Carte prof. Marius Botis
-
Upload
augustin-macovei -
Category
Documents
-
view
16 -
download
0
description
Transcript of Carte prof. Marius Botis
-
MARIUS FLORIN BOTI
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
VOLUMUL 1
NAPOCASTAR 2012
-
Editura NAPOCASTAR
Strada:Mihai Viteazul nr. 34/35 ap.19
Tel/fax: 0264/432.547
mobil: 0761/711.484, 0740/167.461
Editura NAPOCA STARR este acreditata CNCSIS
Referent tiinific: Prof.dr.ing. Ciofoaia Vasile-Universitatea Transilvania Braov- Departamentul de Inginerie Civil
Tehnoredactare:Autorul
Grafica: Autorul
Copert: Autorul
Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a Romniei
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR ,/ MARIUS FLORIN BOTI Editura NAPOCA STAR Cluj-Napoca, 2012 ISBN 978-973-647-943-4
Autorul, 2012
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
1
Cap.1 Aspecte generale privind calculul structurilor din bare Structurile din domeniul construciilor pot fi modelate ca structuri cu un singur
grad de libertate dinamic (1GLD) sau structuri cu n grade de libertate dinamic (n GLD). Sistemele dinamice cu un grad de libertate dinamic au masa concentrat ntr-o seciune, iar poziia ei este determinat de un singur parametru. n acest caz, structura devine suportul elastic al masei. Pentru a determina forele elastice ce se dezvolt n suportul elastic pe directia gradului de libertate dinamic trebuie determinat rigiditatea sau flexibilitatea pe direcia gradului de libertate. Pentru a determina caracteristicile elastice ale unui sistem dinamic se poate folosi metoda forelor sau metoda deplasrilor.
Metoda forelor Gradul de nedeterminare al unei structuri reprezint diferena dintre numrul
necunoscutelor - reaciuni interioare sau exterioare i numrul ecuaiilor de echilibru static. Nedeterminarea poate fi interioar, exterioar sau mixt.
n metoda forelor, necunoscutele sunt eforturile dintr-o seciune a structurii sau reaciunile exterioare ale structurii. Pentru a ridica nedeterminarea, legturile suplimentare se nlocuiesc prin echivalentul mecanic (for, moment, perechi de fore sau perechi de momente). Sistemul care se obine prin nlocuirea legturilor suplimentare cu forele Xi , se numeste sistem de baz i trebuie s se comporte identic cu structura real.
Fig.1.1
Conform condiiei de compatibilitate a deformatei cu legturile, necunoscutele Xi se determin astfel nct sistemul de baz i sistemul real s se deformeze identic.
Din condiia ca deplasarea pe direcia necunoscutei Xi s fie egal cu zero, rezult:
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
2
unde, - este deplasarea pe direcia necunoscutei Xi cnd sistemul de baz
este ncrcat cu forele exterioare; este deplasarea pe direcia i cnd sistemul de baz este ncrcat cu
fora ; Deplasrile sunt zero din condiia de compatibilitate a
deformatei pe direcia Xi :
n cazul structurilor cu n grade de libertate elastic, sistemul ecuaiilor de echilibru
este:
Pentru calculul coeficienilor sistemului de ecuaii se utilizeaz relaiile:
unde, si , sunt diagramele de eforturi secionale cnd structura este
ncrcat succesiv cu Xi=1 si Xj=1. este diagrama de eforturi secionale cnd structura este ncrcat cu
forele exterioare. Dup determinarea necunoscutelor X1 Xn, se determin diagramele de eforturi
secionale din barele structurii - folosind superpoziia efectelor.
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
3
Dup trasarea diagramelor de eforturi secionale trebuie verificate rezultatele
obinute, folosind: -condiia de echilibru static - prin care se verific echilibrul nodurilor; -condiia de continuitate - prin care se calculeaz deplasrile pe direcia
legturilor - deplasri care trebuie sa fie nule. Metoda deplasrilor Principalele ipoteze care stau la baza metodei deplasrilor sunt: -solicitarea dominant n structura de bare este ncovoierea, exceptnd
structurile tip grind cu zabrele, unde solicitarea dominant este ntinderea/ compresiunea;
-eforturile secionale, n fiecare seciune a unei bare, se pot determina dac se cunsosc ncrcrile i deplasrile de la capetele barei.
Fig.2.1
n metoda deplasrilor, structurile se pot clasifica n structuri cu noduri fixe i
structuri cu noduri deplasabile. Structurile cu noduri fixe se deformeaz prin rotirea nodurilor sub aciunea
ncrcrilor exterioare. Structurile cu noduri deplasabile se deformeaz prin rotiri i translaii de noduri
sub aciunea ncrcrilor exterioare. Pentru analiza structurilor prin metoda deplasrilor se introduc legturi fictive
care s mpiedice deplasrile nodurilor (rotiri i transalaii). Sub aciunea ncrcrilor exterioare, precum i a deplasrilor pe direcia gradelor de libertate elastic, n legturile fictive vor aprea reaciuni. De exemplu, reaciunea din legtura i se determin prin superpoziia efectelor.
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
4
unde, - este reaciunea din legtur i cnd sistemul de baz este ncrcat cu
forele exterioare; este reaciunea din legtura i cnd sistemul de baz este ncrcat cu
deplasarea ; Reaciunile neexistnd n cazul structurii reale, rezult
condiia de echilibru static:
n cazul structurilor cu n grade de libertate elastic, sistemul ecuaiilor de echilibru
este:
Deoarece necunoscutele sunt deplasri,metoda se numete metoda deplasrilor. Dup determinarea necunoscutelor (translaii i rotiri), eforturile secionale n
fiecare bar a structurii se pot determina prin superpoziia efectelor produse de ncrcarea exterioar i ncrcarea datorit deplasrilor pe gradele de libertate elastic:
Se poate observa c n metoda deplasrilor nu exist sisteme static
determinate i sisteme static nedeterminate, ca n metoda forelor. Dup determinarea eforturilor secionale, n fiecare bar a structurii trebuie
efectuate urmtoarele verificri: -verificarea echilibrului de ansamblu; -verificarea echilibrului unei pri; -verificarea echilibrului de nivel; -verificarea echilibrului de nod.
