Centrul de greutate şi centrul maselor

Teoremele lui Guldin-Pappus

Momente statice. Teorema momentelor statice

Momente de inerţie. Raze de inerţie

Variaţia momentelor de inerţie la translaţia axelor. Teorema lui Steiner

Variaţia momentelor de inerţie la rotaţia axelor

Direcţii principale de inerţie. Momente de inerţie principale

Centrul de greutate şi centrul maselorParticulele materiale aflate la suprafaţa Pământului sunt supuse acţiunii câmpului gravitaţional terestru care se manifestă prin forţa de atracţie:

denumită greutate.

Se observă că această forţă depinde de masa particulei materiale şi de vectorul, care se numeşte acceleraţie gravitaţională.

Pentru un sistem de puncte materiale, greutatea sistemului material are expresia:

iar punctul de aplicaţie se numeşte centru de greutate al sistemului de puncte materiale.

Poziţia centrului de greutate al unui sistem de puncte materiale este dată de relaţia:

sau:

Prin definiţie, suma maselor punctelor materiale ale unui sistem este masa sistemului de puncte materiale:

iar centrul maselor unui sistem de puncte materiale este dat de relaţia:

sau:

Proprietăţi:– dacă un sistem de puncte materiale admite un plan de simetrie, o axă de simetrie sau un centru de simetrie, centrul de masă se găseşte în acel plan, pe acea axă, respectiv în acel centru (centrul de masa al unui sistem material constituit dintr-o linie dreapta se afla pe acea dreapta, iar centrul maselor unui sistem material plan se afla in acel plan);

– dacă un sistem de puncte materiale (S) se descompune

într-un număr de subsisteme (S1), (S2),..., (Sp) ale căror

mase M1, M2,..., Mp şi centre de masă (C1), (C2),..., (Cp) se

cunosc, poziţia centrului său de masă se poate determina

cu relaţia:

– dacă un sistem de puncte materiale (S) poate fi

considerat ca rezultând dintr-un sistem (S1) din care

lipseşte un sistem (S2), atunci:

S2S1

- poziţia centrului de masa nu depinde de sistemul de coordonate ales, deoarece depinde numai de poziţia reciproca a punctelor materiale Mi;

- daca valorile maselor sistemului material sunt multiplicate cu o constanta scalara nenula, poziţia centrului de masa al sistemului nu se modifica. Proprietatea aceasta permite reprezentarea maselor prin linii, arii sau volume, constanta fiind densitatea sistemului considerat omogen.

n =

n =

G y

G y

Centre de masa pentru corpuri omogene

Pentru o bara omogena având masa M uniform distribuita pe lungimea ei (notata L), se defineşte densitatea unităţii

de lungime ρ=M/L. Relaţia centrelor de masa se scrie după simplificarea cu ρ:

n∑ li ⋅ xi

x = i = 1 ;∑ lii =1

n∑ li ⋅ yi

i = 1 G n∑

lii =1

Pentru o placa omogena cu aria A si masa M cunoscute, se

defineşte densitatea unităţii de suprafaţa ρ=M/A. Relaţia centrelor de masa se scrie după simplificarea cu ρ:

n∑ Ai ⋅ xi

x = i = 1 ;∑ Aii =1

n∑ Ai ⋅ yi i = 1

G n∑ Aii =1

Teoremele lui Guldin-Pappus

(a) Aria suprafeţei generate de un arc de curbă plană, care se roteşte în jurul unei axe din planul curbei, pe care nu o intersectează, este egală cu lungimea arcului de curbă multiplicată cu lungimea cercului descris de centrul de masă al curbei date, presupuse omogene:

Teorema I Guldin-Pappus

(b) Volumul generat prin rotirea unei suprafeţe plane în jurul unei axe din planul său pe care nu o intersectează, este egal cu aria considerată multiplicată cu lungimea cercului descris de centrul de masă al ariei:

Teorema II Guldin-Pappus

Determinarea poziţiei centrului de masă pentru o barăomogenă de forma unui:

– arc de cerc

– sector de cerc

Momente statice. Teorema momentelor statice

Se numeşte moment static al unui sistem de puncte materiale în raport cu un plan, o axă sau un pol, suma produselor dintre masele punctelor materiale care alcătuiesc sistemul şi distanţele de la aceste puncte la planul, axa sau polul considerat:

Pentru un sistem de referinţă cartezian, expresiile:

reprezintă momentele statice ale sistemului de particule materiale, în raport cu planele yoz, zox, respectiv xoy.

