CAPITOLUL 1

PROPRIETĂŢILE FLUIDELOR

1.1. NOŢIUNI GENERALE

Mecanica fluidelor este o ramură a mecanicii mediilor continue. Mecanica mediilor contiinue studiază fenomenele din universul fizic asociate corpurilor înzestrate cu structură de mediu continuu. Prin mediu continuu, se înţelege acel corp, care supus unui proces infinit de divizare, conduce la părţi care păstrează întocmai proprietăţile întregului care le-a generat prin diviziune.

Materia, deci şi corpurile fluide, are o structură discontinuă fiind alcătuită din atomi şi molecule. Atunci când procesul de divizare ajunge în intimitatea acestora, părţile rezultate (electroni, protoni, neutroni etc.), având dimensiuni foarte mici (raza nucleului unui atom are ordinul de mărime 10-15 m), au proprietăţi diferite de cele ale corpurilor din care au făcut parte. Datorită faptului că mecanica fluidelor studiază fenomene care se produc la scară macroscopică (adică se referă la porţiuni de fluid cu dimensiuni mult mai mari decât cele ale atomului), se poate admite ipoteza continuităţii conform căreia un fluid are o structură continuă la orice nivel.

Corpurile fluide sunt acele medii, înzestrate cu proprietatea de a se deforma în mod continuu şi nelimitat, sub acţiunea unor forţe (oricât de mici ar fi acestea), distribuite în mod uniform. Această proprietate poartă numele de fluiditate.

În clasa corpurilor fluide se disting două subclase: lichide şi gaze.Lichidele, fără a se opune la orice deformare, conform proprietăţii

de fluiditate, sunt puţin compresibile, adică, pentru a-şi micşora volumul, trebuie supuse la forţe de compresiune mari. Aceasta se datorează eforturilor moleculare dezvoltate, care se opun la apropierea moleculelor.

13

Lichidele comprimate revin la volumul lor iniţial îndată ce încetează comprimarea, comportându-se din acest punct de vedere, ca nişte corpuri perfect elastice, care au un volum bine determinat şi iau forma vaselor în care sunt introduse.

Gazele sunt puternic compresibile, neavând formă şi volum determinat. Datorită faptului că ele umplu în întregime spaţiul care le stă la dispoziţie, nu pot rămâne în repaus decât în recipiente închise. Spre deosebire de lichide, care la comprimare se comportă perfect elastic, gazele au această proprietate atât la comprimare cât şi la destindere.

Mecanica fluidelor, studiază repausul şi mişcarea corpurilor fluide, precum şi interacţiunea lor mecanică cu corpurile solide cu care vin în contact.

1.1.1. Modelul de fluid

Ca toate fenomenele fizice, miscarea unui fluid, este deosebit de complexă, motiv pentru care, considerarea simultană a tuturor factorilor care o influenţează, ar duce la o formulare matematică deosebit de complexă. De aceea, fenomenele reale sunt aproximate prin eliminarea factorilor mai puţin importanţi şi păstrarea numai a acelora cu rol determinant în desfăşurarea fenomenului. Această simplificare, permite crearea unor sisteme teoretice, numite modele. Complexitatea acestora a evoluat odată cu a suportului matematic ce permite studiul lor. Astfel există modelul de fluid ideal (perfect), de fluid vâscos în mişcare laminară, de fluid vâscos în mişcare turbulentă, de fluid ne-newtonian (reologic), etc.

Toate modelele de fluid create, au la bază, ca aproximare necesară, ipoteza continuităţii mediului fluid. Totuşi, fluidul nu poate fi considerat în orice condiţii un mediu continuu. Criteriul fizic de stabilire a continuitaţii, este numărul lui Kundsen Ku=/L, unde este lungimea liberului parcurs molecular, adică distanţa medie (statistică) parcursă de molecule între două ciocniri consecutive (=10-7m), iar L este o dimensiune a corpului. Cercetările au arătat că pentru u>0,1, fluidul poate fi considerat un mediu continuu. Această ipoteză, este acceptată, deoarece fenomenele studiate în mecanica fluidelor, au un caracter macroscopic. De aceea, se poate admite că un fluid are o structură continuă la orice nivel. În baza acestei ipoteze se presupune că toate mărimile asociate fluidului (densitate, presiune, temperatură, viteză) sunt

14

Figura 1.1

funcţii continue în tot domeniul ocupat de fluid. Un astfel de corp, care are şi această proprietate, se numeşte mediu continuu deformabil.

Se va numi element de fluid (sau particulă fluidă), cea mai mică porţiune dintr-un domeniu de fluid, care poate fi analizată în condiţiile menţinerii ipotezei continuităţii acesteia. Ea are dimensiuni infinitezimale şi va fi reperată în spaţiu prin poziţia centrului său de masă.

1.1.2. Forţe şi eforturi unitare

Se consideră un domeniu D, de fluid delimitat de restul fluidului, sau de corpuri solide, cu care aceste se mrginete, de suprafaţa închisă S (Figura 1.1).

Forţele care se exercită asupra fluidului din domeniul D, se pot clasifica intuitiv în forţe exterioare şi forţe interioare. Cele din prima categorie sunt datorate unor cauze exterioare fluidului ce formează domeniul D, iar cele din a doua, interacţiunii elementelor de fluid din interiorul lui D. În virtutea principiului actiunii şi reacţiunii, forţele interioare au două câte două acelaşi suport, sunt egale ca valoare, dar au sensuri opuse. În consecinţă, ele formează un sistem echivalent cu zero, dar nu pot fi neglijate, deoarece lucrul lor mecanic nu este nul (domeniul de fluid fiind deformabil lucrul mecanic al forţelor interioare nu este nul).

Forţele care acţionează asupra fluidului pot fi, de asemenea, de tip, la distanţă şi de contact. Forţele din prima categorie, reprezintă acţiunile la distanţă exercitate între elementele de fluid din interiorul sau exteriorul domeniului D, sau de către alte cauze, exterioare fluidului. Forţele din a doua categorie, sunt datorate contactului direct între elementele de fluid, sau între acestea şi alte corpuri.

Pe baza consideraţiilor exprimate, rezultă că asupra fluidului din domeniul D acţionează patru tipuri de forţe.

a) Forţele exterioare la distanţă, reprezintă acţiunile la distanţă datorate unor cauze exterioare fluidului din domeniul D. Se vor neglija

15

forţele intermoleculare la distanţă (adică forţele exercitate asupra moleculelor de fluid din domeniul D de către molecule de fluid din exteriorul domeniului), care fac parte din această categorie, deoarece acestea descresc ca intensitate cu distanţa.

Cele mai cunoscute forţe exterioare la distanţă sunt forţele de greutate şi forţele complementare ce apar în cazul raportării mişcării fluidului la un reper neinerţial (aceste forţe sunt proporţionale cu masa dm, a particulei fluide asupra căreia acţionează, de aceea se vor numi forţe masice).

Pentru un element de volum dV, de masă dm, forţa masică se poate exprima matematic în forma :

. (1.1)

Vectorul este un factor de proporţionalitate (reprezintă forţa masică aplicată unităţii de masă - dm=1) şi se numeşte forţă masică unitară. În mod uzual, se admite că , unde este vectorul de poziţie al centrului de masă al elementului de fluid, iar t este timpul. Acest mod de analiză, conferă relaţiei (1.1) valabilitate, la nivelul întregului univers material. În cazul particular al existenţei elementului de fluid pe suprafaţa pământului, atunci , unde este acceleraţia gravitaţională.

Ţinând seama de faptul că domeniul D, are în componenţa sa o infinitate de particule fluide, asupra cărora acţionează forţe elementare

, forţa masică ce acţionează asupra întregului domeniu se exprimă cu expresia:

(1.2)

b) Forţele interioare la distanţă, se exercită între moleculele din interiorul domeniului D. Aceste forţe pot fi neglijate, deoarece intensitatea lor descreşte cu distanţa.

c) Forţele exterioare de contact, sunt datorate contactului fluidului din interiorul domeniului D, cu cel din exteriorul lui, sau eventual cu corpuri solide ce mărginesc fluidul, de-a lungul suprafeţei S. Acestea sunt deci, forţele care ar trebui aplicate pe suprafaţa S, care delimitează domeniul D, care să suplinească interacţiunile exterioare acestuia astfel încât să nu-i modifice starea de repaus, sau de mişcare. Deoarece se

16

Figura 1.2

admite că aceste forţe se exercită chiar pe suprafaţa S, se mai numesc şi forţe de suprafaţă.

d) Forţele interioare de contact, sunt datorate interacţiunii fluidului dintr-un domeniu D` D, cu cel exterior lui D `, dar inclus în D (Figura 1.1). Ele sunt deci, de aceeaşi natură cu forţele exterioare de contact.

Forţele de contact se pot evalua sistematic, prin introducerea noţiunii de efort unitar.

Fie S un element al suprafeţei S, suficient de mic, de arie A, iar R, un punct aparţinând acestui element de suprafaţă (Figura 1.2).

Forţele de suprafaţă care acţionează asupra suprafeţei elementare S, se reduc în punctul R, la o rezultantă şi la un cuplu de moment, .

Dacă suprafaţa S este de arie A (A 0), efectul cuplului de moment este neglijabil în raport cu cel al forţei , astfel încât, se poate considera că există limita:

, (1.3)

unde , se numeşte efort unitar, sau tensiune.Posibilitatea înlocuirii efectului fluidului din exteriorul suprafeţei

S, prin eforturi unitare, constituie “principiul eforturilor unitare”, similar cu principiul forţelor de legătură din mecanica solidului rigid.

Ca atare, rezultă că forţele de contact, ţinând seama că suprafaţa S, care mărgineşte domeniul D, are o infinitate de elemente de arie infinitezimale, asupra cărora acţionează forţele elementare , se exprimă sub forma:

. (1.4)

1.2. PROPRIETĂŢILE FIZICE ALE FLUIDELOR

1.2.1. Presiunea

17

Figura 1.3

Dacă fluidul este în repaus, atunci forţa elementară , este normală la elementul de suprafaţă S, deoarece în caz contrar ar însemna că are o componentă în planul tangent în R la S (Figura 1.2), ceea ce ar provoca deplasarea particulelor de fluid situate în vecinătatea punctului R, de-a lungul suprafeţei, S. Acest lucru contravine ipotezei repausului fluidului.