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
5
Cap.2 Vibraii libere. Sisteme dinamice cu 1 GLD.
Aspecte teoretice:
Vibraiile libere definesc caracteristicile dinamice proprii ale sistemului dinamic.
Vibraiile libere se datoreaz condiiilor iniiale: deplasare initial, x0 i vitez iniial, v0. Dac un sitstem dinamic este scos din poziia de echilibru prin deplasri / viteze
iniiale sau rmne cu deplasri i viteze iniiale n urma ncetrii aciunii unor fore perturbatoare, sistemul efectueaz vibraii libere.
n cazul vibraiilor libere neamortizate, ecuaia de micare este:
Soluia vibraiilor libere pentru deplasare i vitez n cazul condiiilor iniiale n deplasare i vitez la t=0 ( )
Din condiiile iniiale, rezult valorile pentru constantele i :
Rspunsul n deplasare, vitez i acceleraie n cazul vibraiilor libere, in
cazul condiiilor iniiale n vitez i deplasare la t=0:
Ecuaia de micare se poate scrie i sub forma unei vibraii armonice,
astfel:
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
6
unde,
Rspunsul dinamic n deplasare, vitez i acceleraie, pentru un sistem cu
1GLD, se poate scrie astfel:
unde,
, amplitudinea oscilaiei;
faza iniial.
Rspunsul liber al unui sistemului dinamic cu 1GLD este armonic i are
urmtoarele caracteristici dinamice: -
[s] perioada, care reprezint timpul n secunde, n care se
efectueaz o vibraie complet; -
[rad/s] pulsaia sau frecventa circular, care reprezinta
numrul de vibraii efectuate n secunde; -
[Hz] frecvena, reprezint numrul de vibraii efectuate ntr-o secund.
Fora de inerie generat, n timpul oscilaiei armonice, este:
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
7
Problema 1
Pentru sistemul dinamic cu 1GLD din fig.1.2, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioada proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. Sa se calculeze fortele de inertie si diagramele de eforturi sectionale de incovoiere aferente celor doua sensuri de actiune ale fortei de inertie daca conditiile initiale la t=0, x0=0,3cm. Se va considera : m=10.000Kg; l=8m; E=31010N/m2. Sectiunea transversala este dreptunghiulara cu h=400mm si b=800mm.
Fig.1.2
Momentul de inertie al sectiunii transversale este:
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
8
Pentru a determina caracteristile dinamice proprii ale structuri de tip consol cu 1GLD, este necesar determinarea deplasrii sistemului pe direcia gradului de libertate dinamic pentru o sarcin unitara aplicat pe aceast direcie:
Deplasarea pe direcia gradului de libertate dinamic, este:
Caracteristicile dinamice proprii pentru sistemul dynamic, sunt: Pulsaia proprie de vibraie este:
Perioada proprie de vibraie, este:
Frecvena proprie de vibraie, este:
Fora de inerie, este :
Eforturile secionale de ncovoiere pentru cele dou sensuri de aciune ale
forei de inerie :
.
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
9
Problema 2
Pentru sistemul dinamic cu 1GLD din fig.2.2, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioada proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se determine forele de inerie i diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei de inerie dac condiiile iniiale sunt la t=0, x0=0,3cm. Se va considera: m=10.000Kg; l=8m; E=31010N/m2.
Fig.2.2
Momentul de inerie al seciunii transversale, este:
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
10
Deplasarea pe direcia gradului de libertate dinamic, este:
Pulsaia proprie de vibraie, este:
Perioada proprie de vibraie, este:
Frecvena proprie de vibraie, este:
Fora de inerie, este :
Fora rezultant care acioneaz asupra masei n timpul micrii, este:
Eforturile secionale de ncovoiere pentru cele dou sensuri de aciune ale
forei de inerie, sunt:
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
11
Problema 3
Pentru sistemele dinamice cu 1GLD din fig.3.2.a s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioada proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se determine fora de inerie i diagramele de eforturi secionale dac condiiile iniiale la t=0, x0=0,2cm i v0=0,5m/s. Se va considera: m=3.000Kg; l=4m; EI=2,11011N/m2. Seciunea transversal este inelar cu de=50mm i di=42mm.
Fig.3.2 a
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
12
Fig.3.2 b
Cazul a), n care structura din bare articulate are articulaie n nodul 3 i
este rezemat n nodul 2: Aplicnd metoda izolrii nodurilor: Nodul 1
Aria seciunii transversale:
Modulul de rigiditate la ntindere-compresiune:
Deplasarea pe direcia gradului de libertate dinamic:
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
13
Pulsaia proprie de vibraie, este:
Perioada proprie de vibraie, este:
Frecvena proprie de vibraie, este:
Fora de inerie, este:
Fora de greutate, este:
Fora rezultant care acioneaz asupra masei n timpul micrii, este:
Eforturile secionale n bare, sunt: (pentru Fi+G)
(pentru Fi-G)
Cazul b), n care structura din bare articulate are articulaie n nodul 3 i n
nodul 2:
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
14
Deplasarea pe direcia gradului de libertate dinamic:
Pulsaia proprie de vibraie, este:
Perioada proprie de vibraie, este:
Frecvena proprie de vibraie, este:
Fora de inerie, este:
Fora de greutate, este:
Fora rezultant care acioneaz asupra masei n timpul micrii, este:
Eforturile secionale n bare, sunt: (pentru Fi+G)
(pentru Fi-G)
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
15
Problema 4
Pentru sistemele dinamice cu 1GLD din fig.4.2,a i b, se cere s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioada proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. Se va considera: 4m=15.000Kg; l=6m; EI=25106Nm2.
