Capitolul 4 Functii Numerice_p2

4.5. Probleme rezolvate cu ajutorul ecuaţiilor 4.5.1 Probleme de gradul întîi 4.5.1. Dintr-un vas cu capacitatea de 128 l plin cu alcool se scoate o cantitate de alcool şi se înlocuieşte cu apă. Din acest amestec se mai scoate o cantitate egală cu cea scoasă prima dată şi se înlocuieşte cu apă. În vas rămîn 98 l alcool curat. Cîţi litri de alcool s-au scos prima dată şi cîţi a doua oară ? (Olimpiadă regională, 1954) 4.5.2. Cineva are o sumă de bani în două buzunare. Dacă pune din primul buzunar în al doilea atît cît conţine al doilea, apoi din al doilea în primul atît cît conţine primul şi efectuează această operaţie de trei ori, va avea în ambele buzunare cîte 36 de lei. Cîţi bani are în fiecare buzunar ? (S. Octavian, E:2224, G.M.B. 11/1964) 4.5.3. Un rezervor poate fi umplut cu ajutorul a trei conducte. Prima şi a doua conductă îl pot umple în 105 minute, prima şi a treia în 126 minute, iar a doua şi a treia în 210 minute. Să se afle în cîte minute se umple rezervorul:

) cînd fiecare din cele trei conducte funcţionează separat; ) cînd toate cele trei conducte funcţionează simultan.

(D. Mîrzan, E:2231, G.M.B. 11/1964) 4.5.4. Două robinete pot umple un bazin curgînd împreună în 6 ore. Dacă deschidem primul robinet un sfert din timpul cît i-ar trebui celui de-al doilea să umple singur bazinul, iar apoi pe al doilea un sfert din timpul cît i-ar trebui primului să umple singur bazinul(închizîndu-l pe primul), atunci se umple jumătate din bazin şi încă a 24-a parte din el. Cît timp este necesar fiecărui robinet să umple singur bazinul ? (Martin Mettler, 9258, G.M.B. 11/1968) 4.5.5. Două maşini pornesc simultan din acelaşi loc în aceeaşi direcţie. Prima merge cu 50 km/h, iar a doua cu 40 km/h. După 30 de minute, porneşte din acelaşi loc o a treia maşină, care o ajunge pe prima la o oră şi jumătate după a doua. Ce viteză are a treia maşină ? (Olimpiadă naţională, 1954) 4.5.6. Un tren trece prin faţa unui om în 10 secunde, iar prin faţa unei gări cu lungimea de 500 m în 60 de secunde. Să se calculeze lungimea şi viteza trenului. (S. Octav, E:3216, G.M.B. 5/1969) 4.5.7. Două vase navighează pe mare cu viteză constantă şi între aceleaşi puncte fixe. La ora 9 distanţa dintre ele era de 20 de mile, la ora 9.35 de 15 mile, iar la ora 9.55 de 13 mile. La ce oră este distanţa dintre vase minimă ? Care este valoarea distanţei minime ? (Propusă de Suedia pentru O.I.M. 1968; 9301, G.M.B. 12/1968) 4.5.8. O navă merge în direcţia Sud cu viteza de 10 noduri. Trecînd printr-o zonă de curenţi, viteza navei se măreşte cu 3 noduri. Dacă sensul curentului se schimbă, viteza navei se micşorează cu un nod. Se cer viteza şi direcţia curentului. (C.V. Costăchescu, 10629, G.M.B. 9/1970)

4.5.9. Un iepure fuge la 100 de paşi înaintea unui cîine. Iepurele mai face 250 de paşi şi distanţa dintre ei scade la 30 de paşi. Cîţi paşi va mai fugi iepurele pînă ce va fi prins de cîine ? (Problemă chinezească veche, E:2286, G.M.B. 3/1965) 4.5.10. Un băiat înoată la centrul unui bazin circular. Pe marginea bazinului stă profesorul, care nu poate înota. Profesorul poate alerga de patru ori mai repede decît înoată băiatul, dar nu poate alerga mai repede decît băiatul. Poate băiatul să scape de profesor ? (Olimpiadă, Anglia, 1965; 8067, G.M.B. 3/1967) 4.5.11. Un ceas întîrzie cu două minute şi jumătate pe zi. Se pune ceasul exact la ora 13 în ziua de 15 martie. Cu cît arată în urmă ceasul la ora 9 în ziua de 21 martie ? (Olimpiadă, S.U.A, 1964, 8209, G.M.B. 5/1967) 4.5.12. Media aritmetică a 50 de numere este 38. Înlăturăm două dintre aceste numere, egale cu 45, respectiv 55. Care este media aritmetică a numerelor rămase ? (7987, G.M.B. 2/1967) 4.5.13. Elevii unei clase plantează pomi în grădina şcolii. Ştiind că doi băieţi şi 7 fete plantează în 6 ore 228 de pomi, iar 4 băieţi şi 5 fete plantează în trei ore 132 de pomi, să se afle:

) Cîţi pomi plantează un băiat în 4 ore ? ) Cîţi pomi plantează o fată în 5 ore ?

(Ana Gereanu, 8528, G.M.B. 10/1967) 4.5.14. a) A cîta parte din lungimea unui creion a rămas nefolosită, dacă o jumătate din partea rămasă reprezintă jumătate din partea folosită ?

b) Dar dacă 2

3din partea rămasă reprezintă

3

2din partea folosită ?

) Dar dacă b

adin partea rămasă reprezintă

b

adin partea folosită, unde

,a b ∗∈� ?

) Dar dacă b

adin partea rămasă reprezintă

a

bdin partea folosită, unde

,a b ∗∈� ? ) În cazul punctului d), cu ipoteza suplimentară a b> , să se afle după cîte zile

va ajunge creionul la 2

2 2

b

a b+din lungimea lui, ştiind că în fiecare zi se

ascute cîte 2 2

1

a b+ din lungimea sa iniţială.

(N.C. Negoescu, 8676, G.M.B. 1/1968) 4.5.15. Dacă A ar lucra 8 zile la o lucrare, B ar termina restul în 18 zile. Dacă A ar lucra 10 zile, atunci B ar termina restul în 15 zile. În cîte zile ar termina lucrarea A şi B lucrînd împreună ? (Ion Apolozan, 9309, G.M.B. 12/1968) 4.5.16. La concursul de admitere în clasa a IX-a, au fost declaraţi respinşi toţi elevii care au obţinut note sub 5.00 la unul din obiectele română, matematică, istorie şi de asemenea elevii care au obţinut media generală sub 6.00. La

matematică au fost respinşi 10% din numărul candidaţilor, la română 8%, la istorie 4%, iar 34 de elevi au obţinut media generală sub 6.00. Toţi elevii respinşi la istorie au fost respinşi şi la română şi la matematică, iar 10 elevi respinşi la matematică au fost respinşi şi la română. Ştiind că numărul candidaţilor reuşiţi reprezintă 0,7 din numărul total al candidaţilor, să se afle:

) numărul total de candidaţi; ) numărul elevilor reuşiţi; ) numărul elevilor respinşi la un singur obiect; ) numărul elevilor respinşi la două obiecte.

(V. Şandru, 8952, G.M.B. 6/1968) 4.5.2. Probleme care conduc la ecuaţii diofantice 4.5.17. Treizeci de monezi de 5, 10 şi 25 de bani, 1 leu şi 3 lei reprezintă o sumă de 7,50 lei. Ştiind că numărul monezilor de 10 bani este egal cu numărul monezilor de 5 şi 25 de bani la un loc, iar cele de 10 bani sunt de două ori mai multe decît cele de 25 de bani, să se precizeze cîte monezi de fiecare fel sunt. (Hary Bromberg, 6562, G.M.B. 10/1964) 4.5.18. Într-o pungă există un număr de bomboane. Dacă bomboanele se împart la doi copii, mai rămîne una; dacă se împart la 5 copii, mai rămîn două; în fine, dacă se împart la 7 copii, mai rămîn 3. Să se găsească numărul de bomboane din pungă, ştiind că este minim. 4.5.19. Trei grupe de pescari participante la un concurs au prins în total 113 peşti. În medie, fiecare membru al primei grupe a prins 13 peşti, fiecare membru al grupei a doua cîte 5 peşti, iar fiecare membru al grupei a treia cîte 4 peşti. Să se afle numărul membrilor din fiecare grupă, ştiind că în total au fost 16 pescari. (Olimpiadă naţională, 1967; 8513, G.M.B. 10/1967)

4.5.20. Mai multe piese, unele mici, de cîte 2

47

kg fiecare, altele mari de cîte

37

4kg fiecare, cîntăresc împreună

11141

14kg. Cîte piese sunt ?

(E. Rusu, 9420, G.M.B. 2/1969) 4.5.21. Să se găsească numărul abc , format din trei cifre nenule, ştiind că este medie geometrică între bca şi cab . (Radu Hahn, 9131, G.M.B. 9/1968) 4.5.3 Probleme de gradul al doilea 4.5.22. Să se afle numărul natural al cărui pătrat mărit cu de 10 ori rădăcina sa pătrată să dea un alt pătrat perfect. (I. Stamate, 8419, G.M.B. 8/1967) 4.5.23. Suma pătratelor a trei numere naturale impare consecutive este un număr de 4 cifre, cu toate cifrele egale. Care sunt numerele ? (Corneliu N. Popescu, 8679, G.M.B. 1/1968)

4.5.24. Să se calculeze catetele unui triunghi dreptunghic cunoscînd ipotenuza a şi înălţimea h . Discuţie. 4.5.25. Fie [ ]AD mediana unui triunghi oarecare. Să se determine punctul

[ ]M AD∈ pentru care suma 2 2 2MA MB MC+ + este minimă.

4.5.26. Într-un semicerc dat, să se înscrie un dreptunghi de arie maximă. (Olimpiadă, Ucraina, 1956) 4.5.27. Dintre toate triunghiurile dreptunghice cu aceeaşi ipotenuză, să se determine cel cu aria maximă. 4.5.28. Pe o şosea se deplasează o trăsură şi un automobil, în acelaşi sens. Trăsura se găseşte cu 84 m înaintea automobilului şi merge uniform cu viteza de 3 m/s. Automobilul parcurge 8 m în prima secundă, iar în fiecare din următoarele cu 0,1 m mai puţin decît în cea precedentă.

) Cît timp merge automobilul pînă ce ajunge trăsura ? ) După cît timp se opreşte automobilul ? ) Cît timp mai merge trăsura din momentul opririi automobilului pînă cînd îl

depăşeşte din nou ? (Olimpiadă regională, 1954)

4.5.29. O grupă de soldaţi merge în şir cu viteză constantă, lungimea şirului fiind d . Un cîine aleargă tot cu viteză constantă de la ultimul soldat din grupă spre primul. Cînd ajunge la primul, se întoarce imediat şi aleargă înapoi spre ultimul soldat. În momentul în care cîinele ajunge înapoi la ultimul soldat, şirul a înaintat cu distanţa d . Cît a alergat cîinele în acest timp ? (G.M. 5/1983) 4.5.4 Alte tipuri de probleme 4.5.30. Într-un vas se găsesc a l de alcool curat. Se scoate 1 l de alcool şi se înlocuieşte cu 1 l de apă. Se scoate apoi 1 l de amestec şi se înlocuieşte cu 1 l de apă; din noul amestec, se mai scoate 1 l şi se înlocuieşte cu 1 l apă ş.a.m.d. După cîte operaţii va rămîne în vas mai puţin de 50% alcool ? 4.5.31. Ridicînd succesiv numărul 13 la puterea a doua, a treia etc. se observă că numărul cifrelor rezultatului este la fiecare pas cu o unitate mai mare decît exponentul. Care este prima putere naturală a lui 13 de la care nu mai este respectată această proprietate ? (Radu Dogaru, 18168, G.M. 3/1980) 4.5.32. O femeie ţese în prima zi 5 coţi de pînză, apoi în fiecare zi cu o anumită lungime mai puţin, pînă ce în a 30-a zi nu mai ţese decît un cot. Cîtă pînză a ţesut femeia în cele 30 de zile ? (Problemă chinezească veche, E:2288, G.M.B. 3/1965) 4.5.33. Nicu primeşte sîmbătă 1 martie 1952 o puşculiţă transparentă în care s-au introdus 20 de cenţi. Sîmbăta următoare mai primeşte 12 cenţi în puşculiţă, peste o săptămînă încă 14, apoi încă 16 etc. (în fiecare săptămînă cu 2 cenţi mai mult). Într-o sîmbătă, Nicu descoperă sistemul după care i se fac daruri şi îşi dă seama că suma adunată în puşculiţă (în cenţi) este un pătrat perfect şi că este ultima dată cînd se întîmplă acest lucru. Cînd a făcut Nicu această constatare şi ce sumă a strîns ?

(Olimpiadă, Olanda, 1964, 8151, G.M.B. 4/1967) 4.5.34. În magazia unei fabrici de zahăr există un număr de saci. Se scot jumătate din numărul sacilor existenţi în magazie şi încă unul; a doua oară se scot jumătate din numărul sacilor rămaşi şi încă un sac. După 2n ≥ operaţii de acest fel, în magazie a rămas un singur sac.

) Să se determine, în funcţie de n , numărul sacilor care se găseau la început în magazie;

) Dacă în magazie există la început 3070 de saci, după cîte operaţii rămîne un singur sac ?