Experimentele au arătat că asupra unui corp solid care se află în contact cu un fluid în repaus, se exercită întotdeauna forţe de compresiune. Rezultă deci că, fluidul din exteriorul domeniului D exercită pe elementul de suprafaţă S, forţa , unde , este versorul normalei exterioare în R, la suprafaţa, S.

Din relaţia (1.3.), rezultă că:

unde : (1.5)

(p este presiunea statică, şi reprezintă de fapt o măsură a efortului unitar , când fluidul se află în stare de repaus).

Se poate formula următoarea propoziţie: “n orice fluid aflat în stare de repaus, intensitatea efortului unitar (presiunea statică), nu depinde de direcţie.” Pentru a demonstra această propoziţie se consideră un element de fluid infinitezimal de formă tetraedrică (figura 1.3).

Asupra acestuia, acţionează ca forţe exterioare, forţa masică şi forţele de suprafaţ, asociate feţelor tetraedrului.

Starea de repaus a acestuia, este asigurată dacă suma forţelor exterioare care acţionează asupra sa, formează un sistem echivalent cu zero.

Fie , presiunile asociate suprafeţelor: OBC, OAC, OAB şi ABC perpendiculare pe Ox, Oy, Oz şi .

Relaţia vectorială ce defineşte starea de echilibru, este:

18

Figura 1.4

, (1.6)unde:

. (1.7)

Proiectată pe axele sistemului de coordonate, relaţia (1.6) conduce la sistemul:

(1.8)unde:

(1.9)

a,b,g, reprezentând cosinuşii directori ai feţelor tetraedrului, de volum:

, (1.10)

unde h, este înălţimea tetraedrului, dusă din vârful O.Înlocuind relaţiile (1.9) şi (1.10), în (1.8), şi simplificând, se

obţine:

(1.11)

Reducând dimensiunile tetraedrului la un punct, adică h0, rezultă:

. (1.12)

Deci, în cazul fluidului în repaus, presiunea într-un punct, nu depinde de orientarea elementului de suprafaţă, adică este un scalar.

În fiecare punct al domeniului de fluid, se determină câte o valoare a presiunii. Prin atribuirea unei anumite presiuni fiecărui punct, s-a generat câmpul presiunilor. Funcţia care stabileşte corespondenţa între valoarea presiunii şi punctul considerat, este o funcţie continuă şi derivabilă.

Prin prisma teoriei cinetico-moleculare, presiunea reprezintă rezultatul interacţiunii dintre moleculele de fluid, în spaţiul care le stă la dispoziţie. În

19

cazul în care în acest spaţiu nu exist substanţă (vid), presiunea este , desigur, nulă.

Presiunea, măsurată de la starea de vid, se numeşte presiune absolută. Deoarece toate instalaţiile sunt dispuse în atmosferă, se obişnuieşte frecvent, ca aceasta să fie raportată la presiunea atmosferică.

Diferenţa dintre presiunea absolută şi presiunea atmosferică se numeşte presiune relativă.

(1.13)

În figura 1.4, este reprezentat, schematic, modul de exprimare al presiunii.

În sistemul S.I., unitatea de măsură pentru presiune este Pascalul (simbol Pa)

(1.14)

În practică, se utilizează frecvent şi alte unităţi de măsură, care sunt prezentate în tabelul 1.1.

Tabelul 1.1Denumirea Simbol Sistemul Echivalent în unităţi SI

( sau alte unităţi)kilogram forţă pe metru pătrat

kgf/m2 MKfS 9,80665 N/m2

barye barye CGS 0,1 N/m2; (1dyn/cm2)piez pz MTS 103 N/m2; (1sn/m2)*bar bar - 105 N/m2

atmosferă tehnică at - 9,80665 104 N/m2;(1kgf/cm2)atmosferă fizică At sau atm - 1,01325 105 N/m2

atmosferă absolută ata sau atü - n ata=(n+1)atmilimetru coloană de apă

mm H2O - 9,80665 N/m2; (1kgf/m2)

milimetru coloană de mercur sau torr

mm Hg sauTorr

- 1,33322 102 N/m2

(1/760 At) * 1sn (stenă) =103 N

20

1.2.2. Temperatura

Experienţa arată, că, energia mecanică consumată prin simpla frecare între două corpuri, se regăseşte, n acestea, sub formă de căldură, care, fiind una din formele în care se manifest energia în natură, se numeşte şi energie calorică. Ea este în interdependenţă cu alte forme de energie: mecanică, chimică, nucleară, etc. Factorul care măsoară intensitatea căldurii, gradul de încălzire sau răcire al unui corp, este temperatura.

Din punct de vedere practic, întotdeauna, căldura se propagă de la corpul cu temperatura mai înaltă, spre corpul cu temperatura mai joasă (independent de cantitatea de căldură pe care o posedă corpurile), până în momentul când cele două corpuri ajung la temperaturi egale.

Căldura se propagă prin conductibilitate (conducţie), când trece de la o particulă la alta cu care este în contact, prin convecţie (sau prin curenţi), când trece de la un punct la altul al spaţiului împreună cu substanţa în mişcare (curent fluid), sau prin radiaţie, când este adusă prin raze emise, direct de la sursa caldă.

Temperatura unui corp, se determină în raport cu o temperatură de referinţă, care s-a ales punctul triplu al apei, adică temperatura la care fazele, solidă, lichidă şi de vapori ale apei pot coexista în stare de echilibru.

În S.I., unitatea de măsură a temperaturii, este Kelvinul (K); 1K, reprezintă 1/273,16 din temperatura punctului triplu al apei, notat cu 273,16K. Temperatura astfel măsurată se notează cu T şi se numeşte temperatură absolută (T=0 este zero absolut).

Pentru măsurarea temperaturii, se utilizează şi alte unităţi de măsură: grade Celsius [°C], Reamuir [°R], sau Fahrenheit [°]. Între acestea se pot scrie relaţiile

1° C=(1+273,15)K=4/3 °R=(32+1 9/5)° F (1.15)

Observaie: Gradul Celsius (°C) reprezintă 1/100 din intervalul determinat de temperatura de topire a gheţii notată cu 0° C şi temperatura de fierbere a apei, ambele la presiunea de o atmosferă fizică (760 mm Hg). Deoarece punctul triplu al apei este situat cu 0,01°C peste punctul de topire al gheţii la presiunea de 1At, relaţia (1.15) este evidentă.

Legea propagării căldurii, de la un perete plan la fluid, sau invers (aducţia), se exprimă prin formula lui Newton

21

(1.16)

care dă expresia cantităţii de căldură, Q, ce străbate peretele de arie A, în timpul t , ştiut fiind că, diferenţa de temperatură dintre perete şi fluid, este T1–T2. Factorul de proporţionalitate , se numeşte coeficient de aducţie.

Cantitatea de căldură, Q, care se propagă prin conductibilitate, străbătând peretele plan de arie A şi grosime b, în timpul t, când feţele peretelui sunt încălzite la temperaturile T1 şi T2, este dată de formula lui Fourier:

(1.17)

, fiind conductivitatea termică a peretelui. Propagarea căldurii de la un fluid mai cald către unul rece, despărţite printr-un perete, se numeşte, de obicei, transmisie de căldură. Ea este formată din aducţie/conductibilitate(conducţie)/aducţie, fiind generată de relaţiile (1.16) şi (1.17).

1.2.3. Densitate, volum specific, greutate specifică

Fie D, un domeniu de fluid de volum V, masă m şi greutate . Dacă D, tinde să se reducă la punctul RD, densitatea, , volumul

specific, v şi greutatea specifică, , a fluidelor se definesc cu relaţiile:

(1.18)

În cazul unui fluid omogen, din punct de vedere al distribuţiei maselor, având masa, m şi volumul, V, acesta are densitatea şi greutatea specifică , dată de relaţiile:

(1.19)

22

Pentru câteva dintre fluidele uzuale, valorile lui , sunt date în tabelele 1.2 şi 1.3

Tabelul 1.2*

Proprietatea lichidului

Apă ToluenAlcoolmetilic

AlcoolEtilic

MercurSimbol U.M.

Densitate 0

Kg/m3 999,8 890 810 810 13595kgfs2/

m4 101,9 90 82 82 1385,8

Vâscozitate dinamică

1040

Ns/m4 17,91 7,70 8,16 17,70 16,98kgfs/m2 1,826 0,785 0,832 1,804 1,731

B K 511,6 641,5 1283 2455 355,2

C K 149,4 -67 0 65 13Vâscozitate cinematică

1060 m2/s 1,791 0,871 1,01 2,20 0,125

* Indicele 0 arată că valorile respective din tabel corespund temperaturii = 0C. Toate valorile corespund presiunii p=1at.

Tabelul 1.3*Proprietatea

gazuluiAer

OxigenO2

AzotN2

Hidrogen

H2

Bioxid de

carbon-CO2

Simbol

U.M.

Densitate 0

kg/m3 1,251 1,383 1,211 0,0871 1,913kgfs/

m4 0,1278 0,1413 0,1239 0,0087 0,1955

Vâscozitate dinamică

1060

Ns/m217,17 19,28 16,52 8,35 13,70

kgfs/m2 1,750 1,965 1,684 0,851 1,397

S K 123,6 138 103 83 274Vâscozitate cinematică

1050m2/s 1,373 1,394 1,364 9,587 0,716

Constanta caracteristic

ăR

J/kgK 287,04 259,78 296,75 4124 188,88

m2/s2K287,04 259,78 296,75 4124 188,88

Exponentul adiabatic

-1,402 1,399 1,400 1,409 1,301

Celeritate c0m/s 332 315 337 1260 259

Indicele 0 arată că valorile respective din tabel corespund temperaturii =0C. Toate valorile corespund presiunii p=1at.

23

Figura 1.5.