Rezolvare: Cazul a): Rigla este infinit rigid la ncovoiere (EI=) i stlpul este
ncastrat n rigl (nod rigid), eforturile secionale de ncovoiere de la capetele stlpilor pentru o deplasare unitar pe orizonatal a riglei, sunt.
Fig.4.2a
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
16
Din ecuaia de echilibru pe fiecare stlp rezult fora tietoare de la capetele stlpilor:
Din condiia de echilibru, pe orizontal, rezult:
Pulsaia proprie de vibraie, este:
Perioada proprie de vibraie, este:
Frecvena proprie de vibraie, este:
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
17
Fig.4.2b
Cazul b): Rigla este infinit rigid la ncovoiere (EI=) i stlpul este articulat n rigl (articulatie), eforturile secionale de ncovoiere de la capetele stlpilor pentru o deplasare unitar pe orizonatal a riglei, sunt.
Din ecuaia de echilibru, pe fiecare stlp, rezult fora tietoare de la
capetele stlpilor:
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
18
Din condiia de echilibru pe orizontal, rezult:
Pulsaia proprie de vibraie, este:
Perioada proprie de vibraie, este:
Frecvena proprie de vibraie, este:
Observaie: Din analiza celor dou sisteme dinamice, se poate observa, c
dac gradul de constrngere al unui sistem dinamic scade, atunci flexibilitatea crete.
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
19
Problema 5
Pentru structura din fig.5.2 s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se determine valoarea forei de inerie i diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei de inerie, dac condiiile iniiale sunt la t=0, x0=1cm. Se cunosc: m=30.000Kg; l=4m; E=30.890N/mm2. Seciunea transversal este dreptunghiular cu h=800mm, b=400mm.
Fig.5.2
Din ecuaia de compatibilitate a deplasrilor:
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
20
Momentul de inerie al seciunii transversale, este:
Modulul de rigiditate la ncovoiere:
Deplasarea pe direcia gradului de libertate dinamic, este:
Pulsaia proprie de vibraie, este:
Perioada proprie de vibraie, este:
Frecvena proprie de vibraie, este:
Fora de inerie, este :
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
21
Problema 6
Pentru bara cotit din fig.6.2, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se determine valoarea forei de inerie i diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei de inerie, dac condiiile iniiale sunt la t=0, x0=1cm. Se cunosc: m=3.000Kg; l=3m; E=30.890N/mm2. Seciunea transversal este dreptunghiular cu dimensiunile h=600mm, b=300mm.
Fig.6.2 Momentul de inerie al seciunii transversale, este:
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
22
Modulul de rigiditate la ncovoiere, este:
Deplasarea pe direcia gradului de libertate dinamic, este:
Caracteristicile dinamice ale cadrului, sunt:
Pulsaia proprie de vibraie, este:
Perioada proprie de vibraie, este:
Frecvena proprie de vibraie, este:
Fora de inerie, este :
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
23
Problema 7
Pentru cadrul din fig.7.2, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se determine valoarea forei de inerie i diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei de inerie, dac condiiile iniiale sunt la t=0, x0=0,3cm. Se cunosc: m=8.000Kg; l=3m; E=30.890N/mm2. Seciunea transversal este dreptunghiular cu dimensiunile h=600mm, b=300mm.
Fig.7.2
Din ecuaia de compatibilitate a deplasrilor:
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
24
Momentul de inerie al seciunii transversale, este:
Modulul de rigiditate la ncovoiere:
Deplasarea pe direcia gradului de libertate dinamic, este:
Pulsaia proprie de vibraie, este:
Perioada proprie de vibraie, este:
Frecvena proprie de vibraie, este:
Fora de inerie, este :
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
25
Problema 8
Pentru cadrul din fig.8.2, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se determine valoarea forei de inerie i diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei de inerie, dac condiiile iniiale sunt la t=0, x0=0,5cm. Se cunosc: m=8.000Kg; l=4m; E=30.890N/mm2. Seciunea transversal este dreptunghiular cu dimensiunile h=300mm, b=900mm.
Fig.8.2
Momentul de inertie al seciunii transversale, este:
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
26
Modulul de rigiditate la ncovoiere, este:
Deplasarea pe direcia gradului de libertate dinamic, este:
Caracteristicile dinamice ale cadrului, sunt:
Pulsaia proprie de vibraie, este:
Perioada proprie de vibraie, este:
Frecvena proprie de vibraie, este:
Fora de inerie, este :
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
27
Problema 9
Pentru grinda cu zbrele din fig.9.2a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze valoarea forei de inerie i diagramele de eforturi secionale de ntindere - compresiune aferente celor dou sensuri de aciune ale forei de inerie, dac condiiile iniiale sunt la t=0, x0=0,2cm. S se calculeze eforturile secionale de ntindere compresiune datorit greutii masei m. Se cunosc: m=10.000Kg; l1=4m, l2=3m, E=2,1 105N/mm2. Seciunea transversal este eava ptrat cu grosimea de 12,5mm, iar latura ptratului 200mm.
Fig.9.2 a
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
28
Aplicnd metoda izolrii nodurilor: Nodul 1
Nodul 2
Aria seciunii transverale:
Modulul de rigiditate la ntindere - compresiune:
Deplasarea pe direcia gradului de libertate dinamic:
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
29
Pulsaia proprie de vibraie, este:
Perioada proprie de vibraie, este:
Frecvena proprie de vibraie, este:
Fora de inerie, este:
Fora de greutate, este:
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
30
Fora rezultant care acioneaz asupra masei, n timpul micrii, este:
Eforturile secionale de ntindere-compresiune, care se dezvolt n barele structurii, sunt reprezentate n fig.9.2 b pentru cazul n care pe structur acioneaz greutatea masei ineriale m, ct i pentru cazul n care pe structur acioneaz forele dinamice.