(Petre Belciug, 9138, G.M.B. 9/1968) 4.6. Funcţia modul. Ecuaţii şi inecuaţii 4.6.1 Proprietăţi. Graficul funcţiei modul 4.6.1. Să se reprezinte grafic funcţiile :f →� � următoare:

a) ( ) 2f x x x= − +

b) ( )2 , 0

1 3 , 0

x xf x

x x

+ <=

− − ≥

c) ( ) 2 1 1 2f x x x x= − + + + −

d) ( ) 2 2 1 3f x x x x= − − − + −

4.6.2. Să se determine valorile lui x pentru care funcţia :f →� � ,

( ) 1 2 2 3 3f x x x x= − + − + − admite un minim.

(Olimpiadă locală, Dîmboviţa, 1979) 4.6.3. Fie ( ): , 1 2 3 4f f x x x→ = − − + − +� � . Să se expliciteze legea funcţiei

f şi să se reprezinte grafic.

4.6.4. Se consideră funcţia ( ): , 1 2 1f f x x x→ = − + + −� � . Să se reprezinte

grafic funcţia şi să se determine mulţimile [ ]( ) [ ]( )0;1 , 2;1f f − şi [ ]( )3;2f − .

4.6.5. Se dă funcţia [ ] ( )

[ )

[ )

[ ]

( ]

1, 2;0

1, 0;1: 2; 5 ,

2 , 1;3

1, 3;5

x

xf f x

x x

x

− ∈ −

∈− → =

− ∈

− ∈

� . Să se reprezinte

grafic funcţia [ ] ( ) ( ): 2;5 ,g g x f x− → =� .

(8888, G.M.B. 5/1968; enunţ parţial)

4.6.6. Să se reprezinte grafic funcţia ( ) { }: , min 4 , 2f f x x→ = −� � şi să se

calculeze aria porţiunii plane mărginite de graficul funcţiei, axa Ox şi dreptele de ecuaţii 1x = şi 7x = . (Doina Gârbou, 16765, G.M. 8/1977) 4.6.7. Să se reprezinte grafic funcţia :f →� � definită prin

( ) ( ){ }max 1 ,f x x g x= − , unde g este o funcţie liniară pentru care ( )1 0g =

şi ( )2 2g = . (A. Eckstein, E:10178*, G.M. 3/1991)

4.6.8. Să se determine minimul funcţiei ( ) ( ): , max 2 , 1f f x x x→ = +� � .

(Aurelia Stanciu, 19792, G.M. 7/1983)

4.6.9. Se dă ( ) ( )42 4: , 2 9 6 4f f x x x x x→ = + − + − +� � . Să se determine

coordonatele punctelor de intersecţie dintre graficul lui f şi graficul funcţiei

( ): , 1g g x x→ = −� � . Să se reprezinte grafic cele două funcţii, în acelaşi sistem

de coordonate. (Andrei Corneliac, E:9588*, G.M. 11-12/1988) 4.6.10. Se consideră funcţia [ ): 5;f → ∞� dată de ( ) 1 1 4f x x x x= + + − + +

) Să se arate că f este surjectivă, dar nu este injectivă. ) Să se determine o restricţie 1f bijectivă a funcţiei f şi să se calculeze

inversa lui 1f . (Liviu Pîrşan, 17745, G.M. 5/1979) 4.6.11. Să se reprezinte grafic funcţia :f →� � cu proprietatea

( ) ( ) ( )2 1 1 ,f x f x x x+ − = + ∀ ∈� .

4.6.12. Să se arate că dacă , ,x y z ∈� , atunci:

1 2 2 1 2 2 10x x y y z z+ + − + + + − + + + − ≥ , egalitatea avînd loc dacă şi

numai dacă [ ] [ ]1; 2 , 2;1x y∈ − ∈ − şi [ ]2; 2z ∈ − .

(C. Ionescu-Ţiu, 18531, G.M. 12/1980) 4.6.13. Să se determine cea mai mică valoare a funcţiei :f →� � ,

( )1

n

i

i

f x x a=

= −∑ , unde 1 2, , , na a a… sunt numere reale date.

(Petre Liviu, 7331, G.M.B. 1/1966) 4.6.14. Fie funcţia :f →� � ,

( ) ( )( ) ( )1

1 2 3 1 1 2 32

f x x x x x n x n m m m m= + + − + + + + + − + − − + + +…

unde m∗∈� şi 2n

∗∈ � . Arătaţi că cea mai mică valoare a lui f este diferită de zero. (Adrian Ghioca, 1984) 4.6.15. Fie 1 2 1 2, , ,a a b b numere reale şi funcţia :f →� � , definită prin:

( ) 1 1 2 2f x a x b a x b= + + + . Să se arate că:

) Dacă f este injectivă, atunci f este bijectivă; ) Funcţia f este suma a două funcţii bijective.

(Sorin Rădulescu, Olimpiadă naţională, 1980) 4.6.16. Să se reprezinte grafic următoarele funcţii :f →� � :

a) ( ) 21 5f x x x= + −

b) ( ) 2 21 9f x x x= − + −

c) ( ) 21 1f x x x= − − −

d) ( ) 21 1f x x x= − + − (V. Negruţiu, 7515, G.M.B. 4/1966)

e) ( ) 2 29 1f x x x= − − − (F. Kacso, 9812, G.M.B. 8/1969)

4.6.17. Se dă funcţia ( ) 2 2: , 1 4 1f f x x x→ = − − + −� � . Să se reprezinte grafic

funcţia şi cu ajutorul graficului să se rezolve ecuaţia ( ) 0f x = .

4.6.18. Se dă funcţia ( )3 3 21 2 3

: ,1 1

x x x xf D f x

x x a x a x

+ − +→ = +

+ + + + − −� , unde a este un

parametru real. ) Să se determine domeniul de definiţie D ; ) În cazul în care funcţia f este polinomială, să se reprezinte grafic.

(Olimpiadă, Cehia, 1967; 8777, G.M.B. 3/1968, enunţ modificat) 4.6.19. Se dau funcţiile 1 2 3, , :f f f →� � , definite prin:

( ) ( ) ( )3

1 3 3 4 2 2 1f x x x x x= − − − +

( ) ( )2 2

2 9 8 144f x x x= − +

( ) ( ) ( )3 4 33 11 11f x x x x= − − −

) Să se reprezinte grafic cele trei funcţii; ) Să se determine mulţimea valorilor lui x pentru care ( ) ( ) ( )3 1 2f x f x f x= + .

(I. Butulescu, 8417, G.M.B. 8/1967) 4.6.20. a) Se consideră funcţia ( ) 2: , 3 2 ,f f x x x x a a→ = − + + − ∈� � � . Să se

determine a astfel încît [ )Im 0;f = ∞ .

b) Ce relaţie există între numerele reale a şi b ştiind că ecuaţia 2 6 7 0x x ax b− − + + = admite o soluţie reală ?

(Kürthy Katalin, Olimpiadă locală, Cluj, 1979, enunţ modificat) 4.6.2 Ecuaţii cu necunoscuta în modul. Sisteme de ecuaţii 4.6.21. Să se rezolve următoarele ecuaţii: a) 1 2 11 5x x x x+ − + − = −

b) 3 1 2 2 2x x x− + − − − =

c) 2 2 5 7x x x− + + = +

d) 2 1 2x x x− + + = +

e) 2 1 3 4x x− + − =

f) 3 2 3 1 3x x− + + =

g) 16 9 9 5 11x x− − − = (Admitere, U.R.S.S, 1979)

4.6.22. Să se rezolve următoarele ecuaţii: a) 2 2 1x x x− + − =

b) 1 2 3x x x− − + − =

c) 3 2 1 1x x x x x− − − + = + −

d) 1 1 0x x x x− + − + − =

4.6.23. Să se rezolve ecuaţiile:

a) 2

2

2 2410

9 20

x x

x x

+ −=

− +

b) 1 2 2 1 6x x x x⋅ + = − − +

c) 2 21 4 1 0x x− + − − = (Concurs treapta a II-a, Vîlcea, 1978)

d) 2 2 25 2 10 15x x x− − − = −

(C. Ionescu-Ţiu, 8230, G.M.B. 5/1967)

e) 4 2 4 2 218 81 2 2 1 7 0x x x x x x− + − − + + + + = (C. Ionescu-Ţiu, Olimpiadă naţională, 1967)

f) ( )22 2 2 1 2 0x x x− − − − =

(Lucia Ţene, 9001, G.M.B. 7/1968)

g) 2 4 2 2 28 16 3 2 1 4 4 1 0x x x x x x x− + − − + − − + − + = (C. Ionescu-Ţiu, 9172, G.M.B. 10/1968) 4.6.24. Să se rezolve ecuaţia:

3

4 210 12 1 0

1210 13

1

xx x

xx

++ − + =

+ +−

(G. Setlacec, G.M, 1900) 4.6.25. Să se rezolve ecuaţia 2 3 6 1 4 9x x x x x x− ⋅ + ⋅ + = + ⋅ + ⋅ + .

(MvŞ, 1967, 8801, G.M.B. 3/1968) 4.6.26. Să se rezolve şi să se discute ecuaţiile: a) 1m x =

b) 1m x m+ =

c) 2 2 1x x a+ + = −

d) 1 3x x m− + − =

4.6.27. Să se rezolve şi să se discute ecuaţiile: a) 3 4 2 5 0x m m x− + + + + =

b) 1 3 2 5 2 1 0m x m x− + − − + − =

(Constantin Coandă, E:8430, G.M. 11/1984) c) ( ) ( ) ( )2 1 2 3 2 3 2 4m x m x x m− − − + − − = −

d) ( )1 1 1x x m x− − = − +

4.6.28. Să se determine rădăcinile ecuaţiei 32 3 26 9 2 3 3 1x x x x x a− + − + + + = în funcţie de valorile parametrului real a . (I.P.B, septembrie 1976) 4.6.29. Să se rezolve ecuaţia 1x x a+ − = pentru { }1;1;2a ∈ −

4.6.30. Să se rezolve şi să se discute ecuaţia x a x b x− + − = , unde ,a b ∈� .

(O. Sacter, 6597, G.M.B. 11/1964) 4.6.31. Dacă 0a > , să se găsească toate numerele reale x astfel încît

a x a x+ = + .

4.6.32. Să se rezolve în � ecuaţia ( ) ( )max , min , 0x y x y+ − = .

(Emil Liviu Bădescu, 18491, G.M. 11/1980) 4.6.33. Să se rezolve şi să se discute ecuaţia 1 2 ,x x x a a+ − + − = ∈� .

(A.S.E, 1983) 4.6.34. Să se determine numărul real d astfel încît ecuaţia 2 9x d+ + = să aibă

trei soluţii reale. (Argentina Dobrescu, Olimpiadă locală, Argeş, 2002) 4.6.35. Să se determine valorile reale ale parametrului a , astfel încît mulţimea

22 22

ax x x a

∈ − = −

� să aibă trei elemente. Să se găsească elementele

mulţimii. 4.6.36. Să se determine valorile parametrului real m pentru care ecuaţia

4 8x x m− + − = are două soluţii distincte.

4.6.37. Să se determine valorile lui a ∈� astfel încît mulţimea

{ }3 10A x x a x= ∈ − + − =� să conţină exact două elemente.

(Marcel Chiriţă, Olimpiadă locală, Bucureşti, 1981)

4.6.38. Fie { }1 4pA x x p x= ∈ − + + =� , unde p ∈� este un parametru.

) Determinaţi valorile lui p pentru care mulţimea pA este infinită; în acest caz,

determinaţi mulţimea. ) Determinaţi valorile lui p pentru care mulţimea pA are un singur element.

(Olimpiadă locală, Arad, 2002) 4.6.39. Pentru ce valori reale ale lui k ecuaţia 1 1 1x x kx+ − − = + are soluţie

unică? 4.6.40. Să se determine valorile reale pe care le poate lua a astfel încît ecuaţia: 2 3 20x a a x a− + + − + = să admită numai două soluţii.

(Marcel Chiriţă, C:121, G.M. 6/1981)

4.6.41. a) Arătaţi că oricare ar fi ,a b ∗∈� , ecuaţia:

x a x b x a x b a b− + − + + + + = + nu are soluţii.

(Adrian Ghioca, 19731, G.M. 6/1983) 4.6.42. Să se arate că oricare ar fi numerele reale 1 2, , na a a… nu toate nule, ecuaţia: 1 2 1 2 1 2n n nx a x a x a x a x a x a a a a+ + + + + + + − + − + + − = + + +… … …

nu are soluţie. (Liviu Vlaicu, 20230*, G.M. 10/1984) 4.6.43. Să se rezolve ecuaţia:

( )1

1 2 ,2

n nx x x n n

∗+

− + − + + − = ∈… �

(Gh. Miculescu, E:7943*, G.M. 3/1983) 4.6.44. Să se determine valoarea minimă a numărului real a pentru care ecuaţia

( )2

1

1n

k

k

x k a=

+ − ⋅ =∑ are soluţii. Să se rezolve ecuaţia în acest caz.