1.2.4. Compresibilitatea

Experimental s-a constatat c lichidele supuse comprimrii îşi schimb volumul, ceea ce arat c ele sunt compresibile.

Se admite c un lichid de volum, V, este comprimat de o forţ, F, acţiune care are drept rezultat, creerea unei presiuni, p, în masa lichid dat (Figura 1.5). Fie dV, cantitatea cu care se micşoreaz volumul V, corespunztor creşterii cu valoarea dp a presiunii. Dependenţa schimbrii volumului cu presiunea, este dat de relaţia:

, (1.20)

unde este coeficientul de compresibilitate volumic izoterm, iar semnul minus din relaţie apare deoarece atunci când presiunea creşte, volumul scade. Celelalte mrimi fizice care intervin în relaţie sunt evidenţiate în figura 1.5.

Integrând relaţia (1.20), se obţine:

, (1.21)

relaţie care exprim comprimarea lichidului de la V0 la V, când presiunea creşte de la valoarea p0, la p.

În cazul în care variaţia presiunilor este relativ mic, ecuaţia caracteristic (1.21) se poate pune sub o form mai simpl. Astfel, dac funcţia exponenţial se dezvolt în serie şi se neglijeaz termenii care conţin pe la puteri mai mari decât unu, se obţine:

, (1.22)în care:

V0 este volumul iniţial aflat la presiunea p0;V - volumul la presiunea p (p > p0);Coeficientul de compresibilitate, , variaz de la un lichid la altul,

valoarea lui fiind dat de relaţia:

. (1.23)

24

Figura 1.6. Instalaia experimental

Aceast relaţie exprim şi conţine, totodat, şi principiul pe baza cruia se poate determina experimental valoarea lui . Astfel, instalaţia pentru msurtori trebuie în aşa fel conceput, încât s se poat msura variaţiile de volum pentru diferite creşteri ale presiunii.

Coeficientul de compresibilitate, , este o constant fizic a fiecrui lichid, dimensiunea lui fiind:

, (1.24)

putând avea urmtoarele unitţi de msur:

, (1.25)

corespunztor diferitelor sisteme de uniti de msurDac forţa care a comprimat masa lichid dat îşi

înceteaz acţiunea, volumul lichidului revine la valoarea iniţial, ceea ce arat ca lichidele sunt, nu numai compresibile, ci şi elastice. Aceast proprietate este definit printr-un alt coeficient, numit modul de elasticitate, notat cu şi care este dat de relaţia:

. (1.26)

Se observ c , are dimensiunea: şi se msoar

în: .

Compresibilitatea lichidelor fiind mult mai mic decât a gazelor, aceasta a fcut ca lichidele s fie considerate, uneori, fluide incompresibile. Lichidul incompresibil este un concept matematic, un model, care poate fi folosit numai în studiul fenomenelor în care elasticitatea este neglijabil. În realitate, toate lichidele sunt, mai mult sau mai puţin, compresibile. Incompresibilitatea poate fi admis, numai dac aceast ipotez nu conduce la rezultate şi concluzii eronate. De exemplu,

25

propagarea sunetului printr-un mediu lichid, a undei de şoc, sau transmisia sonic a energiei etc., sunt fenomene care exist tocmai datorit compresibilitaţii lichidelor.

Pentru determinarea experimental a coeficientului de compresibilitate, , a lichidelor, se foloseşte o pomp hidraulic cu piston, în care lichidul poate fi comprimat pân la o presiune de 800kg/cm2. Elementele componente ale acestei pompe, sunt redate în figura 1.6.

Pompa se compune dintr-un corp cilindric, l, cu pereţi groşi, în interiorul cruia are loc comprimarea lichidului. Urmeaz apoi, în ordinea importanţei, cilindrul 2, în care se deplaseaz pistonul 3, cu ajutorul cruia se realizeaz a forţ de presiune, care acţioneaz asupra lichidului. Deplasarea pistonului, în sensul înaintrii şi retragerii, se obţine printr-un şurub cu profil ptrat, pus în mişcare manual, prin rotirea manivelei, 4. Articulaţia dintre tij şi piston este astfel realizat, încât pistonul s aib numai mişcare de translaţie nu şi de rotaţie.

Pentru msurarea presiunii lichidului, se foloseşte manometrul metalic 6, care se afl montat pe cilindrul 1, între acestea aflându-se robinetul 5.

Pe conductele care leag cei doi cilindri se afl montat rezervorul 7, în care se introduce lichidul supus msurtorilor. Alimentarea cu lichid, a celor doi cilindri de lucru, este asigurat prin intermediul unui ventil cu ac,8.

1.2.5. Ecuaţia de stare

Dacă D, este un domeniu de fluid de masă m, acesta constituie un sistem material care are schimburi controlabile de căldură cu exteriorul. Sistemul material se caracterizează prin starea sa (situaţie pe care o are la un anumit moment), definită la rândul ei, prin mărimi sau parametri de stare. Parametrii de stare, pot fi separaţi în două grupe:

- calitativi (presiune, temperatură, densitate.);- cantitativi (energie internă, entropie, etc.).Variaţia acestora, determină stările viitoare ale sistemului. Dacă

sistemul trece dintr-o stare în alta, se spune că aceasta suportă o

26

transformare. În cazul unei transformări, se deosebesc o stare iniţială, stări intermediare şi o stare finală. Stările iniţială şi finală, sunt, în general, stări de echilibru (în care sistemul poate rămâne un timp nedefinit). Parametrii de stare nu depind de transformările intermediare, ci numai de situaţia atinsă de sistem la momentul respectiv. Variaţiile elementare ale parametrilor de stare, sunt diferenţiale totale exacte.

Se admite că, pentru un fluid omogen în echilibru termodinamic, parametrii de stare calitativi ai fluidului sunt determinaţi, dacă se cunosc doi dintre ei, ceea ce înseamnă că, pentru fiecare stare de echilibru, există o relaţie de forma:

, (1.27)

numită ecuaţia de stare a fluidului respectiv.Ţinând seama de legea conservării masei , în

locul densităţii, , se poate folosi ca parametru calitativ, asociat unui domeniu de fluid de masă, m şi volumul acestuia V.

În continuare, se vor stabili formele ecuaţiei de stare, separat pentru lichide şi pentru gaze, considerându-se evoluţia fluidului de la starea iniţială (p0, V0, T0), la starea finală (p, V, T).

1.2.5.1. Ecuaţia de stare pentru lichide

La lichide, se constată experimental, că în cazul unei transformări izoterme (adică efectuată la temperatura constantă T0,), la o variaţie de presiune p=p-p0, modificarea de volum V=V-V0 este proporţională cu V0 şi p. Pentru a caracteriza cantitativ această proprietate se introduce relaţia:

(1.28)

unde:- T , este coeficientul de compresibilitate izotermă,

- -modul de elasticitate.

Semnul (-) din relaţia (1.28), arată că unei creşteri a presiunii, îi corespunde, întotdeauna, o micşorare a volumului şi invers.

27

Tot la lichide, s-a constatat experimental, că în cazul unei transformări izobare (adică efectuată la presiune constantă p0), la o variaţie a temperaturii T= T – T0, există proporţionalitate între variaţia de volum V=V – V0 şi aceea de temperatură, caracterizată cantitativ de relaţia:

, (1.29)sau

. (1.30)

unde este coeficient de dilatare volumică izobară.Pentru a trece de la starea iniţială (p0, V0, T0), la starea finală (p, V,

T), se poate efectua mai întâi transformarea izotermă (p0, V0, T0) → (p`, V`, T0), apoi transformarea izobară (p, V*, T0) → (p, V, T).

Ţinând seama de relaţiile (1.28) şi (1.29) se obţine:

(1.31)

Coeficienţii T şi , pentru lichide, au ordinul de mărime 10-10

m2/N, respectiv 10-4 K-1, motiv pentru care, în relaţia (1.31), se poate neglija termenul care conţine produsul ·T·, valoarea acestuia, fiind foarte mică, obţindu-se astfel:

. (1.32)

Ţinând seama de legea conservării masei, din relaia (1.31), se obţine:

. (1.33)

Dezvoltând în serie relaţia (1.32) şi reţinând doar primii doi termeni, rezultă:

. (1.34)

În tabelele 1.2 şi 1.3, sunt date valorile coeficienţilor T şi pentru câteva fluide. Se poate observa că valorile acestora sunt mici. De aceea, pentru intervale uzuale de presiuni, lichidele pot fi considerate practic incompresibile, deci V = const., ceea ce este similar cu = const (lichidul are densitate constantă).

28

Compresibilitatea lichidelor trebuie luată în considerare în cazurile unde apar presiuni ridicate (“lovitur de berbec”, sonicitate, sisteme de acţionare hidraulică).

1.2.5.2. Ecuaţia de stare a gazelor

n cazul gazelor reale, aflate în condiţii uzuale, se poate admite, cel puţin într-o primă aproximaţie, legile gazelor perfecte. Prin definiţie, în cazul unei transformări izoterme a unei mase de gaz perfect, m, este valabilă legea lui Boyle-Mariotte (pV=const.). Tot prin definiţie, în cazul unei transformri izobare, este valabilă legea lui Guy-Lussac (V/T=const.). Efectuând întâi transformarea izotermă, (p0, V0, T0)→ (p, V`, T0), apoi transformarea izobară (p, V`, T0)→ (p, V, T) se obţine:

(1.35)

Împărţind ultima relaţie cu m, rezultă ecuaţia de stare a gazelor perfecte:

(1.36)

unde

, (1.37)

R fiind constanta caracteristică (sau specifică) a gazului considerat (pentru aer uscat, R=287,04 J/kg•K = 287,04 m2/s2•K).

Alături de ecuaţia de stare (1.36), în mecanica fluidelor se utilizează şi ecuaţiile transformărilor simple ale gazelor perfecte:

- pentru transformarea izocoră (efectuată la volum constant)- relaţia:

= const; (1.38)

- pentru transformarea izotermă –relaţia:

(1.39)

-pentru transformarea adiabatică (efectuată fără schimb de căldură între gaz şi exterior) – relaţia:

29

Figura 1.7

(1.40)

- pentru transformarea politropică (efectuată astfel încât căldura specifică a gazului rămâne constantă)- relaţia

(1.34)

Relaţiile (1.38) şi (1.39) sunt cazuri particulare ale ecuaţiei de stare (1.36), ceea ce nu este cazul pentru relaţiile (1.40) şi (1.41). În schimb, relaţia (1.33), este un caz particular al relaţiei (1.34).