Fig.9.2 b
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
31
Problema 10
Pentru grinda cu zabrele din fig.10.2a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze valoarea forei de inerie i diagramele de eforturi secionale de ntindere-compresiune aferente celor dou sensuri de aciune ale forei de inerie, dac condiiile iniiale sunt la t=0, x0=0,2cm. S se determine eforturile secionale de ntindere-compresiune datorit greutii masei m. Se cunosc: m=20.000Kg; l=3m, E=2,1 105N/mm2. Seciunea transversal este eav ptrat cu grosimea de 12mm, iar latura ptratului 250mm.
Fig.10.2 a
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
32
Aplicnd metoda izolrii nodurilor: Nodul 1
Nodul 2
Nodul 5
Aria seciunii transversale:
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
33
Modulul de rigiditate la ntindere-compresiune:
Deplasarea pe direcia gradului de libertate dinamic:
Pulsaia proprie de vibraie, este:
Perioada proprie de vibraie, este:
Frecvena proprie de vibraie, este:
Fora de inerie, este:
Fora de greutate, este:
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
34
Fora rezultant care acioneaz asupra masei, n timpul micrii, este:
Eforturile secionale de ntindere-compresiune, care se dezvolt n barele
structurii, sunt reprezentate n fig.10.2 b pentru cazul n care pe structur acioneaz greutatea masei ineriale m, ct i pentru cazul n care pe structur acioneaz forele dinamice.
Fig.10.2 b
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
35
Problema 11
Pentru stlpul cu zbrele din fig.11.2a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze valoarea forei de inerie i diagramele de eforturi secionale de ntindere-compresiune aferente celor dou sensuri de aciune ale forei de inerie, dac condiiile iniiale sunt la t=0, x0=0,3cm. Se cunosc: m=10.000Kg; l1=3m,l2=4m E=2,1 105 N/mm2. Seciunea transversal este eav circular cu grosimea de perete 10mm, iar diametrul exterior de=200mm.
Fig.11.2 a
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
36
Fig.11.2 b
Aplicnd metoda izolrii nodurilor: Nodul 2
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
37
Nodul 1
Nodul 3
Nodul 6
Nodul 5
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
38
Nodul 4
Aria seciunii transverale:
Modulul de rigiditate la ntindere-compresiune:
Deplasarea pe direcia gradului de libertate dinamic :
Caracteristicile dinamice proprii ale structurii, sunt: Pulsaia proprie de vibraie, este:
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
39
Perioada proprie de vibraie, este:
Frecvena proprie de vibraie, este:
Forta de inerie, este:
Fig.11.2 c
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
40
Problema 12
Pentru grinda cu zbrele din fig.12.2a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze valoarea forei de inerie i diagramele de eforturi secionale de ntindere-compresiune aferente celor dou sensuri de aciune ale forei de inerie, dac condiiile iniiale sunt: la t=0, x0=1cm. S se determine eforturile secionale de ntindere-compresiune datorit greutii masei m. Se cunosc: m=15.000Kg; l=2m, E=2,1105N/mm2. Seciunea transversal este eav circular cu grosimea de 5mm iar diametrul exterior de=100mm.
Fig.12.2 a
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
41
Fig.12.2 b
Aplicnd metoda izolrii nodurilor: Nodul 1
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
42
Nodul 2
Nodul 4
Nodul 6
Nodul 3
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
43
Aria seciunii transversale:
Modulul de rigiditate la ntindere-compresiune:
Deplasarea pe direcia gradului de libertate dinamic :
Caracteristicile dinamice proprii ale structurii sunt: Pulsaia proprie de vibraie, este:
Perioada proprie de vibraie, este:
Frecvena proprie de vibraie, este:
Fora de inerie este:
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
44
Fora de greutate este:
Fora rezultant care acioneaz asupra masei, n timpul micrii este:
Fig.12.2 c
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
45
Problema 13
Pentru grinda din fig.13.2a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze valoarea forei de inerie i diagramele de eforturi secionale de ncovoiere, aferente celor dou sensuri de aciune ale forei de inerie, dac condiiile iniiale sunt la t=0, x0=1,5cm. S se determine eforturile secionale de ncovoiere datorit greutii masei m. Se cunosc: m=6.000Kg; l=8m, EI=25 106 Nm2. Pentru calculul structurii s se utilizeze metoda deplasrilor i metoda forelor.
Aplicnd metoda deplasarilor, Rigiditile practice, sunt:
Eforturile secionale generate de deplasarea z1=1:
Reaciunile datorit deplasri z1=1:
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
46
Fig.13.2 a
Eforturile secionale generate de rotirea z2=1:
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
47
Fig.13.2 b
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
48
Sistemul ecuaiilor de echilibru, pentru nodul 1 este:
Momentele de la capetele barelor din suprapunerea efectelor:
Aplicnd metoda forelor, Din ecuaia de compatibilitate a deplasrilor:
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
49
Se poate observa c eforturile secionale din grind, determinate cu
metoda deplasrilor sunt aceleai cu eforturile secionale determinate cu metoda forelor. n acest caz, metoda deplasrilor implic un volum mai mare de calcule faa de metoda forelor.
Fig.13.2 c
Deplasarea pe direcia gradului de libertate dinamic este:
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
50
Caracteristicile dinamice ale grinzi, sunt:
Pulsaia proprie de vibraie, este:
Perioada proprie de vibraie, este:
Frecvena proprie de vibraie, este:
Fora de inerie, este :
Fora de greutate, este:
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
51
Fora rezultant care acioneaz asupra masei n timpul micrii este:
Fig.13.2 d
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
52
Problema 14
Pentru grinda din fig.14.2a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze valoarea forei de inerie i diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei de inerie, daca condiiile iniiale sunt la t=0, x0=0,8cm. S se determine eforturile secionale de ncovoiere datorit greutii masei m. Se cunosc: m=6.000Kg; l=8m, EI=25 106 Nm2. Pentru calculul structurii s se utilizeze metoda deplasrilor i metoda forelor.
