1. AMPLASAREA SURSELOR NOI DE ALIMENTARE

Vor fi prezentate i analizate dou metode pentru determinarea amplasamentelor unor noi surse de alimentare n

cadrul reelelor electrice urbane.

Drept surse de alimentare pot fi considerate n aplicaiile concrete staiile de transformare de nalt/medie tensiune, punctele de alimentare sau posturile de transformare de

medie/joas tensiune, dup caz.

Aceste metode permit stabilirea amplasamentelor noilor surse

de alimentare n urmtoarele dou moduri:

a) prin determinarea, n cadrul unui sistem de axe, a

coordonatelor optime ale punctelor de amplasare a

surselor (metoda geografic);

b) prin alegerea celor mai bune amplasamente dintr-o

mulime predeterminat de amplasamente posibile (metoda selectiv).

Fiecare dintre aceste metode permite i delimitarea consumatorilor alimentai de fiecare surs.

1.1. Metoda geografic de amplasare optim a surselor de alimentare

Aceast metod permite determinarea amplasamentelor optime ale surselor de alimentare ntr-o reea de mare ntindere.

Metoda a fost aplicat la studiul amplasrii unor posturi de transformare n incinta unor consumatori industriali, dar poate

fi aplicat i n cazul reelelor urbane care deservesc zone cu densiti reduse de sarcin.

y

x 0

- post de transformare

- punct de consum

Fig. 1.1

sector de alimentare

zona de consum

Considerndu-se reprezentarea din figura 1.1 a unei zone de

consum, se fac notaiile:

NC - numrul consumatorilor;

NPT - numrul posturilor de transformare;

Pj - puterea consumatorului j, jJ=, ;NC

Pi - puterea disponibil la postul de transformare i,

iI=1, ;NPT

J - mulimea consumatorilor;

I - mulimea posturilor de transformare;

Pij - puterea furnizat de sursa i consumatorului j;

lij - distana dintre sursa i i consumatorul j,

l x x y yij j i j i 2 2

;

xi,yi - coordonatele geografice ale amplasamentului postului

de transformare i;

xj,yj - coordonatele geografice ale consumatorului j.

Necunoscutele sunt:

- coordonatele (xi,yi), iI, ale amplasamentelor posturilor de

transformare;

- valorile puterilor Pij.

Se caut determinarea acestor necunoscute n condiiile minimizrii sumei momentelor sarcinilor

,

Ii Jj

ijijlPM (1.1)

fiind cunoscute puterile i amplasamentele consumatorilor, precum i puterile disponibile la surse.

Se cunoate faptul c valoarea minim a sumei produselor Pijlij (suma momentelor sarcinilor) corespunde pierderilor

minime de putere activ n reea.

Restriciile considerate sunt urmtoarele:

R1) fiecare consumator este alimentat de la un singur post

de transformare ;

R2) suma puterilor consumatorilor alimentai de la sursa i nu depete puterea disponibil a acestei surse.

Modelul matematic al problemei considerate este:

(1.4) , ,0

(1.3) ,

(1.2) min

JjIiPsauPP

IiPP

lPM

ijjij

iij

ijij

Jj

Ii Jj

Consumatorii alimentai de la un acelai post de transformare constituie un sector de alimentare iar postul respectiv este

numit centru de alimentare.

Rezolvarea problemei const n parcurgerea iterativ a

urmtoarelor dou etape:

E1)determinarea sectorizrii optime (repartizarea

consumatorilor pe posturi de transformare).

Pentru reducerea numrului de iteraii, iniial posturile de

transformare se vor plasa n centrul gruprilor de

consumatori, satisfcndu-se totodat i necesarul tuturor

consumatorilor;

E2) pentru sectoarele anterior determinate se caut poziia

centrelor de alimentare, lsnd libere coordonatele xi i yi

n interiorul sectoarelor, astfel nct suma momentelor s

fie minim.

Dac n ambele etape se obin aceleai valori ale

coordonatelor xi i yi, a fost obinut soluia optim. Dac nu,

se trece la o nou sectorizare.

n cadrul primei etape este aplicat metoda "ramurei i a

graniei" (branch and bound) pentru investigarea soluiilor

posibile, soluii care se obin prin rezolvarea unei succesiuni de

probleme de transport.