Pentru a deduce relaţia (1.41), se consideră o masă de gaz, m, care ocupă un domeniu D, de volum, V0 şi limitat de suprafaţa închisă, S (figura 1.7).

În conformitate cu principiul întâi al termodinamicii, în cazul unei transformări, între variaţia, U, a energiei interne a gazului, căldura, Q, furnizată din exterior gazului şi lucrul mecanic, L, efectuat de gaz, este valabil relaţia U= Q – L. Notând cu u,q şi l, energia internă, căldura furnizată şi lucrul mecanic efectuat, corespunzătoare unităţii de masă, m apoi considerând o transformare elementară, se poate scrie:

(1.42)

(simbolul , subliniază faptul că q şi l, nu sunt diferenţiale totale).Pe elementul de suprafaţă dS, de arie dA, gazul exercită forţa

elementară , unde , este versorul normalei la S. În timpul unei transformări elementare, se deplasează cu ds, de-a lungul normalei la S, efectuând lucrul mecanic . Pentru întreaga suprafaţă, S, lucrul mecanic este

(1.43)

Introducând volumul specific = 1/ = V/m (gazul este omogen), rezultă l = pdv, deci relaţia (1.42), se mai scrie sub forma

. (1.44)

Deoarece u şi T, sunt funcţii de doi parametrii de stare, de exemplu de p şi V, deci şi de dp şi dV, rezultă:

30

(1.45)

,

unde, indicii precizează mărimile presupuse constante, când se calculează derivatele parţiale respective. n acest caz, relaţia (1.44), devine:

(1.46)

Se introduc: căldura specifică la presiune constantă, cp şi căldura specifică la volum constant, cv:

(1.47)

Se poate da o altă formă lui cv. Pentru aceasta, se consideră o transformare izocoră; atunci, din relaţiile (1.45), (1.46) şi (1.47) se obţine cv=(u/T)v. Pentru gazele perfecte, este valabilă relaţia u=u(T). Se consider valabil relaia, cv=du/dT. n acest caz, rezult:

(1.48)

Între cp şi cv există relaţia lui Robert Mayer

cp – cv = R. (1.49)

Fie c, căldura specifică în cazul transformării politropice, definit prin:

(1.50)

Înlocuind în relaţia (1.44), expresia lui du dată de (1.48) şi expresia lui q, dată de (1.50), se obţine:

. (1.51)

Din relaţia (1.36), rezultă:. (1.52)

Eliminând pe T, între relaţiile (1.36), (1.51) şi (1.52), apoi ţinând seamă de relaţiile şi (1.49), se obţine:

31

(1.53)

Se admite că, cp=const şi cv=const., ceea ce este valabil pentru gazele monoatomice, dar reprezintă o aproximaţie pentru gazele poliatomice. Considernd faptul c transformarea politropică este definită prin c=const., în relaţia (1.50) i integrând ecuaţia (1.53) cu n=const., rezultă expresia relaţiei (1.41).

Dac se ine cont c ntr-o transformare adiabatică, există relaţia q=0 (c=0), atunci relaţia (1.41) devine (1.40), unde =cp/cv.

Mărimile n şi se numesc exponentul politropic şi respectiv, adiabatic.Observaţii.

a) Relaţiile (1.38) şi (1.39) pot fi considerate cazuri particulare ale relaţiei (1.41) (când n→, relaţia (1.41) se reduce la relaţia (1.38), iar când n=1, relaţia (1.41) se reduce la relaţia (1.39)).

b) Relaţiile (1.38)...(1.41) sunt de forma

(1.54)

Mişcarea unui fluid se numeşte barotropă dacă, există o relaţie de forma (1.54); în caz contrar, mişcarea se numeşte baroclină.

1.2.6. Vâscozitatea

1.2.6.1. No iuni generale

Vâscozitatea este proprietatea fluidelor aflate în mişcare, de a se opune deformaţiilor acestora, cnd nu au loc modificri valorice ale volumului, prin dezvoltarea unor eforturi tangenţiale. Faptul că eforturile tangenţiale apar numai în timpul mişcării, conduce la concluzia, că ele sunt de natură neelastică.

Se va analiza acest fenomen, pe care germanii îl numesc “ innere Reinbung “, adică “frecare internă”, pentru mişcări relativ lente, mişcări caracteristice regimului de mişcare laminar. (vezi paragraful 1.2.7.).

Prin prisma teoriei elasticităţii, se demonstrează că în jurul unui punct al unui mediu continuu, se pot evidenţia două situaţii:

a) dac aciunile componentelor normale ale eforturilor, după trei direcţii diferite (care pot fi axele unui sistem de referinţă tridimensional)

32

Figura 1.8

sunt egale şi de aceeaşi natură (tracţiuni sau compresiuni), nu există eforturi tangenţiale (această situaţie este specifică stării de repaus a fluidelor, sau a modelului de fluid perfect, pentru care se acceptă inexistenţa eforturilor tangenţiale);

b) dacă există eforturi tangenţiale, eforturile normale după cele trei direcţii, diferă între ele şi nu pot fi toate egale cu zero (situaţia este specifică tuturor fluidelor reale aflate în mişcare, putându-se considera că peste eforturile unitare normale, specifice stării de repaus, se suprapun eforturile tangenţiale datorate proprietăţii de vâscozitate, eforturile rezultate din această suprapunere, având o orientare oarecare faţă de orientarea elementului de suprafaţă pe care se exercită).

Vâscozitatea, ca proprietate, manifestându-se numai în timpul mişcării, este strâns legată de vitezele de deformaţie.

Pentru o facilă înţelegere a mecanismului pe baza căruia se produc deformaţiile particulelor fluide, independent de timp, se va analiza deformaţia unui cub elementar, care se deformează după planul Ozy, paralel cu două din feţele cubului. (Figura 1.8)

Latura pătrată a cubului OABC (conţinută în planul Ozy), după o deformaţie infinitezimală, va deveni paralelogramul OA’B’C’ (în ipoteza că punctul O nu s-a modificat, sau a revenit prin translaţie în poziţia iniţială).

Este evidentă existenţa unei deformaţii unghiulare, unghiul drept AOC devenind A’OC’.

Valoarea cu care s-a micşorat unghiul drept AOC este:

AOA’ + COC’ =

(1.55)*

Unghiul cu care suprafaţa cubului elementar, deformat, ce conţine latura A’B’ s-a deplasat faţă de suprafaţa opusă ( ce conţine latura OC’), este

* Relaţia (1.55) este adevărată pentru variaţii infinitezimale ale unghiului (când tg).

33

IOA’ = = IOA + AOA’ = AOA’ + COC’, (1.56)

adică, este egal cu deformaţia unghiulară dată de relaţia (1.55). Acelaşi unghi de deformaţie, se obţine dacă se etalonează unghiul cu care suprafaţa cubului elementar, deformat, ce conţine latura C’B’, s-a deplasat faţă de suprafaţa opusă ( ce conţine latura OA’ ):

KOC’ = = KOC + COC’ = AOA’ + COC’ (1.57)

În conformitate cu ipoteza lui Newton, efortul de vâscozitate (tangenţial), este proporţional cu deformaţia unghiulară în unitatea de timp, adică:

, (1.58)

unde, , este coeficientul de proporţionalitate, caracteristic fluidului, numit coeficient de vâscozitate dinamică.

Considernd dimensiunile elementare ale cubului de fluid, iar deformaţia, infinitezimală, relaţia (1.58) devine:

, (1.59)

expresia din paranteză, exprimând gradientul de viteză, cu care se micşorează unghiul diedru yOz, având muchia Ox.

Dacă deformaţia particulei fluide, în loc să fie plană, este oarecare, relaţia (1.59) rămâne valabilă, cu observaţia că, deformaţia trebuie considerată ca rezultând din suprapunerea a trei deformaţii plane, după un triedru de referinţă. Expresiile eforturilor tangenţiale, rezultă prin permutări circulare:

(1.60)

În cazul particular, al unei mişcări plane (deformaţia se produce după o direcţie), produsă de deplasarea uniformă a unei plăci, C2, în planul său, paralel cu o altă placăm C1, fixă, între ele aflându-se un fluid

34

Figura 1.9

vâscos, care aderă la suprafeţele plăcilor cu care vine în contact (Figura 1.9). Direcţia de deplasare este Ox. Repartiţia vitezei după o direcţie normală la plăci (axa Oy), se poate considera liniară, dacă grosimea stratului de fluid este mică.

Placa C1, este practic infinită şi se află în repaus ( ), iar placa, C2, are aria, A, în contact cu fluidul, se mişcă cu viteza constant , sub acţiunea forţei, . Conform principiului aciunii i reaciunii, exist o for egal i de sens contrar celei care produce micarea plcii, C2, care se opune micrii, numit for de frecare vscoas, avnd expresia:

, (1.61)

al crei modul are valoarea:

, (1.62)

unde vx=v2 – v1 este viteza relativă a plăcilor.

Efortul tangenţial, exercitat de placa, C2, pe suprafaţa superioară a stratului de fluid aderent la C2, are valoarea:

. (1.63)

Admiţând că această relaţie este valabilă şi între două straturi de fluid, situate la distanţa, dy, între care există o diferenţă de viteză, dvx, rezultă relaia, cunoscut sub numele de ipoteza lui Newton:

. (1.64)

35

Fluidele care se comportă conform ipotezei lui Newton, se numesc newtoniene. Aerul, apa şi majoritatea fluidelor utilizate în tehnică, sunt newtoniene.

Coeficientul de vâscozitate, , variază puţin cu presiunea, dar mult, cu temperatura. Vâscozitatea lichidelor scade, pe când cea a gazelor creşte, odat cu creterea temperaturii.