(Adrian P. Ghioca, 19378*, G.M. 9-10/1982) 4.6.45. Să se rezolve în � sistemele de ecuaţii:

a) 3

2 7

x y

x y

+ =

− = −

b) 2

4

x y

x y

− =

+ =

c) 5

5 5 9

x y

x y

+ =

− + − =

d) 1 0

1 0

y x

y x

+ − =

− − =

e) 1 5 1

5 1

x y

y x

− + − =

= + −

f) 2

1 1

x y

x y

+ =

− − = − (U.P.B, sesiune specială, 1985)

g) 4 2

5 4

x y

x y

+ =

+ = (Constantin Coandă, E:8092, G.M. 8/1983)

4.6.46. Să se rezolve în � sistemele de ecuaţii:

a) 2

2 1 1

3 2 4 6

x y

x x y

− + − =

− + + =

b) 2 22 2

2

x x y

x y

− + =

+ =

(N. Radu, 15237, G.M. 8/1975)

4.6.47. Să se determine ( ),x y ∈ ×� � în funcţie de a ∈� , astfel încît să avem

( ) ( ) ( )2 3 3 10,m x m y m a m− + − = + − ∀ ∈� (C:1336, G.M. 1/1993)

4.6.48. Să se rezolve sistemele:

a)

2

2 , , ,

2

a x by cz a

ax b y cz b a b c

ax by c z c

+ + =

+ + = ∈

+ + =

� . (Lucia Ţene, 6622, G.M.B. 11/1964)

b) ax b y ay b z az b x c− = − = − = , , , 0a b c > .

(Dorel Miheţ, 19385, G.M. 9-10/1982) 4.6.49. Să se determine numerele reale , ,a b c pentru care avem:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

max , min , 1

max , min , 2

max , min , 3

a b c a b c

b c a b c a

c a b c a b

+ − + =

+ − + =

+ − + =

4.6.50. Dacă 1 2, , na a a ∈… � , să se rezolve în � sistemul:

1 1 2 3 2

2 1 2 3 3

1 1 2 2 1

1 2 1 1

n

n

n n n n n

n n n

x a x x x x

x x a x x x

x x x x a x x

x x x x a x

− − −

−

+ + + + + =

+ + + + + = + + + + + + = + + + + + =

…

…

�

…

…

(Liviu Pîrşan, 21177*, G.M. 7-8/1987) 4.6.51. Fie ecuaţia ( )2 1x x mx x− = + . Să se determine m ∈� astfel încît ecuaţia

să aibă trei rădăcini reale. 4.6.52. Să se determine parametrul a ∈� astfel încît ecuaţia 2 1 0x x a a+ + − = să

aibă o soluţie reală unică. /Admitere, U.R.S.S, 1979) 4.6.53. Să se determine valorile parametrului real a pentru care ecuaţia

2 4 2 2 0x x x a a+ − − + − = admite două rădăcini reale şi distincte.

(Admitere, U.R.S.S, 1979)

4.6.54. Să se rezolve ecuaţia 2 5 1 2 3x mx m+ + + − − = şi să se discute natura

rădăcinilor ei după valorile parametrului real m . (Dragomir Costea, 19011, G.M. 12/1981) 4.6.55. Să se afle mulţimea valorilor lui m ∈� astfel ca:

( ) ( ){ } ( )22 21 2 1 0;x x m x m m x m m∈ + − + − + − = + ∩ ∞ = ∅�

(Constantin Cula, Georgeta Burtea, Olimpiadă locală, Teleorman, 1984) 4.6.56. Să se determine valorile parametrului real a pentru care sistemul:

( ) ( )

2 2

2

5 4 9 5 4 10 0

2 1 2 0

x x x x x x

x a x a a

− + − − + + =

− − + − =

(Admitere, U.R.S.S, 1979)

4.6.57. Să se rezolve în � ecuaţia: ( )4 2 4 2 4 2 4 2 2 21 2 2 1x x x x x nx n nx n x n− − + − − + + − − = − + −… , unde n

∗∈� .

(I.V. Maftei, 17750, G.M. 5/1979) 4.6.58. Să se rezolve ecuaţia 1 2 2x y− + − = , reprezentînd grafic mulţimea

soluţiilor sale. (Silviu Stössel) 4.6.59. Fie funcţia :f →� � cu proprietatea:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 3 3 4 2 2 3 3 4,f x x f x f x x− + − − = − + − − ∀ ∈�

Să se arate că ecuaţia ( )( )f f x x= are cel puţin o soluţie.

(Marcel Popescu, Concursul “Spiru Haret”, 1985) 4.6.3 Inecuaţii cu necunoscuta în modul. Sisteme de inecuaţii 4.6.60. Să se rezolve următoarele inecuaţii: a) 3 2 2x x x− + − − <

b) 12 3 15x x− + + >

c) 1

14

x

x

−<

−

d) 4

3 52

xx

−> +

e) 2 2

04

x x

x

− − +≥

+

f) 2 4

1 1 25

xx x x

++ + − > + (Daniel Matei, E:7427*, G.M. 11/1981)

4.6.61. Să se rezolve următoarele inecuaţii: a) 3 1 2x x− − + ≤

b) ( )( )5 3 0x x− − >

c) 5 3 3x x− > −

d) ( )( ) ( ) ( )1 2 1 2x x x x− − > − −

e) ( ) ( )

2

7 2 2 4 50

9

x x x

x

− + − −≤

−

f) ( ) ( )

2 60

8 5 10 3

x

x x x

−≥

− − −

g) 4 101

2 5

xx −−≥

4.6.62. Fie mulţimile { }2 3 6A x x x= ∈ − + − >� şi 1 1

11 2 12B x

x

= ∈ <

− � . Să

se arate că A B= .

4.6.63. Să se rezolve următoarele sisteme de inecuaţii:

a) 1

1 3 2

x

x x

≤

− + + ≤

b)

11

2

1 1 2

x

x

x x

−≤

+ − − ≤

c)

2

22

1

31 2

1 1 1

xx

x

x

x x x

−− > +

+ + ≤

− + −

d) 2 3 2 3 2

5 1 43

1 1

x x x

x x

x x

− + − < + − −

+ ≥+ +

e)

11

4

2 3

x

x

x x

−<

− − + ≤

4.6.64. Să se determine valorile parametrului real m astfel ca funcţiile definite

prin ( ) 1f x x x= + − şi ( ) 2

2 1xg x

x m

+=

+ să aibă acelaşi domeniu de definiţie.

(Fănică Murăreci, 8359, G.M.B. 7/1967) 4.6.65. Se consideră funcţia ( ): , 2 ,f f x x m x m→ = − + ∈� � � .

) Să se reprezinte grafic funcţia pentru 1m = ; ) Să se determine valorile lui x pentru care ( ) 4f x ≥ ;

) Să se arate că nu există nici o valoare reală a lui m pentru care funcţia f să fie bijectivă. (Olimpiadă locală, Arad, 1979)

4.6.66. Fie mulţimile:

2

2

3, 1,50

nM x x n

n n

+ = ∈ = =

+ � şi { }1 2 2 0B x x x x= ∈ + + − − + =�

) Să se determine numărul elementelor mulţimii M . ) Dacă A M= ∩� , să se arate că { }1A B∩ = şi să se determine numărul

elementelor mulţimii M B× ; ) Să se construiască graficul funcţiei ( ): , 1 2 2f f x x x x→ = + + − − +� � şi

să se rezolve cu ajutorul său inecuaţia ( ) 0f x < .

(F. Bîrsan, 16766, G.M. 8/1977) 4.6.67. Să se rezolve inecuaţia: ( )22 1x a x a x na nx n a− + − + + − < − +… , unde 0,a n ∗≥ ∈� .

(I.V. Maftei, 17608*, G.M. 2/1979) 4.6.68. Să se demonstreze că: ( )1 1 2 2 20 20 840,x x x x⋅ − + ⋅ − + + ⋅ − ≥ ∀ ∈… � , egalitatea avînd loc

pentru orice [ ]14;15x ∈ . (Laurenţiu Chirilă, 20485, G.M. 7/1985)

4.6.69. Să se afle regiunea din planul xOy în care se află punctele ( ),A x y ale

căror coordonate verifică inegalităţile: 1; 1; 1x y x y x y− ≤ + ≤ + ≤ .

(Olimpiadă, Praga, 1963, 6319, G.M.B. 5/1964) 4.6.70. Să se rezolve inecuaţia 2 3 5 0x y+ − ≤ , reprezentînd grafic mulţimea

soluţiilor sale în planul xOy . (Gh. Marghescu, 16562, G.M. 4/1977)

4.6.71. Să se determine mulţimea ( ){ }, 4 2 şi 0 şi 0M x y x y x y= ∈ × − + ≤ ≤ ≥� � .

Să se afle aria reprezentării plane a mulţimii M . (Ionel Atanasiu, 18849, G.M. 8/1981) 4.6.72. Să se rezolve următoarele inecuaţii:

a) 2

2

4 31

5

x x

x x

+ +>

+ −

b) 2

3 11

7 12

x

x x

−<

− +

c) 2 1

22

x

x

−≤

− (A.S.E, 1989)

d) 2

2

22

1

x x

x x

−<

+ + (Profil forestier, 1984)

e) 2

32

5 6

x

x x

−≥

− +

f) 2 1x x x− − ≤

g) 2 212 1

1x x x

x− − ≥ + +

+ (Ion Stoian, 7413, G.M.B. 2/1966)

h) 1 1

11 1

x

x x

−> −

+ −

4.6.73. Să se rezolve următoarele inecuaţii

a) 2 21 3 2 1x x x− + − + ≤

b) ( ) ( )1 1 1 1x x x x− + + − ≤

c) 2 22 3 2 1x x x− − ≤ −

(Tatiana Oţel Mîşakova, 9813, G.M.B. 8/1969)

d) ,m

x mx

< ∈� . Discuţie.

4.6.74. Să se rezolve şi să se discute inecuaţia 2 2 1 1,m x mx m− ≥ + ∈� .

4.6.75. Să se determine valorile lui m pentru care ( )2

2

13,

x mxx

x x m

− +< ∀ ∈

+ −� .

4.6.76. Fie 1 2,x x rădăcinile ecuaţiei ( )2 22 2 2 4 3 0,x m x m m m+ + + + + = ∈� . Pentru

ce valori ale lui m ∈� are loc inegalitatea 1 2 1 23 1x x x x+ + < ?

(Admitere treapta a II-a, 1981) 4.6.77. Să se rezolve sistemul de inecuaţii

2

2

4 3 2 0

25

x x x

x

− + + − >

≤ (A.S.E, 1994)

4.6.78. Să se determine valorile întregi ale lui x care verifică sistemul:

3 4

1 22

4

x x

x x

x

⋅ − >

+ ⋅ +<

−

(G.M.B, 1974)

4.6.79. Se dă funcţia ( ) 2: , 3 , 0 2, 0f f x ax x c a c→ = − + < < <� � .

) Să se determine a şi c ştiind că ( )0 4f = şi ( )1 6f = ;

) Să se construiască graficul funcţiei ( ) 2 3 4f x x x= − − .

) Să se determine [ ]1;4x ∈ − astfel încît 2 253 4

4x x− − ≥ .

) Este funcţia ( ] [ ) ( )~ ~

2: ; 1 0; , 3 4f f x x x−∞ − → ∞ = − − bijectivă ? În caz

afirmativ, să se determine inversa. (Concurs treapta a II-a, Constanţa, 1976)

4.6.80. Se consideră funcţia :f →� � , dată de:

( ) ( ) 22 1 1f x x x x= − − − −

) Să se reprezinte grafic; ) Este funcţia f inversabilă ? Să se găsească o restricţie inversabilă la

intervalul [ )1;∞ şi să se afle inversa acestei restricţii.

(Constantin Duvac, Olimpiadă locală, 1978)

4.6.81. Se dau funcţiile ( ) ( )2 2 2 2, : , 2 1, 2f g f x x x g x x x→ = − + = + −� � .

) Să se traseze, în acelaşi sistem de axe, graficele celor două funcţii; ) Folosind graficul, să se studieze semnul diferenţei :h →� � ,

( ) ( ) ( )h x g x f x= − ;

) Să se rezolve ecuaţia ( ) ( )f x g x= .

) Să se afle soluţiile inecuaţiei 2 22 2 1

11

x x x

x

+ − +>

−

(Gh. Lazea, 16898, G.M. 10/1977)

4.6.82. Se dă ecuaţia ( ) ( )22 2 1 0,x a a x a a− − − − = ∈� .

) Să se arate că ecuaţia are rădăcini reale pentru orice a ∈� şi apoi să se rezolve;

) Să se determine mulţimea valorilor lui a care verifică inegalitatea:

( )1 2 1 22 2 2 3 1x x a x x+ − − − − ≥ , unde 1x şi 2x sunt rădăcinile ecuaţiei date.

(Adrian Ghioca, Olimpiadă naţională, 1969; 9960, G.M.B. 11/1969) 4.6.83. Se dă funcţia ( ): , 1 1f f x x→ = + +� � .

) Să se afle o funcţie :g →� � de gradul al doilea, ştiind că ( ) ( )1 1f g− = − şi

graficele celor două funcţii intersectează axa Oy în acelaşi punct; ) Atunci cînd coeficientul dominant al lui g este egal cu 1, să se determine

numărul soluţiilor ecuaţiilor ( ) ( ), ,f x g xλ λ λ= = ∈� .

) Să se precizeze soluţia sistemului ( )

( )

f x

g x

λ

λ

=

=.

(George Croitoru, 19950, G.M. 12/1983)

4.6.84. Fie ( ){ }2min 4 3 1x

A a ax x x∈

= ∈ + − + ≥�

� şi

( ){ }2max 3 2 4x

B a ax x x∈

= ∈ − − + ≤�

� . Să se determine A B∪ şi A B∩ .