Fig.14.2 a
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
53
Aplicnd metoda deplasrilor, Rigiditatile practice sunt:
Eforturile secionale generate de deplasarea z1=1:
Ecuaia de echilibru pentru nodul 1 este:
Momentele de la capetele barelor se obin prin suprapunerea efectelor:
Aplicnd metoda forelor,
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
54
Fig.14.2 b
Din ecuaia de compatibilitate a deplasrilor:
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
55
Deplasarea pe direcia gradului de libertate dinamic, este:
Caracteristicile dinamice ale grinzi, sunt:
Pulsaia proprie de vibraie, este:
Perioada proprie de vibraie, este:
Frecvena proprie de vibraie, este:
Fora de inerie, este :
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
56
Fora de greutate, este:
Fig.14.2 c
Fora rezultant care acioneaz asupra masei n timpul micrii este:
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
57
Problema 15
Pentru grinda din fig.15.2a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze valoarea forei de inerie i diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei de inerie, dac condiiile iniiale sunt la t=0, x0=0,4cm. S se determine eforturile secionale de ncovoiere datorit greutii masei m. Se cunosc: m=8.000Kg; l=2m, EI=20 106 Nm2. Pentru calculul structurii s se utilizeze metoda deplasrilor.
Fig.15.2 a
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
58
Aplicnd metoda deplasrilor, Rigiditile practice sunt:
Calculul momentelor de ncastrare perfect:
Fig.15.2 b
Din ecuatia de condiie:
Diagramele de eforturi secionale se obin prin suprapunerea efectelor:
Eforturile secionale generate de deplasarea z1=1:
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
59
Aplicand metoda transmiterii i distribuiei momentelor se obine:
Calculul coeficienilor de distribuie:
Fig.15.2 c
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
60
Deplasarea pe direcia gradului de libertate dinamic este:
Caracteristicile dinamice ale grinzi sunt:
Pulsaia proprie de vibraie, este:
Perioada proprie de vibraie, este:
Frecvena proprie de vibraie, este:
Forta de inerie, este :
Fora de greutate este:
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
61
Fora rezultant care acioneaza asupra masei n timpul micrii este:
Fig.15.2 d
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
62
Problema 16
Pentru grinda din fig.16.2a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze valoarea forei de inerie i diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei de inerie, dac condiiile iniiale sunt la t=0, x0=0,4cm. S se determine eforturile secionale de ncovoiere datorit greutii masei m. Se cunosc: m=12.000Kg; l=1m, EI=20 106 Nm2. Pentru calculul structurii s se utilizeze metoda deplasrilor.
Fig.16.2 a
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
63
Aplicand metoda deplasrilor, Rigiditile practice sunt:
Calculul momentelor de ncastrare perfect:
Fig.16.1 b
Din ecuaia de condiie:
Diagramele de eforturi secionale se obin prin suprapunerea efectelor:
Eforturile secionale generate de deplasarea z1=1:
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
64
Fig.16.2 c
Aplicnd metoda transmiterii i distribuiei momentelor rezult:
Calculul coeficienilor de distribuie:
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
65
Deplasarea pe direcia gradului de libertate dinamica, este:
Caracteristicile dinamice ale grinzi, sunt:
Pulsaia proprie de vibraie, este:
Perioada proprie de vibraie, este:
Frecvena proprie de vibraie, este:
Forta de inerie, este :
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
66
Fora de greutate, este:
Forta rezultant care acioneaz asupra masei in timpul micrii este:
Fig.16.2 d
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
67
Problema 17
Pentru cadrul din fig.17.2a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze valoarea forei de inerie i diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei de inerie, dac condiiile iniiale sunt la t=0, x0=1,2 cm. S se determine eforturile secionale de ncovoiere datorit greutii masei m. Se cunosc: m=3000Kg; l=3m, EI=28 106 Nm2. Pentru calculul structurii s se utilizeze metoda deplasrilor.
Fig.17.2 a
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
68
Aplicnd metoda deplasrilor, Rigiditile practice sunt:
Calculul momentului exterior de la consol:
Fig.17.2 b
Din ecuaiile de condiie:
Diagramele de eforturi secionale se obin prin suprapunerea efectelor:
Eforturile secionale generate de deplasarea z1=1:
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
69
Fig.17.2 c
Aplicnd metoda transmiterii i distribuiei momentelor rezult:
Calculul coeficienilor de distribuie:
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
70
Deplasarea pe direcia gradului de libertate dinamic, este:
Caracteristicile dinamice ale cadrului, sunt:
Pulsaia proprie de vibraie, este:
Perioada proprie de vibraie, este:
Frecvena proprie de vibraie, este:
Forta de inerie, este :
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
71
Fora de greutate, este:
Fora rezultant care acioneaz asupra masei n timpul micrii este:
Fig.17.2 d
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
72
Problema 18
Pentru cadrul din fig.18.2a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze valoarea forei de inerie i diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei de inerie, dac condiiile iniiale sunt la t=0, x0=0,8 cm. S se determine eforturile secionale de ncovoiere datorit greutii masei m. Se cunosc: m=10.000Kg; l=6m, EI=30 106 Nm2. Pentru calculul structurii s se utilizeze metoda deplasrilor.