Practic, la orice presiune, pentru lichide, se poate folosii formula lui Gutman-Simons:

. (1.65)

unde: pentru apă constantele B şi C au valorile B=511,6 K ; C=-149,4 K.

Pentru gaze se poate utiliza formula lui Sutherland

(1.66)

unde: pentru aer S=123,6 KÎn S.I., unitatea de măsură pentru coeficientul de vâscozitate

dinamică, este:

(1.67)

Se mai utilizează ca şi unitate de măsură poise-ul. Există relaţiile dimensionale:

(1.68)

Raportul între coeficientul de vâscozitate dinamică şi densitatea fluidului, se numeşte coeficient de vâscozitate cinematică

(1.69)

În sistemul de unităţi S.I., coeficientul de vâscozitate cinematică se exprimă în:

(1.70)

36

Figura 1.10

Se mai întrebuinţează frecvent ca unitate de măsură Stokes-ul, cu simbolul St:

(1.71)

Alături de vâscozitatea dinamică şi cinematică se mai utilizează în practică aşa numita vâscozitate convenţională. Aceasta se măsoară prin timpul de curgere al unei cantităţi de lichid în condiţii bine precizate. Ea se exprimă în grade Engler (ºE).

Pentru conversia vâscozităţii convenţionale, exprimate în grade Engler, în vâscozitate cinematică, se utilizează relaţia:

(1.72)

Fluidele, a căror eforturi tangenţiale depind şi de alţi factori decât deformaţia unghiulară, cum ar fi: “isteria” curgerii, viteza de deformaţie, timp, etc., se numesc nenewtoniene.

În figura 1.10, se prezintă comparativ şi calitativ curbele τ=τ

, pentru câteva fluide nenewtoniene.

Fluidele la care proprietatea de vâscozitate se manifestă după ce tensiunea depăşeşte un prag 0 (începe mişcarea), se numesc vâsco-plastice. Aceasta se explică prin existenţa în fluidul în repaus, a unei structuri capabile să reziste oricărei tensiuni 0. Dintre fluidele vâsco-plastice cel mai simplu model este fluidul Bringham, care descrie bine comportarea unor vopsele sau noroaie.

Comportarea fluidelor cu vâscozitate structurală şi pseudo-plastice, este explicată prin orientarea particulelor fluide. Ca exemple de astfel de fluide, se pot aminti: suspensiile cu celuloză, cărbune, etc.

Fluidele dilatante reprezintă o categorie de fluide cu un conţinut mare de fază solidă (de exemplu: mortar).

37

Figura 1.11. Legea lui Stokes

Reologia, este o ştiinţă care studiază curgerea şi deformarea mediilor continue în timp.

Un fluid a cărui vâscozitate se neglijează (într-o primă aproximaţie), se numeşte fluid ideal.

1.2.6.2. Metode de determinare a v scozit ii

Determinarea vscozitii lichidelor se poate face prin mai multe metode. Sunt, astfel, cunoscute metoda corpului cztor, metoda corpului rotitor, metoda corpului vibrant, metoda corpului oscilant, metoda Engler, etc.

O prim metod de determinare a vâscoziti, are la baz legea lui Stokes, care stabilete rezistena ce o ntâmpin un corp sferic omogen, de densitate 0, când cade, cu vitez constant, ntr-un fluid de densitate , a crui vâscozitate se dorete a fi determinat (Figura 1.11)

Asupra sferei acioneaz urmtoarele fore:

- greutatea sferei; - fora arhimedic;- fora de frecare.

Echilibrul dinamic al sferei - inând seama de faptul c = ct ( = 0) este dat de relaia vectorial

(1.73)Fora de frecare pentru un corp de form sferic, cu raza R, a fost

stabilit de Stokes i are valoarea:Ep=6Rv (1.74)

n cazul unei bile, care are greutatea specific 0 i dislocuiete un volum de lichid de greutate specific , fora de greutate i arhimedic, se calculeaz cu relaiile:

G=0V = 0gV = g R3; (1.75)

38

Figura 1.12. Aparatul Hppler

Figura 1.13.

P=V = gV = g R3. (1.76)

inând seama de sensul fiecrei fore (vezi figura 1.11) i proiectnd relaia (1.73) dup o direcie vertical, se poate scrie:

6Rv+ R3g- R30g = 0 (1.78)

nregistrând timpul n care bila strbate spaiul dintre dou puncte A i B, viteza uniform se poate calcula cu relaia:

. (1.79)

nlocuind viteza n expresia (1.78), valoarea coeficientului de vâscozitate este dat de expresia:

. (1.80)

Deoarece raza bilei, distana AB i acceleraia gravitaional sunt constante pentru acelai aparat, expresia (1.80) se mai poate pune sub forma:

=kt(0-) (1.81)unde:

k este o constant, care are valoarea:

; (1.82)

t – timpul de cdere al bilei ntre cele dou repere A i B;0 - densitatea bilei; - densitatea lichidului.

39

Figura 1.14. Corp

rotitor conic

Figura 1.15. Aparatul Rheotest

Un exemplu, de aplicare a legii lui Stokes, este aparatul Höppler, care are un domeniu de msurare destul de larg, putând fi ntrebuinat pentru pcuri, uleiuri, gaze sau alte fluide transparente care au vâscozitate ntre 10-1 ÷ 105 CP. Figura 1.12, cuprinde un vâscozimetru Höppler (A), un termostat (B)}i furtune de legtur (C).

O alt metod de determinare a vscozitii este acea a corpului rotitor. Acesta poate fi un cilindru, sau un con. Principial, aceast metod este prezentat n figura 1.13, pentru cazul n care corpul rotitor este cilindric i n figura 1.14, n cazul n care acesta este conic.

Metoda se bazeaz, n esen, pe determinarea eforturilor tangeniale pe care trebuie s le nving un corp, la rotirea sa printr-un lichid.

Posibilitatea pe care o ofer aceast metod, de citire a deformaiilor unghiulare, i conduce la un grad de precizie ridicat al msurtorilor, n comparaie cu al celorlalte metode cunoscute. De asemenea, exist posibilitatea msurrii mrimilor reologice (tensiuni tangeniale de “rupere”, variaia n timp a vscozitii, etc.).

Un exemplu de aparat care funcioneaz pe acest principiu, este aparatul Rheotest, care este prezentat principial, n figura 1.15. El este compus din dou module distincte. Un prim modul (1), conine capul de antrenare (4), cutia de viteze (9), ansamblul ncint-corp rotitor (5) i este legat de cel de-al doilea modul (2), care conine sursa de alimentare i partea de afiare a rezultatelor.

40

Figura 1.16

Figura 1.17

Avantajele pe care le prezint acest aparat sunt legate de posibilitatea studierii mrimilor reologice, determinarea precis a vscozitii lichidelor i a facilitii de a putea fi cuplat la un afiaj digital, sau un computer.

1.2.7. Regimul de mişcare al fluidelor

Rezultate experimentale importante, atât pentru aspecte practice cât şi pentru definirea teoretică a structurii mişcării fluidelor vâscoase, au fost puse în evidenţă de către O. Reynolds, printr-o experienţă simplă,

reprezentată schematic în figura 1.16. Prin introducerea unui filament fin de lichid colorat în axa tubului transparent, s-au exideniat i studiat, unele aspecte privitoare la regimul de curgere.

Dacă viteza de mişcare a fluidului prin conduct este mică, filamentul se întinde neperturbat, în lungul axului (Figura 1.17 a). Această curgere staţionară, fără amestec între straturi vecine, este considerată curgere laminară, deoarece este asemănătoare alunecării relative a unor plăci subţiri, aşezate una peste alta, ca

41

model al deplasării fluidului în straturi vecine, paralele. Se poate aprecia, în acest caz, că straturile de fluid nu se întrepătrund, adică între ele nu se produce schimb de substanţă.

La creşterea vitezei de mişcare a fluidului, experienţa cu filamentul oferă rezultate foarte diferite. După ce evoluează neperturbat prin tub, pe măsură ce se măreste viteza, filamentul începe să se onduleze, ca în final să umple printr-o pată de culoare, întreaga conductă. (Figura 1.17 c). Această curgere nestaţionară, cu amestec între straturile vecine, a fost numită turbulentă. Caracteristic acestei mişcări, este faptul că între straturile adiacente de fluid, se produce un puternic schimb de substanţă.

Viteza corespunzătoare trecerii de la mişcarea laminară la mişcarea turbulentă , se na numi viteză critică. Dacă această modificare se face prin mărirea vitezei, valoarea vitezei critice se va nota cu vcr.s.

Dacă se trece de la mişcarea turbulentă la mişcarea laminară (prin micşorarea vitezei), aceasta are loc la o valoare a vitezei critice, care se va nota cu vcr.i.

S-a constatat experimental, că întotdeauna vcr.svcr.i.Experimentele făcute de Reynolds, permit sintetizarea

următoarelor concluzii:- dacă viteza de mişcare a fluidului vvcr.i, curgerea este laminară.

(dacă apare o perturbaţie care distruge caracterul laminar al curgerii, ea revine la forma de curgere laminară, după încetarea perturbaţiei, motiv pentru care, se numeşte mişcare laminară stabilă),

- dacă vcr.i v vcr.s sunt posibile atât o mişcare laminară, cât şi una turbulentă (mişcarea laminară este însă instabilă, deoarece dacă apare o perturbaţie care modifică caracterul laminar al curgerii, aceasta nu se mai instalează după încetarea perturbaţiei, mişcarea rămânând turbulentă),

- dacă v vcr.s este posibil numai regimul de mişcare turbulent.Experienţele efectuate au arătat că forma laminară sau turbulentă

a mişcării depinde de natura fluidului (densitate, vâscozitatea dinamică ), de dimensiunile conductei, şi de viteza de mişcare a fluidului. Aceste observaţii au permis introducerea, de către O. Reynolds, a unei mărimi adimensionale (o măsură adimensională a debitului):

(1.83)

care poartă numele de criteriul sau numărul lui Reynolds.