(Marcel Chiriţă, 19776, G.M. 7/1983) 4.6.85. Numerele ,x y ∈� verifică relaţiile 2 2 1 0x y x y+ + − = şi 2 2 0xy y x+ + = .

Să se arate că 2x y+ ≤ . (I. Olaru, Olimpiadă locală, Călăraşi, 1986)

4.6.86. Arătaţi că sistemul de ecuaţii:

1 2

3 4

1 2 3 4

,

1

x x a

x x b a b

x x x x

− =

− = ∈ + + + =

� are o soluţie pozitivă dacă şi numai dacă

1a b+ < . (Matematică, sesiune specială, 1984)

4.6.87. Fie , ,a b a b∈ >� şi mulţimea { }A x a x a b x b= ∈ − < −� . Să se arate că

în mulţimea A există un singur număr întreg dacă şi numai dacă 1b = . (L. Panaitopol, Olimpiadă locală, Bucureşti, 1981)

4.6.88. Fie ( ) 2: ,f f x ax bx→ = +� � . Se ştie că ( ) [ ]1; 2f x ∈ pentru orice

[ ]1;1x ∈ − . Să se arate că [ ]1; 4a b+ ∈ .

(Olimpiadă locală, Constanţa, 1984) 4.6.89. Fie ( ) 2: , , , , , 0f f x ax bx c a b c a→ = + + ∈ ≠� � � . Să se demonstreze că:

) Dacă ( ) ( ) [ ], 1;1f x h x≤ ∀ ∈ − , atunci 4a b c h+ + ≤ ;

) Dacă ( ) ( ) [ ]1, 1;1f x x≤ ∀ ∈ − , atunci ( ) [ ]2 2, 1;1cx bx a x+ + ≤ ∀ ∈ − ;

) Dacă ( ) ( ) ( )1 1, 0 1, 1 1f f f− ≤ ≤ ≤ , atunci ( ) ( ) [ ]5

, 1;14

f x x≤ ∀ ∈ − .

4.6.90. Să se determine numerele reale , ,a b c pentru care

( ) [ ]2 1, 1;1ax bx c x+ + ≤ ∀ ∈ − , iar expresia 2 24 3a b+ este maximă.

4.6.91. Fie 2P ax bx c= + + un trinom de gradul al doilea cu coeficienţi reali astfel

încît ( ) ( ) [ ]1, 0;1P x x≤ ∀ ∈ . Să se arate că 8b ≤ . Să se găsească un astfel de

trinom pentru care 8b = . (Concurs, S.U.A; 17790, G.M. 6/1979)

4.6.92. Să se determine valorile ,a b ∈� astfel încît valoarea maximă a funcţiei

[ ] ( ) 2: 1;1 ,f f x x ax b− → = + +� să fie minimă.

(Olimpiadă U.R.S.S, 1966, 8405, G.M.B. 8/1967)

4.6.93. Pentru orice 0ε > se notează ( )2

2

1

2 1 2

xA x

xε ε

= ∈ − ≤

+ � . Să se

determine ( )inf A ε . (D.M. Bătineţu, 19072, G.M. 1/1982)

4.7 Funcţia partea întreagă şi funcţia partea fracţionară. 4.7.1 Proprietăţi. Reprezentare grafică. 4.7.1. Să se reprezinte grafic funcţiile: a) ( ) [ ]: ,f f x x→ =� � (partea întreagă a lui x)

b) ( ) { }: ,f f x x→ =� � (partea fracţionară a lui x)

c) ( )1

: ,2

xf f x

− → = � � (Matematică, septembrie 1986)

d) [ ] ( ) [ ]: 2;2 ,f f x x x− → = +�

4.7.2. Cîte numere întregi se găsesc în intervalul [ ];a b ⊂ � ? Dar în intervalul

[ );a b ?

4.7.3. Se consideră funcţia [ ) ( ) { }: 0;1 ,f f x x→ =� .

) Să se arate că f este periodică, determinînd perioada principală;

) Este f injectivă ? Dar surjectivă ?

) Fie k ∈� fixat. Să se arate că funcţia [ ): ; 1g k k + , ( ) { }g x x= este

inversabilă şi să se determine inversa 1g − ;

) Să se reprezinte grafic funcţia [ ] [ ) ( ) { }: 0; 4 0;1 ,h h x x→ = .

(Olimpiadă locală, Călăraşi, 1984)

4.7.4. Dacă x ∈� , notăm cu ( )x întregul k pentru care 1 1

2 2k x k− ≤ < + . Să se

arate că [ ] { } ( )2x x x+ = . (Ovidiu Pop, 20034, G.M. 3/1984)

4.7.5. Să se determine 0y > astfel încît [ ]

( ),x x

xy y

= ∀ ∈

� .

(Petru Mironescu, 20032, G.M. 3/1984)

4.7.6. Să se arate că [ ] [ ] ( )1

2 ,2

x x x x

= + + ∀ ∈ � . Generalizare.

4.7.7. Să se arate că dacă a este un număr real în a cărui scriere zecimală prima cifră după virgulă nu este 3 sau 4, atunci avem egalitatea:

[ ] [ ]1

3 23

a a a

+ = − . (Sorin Noaghi, 19174, G.M. 4/1982)

4.7.8. Să se determine 0α > astfel ca [ ] [ ] ( )1

,x x x xαα

+ = − ∀ ∈

� .

(Florin Rotaru, 20337, G.M. 2/1985) 4.7.9. a) Să se determine numerele [ )1 2, , , 0;1na a a ∈… , astfel încît

[ ] [ ]1

n

i

i

x a nx=

+ =∑ , oricare ar fi x ∈� , unde , 2n n∈ ≥� .

(Petru Mironescu, 20004*, G.M. 2/1984)

b) Fie , , 2n p n∈ ≥� . Să se arate că [ ] [ ] ( )1

,p

x x x nx xn n

+ + + + + = ∀ ∈

… � ,

dacă şi numai dacă 1p n= − . (Ovidiu Pop, 20536*, G.M. 9/1985) 4.7.10. Să se scrie sub o formă mai simplă expresia

( )( )

2 21,

4 4

n nE n n

+ = − ∈

� .

(Vasile Zidaru, 18083, G.M. 1/1980)

4.7.11. Să se arate că ( )3 4 6 ,n n n n∗ + + = + ∀ ∈ � .

(Dorinel Anca, O:386, G.M. 10-11/1983)

4.7.12. Se consideră numerele reale ( ) [ ]2 4 , 4;10 ,nA n n nα α α ∗= + + ∈ ∈� . Să

se calculeze partea întreagă a acestor numere. (Liviu Pîrşan, 18657, G.M. 3/1981)

4.7.13. Să se calculeze partea întreagă a numerelor reale ( )( )3 1 2A n n n= + + şi

( )( ) ( )4 1 2 3B n n n n= + + + , unde n ∈� . (Liviu Pîrşan, 18689*, G.M. 4/1981)

4.7.14. Fie numărul n ∈� . Să se calculeze partea întreagă a numărului real

( )2

1 10n nα = + + + . (Liviu Pîrşan, 19103*, G.M. 2-3/1982)

4.7.15. Să se determine numărul elementelor mulţimii:

2

, 1, 2, ,k

X x x k nn

= ∈ = =

� … , unde n

∗∈� este un număr par fixat.

(Ioan Crişan, C:645, G.M. 11-12/1986) 4.7.16. Fie a ∈� şi funcţia [ ) ( ) { }: 0;1 ,f f n an→ =� .

) Să se arate că f este injectivă dacă şi numai dacă \a ∈� � ; ) Pentru a ∈� , să se determine numărul elementelor mulţimii:

( ){ }M f n n= ∈� (Dorin Andrica, 1984)

4.7.17. a) Dacă n∗∈� este fixat, să se arate că funcţia ( ) { }: , 2n

f f x x→ =� �

nu este injectivă.

b) Dacă , 2m m∈ ≥� este fixat, să se arate că funcţia ( ) { }: , 2nf f n m→ =� �

este injectivă. (C. Niţă, Olimpiadă judeţeană, 1980)

4.7.18. Fie 1 1 1

13 5 2 1

nAn

= + + + ++

… şi 1 1 1

,2 4 2

nB nn

∗= + + + ∈… � .

) Să se arate că ,n nA B∉ ∉� � , oricare ar fi n∗∈� ;

) Să se demonstreze că { } { } ( ), 2n nA B n≠ ∀ ≥ .

(Costel Chiteş, 20795, G.M. 6/1986)

4.7.19. Să se arate că oricare ar fi x ∈� , are loc inegalitatea [ ]2

3 2x x+ > .

Deduceţi că oricare ar fi numerele reale 1 2, ,..., nx x x are loc inegalitatea:

( )2 2 2

1 2 1 23 2n nx x x n x x x + + + + > + + + … … (16234, G.M. 12/1976)

4.7.20. Fie ,x n ∗∈� . Să se arate că 2n

x nx

+ ≥ .

(Walter Janous, O:194, G.M. 1/1981) 4.7.21. Pentru orice număr real y notăm { } { }( )min ,1y y y= − . Să se arate că

pentru orice x ∈� şi orice n∗∈� avem ( )

1min , 2 , ,

1x x nx

n≤

+… .

(Martin Bottesch, 19031, G.M. 12/1981) 4.7.22. Să se demonstreze că:

) Numerele ( ) ( )

11 2 1 1

4

x

x

xV

+− − −

= sunt întregi, oricare ar fi x∗∈� ;

) Funcţia :f ∗ →� � definită prin ( ) xf x V= este o bijecţie;

) Are loc relaţia ( ) ( ) ( )1

1 ,2

x xf x x

+ ∗ = − ∀ ∈

� ;

) Este verificată egalitatea ( ) ( ) ( ) ( ), ,f x y f x f y x y∗+ = + ∀ ∈� .

(Dorin Mărghidanu, 18771, G.M. 6/1981)

4.7.23. Fie funcţia ( ) ( )1 1

: , 12

n nf f n

+ + → = − ⋅ � � . Să se arate că f este o

bijecţie de la � la � şi să se construiască o infinitate de bijecţii de la � la � , folosind funcţia f . (George Mărgineanu, 19694, G.M. 5/1983)

4.7.24. Se dă funcţia [ ): 0;f ∞ →� , definită prin relaţia:

( ) ( )[ ]

1 2 1 1,2

x xf x x n n

n

∗ = − ⋅ − − + ∈

�

Să se demonstreze că funcţia f este periodică şi să se calculeze perioada sa. (Jenică Crînganu, 18133, G.M. 2/1980)

4.7.25. Fie , , , , 0a b c d c d∈ + ≠� . Definim funcţia ( ): ,ax b

f f xcx d

∗ ∗ + → = +

� � . Să

se arate că f este injectivă dacă şi numai dacă 0c = şi a d≥ . (Marcel Chiriţă, Mihai Piticari, Olimpiadă naţională, 1986) 4.7.26. Să se arate că oricare ar fi numărul natural 2n ≥ avem:

2 2 2 2 31 2 1 1 2n n n + + + − + + + + = … …

(Concurs, Ungaria, 1979(modificat); Olimpiadă locală, Sibiu, 2004)

4.7.27. Să se calculeze 3

1

n

k

S k=

= ∑ .

(Aurel Doboşan, 18587, G.M. 1/1981) 4.7.28. Să se calculeze sumele:

a) 1

1

1

n

k

n k

k k=

− −

+ −∑ (MvŞ 2/1979)

b)

( )1

2

1

1 1 8,

2

n n

k

kn

+

∗

=

− + +∈

∑ � (Titu Andreescu, 19113, G.M. 2-3/1982)

4.7.29. Fie , , , 2m n m n∈ ≥� şi , 1x x∈ ≥� . Să se arate că:

mn nm x x = (Liviu Pîrşan, 20029, G.M. 3/1984)

4.7.30. Să se arate că ( )( ) ( )2

1

1 2 11 11

2 2 12

i j

i j n

n n nnij

+

≤ < ≤

+ ++ − ⋅ = −

∑ .

(Mihail Bencze, 19819, G.M. 8/1983) 4.7.2 Ecuaţii şi inecuaţii 4.7.31. Să se rezolve ecuaţiile:

a) 3 2

4 3

x x+ − =

b) 5 6 15 7

8 5

x x+ − =

c) 21 32

2

xx x

− = −

(b), c) � Olimpiadă U.R.S.S, 1966, 8404, G.M.B. 8/1967) 4.7.32. Să se rezolve ecuaţiile:

a) 12 5 19 16

3 10

x x− + =

(C. Ionescu-Ţiu, 9803, G.M.B. 8/1969)

b) 2

3 2

x x+ =

c) 7 6 1

5 2

xx

− = +

(Liviu Emil Bădescu, 18452, G.M. 10/1980)

d) 3 5

2 7 210 2

xx

+ = +

(Ionel Roman, 18729, G.M. 5/1981)


a) 3 2

2 3

x x− − =

(MvŞ 2/1982; 19451*, G.M. 11/1982)

b) 2 3 4 9

23 6

x xx

+ + + + =

(Mihail Chiorean, E:8961, G.M. 9/1986)

c) 4 3 8 13 2 8

7 14 5

x x x+ + + + =

(Mihai N. Ionescu, E:8163*, G.M. 10-11/1983)

d) 2 3 4

x x xx

+ + =

(Olimpiadă locală, Arad, 2002)

e) 1 2 4

22 4 8

x x x+ + + + + =

(Gh. Ciobanu, E:6756, G.M. 1/1980)

f) { } { }2x x x− = (Olimpiadă locală, Bucureşti, 2004)

4.7.34. a) Să se rezolve ecuaţia ( ) [ ]sgnx a a x a a− + ⋅ − = , unde a ∈� , iar

sgn este funcţia semn. (Aurel Doboşan, 18202*, G.M. 4/1980)

b) Să se rezolve ecuaţia ( ) [ ]sgnx a x b x− + − = , unde ,a b ∈� .