Valorile funciilor obiectiv corespunztoare acestor soluii

sunt comparate cu un minorant reprezentnd valoarea funciei

obiectiv obinut prin rezolvarea problemei nerespectnd

restricia (1.4).

Metoda de rezolvare

Modelul matematic al problemei este:

, 0

,

unde

min

22

JjIiP

P

IiPP

yyxxlij

lPM

j

Jj

ijij

Ii Jj

ij

iij

ijij

Daca restricia

, 0

JjIiP

Pj

ij

(1.5)

ar fi nlocuit de

JjPP jIi

ij (1.6)

am fi in condiiile unei probleme de transport.

Etapa E1 Sectorizarea

Se atribuie arbitrar coordonate xi i yi fiecrui PT;

Const n repartizarea consumatorilor pe surse de alimentare:

- Se calculeaz distanele lij dintre fiecare consumator i

fiecare PT;

- Se asociaz apoi consumatori surselor de alimentare n

ordinea cresctoare a distanelor lij;

- Se continu pn cnd este atins un grad prestabilit de

ncrcare pentru surse.

n final, fiecare consumator este asociat unui PT.

Modelul matematic este completat cu nc dou restricii

pentru etapa de sectorizare:

(1.8) ,1,

(1.7)

iSC

1j

1 1

mSCiPiP

PiPj

SCij

n

j

m

i

Prima restricie are n vedere condiia ca sursele existente s

poata alimenta toi consumatorii, iar a doua condiia ca sursa

din cadrul unui sector sa poat alimenta consumatorii acelui

sector.

Etapa 2 Determinarea amplasrii PT n sectoare

Se menin constante sectoarele determinate anterior i se d acum

libertate variabilelor xi i yi n interiorul sectoarelor, astfel nct suma

momentelor sarcinilor s fie minim (relaia 1.2).

Se compara apoi coordonatele (xi, yi) iniiale i cele finale:

- Dac sunt egale (n limitele stabilite), am obinut soluia optim;

- Dac nu, sectorizm din nou, cu noile coordonate ale PT.

Relaxnd restricia (1.5), nlocuind-o cu restricia (1.6), vom avea

de rezolvat o problem de transport.

Consecin:

- o parte din consumatori vor fi alimentai de la o surs iar restul

de la mai multe surse;

- reeaua nu va mai radial.

Metoda Branch and Bound

Vom nota problema de transport definit anterior cu Po iar

valoarea funciei obiectiv Mo.

Considerm c n soluia obinut pentru problema Po, un

consumator e alimentat de la mai multe surse.

Vom presupune c acest consumator va fi alimentat pe rnd de

la cte o surs.

De exemplu, atunci cnd consumatorul poate fi alimentat de dou

surse, vom avea :

P o -----------------

M o

P 1 ----------------

M 1

P 2 -----------

M 2

P o -----------------

M o

P 1 -------------

M 1

P 2 -----------

M 2

P 11 -------------

M 11

P 12 -------------

M 12

P 21 -------------

M 21

P 22 -------------

M 22

P o -----------------

M o

P 1 -------------

M 1

P 2 -----------

M 2

P 11 -------------

M 11

P 12 -------------

M 12

P 21 -------------

M 21

P 22 -------------

M 22

Dac M 2 > M 1

P o -----------------

M o

P 1 -------------

M 1

P 2 -----------

M 2

P 11 -------------

M 11

P 12 -------------

M 12

P 21 -------------

M 21

P 22 -------------

M 22

Dac M 2 > M 1

Dac M11 > M 12

Considerm sectorul SCo

Ii

o

M

SCo sectoruldin PT este i unde

i

Jj

jijii

M

lPM

o

ooo

22

o

ooo

o

ooo

Jj

ijijji

Jj

jijii yyxxP lPM

unde (xio, yio) sunt necunoscute

Punem condiia ca Mio s fie minim i vom avea:

02

2

1

02

2

1

0

0

22

22

oo

o

o

o

oo

o

o

o

o

o

o

o

ijij

ij

Jj

ji

ijij

ij

Jj

ji

i

i

i

i

yyxx

yyP

yyxx

xxP

y

M

x

M

Dac (xio, yio) (xi,yi) , am obinut soluia optim;

Dac nu, sectorizm din nou, cu PT avnd coordonatele (xio,yio)

Exemplu

Observaii

1) Prin aplicarea metodei prezentate mai sus vor fi obinute

reele arborescente de funcionare, datorit restriciei R1.

