46 de capete i 114 picioare. Cte psri i cte oi are ranul? Rezolvarea 1:

a) Considerm (Presupunem, ipoteza = presupunere) c ar fi fost numai oi.

Cte picioare ar fi fost? 46 x 4 = 184. Cu cte picioare ar fi fost mai multe fa de numrul din problem? 184 114 = 70

Deci, ipoteza este fals (chiar de la nceput). Atunci trebuie s nlocuim un numr de oi cu un numr de psri, pentru a face s dispar acest numr de picioare, care este n plus. La o singur nlocuire numrul 70 se micoreaz cu 2, adic cu diferena dintre numrul de picioare de la o oaie, i numrul de picioare de la o pasre.

Cte nlocuiri trebuie s facem?

Vom face attea nlocuiri pn dispare diferena de 70, adic attea nlocuiri de cte ori 2 se cuprinde n 70. Numrul de nlocuiri este tocmai numrul de psri, iar restul pn la 46 este reprezentat de numrul de oi.

Deci:

1) Cte picioare ar fi, dac am presupune c ranul are numai oi?

46 x 4 = 184

2) Cu cte picioare sunt mai multe fa de numrul din problem?

184 114 = 70

3) Cu ct se micoreaz 70 la o singur nlocuire?

4 2 = 2

4) Cte nlocuiri pot s fac?

70 : 2 = 35 (vor fi deci 35 de psri)

5) Cte oi are ranul?

46 35 = 11 b) Considerm c ar fi fost numai psri.

Atunci numrul de picioare care ar fi fost?

46 x 2 = 92

Cu cte picioare ar fi fost mai puine?

114 92 = 22

Cu cte picioare are mai puin o pasre fa de oaie?

4 2 = 2

Cte oi are ranul?

22 : 2 = 11

Cte psri are ranul?

46 11 = 35.

Rezolvarea 2:

Etapa I

Se figureaz oile i psrile prin ovale:

................ (Total: 46, dar nu tiu cate de fiecare fel) ntruct fiecare vietate are cel puin 2 picioare, se figureaz la fiecare oval cte 2 linioare, reprezentnd astfel cele 2 picioare :

Etapa a II- a

...................

(n calcul: 92 de picioare, pentru c 46 x 2 = 92)

Din cele 114 picioare, s-au repartizat 92 i au rmas 22, adic 114 92 = 22.

Acestea pot fi figurate la un numr de 11 ovale, adugnd cte 2, cci 4 -2 = 2; deci 22 : 2 = 11. Etapa a III-a

............. .............. 11 vieti + ? vieti = 46 vieti

Rezult c 11 vieti sunt oi, deci au cte 4 picioare, iar restul, 35, cci 45 -11 = =35, sunt psri, pentru c au cate 2 picioare.

2. La o librrie s-au adus 31 de truse cu dou, trei i patru creioane, n total 105 creioane. tiind c numrul truselor de 4 creioane este de 4 ori mai mare dect al celor cu 2 creioane, aflai numrul truselor de fiecare fel. Rezolvare:

Presupunem c toate cele 31 de truse ar avea fiecare cte trei creioane (fa de numrul acestor truse nu avem nici o relaie).

Cte creioane ar fi n aceast ipotez?

31 x 3 = 92

Cu cte creioane ar fi mai puine dect n realitate?

105 93 = 12

De unde provine aceast diferen? Din faptul c am considerat c toate trusele au cte 3 creioane, dar de fapt sunt i truse cu cte 4 creioane, ntre acestea fiind raportul dat (de 3 ori mai puin).

Respectm acest raport, la o trus de 2 creioane sunt 3 truse cu cte 4 creioane. Un asemenea grup de 4 truse (1 de 2 creioane i 3 de 4 creioane) are cte 14 creioane, cci 1 x2 + 3 x 4 = 14. nlocuim atunci 4 truse de cte 3 creioane cu 4 truse de celelalte feluri, pn acoperim diferena de 12. Cu ct se mioreaz diferena la o singur nlocuire? 14 4 x 3 = 2.

Cte nlocuiri trebuie? Dac la o singur nlocuire diferena se micoreaz cu 2, ca s dispar diferena, sunt necesare 6 asemenea nlocuiri, cci 12 : 2 = 6.