(Marius Sorin Lazăr, 1986) 4.7.35. Să se demonstreze că, oricare ar fi numărul real 0x ≥ , avem inegalitatea

[ ] [ ]2 2x x≤ . Să se determine valorile lui 0x ≥ cu proprietatea că numerele întregi

[ ] [ ], 2x x şi [ ]2x sunt (în această ordine) consecutive.

(Olimpiadă locală, Arad, 2002)

4.7.36. Să se rezolve ecuaţia { }[ ] ( )10

x x xx

+ += , unde ( )x desemnează întregul

cel mai apropiat de x ∈� . (20985*, G.M. 1/1987)

4.7.37. Să se rezolve ecuaţia [ ] ( )25 3

5 23

xx x

−+ = , unde ( )x desemnează întregul

cel mai apropiat de x ∈� . (Silviu Stössel) 4.7.38. Să se determine cel mai mic număr natural a pentru care are loc inegalitatea { } ( )0,6 0, 6a< < .

(Walter Farkas, Eugen Şumindan, 19772, G.M. 7/1983) 4.7.39. a) Să se determine forma numerelor x ∈� care verifică ecuaţia:

[ ]{ }2

1xx

− = . (Daniel Cojocaru, E:8196*, G.M. 12/1983)

b) Să se rezolve ecuaţia { }

[ ]

xx

x= (Titu Andreescu, 1986)

4.7.40. Să se rezolve ecuaţia:

1 1 1

1 2 0,x x x n nn n n

∗ + − + + − + + + − = ∈

… �

(Valeria Voicu, 19536, G.M. 1/1983)

4.7.41. Să se rezolve ecuaţia 4 1

5 3 8

x x

x x

+ = + +

(Liviu Pîrşan, 18738, G.M. 5/1981)


1 3

x x

x

− − = +

(C.D. Miluţoiu, 19015, G.M. 12/1981) 4.7.43. Să se rezolve ecuaţiile:

a) 2 9

4 13

xx

x

+= +

+ (Gh. F. Molea, 19265*, G.M. 6/1982)

b) 2 1

2 11

xx

x

+= − +

+ (21013, G.M. 2/1987)

4.7.44. Să se rezolve ecuaţiile; a) [ ]2 2 3 2x x x − + = +

b) 2 2 13

2x x x

− + = + (MvŞ, 1966, 8233, G.M.B. 5/1967)

c) ( )2

242

3

xx

−= +

d) 3 22 1

3 13 2

x x x xx

+ − +− = −

(c,d � Eugen Onofraş, 19698, G.M. 5/1983)

e) [ ]25 2 2 0x x − + = (Concursul „Lalescu”, 1985)

4.7.45. Să se determine mulţimea { }2 2 3 1 0A x x x x = ∈ + + + − = � .

(Maria Giurgiu, 16336, G.M. 1/1977) 4.7.46. Să se rezolve în � ecuaţia [ ]6 37 2 6x x x+ = + .

(Iulian Coroian, 20506, G.M. 8/1985) 4.7.47. Să se rezolve în � ecuaţia [ ] [ ]x x x x − = − .

(Ioana Ţigău, 17480*, G.M. 11/1978) 4.7.48. Să se rezolve în � ecuaţia ( ) [ ]1 1 1x x x x− ⋅ − + + = .

(Carmen Răvaru, Olimpiadă locală, Vaslui, 2004) 4.7.49. Să se rezolve ecuaţiile: a) [ ] 1x x = (MvŞ 4/1981; 19091*, G.M. 2-3/1982)

b) [ ]3 3x x− = (C.d.p, Skliarski, Iaglom)

c) [ ]3 2

3

xx

−=

(MvŞ, 1967; 8801, G.M.B. 3/1968)

d) [ ]3 10x x= + (Ion Văduva, 20062, G.M. 4-5/1984)

4.7.50. Să se rezolve ecuaţia [ ]3 22 3 5 0x x x p + + + = , unde p ∈� .

(Ioan Pistrilă, 19614, G.M. 3/1983) 4.7.51. Să se determine mulţimile:

( ) [ ]{ }220;A x x x = ∈ ∞ = şi ( ] [ ]{ }22; 0B x x x = ∈ −∞ = .

(Costel Chiteş, C:281, G.M. 2/1983) 4.7.52. Să se arate că pentru orice număr natural 2k ≥ există un unic număr real

nenul x astfel încît să avem egalitatea { }[ ]x x

kx

= .

(Marius Burtea, Concursul G.M, 1985)

4.7.53. a) Să se determine numerele reale ( )0;1q ∈ astfel încît 21 q

mq

−= ∈� . Să

se arate că pentru toate aceste numere, 22 q

q

−∉� .

b) Să se rezolve ecuaţia { } ( )1 1x x = .

(Tiberiu Agnola, Olimpiadă locală, Sibiu, 2004)

c) Scrieţi soluţiile ecuaţiei ( )1 care au proprietatea că { }1

2x = , respectiv { }

1

3x = .

d) Să se determine valorile lui x pentru care ecuaţia ( )1 admite 50 de soluţii.


a) 3 1x x = + (17833*, G.M. 7/1979)

b) 2 1x x = + (Gh. Boja, 20645, G.M. 1/1986)

c) 2

1 , 01

xx x

x

− = − > +

(Gheorghe Giurgiu, E:7870, G.M. 1/1983)

4.7.55. a) Să se rezolve în numere naturale ecuaţia 9 7 9 8n n + = + .

b) Să se arate că egalitatea 3 38 3 8 4n n + = + este valabilă pentru orice

n ∈� . (Mihai Cipu, C:26, G.M. 4/1980)

4.7.56. Să se rezolve şi să se discute ecuaţia 2 1 2 1

,2 5

m x xm

− += ∈

� .

(D. Ene, 8836, G.M.B. 4/1968, enunţ modificat)

4.7.57. Determinaţi valorile reale ale lui x pentru care [ ]1 1

3 3

x xx

+ − + ≥

(Iosif Şandor, 3809, R.M.E.T. 1-2/1979)

4.7.58. Să se rezolve inecuaţia [ ]5 1 1

3 2

x xx

− − + ≥

.

(D. Ene, 8774, G.M.B. 3/1968) 4.7.59. Se consideră un număr natural 3n ≥ şi a ∈� . Să se rezolve inecuaţia:

[ ]x a x a

xn n

+ − + ≥

. Discuţie.

(Florentin Smarandache, O:225, G.M. 5/1981)

4.7.60. a) Să se afle 2 1

,5

kz M t t k

+ ∈ = = ∉ ∈

� � care satisface următoarele

relaţii:

( ) [ ] [ ]5 4

13

zx y

−+ = ( )

7 5 42

2 3

zx y

−− = ( )

5 73 ;

2 2z

∈ −

, unde ,x y ∈� .

b) Ţinînd cont de relaţiile ( ) ( )1 , 2 şi ( )3 , să se afle ce valori poate lua y astfel

încît z ∈� . (Roxana Vlada, 19090, G.M. 2-3/1982) 4.7.61. Să se rezolve sistemele:

a)

2 3 4 3

3 2

3 1 6 5

3 6

x y

y x

+ − =

− + =

(Diana Enescu, E:10128*, G.M. 1/1991)

b)

2 13

4

3 14

2

xx

xy

+ − =

− + =

(Ionel Atanasiu, 16634, G.M. 5/1977)

4.7.62. Să se găsească soluţiile raţionale ale sistemelor:

a) [ ] [ ]

[ ] [ ]

2 3 4 5 11

5 2 6 5 5

x y x y

x y x y

− + − =

− − + =

b) [ ] [ ]

[ ] [ ]

2 3 4 6 18

5 2 6 9 14

x y x y

x y x y

− + − = −

− − + =

(A.V. Mihai, 18467, G.M. 10/1980)

c) [ ] [ ]

[ ] [ ]

3,9

2 3 5 9,8

x y x

x y x y

+ = +

+ = − + (Mihai A. Burcea, 20449*, G.M. 6/1985)

4.7.63. Să se rezolve sistemele:

a) [ ] [ ]

[ ][ ] [ ]

x y x y z

xy x y z

+ =

+ = (Titu Andreescu, 19186*, G.M. 4/1982)

b) [ ]

[ ] [ ]

2 1

2

3

2

x y x

x y y x y

+ = − + = −

(Dan Popescu, 19576, G.M. 2/1983)

c) [ ]

[ ] [ ] 6

x x y

x y

=

+ = (Dan Popescu, 19902, G.M. 10-11/1983)

4.7.64. Să se rezolve sistemul:

[ ] { }

{ } [ ]

[ ] { }

1,1

2, 2

3,3

x y z

x y z

x y z

+ + =

+ + =

+ + =

(Titu Andreescu, 3810, R.M.E.T. 1-2/1979) 4.7.65. Să se rezolve sistemul de ecuaţii:

[ ] [ ]

[ ]

4

3

x y

xy

+ =

= (D. Ene, 8989, G.M.B. 6/1968)

4.8 Funcţia putere şi funcţia radical 4.8.1 Funcţia putere. Proprietăţi şi reprezentare grafică.

4.8.1. Să se reprezinte grafic funcţiile: a) ( ) 3: , 2f f x x→ = −� �

b) ( )3

: , 2f f x x→ = +� �

c) { } ( )( )

2

1: \ 1 ,

1f f x

x− → =

+� �

d) ( ) 3: , 1f f x x∗ −→ = +� �

4.8.2. Fie n∗∈� dat şi , ,a b c ∈� astfel încît ,n na b c b c a= − = − şi n

c a b= − . Să se arate că 0a b c= = = . (L. Panaitopol, O.G.1, G.M. 6/1985)

4.8.3. Fie ( ){ }3 3, 1M x y x y x y= ∈ × + < < +� � . Să se arate că ( ) ( )0;1 0;1M ⊂ × .

4.8.4. Fie ( ){ }2 5 5, 1M a b a b a b= ∈ + < < +� . Să se arate că ( ) ( )0;1 0;1M ⊂ × .

(D.M. Bătineţu, 17427, G.M. 10/1978) 4.8.5. Dacă ( ), 0;1a b ∈ şi ( ) ( )1 11 1n n n n

n a na nb n b− +− − = − + , unde , 2n n∈ ≥� ,

atunci b a> . (Oliver Konnerth, 19105, G.M. 2-3/1982) 4.8.6. Fie ,a b ∈� astfel încît 0ab ≥ . Să se arate că oricare ar fi n ∈� are loc

inegalitatea ( ) ( )1

1 1n n

n n n na b a b+

+ ++ ≥ + .

(Marcel Bărbulescu, 18769*, G.M. 6/1981) 4.8.7. Se dă funcţia :f E→� , dată de ( ) 4 3 24 6 4f x x x x x= + + + .

) Să se determine mulţimea E astfel încît f să fie surjectivă. ) Să se determine două submulţimi ,A B ⊂ � astfel încît A B∪ = � pentru care

restricţiile ( ) ( ): ,A Af A E f x f x→ = şi ( ) ( ): ,B Bf B E f x f x→ = sunt bijective,

unde E este mulţimea determinată la punctul a). (Th. Dăneţ, 16971*, G.M. 12/1977)

4.8.8. a) Să se arate că oricare ar fi x ∈� , avem 8 7 4 3 1 0x x x x− + − + > . (C. Ionescu-Ţiu, E:6346*, G.M. 10/1978, parţial) b) Să se arate că 8 5 2 1 0x x x x− + − + > pentru orice x ∈� . (Olimpiadă judeţeană, clasa a VIII-a, 1979) c) Să se arate că pentru orice x real, avem: 10 7 4 1 0x x x x− + − + > (Nicolae Tălău, E:9034, G.M. 11-12/1986) 4.8.9. Să se demonstreze că ( )16 1 0,x x x− + > ∀ ∈� .

4.8.10. Fie n∗∈� şi , , , 0a b c d > . Considerăm funcţia

[ ] ( )2

2: 1;1 ,

n

n

ax bf f x

cx d

+− → =

+�

Să se determine Im f . (Gh. Miculescu, C:257, G.M. 11/1982)

4.8.11. Fie a∗∈� . Să se determine n

∗∈� astfel încît numărul 3 23 3 1n

A a a a= + + + să fie un cub perfect. (Costache Ciotloş, 19009*, G.M. 12/1981)

4.8.2 Funcţia radical 4.8.2.1 Proprietăţi şi reprezentare grafică

4.8.12. Ordonaţi crescător numerele 33, 6 şi 6 30 (Matematică, 1978) 4.8.13. Să se compare următoarele perechi de numere: a) 11 5− cu 19 11−

b) 5 11+ cu 3 13+

c) 4 63 2 2− cu 0

d) 4

75 cu

253

243

e) 6 m cu 3 n , [ ), 0;m n∈ ∞

f) 3 2 3+ cu 1 2+ .