2) Metoda poate fi aplicat atunci cnd n perimetrul studiat

coordonatele (xi,yi), iI, pot lua orice valoare posibil (nu

exist cldiri sau alte obstacole legate de mediu care s

mpiedice amplasarea posturilor de transformare).

n caz contrar, trebuie delimitate zonele ocupate,

interzicndu-se coordonatelor posturilor de transformare s ia

valori n acele domenii.

Luarea n considerare a acestei restricii poate duce n final

la obinerea unei soluii mai slabe din punct de vedere al

valorii funciei obiectiv (1.2) dar optime n noile condiii ale

problemei.

3) Nu sunt luate n considerare restricii de ordin tehnic

(referitoare la ncadrarea tensiunii n limitele admisibile n

nodurile reelei sau la nedepirea curentului maxim admisibil

prin liniile electrice ale reelei).

Dup rezolvarea problemei formulate de relaiile (1.21.4),

fiind deci cunoscute:

- puterea i amplasarea posturilor de transformare,

- puterea i amplasarea consumatorilor,

- modul de alimentare a consumatorilor de la posturile de

transformare,

se efectueaz calculele de dimensionare a elementelor reelei,

urmate de verificri referitoare la curentul maxim admisibil i

la cderea de tensiune, fr a se mai reveni asupra

coordonatelor posturilor de transformare.

1.2. Metoda selectiv pentru amplasarea optim a

surselor de alimentare

n cadrul acestei metode, noile surse de alimentare vor fi

dispuse n amplasamente selectate dintr-un set de

amplasamente poteniale prestabilite.

Metoda a fost aplicat la studiul amplasrii unor noi posturi de transformare ntr-o reea urban existent.

1.2.1. Prezentarea modelului matematic

Dac n reea funcioneaz deja surse de alimentare, se ine cont de prezena lor, modul de tratare al celor dou categorii de surse de alimentare fiind diferit.

Astfel, n cazul unei surse existente este cunoscut costul

unitar al energiei furnizate, precum i capacitatea sursei.

Fiecreia dintre noile surse de alimentare i se asociaz n plus fa de costul unitar al energiei furnizate i de capacitatea sa, un cost fix datorat lucrrilor de construcie.

Dac o surs de alimentare potenial nu este considerat n funciune, ea nu poate furniza energie electric iar costul corespunztor construciei sale nu mai este luat n considerare.

Ipotezele avute n vedere sunt urmtoarele:

a) se cunoate puterea maxim ce poate circula pe fiecare

din liniile electrice ale reelei ;

b) costul transportului energiei electrice pe o linie este

aproximat printr-o funcie linear ;

Reeaua electric studiat este reprezentat printr-un graf

conex neorientat avnd drept vrfuri nodurile surs (existente

i poteniale) precum i nodurile corespunztoare

consumatorilor.

Muchiile grafului sunt determinate de liniile electrice ale

reelei.

- sursa existenta

- punct de consum

sursa potentiala

Fig. 1.2. Modelarea reelei studiate

n graf este introdus un vrf surs fictiv notat s, care este

considerat surs de alimentare pentru ntreaga putere

consumat n reea.

Fiecare vrf corespunztor unei surse existente sau

poteniale este conectat printr-o muchie la vrful fictiv s.

..

yis

s

- sursa existenta

- punct de consum

sursa potentiala

sursa fictiva

Se noteaz :

s = vrful surs fictiv;

I = {1,...,m}{s} = mulimea vrfurilor surs;

J = {1,...,n} = mulimea vrfurilor corespunztoare

consumatorilor din reea;

N = IJ = mulimea vrfurilor grafului;

ai = disponibilul de putere la vrful surs i, iI\s;

bj = necesarul de putere la vrful consumator j, jJ;

cij = costul unui kW transportat de la sursa i la

consumatorul j, iI\s, jJ;

cii = 0 iI\s;

cij = dac vrfurile i i j nu sunt conectate printr-

o muchie;

Pij = puterea preluat de la sursa i de consumatorul j, i

I\s, jJ ;

Dij = puterea maxim ce poate fi transport pe tronsonul

de linie i-j ;

Fis = costul fix asociat funcionrii sursei din vrful i (Fis

0 numai pentru noile surse);

yis

,

,iI.