Dacă punctele materiale sunt situate toate în acelaşi plan, atunci expresiile:

reprezintă momentele statice ale sistemului în raport cu axa Oy, respectiv Oz.

Din relaţiile care dau coordonatele centrului de greutate al unui sistem de puncte materiale, rezultă:

relaţii cunoscute sub denumirea de teorema momentelor statice.Momentul static al unui sistem de puncte materiale în raport cu un plan sau o axă este egal cu produsul dintre masa întregului sistem şi distanţa de la centrul de masă al sistemului la acel plan sau la acea axă.

Momente de inerţie. Raze de inerţieSe numeşte moment de inerţie al unui sistem de puncte materiale în raport cu un plan, o axă sau un pol, suma produselor dintre masele particulelor care alcătuiesc sistemul şi pătratul distanţelor acestor particule până la planul, axa sau polul considerat:

Faţă de un sistem de referinţă cartezian avem:– momente de inerţie planare:

– momente de inerţie axiale:

– moment de inerţie polar:

– momente de inerţie centrifugale:

Se numeşte rază de inerţie (giraţie) distanţa la care trebuie plasată întreaga masă a sistemului material M, concentrată într-un singur punct la un plan xoy, o axă∆ sau un pol O pentru a obţine aceeaşi valoare a momentului de inerţie planar, axial sau polar ca şi cea dată de întreg sistemul material.

Proprietăţi:– momentele de inerţie planare, axiale sau polare sunt mărimi pozitive. Ele sunt nule numai atunci când sistemul de puncte materiale este conţinut în planul, pe axa sau în polul la care ne referim;– momentele de inerţie axiale sunt egale cu suma momentelor de inerţie în raport cu două plane rectangulare:

– momentul de inerţie polar poate fi calculat ca:• semisuma momentelor de inerţie axiale în raport cu trei axe rectangulare ce trec prin acel punct:

• suma momentelor de inerţie planare:

• suma momentelor de inerţie în raport cu un planşi o axă normală la acel plan:

– momentele de inerţie centrifugale pot fi pozitive, negative sau nule.

CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECŢIUNILOR TRANSVERSALE ALE BARELOR In definirea răspunsului elementelor de construcţii detipul barelor la acţiunea forţelor exterioare, privindforţele interioare si deformaţiile care se produc in acestea, alături de proprietăţile fizice ale materialelor din care sunt alcătuite si dimensiunile acestora, intra si unele mărimi legate direct de forma si dimensiunile secţiunilor transversale ale barelor numite caracteristici geometrice ale secţiunilor.

Daca se considera secţiunea transversala compusa dintr-o infinitate de arii elementare dA, rezulta:

x

Aria secţiunii: A = ∫ dA O y

AzG

unde indicele A la semnul de integrare specifica extinderea integralei pe toata secţiunea.

Momentele statice fata de axa y,

yG z

G

y

dA

respectiv z:

S y = ∫ zdA ;A

S z = ∫ ydA

A

Prin convenţie, axelez secţiunii transversale

se notează Oy si Oz!!!

reprezintă suma produselor ariilor elementare dA cu distanta la axa corespunzătoare (y sau z) .