4.8.14. Arătaţi că 1983 1984 1986 1987 4 1985+ + + < . (Damian Marinescu, E:8569, G.M. 5/1985) 4.8.15. Să se compare numerele:

( ) ( ) ( ) ( )2 1 3 2 2 2 1 2 1 2a n n n n= + ⋅ − ⋅ ⋅ + − ⋅ + −… şi

( ) ( ) ( ) ( )2 1 3 2 2 2 1 2 1 2b n n n n= − ⋅ + ⋅ ⋅ − − ⋅ + +… , unde n∗∈� .

(I. Safta, E:8591, G.M. 6/1985) 4.8.16. Să se compare numerele:

3 3 2 31 12 65 48 65 4A = − + + şi 3 3 3 31 48 63 36 147 63B = − + + (D.M. Bătineţu, 20030*, G.M. 3/1984) 4.8.17. Se consideră expresia:

( ) ( )3 2 246

3 1 1 1 13 1 4 4 1

4 2 4 4 2f x x x x x x x x

= + − + + − + − − +

) Să se arate că 3 23 1 13

4 2 4x x x

+ − +

este cubul unui binom;

) Să se aducă ( )f x la forma cea mai simplă şi să se stabilească domeniul de

definiţie al funcţiei;

) Să se cerceteze dacă f este definită în punctele 1

0,2

x x= = şi 1x = − şi în

caz afirmativ să se calculeze valorile lui f în aceste puncte. Luînd

2

0

32 ,

2x a a a= + + ∈� , calculaţi ( )0f x .

(Gh. Ruse, 8453, G.M.B. 9/1967) 4.8.18. Să se arate că 3 33 35 2 3 4+ < + . Generalizare: dacă , , ,u v p q ∗∈� astfel

încît u v p q+ ≤ + şi uv pq< , atunci 3 3 3 3u v p q+ < + . (Silviu Stössel)

4.8.19. Fie n∗∈� . Să se arate că

3 3 3

1 1 2

1 3 2n n n+ >

+ + +.

(8688, G.M.B. 1/1968) 4.8.20. Să se arate că 3 7 4 5nn n n+ > + , unde , 2n n∈ ≥� . (L. Panaitopol, C:465, G.M. 1/1985) 4.8.21. Să se demonstreze că:

11 1

1 1 1

4 9 16 6 8 12

6 8 12 4 9 16

n nn n n n

n nn n n n

++ +

+ + +

+ + + +>

+ + + +, unde , 2n n∈ ≥� .

(M. Chiriţă, 17780*, G.M. 6/1979)

4.8.22. Dacă n∗∈� , să se arate că

12 1 2 2 2 1n n n n

n+ − < < − − . Să se

calculeze partea întreagă a numărului 1 1 1

12 3 1000000

S = + + +…

4.8.23. Dacă 0 1y x< < < , să se arate că 2

2

1 1

1 1

x x x

y y y

+ − −<

+ − −

(C. Ionescu-Ţiu, Olimpiadă judeţeană, 1969; 9763, G.M.B. 8/1969) 4.8.24. a) Fie ( )0;1x ∈ . Să se arate că 1 1 2n nx x+ + − < , unde , 2n n∈ ≥� .

Aplicaţii: i) 1 1

1 1 2n n

e e+ + − < , unde 2,718...e = este baza logaritmilor naturali.

(Ionel Atanasiu, 18181, G.M. 3/1980)

ii) 1 1 2n n

n nn n

n n+ + − < (Ionel Atanasiu, 19235*, G.M. 5/1982)

b) Fie , 2n n∈ ≥� şi 1a ≥ . Să se deducă inegalităţile:

1 1 2n n na a a+ + − < şi 2n nn n na a a a a+ + − < (Vasile Berghea, 16542, G.M. 3/1977)

4.8.25. Să se determine perechile ( ) 2,x y ∈� astfel încît:

2 2 112 , 0

0, 0

n n nna a

x a y aa

++≥

+ + + = <

(S. Brener, Olimpiadă, 1976)

4.8.26. Să se reprezinte grafic funcţiile [ ) [ ) ( ): 1; 3; , 3 1f f x x∞ → ∞ = + − şi

:g →� � , unde ( ) 2 6 10g x x x= − + . (Sorin Donea, 16544, G.M. 3/1977)

4.8.27. Să se arate că funcţia [ ): ;f n ∞ →� , definită prin:

( ) 1 1 1 2f x x n x n x x x n n x= − + − + + + − + + + + −… … , n∗∈�

este monotonă. (Maria Elena Panaitopol, 16972, G.M. 12/1977)

4.8.28. Fie funcţia [ ] ( ): ; ,f a b f x x a b x→ = − + −� . Să se arate că f este

crescătoare pe intervalul ;2

a ba

+

, descrescătoare pe ;2

a bb

+

şi să se

găsească extremele funcţiei. 4.8.29. a) Să se determine codomeniul funcţiei

( )1

: ; , 1 2 12

f f x x x

∞ → = − − − �

(M. Dabija, Olimpiadă naţională, 1965, enunţ modificat) b) Fie funcţia ( ): ,f D f x ax b c dx e→ = + + +� , unde , , , ,a b c d e∈� şi 0ad ≠ .

Să se determine domeniul maxim de definiţie D şi mulţimea valorilor funcţiei. (Corneliu Rusu, 16778, G.M. 8/1977) 4.8.30. Se consideră ecuaţia 2 0, , , , 0ax bx c a b c a+ + = ∈ ≠� , avînd rădăcinile

reale. Ştiind că ( )( ) 2 22 2b c b c a a c− + + = − , să se găsească valorile minime şi

maxime ale rădăcinilor ecuaţiei. (Ioan Crişan, 20176, G.M. 8/1984) 4.8.31. Se consideră mulţimea de numere reale:

( ) [ )2 1 1 1, 1;M x x x xα α

= ∈ = + − + − + ∈ − ∞

� .

) Să se arate că mulţimea M M′ ⊂ definită astfel:

( ) [ )2 1 1 1, 0;M x x x xα α

′ = ∈ = + − + − + ∈ ∞

� are un singur element.

) Să se determine mulţimea \M M ′ . (N. Onuţă, Olimpiadă, 1971)

4.8.32. Fie ( ) 5 4 1 10 6 1f x x x x x= + − + + + − + . Să se reprezinte grafic

funcţia f pe domeniul maxim de definiţie, fără a folosi derivate.

4.8.33. Se consideră funcţia [ ] [ ] ( )[ ]

( ]

1 1 , 0;1

: 0;3 0;2 , 1, 1;3

2

x x

f f x xx

− − ∈

→ = +∈

. Să se

arate că f este bijectivă şi să se determine inversa 1f − . Cu ajutorul graficului inversei, trasaţi graficul funcţiei f . (V. Băghină, 17479, G.M. 11/1978)

4.8.34. Să se determine inversa funcţiei [ ) [ ) ( ): 1; 1; ,1 1

xf f x

x− ∞ → − ∞ =

+ + şi

să se reprezinte grafic cele două funcţii în acelaşi sistem de coordonate. Aceeaşi cerinţă pentru funcţia ( ] [ ) ( ): ;5 0; , 5g g x x−∞ → ∞ = − .

(C. Ionescu-Ţiu, 16945*, G.M. 11/1977)

4.8.35. Să se scrie restricţiile inversabile ale funcţiei 1

: ;2

f F

∞ → ,

( ) 1 2 1f x x x= − − − . Să se determine inversele acestor restricţii.

(Mircea Dabija, 8550, G.M.B. 10/1967, reformulat)

4.8.36. Fie funcţia ( ] [ ): ;0 3;f −∞ → ∞ definită prin ( ) 22 1f x x= + + . Să se

demonstreze că f este inversabilă şi să determine funcţia inversă.

4.8.37. Să se demonstreze că expresia ( )2

2

1 1

1 1

x xf x

x x

+ + −=

+ + + poate defini o

funcţie de la � la � . Să se arate că funcţia definită este impară. (MvŞ) 4.8.38. Să se determine cea mai mică valoare a parametrului real m astfel încît

relaţia ( ) ( ) ( )2 2 22 1 1f x x m m x m m= − − + + să definească o funcţie pe � , a cărei

restricţie � [ ] � ( ) ( ) ( ) [ ]: 6;6 , , 6;6f F f x f x x− → = ∀ ∈ − să fie bijectivă. Să se

determine mulţimea F . (Sorin Cocoradă, 16938*, G.M. 11/1977)

4.8.39. Se consideră funcţiile ( )1

: ; 0;12

f

∞ →

şi ( )1

: ; 1;22

g

∞ →

astfel încît

( ) ( ) ( ) ( ) 1g x f x xf x g x− = = .

) Să se demonstreze că funcţiile f şi g sunt inversabile şi că

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 , 0;1f t g t t− −= + ∀ ∈ ;

) Să se arate că oricare ar fi n∗∈� , ( )f n este un număr iraţional aparţinînd

intervalului 1 1

;1n n

+ .

(Dumitru Petre, 20282, G.M. 12/1984) 4.8.40. a) Determinaţi funcţiile :f →� � care verifică relaţia:

( ) ( ) ( ) ( ] [ )2 2 21 2 1 3 1, ; 1 1;f x x f x x x x x+ − + − − = − − ∀ ∈ −∞ − ∪ ∞

b) Există funcţii :f →� � astfel încît:

( ) ( ) ( ) ( ] [ )2 21 1 2 , ; 1 1;f x x f x x x x+ − + − − = ∀ ∈ −∞ − ∪ ∞

(Ion Cheşcă, Olimpiadă locală, Călăraşi, 1984) 4.8.41. Să se determine numărul 0a ≥ şi funcţiile :f →� � astfel încît

( ) ( ) ( )30 3 1,f x f x a x< ≤ − − ∀ ∈� .

(Ion Cheşcă, Olimpiadă locală, Călăraşi, 1985)

4.8.42. Fie funcţia ( )2

2

2: ,

1

xf f x

x

+→ =

+� � . Determinaţi Im f .

(Olimpiadă naţională, 1976) 4.8.43. Dacă 1x ≤ şi 1y ≤ , determinaţi mulţimea valorilor expresiei:

( ) ( )( )2 2, 1 1f x y xy x y= + − − (Walter Janous, 19010, G.M. 12/1981)

4.8.44. Să se determine toate valorile posibile ale funcţiei:

( ) 2 2: , 1 1f f a a a a a→ = + + − − +� � .

(Sorin Rădulescu, Olimpiadă naţională, 1978)

4.8.2.2 Ecuaţii iraţionale. Sisteme de ecuaţii 4.8.2.2.1 Ecuaţii cu radicali de ordinul 2 4.8.45. Să se rezolve în � ecuaţiile: a) 1 6 5x x+ + + =

b) ( )2

9 4 5 1x x x+ + + = +

c) 5 10 3x x− + − = (E:7938*, G.M. 3/1983)

d) 21 2 1x x− + − =

e) 4 21 1x x x− − = − (3228, R.M.E.T, 1977)

f) 2 2 24 4 2 1 6 9x x x x x x− + − − + = − + 4.8.46. Să se rezolve în � ecuaţiile:

a) 6 1

2 16 1

x xx

x x

+ + += −

+ − + (Concurs treapta a II-a, Satu Mare, 1976)

b) , , 0a x a x

b a ba x a x

+ + −= >

+ − − (3229, R.M.E.T, 1977)

c) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ), 0

x a x b a x x b ab a

bx a x b a x x b

+ + + − −= < ≤

+ + − − −.

(7944, G.M.B. 1/1967)

d) 2 7 19

2,57 19 2

x x

x x

+ ++ =

+ + (Ion Zaharia, 3805, R.M.E.T 1-2/1979)

4.8.47. Să se rezolve ecuaţiile: a) 9 24x x x− + − =

b) 26 26 10x x+ + − =

c) 1 15 2 6x x x− − + = +

d) 2 9 4 1x x x+ − − = +

e) 8 1 5 10 4x x x+ + − = +

f) 2 3 5 1 12 13x x x+ + + = +

g) 2 27 12 8 16 4x x x x x− + + − + = − (Damian Marinescu, 20567*, G.M. 10/1985)


a) 41 2 1 1x x x+ − − = −

b) 3 3 2 2x x x x+ + − =

c) 3

2

xx x x x

x x+ − − =

+

d) 3

2

xx x x x

x x+ − − =

− (6788, G.M.B. 3/1965)


a) 23 17 7 50 79x x x− = − +

b) ( )( )3 19 9x x x+ + = +

c) 2

1 1 4

3 2 2 3 4 4x x x x+ =

− + + −

d) 12 8

2 4 8 46 20

xx x

x

−+ − − =

+

e) 2 27 28 26 5 5 10 5 20x x x x x+ + − + + = +

f) 2

2 2

2 2

52 2

aa x x

a x− + =

+

4.8.50. Să se rezolve în � ecuaţiile:

a) ( ) 2 25 12 2 5 24 29 0x x x x x− + − + =

b) ( )2 22 4 4 2 1 0x x x x x− + + − = .