Folosind notaiile de mai sus este scris urmtorul model matematic :

(1.10) Ii , 1sau 0y

(1.9) Ii , DyP0

(1.8) j N,j N,i ,DP0

(1.7) Nj ,bP

(1.6) Ni , aP

(1.5) Fyc

i

iii

ijij

Ni

jij

Nj

iij

Ni Ii

ii

Nj

Pij ij

s

sss

ss

s

MIN

Problema definit de relaiile (1.51.10) este o problem de

programare liniar mixt, problem n care pentru unele

dintre variabile se impune condiia de a lua numai valori

ntregi i anume 0 sau 1.

Dac fiecare dintre variabilele yis este fixat fie la valoarea 0

fie la valoarea 1, problema reprezentat de relaiile (1.51.8)

este o problem de transport cu capaciti limitate.

Prin enumerarea tuturor situaiilor n care se pot afla cele m

variabile binare yis , vor rezulta un numr finit de 2m

probleme de transport distincte, prin rezolvarea crora se

poate determina soluia optim a problemei (1.51.10).

1.2.2. Metod de rezolvare

Pornind de la faptul c:

- din cele m variabile yis numai cele corespunztoare surselor

poteniale pot prezenta interes (prin costurile fixe antrenate

de punerea lor n funciune), i

- considernd variabilele yis=1 pentru toate sursele existente

deja n reea;

va fi prezentat n continuare o rezolvare a problemei (1.5

1.10) folosind metoda "cutrii cu revenire" (backtracking).

Vom folosi notaiile :

I' = mulimea vrfurilor surs poteniale, (1.11)

I' I, card I' = m' m ;

Y' = vector coninnd cele m' variabile yis, iI'. (1.12)

n aceste condiii, din cele 2m probleme distincte n care poate

fi descompus problema (1.51.10) ne vor interesa numai 2m'

.

n plus, prin aplicarea metodei backtracking se evit

cercetarea tuturor celor 2m'

soluii posibile.

Astfel, elementelor vectorului Y' li se atribuie pe rnd valori,

variabilei yisk dndui-se o valoare 0 sau 1 numai dac au fost

date deja valori variabilelor yis1,...,yisk-1.

Dup stabilirea unei valori variabilei yisk, nu se trece direct

la atribuirea de valori lui yisk+1, ci se verific o condiie de

continuare referitoare la yis1,...,yisk.

Aceast condiie stabilete situaiile n care are sens s

trecem la calculul lui yisk+1, nendeplinirea ei exprimnd

faptul c oricum am alege yisk+1,...,yism' nu vom putea

ajunge la o soluie posibil a problemei (1.51.10).

n cazul nendeplinirii condiiei de continuare va fi fcut o

alt alegere pentru yisk sau, dac acest lucru nu este posibil,

se micoreaz k cu o unitate i se ncearc stabilirea unei noi

valori pentru variabila curent yisk.

Dac notm cu PT puterea total cerut de consumatorii din

reea, cu PE puterea furnizat de sursele deja existente i cu

PP puterea propus a fi instalat n noile surse, vom avea

relaia:

PP PT - PE (1.13)

Putem astfel considera drept condiie de continuare pentru

rezolvarea prin metoda backtracking a problemei (1.51.10)

reduse conform notaiilor (1.11)+(1.12), cerina ca suma

puterilor disponibile n sursele poteniale pentru care

variabilele yis corespunztoare nu au nc valoarea 0 (deci

aceste surse pot fi n continuare puse n funciune) s fie cel

puin egal cu valoarea PP.

Notnd cu I" submulimea lui I' format din surse poteniale

pentru care variabilele yis au primit valoarea 0, condiia de

continuare se poate scrie

i I I

'\ "

ai PP (1.14)

Pentru fiecare dintre vectorii Y' finali obinui prin respectarea

condiiei (1.14) se mai verific nc o dat condiia (1.14)

pentru validarea alegerii valorii ultimei variabile, dup care se

rezolv cte o problem de transport (1.51.9) pentru fiecare

vector Y', avnd valorile yis fixate.