Fig.18.2 a
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
73
Aplicnd metoda deplasrilor, Rigiditile practice sunt:
Calculul momentelor de ncastrare perfect:
Fig.18.2 b
Din ecuaiile de condiie:
Diagramele de eforturi secionale se obin prin suprapunerea efectelor:
Eforturile secionale generate de deplasarea z1=1:
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
74
Fig.18.2 c
Aplicnd metoda transmiterii i distribuiei momentelor, rezult:
Calculul coeficienilor de distribuie:
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
75
Deplasarea pe direcia gradului de libertate dinamic este:
Caracteristicile dinamice ale cadrului sunt:
Pulsaia proprie de vibraie, este:
Perioada proprie de vibraie, este:
Frecvena proprie de vibraie, este:
Fora de inerie, este :
Fora de greutate, este:
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
76
Fora rezultant care acioneaz asupra masei n timpul micrii este:
Fig.18.2 d
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
77
Problema 19
Pentru cadrul din fig.19.2a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze valoarea forei de inerie i diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei de inerie, dac condiiile iniiale sunt la t=0, x0=0,6 cm. S se determine eforturile secionale de ncovoiere datorit greutii masei m. Se cunosc: m=10.000Kg; l1=4m, l2=6m EI=25 106 Nm2. Pentru calculul structurii s se utilizeze metoda deplasrilor.
Fig.19.2 a
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
78
Aplicnd metoda deplasrilor, Rigiditile practice sunt:
Calculul momentelor de ncastrare perfect:
Fig.19.1 b
Din ecuaiile de condiie:
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
79
Diagramele de eforturi secionale se obin prin suprapunerea efectelor:
Eforturile secionale generate de deplasarea z1=1:
Aplicnd metoda transmiterii i distribuiei momentelor rezult:
Calculul coeficienilor de distribuie:
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
80
Fig.19.2 c
Deplasarea pe direcia gradului de libertate dinamic este:
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
81
Caracteristicile dinamice ale cadrului sunt:
Pulsaia proprie de vibraie, este:
Perioada proprie de vibraie, este:
Frecvena proprie de vibraie, este:
Fora de inerie, este :
Fora de greutate, este:
Fora rezultant care acioneaz asupra masei n timpul micrii este:
-
APLICAII N ANALIZA DINAMIC A STRUCTURILOR
82
Fig.19.2 d
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
83
Cap.3 Vibraii forate sub aciunea forelor perturbatoare armonice . Sisteme cu 1GLD.
Aspecte teoretice:
Vibraiile forate armonice ale unui sistem dinamic cu 1GLD sunt vibraiile care se produc cnd asupra sistemului dinamic acioneaza o for perturbatoare armonic , cu amplitudinea i pulsaia . La momentul t=0 pot exista condiii iniiale: deplasarea initiala x0 i viteza iniial v0 , pe direcia gradului de libertate dinamic.
Ecuaia de echilibru dinamic instantaneu, al sistemului dinamic, este:
unde,
este pulsaia sistemului dinamic cu 1GLD.
Soluia general a ecuaiei difereniale este:
este solutia vibraiilor libere; este soluia vibraiilor forate produse de fora
perturbatoare armonic . Soluia vibraiilor forate, , se alege astfel nct s verifice ecuaia de
micare a sistemului dinamic:
Dup identificarea termenilor, rezult constantele M i N:
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
84
Soluia ecuaiei difereniale de miscare devine:
Viteza sistemului dinamic se determin cu relaia:
Constantele de integrare, i, , se determin aplicnd condiiile iniiale n deplasare i vitez, la :
Dup nlocuire n expresia deplasrii si expresia vitezei rezulta constantele de integrare, i, :
Soluia general a ecuaiei de micare dup nlocuirea constantelor de integrare, devine:
Dac se separ termenii corespunztori vibraiei libere de termenii corespunztori vibraiei forate, expresia deplasrii dinamice instantanee totale devine:
Pentru a evidenia factorul de amplificare dinamic, ecuaia de micare se poate scrie sub forma:
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
85
unde,
- este deplasarea static produs de fora pe direcia gradului de libertate dinamic;
- este factorul de amplificare dinamic.
Expresia factorului de amplificare dynamic, variabil n timp, este:
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
86
Deoarece, n realitate, rspunsul liber se amortizeaz n timp, n cazul n care exist amortizare, rezult c dup dispariia vibraiilor libere rmne doar rspunsul forat care are expresia:
unde,
- este deplasarea dinamic.
Fora de inerie generat, datorit aplicrii forei perturbatoare, este:
Fora dinamic total care se aplic masei se calculeaz cu relaia:
Din analiza rezultatelor prezentate, se poate observa c att deplasarea dinamic ct i fora dinamic pe direcia gradului de libertate dinamic se pot obine folosind factorul de amplificare dinamic, cu relaiile:
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
87
Problema 20
Pentru sistemul dinamic cu 1GLD din fig.20.3a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze factorul de amplificare dinamic, dac pe direcia gradului de libertate dinamic acioneaz o fora perturbatoare armonic .S se determine diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei dinamice. Se va considera : m=10.000Kg; l=1m; EI=3108Nm2; .
Fig.20.3 a
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
88
Pentru a determina factorul de amplificare dinamic in cazul unui sistem dinamic cu 1GLD acionat de o for perturbatoare armonic trebuie determinate mai nti caracteristicile dinamice proprii ale structurii analizate.
Deplasarea pe direcia gradului de libertate dinamic, este:
Caracteristicile dinamice proprii pentru sistemul dynamic, sunt:
Pulsaia proprie de vibraie, este:
Perioada proprie de vibraie, este:
Frecvena proprie de vibraie, este:
Factorul de amplificare dinamic, este:
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
89
Se poate observa, ca datorit faptului c pulsaia forei perturbatoare armonice, este apropiat de pulsaia proprie a structurii, amplitudinea forei perturbatoare, este amplificat dinamic de 3,56 ori.
Fora dinamic, este :
Fig.20.3 b
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
90
Problema 21
Pentru sistemul dinamic cu 1GLD din fig.21.3a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze factorul de amplificare dinamic dac pe direcia gradului de libertate dinamic acioneaz o for perturbatoare armonic .S se determine diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei dinamice. Se va considera : m=3.000Kg; l=2m; E=31010N/m2; .