Sunt cele două ecuaţii echivalente în � ? (C. Ionescu-Ţiu, 18449, G.M. 10/1980) 4.8.51. Să se rezolve ecuaţiile:

a) 2

2

11 1 0x x

x− + − = (C. Ionescu-Ţiu, Olimpiadă regională, 1960)

b) 2 2

2 2

6 66 x x

x x− = − −

c) 1

13

x x− − =

d) 2 2 2 51 2 1 1

3x x x x− − + − + = (I. Buzatu, 16633, G.M. 5/1977)

e) 1 1 3

1 11 1 2

x x

x x

+ ++ ± − =

− − (C. Ionescu-Ţiu, 7422, G.M.B. 2/1966)


a) 2 26 6 20x x x x+ + + = (Matematică, sesiune specială, 1988)

b) 2 2 2 8 12 2x x x x+ + − = −

c) 2 21 1 2 18x x x− + = + + (U.P.B, 1988)

d) ( ) ( )1 1 2x x x x+ − − =


a) 31 1 x x+ + =

b) 1 1 1 13 2 1x x x x+ = + + + − + + (C. Gîdea, 16405*, G.M. 2/1977)

c) 2

1 1 6

3 8 81 1 x xx x x x+ =

+ −+ − − − (9345, G.M.B. 1/1969)

4.8.2.2.2 Ecuaţii cu radicali de ordin 3n ≥ . 4.8.54. Să se rezolve în � ecuaţiile:

a) 33 3 2 12x x x x+ + + − =

b) 3 3 35 6 2 11x x x+ + + = +

c) 3 3 34 4 2x x x+ + − = (Ion Ionescu, G.M, 1896)

d) 3 31 2 1x x+ + − = 4.8.55. Să se rezolve în � ecuaţiile: a) 3 3 3 32 7 3 3 8 4 2x x x x− + − = − + −

b) 3 3 3 32 7 5 8 12 6 3x x x x+ + + = + + + (Liviu Pîrşan, 18250, G.M. 5/1980)

c) 3 3 32 2 22 1 2 1 10x x x+ + − = (Ladislau Kadar, 16719, G.M. 7/1977) d) 3 33 9 9 3x x+ − − = (8016, G.M.B. 2/1967) 4.8.56. Să se rezolve în � ecuaţiile:

a) 3 3 32 2 24 4 4 4 4 4 4x x x x x+ + + − + = −

b) ( ) ( )2 2 3 23 31 1 1x x x+ − − = −

c) 3 320 15 5x x+ + − =


3 3 3 31 1 1 1

01 1 1 1

x x x x

x x x x

+ − + − + + + =

− + − +

(Gh. Marghescu, 16529, G.M. 3/1977) 4.8.58. Să se rezolve în � ecuaţiile: a) 4 42 3 1x x− + − =

b) 4 420 77 5x x− + + =

c) 4 497 5x x− + =

d) 4 97 9 8x x− + + = (Matematică, 1985)

e) 4 441 41 4x x− + + =

4.8.59. Să se rezolve ecuaţia ( ) ( )5 5

5 5

5 6 6 51

5 6

x x x x

x x

− − − − −=

− − −.

(V. Groza, 16771, G.M. 8/1977) 4.8.60. Să se rezolve ecuaţiile:

a) 3

, , , 2n n n n

n n

a x x b a x x ba b n

a x x b

− + − − − −= ∈ ≥

− −� .

b) 2 2 2 2

2 2 2 2, , 0, , 2

n n

n n

a x a x aa b n n

ba x a x

+ + −= > ∈ ≥

+ − −� .

(8665, G.M.B. 1/1968)

4.8.61. Dacă { }\ 1n∗∈� , să se afle x ∈�pentru care

1 1n n

n n

x xx x

x x+ =

− −

(Aurel Doboşan, 17610, G.M. 2/1979) 4.8.62. Să se rezolve ecuaţiile:

a) 2 3 21 1 2 1k kx x− + − =

b) ( ) ( )2 22 4 4 21 1 ,k kx x x x x x k ∗− − = − − ∈�

(V. Drăghici, 17323, G.M. 8/1978) 4.8.2.2.3 Ecuaţii iraţionale cu parametri În exerciţiile următoare, se cere să se rezolve şi să se discute ecuaţiile date, în funcţie de parametrii reali care apar: 4.8.63. a) 1 ,x ax a− = ∈�

b) 2,x a x a− = + ∈�

4.8.64. a) 2 1x x a+ = −

b) 24 9 2x x m− = −

4.8.65. 22 2 ,x m x m m+ = + ∈� . (Matematică, 1977)

4.8.66. a) 2

2a

a x a xa x

+ − = ++

(Olimpiadă, R.D.G, 1967)

b) 2

2a

a x a xa x

+ + = ++

4.8.67. 1 1 1 1

,1 1 1 1

x xa a

x x

+ − − ++ = ∈

− + + −�

4.8.68. 22 0, ,x a x b a b a b− − + − = ∈� (3806, R.M.E.T 1-2/1979)

4.8.69. 4 , , ,x a x b x c a b c+ + + = + ∈� (Concurs treapta a II-a, 1987)

4.8.70. 1 1 ,ax x ax a+ = + − ∈� (Concurs treapta a II-a, 1983)

4.8.71. ,x

x x x x a ax x

+ − − = ∈+

�

4.8.72. ,x a x a a+ + = ∈�

4.8.73. 2 21 1x x x x a+ + + − + =

4.8.74. 2 21 1 ,mx x mx x x m− + + + + = ∈�

(9924, G.M.B. 10/1969; Olimpiadă, 1973)

4.8.75. 2 2 22 4 3 4 6 3 2 2 9x x b x x x x x+ − + − − = + + − + . (Al. Levin, 6298, G.M.B. 4/1964)

4.8.76. a) 2 2 2 22 2 1, 0x ax a x ax a a+ − − − − = ≥ (Propusă de Cehoslovacia la O.I.M. 1965, 7548, G.M.B. 5/1966)

b) 2 2 2 22 2 , 0x ax a x ax a a a+ − − − − = ≥ (Cătălin Barbu, 20424, G.M. 5/1985)

4.8.77. ( )3 23 3 1 1,x x m x x m+ + + + = + ∈� (8272, G.M.B. 6/1967)

4.8.78. Să se rezolve şi să se discute ecuaţia 3 3 3 , ,a x a x b a b+ + − = ∈� .

4.8.79. Să se rezolve şi să se discute ecuaţia 4 44 4 2 ,a x a x a a+ + − = ∈� . (3807, R.M.E.T 1-2/1979) 4.8.80. Să se determine numerele reale , ,a b c astfel încît ecuaţia:

x a x b x c+ + + = să aibă o infinitate de soluţii.

4.8.81. Fie ecuaţia ( ) ( )( )22 2

x a b x ab a b x ab x− + + = − + − − . Cum trebuie aleşi

parametrii reali 0 a b≤ < astfel încît ecuaţia să admită rădăcini reale ? (A.S.E, 1987)

4.8.82. Se dă ecuaţia 2 2 5 ,x x m x m− = − ∈� . Să se determine m aşa încît

ecuaţia să aibă trei rădăcini reale distincte. (Matematică, sesiune specială, 1985)

4.8.83. Să se determine numerele reale ,a b astfel încît ecuaţia:

( ) ( )2 2 3 2 2 2 33 3ax b ax b a x b b+ + − + − = să aibă soluţie unică.

4.8.84. Să se rezolve şi să se discute ecuaţia 3 1,

mxx m

x m

+= ∈

+� .

(Liviu Pîrşan, 24301, G.M. 4/2000) 4.8.2.2.4 Ecuaţii cu radicali compuşi 4.8.85. Să se rezolve în � ecuaţiile:

a) 14 8 2 23 10 2 3x x x x+ − − + + − − = (Vasile Tomiţă, 20729*, G.M. 4/1986)

b) 6 9 6 9 6x x x x− − + + − =

c) 4 4 4 4 2x x x x− − − + − = − (Doina Dânciu, 19289*, G.M. 7/1982)

d) 10 25 10 25 10x x x x+ − + − − = 4.8.86. Să se rezolve în � ecuaţiile:

2 22 2x ax a x ax a b− − ± + − = , unde ,a b ∈� . (George-Eugen Müller, 19532, G.M. 1/1983)

4.8.87. Fie ( )1 2 1 2 1f x x x x x= + − + − − ,

( )2

12 4 1 2 4 1,

2f x x x x x x= + − + − − ≥ .

) Simplificaţi fracţia ( )( )

1

2

f x

f x.

) Rezolvaţi ecuaţia ( ) ( )1 2 2 2f x f x+ = .

) Rezolvaţi ecuaţiile ( )1f x a= , unde { }1, 2, 2a ∈ (3759, G.M.F.B. 8/1959)


2, 04 4

x a x a x a x aa

a a a a

+ − + −+ + − = > .

(Propusă de România pentru O.I.M. 1966; 7782, G.M.B. 10/1966)

4.8.89. Să se rezolve în � inecuaţia 3 7

3 2 06

xx

+− − ≥ şi apoi ecuaţia

3 7 3 73 2 3 2 6

6 6

x xx x

+ ++ − + − − =

4.8.90. Să se rezolve ecuaţia în m :

( ) ( )4 2 3 2 2 3 4 2 3 2 2 3 18m m m m+ + − − + + − − + =

(Gabriel Apetrei, E:9459, G.M. 5-6/1988) 4.8.91. Să se rezolve ecuaţiile:

a) 2 2 2 22 1 2 1 2x x x x+ − ± − − =

b) 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1x x x x x+ − ± − − = − (C. Ionescu-Ţiu, 7070, G.M.B. 8/1965) 4.8.92. Să se afle valorile reale ale lui x pentru care avem:

2 2 2 21 1 1 2 1 1 1 1 2 1

3 1 3 1

4 2 4 2

x x x x

x x x x

− − + − − + − − − − − =

+ + + += + + −

(Propusă de România pentru O.I.M. 1966; 7783, G.M.B. 10/1966) 4.8.93. Să se rezolve şi să se discute în � ecuaţiile:

a) 2 1 2 1 2,x x m x x m+ − + − − = ∈�

b) 1 1

2 2 3 2 2 3 2 2,2 2

x x m x x m+ + − + + − − = ∈�

4.8.94. Să se rezolve ecuaţia 3 32 227 27 2x x x x− + + + + = .

4.8.95. Să se determine a ∈� astfel încît 3 320 2 20 2 4a a+ + − = (Concurs treapta a II-a, 1982)

4.8.96. Se dă ecuaţia 2 2 2 23 3x x y x x y m+ + + − + = , cu m∈� . Să se

determine mulţimea perechilor ( ),x y ∈ ×� � care verifică ecuaţia dată.

(N. Păun, 7711, G.M.B. 8/1966) 4.8.97. Să se rezolve ecuaţia:

4 42 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 ,x a a x a x a a x a x x a a+ + + + + − + = + + ∈� . (Ioan Crişan, 20618*, G.M. 12/1985)

4.8.98. Pentru ce , 2n n∈ ≥� are loc egalitatea 17 5 38 17 5 38 20n n+ + − = ? (MvŞ) 4.8.2.2.5 Exerciţii diverse 4.8.99. Să se rezolve în � ecuaţiile: a) 2 3 2 6x x− + − =

b) 3 32 1 1 1x x− + − =

c) 3 2 6 10 1x x− + + = (D. Săvulescu, 20925*, G.M. 11-12/1986)

d) 1 2 4 10 24 40 60x x x+ + + + + = + + +

e) 4 2 5 11 10x x+ + + =

f) 2

2 2

2 1 3 2 4 3 5 42 6 5

1 3

x x x xx x

x x x

− − − + − − −+ − + =

+ − − +

(D. Acu, 19697, G.M. 5/1983)

4.8.100. Să se rezolve în � ecuaţia: ( ) ( )1 , 0a bx b ax x a b a b+ + + = − + >

(Dan Seclăman, 16687, G.M. 6/1977) 4.8.101. Se consideră numerele reale strict pozitive , ,a b c . Să se rezolve ecuaţia

a bx b cx c ax b ax c bx a cx+ + + + + = − + − + − (Laurenţiu Panaitopol, Olimpiadă, 1974)

4.8.102. Dacă , ,a b c sunt laturile unui triunghi oarecare, să se rezolve ecuaţia:

( ) ( ) ( ) ( )2x a x a x b x b x c x c a b c− − + − − + − − = + +

(I.V. Maftei, 9210, G.M.B. 10/1968) 4.8.103. Să se determine mulţimea

{ }1 kM x x k k x+= ∈ + = +� , unde , 2k k∈ ≥� .

(V. Ţifui, 16678, G.M. 6/1977)

4.8.104. Să se rezolve ecuaţia ( )

3

3 2 2 32 3x a

x a x a x ax a

−− + = − ≠

+. Discuţie.

(Al. Lalescu, 8025, G.M.B. 2/1967) 4.8.105. Să se rezolve în � ecuaţia:

2

3 3

2

21 1

1

xx x

x

+− + + =

+

(Cristian Miu, O. Văduvescu, 20253*, G.M. 11/1984)

4.8.106. Rezolvaţi ecuaţia ( )23 5

3

44 1 ,x x x x

x x+ + = − − ∈

+� .

(Rev. Arhimede 7-8/2001) 4.8.107. Dacă , ,a b a b∈ ≤� , să se rezolve ecuaţia

( ) ( )2

2 2x a b x b a x a b− + − = − + − − (G.M. 8/1989)

4.8.108. Să se determine mulţimea:

( ){ },M x y x x y y y x= ∈ × + − = + −� �

(Ionel Tudor, 20819*, G.M. 7/1986) 4.8.109. a) Să se rezolve în numere reale ecuaţia:

( )1

1 22

x y z x y z+ − + − = + + .