Dintre soluiile acestor probleme de transport va fi selectat n

final soluia optim respectiv amplasamentele n care vor fi

puse n funciune noi surse de alimentare.

1.2.3. Exemplu

S considerm o reea avnd 20 de puncte de consum, n care

exist deja 3 surse (1, 2 i 3) i sunt propuse 3 amplasamente

pentru instalarea unor noi surse (4, 5 i 6). Se cunosc valorile

PT = 2100 kVA, PE = 1200 kVA, PP = 900 kVA. n tabelul 1.1

sunt prezentate capacitile i costurile fixe pentru fiecare din

cele m = 6 surse de alimentare.

Pentru acest exemplu vom avea:

* m = 6 i m' = 3;

* I = {1,2,3,4,5,6} i I' = {4,5,6};

* (Y')t = (y4s,y5s,y6s).

Tabelul 1.1. Puterile instalate i costurile fixe asociate surselor

Sursa nr.

Sn

(kVA)

Cost fix

(u.v.)

1 400 0

2 400 0

3 400 0

4 250 4000

5 650 4500

6 400 3500

Exist deci 2m' = 23 = 8 posibiliti de funcionare ale celor 3 surse poteniale. Modul de determinare, conform metodei

backtracking, a celor 2m' vectori Y' este ilustrat n figura 1.3,

unde a fost reprezentat spaiul soluiilor pentru exemplul studiat.

B

A

C

D E F G

H K L M N Q R T

0 1

0 1 0 1

0 1 0 1 0 1 0 1

y

y

y 4s

5s

6s

Y' 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1

0 0 0 0 1 1 1 1

Fig. 1.4. Spaiul soluiilor

Se pornete din vrful A. Dnd variabilei y4s valoarea 0 se

ajunge n vrful B al arborelui binar care descrie procesul de

generare al tuturor celor 8 vectori Y'.

n vrful B se verific ndeplinirea condiiei de continuare

(1.14) :

I"B = {4};i I I

'\ "

ai = a5+a6 = 650+400 = 1050 kVA PP=900

kVA;

(Y'B)t = (0,y5s,y6s).

Se atribuie n continuare valoarea 0 variabilei y5s, ajungnd

n vrful D. Din verificarea condiiei de continuare rezult c nu

se poate obine o soluie posibil dac y4s i y5s sunt egale cu

zero:

I"D = {4,5};i I I

'\ "

ai = a6 = 400 kVA < PP = 900 kVA;

(Y'D)t = (0,0,y6s).

Nu se mai cerceteaz deci vrfurile H i K, ci se revine n

vrful B, dndu-se variabilei y5s cealalt valoare rmas

disponibil, valoarea 1, ajungnd astfel n vrful E. Se verific

i aici condiia de continuare:

I"E = {4};i I I

'\ "

ai = a5+a6 = 650+400 = 1050 kVA PP=900

kVA;

(Y'E)t = (0,1,y6s).

Urmeaz atribuirea unei valori variabilei y6s. Se fixeaz y6s=0

i se ajunge n vrful L. Soluia obinut nu poate fi admis

deoarece nu ndeplinete condiia (1.14):

I"L = {4,6};i I I

'\ "

ai = a5 = 650 kVA < PP = 900 kVA;

(Y'L)t = (0,1,0).

n consecin, se revine n vrful E i se atribuie variabilei y6s

valoarea 1.

Noua soluie, corespunztoare vrfului M ndeplinete

condiia (1.14):

I"M = {4};i I I

'\ "

ai = a5+a6 = 650+400 = 1050 kVA PP = 900

kVA;

(Y'M)t = (0,1,1).

Y'M este prima soluie posibil obinut.

Pentru determinarea unor alte soluii, deoarece variabilele

y6s i y5s au luat toate valorile posibile, ne ntoarcem n

vrful A i atribuim variabilei y4s valoarea 1, deplasndu-ne

astfel n vrful C.

Se verific i aici condiia de continuare:

I"C = {0};i I I

'\ "

ai =a4+a5+a6=250+650+400=1300 kVA PP

= 900 kVA;

(Y'C)t = (1,y5s,y6s).