Deci, vor fi 6 grupe de cte 4 truse (1 trus de 2 creioane + 3 truse de 4 creioane), iar restul pn la 31 vor fi truse cu cte 3 creioane. Cte truse de cte 2 creioane sunt n cele 6 grupe? 6 x 1 = 6. Cte truse de cate 4 creioane sunt n cele 6 grupe? Dac ntr-o grup sunt 3 truse, n 6 grupe vor fi cte 3, adic 6 x 3 = 18. Cte truse de cte 3 creioane sunt? 31 6 18 = 7.

Verificare:

6 x 2 = 12 (creioane)

7 x 3 = 21 (creioane)

18 x 4 = 72 (creioane)

-----------------------------------

Total: 31 (truse) i 105 (creioane)

3.,, nvtorul mparte elevilor unei clase bomboane. Dac ar da fiecrui elev cte 2 bomboane, i-ar rmne 30, iar dac ar da cte 4 nu i-ar ajunge 40 de bomboane.

Ci elevi sunt n acea clas?

Cte bomboane mparte nvtorul? Rezolvare:

mi imaginez momentul n care a dat cte 2 bomboane i i-au rmas 30 de bomboane. n varianta a doua, vrnd s dea cte 4, nu i ajung 40 de bomboane.

Pentru ci elevi nu ajung cele 40 de bomboane? tiind c fiecare copil are deja cte 2 bomboane (din situaia I), nseamn c ar trebui s mai primeasc nc 2 bomboane, pentru c 4 2 = 2. Cele 40 de bomboane nu ajung pentru 20 de elevi deoarece 40 : 2 = 20. Deci, cei 20 de copii rmn, n situaia a doua, numai cu cte 2 bomboane. Cele 30 de bomboane, care rmseser dup ce a dat cte 2, nvtorul le poate da cte 2 (ca s aib cte 4) numai unui numr de 15 elevi, pentru c 30 : 2 = =15.

Ci elevi erau n clas? 15 (elevi cu cte 4 bomboane) + 20 (elevi cu cte 2 bomboane) = 35 (elevi). Cte bomboane a mprit nvtorul? 35 x 2 + 30 = 100 sau 15 x 4 + 20 x 2= 100

Grafic:

I 2 2 2 2 2.........2 2 2 + 30 bomboane

II 2 + 2 2 + 2 2 + 2 2 + 2 2 + 2....2 2 2

30 : 2 = 15 40 : 2 = 20

Consider c n cursul rezolvrii problemelor n care se utilizeaz metoda grafic i metoda ipotezelor are loc un proces de reorganizare succesiv a datelor, apar noi formulri ale problemei, pe baza activitii orientate a gndirii, reorganizrii i formulrii ce-l apropie pe elev de soluie. Este vorba aici de o mbinare special a analizei cu sinteza, caracterizat prin aceea c diferitele elemente luate n consideraie i dezvluie mereu noi aspecte (analiza) n funcie de combinaiile n care sunt plasate (sinteza).

4. Metoda mersului invers Metoda mersului invers se folosete n anumite probleme n care elementul necunoscut apare la nceputul irului de relaii dat n enun.

Urmrind enunul de la sfrit la nceput (mergnd n sens invers enunului) trebuie s se determine penultimul rest pe baza relaiei sale cu ultimul rest, apoi antepenultimul rest, pn se ajunge la numrul iniial (ntregul).

Analiznd operaiile date n enun i cele efectuate n rezolvarea problemei, se poate constata c n fiecare etap se efectueaz operaia invers celei din enun.

Deci, nu numai mersul este invers, ci i operaiile efectuate pentru rezolvare sunt inverse celor din problem. Exerciiile ce se pot obine din rezolvarea unora dintre aceste probleme sunt denumite exerciii cu x, care sunt de fapt ecuaii de gradul I cu o necunoscut, dar care, pentru elevii mici, se rezolv, nu prin calcul algebric, ci prin raionament aritmetic.

Exemple:

1. Un productor vinde pepeni la 3 cumprtori.

Primului i vinde o jumtate din cantitate, celui