Daca se considera secţiunea transversala compusa dintr-o infinitate de arii elementare dA, rezulta:

xDaca se noteaz

ă cu y

G

si z

G

coordonatele centrului de masa

A A

sau de greutate ale secţiunii rezulta:

O y

zGyG

zyG

= 1 ∫ ydA ;A

zG = 1 ∫ zdA

A

Gy

Obs. Din relaţia de mai sus se dA

deduce ca momentul static alsecţiunii fata de o axa care trece z

prin centrul de greutate al acestei secţiuni este nul.Axele de coordonate care trec prin centrul de greutate al secţiunii se numesc axe centrale, sistemele de axe rectangulare yOz cu originea in centrul de greutate al secţiunii numindu-se sisteme de axe centrale.

n =G z

In cazul unei secţiuni compuse din mai multe secţiuni simple Ai, pentru care sunt cunoscute coordonatele yi si zi ale centrului de greutate Gi, coordonatele centrului de masa sau de greutate ale întregii secţiuni rezulta:

Obs.

n∑ Ai ⋅ yi

y = i = 1

;∑ Aii =1

n∑ Ai ⋅ zi i = 1

G n∑ Aii =1

Ariile secţiunilor transversale plane au dimensiunea (L2), si se măsoară in mm2, cm2, m2….

Momentele statice ale secţiunilor transversale plane au dimensiunea (L3), si se măsoară in mm3, cm3, m3….

Se numeşte moment de inerţie axial al figurii plane, de arie A, in raport cu o axa din planul sau, suma produselor elementelor de arie dA cu pătratele distantelor lor la axa considerata. In raport cu axele Oy si Oz momentele deinerţie sunt:

I y = ∫ z

A

2dA ; I z = ∫ y

A

x2dA O y

zG

Suma produselor elementelor de arie dA cu distantele lor la un sistem de axe rectangular Oyz se

numeşte moment de inerţie centrifugal al figurii plane in raport cu axele Oyz.

I yz = ∫ yzdA

A

yG z

G y

dA

z

Moment de inerţie polar al unei figuri plane, in raport cu un punct (pol) din planul figurii, este suma produselor elementelor de arie dA cu pătratele distantelor lor la acelpunct

.

I p = ∫ r

A

x2dA O y

r 2 = z

2

+ y 2

2 2 2yG

zGz

I p = ∫ rA

dA = ∫ ( z + y

A

)dA =I y + I z G

y⇒ Suma momentelor de inerţie axialein raport cu axele rectangulare cu dA

aceeaşi origine O reprezintă un invariant la rotirea sistemului de axe. z

Obs. Momentele de inerţie (axiale, centrifugale si polare)au dimensiunea (L4), si se măsoară in mm4, cm4, m4….

Momente de inerţie la dreptunghi

Sa se determine momentele de inerţie axiale in raport cu axele centrale Oy si Oz paralele cu laturile dreptunghiului.

Axa centrala Oy ; suprafaţa elementare dA || axa Oy⇒ dA = b·dz

I y = ∫ z 2dA =

bA

h / 2∫ z 2dz =− h / 2

bh3

12

I z = ∫

A

y 2dA = hb3

12

În calculele de rezistenţă intervin mărimi care depind de forma şi dimensiunile

y

secţiunii transversale, denumite caracteristici geometrice. Se prezintă în continuare

principalele caracteristici geometrici ale suprafeţelor plane .

Momente statice, centre de greutate

Se consideră o suprafaţă plană oarecare (fig. 1.1) un sistem de axe rectangulare

z1O1y1 şi un element de suprafaţă diferenţial dA. Se definesc momentele statice faţă

de axele O1z1, O1y1 ca

având expresiile:

S z1 = ∫ y1

dA S y1

A

= ∫ z1 dA (1.1)A

z1 O1 z1 O1

z1 b1

y1a (yG)

z1

(O) G

d1

yG

z y2

G1 A1 a1

y d

z (b)zG

a2 y3

G2 a3

z2G3

A2 A3

dA y z1

y1

z3

zG

b2 b3

y1 y

fig. 1.1 fig. 1.2

Momentul static poate fi pozitiv, negativ sau nul, şi se măsoară în unitate de

lungime la puterea a treia [L3], de regulă, cm3 sau mm3.