42

Figura 1.18

Pentru conducta de secţiune, cilindric, constant, s-au calculat valorile criteriului Re pentru vitezele critice stabilite experimental, rezultând, pentru toate fluidele, nişte valori unice, ale acestuia:

(1.84)

Cu aceste valori ale numărului Re, care prezintă utilitate practică, se delimitează teoretic, graniţele între mişcarea laminară şi mişcarea turbulentă,

Dacă însă, intrarea în conductă este egalizată printr-un profil convergent, iar condiţiile experimentale ale curgerii au perturbaţii foarte mici (rugozitatea pereţilor conductei, structura geometrică a elementelor ce intră în construcţia instalaţiei) atunci se poate menţine curgerea laminară până la valori Re = 50.000. Pentru cazul particular al curgerii prin conducta circulară, teoria elaborat de ctre diferii autori, sugerează că nu există o limită maxim pentru numărul Re, la care mişcarea laminară rămâne posibilă, cu condiţia ca perturbaţiile din curgere să fie minime.

Apariţia turbulenţei incipiente, depinde de stabilitatea curgerii laminare faţă de perturbaţiile impuse de condiţiile limită, sau fa de cele provenite de la intrare. Curgerea devine instabilă, dacă o perturbaţie câştigă energie mai rapid, decât o pierde prin disipare vâscoasă.

1.2.8. Tensiunea superficială

Numeroase experienţe arată că, în cazul repausului, suprafaţa de contact dintre un lichid şi un alt fluid cu care lichidul nu se amestecă are aria minimă posibilă. De exemplu, pe un cadru metalic scos dintr-un amestec de apă şi săpun se formează o lamă lichidă (Figura 1.18).

43

Figura 1.19

Figura 1.20

Figura 1.21

Un fir de aţă înglobat în lama lichidă are forma unei curbe închise oarecare C (Figura 1.18.a). Dacă lama lichidă este înţepată într-un punct oarecare din interiorul lui C, se constată că C devine un cerc, adică lichidul ia forma care corespunde suprafaţei sale minime (Figura 1.18.b). Tot astfel, o picătură de lichid aflată în repaus în interiorul altui lichid, de aceeaşi densitate cu primul dar cu care ne se amestecă, are formă sferică, ceea ce de asemenea corespunde ariei minime a suprafeţei picăturii.

Asemenea fenomene pot fi explicate în felul următor. Fie, de exemplu, un lichid care este în contact cu un gaz (Figura 1.19). Asupra unei molecule de lichid M, se exercită forţe de coeziune, de către moleculele de lichid situate faţă de M, la o distanţă mai mică decât raza sferei de acţiune moleculară r0, (r010-6 mm). Forţele de coeziune exercitate asupra unei molecule M1, din interiorul lichidului, formează un sistem echivalent cu zero. În schimb, în cazul unei molecule M2, aflate la suprafaţa liberă a lichidului, forţele de coeziune au rezultanta , orientată către interiorul lichidului. Efectul tuturor acestor rezultante nenule, este o tendinţă de contracţie a suprafeţei libere S, a lichidului. De asemenea, forţele de coeziune , tangente la suprafaţa S, dau naştere unor eforturi unitare în S. Fie o tăietură rectilinie de lungime s, în suprafaţa liberă S. Marginile tăieturii pot fi menţinute în contact numai dacă li se aplică forţele , situate în planul tangent la S şi normale la tăietură (Figura 1.20). Lichidul fiind presupus omogen şi izotrop, , nu depinde de locul sau direcţia tăieturii. În fiecare punct al suprafeţei libere S, se poate definii mărimea

(1.85)

numită tensiune superficială. Ca şi , intensitatea

44

a lui nu depinde de punct sau direcţie. Eforturi unitare analoage iau naştere într-o membrană elastică solicitată în mod uniform, aceasta putând deci modela suprafaţa liberă a lichidului.

Teorema lui Laplace. În orice punct al suprafeţei libere a unui lichid aflat în repaus, diferenţa presiunilor exercitate pe feţele suprafeţei libere este egală cu dublul produsului dintre intensitatea tensiunii superficiale şi curbura medie a suprafeţei.

Într-adevăr, fie dS un element al suprafeţei libere S, având forma din figura 1.21, limitat de linii de curbură ale suprafeţei S şi căruia îi aparţine punctul curent P. Fie , aria lui dS, iar r1 şi r2, razele de curbură principale, ale suprafeţei S, în punctul P. Pe laturile lui dS se exercită forţele . Intensitatea rezultantei forţelor exercitate pe ambele laturi de lungime dl1 este:

(1.86)

Analog, intensitatea rezultantei forţelor exercitate pe ambele

laturi, de lungime dl2, este ; deci rezultanta tuturor forţelor de

tensiune superficială exercitate asupra lui dS, are ca suport, normala în

punctul P, la suprafaţa S, iar intensitatea . Forţa de

presiune exercitată asupra lui dS, are ca suport, normala în P la S, iar intensitatea unde p1 este presiunea de pe suprafaţa concavă a lui S, iar p2 este presiunea de pe faţa convexă a lui S. Considerând proiecţiile acestor forţe pe direcţia normalei în P la S, se obţine pentru dS condiţia de echilibru:

, (1.87)

din care rezultă relaţia:

(1.88)

Mărimea (r1-1+r2

-1)/2, este curbura medie a suprafeţei S, în punctul P. Se observă că p1p2.

45

Figura 1.22

Figura 1.23

Valoarea lui depinde de natura fluidelor aflate în contact şi de temperatură (ea descreşte la creşterea temperaturii). La contactul dintre un lichid i un gaz, pentru acelaşi lichid, valoarea lui variază puţin cu natura gazului. În sistemul SI, tensiunea superficială se măsoară în N/m. Pentru aer şi apă, la 20C, =0,0726 N/m.

Tensiunea superficială se manifestă şi la contactul dintre două lichide nemiscibile (caz în care se numeşte tensiune interfacială), ca şi la contactul dintre două lichide şi un gaz sau dintre un lichid, un gaz şi un solid. De exemplu, fie o picătură dintr-un lichid 2 situată pe suprafaţa unui alt lichid 1, ambele lichide fiind în contact cu un gaz 3 (Figura 1.22). Fie respectiv tensiunile superficiale corespunzătoare fluidelor 1 şi 2, 2 şi 3, 3 şi 1. Condiţia de repaus a liniei comune celor trei fluide este

(1.89)

Dacă repausul liniei comune nu este posibil. Astfel, o picătură de ulei tinde să acopere complet suprafaţa apei.

Fie acum un lichid 1, un gaz 2 şi un solid 3 care au o linie de contact comună (Figura 1.23).Din condiţia de repaus a liniei comune, rezultă relaţia

ce determină unghiul de racordare dintre lichidul 1 şi solidul 3:

(1.90)

Dacă repausul liniei comune nu este posibil: lichidul udă perfect suprafaţa solidă, adică tinde să o acopere complet. De exemplu, unele uleiuri udă perfect o suprafaţă de sticlă. De obicei este însă îndeplinită relaţia adică repausul este posibil. Dacă în plus 23>31, atunci cos>0, deci unghiul este ascuţit (Figura 1.23.a): se spune că lichidul udă imperfect suprafaţa solidă. Este cazul apei aflate în

46

Figura 1.24

contact cu o suprafaţă de sticlă care nu este perfect curată. Dacă şi , repausul este posibil iar cos<0, deci unghiul

este obtuz (Figura 1.23.b); se spune că lichidul nu udă suprafaţa solidă. Este cazul mercurului aflat în contact cu o suprafaţă de sticlă.

1.2.9 Cavitaţia

Cavitaţia este un proces dinamic de formare, dezvoltare şi surpare a unor bule sau cavităţi umplute cu vapori şi gaze, în masa unui lichid. Fenomenul de cavitaţie este apreciat ca o proprietate fizică a lichidelor, deoarece apare, acolo unde acestea se află în mişcare, într-o formă mai mult sau mai puţin dezvoltată.

Vaporizarea lichidului este de două tipuri (Figura 1.24). Primul tip este acela al binecunoscutului proces al fieberii lichidului, care se produce la suprafaţa liber a lichidului, printr-un aport de căldură. Al doilea tip este procesul cavitaţional, în care vaporizarea apare în interiorul domeniului de lichid, precum şi n apropierea pereţilor solizi care îi mărginesc, prin scăderea presiunii sub presiunea de vaporizare, pv, corespunzătoare temperaturii lichidului.

Dacă se consideră o masă de gaz comprimată izoterm, şi temperatura, T, la care are loc acest proces izoterm, este mai mare decât temperatura critică Tcr a gazului considerat, atunci acesta nu poate fi lichefiat, oricât de mult ar fi comprimat. Dacă însă T<Tcr, există o presiune, pv, corespunzătoare acelei temperaturi, la care sub acţiunea forţelor intermoleculare, o parte a gazului se lichefiază. Echilibrul acestei stări trifazice este însă foarte labil: o creştere foarte mică a presiunii în raport cu pv, conduce la lichefierea bruscă a întregii mase de gaz, pe când o scădere foarte mică a presiunii în raport cu pv

provoacă gazeficarea completă.Pentru explicarea mecanismului de apariie a fenomenului

cavitaional s-au emis câteva ipoteze. În general, aceste ipoteze se bazeaz pe diagrama de stare (Figura 1.24). Conform acesteia, pentru o scdere a presiunii, sub valoarea presiunii de vaporizare, la o temperatur constant, legturile intermoleculare se rup, avnd loc transformarea unei

47

Figura 1.25

pri a lichidului în gaz, generându-se astfel, un sistem bifazic, lichid-gaz. Scderea în continuare a presiunii conduce la o cretere accentuat a concentraiei, precum i a dezvoltrii bulelor de gaz în cadrul sistemului bifazic lichid-gaz. Aceste aspecte constituie factori favorizani pentru apariia fenomenului cavitaional.

Explicarea apariiei i dezvoltrii bulelor de gaz în volumul unui lichid, aflat n micare, numai pe baza diagramei de stare, este mult prea simplist, datorit faptului c aceasta nu ia în considerare mrimea forelor intermoleculare, (ele, având valori mari, nu pot fi învinse prin simpla modificare a presiunii). Apariia i dezvoltarea bulelor cavitaionale, necesit prezena unor factori favorizani, numii “germeni cavitaionali”. Cu privire la existena i apariia acestora, exist câteva ipoteze consacrate.