Se atribuie n continuare valoarea 0 variabilei y5s, ajungnd

n vrful F. Condiia de continuare nu este respectat n vrful

F:

I"F = {5};i I I

'\ "

ai = a4 + a6 = 250 + 400 = 650 kVA < PP =900

kVA;

(Y'F)t = (1,0,y6s).

Prin nerespectarea condiiei de continuare n vrful F, nu se

vor mai cerceta soluiile finale corespunztoare vrfurilor N i

Q.

Se revine n vrful C i se atribuie variabilei y5s valoarea 1. n

vrful G condiia de continuare este ndeplinit:

I"G ={};i I I

'\ "

ai =a4+a5+a6= 250+650+400= 1300 kVA PP

=900 kVA;

(Y'G)t = (1,1,y6s).

Dac se atribuie n continuare variabilei y6s valoarea 0,

soluia final din vrful R va respecta condiia (1.14) i deci

reprezint o alt soluie posibil:

I"R = {6};i I I

'\ "

ai = a4+a5 = 250+650 = 900 kVA = PP = 900

kVA;

(Y'R)t = (0,1,1).

Ultima soluie se obine revenind n vrful G i fixnd

variabilei y6s valoarea 1. Soluia final din vrful T respect

condiia (1.14):

I"T = {};i I I

'\ "

ai =a4+a5+a6=250+650+400=1300 kVA

PP=900 kVA;

(Y'T)t = (1,1,1).

Prin urmare, din cele 2m' = 23 = 8 posibiliti de

funcionare ale noilor surse de alimentare, numai 3 reprezint

soluii posibile i anume Y'M, Y'R i Y'T.

B

A

C

D E F G

H K L M N Q R T

0 1

0 1 0 1

0 1 0 1 0 1 0 1

y

y

y 4s

5s

6s

Y' 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1

0 0 0 0 1 1 1 1

Fig. 1.5. Traiectoria urmat de algoritm n spaiul soluiilor

Pentru determinarea amplasamentelor n care vor fi puse n

funciune noi surse de alimentare se vor rezolva 3 probleme de

transport n care variabilele y4s, y5s i y6s vor fi fixate

conform celor trei soluii posibile gsite mai sus.

Dintre cele trei moduri de amplasare ale noilor surse obinute,

va fi ales cel pentru care rezult cea mai mic valoare a

funciei obiectiv (1.5).

1.2.4. Observaii

1) Eficiena metodei de rezolvare de tip backtracking

prezentate este dat de raportul dintre numrul problemelor

de transport rezolvate prin aplicarea sa, NMB, i numrul de

probleme de transport NT necesar a fi rezolvate prin metoda

enumerrii.

Acest raport va arat ct la sut din numrul total de soluii

a fost studiat pentru obinerea soluiei optime. Astfel,

. %5,37100

8

3100

T

MB

N

N

Rezult c pentru exemplul studiat a fost evitat cercetarea a

62,5% dintre soluii.

Valoarea procentual a eficienei depinde de:

- dimensiunea problemei (numrul de amplasamente

poteniale);

- de puterea necesar a fi instalat n reea;

- de puterea ce se poate instala n fiecare amplasament.

2) Dac ai PP , iI', deci dac puterea disponibil n

fiecare amplasament potenial este cel puin egal cu puterea

total necesar a fi instalat, vor trebui cercetate 2m'

-1

posibiliti de funcionare ale noilor surse.

3) Valoarea puterii disponibile n fiecare amplasament

potenial nu este determinat n cadrul acestei metode.

4) n cazul n care:

- sunt lsate libere i variabilele yis corespunztoare surselor

deja existente n reea;

- puterea disponibil a surselor poteniale este suficient de

mare,

se pot obine soluii n care unele din sursele existente s fie

nchise (datorit costurilor pe care le genereaz), consumatorii

lor fiind alimentai mai economic de restul surselor existente

mpreun cu cele noi.

5) Prin rezolvarea problemelor de transport, schemele de

funcionare ale reelei electrice vor fi mixte, existnd att

consumatori alimentai de la dou surse ct i consumatori

alimentai radial.

6) Restricia (1.8) corespunde cerinei de limitare a

circulaiei de puteri prin liniile reelei la valorile maxime

admisibile Dij. Pentru soluia optim trebuie ns verificat

nivelul tensiunilor n nodurile reelei, neexistnd o asemenea

verificare n cadrul metodei prezentate.