Dacă se aplică teorema lui Varignon, se obţin egalităţile:

y1 ∫ dA = yG ∫ dA şi

∫ z1 dA = zG ∫ dA ,

care permit determinarea coordonatelor centrului de greutate al suprafeţei

z yS

yG = 1 = A

∫ y 1 dA

A

S zG = 1 =

A∫ z 1dA

A(1.2)

Sistemul de axe rectangulare zOy cu originea în centrul de greutate al suprafeţei poartă

denumirea de sistem central iar axele respective axe centrale.

Momentele statice faţă de axe centrale sunt în mod evident nule,

proprietate care permite verificarea coordonatelor centrului de greutate.

Când secţiunea este compusă din mai multe figuri simple (fig. 1.2)

pentru care se cunosc centrele de greutate şi distanţele yi şi zi la axele de

referinţă z1O1y1, integralele din relaţiile (1.2) se

transformă în sume şi centrul de greutate al secţiunii va avea coordonatele: (1.3)

yG =∑= A

i y

i

zG =∑= A

i z

i∑ A i ∑ A

i

În concluzie pentru stabilirea centrului de greutate al unei suprafeţe

se alege un sistem arbitrar de axe de referinţă, se calculează momentul

static al fiecărei suprafeţe faţă de aceste axe şi aria suprafeţei, şi se aplică

relaţiile (1.3).

Momente de inerţie axiale, centrifugale, polare

Considerând suprafaţa oarecare din figura 1.1 se definesc faţă de

sistemul de axe zOy următoarele momente de inerţie geometrice:

- momente de inerţie axiale

- moment de inerţie centrifugal

Iz = ∫ y 2 dAA

Iy = ∫ z 2

dAA

(1.4)

- moment de inerţie polar

Izy = ∫ zydA (1.5)A

Ip = Io = ∫ d 2 dAA

cu d2 = z2 + y2 momentul de inerţie polar (faţă de polul O) se poate scrie:

(1.6)

Ip = Iz + Iy (1.7)

deci suma momentelor de inerţie faţă de sisteme rectangulare cu

aceiaşi origine este un invariant.

Determinarea momentelor de inerţie pentru suprafeţe simple

Aplicarea relaţiilor (1.4) presupune alegerea unui element de

suprafaţă dA, astfel ca integralele să se rezolve cât mai uşor. De aceea

aceste relaţii se pot aplica pentru suprafeţe simple, cum ar fi dreptunghi,

triunghi, suprafaţă circulară.

a) Dreptunghi

Se determină expresiile momentelor de inerţie faţă de axele z şi y care

trec prin centrul de greutate al dreptunghiului.

h Gz

ydA ymax

dy

zmax

yb

fig. 1.3

Se alege elementul de arie la distanţa y de axa z.

dA = b ⋅ dy

Se aplică relaţia (1.4)

h

2

Iz = ∫ y 2 dA = ∫ y 2 ⋅ b ⋅ dy = b ⋅h

y3 2

3 h

bh 3

=12

(1.8)

A − h −2 2

În mod similar, dacă se alege un element de suprafaţă paralel cu axa y rezultă:

bh 3

Iy =12

(1.8')

Momentul de inerţie centrifugal Izy = ∫ z ⋅ y

dAA

= 0 pentru că elementul de suprafaţă dA are

coordonata z = 0. Rezultatul se poate extinde ca o concluzie generală şi anume: la secţiuni cu cel

puţin o axă de simetrie, momentul de inerţie centrifugal este nul.

Dacă secţiunea este pătrat b = h = a şi deci

a 4

Iz =

Iy =12

(1.9)

b

b) Triunghi dreptunghic, momente de inerţie faţă de laturi

bPentru triunghiul din figura 1.4 se alege elementul de arie dA = b1dy =

h

integrala din (1.4) devine integrală simplă. Rezultă:

(h − y) dy, cu care

Iz = ∫ y 2 dA =h∫ (h − y)y 2 dy =

b ⎛ y3⎜ h hy 4 ⎞− ⎟ =

bh 3

(1.10)

A h

0h ⎝ 3

4 ⎠ 0 12

În mod similar, cu element de arie paralel cu axa y rezultă

b3 hIy = ∫ z

2 dA = (1.10')

Momentul de inerţie centrifugal

A 12

h 1 b b b

2

h 2

Izy = ∫ z ⋅ ydA = ∫ 2 h (h − y)⋅ y

h (h − y)dy =

24

(1.11)

A 0

bz A O

b1 y

dy

h

B

y

fig 1.4.