O prim ipotez a fost prezentat de Frenkel i ia în consideraie existena unor “goluri” în structura molecular a lichidului, corespunztoare lipsei uneia sau a mai multor molecule. De asemenea, în cadrul acestei ipoteze se ia în considerare existena germenilor cavitaionali în jurul imperfeciunilor de reea, care pot apare i datorit prezenei altor particule în structura molecular a lichidului. Aceast ipotez permite determinarea rezistenei “ la rupere” a lichidului:

O a doua ipoteza, Temperley - Van der Waals (ipotez, care pare a fi cea mai puin probabil), consider lichidul ca o substan omogen, fr ‘puncte slabe’, la care ruperea structurii moleculare se face doar prin învingerea forelor de atracie intermoleculare.

O a treia ipotez este aceea a nucleaiei, care indic faptul c bulele de gaz apar în volumul lichidului fie în locurile în care apar fluctuaii rapide ale densitii lichidului, sau a configuraiei structurale la nivel molecular, fie în jurul unor corpuri solide. Fluctuaii pot fi generate fie de variaia presiunii, fie de variaia densitii. Microfisurile, crestturile, imperfeciunile de form, impuritile, favorizeaz reinerea

gazului nedizolvat în lichid, constituind “germeni cavitaionali”.

Modificarea parametrilor lichidului, realizat în urma procesului de curgere (scderea vitezei, respectiv creterea presiunii), duce la lichefierea bulelor de gaz. Fenomenul are loc brusc, fiind însoit de “prbuirea” pereilor bulelor de gaz i este cunoscut

48

Figura 1.26.

sub numele de implozie cavitaional. Aceasta are loc dinspre peretele supus la o presiune mai mare, spre peretele opus. Cercetrile din ultimii ani, au pus în eviden faptul c o bul de gaz, în timpul imploziei, formeaz un jet, care o strbate, având diametrul de ordinul 10-100 m i viteza de ordinul a 200 m/s i c este nsoit un puternic schimb de cldur între aceasta i lichid.

Impactul dintre jetul lichid i peretele bulei cavitaionale d natere la unde acustice i la emisii de lumin. Acest fenomen poart numele de sonoluminiscen (Figura 1.25). Emisia de lumin este un fenomen care are loc într-un timp deosebit de scurt (de ordinul picosecundelor) i se produce, aa cum apare în imagine în mijlocul bulei cavitaionale. Se produc, de asemenea, unde de presiune sunt de ordinul a 1000 MPa.

Datorit gradientului de presiune lâng perei, jeturile lichide caracteristice imploziei sunt orientate perpendicular pe suprafaa acestora, producând distrugerea materialului. Distrugerea suprafeelor solide n apropierea crora are loc fenomenul de cavitaie, este favorizat i de faptul c asupra acestora acioneaz toi factorii prezentai anterior.

Distrugerea materialelor supuse fenomenului cavitaional poate avea loc fie într-o perioad scurt de timp, în cazul în care aciunea factorilor distructivi este foarte intens (cazul în care curgerea are caracter oscilant), sau pe o perioad mai lung de timp.

În funcie de solicitrile la care materialul este supus se întâlnesc câteva tipuri de corodare cavitaional.Coroziunea de tip “pitting”, se

definete ca un caz extrem, localizat pe suprafaa materialului (Figura 1.26). În acest caz, cavitile de pe suprafaa materialului pot varia de la diametre mici i adâncimi mari, pân

la simple denivelri. Destul de des o mare parte a suprafeei rmâne neatins, în timp

ce zona corodat de ctre cavitaie penetreaz adânc în grosimea peretelui. Cauzele producerii coroziunii “pitting” nu au fost determinate cu precizie. Totui, majoritatea cercettorilor sunt de acord cu cele dou ipoteze emise:

49

Figura 1.27.

Figura 1.28.

Figura 1.29Figura 1.30.

- pe suprafaa incintei exist un strat pasiv superficial de lichid, care din punct de vedere electric are caracteristica unui catod. În cazul în care acest strat pasiv este rupt de ctre jetul lichid ce apare în cadrul cavitaiei, acesta acioneaz ca un anod. Fenomenul de electroliz care are loc face ca dezvoltarea cavitilor din material s fie foarte agresiv.

- n volumul de lichid se gsesc o mulime de compui chimici, în diferite concentraii. Dintre acetia, ionii de clorid sunt cunoscui ca ageni distructivi foarte puternici.

Fenomenul de coroziune pitting este favorizat de prezena acestor ioni. În general, coroziunea cavitaional produs de ionii de clorid prezint efecte puternic perturbatoare asupra procesului de curgere care se observ dup o perioad de timp, relativ lung de funcionare (de ordinul anilor). Evoluia în timp a coroziunii “pitting” este prezentat în figura 1.27.

Datorit temperaturilor mari, concentrate pe o suprafa relativ mic, care se degaj în cadrul fenomenului de cavitaie, se formeaz oxizi pe suprafaa incintei. Acetia, care pot fi prezeni înc din faza de prelucrare a materialului, genereaz apariia microfisurilor în material. Sub aciunea factorilor distructivi specifici cavitaiei, microfisurile se mresc conducând la apariia unor adevrate “crevase”. Acest tip de coroziune cavitaional este cunoscut sub numele de “coroziune crevas” (Figura 1.28) i se observ dup o perioad relativ scurt de timp (3-6 luni).

Datorit temperaturilor foarte mari care se dagaj în cadrul fenomenului cavitaional, la nivelul suprafeelor pe care are loc implozia bulelor, are loc topirea materialului, urmat de precipitarea compuilor din structura metalului din care

50

este confecionat incinta. Acest fenomen face ca la nivel intermolecular s apar zone de discontinuitate ale sulfurilor (Figura 1.29), în care predomin prezena carburilor i care este asociat fenomenelor perturbatorii, tipic cavitaionale. Acesta poart numele de “coroziune intergranular”, sau “atac intergranular” (IGA). În general, cavitaia intergranular se manifest analog coroziunii de tip “pitting”, motiv pentru care uneori, este tratat ca un caz particular al acesteia.

Temperaturile mari degajate în procesul cavitaional asociate cu prezena hidrogenului duc la apariia coroziunii de tip “hidrogen atac” . Explicaia acestui fenomen este legat de infiltrarea hidrogenului în structura molecular a metalului, urmat, la temperaturi mari de fenomenul de decarburare. Prezena hidrogenului în structura metalului are loc datorit tratamentul utilizat.

Suprapunerea tensiunilor interne ale materialului cu efectele distructive ale cavitaiei (unde de presiune), duce la apariia corodrii de tip SCC (Stress Corossion Cracking) (Figura 1.30). În acest caz, cavitaia poate produce distrugerea total a aparatului. Aceast distrugere este insidioas, imprvizibil, putând avea loc dup o perioad lung de funcionare, fiind greu de determinat i prevenit.

Direciile de cercetare sunt orientate, datorit dezvoltrii tehnologice din ultima perioad, în vederea studierii, în intimitatea sa, a procesului cavitaional.

Noile metode, i dezvoltatea aparaturii de cercetare în ultimii ani, permit studierea micrii fluidului, precum i vitezei, presiunii, temperaturii, regimului de curgere, corespunztor fiecrei particule. Acest fapt permite interpretarea corect a fenomenului de sonoluminiscen, a zgomotelor, precum i determinarea exact a câmpurilor de vitez, presiune i temperatur.

n ultimul timp, se utilizeaz tot mai frecvent, procedee de studiu bazate pe analiza de imagine, care folosesc generatoare de lumin stroboscopic sau fascicule laser.

Un alt procedeu, const în utilizarea emisiei acustice în diagnosticarea cavitaiei care este asociat unui analizor FFT (Fast Fourier), pentru analiza frecvenial a fenomenului.

În esen, emisia acustic constituie o clas de fenomene prin care se genereaz unde elastice, rezultate prin eliberarea brusc de energie din sursele locale ale unui material. Ea este rspndit n diagnoza funcionrii diferitelor maini. Consecinele acestei emisii din timpul

51

deformrii au fost asociate proceselor de alunecare la limitele granulelor materialului solid.

Emisia acustic, ca semnal, se poate disocia în dou componente: o component de amplitudine mare i, frecven joas i o alt component, de amplitudine mic i frecven mare.

Se cunoate c mrimea granulelor i distribuia incluziunilor în material influeneaz fenomenul de emisie acustic.

Datorit faptului c emisia acustic se manifest sub forma unor unde de suprafa, se cere a fi msurat cu ajutorul unor senzori corespunztori. Cei mai rspândii senzori de emisie acustic se bazeaz pe conversia oscilaiilor mecanice în oscilaii electrice, adic pe efectul “piezo”, asigurând proporionalitatea între încrcarea cu sarcin a unui material i semnalul electric pe care-l genereaz. Aceast proporionalitate este cu atât mai necesar cu cât fenomenul de emisie acustic se situeaz mult peste domeniul de audiofrecven, deci n domeniul megahertzilor.

O problem major care apare la folosirea emisiei acustice ca tehnic de diagnoz a unui proces, este aceea a prelucrrii semnalelor, în vederea stabilirii unor criterii relevante pentru starea unui corp. În funcie de exigenele care se impun la studierea strii unui sistem, se poate folosi metoda RMS, pentru cazul unor exigene sczute n diagnoz (nu se obin informaii privitoare la coninutul frecvenial al undelor analizate) sau analizoarele frecveniale, care utilizeaz, fie un filtru de band, fie analiza Fourier, care permite localizarea surselor de oscilaii.

În cazul hidraulicii, fenomenul de emisie ascustic a început s fie utilizat în ultimii ani pentru diagnosticarea strii de uzur a pompelor, dar i în scopul diagnozei cavitaiei n aparatura hidraulic.