Fig.21.3 a
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
91
Momentul de inerie al seciunii transversale, este:
Deplasarea pe direcia gradului de libertate dinamic, este:
Caracteristicile dinamice proprii pentru sistemul dynamic, sunt:
Pulsaia proprie de vibraie, este:
Perioada proprie de vibraie, este:
Frecvena proprie de vibraie, este:
Factorul de amplificare dinamic, este:
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
92
Greutatea masei, este:
Fora dinamic, este :
Fig.21.3 b
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
93
Problema 22
Pentru sistemul dinamic cu 1GLD din fig.22.3a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze factorul de amplificare dinamic dac pe direcia gradului de libertate dinamic acioneaz o fort perturbatoare armonic .S se determine diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei dinamice. Se va considera: m=10.000Kg; l=2m; E=31010N/m2; .
Fig.22.3 a
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
94
Momentul de inerie al seciunii transversale, este:
Deplasarea pe direcia gradului de libertate dinamic, este:
Caracteristicile dinamice proprii pentru sistemul dynamic, sunt:
Pulsaia proprie de vibraie, este:
Perioada proprie de vibraie, este:
Frecvena proprie de vibraie, este:
Factorul de amplificare dinamic, este:
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
95
Greutatea masei, este:
Fora dinamic este :
Fig.22.3 b
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
96
Problema 23
Pentru sistemul dinamic cu 1GLD din fig.23.3a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze factorul de amplificare dinamic dac pe direcia gradului de libertate dinamic acioneaz o for perturbatoare armonic .S se determine diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei dinamice. Se va considera: m=8.000Kg; l=2m; E=31010N/m2; .
Fig.23.3 a
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
97
Momentul de inerie al seciunii transversale este:
Deplasarea pe direcia gradului de libertate dinamic este:
Caracteristicile dinamice proprii pentru sistemul dinamic, sunt:
Pulsaia proprie de vibraie, este:
Perioada proprie de vibraie, este:
Frecvena proprie de vibraie, este:
Factorul de amplificare dinamic, este:
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
98
Greutatea masei, este:
Fora dinamic, este :
Fig.23.3 b
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
99
Problema 24
Pentru sistemul dinamic cu 1GLD din fig.24.3a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze factorul de amplificare dinamic dac pe direcia gradului de libertate dinamic acioneaz o for perturbatoare armonic .S se determine diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale fortei dinamice. Se va considera: m=15.000Kg; l=8m; E=31010N/m2; .
Fig.24.3 a
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
100
Din ecuaia de compatibilitate a deplasrilor:
Fig.24.3 b
Momentul de inerie al seciunii transversale, este:
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
101
Deplasarea pe direcia gradului de libertate dinamic, este:
Caracteristicile dinamice proprii pentru sistemul dynamic, sunt:
Pulsaia proprie de vibraie, este:
Perioada proprie de vibraie, este:
Frecvena proprie de vibraie, este:
Factorul de amplificare dinamic, este:
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
102
Greutatea masei, este:
Fora dinamic, este :
Fig.24.3 c
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
103
Problema 25
Pentru sistemul dinamic cu 1GLD din fig.25.3a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze factorul de amplificare dinamic dac pe direcia gradului de libertate dinamic acioneaz o for perturbatoare armonica .S se determine diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei dinamice. Se va considera: m=8.000Kg; l=4m; E=31010N/m2; .
Fig.25.3 a
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
104
Din ecuaia de compatibilitate a deplasrilor:
Fig.25.3 b
Momentul de inerie al seciunii transversale, este:
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
105
Deplasarea pe direcia gradului de libertate dinamic, este:
Caracteristicile dinamice proprii pentru sistemul dynamic, sunt:
Pulsaia proprie de vibraie, este:
Perioada proprie de vibraie, este:
Frecvena proprie de vibraie, este:
Factorul de amplificare dinamic, este:
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
106
Greutatea masei, este:
Fora dinamic, este :
Fig.25.3 c
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
107
Problema 26
Pentru sistemul dinamic cu 1GLD din fig.26.3a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze factorul de amplificare dinamic dac pe direcia gradului de libertate dinamic acioneaz o for perturbatoare armonic . S se determine diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei dinamice. Se va considera: m=12.000Kg; l=4m; E=31010N/m2; .
Fig.26.3 a
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
108
Fig.26.3 b
Din ecuaia de compatibilitate a deplasrilor:
Momentul de inerie al seciunii transversale, este:
Deplasarea pe direcia gradului de libertate dinamic, este:
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
109
Caracteristicile dinamice proprii pentru sistemul dynamic, sunt:
Pulsaia proprie de vibraie, este:
Perioada proprie de vibraie, este:
Frecvena proprie de vibraie, este:
Factorul de amplificare dinamic, este:
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
110
Fig.26.3 c
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
111
Fora dinamic, este :
Fig.26.3 d
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
112
Problema 27
Pentru sistemul dinamic cu 1GLD din fig.27.3a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze factorul de amplificare dinamic dac pe direcia gradului de libertate dinamic acioneaz o for perturbatoare armonic .S se determine diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei dinamice. Se va considera: m=10.000Kg; l=2m; E=31010N/m2; .
Fig.27.3 a
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
113
Momentul de inerie al seciunii transversale, este:
Deplasarea pe direcia gradului de libertate dinamic, este:
Caracteristicile dinamice proprii pentru sistemul dynamic, sunt:
Pulsaia proprie de vibraie, este:
Perioada proprie de vibraie, este:
Frecvena proprie de vibraie, este:
Factorul de amplificare dinamic, este:
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
114
Greutatea masei, este:
Fora dinamic, este :
Fig.27.3 b
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
115
Problema 28
Pentru sistemul dinamic cu 1GLD din fig.28.3a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze factorul de amplificare dinamic dac pe direcia gradului de libertate dinamic acioneaz o for perturbatoare armonic . S se determine diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei dinamice. Se va considera: m=7.000Kg; l1=6m; l2=4m; EI=28106Nm2; .