Momentul de inerţie polar rezultă pe baza relaţiei (1.7)

Ip = Iz + Iy =bh 3

12

b3 h+

12=

bh

12(b2 + h2) (1.12)

c) Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie momentele de inerţie axiale sunt egale Iz = Iy, iar momentul de

inerţie polar este Ip = Iz + Iy = 2Iz

Se calculează momentul de inerţie polar luând o suprafaţă elementară, coroană circulară cu

raza r şi grosimea dr (fig. 1.5) cu aria A = 2πr dr

4

4

drz G

rz G

R

y d

y D

D

fig.1.5 fig.1.6

R R πR 4 πD

4

Ip = ∫ r 2 dA = ∫ r 2 2πr dr = =

(1.13)

0 0

I pIz = Iy =2

πR 4

=4

2 32

πD 4

=64

(1.14)

d) Coroană circulară (secţiune inelară)

Prin analogie cu calculele efectuate la suprafaţa circulară rezultă (fig. 1.6)

π πD 4 ⎡ ⎛ d ⎞ ⎤Ip = (D 4 − d

4 ) = ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ (1.15)

32 32 ⎝ D ⎠I p πD

4 ⎡ ⎛ d ⎞ ⎤Iz = Iy = = ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ (1.16)

2 64

e) Momente de inerţie la profile laminate

⎝ D ⎠În tabele se dau caracteristicile geometrice ale profilelor laminate, momente de inerţie

axiale, module de rezistenţă, momente statice, etc.

Exemplu:

- profil I d

b, h, t, d, A, Iz, Iy, Wz, Wy, iz, iy, Sz al secţiunii h z

Notare I20 cu h = 200 mm

- profil U, notare U30 cu h = 300 m t- cornier cu aripi egale L 100 × 100 × 10

- cornieri cu aripi inegale ╚ 80 × 65 × 8 y

b

O 1

2

2

Variaţia momentelor de inerţie cu translaţia axelor

Se consideră corpul din figura 1.1 cu sistemul de axe centrale zOy

faţă de care se cunosc momentele de inerţie. Se doreşte a se calcula

momentele de inerţie faţă de axele z1O1y1 translatate

faţă de axele centrale. Se aplică relaţiile de definiţie:

I = y 2 dA = (y + a )2 dA = y 2 dA +

2a y dA + a 2dA = Iz + a2A (5.17)

z1 ∫ 1 ∫A A

∫ ∫ ∫A A A

nul.

În (1.17) se remarcă că ∫ y dA = Sz care este momentul static faţă de axa centrală z şi esteA

În mod similar se obţin:

I y1

I

= Iy + b2 A (1.17)

= Izy + ab A (1.18)y1 z1

I O1

= I + d 2

A (1.19)

Formulele de variaţie a momentelor de inerţie la translaţia axelor

sunt utile la calculul momentelor de inerţie la secţiuni compuse din mai

multe figuri simple. În această situaţie se cunosc momentele de inerţie faţă

de axele centrale proprii fiecărei figuri şi se doreşte calculul

caracteristicilor inerţiale faţă de sistemul de axe central al întregii secţiuni.

De exemplu, pentru secţiunea compusă din figura 1.23

Iz

= ∑ I zi

+ a i A

i

(1.17)

i =1

3Iy

= ∑ I yi

+ b i

A i

i =1

(1.17’)

3Izy

= ∑ I zi yi

+ a i b

i A

ii=1

(1.18)

Formulele (1.17) (1.18) se mai numesc formulele lui Steiner pentru

calculul momentelor de inerţie faţă de axe translatate.