(Titu Andreescu, 16679, G.M. 6/1977; Olimpiadă naţională, 1978) b) Generalizare. Rezolvaţi în n� ecuaţia:

( ) ( )( )

1 2 3 1 2

311 2 1 ,

2 4n n

n nx x x x n x x x n

∗−

+ − + − + + − − = + + + − ∈… … �

(Ilie Diaconu, 17043, G.M. 2/1978) 4.8.110. Să se rezolve în n� ecuaţia

( )2

1 2 1 2

11 2 4 ,

2n nx x n x n x x x n

∗− + − + + − = + + + ∈… … �

4.8.111. Să se determine numerele reale ,x y pentru care:

3 2 8 6 14x y x y+ + − + − = . (Maria Elena Panaitopol, 20455*, G.M. 6/1985)

4.8.112. Să se rezolve în numere reale ecuaţia: 2 2 26 4 1 4 9 4x y z y z x y− − + − + = + +

(Laura Miron, 20789, G.M. 6/1986) 4.8.113. Să se determine numerele pozitive x şi y cu proprietatea 1x y+ = şi

2 2x y+ + + ∈� . (L. Panaitopol, C:641, G.M. 11-12/1986) 4.8.114. Fie 0a > şi b numere reale date. Să se determine toate numerele reale x cu proprietăţile 2 1 0ax bx+ + = şi a x a x b− + + = . (Ion Badea, 1984) 4.8.115. Pentru ce valori ale lui x are loc egalitatea:

( )3 3 12 1 11 4 2 7 2

x xx x x x−+ − − = + ?

(Mihai N. Ionescu, 17173, G.M. 5/1978) 4.8.116. Să se rezolve ecuaţiile:

a) ( ) 53 1 8 3 2x xx x x x− − − = (Profil electric, 1983)

b) 236 3 1 1 0x xx x− −− + + =

4.8.117. Să se precizeze domeniul de definiţie pentru expresia ( )1

5 25

x

f x x+

= − şi

apoi să se rezolve ecuaţia ( ) 19 5xf x x−= − (Gh. Pleş, 20843*, G.M. 8/1986)

4.8.118. Fie a un număr prim dat. Să se rezolve în ×� � ecuaţia:

5a x ay a+ = (Liviu Pîrşan, C:458, G.M. 12/1984)

4.8.119. Să se rezolve în [ )0; ∞ ecuaţiile:

a) 5

52

xx

=

b) 5

510

xx

=

(Liviu Pîrşan, C:586, G.M. 4/1986)

4.8.120. Fie ( ) ( ) ( )21 2 1 1P x m x m x m= − + + + + , unde { }\ 1m ∈� .

) Să se determine m astfel încît ( )P x să admită rădăcini egale;

) Dacă 1 2,x x sunt rădăcinile ecuaţiei ( ) 0P x = , să se rezolve în raport cu m

inecuaţia 1 2

1 2

1x x

x x

+≤ − ;

) Să se rezolve în raport cu m ecuaţia 3 31 2 2x x+ = − .

(Chimie, subingineri, Craiova, 1976) 4.8.2.2.6 Sisteme de ecuaţii 4.8.121. Să se rezolve în � sistemele:

a) 2 2

1

1

x y x y

x y x y

+ − − = − + + =

b)

( )

2 2 2 2

2 2 2 2

2

17

4

4 52

x x y x x y

x x y x x y

x x y x xy x

+ − − −+ =

− − + −

+ + + + =

c) 2 2 5

20 23

x y x y

x y

+ + + + =

+ =

d) 2 2

14

84

x y xy

x y xy

+ + =

+ + =

e) 2

2

72

9

x x xy

y xy y

− =

− = (Matematică, Cluj, 1962)

f) 2 2

2 12

2 1

1 4 2

y x

y x

x y

+ +=

− −

− ⋅ − =

(D.I. Manolache, 5600, G.M.F.B. 1/1963)

4.8.122. Să se rezolve în � sistemele:

a) 3 6

3 17

x y x y

x x y

+ + − =

+ − = (Matematică, 1987)

b) 40 1

40 1

x y y

y x x

= + + −

= + + −

c) 1 1

2 2 2

x y

x y y

+ − =

− + = − (Admitere, U.R.S.S, 1979)

d) 13 13

8 8

1

1

x y

x y

+ =

+ =

e) 2 2 33 3

7

7

x y

x xy y xy

− =

− + − = (8667, G.M.B. 1/1968)

f) ( ) ( )

3

3 26

6

8

x y x y

x y x y

+ + − =

+ − =

(Matematică-Fizică, 1986)

g) 2 2 2

2 2

1 3 2 4 1 0

1 6 5 1 3 0

x x x y x y

x x x y

− + − + + − + + − =

− − − + + − − =

(Dumitru Acu, 16720, G.M. 7/1977) 4.8.123. Să se rezolve în � sistemul:

2

2

2 2 1 1 0

2 2 1 1 0

x y

y x

− − + =

− − + =

Generalizare. (Mihaela Nistorescu, 19618, G.M. 3/1983)

4.8.124. Să se determine mulţimea ( ){ },M x y x x y y y x= ∈ × + − = + −� �

(Ionel Tudor, 20819*, G.M. 7/1986) 4.8.125. Să se rezolve în � sistemul:

2 2 2

1

x y z x y z

xyz

+ + = + +

=

4.8.126. Să se afle soluţiile reale ale sistemului:

2 2 4 2 2

x y z

x y x y z

+ =

+ + + =

(G.G. Niculescu, 18118*, G.M. 2/1980)

4.8.127. Să se rezolve în � sistemul:

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

33 3

2

2

4 1

2 4 9 3

7

9

2

z xx y y z

x y y z z x

y zx

y z x

xy z

z x y

−− −+ + =

+ + +

+=

+ + =

+

(Nüsfet Şaganai, 20068*, G.M. 4-5/1984) 4.8.128. Să se rezolve în � sistemul:

( )

( )

( )

4

4

4

,

n

n

n

x y z

y z x n

z x y

= +

= + ∈

= +

� . (Liviu Pîrşan, 20897, G.M. 10/1986)

4.8.129. Să se rezolve în numere pozitive sistemul:

n

n

n

x y a

y z b

z x c

=

=

=

unde ( ), , 0;a b c ∈ ∞ şi , 2n n∈ ≥� .

(I. Zenembisi, 6390, G.M.B. 6/1964) 4.8.130. a) Să se rezolve sistemul:

yz zx xy

x y za b c

= = = + + , unde ( ), , 0;a b c ∈ ∞ .

(I. Zenembisi, 6280, G.M.B. 4/1964) b) Generalizare. Fiind date numerele ( )1 2, , , 0;na a a ∈ ∞… , rezolvaţi sistemul:

2 3 1 3 1 2 11 2

1 2

n n nn

n

x x x x x x x x xx x x

a a a

−= = = = + + +… … …

… … .

(Liviu Pîrşan, 6618, G.M.B. 11/1964) 4.8.131. Să se rezolve sistemul:

x y z y z t z t x t x y

xyztd a b c

+ + + + + + + += = = = , unde ( ), , , 0;a b c d ∈ ∞ .

(Şt. Rusu, 5593, G.M.F.B. 1/1963) 4.8.2.3 Inecuaţii iraţionale

4.8.132. Să se arate că 1 1 1

2 2 ;2

xxx

∗

∈ ± − ≤ = ∞ �

(I. Safta, E:8194*, G.M. 12/1983) 4.8.133. Să se determine numerele naturale n cu proprietatea că 0 29 1n< − < (Liviu Pîrşan, E:8693*, G.M. 9/1985)

4.8.134. Să se rezolve inecuaţiile: a) 2 1 8 3x x+ − + >

b) 5 9 1x x− − − ≥

c) 1 4 1x x x+ − < −

d) 3 4 9 4x x x+ + > +

e) 2 4x x− ≤ −

f) 1 2 5 2 5 2 2x x x+ + + + + > + + 4.8.135. Să se rezolve inecuaţiile:

a) 2 1

11 2 3

x

x

+<

− −

b) 1

3 12

x x− − + > (O.I.M, 1962)

4.8.136. Să se rezolve inecuaţiile:

a) 2 3 2 2x x x− + > −

b) 2 1 2 3x x x+ + < −

c) 25 1x x− > −

d) 2 2 1x x x+ > − (Concurs treapta a II-a, 1987)

e) 2 5 6 3x x x− + ≥ − (U.P.B, profil chimie, 1982) 4.8.137. Să se rezolve inecuaţiile:

a) 2 2

1 2

1 4

x x

x x

+ +>

+ +

b) 224 2

1x x

x

− −< (Concurs treapta a II-a, 1988, profil industrial)

c) ( )

2 4 54 7

2 2

x xx

x

− +− <

− (Petre Simion, 22300, G.M. 3/1991)

d) 3 24 12 4 1x x x x+ + > +

e) ( )

211 1

2 12 4 8

xxx x

++− + < − +

4.8.138. Să se rezolve inecuaţiile:

a) 1 1

1 1

x x

x x

+ −>

− + (H.P. Ionescu, 7117, G.M.B. 8/1965)

b) 242 2 2 3 4x x x− + + ≤ −

c) 3 1 2 1x x− + + ≥ − .

4.8.139. Să se compare expresiile ( ) 10 10f x x= + − şi ( ) 1 1g x x= + − .

(I. Ionescu, G.M, 1900) 4.8.140. Dacă 0a > şi [ ];x a a∈ − , să se arate că:

2 2a a x a x a≤ − + + ≤ . (C. Ionescu-Ţiu, E:7880, G.M. 1/1983)

4.8.141. Dacă 1

04

x≤ ≤ , atunci avem 1 2

1 12 31

x x

x+ ≤ ≤ +

−

(Cdp Weston şi Godwin; 17917, G.M. 9/1979)

4.8.142. Să se demonstreze că ( )2 2

2

1 5,

1 2

x x xx

x

− + + +< ∀ ∈

+� .

(Sterian Profire, 19380, G.M. 9-10/1982) 4.8.143. Să se rezolve inecuaţiile:

a) 4 24 1 1x x x+ + > +

b) 3 3 31 1 2x x x+ + − ≤ Să se rezolve şi să se discute următoarele inecuaţii: 4.8.144. , 0,x a x a m x a m− + + < ≥ ∈� .

4.8.145. 2 2 , ,x x a b a b+ + > ∈� .

4.8.146. ,x a x a a+ < − ∈� .

4.8.147. Să se rezolve şi să se discute inecuaţia 2x

a x a xa

+ ≤ + − , unde

a este un număr real pozitiv. (Rodica Marinescu, 21038*, G.M. 3/1987) 4.8.148. Pentru ce valori negative ale parametrului real m , inecuaţiile:

2 3mx m x< − şi 6x

xm m

− > admit soluţii comune ?

4.8.149. Să se determine a ∈� astfel încît 3 23 1a a a a< + < + (Liviu Pîrşan, 19169, G.M. 4/1982)

4.8.150. Fie ( ) ( ); 3 0;m∈ −∞ − ∪ ∞ . Să se compare numerele 1

1

m mA

m m

+= +

+ şi

2 3

3 2

m mB

m m

+ += +

+ +.

(Liviu Pîrşan, 16886, G.M. 10/1977) 4.8.151. Se consideră expresia ( ) 3 11 7E x x x= − − +

) Să se precizeze valorile lui x pentru care expresia E este definită; ) Să se rezolve ecuaţia ( ) 0E x = ;

) Să se determine mulţimea ( ){ }0x E x∈ <� (A.S.E, 1996)

4.8.152. Să se expliciteze legea funcţiei [ ): 4;f − ∞ →� , definită prin

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

2 3 4 1f x x x x x= − + + + + − . Să se rezolve ecuaţia ( ) 9f x = .

(C. Ionescu-Ţiu, 9212, G.M.B. 10/1968, enunţ reformulat)

4.8.153. Se dă funcţia ( )2 2

1: ,

4 5 8 15f D f x

x x x x→ =

− + + − − +�

) Să se determine domeniul maxim de definiţie D ; ) Să se expliciteze legea funcţiei f , fără a folosi modulul.

(Sorin Simion, 7710, G.M.B. 8/1966)

4.8.154. Se dă [ ] ( ) 2: 5;6 , 30f F f x x x x− → = + − + + .

) Determinaţi codomeniul F al funcţiei;

) Să se arate că f este strict crescătoare pe intervalul 1

5;2

− −

;

) Să se rezolve inecuaţia ( )

21

f x

x≥

−. (G.M, 1982)

4.8.155. Să se determine valorile parametrului real m din ecuaţia ( ) ( )21 2 1 0m x m x m− − + + = astfel ca între rădăcinile 1 2,x x ale ecuaţiei să existe

relaţia 1 2

1

1x x

m+ <

−. (Al. Ţigănoiu, 7735, G.M.B. 9/1966)

4.8.156. Pentru ce valori ale lui x are sens expresia:

( ) 111 1 1n nn nE x x x++= − + + − ?

4.8.157. Să se determine perechile de numere reale ( ),p q pentru care

inegalitatea 2 2 11

2x px q

−− − − ≤ este adevărată ( ) [ ]0;1x∀ ∈ .

(Baraj, 1983)

Capitolul 4 Functii Numerice_p2

Documents

Transcript of Capitolul 4 Functii Numerice_p2