1.3. APLICA II

Aplicaţia 1.1

Se consideră un lichid compresibil a cărui ecuaţie este de forma (fluid barotrop):

(1.191)Se cunoaşte că lichidul are densitatea 1 la presiunea atmosferică

p0, iar coeficientul de compresibilitate volumică izotermă 1 pentru o

52

creştere a presiunii de la p0 la 2p0, sau mai general, coeficientul de compresibilitate are valoarea n pentru o creştere a presiunii de la np0 la (n+1)p0.

Să se determine valorile constantelor a şi b.

Soluţie . Pentru cazul particular al presiunii egală cu presiunea atmosferică, ecuaţia fizică este de forma:

. (1.192)Pe de altă parte, relaţia (1.195) se poate scrie în forma:

. (1.193)

Prin definiţia dată coeficientului , şi considerând pentru presiune ca unitate de măsur, chiar presiunea atmosferică, pentru o creştere de presiune de la np la (n+1)p0 volumele lichidului se modifică de la Vn

la Vn+1, adică relaţia (1.196) devine:

, (1.194)

sau ţinând seama de legea conservării masei, se obţine relaţia dintre densităţi:

, (1.195)

sau:

(1.196)

Pentru presiunile np0 şi (n+1)p0 ecuaţia fizică (1.196) permite scrierea relaţiilor:

. (1.197)

Cu aceste valori, relaţia (1.199) devine:

. (1.198)

Relaţia (1.198), împreună cu relaţia (1.192) formează un sistem de ecuaţii ale cărui soluţii sunt:

53

. (1.199)

Particularizând, dacă 0 este coeficientul de compresibilitate pentru creşterea presiunii, de la starea de vid la presiune atmosferică (n=0), se obţine:

(1.200)

Dacă 1 este coeficientul de compresibilitate pentru creşterea presiunii de la presiunea atmosferică p0 la 2p0 (n=1) se obţine:

(1.201)

Se observă că legea formulată conduce la coeficienţii, care depind de condiţiile particulare (presiunea) în care s-a determinat coeficientul .

Invers, rezultă că pentru anumite valori adoptate pentru a şi b, coeficientulo de compresibilitate, este funcţie de presiune. Într-adevăr din relaţia (1.198) rezultă:

. (1.202)

Din relaţia (1.202) rezultă clar, că valoarea coeficientului , se micşorează cu creşterea presiunii.

Problema poate fi însă abordată şi dacă se cunoaşte valoarea densitaţii lichidului măsurată şi starea de vid (0=0). În acest caz ecuaţiile (1.198) şi (1.192) formează un sistem care conduce la soluţii mai simple:

. (1.203)

care pentru czul particular n=0, devin:

54

. (1.204)

În fine, oricare ar fi n pentru care s-a măsurat coeficientul de compresibilitate volumică izotermă n, care este foarte mic în comparaţie cu unitatea, se poate neglija termenul (n+1)n, ceea ce conduce pentru soluţiile (1.203) la forma simplă:

(1.205)

Cu aceste valori ecuaţia fizică (1.191) ia forma:

, (1.206)

sau, (1.207)

unde m reprezintă numărul de unitaţi de măsură a presiunii (în cazul de faţă presiunea atmosferică) la care se cere determinarea densitaţii. De altfel, oricare ar fi natura dependenţei =f(p), pentru ca relaţia (1.207) să rămână o lege de variaţie liniară, trebuie ca m şi n să nu difere mult între ele.

Aplicaţia 1.2

Lagărul de susţinere al unui hidroagregat vertical are o peliculă de ulei de grosime =0,1 mm între gulerul arborelui de diametru D=300 mm şi bază (Figura 1.31). Diametrul arborelui fiind d=150 mm, se cere puterea consumată pentru învingerea rezistenţei vâscoase a uleiului din

peliculă. Vâscozitatea dinamică a uleiului este .

Turaţia arborelui, n=500 rot/min.

55

Soluţie

Tensiunea tangenţială, , se

poate scrie , deoarece

grosimea peliculei de ulei este foarte mică. Forţa elementară de vâscozitate capt expresia:

, (1.208)

iar momentul total faţă de axa de rotaţie al forţelor de vâscozitate:

(1.209)

. (1.210)

Puterea disipată are expresia:

.

Aplicaţia 1.3

Într-o conductă de oţel cu diametrul interior D=100 mm, grosime =2 mm, lungime L=100 m, în care se găseşte apă, un piston rexecută o mişcare de oscilaţie (Figura 1.32). În ipoteza peretelui condiuctei perfect rigid, să se determine, cunoscând coeficientul de compresibilitate izotermă al apei, =5,3010-10 Pa-1, viteza de propagare a undelor elastice longitudinale din fluid (viteza sunetului) provocate de mişcarea pistonului şi frecvenţa de oscilaţie a acestuia, astfel încât conducta să fie străbătută de o singură undă incidentă. Ce valoare va avea viteza sunetului, dacă conducta se consideră deformabilă, modulul de elasticitate al oţelului fiind E=2,11011 Pa?

56

Figura 1.31

Soluţie

Datorită mişcării pistonului în conductă, apare o perturbaţie sub forma unei unde de presiune, care produce o zonă de compresiune în fluid.

Fie viteza de propagare a acestei unde când elementul de fluid întră în zona de compresiune, el este comprimat şi decelerat, variaţia vitezei fiind negativă. Aplicând legea a doua a dinamicii fluidului care intră în zona de compresiune, rezultă:

, (1.211)

unde:

m este masa fluidului definită de relaţia:, (1.212)

unde A, este aria secţiunii transversale a conductei

- densitatea fluidului înainte de zona de compresiune.

Proiectând relaţia vectorială pe axa conductei, se obţine:

(1.213)

sau

. (1.214)

Evaluarea cantitativă a compresibilitaţii izoterme a unui fluid se face cu ajutorul coeficientului de compresibilitate volumică sau a modulului de elasticitate dat de expresiile:

57

Figura 1.32

, (1.215)

unde V este variaţia de volum în zona comprimată.

Având în vedere că în ipoteza făcută secţiunea conductei se păstrează constantă, rezultă:

(1.216)

Din expresia modulului de elasticitate (1.215) şi relaţia (1.216), rezultă relaţia de calcul a vitezei de propagare a undelor de presiune (de exemplu, propagarea sunetului prin mediul fluid care se explică prin considerarea proprietăţii de compresibilitate) cunoscută sub numele de formula lui Newton:

(1.217)

Cu şi , rezultă:

Timpul în care unda parcurge lungimea conductei este

, deci frecvenţa de oscilaţie a pistonului este:

În realitate, conducta se deformează datorită undei de presiune, iar formula de calcul a celeităţii devine:

Rezultă deci că viteza de propagare a undei de presiune este cu atât mai mică, cu cât materialul conductei este mai puţin rigid. (de exemplu în cazul conductelor din cauciuc celeritatea are valoarea de 20 m/s).

58

Figura 1.33

Aplicaţia 1.4

Arborele unei turbine verticale de diametru d=150 mm (Figura 1.33) are un lagăr de ghidaj cu un joc h=0,1 mm şi lungimea l=30 cm. Uleiul care umple jocul dintre arbore şi lagăr are la temperatura de funcţionare egală cu 50C coeficientul cinematic de vâscozitate =6210-6

m2/s şi greutate specifică =895 kgf/m3. Să se afle puterea consumată pentru învingerea forţelor de vâscozitate în lagăr la turaţia sincronă a arborelui de 500 rot/min.

Soluţie.Arborele are viteza unghiulară, ω si viteza periferică u, egale cu:

(1.218)

Efortul tangenţial de vâscozitate pe mantaua arborelui este

. (1.219)

Forţa totală de vâscozitate este .

Rezultă puterea disipată pentru învingerea rezistenţei vâscoase:

iar în sistemul MKfS:

59

Aplicaţia 1.5

Să se determine presiunea la care apare cavitaţia în rotorul unei pompe centrifuge, dacă temperatura apei este de 40C.

Soluţie. Fenomenul de cavitaţie apare atunci când în rotor presiunea

minimă scade până la valoarea presiunii de vaporizare a apei, corespunzătoare temperaturii de lucru. Pentru temperatura de 40C,

presiunea de vaporizare a apei este . Pentru evitarea

cavitaţiei se impune

rezultă la limită,.

Aplicaţia 1.6

Pentru studiul mişcării de filtraţie a apei către un dren se realizează un model analogic Hele-Shaw (Figura 1.34a) prevăzut cu două plăci din sticlă, paralele, situate la distanţa de a=1 mm (Figura 1.34b).

60 Figura 1.34

Cunoscând unghiul de racordare dintre syprafaţa liberă a apei şi placa de sticlă =10, tensiunea superficială =0,0755 N/m şi greutatea specifică a apei =9810 N/m3, să se determine înălţimea h cu care se ridică suprafaţa liberă a apei între cele două plăci.

Soluţie.

Suprafaţa liberă a apei dintre cele două plăci poate fi aproximată printr-o porţiune din suprafaţa unui cilindru circular drept (figura …b) deci razele de curbură principale ale suprafeţei au valorile R1= şi

. Diferenţa de presiune p dintre cele două părţi ale

suprafeţei libere este dată de formula lui Laplace,

(1.220)

Pe de altă parte, dacă se notează cu h înălţimea medie a coloanei de lichid, se poate exprima p cu ajutorul legii hidrostaticii

(1.221)

Din compararea relaţiilor (1.220) şi (1.221), rezultă:

.

Aplicaţia 1.7

Un amestec cu compoziţia masică de 30% hidrogen şi 70% azot cântăreşte G=15 N şi are presiunea p=1,5 at. Să se determine masele gazelor componente şi presiunile lor parţiale. Să se determine masele gazelor componente şi presiunile lor parţiale.

Soluţie.

Legile lui Dalton pentru un amestec de două gaze au expresiile:

61

(1.222)

unde p1 şi p2 sunt presiunile parţiale ale componentelor, de mase m1 şi m2

la temperatura T.Din datele problemei se obţin relaţiile de calcul pentru mase,

şi ,

iar din formulele (1) cele pentru presiuni,

şi

Rezultă masele gazelor componente:

şi presiunile corespunzătoare

62