Fig.28.3 a
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
116
Aplicnd metoda deplasrilor, Rigiditile practice sunt:
Calculul momentelor de ncastrare perfect:
Fig.28.3 b
Din ecuaiile de condiie:
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
117
Diagramele de eforturi secionale se obin prin suprapunerea efectelor:
Eforturile secionale generate de deplasarile z1=1 i z2=1:
Aplicnd metoda transmiterii i distribuiei momentelor, se obine:
Calculul coeficienilor de distribuie:
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
118
Fig.28.3 c
Deplasarea pe direcia gradului de libertate dinamic este:
Caracteristicile dinamice proprii pentru sistemul dinamic, sunt:
Pulsaia proprie de vibraie, este:
Perioada proprie de vibraie, este:
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
119
Frecvena proprie de vibraie, este:
Factorul de amplificare dinamic este:
Greutatea masei, este:
Fora dinamic, este :
Fig.28.3 d
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
120
Problema 29
Pentru sistemul dinamic cu 1GLD din fig.29.3a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze factorul de amplificare dinamic dac pe direcia gradului de libertate dinamic acioneaz o for perturbatoare armonic .S se determine diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei dinamice. Se va considera: m=4.000Kg; l1=6m; l2=9m; l3=2m; EI=35106Nm2; .
Fig.29.3 a
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
121
Aplicnd metoda deplasrilor, Rigiditile practice sunt:
Calculul momentelor de ncastrare perfect:
Fig.29.3 b
Din ecuaiile de condiie:
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
122
Diagramele de eforturi secionale se obin prin suprapunerea efectelor:
Eforturile secionale generate de deplasrile z1=1 si z2=1:
Fig.29.3 c
Aplicnd metoda transmiterii i distribuiei momentelor se obine:
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
123
Calculul coeficienilor de distribuie:
Deplasarea pe direcia gradului de libertate dinamic, este:
Caracteristicile dinamice proprii pentru sistemul dynamic, sunt:
Pulsaia proprie de vibraie, este:
Perioada proprie de vibraie, este:
Frecvena proprie de vibraie, este:
Factorul de amplificare dinamic, este:
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
124
Greutatea masei, este:
Fora dinamic, este :
Fig.29.3 d
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
125
Problema 30
Pentru sistemul dinamic cu 1GLD din fig.30.3a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze factorul de amplificare dinamic dac pe direcia gradului de libertate dinamic acioneaz o for perturbatoare armonic .S se determine diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei dinamice. Se va considera: m=15.000Kg; l1=3m; l2=4m; EI=28106Nm2; .
Fig.30.3 a Aplicnd metoda deplasrilor,
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
126
Rigiditile practice sunt:
Calculul momentelor de ncastrare perfect:
Fig.30.3 b
Din ecuaiile de condiie:
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
127
Diagramele de eforturi secionale se obin prin suprapunerea efectelor:
Eforturile secionale generate de deplasrile z1=1 si z2=1:
Fig.30.3 c Aplicnd metoda transmiterii i distribuiei momentelor, se obine:
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
128
Calculul coeficienilor de distribuie:
Deplasarea pe direcia gradului de libertate dinamic, este:
Caracteristicile dinamice proprii pentru sistemul dynamic, sunt:
Pulsaia proprie de vibraie este:
Perioada proprie de vibraie, este:
Frecvena proprie de vibraie, este:
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
129
Factorul de amplificare dinamic, este:
Greutatea masei, este:
Fora dinamic, este :
Fig.30.3 d
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
130
Problema 31
Pentru sistemul dinamic cu 1GLD din fig.31.3a, s se determine caracteristicile dinamice proprii: pulsaia proprie de vibraie, perioda proprie de vibraie i frecvena proprie de vibraie. S se calculeze factorul de amplificare dinamic dac pe direcia gradului de libertate dinamic acioneaz o for perturbatoare armonic .S se determine diagramele de eforturi secionale de ncovoiere aferente celor dou sensuri de aciune ale forei dinamice. Se va considera: m=9.000Kg; l1=6m; l2=4m; l3=2m; EI=30106Nm2; .
Fig.31.3 a
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
131
Aplicnd metoda deplasrilor, Rigiditile practice sunt:
Calculul momentelor de ncastrare perfect:
Fig.31.3 b
Din ecuaiile de condiie:
Diagramele de eforturi secionale se obin prin suprapunerea efectelor:
Eforturile secionale generate de deplasrile z1=1 si z2=1:
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
132
Fig.31.3 c Aplicnd metoda transmiterii i distribuiei momentelor se obine:
Calculul coeficienilor de distribuie:
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
133
Deplasarea pe direcia gradului de libertate dinamic, este:
Caracteristicile dinamice proprii pentru sistemul dynamic, sunt:
Pulsaia proprie de vibraie, este:
Perioada proprie de vibraie, este:
Frecvena proprie de vibraie, este:
Factorul de amplificare dinamic, este:
-
APLICAII N DINAMICA STRUCTURILOR
134
Greutatea masei, este:
Fora dinamic, este :
Fig.31.3 d
-
Cuprins:
1. Aspecte generale privind calculul structurilor din bare
1-4
2.Vibraii libere. Sisteme dinamice cu 1 GLD.
5-82
3. Vibraii forate sub aciunea forelor perturbatoare armonice. Sisteme dinamice cu 1 GLD.
83-134
-
Bibliografie:
1. Popovici A. Ilinca C. Dinamica structurilor i inginerie seismic volumul 1: Aplicaii n dinamica structurilor. Editura Conspress Bucureti, 2011.
2. Popovici A. Analiza dinamica prin metode numerice. Institutul de Construcii Bucureti, 1978.
3. Banu V., Teodorescu M.E. Dinamica Construciilor. Aplicaii rezolvate. Editura MatrixRom, Bucureti, 2007.